Elaborazione Numerica dei Segnali Musicali

Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 1 of 90

Elaborazione Numerica dei Segnali Musicali(v.8 2014-02-04)

Nicola [email protected]

Conservatorio di Musica “C.Pollini” – PadovaTecniche per la Multimedialita – Universita La Sapienza Roma

http://w3.uniroma1.it/master-multimedia/

Universita La Sapienza – Roma — A.A. 2007–2008

Copyright c© 2008 Nicola Bernardini <[email protected]>This work comes under the terms of theCreative Commons c© BY-SA 2.5 license

(http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/)

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FourierScomposizioneTrasformataDFT-FFTSTFTNumeri complessiDFT - dettagliFFT - dettagli


Analisi di Fourier (1)

All’inizio del XIX secolo, Fourier mise a punto il metodoper scomporre un fenomeno periodico in una serie difunzioni periodiche semplici.Al di la della formalizzazione matematica, lascomposizione avviene:

moltiplicando la funzione periodica per una funzionesinusoidale ad ogni frequenzacalcolando l’integrale (== l’area sottesa) tra −∞ e +∞della funzione risultante

Il risultato sara non-nullo soltanto per le frequenzecontenute dalla funzione.Il metodo si chiama scomposizione in serie di Fourier (oanalisi di Fourier)




Ecco cosa succede quando si moltiplicano due componentisemplici (sinusoidali o cosinusoidali) di frequenza diversa:

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

frq1 = 750frq2 = 952




Ed ecco invece cosa succede quando si moltiplicano duecomponenti semplici (sinusoidali o cosinusoidali) difrequenza identica:

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

frq1 = 750frq2 = 952



Trasformata di Fourier (1)

Quando il segnale non e del tutto periodico, vale a direquando:

la periodicita non e assoluta (segnali pseudo-periodici)il segnale e non-infinito

si prendono porzioni limitate del segnale e se ne simula laperiodicita: questa e la trasformata di Fourier.



Trasformata di Fourier (2)

La trasformata contiene quindi degli errori, i quali possonoessere minimizzati moltiplicando il segmento limitato peruna funzione detta finestra:

0.00000 0.01364 0.02727 0.04091

segnale originale

0.00000 0.01364 0.02727 0.04091

finestra (-cos(x))

0.00000 0.01364 0.02727 0.04091

segnale * finestra



DFT, FFT

Con un elaboratore e possibile realizzare delle trasformatedi Fourier discrete, sostituendo cioe all’integrale dellemoltiplicazioni una somma in un intervallo discreto e perun numero di campioni limitato. Tali trasformate sonodette Discrete Fourier Transforms o DFT.

Una versione ottimizzata delle DFT sfrutta le proprieta deinumeri binari e delle moltiplicazioni e/o divisioni per dueriducendo notevolmente la quantita di calcoli necessari.Queste trasformate sono chiamate Fast FourierTransforms o FFT. Le FFT sono realizzabili solo su unnumero di campioni (e per un numero di punti di analisi,cioe di frequenze) che sia una potenza di due.



Trasformata di Fourier

Un esempio reale:



La Short–Time Fourier Transform

se il segnale dura piu di qualche secondo, oppure se nonsappiamo quanto dura (ad es., nel caso dell’analisi intempo reale) e opportuno suddividerlo in sequenze piubrevi, opportunamente “finestrate”

per non perdere dettagli del segnale legati alla“finestratura” si sovrappongono le sequenze (ad es., con lefinestre di Hanning si usa una sovrapposizione di N

4 doveN e la grandezza della sequenza)

l’analisi e costituita da questa sequenza di analisi brevisovrapposte una all’altra

questa tecnica e chiamata Short–Time Fourier Transform(STFT)



Prima di procedere. . .

. . . piccolo ripasso dei numeri complessi



Numeri Complessi (1)

I numeri complessi sono una classe di numeribi-dimensionali, e cioe:

sono costituiti da due componenti, denominati parte realee parte immaginaria

questi numeri definiscono, geometricamente, un punto suun piano




θ

R

z

Asse Reale

Asse Immaginario

Figura: Il piano complesso




e possibile descriverli in due modi diversi:

coordinate cartesiane: z = x + iy (dove x = <z e y = =z)

oppure in coordinate polari: z = R∠θ dove ∠θ significa“l’angolo θ”




Proprieta dei numeri complessi:

nel caso particolare in cui <z = 0 e =z = 1, allora:z = 1× ∠pi

2

questo numero complesso particolare e denominato i epossiede le proprieta che seguono:

i × i = i2 = −1, e quindi

i =√−1, da cui derivano le regole aritmetiche dei numeri

complessi, poiche

trattando separatamente parti reali e parti immaginariez1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2), e

z1 × z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)



La formula d’Eulero (1)

Perche abbiamo bisogno dei numeri complessi?

Analizzando la serie infinita che approssima ez :

1 +z

1!+

z2

2!+

z3

3!+ . . .

e ponendo z = iθ, otterremo:

1 +iθ

1!+

(iθ)2

2!+

(iθ)3

3!+ . . .




raggruppando parti reali e parti immaginarie, otterremo laserie:

(1− θ2

2!+θ4

4!− . . .) + i(

θ

1!− θ3

3!+ . . .)

la parte reale di questa serie approssima cos(θ) mentre lasua parte immaginaria approssima sin(θ), quindi

e iθ = cos(θ) + isin(θ)

che e la Formula di Eulero




La formula di Eulero ci permette di dimenticare latrigonometria classica. Infatti:

A(cosθ + isinθ) = Ae iθ

quindi ez+w = ezew

e ea+ib = eae ib = ea(cosb + isinb)

ecc.



Fine della deviazione. . .

. . . torniamo all’analisi di Fourier.



La Discrete Fourier Transform (1)

Tecnicamemte, la Discrete Fourier Transform o DFT edefinita come segue:

X k =N−1∑m=0

xmWmk dove:

k = 0, . . . ,N − 1W = e−i2π/N

i =√−1



La Discrete Fourier Transform (2)

quindi:

X 0 =N−1∑m=0

xme−i2πm·0

N = x0e0 + x1e

0 + . . .+ xN−1e0

X 1 =N−1∑m=0

xme−i2πm·1

N = x0e0 +x1e

−i2πN + . . .+xN−1e

−i2π·N−1N

X 2 =N−1∑m=0

xme−i2πm·2

N =

x0e0 + x1e

−i2π·2N + . . .+ xN−1e

−i2π·2·N−1N

. . .

XN−1 =N−1∑m=0

xme−i2πm·N−1

N =

x0e0 + x1e

−i2π·N−1N + . . .+ xN−1e

−i2π·N−1·N−1N



La Inverse Discrete Fourier Transform (1)

Le sequenze xm e X k sono legate univocamente da unacoppia di trasformazioni:

La prima e quella che abbiamo visto, la trasformazione daxm a X k

La seconda e la trasformata inversa (o iDFT), vale a direla trasformazione da X k a xm:

yl =1

N

N−1∑k=0

X kW−lk



La Fast Fourier Transform (1)

Riprendiamo la nostra DFT di N punti:

X k =N−1∑m=0

xmWmk dove N non sia un numero primo

N puo quindi essere considerato come il prodotto di duefattori N = N1N2

possiamo ridefinire gli indici m e k cosı:

m = N1m2 + m1 per m1, k1 = 0, . . . ,N1 − 1k = N2k2 + k1 per m2, k2 = 0, . . . ,N2 − 1




m1 k1 m2 k2 m k

0 0 0 0 0 01 1 0 0 1 12 2 0 0 2 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .

N1 − 1 N1 − 1 0 0 N1 − 1 N1 − 10 0 1 1 N1 N1

1 1 1 1 N1 + 1 N1 + 12 2 1 1 N1 + 2 N1 + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .

N1 − 1 N1 − 1 N2 − 1 N2 − 1 N1N2 − 1 N1N2 − 1




ora sostituiamo gli indici nell’equazione della DFT

X k diventa XN2k1+k2

xm diventa xN1m2+m1

Wmk diventaW (N1m2+m1)(N2k1+k2) = WN1N2k1m2+m1k2+N1m2k2+N2k1m1

ovvero WN1N2k1m2Wm1k2WN1m2k2WN2k1m1

ma N1N2 = N, quindi WNk1m2 = 1 per qualsiasi k1 e m2

(poiche W = e−i2π/N , quindi(WN)k1m2 = (e−i2π)k1m2 = 1 per qualsiasi k1,m2)

quindi. . .




alla fine della sostituzione, otterremo quindi:

XN2k1+k2 =

N1−1∑m1=0

N2−1∑m2=0

xN1m2+m1WN2m2k2Wm1k1WN2k1m1

distribuendo le somme con gli indici, avremo la formafinale:

XN2k1+k2 =

N1−1∑m1=0

WN2m1k1Wm1k2

N2−1∑m2=0

xN1m2+m1WN2m2k2

il che significa che una DFT di lunghezza N1N2

corrisponde ad una DFT di dimensioni N1 × N2, ovvero aN2 DFT moltiplicate per N1 DFT




in pratica:

1 si calcolano N1 DFT di dimensione N2:

Ym1,k2 =N2−1∑m2=0

xN1m2+m1WN1m2k2

2 si moltiplicano le DFT cosı calcolate per i fattori ditwiddle: Ym1,k2W

m1k2

3 e X k e quindi ottenuto calcolando N1 DFT di N2 puntisulle N2 sequenze Ym1,k2W

m1k2




. . . . N2 . . . .

· Y 0,k2W0

· Y 1,k2Wk2

N1DFT × twiddle× Y 2,k2W2k2

· . . .

· Y N1−1,k2W(N1−1)k2




Una DFT di grandezza M richiede M2 moltiplicazioni,quindi . . .

. . . una DFT di grandezza M = N1N2 richiede N21N

22

moltiplicazioni




In una FFT ci sono:

N1 DFT di dimensione N2

N2 DFT di dimensione N1

N1N2 moltiplicazioni per i fattori di twiddleossiaN1N

22 + N2N

21 + N1N2 = N1N2(N1 + N2 + 1)

moltiplicazioni

che sono evidentemente molte meno che N21N

22




ad esempio:

per 256 punti, le moltiplicazioni di una DFT saranno2562 = 65536se la dividiamo di due sequenze da 128 –N1 = 128,N2 = 2, le moltiplicazioni saranno ridotte apoco piu della meta – 33536

se M e “molto divisibile” (ad es. potenza di due), lascomposizione si puo reiterare piu volte




N

K

N

K

N1 N2

K2

K1

N

K

N1 N2

K2

K1

Figura: La riduzione delle operazioni nella FFT

IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni

ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte


Introduzione alle Tecniche di Sintesi (1)

Le tecniche di sintesi dei suoni sono uno degli argomentifondanti dell’Informatica Musicale

Sin dall’inizio infatti, musicisti e ricercatori hanno cercatotecniche per la sintesi adatte alla musica e allacomposizione

La ricerca non e ancora conclusa, perche musicisti escienziati indagano, essenzialmente, su due linee ditendenza contrastanti:

I suoni piu attraenti dal punto di vista musicale sono suonicomplessi ed articolatiLa barriera della complessita impedisce di fare i necessarisalti di qualita musicali





Semplicita e controllo sono infatti due elementicompletamente divergenti nella sintesi dei suoni

Basta pensare all’esempio piu semplice: sintetizzare unsuono compilando a mano una lunga lista di numeri(44100 per ogni secondo!)

Quale sara il risultato?

Se non si segue nessuna regola, questo .





Il problema non e soltanto che il risultato e sempre esoltanto rumore bianco

Il problema e soprattutto che, sintetizzando suoni inquesto modo, possiamo disporre i campioni esattamentecome vogliamo. . .

. . . ma non abbiamo nessun controllo musicale reale sulprocesso di produzione:

se volessimo cambiar qualcosa, non sapremmo come farlo.





Potremmo allora scegliere delle regole semplici

Come, ad esempio, questa:

Y (t) = K (t)sin

(2πf

t

Tfc

)dove K (t) rappresenta l’ampiezza in funzione del tempo,f e la frequenza, Tfc e il periodo di campionamento

Questo e il risultato





Non e molto incoraggiante, ma indica una strada possibile

Le tecniche di sintesi sono quindi insiemi di regole e dialgoritmi che coniugano la completezza del controllo conla complessita del risultato




La Sintesi Additiva

La sintesi additiva consiste nel costruire i suoni con unasomma di oscillatori sinusoidali, ciascuno col proprioinviluppo di ampiezza e di frequenza:

Figura: Sintesi Additiva: schema di funzionamento




Principi di funzionamento

La sintesi additiva si basa sulla scomposizione in serie diFourier applicabile ai fenomeni periodici

Essendo i suoni pseudo-periodici, e possibile approssimarequesta scomposizione con sinusoidi modulate in ampiezzada un inviluppo (non-periodico)

La simulazione di suoni reali e ottenuta applicando uninviluppo anche sulla frequenza di ciascuna componente




Approssimazioni possibili

La scomposizione in serie di Fourier e infinita. Sono quindinecessarie una serie di approssimazioni:

In ambito numerico, la serie numerica va limitata allameta della frequenza di campionamento

Gli inviluppi possono essere approssimati ad una serie disegmenti (6-8)

Con queste approssimazioni ottime simulazioni di suonireali sono possibili (cf. ad esempio il Catalogo di Suoni diRisset)




La risintesi additiva

La ricostruzione di una forma d’onda a partire dalle suecomponenti armoniche sinusoidali si chiama trasformatainversa di Fourier

Con essa, e possibile approssimare qualsiasi forma d’onda,se se ne conoscono le ampiezze relative delle componentiarmoniche

Provare per credere. . .

Un altro esempio




L’Ampiezza delle Parziali

Alcune nozioni che regolano approssimativamente ilrapporto tra parziali e la forma d’onda risultante sono:

Le componenti piu acute generano cambiamenti piu rapidinella forma d’ondaRapporti semplici tra parziali generano forme d’ondasemplici




Componenti Acute

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 2000 4000 6000 8000 10000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 2000 4000 6000 8000 10000

Figura: Componenti Acute




Parziale Periodica

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

420 430 440 450 460 470 480

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 1 2 3 4 5 6

Figura: Rappresentazione Spettrale Statica




Parziale Pseudo-Periodica

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

420 430 440 450 460 470 480

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 1 2 3 4 5 6

Figura: Rappresentazione Spettrale Dinamica




Un Esempio di Sintesi Additiva




Rilevanza Musicale della Sintesi Additiva

Numerosi aspetti della sintesi additiva hanno rilevanza sulpiano musicale:

Staticita vs. Dinamicita dello spettroArmonicita vs. InarmonicitaCompressione, Dilatazione, TraslazioneRelazioni d’ampiezza fra le parziali




Staticita vs. Dinamicita

I suoni reali sono fenomeni pseudo-periodici

La scomposizione in serie di Fourier va adattata a questasituazione reale (va re-inserita una dimensione temporale)

Ciascuna parziale va modulata in ampiezza

Si introduce quindi il concetto di “flusso spettrale”




Armonicita vs. Inarmonicita

Non c’e soluzione di continuita tra spettri armonici edinarmonici:

In linea generale, gli spettri di suoni “armonici” reali sonoleggermente inarmoniciPiccole inarmonicita “regolari” aggiungono ricchezzaspettrale (ad es. compressioni, espansioni, ecc.)Alcuni spettri altamenti inarmonici suonano quasi armonici(inarmonıa con regole - ad.es. campane)




Compressione, Dilatazione, Traslazione

f

A

Traslatof

A

Dilatatof

A

Compresso

Figura: Compressione, Dilatazione, Traslazione




Problemi della sintesi additiva (1)

La sintesi additiva ha il problema del controllo. Larealizzazione di un singolo suono ha bisogno infatti di:

2 numeri (tempo e ampiezza) per ciascun segmentodell’inviluppo d’ampiezza (∼ 14 numeri per componente)2 numeri (tempo e frequenza) per ciascun segmentodell’inviluppo di frequenza (∼ 10 numeri per componente)




Problemi della sintesi additiva (2)

un numero di componenti variabile a seconda dell’altezzadel suono (ad es. il la sotto il do centrale richiede ∼ 100componenti)

Per cui, una nota di la sotto il do centrale descritta da∼ 2400 numeri




Soluzioni: il Filtro ad Eterodina (1)

Un filtro ad eterodina e essenzialmente un banco di filtripassa-banda che puo essere intonato su una particolarefrequenza fondamentale

f

A

Figura: Analisi con un Filtro ad Eterodina




Soluzioni: il Filtro ad Eterodina (2)

Un filtro ad eterodina puo essere utilizzato per rilevarel’inviluppo d’ampiezza delle singole componenti(eventualmente approssimandolo per segmenti con unainterpolazione lineare)

Con semplici tecniche adattive e possibile seguire anchel’andamento delle frequenze

Questa analisi permette di non generare manualmente inumeri necessari alla sintesi additiva




Modulazione d’ampiezza (1)

Si ottiene moltiplicando una funzione (detta portante) conun’altra funzione (detta modulante)

Nel caso della modulazione d’ampiezza, la funzione fmod

deve essere unipolare (cioe ymod(t) > 0)

La funzione sara quindi:

y(t) = [(1− Imod) + Imod fmod(t)]Aport fport(t)

dove Imod e l’indice di modulazione il cui ambito e0 < Imod <

Aport

2





La modulazione d’ampiezza di una portante sempliceprodurra il seguente risultato:

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 20 40 60 80 100

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5





La frequenza portante e contornata da due altrecomponenti collocate a frqport ± frqmod denominatebande laterali

L’ampiezza di queste componenti e data dalla seguenteespressione:

Abl = I2

Aport = Aport orig − 2Abl




Modulazione ad Anello (1)

La modulazione ad anello e una variante dellamodulazione d’ampiezza, nella quale la modulante ebipolare (oscilla cioe tra +n e −n)

In questo caso la componente portante si annulla erimangono solo le bande laterali




Modulazione ad Anello (2)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 50 100 150 200

-1

-0.5

0

0.5

1

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Figura: La modulazione ad anello




Modulazione di Frequenza (1)

Si ottiene moltiplicando la frequenza di una funzioneportante con una funzione modulante, ovverosia variandola fase della funzione portante con un’altra funzione:

y(t) = fport(ωport(t) + Iφ(ωmod(t)))

Nella modulazione di frequenza si creano un’infinita seriedi componenti che si trovano alle frequenze:

fport ± (kfmod) per k = 1, 2, . . . , n





Le ampiezze dellecomponenti dipendonodall’indice di modulazionesecondo le funzioni di Besseldel n − esimo ordine (per lan − esima componente):

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

PortanteComponente1Componente 2Componente 3Componente 4Componente 5

Figura: Funzioni di Bessel





L’indice di modulazione si ricava dal rapporto tradeviazione frequenziale ∆f (cioe, in pratica, dall’ampiezzadella modulante Amod) e la frequenza modulante fmod :

I =∆f

fmod=

Amod

fmod





Ecco il risultato di una modulazione di frequenza con irapporti fport = 20, fmod = 34, Imod = 0.1:

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

0 100 200 300 400 500

-1

-0.5

0

0.5

1

0 500 1000 1500 2000





Modulazione di Frequenza: prova su strada




Le Modulazioni Composte

Pro :

piu ricche delle modulanti semplici, menostereotipaterelativamente semplici da controllare

Contro :

risultati non semplici da prevederecomplessita crescente




Tipologie (1)

Portanti Multiple

Modulanti Multiple

Modulanti Modulate

Automodulazioni




Tipologie (2)

Portanti Multiple

ModulantiModulate

Modulanti Multiple

Automodulazioni




Portanti Multiple

Le modulazioni su portanti multiple sono l’equivalente dimodulazioni singole su segnali complessi:

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 100 200 300 400 500

fm=0.5fc

-1

-0.5

0

0.5

1

0 500 1000 1500 2000

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 100 200 300 400 500

-1

-0.5

0

0.5

1

0 500 1000 1500 2000




Modulanti Multiple

Le modulanti multiple sono l’equivalente di modulazionicon forme complesse su segnali semplici:

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 200 400 600 800 1000

fm1=3fc, f2=5fc, fm3=9fc

-1

-0.5

0

0.5

1

0 500 1000 1500 2000




Modulanti Modulate

Anche le modulanti modulate sono l’equivalente dimodulazioni con forme complesse su segnali semplici:

10-3

10-2

10-1

100

0 100 200 300 400 500

fm1=3fc, fm2=5fc, fm3=9fc

-1

-0.5

0

0.5

1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

La differenza tra modulanti multiple e modulanti modulaterisiede nelle modalita di variazione dinamica della formad’onda della modulante




Automodulazioni

E anche possibile modulare le modulanti con se stesse

Il risultato e di complessita crescente:

10-2

10-1

100

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

fml=3fc

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 200 400 600 800 1000

output

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 200 400 600 800 1000

modulante

DNLPrincipiChebychev

SottrattivaFiltriTipologie


La Sintesi per Distorsione

La distorsione puo rappresentare un metodo utile persintetizzare suoni o trasformare suoni gia esistenti

Pro:sintesi efficacecollega l’ampiezza con la forma d’onda(come accade in natura)

Contro:controllo non sempliceimpossibile cambiare dinamicamenteuna data combinazione armonica




Schema di Funzionamento (1)

Una funzione in ingresso viene distorta e nella distorsioneappaiono nuove componenti armoniche

La distorsione viene realizzata usando la funzione iningresso come puntatore della tavola di distorsione

A seconda del tipo di tavola di distorsione, e possibileottenere risultati piu o meno controllati




Schema di Funzionamento (2)

ingresso

uscita




Le funzioni di Chebychev (1)

Le funzioni di Chebychev sono funzioni di distorsione chepermettono di controllare con precisione le quantita dellecomponenti armoniche in uscita dal distorsore

Sono funzioni di ordine crescente: ogni polinomiopermette di controllare con precisione la presenza di unacomponente armonica

La combinazione lineare dei polinomi permette unaqualsiasi combinazione delle componenti armoniche inuscita





T = 2x − 12

2

T = x1 T = 4x − 3x

3

3

T = 8x − 8x + 14

4 2

T (x)= 2x T (x) − T (x)n−1nn+1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 1





Una combinazione lineare delle funzioni di Chebychevgenera la forma d’onda desiderata

h = 9, h = 3, h = 5, h = 7, h = 11 2 3 4 5

Spettro con ampiezze:

f(x) = 16x + 56x − 50x − x + 45 4 2

Funzione di distorsione:

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

−1 −0.5 0 0.5 1




La Sintesi Sottrattiva

Il principio della sintesi sottrattiva e il seguente:

prendendo sorgenti ricche di componenti parziali, simodella il suono attenuando regioni spettrali (il principiodella scultura)questa attenuazione puo avvenire in forma statica (fissa) oin forma dinamica (= che cambia nel tempo)

Con questo principio e possibile ottenere trame timbrichecomplesse e articolate

Questa modellazione avviene attraverso operazioni difiltraggio




Sorgenti Ricche (1)

Siccome la sintesi sottrattiva funziona per attenuazione, eimportante avere componenti parziali nelle zonedesiderate.




Sorgenti Ricche (2)

Forme d’onda adeguate possono essere . . .

forme d’ondaimpulsive:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

pulse wave

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

pulse fft




Sorgenti Ricche (3)


rumore (bianco):

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

noise wave

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

noise fft




Sorgenti Ricche (4)


. . . sorgenti reali . . .




Energia Spettrale

L’energia spettrale e, di fatto, il ”lavoro” svolto dal suononello spostare molecole d’aria

Per misurarla, si puo utilizzare l’area sottesa dall’inviluppospettrale

f

A




Variazione dell’Energia Spettrale (1)

La variazione dell’energia spettrale nel tempo e uno deifattori fondamentali della percezione di ”ricchezza” di unsuono

La capacita della sintesi sottrattiva di produrre variazionirapide e sostanziali dell’energia spettrale in manierasemplice e con pochi parametri la rende particolarmenteattraente

Tali variazioni vengono calcolate in dB/ottava




Variazione dell’Energia Spettrale (2)

Esempio: Variazione di -6 dB/Ottava

A(dB)

f(Hz)

0

−6

−12

−18

−24




Funzioni di Trasferimento

La funzione con la quale il filtro modifica lo spettro sichiama funzione di trasferimento

H(z)f

A

f

A

Filtro




Tipologie Semplici

Le tipologie piu semplici di filtri sono i filtri passa-alto ed ifiltri passa-basso:

A

fFiltro Passa−Basso

A

fFiltro Passa−Alto




Parametri dei Filtri

I parametri caratteristici di un filtro semplice sono:

la frequenza di tagliola larghezza di banda (anche detta fattore di qualita o Q)

A

f

2

1

Frequenza di Taglio

Larghezza di banda




Tipologie Composte (1)

Tipologie di filtraggio piu sofisticate possono essererealizzate collegando insieme filtri semplici

Tali connessioni possono essere in serie (cascata) oppurein parallelo

H (z)1

H (z)2

Filtri in serie

H (z)1

H (z)2

Filtri in parallelo




Tipologie Composte (2)

Componendo un filtro passa-alto ed un filtro passa-bassoassieme e possibile, ad esempio, realizzare filtripassa-banda e filtri elimina-banda:

Passa−Banda Elimina−Banda

Elaborazione Numerica dei Segnali Musicali

Engineering

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