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Elementi di analisi delle reti elettriche

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Sommario

1. Note sulla simbologia............................................................................................4 2. Il generatore (e l’utilizzatore) elettrico.................................................................4 3. La legge di Ohm ....................................................................................................5 4. Le leggi di Kirchhoff..............................................................................................5

4.1 La prima legge di Kirchhoff (delle correnti)................................................... 5 4.2 La seconda legge di Kirchhoff (delle tensioni) ............................................... 6

5. Generatori di tensione e generatori di corrente ...................................................6 5.1 Generatori ideali di tensione........................................................................ 6 5.2 Generatori ideali di corrente........................................................................ 6 5.3 Generatori reali di tensione......................................................................... 7 5.4 Forza elettromotrice (f.e.m.) di un generatore di tensione ............................. 7 5.5 Generatori comandati ................................................................................. 7

6. La potenza dissipata da un resistore ................................................................... 8 6.1 La massima potenza dissipabile da un resistore ............................................ 9

7. Il collegamento dei bipoli .....................................................................................9 7.1 Il collegamento serie .................................................................................. 9

7.1.1 Resistori in serie........................................................................................... 9 7.1.2 Generatori di tensione in serie ...................................................................10 7.1.3 Generatori di corrente in serie....................................................................10

7.2 Il collegamento parallelo........................................................................... 10 7.2.1 Resistori in parallelo................................................................................... 11 7.2.2 Generatori di tensione in parallelo ............................................................ 11 7.2.3 Generatori di corrente in parallelo.............................................................12

8. I condensatori e gli induttori.............................................................................. 12 8.1 I condensatori ......................................................................................... 12

8.1.1 Condensatori in parallelo ...........................................................................12 8.1.2 Condensatori in serie .................................................................................13

8.2 Gli induttori ............................................................................................. 13 8.2.1 Induttori in parallelo..................................................................................14 8.2.2 Induttori in serie........................................................................................14

9. Metodi di analisi delle reti elettriche.................................................................. 15 9.1 Analisi di una rete per mezzo delle leggi di Kirchhoff ................................... 15 9.2 Riduzione di una rete ............................................................................... 15 9.3 II partitore di tensione ............................................................................. 15 9.4 Il ponte di Wheatstone ............................................................................. 16 9.5 II principio di sovrapposizione degli effetti.................................................. 17 9.6 Il teorema di Thevenin ............................................................................. 17

9.6.1 L'applicazione del teorema di Thevenin a una parte di circuito ................18 9.6.2 L'applicazione del teorema di Thevenin a circuiti contenenti generatori

comandati ..................................................................................................18 10. Segnali elettrici..................................................................................................18

10.1 Classificazione dei segnali ....................................................................... 19 10.2 I principali segnali periodici (canonici)...................................................... 21

10.2.1 Il segnale sinusoidale................................................................................21 10.2.2 Il segnale impulsivo................................................................................. 23 10.2.3 Il segnale ad onda quadra ....................................................................... 24


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10.2.4 Il segnale ad onda triangolare................................................................. 24 10.2.5 Il segnale a denti di sega.......................................................................... 24 10.2.6 Il calcolo del valore efficace per segnali canonici non alternati.............. 25

10.3 I principali segnali non periodici............................................................... 25 10.3.1 Il segnale a rampa.................................................................................... 25 10.3.2 Il segnale a gradino ................................................................................. 26 10.3.3 Il segnale esponenziale............................................................................ 26

Approfondimento ...................................................................................................27 Dimostrazione della formula per il calcolo del valore efficace di un segnale periodico qualunque. ..................................................................................... 27


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1. Note sulla simbologia

In elettronica è invalso l'uso di indicare le grandezze elettriche con lettere maiuscole o minuscole in base alla costanza o meno delle stesse.

Le grandezze variabili nel tempo vengono indicate mediante lettere minuscole. Per esempio, la notazione v(t) indica una tensione variabile nel tempo. Oppure si può scrivere semplicemente i per

indicare una corrente variabile nel tempo, omettendo la specificazione della variabile t (tempo).

Se usiamo un grafico cartesiano per indicare come varia una tensione al variare del tempo scriveremo, in prossimità degli assi, v e t. Conformemente all'analisi matematica dove, con tali simboli, si usa indicare i generici valori delle ordinate e delle ascisse.

Le grandezze costanti nel tempo vengono indicate con lettere maiuscole. La notazione I, ad esempio, indica una corrente costante nel tempo. Anche il valore che una grandezza elettrica assume in un determinato istante viene indicato da una lettera maiuscola: la scrittura v(t1) = V significa che la

tensione v(t), nell'istante t1, assume il valore V.

La scrittura VAB, convenzionalmente usata per rappresentare una tensione, indica la differenza tra il

potenziale in A e quello in B. Se è positiva vuol dire che il potenziale in A è maggiore di quello in B;

viceversa se è negativa. Graficamente la si indica con una freccia orientata verso il polo A (sempre nel

caso della scrittura VAB). Per una corrente è sufficiente indicare, sempre con una freccia, il suo verso di circolazione.

2. Il generatore (e l’utilizzatore) elettrico

La potenza elettrica, generata o utilizzata, la indichiamo con p ed è definita dal prodotto tra la tensione v e la corrente i.

(1) p(t) = v(t) i(t)

Per capire se un bipolo (ovvero un elemento con due terminali) è un generatore o un utilizzatore occorre analizzare la polarità della tensione ai suoi capi e il verso della corrente che lo attraversa: se la corrente esce dal polo positivo, allora il bipolo è un generatore (figura 1a), mentre, viceversa, se la corrente entra nel polo positivo, allora il bipolo è un utilizzatore (figura 1b). Fisicamente il generatore eroga potenza mentre l'utilizzatore l'assorbe.

L'unità di misura della potenza è il watt, indicato con W, quando la tensione è espressa in volt (V) e la corrente in ampere (A).


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3. La legge di Ohm

La legge di Ohm stabilisce il legame esistente tra la corrente i che attraversa un resistore (figura 2) e la tensione v ai suoi capi. Il coefficiente di proporzionalità tra queste due grandezze prende il nome di resistenza elettrica, e lo si indica con R; esso si esprime in ohm (Ω) quando la tensione si misura in volt (V) e la corrente in ampere (A). Analiticamente si scrive:

(2) v(t) = R i(t)

Quindi una resistenza vale 1Ω quando in essa fluisce la corrente di 1A in seguito all'applicazione ai suoi capi della tensione di 1V.

E’ comune supporre costante la resistenza R dal momento che le variazioni di valore che essa subisce nelle normali condizioni operative risultano praticamente trascurabili. La rappresenta-zione grafica della (2), quindi, è una retta (figura 3). Il coefficiente angolare di questa retta coincide con R.

La tensione ai capi di una resistenza viene spesso definita caduta di tensione (in breve, c.d.t.).

In questa prima parte analizziamo le reti elettriche in regime continuo, in cui tutte le tensioni e tutte le correnti sono continue, cioè costanti nel tempo; per questa ragione esse verranno indicate mediante lettere maiuscole. In regime continuo, quindi, la legge di Ohm risulta scritta nel modo:

V = RI

4. Le leggi di Kirchhoff

4.1 La prima legge di Kirchhoff (delle correnti)

La formulazione generale della prima legge di Kirchhoff, valida per qualsiasi regime di funzionamento e per qualunque tipo di rete, stabilisce che la somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti dallo stesso nodo. Fisicamente essa deriva dalla legge, ancor più generale, della conservazione della carica elettrica la quale, sostanzialmente, afferma che un nodo non può essere sede né di accumulazione e né di dispersione di carica elettrica.

Un nodo è un punto nel quale si congiungono più rami o cammini di corrente. Per esempio, facendo riferimento alla figura 4, l'applicazione della prima legge di Kirchhoff fornisce la relazione:

i1 + i2 + i4 = i3 + i5 + i6 + i7

Le correnti i1, i2 e i4, infatti, entrano nel nodo, mentre le

correnti i3, i5, i6 e i7, escono dal nodo stesso.


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4.2 La seconda legge di Kirchhoff (delle tensioni)

La seconda legge di Kirchhoff, valida per qualsiasi regime di funzionamento e per qualunque tipo di rete, afferma che la somma algebrica di tutte le tensioni presenti in una maglia è nulla. Una maglia è un percorso chiuso all'interno di una rete.

Per poter assegnare ad una tensione un segno algebrico è necessario stabilire, arbitrariamente, un verso di percorrenza della maglia. Tutte le tensioni incontrate lungo la maglia, le cui polarità risultano concordi con il verso di percorrenza prestabilito, vengono assunte positive, mentre quelle che hanno il verso discorde vengono assunte negative. Facciamo riferimento alla figura 5, e scriviamo la legge di Kirchhoff delle tensioni:

V1 - v2 + v3 - V4 + v5 - v6 + v7 = 0

Le tensioni V1, v3, v5 e v7 sono infatti positive rispetto al verso di percorrenza orario della maglia (fissato arbitrariamente); mentre le tensioni v2, V4 e v6, sempre

rispetto allo stesso verso di percorrenza, sono negative.

5. Generatori di tensione e generatori di corrente

5.1 Generatori ideali di tensione

Un generatore di tensione si definisce ideale quando eroga potenza mantenendo costante la tensione ai propri morsetti in corrispondenza di qualunque valore di corrente richiesta dal carico ad esso collegato. Pertanto, la caratteristica tensione-corrente di un generatore ideale di tensione è una retta come quella riportata in figura 6. In figura 7 sono riportati i possibili simboli circuitali.

5.2 Generatori ideali di corrente

Un generatore di corrente (il cui simbolo è riportato in figura 8) si definisce ideale quando eroga potenza mantenendo costante la corrente fornita in corrispondenza di qualunque valore di tensione richiesta dal carico

ad esso collegato. Pertanto, la caratteristica tensione-corrente di un generatore ideale di corrente è una retta come quella riportata in figura 9.


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5.3 Generatori reali di tensione

Un generatore di tensione reale, invece, possiede una resistenza interna dovuta alle inevitabili (ed ineliminabili) perdite ohmiche presenti al suo interno (ad esempio per la realizzazione dei percorsi conduttivi). Esso viene schematizzato secondo il modello illustrato nella figura 10. Si tratta della serie di un generatore ideale Vs, e di un resistore, Ri, la cui resistenza è detta resistenza interna.

5.4 Forza elettromotrice (f.e.m.) di un generatore di tensione

Con ciò si intende la differenza di potenziale ai capi di un generatore di tensione a vuoto. Consideriamo la figura 10. Se con un multimetro misuriamo, in tali condizioni, la d.d.p. tra A e B troveremo un valore pari a Vs. E ciò in quanto, a vuoto, non circolando corrente non potrà esserci c.d.t. ai capi della resistenza interna. Tutta la tensione ai capi di Vs, pertanto, la ritroveremo tra i poli A e B.

5.5 Generatori comandati

I generatori comandati (anche detti dipendenti o pilotati) possono essere di quattro tipi:

• di tensione comandati in tensione; • di tensione comandati in corrente; • di corrente comandati in tensione; • di corrente comandati in corrente.

Esaminiamoli separatamente.

Il generatore di tensione comandato in tensione è un generatore ideale di tensione il cui valore risulta proporzionale a quello di una tensione presente nello stesso circuito nel quale è inserito il generatore comandato.

Ad eccezione di questa particolarità operativa, le restanti caratteristiche funzionali del generatore comandato di tensione sono identiche a quelle di un qualsiasi generatore ideale di tensione. Consideriamo il circuito di figura 11. Il valore della tensione ai morsetti del generatore Vc risulta

proporzionale, secondo il parametro α, a quello della tensione V1 (che nello specifico è la c.d.t. ai capi di R1).

Ciò significa che il generatore di tensione Vc è pilotato dalla

tensione V1. Ne segue, pertanto, che la tensione Vc ai capi del generatore comandato è:

Vc = αV1

Il generatore di tensione comandato in corrente è un generatore ideale di tensione il cui valore risulta proporzionale a quello di una corrente presente nello stesso circuito nel quale è inserito il generatore comandato.

Anche qui, ad eccezione di questa particolarità operativa, le restanti caratteristiche funzionali del generatore comandato di tensione sono identiche a quelle di un qualsiasi generatore ideale di tensione.


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Consideriamo il circuito di figura 12. Il valore della tensione ai morsetti del generatore Vc risulta proporzionale, secondo

il parametro β, a quello della corrente I1 (indicata nella medesima figura). Ciò significa che il generatore di tensione Vc è pilotato dalla corrente I1. Ne segue, pertanto, che la

tensione Vc ai capi del generatore comandato è:

Vc = βI1

il cui valore risulta proporzionale a quello della corrente I1 secondo il parametro β.

Il generatore di corrente comandato in corrente è un generatore ideale di corrente il cui valore risulta proporzionale a quello di una corrente presente nello stesso circuito nel quale è inserito il generatore comandato.

Le restanti caratteristiche funzionali del generatore comandato di corrente sono identiche a quelle di un qualsiasi generatore ideale di corrente. Consideriamo il circuito di figura 13. Il valore della corrente erogata dal generatore Ic risulta proporzionale, secondo il parametro γ,

a quello della corrente I1 (indicata nella medesima figura).

Ciò significa che il generatore di corrente Ic è comandato

dalla corrente I1. Ne segue, pertanto, che la corrente erogata dal generatore comandato è:

Ic = γI1

il cui valore risulta proporzionale a quello della corrente I1 secondo il parametro γ.

Il generatore di corrente comandato in tensione è un generatore ideale di corrente il cui valore risulta proporzionale a quello di una tensione presente nello stesso circuito nel quale è inserito il generatore comandato.

Le restanti caratteristiche funzionali del generatore comandato di corrente sono identiche a quelle di un qualsiasi generatore ideale di corrente. Consideriamo il circuito di figura 14. Il valore della corrente erogata dal generatore Ic risulta proporzionale, secondo il parametro

δ, a quello della tensione V1 (indicata nella medesima

figura). Ciò significa che il generatore di corrente Ic è

comandato dalla tensione V1. Ne segue, pertanto, che la corrente erogata dal generatore comandato è:

Ic = δV1

il cui valore risulta proporzionale a quello della tensione V1 secondo il parametro δ.

6. La potenza dissipata da un resistore

Il resistore è un bipolo utilizzatore che, quando viene attraversato da corrente, assorbe energia dissipandola interamente sotto forma di calore. L'espressione di tale potenza dissipata assume, nel caso di un resistore, tre possibili, ma equivalenti formulazioni. La prima è quella generale valida per qualsiasi bipolo, sia esso un generatore che un utilizzatore:

4) P = VI

Le altre due formulazioni si ricavano dalla (4) sostituendo la legge di Ohm una volta in V:


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5) P = RI2

ed una volta in I:

6) P = V2/R

6.1 La massima potenza dissipabile da un resistore

I resistori disponibili in commercio sono caratterizzati, oltre che dal proprio valore ohmico, anche da un valore massimo di potenza dissipabile. Ciò significa che un resistore non può dissipare una potenza superiore a quella consentita da questo limite. Questo limite dipende dalle dimensioni geometriche e dalla forma del resistore, nonché dalle caratteristiche del materiale utilizzato per la sua costruzione; non dipende invece dal valore ohmico dello stesso resistore. Se venisse superato il valore massimo di potenza dissipabile il resistore, non potendo scambiare con l'ambiente circostante questo calore, andrebbe incontro ad un danneggiamento irreversibile (se tale condizione operativa risultasse prolungata nel tempo). I limiti superiori di potenza dissipabile dei resistori disponibili sul mercato sono:

1/8 W = 0,125 W; 1/4 W = 0,250 W; 1/2 W = 0,500 W; 1 W e oltre.

È prassi progettuale consolidata inserire nei circuiti resistori il cui valore massimo di potenza dissipabile sia prossimo al doppio della potenza effettivamente dissipata su di essi.

7. Il collegamento dei bipoli

7.1 Il collegamento serie

Due o più bipoli sono collegati in serie quando sono tutti attraversati dalla stessa corrente, cioè quando vengono collegati l'uno accanto all'altro come indicato in figura 15. In altre parole, si può affermare che il collegamento serie realizza un unico cammino di corrente - o ramo - tra due nodi di un circuito.

7.1.1 Resistori in serie

In base a questa definizione possiamo dire che n resistori risultano collegati in serie, tra i nodi A e B, così come indicato in figura 16, quando vengono attraversati dalla stessa corrente.


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Il circuito di figura 16 può essere sostituito da un circuito contenente un unico resistore, la cui resistenza, detta equivalente, deve soddisfare la relazione:

(7) RS = R1 +R2 + R3 + … + Rn

La sostituzione della serie di n resistori con il relativo resistore equivalente non altera la caratteristica ai nodi del collegamento serie e consente pertanto la semplificazione del circuito.

Poiché i resistori sono degli utilizzatori, la corrente che attraversa ciascuno di essi deve risultare entrante nel polo positivo, e pertanto la caduta su ciascuno deve assumere la polarità indicata nella figura 17.

7.1.2 Generatori di tensione in serie

Due o più generatori di tensione collegati in serie sono equivalenti ad un unico generatore di tensione, il cui valore VT si determina scegliendo prima una polarità di riferimento e poi sommando tutte le tensioni aventi polarità concordi con quella scelta e sottraendo invece tutte quelle aventi polarità discordi.

La polarità di riferimento, che sarà poi quella del generatore equivalente di tensione VT, coincide con quella dei generatori i cui valori, sommati tra loro, producono il valore più elevato.

Questa modalità di calcolo del generatore equivalente deriva dalla legge di Kirchhoff delle tensioni.

7.1.3 Generatori di corrente in serie

Due o più generatori di corrente possono essere collegati in serie se e solo se ogni generatore eroga la stessa corrente. In caso contrario, infatti, ogni generatore tenderebbe a imporre nell'unico ramo in cui è inserito il proprio valore di corrente, violando in tal modo la legge di Kirchhoff delle correnti, e inducendo malfunzionamenti in se stesso e negli altri generatori di corrente.

7.2 Il collegamento parallelo

Due o più bipoli sono collegati in parallelo quando ai loro capi risulta applicata la stessa tensione, cioè quando vengono collegati tra loro come descritto in figura 18.

In un collegamento parallelo, effettuato tra due nodi di un circuito, risultano presenti più rami. Ogni collegamento che unisce due nodi viene anche chiamato ramo o lato del circuito.


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7.2.1 Resistori in parallelo

In base alla precedente definizione, n resistori si dicono collegati in parallelo quando vengono connessi l'uno all'altro fra due nodi A e B come mostrato in figura 19.

Più resistori collegati in parallelo tra due nodi possono essere sostituiti da un unico resistore Rp, chiamato resistore equivalente parallelo, il cui valore di resistenza è determinato dalla seguente relazione:

(8) 1/Rp = 1/R1 +1/R2 +1/R3 +...+1/Rn

La sostituzione del parallelo di n resistori con il relativo resistore equivalente non modifica la caratteristica ai poli del collegamento parallelo e consente, pertanto, la riduzione della struttura circuitale.

La resistenza del resistore equivalente Rp di due resistori R1 ed R2 in parallelo viene determinata mediante la seguente relazione, ricavata dalla (8):

(9)

Sempre dall'equazione (8) si possono fare interessanti osservazioni. Ad esempio, il resistore equivalente Rp di due resistori R collegati in parallelo e di uguale valore, ha resistenza:

Rp = R/2

Il caso generico di n resistori R di uguale valore, collegati in parallelo, conduce ad un resistore equivalente di resistenza:

Rp = R/n

Si noti che il valore della resistenza del resistore equivalente parallelo è sempre inferiore al più piccolo valore tra quelli delle resistenze dei resistori in parallelo che lo determinano.

Il parallelo di n resistori viene talvolta indicato, per comodità, con la notazione:

Rp = R1 // R2 // R3 // . . . // Rn

7.2.2 Generatori di tensione in parallelo

Due o più generatori di tensione possono essere collegati in parallelo se e solo se ogni generatore fornisce la stessa tensione.

In caso contrario, verrebbe violata la seconda legge di Kirchhoff, e ciò produrrebbe dei transitori di corrente e di tensione tendenti a imporre l'uguaglianza delle tensioni in parallelo, provocando un conseguente danneggiamento dei generatori stessi.


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7.2.3 Generatori di corrente in parallelo

Due o più generatori di corrente collegati in parallelo equivalgono ad un unico generatore di corrente il cui valore IT si determina scegliendo un verso di riferimento per le correnti e quindi sommando tutte le correnti aventi verso concorde con quello scelto e sottraendo tutte le correnti aventi verso discorde.

Il verso di riferimento, che sarà poi quello del generatore equivalente di corrente IT, coincide con quello dei generatori i cui valori, sommati tra loro, producono il valore più elevato.

Questa modalità di calcolo del generatore equivalente deriva dalla prima legge di Kirchhoff.

8. I condensatori e gli induttori

Il simbolo circuitale del condensatore è riportato in figura 20a; quello dell'induttore è riportato nella figura 20b.

Il condensatore è un bipolo passivo caratterizzato dalla grandezza fisica capacità - indicata con C -,la cui unità di misura è il farad (F). In elettronica vengono impiegati condensatori che hanno capacità i cui valori oscillano generalmente da qualche µF a qualche pF.

L'induttore è un bipolo passivo caratterizzato dalla grandezza fisica induttanza - indicata con L -, la cui unità di misura è l'henry (H). Gli induttori impiegati in elettronica hanno induttanze i cui valori oscillano generalmente tra qualche mH e qualche µ H.

8.1 I condensatori

La relazione tra tensione e corrente ai capi di un condensatore è descritta, in termini di variazioni finite, dalla relazione:

(10)

In termini differenziali, e fisicamente più corretti, questa relazione viene descritta nel modo:

(11)

dove vc e ic rappresentano rispettivamente la tensione ai capi del condensatore e la corrente in esso

circolante; C è la capacità del condensatore. Si osservi che il verso e la polarità di vc sono quelli di un utilizzatore. Un condensatore, infatti, è un utilizzatore in grado di immagazzinare l'energia fornita da un generatore elettrico e di restituirla successivamente. Entrambe le equazioni evidenziano che la corrente circolante in un condensatore è prodotta da una variazione della tensione ai capi del condensatore stesso. Quindi, se non si verifica alcuna variazione di tensione, cioè quando ∆vc = 0, la corrente ic è nulla. Ne deriva che nei circuiti in regime continuo le correnti relative ai condensatori sono nulle. Pertanto, in questo regime, i condensatori si comportano come circuiti aperti.

8.1.1 Condensatori in parallelo

Due o più condensatori sono collegati in parallelo quando ai loro capi è applicata la stessa tensione, cioè quando vengono collegati tra loro come mostrato in figura 21.


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Si può dimostrare che il valore della capacità Cp del condensatore equivalente parallelo è la seguente:

Cp =C1 +C2 +C3 +...+Cn

8.1.2 Condensatori in serie

Due o più condensatori sono collegati in serie quando in essi circola la stessa corrente, cioè quando vengono collegati tra loro come mostrato in figura 22.

Si può dimostrare che il valore della capacità Cs del condensatore equivalente serie è la seguente:

L'energia immagazzinata da un condensatore nel proprio campo elettrico è la seguente:

espressa in joule (J) se C è espresso in farad (F) e V in volt (V).

8.2 Gli induttori

La relazione tra tensione e corrente ai capi di un induttore è descritta, in termini di variazioni finite, dalla relazione:

(12)

In termini differenziali, e fisicamente più corretti, questa relazione viene descritta nel modo:

(13)


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dove vL e iL rappresentano rispettivamente la tensione ai capi dell'induttore e la corrente in esso

circolante; L è l'induttanza dell'induttore. Si osservi che il verso di iL e la polarità di vL sono quelli di un utilizzatore. Un induttore è un bipolo in grado di immagazzinare l'energia elettrica fornita da un generatore (e restituirla in tempi successivi). Le equazioni (12) e (13) mostrano che la tensione ai capi di un induttore è prodotta da una variazione della corrente che attraversa l'induttore stesso. Se, quindi, non si verifica alcuna variazione di corrente, la tensione vL è nulla. Pertanto, nei circuiti in regime continuo, le tensioni ai capi degli induttori sono nulle. Quindi in tale regime gli induttori si comportano come cortocircuiti.

Si tenga presente, inoltre, che la tensione di un induttore prodotta da una variazione di corrente (e quindi del campo elettromagnetico) assume sempre una polarità tale da opporsi alla variazione di corrente che l'ha generata (legge di Lenz).

8.2.1 Induttori in parallelo

Due o più induttori sono collegati in parallelo quando ai loro capi è applicata la stessa tensione, cioè quando vengono collegati tra loro come mostrato in figura 23.

Si può dimostrare che il valore dell'induttanza Lp dell'induttore equivalente parallelo è la seguente:

8.2.2 Induttori in serie

Due o più induttori sono collegati in serie quando in essi circola la medesima corrente, cioè quando sono inseriti tutti sullo stesso ramo come mostrato in figura 24.

Si può dimostrare che l'espressione dell'induttanza Ls dell'induttore equivalente serie è la seguente:

Ls =L1 +L2 +L3 +...+Ln

L'energia immagazzinata da un induttore nel proprio campo elettromagnetico è la seguente:

espressa in joule (J) se L è espresso in henry (H) ed I in ampere (A).


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9. Metodi di analisi delle reti elettriche

Una rete elettrica attiva è l'insieme di più bipoli, attivi e passivi, variamente collegati. Una rete elettrica è lineare se e solo se tutti i bipoli ivi presenti sono lineari. Un bipolo è lineare se la relazione matematica che lega la tensione ai suoi capi con la corrente che vi circola è una relazione di primo grado nelle variabili V ed I.

Analizzare una rete elettrica significa determinare univocamente tutte le correnti nei rami, le c.d.t. presenti ai capi di ogni bipolo presente nella rete ed il valore della grandezza fisica associata ad ogni componente.

Esistono diversi metodi per analizzare una rete. Alcuni di questi sono generali, come le leggi di Kirchhoff, e non richiedono nessuna ipotesi. Altri, invece, sono applicabili esclusivamente a reti lineari.

9.1 Analisi di una rete per mezzo delle leggi di Kirchhoff

Questo metodo prevede la scrittura di un sistema di tante equazioni quante sono le incognite da determinare. L'applicazione della prima legge di Kirchhoff consente di scrivere tante equazioni quanti sono i nodi indipendenti della rete. Se indichiamo con n il numero complessivo dei nodi della rete il

numero di quelli indipendenti è pari ad n-1.

L'applicazione della seconda legge di Kirchhoff consente di scrivere tante equazioni quante sono le maglie indipendenti della rete. Se indichiamo con r il numero complessivo dei rami della rete il numero delle

maglie indipendenti è pari ad r -(n-1).

In tal modo la simultanea applicazione delle leggi di Kirchhoff ad una rete elettrica ci consente di scrivere un sistema di equazioni pari a:

n-1 + r -(n-1) = r

ovvero pari al numero dei rami della rete.

E' opportuno sottolineare che prima della scrittura delle r equazioni è necessario stabilire un verso, scelto arbitrariamente, per tutte le correnti del circuito. La risoluzione del sistema indicherà il valore delle intensità delle correnti che potranno risultare positive o negative. Le correnti positive fluiranno nel circuito con verso coincidente a quello prefissato, mentre quelle negative fluiranno nel circuito con verso opposto.

9.2 Riduzione di una rete

Una rete elettrica può essere ridotta (semplificata) per mezzo dell'individuazione sistematica dei collegamenti serie e parallelo e la sostituzione, di questi, con i relativi circuiti equivalenti. Successivamente si procede alla determinazione delle grandezze elettriche richieste.

9.3 II partitore di tensione

Una struttura circuitale come quella indicata in figura 25 viene chiamata partitore di tensione (da ripartire, suddividere), perché la tensione di alimentazione Vs si suddivide tra le varie resistenze in modo proporzionale al valore di ciascuna di esse.

Indicando con V i la tensione ai capi della generica

resistenza Ri, si ricava che:


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Poiché la resistenza equivalente serie del circuito dato è:

Rs = R1 + R2 + R3 +...+ Ri +...+ Rn

si ricava che:

9.4 Il ponte di Wheatstone

Una particolare struttura circuitale largamente utilizzata in molte applicazioni è il ponte di Wheatstone, il cui schema è quello riportato in figura 26.

Quando la tensione tra i nodi A e C è nulla si afferma che il ponte è in equilibrio (o bilanciato). Questa condizione si verifica quando la d.d.p. tra A e D è uguale a quella tra C e

D (avendo eletto D quale nodo di riferimento). Cioè quando:

VA = VC

Si osservi, inoltre, che il ramo costituito dalla serie R1 - R2

è in parallelo con il ramo R3 - R4. La tensione tra i punti B e

D, ancora, è quella del generatore VS. La tensione VA coincide con la c.d.t. su R1, mentre la tensione

VC coincide con la c.d.t. su R4. Tali tensioni sono determinabili mediante la regola del partitore di tensione. Cioè:

La condizione di equilibrio del ponte impone che sia VA = VC, e quindi:

cioè:

da cui, in definitiva:

(14)


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che viene definita come la condizione di equilibrio del ponte. Mediante il ponte di Wheatstone, ad esempio, è possibile determinare il valore di una resistenza incognita. Supponendo, infatti, che nella figura 26 R1 sia la resistenza di valore incognito e che R2 sia una resistenza variabile, è possibile risalire

al valore di R1 agendo su R2 fino al raggiungimento della condizione di equilibrio del ponte. In tale condizione vale l'equazione (14) dalla quale:

Ovviamente, R3 e R4 devono essere di valore noto e deve essere possibile conoscere il valore assunto da

R2.

9.5 II principio di sovrapposizione degli effetti

Il principio della sovrapposizione degli effetti si applica a reti attive e lineari (o linearizzabili) e stabilisce che la corrente in un ramo o la tensione tra due punti può essere calcolata sommando algebricamente le correnti in quel ramo o le tensioni tra quei due punti dovute all'effetto di ogni singolo generatore considerato operante separatamente.

Tale principio si rivela molto utile quando nella rete agiscono più generatori contemporaneamente, di tensione e/o di corrente, costanti e/o variabili nel tempo.

E' importante aggiungere una nota operativa all'enunciato del principio: per valutare gli effetti di un dato generatore bisogna annullare gli effetti prodotti dagli altri generatori presenti nel circuito. Ciò si ottiene cortocircuitando i generatori di tensione e aprendo i generatori di corrente. Una volta determinati gli effetti di ogni generatore, si procede alla loro sovrapposizione, sommando algebricamente le correnti e le tensioni.

9.6 Il teorema di Thevenin

Il teorema di Thevenin stabilisce che una rete elettrica lineare "vista" da una coppia qualsiasi di punti è equivalente a un circuito lineare composto da un generatore di tensione Veq in serie con una resitenza

Req, come mostrato in figura 27.

Tale circuito viene spesso indicato con la locuzione di generatore equivalente di Thevenin.

Ciò significa che il generatore equivalente di Thevenin presenta, alla coppia di poli considerata, lo stesso legame tensione-corrente presentato dalla rete elettrica originaria. Pertanto, il circuito di Thevenin e la rete data sono equivalenti.


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La resistenza di Thevenin Req è la resistenza offerta dall'intera rete, oppure, il che è equivalente, è la resistenza "vista" alla coppia di morsetti considerata guardando verso la rete (o la porzione di circuito) di cui si vuole ricavare l'equivalente. La tensione Veq è invece la tensione a vuoto tra tali morsetti.

Il valore di Req si determina annullando gli effetti di tutti i generatori presenti nella rete data e calcolando quindi la resistenza equivalente alla coppia di morsetti considerata della rete puramente resistiva così ottenuta.

Il valore di Veq si determina invece calcolando la tensione a vuoto presente alla coppia di morsetti considerata.

Si tenga presente che una stessa rete elettrica, "vista" da coppie diverse di suoi capi, risulta equivalente a differenti circuiti di Thevenin.

9.6.1 L'applicazione del teorema di Thevenin a una parte di circuito

Talvolta, per snellire l'analisi di una struttura circuitale complessa, può essere conveniente semplificarne la topologia determinando l'equivalente di Thevenin di una o più parti del circuito che si sta analizzando.

Ciò è possibile "scollegando" la porzione di circuito che interessa e calcolandone quindi, separatamente, cioè come circuito a sé stante, l'equivalente di Thevenin.

9.6.2 L'applicazione del teorema di Thevenin a circ uiti contenenti generatori comandati

Nei circuiti in cui sono presenti uno o più generatori dipendenti conviene applicare il teorema di Thevenin svolgendo la seguente procedura.

Si calcola Veq usando i vari metodi di analisi (come le leggi di Kirchhoff ed il principio della

sovrapposizione degli effetti) e si calcola Req con i seguenti tre passi:

• si annullano tutti i generatori presenti nel circuito tranne quelli pilotati; • si applica ai morsetti, rispetto ai quali deve essere determinato l'equivalente di Thevenin, un

generatore di tensione nota V; • si verifica se tale generatore impone oppure no nel circuito la presenza della grandezza (tensione

o corrente) che comanda il generatore dipendente; • se tale grandezza è presente, il relativo generatore dipendente deve essere considerato nel

calcolo di Req. Altrimenti il generatore dipendente deve essere annullato con le solite modalità (aperto se di corrente, cortocircuitato se di tensione);

• infine si calcola Req come rapporto tra la tensione V del generatore noto applicato esternamente e la corrente I erogata da questo stesso generatore. Ciò significa che:

Req = V/I

10. Segnali elettrici

Un segnale elettrico è la variazione di tensione tra due punti di una rete o la variazione di corrente all'interno di un conduttore. Il concetto di segnale, in elettronica, assume un significato particolarmente importante in quanto esso può rappresentare un veicolo di informazione. Facciamo un esempio. Consideriamo il segnale elettrico prodotto da un sensore di temperatura come l'AD 590. Si tratta di un sensore che fornisce una corrente di 1µA per ogni grado kelvin assunto dalla temperatura dell'ambiente

nel quale la sonda è immersa. Se, per esempio, l'ambiente si trova a 20°C, la sonda fornirà una corrente

di 293 µA (293 °K, infatti, corrisponde a 20°C). Quindi, dalla misura di questa corrente, noi avremo l'informazione relativa al valore della temperatura assunto dall'ambiente.


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Se poi riportiamo in un riferimento cartesiano la successione di queste misure con gli istanti di tempo in cui queste sono state effettuate abbiamo quella che viene definita forma d'onda del segnale (la figura 28 è un esempio di segnale di tensione).

Il ruolo svolto da un segnale elettrico quale veicolo di informazione può essere maggiormente rimarcato e, per così dire, esteso all'ambito delle comunicazioni sociali. Supponiamo,

infatti, di prendere in considerazione due persone che si trovano in due ambienti diversi e che intendono comunicare fra loro. Nell'ambiente dove risiede il primo individuo c'è un generatore di tensione collegato ad un resistore variabile. La serie di questi due bipoli viene poi estesa fin verso il secondo ambiente – dove risiede il secondo individuo - e collegata ad un amperometro (vedi figura 28a). Si viene così a stabilire un sistema di comunicazione. Il primo individuo, facendo variare la resistenza offerta dal resistore variabile, impone nel circuito la circolazione di una corrente di volta in volta differente. E così, il secondo individuo, leggendo sullo strumento il valore della nuova corrente, potrebbe associare, secondo un codice che i due dovrebbero aver prima concertato, un significato di volta in volta diverso.

E' utile a questo punto aggiungere un'ulteriore considerazione: se di un segnale elettrico si conosce in anticipo il valore che esso assumerà questi, in realtà, non è portatore di alcuna informazione. Un segnale, quindi, per essere tale dovrebbe innanzitutto essere sconosciuto. Nell'ambito della disciplina dell'elettronica, però, è invalso l'uso di denominare segnale qualunque forma d'onda: nota a priori o meno. Ed anche noi ci avvarremo di tale uso. Per distinguere queste due classi di segnali si usa aggiungere un aggettivo. Sono determinati, quei segnali la cui evoluzione nel tempo è nota a priori (se ne conosce la legge matematica o si dispone di una tabella di valori o di un grafico); sono invece indeterminati o aleatori o stocastici quelli il cui andamento nel tempo non è conosciuto a priori.

10.1 Classificazione dei segnali

Vi sono segnali periodici e segnali non periodici. I primi sono tutti quei segnali che ripetono il proprio andamento temporale in successivi intervalli eguali di tempo. Ognuno di questi intervalli è denominato periodo e viene indicato con il simbolo T. Il periodo, che rappresenta un intervallo di tempo, si misura in secondi. In figura 29 vi è qualche esempio di segnale periodico. Un'altra grandezza associata ai segnali periodici è la frequenza. Essa rappresenta il numero di oscillazioni complete che il segnale compie nell'unità di tempo. Si misura in hertz (Hz) ed è legata al periodo dalla relazione:

f = 1/T

Evidentemente per i segnali non periodici non è possibile affermare la stessa cosa. Sono certamente non periodici tutti i segnali aleatori (vedi figura 30).

Ma vi sono anche segnali non aleatori, cioè determinati, che sono però non periodici. Un esempio è costituito dai segnali a gradino, a rampa o esponenziale che analizzeremo in un paragrafo successivo.


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Un'altra caratteristica di classificazione dei segnali è la direzionalità. I segnali possono essere bidirezionali (o bipolari) e unidirezionali (o unipolari). E' bidirezionale un segnale la cui forma d'onda assume nel tempo sia valori positivi che valori negativi. Esempi di segnali bidirezionali sono quelli della figura 29. Nella figura 31, invece, vi sono segnali unidirezionali.

Oltre a caratteristiche qualitative vi sono anche parametri quantitativi che caratterizzano un segnale. Il valore di picco, tra questi, rappresenta il massimo valore che il segnale raggiunge in un periodo. Se è una tensione lo si indica con Vp e con Ip se è una corrente. Il valore di picco massimo che il segnale assume in un periodo viene anche indicato con il simbolo VMAX (IMAX se è una corrente). Mentre il valore di picco minimo viene indicato con VMIN (IMIN se è una corrente). La differenza tra il valore di picco massimo ed il valore di picco minimo viene anche chiamato valore

di picco-picco.

Il valor medio di un segnale rappresenta il valore che il segnale "mediamente" assume in un certo intervallo di tempo (t1, t2), con t1<t2, ed è così definito:

(15)

La figura 32 mostra il significato geometrico del valor medio. Cerchiamo di comprenderlo meglio. Sappiamo, dall'analisi matematica, che l'espressione:

rappresenta l'area che la funzione v(t) sottende con l'asse delle ascisse (in questo caso si tratta dell'asse t). Quest'area, nella figura 32, è formata, a sua volta, da due aree più piccole: una positiva, relativa all'intervallo (t1, t3), e

l'altra negativa, relativa all'intervallo (t3, t2). La somma algebrica di queste due aree è proprio ciò che abbiamo indicato con S. Confrontiamo ora quest'area con quella del rettangolo, che in figura 32, ha per base l'intervallo (t1, t2) e per altezza Vm. Imponiamo che l'area di questo rettangolo sia equivalente ad S. Da tale posizione, quindi, deriva che:

S = (t2 - t1) Vm

Da cui la definizione di valor medio. Quindi, geometricamente, Vm rappresenta l'ordinata che moltiplicata

per il segmento (t2 - t1) fornisce un'area che è uguale a quella individuata da v(t) nell'intervallo (t1, t2).

Il valor medio, quindi, è la media aritmetica di tutti i valori che v(t) assume nell'intervallo considerato.

Ora, essendo v(t) una funzione continua, il metodo classico per il calcolo della media aritmetica non è

applicabile (dovremmo sommare tutti i valori che v(t) assume nell'intervallo (t1, t2) e dividerli per il numero complessivo di tali valori). L'analisi infinitesimale ci viene quindi in aiuto fornendoci, per tale calcolo, la relazione (15).

Per i segnali periodici il calcolo del valor medio viene eseguito in un intervallo di tempo che coincide con il periodo T (è la scelta più naturale). Per cui la (15) diviene:

(16)


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Spesso il valor medio viene anche chiamato componente continua oppure offset.

Una particolare categoria di segnali impiegata in elettronica è quella dei segnali alternati (o alternativi). Si tratta di segnali a valor medio nullo. Un esempio è rappresentato dai due segnali di figura 33.

Un altro parametro quantitativo usato per caratterizzare i segnali elettrici è il valore efficace (o rms - root mean square -). Esso è definito come quel valore continuo (perciò costante nel tempo) che applicato ad una resistenza di valore noto produce la stessa dissipazione di potenza prodotta dal segnale variabile applicato alla medesima resistenza e per un eguale intervallo di tempo. Matematicamente lo si calcola con la formula:

(17)

Facciamo un esempio. Prendiamo un resistore di valore pari a 10Ω. Applichiamo un segnale di tensione variabile, v(t), il cui valore efficace, calcolato con la (17), supponiamo sia pari a 2.2V. Ora calcoliamo la potenza dissipata dal resistore:

P = V2/R = 0.484 W

Supponiamo, inoltre, che tale tensione venga applicata per 20s. L'energia spesa in questo intervallo di tempo sarà pari a:

∆W = P ∆t = 0.484 · 20 = 9.68 J

Questa è l'energia spesa sul resistore, nell'intervallo di tempo considerato, dal segnale variabile. La stessa energia verrebbe spesa se applicassimo ai capi dello stesso resistore, per un egual durata di tempo, una tensione costante di valore pari a 2.2V. Il valore efficace è quindi un equivalente termico.

10.2 I principali segnali periodici (canonici)

10.2.1 Il segnale sinusoidale

E' probabilmente il segnale più usato in elettronica. Lo si può immaginare come l'insieme delle proiezioni sull'asse delle ordinate di un vettore di ampiezza Vp che ruota in senso antiorario a velocità (angolare)

costante. Indichiamo con ω tale velocità, espressa in rad/s, e con α l'angolo che il vettore, istantaneamente, forma con l'asse delle ascisse.

Riportiamo in un grafico cartesiano l'insieme delle proiezioni determinate dal vettore rotante corrispondenti agli angoli a formati dal vettore con l'asse orizzontale (vedi figura 34). La forma d'onda che si ottiene è proprio il segnale sinusoidale. La sua espressione analitica è:

v(t) = Vp sinα


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con α espresso in gradi o in radianti. Ma dove sta il tempo t in questa relazione? Vediamo come legare α al tempo t. Se il vettore ruota con velocità angolare ω vuol dire che:

questa volta con α espresso in radianti dal momento che la velocità angolare ω viene espressa in rad/s.

Da questa relazione possiamo ricavare α:

α = ωt

e sostituire tale relazione nella v(t):

v(t) = Vp sin ωt

che chiarisce in che modo v dipende dal tempo. La velocità angolare ω viene anche indicata con la locuzione pulsazione angolare. Ed ora occorre far vedere il legame tra la pulsazione angolare, la frequenza ed il periodo.

Il vettore, nella sua rotazione, per fare un giro completo impiega un tempo pari al periodo T. Dal

momento che ω è una velocità costante possiamo scriverla considerando per α e t una qualunque coppia

di valori. Possiamo, ad esempio, considerare per α un angolo giro e per t il tempo impiegato dal vettore a coprire tale angolo:

Inoltre, dal momento che il periodo è l'inverso della frequenza, possiamo ulteriormente scrivere:

Se il vettore rotante all'istante t = 0 si trova in una posizione diversa da quella indicata in figura 34 e forma con l'asse delle ascisse un angolo, che chiamiamo φ, l'espressione analitica del corrispondente segnale sinusoidale diviene:

v(t) = Vp sin ωt + φ)

l'angolo φ, che si esprime in radianti, viene indicato come fase iniziale (o, più brevemente, fase) del segnale sinusoidale.

Graficamente la figura 35 mostra l'andamento di un tale segnale.

In conclusione, per poter determinare univocamente un segnale sinusoidale occorre conoscere: l'ampiezza (o il picco), il periodo (o la frequenza, o la pulsazione angolare) e la fase iniziale.

Si può dimostrare, infine, che per un segnale sinusoidale alternato il valor medio è nullo ed il valore efficace è:


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10.2.2 Il segnale impulsivo

E' un segnale a due livelli, uno nullo ed un altro positivo o negativo. La figura 36 mostra un segnale impulsivo. Si notano i due livelli, uno positivo e l'altro nullo, il periodo T e la

durata dell'impulso indicata con tw.

Per questo tipo di segnali viene specificato un parametro, il duty-cycle, espresso come rapporto tra la durata del livello alto ed il periodo:

Il duty-cycle, che è una grandezza adimensionale, essendo un rapporto tra due grandezze omogenee, viene anche espresso in percentuale.

Per caratterizzare un segnale impulsivo reale vengono introdotti alcuni parametri che danno una misura del tempo che la forma d'onda impiega per passare dal livello basso (lo zero) al livello alto e viceversa. Facciamo riferimento alla figura 37, nella quale è rappresentato un segnale impulsivo di ampiezza Vp e

periodo T.

Il tempo di salita, tr (rise time), è il tempo che il segnale impiega per passare dal 10% al 90% del suo

valore finale (ossia Vp).

Il tempo di discesa, tf (fall time), è il tempo che il segnale impiega per passare dal 90% al 10% del suo

valore finale (ossia Vp).

Anche la durata dell'impulso, già indicata con tw, deve essere riformulata dal momento che i fronti di salita e di discesa del segnale non sono più verticali. Essa corrisponde all'intervallo di tempo che intercorre tra l'istante in cui il segnale assume il 50% del valore finale passando dal livello inferiore a quello superiore, e l'istante in cui il segnale assume il 50% del valore finale passando dal livello superiore a quello inferiore.

I concetti di tempo di salita e tempo di discesa non sono riferibili solo ai segnali impulsivi. Essi vengono applicati per qualunque altro tipo di segnale.

Si può dimostrare che il valor medio di un segnale impulsivo è:

e quello efficace:


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10.2.3 Il segnale ad onda quadra

E' un segnale a due livelli che hanno la stessa durata. Può essere a valor medio nullo, cioè alternato, oppure con valor medio diverso da zero.

La figura 38 mostra entrambi i tipi di segnale ad onda quadra: quello alternato e quello unidirezionale.

Il valore efficace di un segnale ad onda quadra alternato è pari a Vp. Il valor medio di un segnale ad onda quadra unidirezionale è pari alla metà del valore di picco.

10.2.4 Il segnale ad onda triangolare

La figura 39 illustra il segnale triangolare in forma alternata ed in forma unidirezionale. Il valor medio del segnale alternato è, per definizione, nullo. Il valore efficace, invece, si può dimostrare che vale:

Il valor medio di un segnale ad onda triangolare unidirezionale è pari alla metà del valore di picco.

10.2.5 Il segnale a denti di sega

Fa parte dei segnali triangolari. Il segnale a denti di sega è costituito da un segnale che cresce linearmente e poi, arrivato ad un certo valore, scende bruscamente – idealmente in modo verticale – a

zero o ad un valore negativo per poi riprendere a

crescere linearmente con la stessa pendenza.

La figura 40 mostra il segnale a denti di sega in forma alternata e unipolare. Anche qui, come per il caso del segnale triangolare, il valor medio del segnale

alternato è nullo. Il valore efficace si calcola con la medesima formula utilizzata per il segnale triangolare.


pag. 25

10.2.6 Il calcolo del valore efficace per segnali c anonici non alternati

Per ricavare i valori efficaci dei segnali canonici non alternati si deve utilizzare la formula generale (17) (pag. 21). Diversamente è possibile utilizzare la seguente formula:

(18)

dove con Voeff si intende il valore efficace del corrispondente segnale alternato. Facciamo un esempio.

Consideriamo il segnale unipolare ad onda quadra di fig. 38. Supponiamo che esso abbia:

VM = 5 V e Vm = 2.5V.

Per calcolare il valore efficace di tale segnale possiamo applicare la (18). Prima, però, occorre valutare Voeff. Il corrispondente segnale alternato è un segnale ad onda quadra ottenuto dal segnale di partenza

al quale va sottratto il suo valor medio. E' quindi un segnale con ampiezza pari a 2.5V. Il suo valore efficace è pari a 2.5 V. Pertanto:

Allo stesso risultato si poteva pervenire considerando tale segnale come impulsivo con duty-cycle del 50%. Per tale tipo di segnale il valore efficace si calcola con la:

10.3 I principali segnali non periodici

Molto usati, in elettronica, sono anche alcuni segnali non periodici. In particolare essi sono il segnale a rampa, quello a gradino e l'esponenziale.

10.3.1 Il segnale a rampa

Il segnale a rampa è un segnale nullo per t<0 e ascendente o discendente con legge lineare e passante per l'origine per t>0. La figura 41 mostra il segnale a rampa positiva (o

crescente). La sua equazione, per t>0, è quella di una retta passante per l'origine ed avente coefficiente angolare positivo. Quindi:

con:

dove T è un generico istante di tempo e v(T)

è il valore che la rampa assume in corrispondenza di quell'istante.

Facciamo un esempio. Se all'istante t = 1ms la rampa

assume il valore di 5V la sua equazione sarà:

in quanto il coefficiente angolare vale:


pag. 26

La rampa può anche essere negativa, come quella mostrata in figura 42, ed in questo caso anche il suo coefficiente angolare sarà negativo.

10.3.2 Il segnale a gradino

Il segnale a gradino può essere unitario o di ampiezza diversa da 1. Può essere in salita o in discesa. Il segnale a gradino unitario in salita (spesso indicato u(t) ed illustrato in figura 43) vale:

0 per t<0 1 per t>0

Il segnale a gradino unitario, in discesa, vale:

1 per t<0 0 per t>0

Il segnale a gradino di ampiezza generica VM, in salita, vale (vedi figura 44):

0 per t<0 VM per t>0

Il segnale a gradino di ampiezza generica VM, in discesa, vale:

VM per t<0 0 per t>0

Il segnale a gradino di ampiezza generica si ottiene dal segnale a gradino unitario moltiplicando quest'ultimo per il valore dell'ampiezza:

v(t) = u(t) VM

10.3.3 Il segnale esponenziale

Molti sono i fenomeni, in fisica, che sono caratterizzati da un andamento esponenziale crescente o decrescente. E' il caso, ad esempio, della tensione ai capi di un condensatore che si carica attraverso una batteria ed un resistore (esponenziale crescente); o, sempre di un condensatore che, inizialmente carico ad una certa tensione, si scarica su un resistore (esponenziale decrescente).

La ragione del nome attribuito a questo segnale deriva dal fatto che la funzione utilizzata per descrivere tale segnale è proprio la funzione esponenziale:

y = ex

la cui curva è riportata in figura 45.


pag. 27

La base e corrisponde alla costante di Nepero (o di Eulero), è un numero irrazionale, usato quale base dei logaritmi naturali, e vale:

e = 2.7182818…

Dal grafico si vede che la funzione è sempre positiva, tende a zero per x tendente a - e tende a + per x che tende a + . Interseca l'asse delle ordinate nel punto y = 1.

La figura 46 mostra il grafico di una tensione esponenziale crescente la cui equazione è:

V0 rappresenta il valore limite della tensione per t che tende ad infinito; è invece una costante, che ha le dimensioni di un tempo, e rappresenta il tempo necessario all'esponenziale per raggiungere il valore del 63% circa del valore finale V0. Si può far vedere che dopo un tempo pari a 5 volte la costante di tempo la v(t) è praticamente uguale a V0.

La figura 47 mostra il grafico di una tensione esponenziale decrescente la cui equazione è:

V0 rappresenta il valore iniziale della tensione,

quindi per t=0. Anche qui è una costante, che ha le dimensioni di un tempo, e rappresenta il tempo necessario all'esponenziale per raggiungere il valore del 37% circa del valore iniziale V0. Anche in questo caso si può far vedere che dopo un tempo pari a 5 volte la costante di tempo la v(t) è praticamente uguale a zero.

Approfondimento

Dimostrazione della formula per il calcolo del valore efficace di un segnale periodico qualunque.

Vogliamo qui dimostrare la formula per il calcolo del valore efficace di un segnale periodico qualunque (formula 18, pag. 25). Un segnale, quindi, con componente continua Vm diversa da zero.

Supponiamo che v(t) sia un segnale periodico avente una componente continua che indichiamo con Vm,

Indichiamo con v0 il corrispondente segnale privo di componente continua. Si avrà, quindi:

v(t) = v0(t) + Vm


pag. 28

Calcoliamo il valore efficace di tale segnale applicando la formula 16 (pag. 21):

che possiamo anche riscrivere nella forma:

Il primo integrale corrisponde al quadrato del valore efficace di V0 – che chiameremo V0eff - ed il terzo,

sviluppato, conduce a Vm2. Quindi:

Si può ora far vedere che l'integrale sotto radice è nullo. Infatti:

in quanto, per ipotesi, v0 è un segnale alternato e quindi il suo integrale, nel periodo, è nullo.

Annullando, quindi, l'integrale sotto radice si ottiene la (18):

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