Trasmissione numerica in banda passante -...

1 Fondamenti di Segnali e Trasmissione

Trasmissione numerica in banda passante


Finora abbiamo considerato il caso in cui le forme d’onda g(t), che trasportanol’informazione, sono direttamente inviate sul mezzo trasmissivo nella loro forma

originaria, ad esempio come impulsi che in ricezione soddisfino il criterio diNyquist (per avere ISI nulla) o come impulsi rettangolari.

In altri casi occorre adattare le forme d’onda alle caratteristiche trasmissive del

mezzo, conferendo ad esse, se possibile, una certa protezione contro i disturbiinevitabilmente presenti.

Così, per consentire la propagazione attraverso un mezzo trasmissivo con risposta

in frequenza in banda passante, l’informazione viene trasferita in bande di

frequenze spostate verso l’alto.

Questa traslazione in frequenza dello spettro del segnale in banda passante siottiene modulando, cioe’ variando, i parametri di un’onda sinusoidale ad una certa

frequenza, detta ‘portante’, in accordo con l’informazione da trasmettere.

Il parametro modulato sara’ l’ampiezza, o la fase o la frequenza, o unacombinazione di questi parametri.

La trasmissione in banda passante


f f0

Spettro del segnale in banda base

Spettro del segnale traslato

Per consentire la propagazione attraverso un mezzo trasmissivo con risposta in

frequenza in banda passante, l’informazione viene trasferita in bande di

frequenza spostate verso l’alto.

Questa traslazione in frequenza dello spettro del segnale, originariamente in

banda base, si ottiene modulando i parametri di un’onda sinusoidale ad una certa

frequenza (dette onda e frequenza portante) in accordo con l’informazione da

trasmettere.

La trasmissione in banda passante


Modulazione e Demodulazione

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )tmtftmtftmtfts

ffMffMfStftmts

fMtm

BPF

oo

Fourier

Fourier

→+=⋅=⋅

++−= →←⋅=

→←

...

00

2

0

0

4cos12cos22cos2

2

12cos

πππ

π

Xm(t)

cos(2πf0t)

X

2cos(2πf0t)

Filtro

Passa-Basso

m(t)

Modulatore Demodulatore

f

|M(f)|

f f0

-f0

|S(f)|

s(t)

Si noti che la modulazione

raddoppia la banda occupata


d La dimenzione d risulta dell’ordine di

grandezza della lunghezza d’onda λλλλ.

Un esempio classico di sistema di trasmissione in banda passante e’ la trasmissione

radio: per poter irradiare efficientemente l’energia elettromagentica che trasportal’informazione, l’antenna del trasmettitore deve avere dimensioni dell’ordine della

lunghezza d’onda (λ=c/f, c:velocità della luce) delle componenti spettrali delsegnale trasmesso.

Una frequenza di 1kHz corrisponderebbe ad una lunghezza d’onda λ=300 km !

E’ chiaro che, allora, è conveniente i segnali originari in alta frequenza.

f f0

• La trasmissione radio

Tre esempi di trasmissione in banda passante (1)



• La trasmissione multipla di

segnali a divisione di frequenza

0 f0 2f

0 f

Un altro motivo per traslare lo spettro dei segnali originari e’ quello di poter

trasmettere, ad esempio su una linea metallica, oltre ad un segnale in bandabase, altri segnali, traslando opportunamente gli spettri per evitare che

interfereriscano tra di loro.


• La trasmissione numerica

su linea telefonica

f [Hz]300 3400f0=1800

Si consideri infine il caso in cui si voglia trasmettere un segnale numerico su

una linea telefonica originariamente progettata per convogliare il segnaletelefonico analogico, che ha componenti spettrali comprese tra 300 e 3400 Hz.

Il canale telefonico presenta dunque una banda passante traslata, sia pur di poco,rispetto alla frequenza nulla: se si vuole trasmettervi impulsi binari con

componenti spettrali concentrate intorno alla frequenza nulla, occorre adottareuna tecnica di modulazione.



bk

ak

Rb=1/T

bR=1/T

kb

Il canale in banda passante e’ ipotizzato ideale, con banda B, centrata intorno alla

frequenza f0, tale da non introdurre distorsione sul segnale utile.

Il canale introduce rumore additivo gaussiano e bianco, con densita’ spettrale di

potenza N0/2.

Il ricevitore dovra’ realizzare le operazioni inverse del trasmettitore e minimizzare

gli effetti del rumore sulla stima dei simboli trasmessi ak.

ka

Schema del sistema di trasmissione digitale in banda

passante

Codifica g(t) ModulatoreCanale +

rumoreDemodulatore Decodifica

y(t)x(t)


Nei sistemi numerici, si tratta di trasmettere in banda passante una sequenza di

simboli emessi dalla sorgente, solitamente binaria, con ritmo di emissione

Rb=1/Tb [bit/s].

In molti casi si costruisce anzitutto un segnale in banda base x(t), cioe’ una

sequenza di impulsi di forma prefissata g(t), ad esempio rettangolare, con

ampiezze ak che possono variare tra M livelli, con ritmo R=1/T simboli/s, dove T

e’ il tempo di segnalazione. Tale segnale entra nel modulatore.

L’uscita del modulatore e’ un segnale y(t) che in ogni intervallo di segnalazione

di ampiezza T, al variare del valore di ak

(il pedice ‘k’ indica il generico istante

kT), assume uno tra M segnali in banda passante yi(t) (il pedice ‘i’ in questo caso

indica che gli impulsi sinusoidali elementari yi(t) possibili sono M, tanti quanti i

livelli di ak, ‘i’ varia tra 1 e M).

I segnali yi(t) si ottengono modulando, nell’intervallo di segnalazione, uno o piu’

parametri dell’onda portante al variare di ak.


Sistemi di modulazione binari

Ci sono tre principali metodi di modulazione binaria, noti con gli acronimi ASK

on-off, BPSK e Binary FSK.

Nella modulazione ASK on-off l’informazione binaria e’ trasportata

dall’ampiezza dell’onda portante che puo’ valere zero o A.

Nella modulazione BPSK, l’informazione binaria e’ trasportata dalla fase

dell’onda portante che puo’ valere zero o π. La modulazione BPSK si puo’

vedere come una modulazione d’ampiezza antipodale (ASK antipodale).

Nella modulazione di frequenza binaria, ai simboli ‘0’ e ‘1’ corrispondono

impulsi sinusoidali, di durata T, con frequenza rispettivamente f1 e f

2.

Nei grafici seguenti, si sono indicate con φ0 e φ

1 le fasi delle due onde portanti,

che in generale, saranno diverse.

Detta δf la deviazione in frequenza della modulazione, cioe’ la distanza tra le due

frequenze f1 e f

2, la frequenza f

1 sara’ uguale a f

0-δf/2, e f

2 sara’ uguale a f

0+δf/2.


Sistemi di modulazione binari

0 T 2T 3T 4T 5T

0

0 T 2T 3T 4T 5T

0

0 t 2T 3T 4T 5T

0

0 1 0 0 1

• ASK on-off

b=1 y1(t)=Acos(2πf

0t); 0<t<T

b=0 y2(t)=0.

• BPSK

b=1 y1(t)=Acos(2πf

0t); 0<t<T

b=0 y2(t)=Acos(2πf

0t+π)=-Acos(2πf

0t).

• Binary FSK

b=1 y1(t)=Acos(2πf

1t+φ0); 0<t<T

b=0 y2(t)=Acos(2πf

2t+φ1).

Detta δf=|f2-f

1|, risulta f

1= f

0 -δf /2; f

2= f

0+δf /2.

ff0

δf

f2f

1


Modulazione in fase e quadratura

(segnali complessi)


Modulazione per seno e coseno

Si consideri il segnale y(t) costituito dalla somma di due segnali x1(t) e x2(t) moltiplicati

rispettivamente per un coseno (modulazione in fase) e un seno (modulazione in

quadratura) alla stessa frequenza fo :

( ) ( ) ( ) ( )tftxtftxtyoo

ππ 2sin 2cos)(21

+=

I due segnali x1(t) e x2(t) sono reali con la medesima durata e con trasformata di

Fourier limitata nella banda tra -fx e + fx < f0.

Si dimostrera’ che x1(t) e x2(t) sono separabili a partire da y(t)

( )tfo

π2sin

)(ty

( )tx2

( )tx1

( )tfo

π2cos


Demodulazione per seno e coseno

Moltiplicando y(t) per il coseno a frequenza fo (operazione detta demodulazione coerente

in fase) si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftxtftxtx

tftftxtftxtfty

oo

oooo

ππ

ππππ

4sin 4cos

2cos2sin 22cos22cos)(2

211

2

2

1

++=

=+=

Questo segnale contiene 3 componenti di cui una sola, x1(t), a bassa frequenza. Dunque,

e’ sufficiente filtrare passa-basso y(t) moltiplicato per il coseno per ottenere x1(t).

Viceversa, moltiplicando y(t) per il seno a frequenza fo (demodulazione coerente in

quadratura) si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tftxtxtftx

tftxtftftxtfty

oo

oooo

ππ

ππππ

4cos 4sin

2sin 22sin 2cos22sin )(2

221

2

21

−+=

=+=

Questo segnale contiene 3 componenti di cui una sola, x2(t), a bassa frequenza.

Dunque, e’ sufficiente filtrare passa-basso y(t) moltiplicato per il seno per ottenere x2(t).


Schema del Mo-Demodulatore

( )tfo

π2sin

)(ty

( )tx2

( )tx1

( )tfo

π2cos ( )tfo

π2cos2

( )tfo

π22sin

Filtro PB

Filtro PB ( )tx2

( )tx1


( ) ( ) ( )tftftfooo

πππ 4sin 2

12cos2sin =

Si noti che seno e coseno moltiplicati tra loro non danno luogo a segnali a bassa

frequenza:

Una nota sui segnali ortogonali

Dunque, il prodotto tra seno e coseno filtrato passa-basso produce un’uscita

nulla. Per tale motivo i segnali seno e coseno sono detti ortogonali.

Piu’ in generale segnali di potenza finita sono detti ortogonali se il prodotto ha

valor medio nullo.

Segnali con energia finita sono detti ortogonali se l’integrale del prodotto e’

nullo.


Un modo piu’ compatto per riscrivere la stessa operazione di demodulazione

effettuata in precedenza, e’ quello di ricorrere ad una rappresentazione complessa.

Moltiplicando y(t) per l’esponenziale complesso a frequenza fo si scrivono in un colpo

solo sia la moltiplicazione di y(t) per il coseno sia quella per il seno:

( ) ( ) ( )tftyjtftytfjtyooo

πππ 2sin )(22cos)(22exp)(2 +=

( ) ( )tjxtx21

+

Le uniche differenze rispetto a prima sono che:

1 - il segnale e’ unico, ma complesso (prima ne avevamo due reali)

2 - la moltiplicazione per il coseno e’ sulla parte reale e quella per il il seno sulla

parte immaginaria.

Filtrando passa-basso il segnale complesso, si ottengono ancora le due componenti

x1(t) e x2(t), una come parte reale e l’altra come parte immaginaria del segnale

complesso :

Demodulazione complessa


Schema del Mo-Demodulatore complesso

( )tfo

π2sin

)(ty

( )tx2

( )tx1

( )tfo

π2cos

( )tfjo

π22exp

Filtro PB ( ) ( )tjxtx21

+

Si noti che anche la modulazione puo’ essere rappresentata matematicamente inmodo compatto usando il segnale complesso x1(t)+jx2(t). Infatti si ha:

( ){ }tfjo

π2(t))expjx(t)(xRey(t)21

−+=


Supponiamo che Ax1(t) e Bx2(t) siano i due segnali in “banda base” (cioe’

passabasso) a banda e durata limitata con ampiezza massima A e B in t=0.

-100 -50 0 50 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

B= -1

A= 1

x1(t) e x

2(t)

Un esempio (i segnali in banda base)


-100 0 100-1

-0.5

0

0.5

1

-100 0 100-1

-0.5

0

0.5

1

A valle del Modulatore per A=1 e B=-1 otteniamo i seguenti segnali

( )tfo

π2sin

)(ty

( )tx2

( )tx1

( )tfo

π2cos

-100 0 100-2

-1

0

1

2

Un esempio (i segnali modulati in fase e quadratura)


)(ty

( )tfjo

π22exp

Filtro PB ( ) ( )tjxtx21

+

-100 0 100

-2

0

2

Parte reale

Parte immaginaria

-100 0 100

-2

0

2

Parte reale

Parte immaginaria

Il filtro Passa-Basso elimina le componenti oscillanti delle parti

reale e immaginaria, lasciando passare il valor medio locale.

Un esempio (il segnale demodulato)

A valle del demodulatore (sempre per A=1 e B=-1 ) otteniamo il seguente segnale


Supponiamo che i due segnali x1(t) e x2(t) siano due seni cardinali (quindi a banda

limitata) con ampiezza massima A in t=0.

( ) ( )

≠

=+=+

0in 0

0in

21

n

njAAnTjxnTx

Abbiamo dunque ottenuto un numero complesso la cui parte reale e’ uguale al

massimo del segnale x1(t) e la cui parte immaginaria e’ uguale al massimo del

segnale x2(t).

A

-T Tt

x1(t) e x2(t)

-1/2T 1/2T

AT

f

Trasformata di Fourier

X1(f) e X

2(f)

Se campioniamo il segnale complesso x1(t) + j x2(t) a passo T, otteniamo:

Demodulazione complessa e campionamento


Naturalmente, se utilizziamo diversi valori di ampiezza dei seni cardinali, otteniamo

diversi numeri complessi.

( ) ( )( ) ( )

≠

=+=+

0in 0

0in 00

21

21

n

njxxnTjxnTx

Re(componente

in fase)

Im

(componente in

quadratura)

A

A

Nell’esempio qui a fianco, si mostrano i

M=25 numeri complessi che si possono

ottenere combinando 5 valori di

ampiezza del seno cardinale compresi

tra -2A e +2A sia sulla parte reale (x1(0))

sia su quella immaginaria (x2(0) ).

L’insieme dei valori complessi ottenibile

viene detta costellazione.

La struttura della costellazione puo’

avere forme differenti, ma solo alcune

vengono utilizzate in pratica come

vedremo piu’ avanti.

( ) ( ) AxAx == 0 ; 2-021

La costellazione di M valori complessi


La costellazione QAM a 16 livelli

Una costellazione molto utilizzata per la trasmissione di segnali numerici e’ quella della

Quadrature Amplitude Modulation (QAM) di cui si riporta l’esempio per M=16.

Nello schema qui a fianco, si mostrano i

M=16 numeri complessi che si possono

ottenere combinando 4 valori di

ampiezza del seno cardinale compresi

tra -3A e +3A a passo 2A sia sulla

parte reale (x1(0)) sia su quella

immaginaria (x2(0) ).

Un parametro importante (come si

vedra’ piu’ avanti) e’ la distanza minima

tra due valori complessi della

costellazione.

In questo caso, banalmente:

Re

Im

A

A

3A

3AAd 2

min=


La costellazione MPSK a 8 livelli

Un’altra costellazione molto utilizzata per la trasmissione di segnali numerici e’

quella della Multiple Phase Shift Keying (MPSK) di cui si riporta l’esempio per M=8.

Nello schema qui a fianco, si mostrano gli M=8 numeri

complessi che si possono ottenere combinando 4 valori

di ampiezza del seno cardinale x1(t) e 4 valori di x2(t)

Re

Im

Ad 76.0min

=

A( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )8/sin 8/cos

8/3sin 8/3cos

8/3sin 8/3cos

8/sin 8/cos

8/sin 8/cos

8/3sin 8/3cos

8/3sin 8/3cos

8/sin 8/cos

)0( )0( 21

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

−

−

−−

−−

−

−

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

xx


La costellazione MPSK

Una caratteristica importante della costellazione Multiple Phase Shift Keying e’ che il

modulo dei campioni complessi a valle del campionatore e’ costante.

In questo caso si tocca con mano

la maggior comodita’ della

rappresentazione complessa.

Gli M livelli si scrivono in modo

molto compatto:

Re

Im

Ad 76.0min

=

A

( )

Mn

M

njA

jxx

≤≤

−=

=+

1con

2exp

)0()0(

21

21

π

n=1

n=8

n=7n=6

n=5

n=4

n=3 n=2


Trasmissione numerica in banda passante (1)

Per ottenere una forma d’onda numerica da trasmettere in banda passante quindiè sufficiente modulare (in fase e in quadratura, per un completo uso della bandadisponibile). Dati due segnali numerici in banda base

x1(t)=Σa1k g(t-kT) e x2(t)=Σa2k g(t-kT)

si genera e si trasmette il segnale in banda passante

x1(t) cos(2πf0t) + x2(t) sin(2πf0t) = Σa1k g(t-kT) cos(2πf0t) + Σa2k g(t-kT) sin(2πf0t)

In ricezione si demodula in fase e quadratura: si riottengono i segnali in banda base(senza interferenza reciproca) e poi si procede come già visto.

Si potrebbero eseguire le correlazioni direttamente in banda passante, ma è più sempliceprocedere in due passi: demodulazione e correlazioni in banda base.

In pratica, data una sorgente binaria che emette ad un ritmo prefissato di R bit al secondo(segnali ak), i dati vengono suddivisi in due flussi di R/2 b/s (a1k e a2k) su ciascunasse. Si generano poi i segnali numerici in banda base e si modula in fase e quadratura.

Si osservi che la modulazione comporta un raddoppio della banda occupata, ma in bandabase la banda richiesta è dimezzata perché R è dimezzato. Dunque la trasmissione inbanda passante richiede esattamente la stessa banda della trasmissione in bandabase. Se non si utilizzassero entrambe le componenti in fase e quadratura la bandarichiesta raddoppierebbe.



Per quanto riguarda le prestazioni basta osservare che in presenza di rumore

gaussiano bianco la probabilità di errore non dipende dalla forma d’onda (né in

particolare dalla banda occupata) ma solo dall’energia. A parità di energia e

densità spettrale del rumore si ha esattamente la stessa probabilità di errore della

trasmissione in banda base (N.B.: non si dimentichi che g(t) cos(2πf0t) ha metà

dell’energia di g(t); per trasmettere la stessa energia per bit d’informazione occorre

moltiplicare l’ampiezza per la radice di 2).

Per essere del tutto convinti che nella trasmissione in banda passante non cambi

veramente nulla (per quanto riguarda la probabilità di errore) occorre mostrare che

i campioni del rumore ottenuti dalle due correlazioni (in fase e in quadratura) sono

statisticamente indipendenti. Per semplicità qui ci si limita ad affermarlo.

La trasmissione di dati sulle due componenti in fase e quadratura è quindi del tutto

indipendente (è come avere due mezzi trasmissivi separati!).



Se la trasmissione è binaria su entrambe le componenti (si dice anche “su entrambi

gli assi”) il “simbolo” a1k g(t-kT) cos(2πf0t) + a2k g(t-kT) sin(2πf0t) si può presentare in

quattro configurazioni. Analogamente se la trasmissione è a quattro livelli su ciascun

asse si hanno sedici possibili segnali corrispondenti a un simbolo. Si usa

rappresentare le possibili coppie (a1k,a2k) come “costellazioni” di punti su un piano,

ovvero di numeri complessi: infatti basta ricordare che

a1k g(t-kT) cos(2πf0t) + a2k g(t-kT) sin(2 πf0t)=Re{(a1k-ja2k) g(t-kT) exp(j2πf0t)}

Costellazioni QAM (Quadrature Amplitude Modulation):


Uso delle costellazioni di segnali complessi

Re

Im

A

A3A

3A

Utilizzando la modulazione in fase e quadratura, possiamo sovrapporre nella stessa

banda di frequenze M segnali che, una volta demodulati e campionati producono M

numeri complessi che formano la costellazione.

Possiamo associare agli M punti della costellazione una qualsiasi configurazione di

N=log2M bit che possono essere trasmessi contemporaneamente sullo stesso canale.

......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..

Ad esempio, se usiamo una costellazione QAM con

M=16 punti, possiamo trasmettere “simboli” di

N=log216=4 bit contemporaneamente sullo stesso

canale.

ATTENZIONE: il numero M di punti della costellazione

non e’ necessariamente legato al numero K di livelli del

segnale quantizzato.

Simboli di 4 bit


Filtro adattato e

campionatore

Schema del sistema di trasmissione

3A

......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..

Simbolo da 4 bit da trasmettere

Aa

Aa

k

k

3

3

2

1

=

−=

Im

A

A

3A

Re

( )tfo

π2sin

)(ty

( )tgak2

( )tgak1

( )tfo

π2cos

( )tfjo

π22exp

Filtro PB ( ) ( )tgjatgakk 21

+canale

( )tg

( )tg

ka1 ka2

AjAjaakk

3321

+−=+ ( ) ( )sksk

nTgjanTga21

+

Ts=NT e’ detto

tempo di simbolo


Effetto del rumore sommato al segnale ricevuto

Si consideri la trasmissione di simboli da N=log2M bit utilizzando un segnale g(t) scalato

con i coefficienti a1k e a2k come descritto nello schema del sistema di trasmissione.

Adottiamo la notazione complessa ck = a1k +j a2k.

Assumiamo che la trasmissione del segnale g(t) sia disturbata solamente dal rumore w(t)

introdotto dal canale, e cioe’ che al ricevitore, a valle della demodulazione complessa,

arrivi il segnale:

)()( twtgck

+

Il rumore w(t) introdotto dal canale modifica sia la componente in fase che quella in

quadratura del segnale desiderato ck g(t) e quindi e’ complesso.

Abbiamo gia’ visto che, campionando il segnale complesso ricevuto si ottengono i punti

della costellazione ck=ck g(0), in assenza di rumore.

L’addizione del rumore cambia il valore complesso ricevuto ck + w(nTs) . L’effetto di tale

cambiamento e’ uno spostamento nel piano complesso del valore ricevuto rispetto a ck .


Effetto del rumore sulla costellazione ricevutaIl rumore w(t) introdotto dal canale ha valor medio nullo e una distribuzione delle

ampiezze di tipo gaussiano sia sulla parte reale sia su quella immaginaria. I valori

misurati in prove ripetute si distribuiscono circolarmente attorno ai valori nominali cm .

I valori nominali ck della

costellazione 16-QAM

sono indicati con


Energia di simbolo ed energia di bit

L’energia associata ad ogni simbolo Es e’ data dall’energia Eg della forma d’onda g(t) ,

moltiplicata per il quadrato del modulo del punto della costellazione:

(C1= A+jA)

dmin

(C3= -A-jA) (C

4= A-jA)

(C2= -A+jA)

dmin

gks EcE2

=

Ad esempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM l’energia associata ad ogni simbolo vale:

gs Ed

E2

2

min=

Se il simbolo e’ formato da N bit, si puo’ dire che l’energia Eb associata

al singolo bit e’ uguale a quella di simbolo Es divisa per N.

Re

Im

MNN

EE

sb 2log ==

Ad esempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM l’energia

associata ad ogni simbolo vale:

42

2

min

gs

b EdE

E ==


Probabilita’ di errore nel caso 4-QAM

(A+jA)

dmin

(-A-jA) (A-jA)

(-A+jA)

dmin

Nel caso della costellazione 4-QAM La probabilita’ di errore di simbolo assume la semplice

espressione:

=

=

=

000

2

min 222

22

N

EQ

N

EQ

N

EdQP bsg

sym

Si noti che se si sbaglia un simbolo con uno vicino si

commette errore su uno solo dei 2 bit che compongono il

simbolo: la probabilita’ di errore del bit e’ la meta’ di

quella del simbolo.

=

=

00

2

N

EQ

N

EQP bs

b

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1410-12

10-10

10-8

10-6

10-4

10-2

Eb/N0 [dB]


Probabilita’ di errore nel caso M-QAM

Nel caso di una generica costellazione M-QAM (M=L2, costellazione

quadrata) la probabilità d’errore sul bit è data dalla seguente relazione:

−≅

=

−=

−=

==−

02

2

2

min

22

min

2

2

2

1

log3

6

1

23

12

2;

N

E

L

LQP

N

EE

EdL

EdL

E

LMQAMM

bb

sb

ggs

N


In banda passante si possono utilizzare anche costellazioni ottenute combinando

livelli non indipendenti sui due assi. Ad esempio la costellazione 8-PSK (Phase Shift

Keying) ha nel piano complesso otto punti con ugual modulo e con fasi equispaziate:

La costellazione 4-PSK coincide con la 4-QAM già vista (ed anzi è più nota con

questa denominazione). La costellazione 8-PSK può dare buone prestazioni solo in

sistemi di trasmissione che utilizzino anche dei “codici” (ma questo argomento è

tutt’altro che elementare). Costellazioni PSK con più di otto punti sono rarissime.

Costellazioni PSK

≈−

Msen

N

EQPPSKM

Sb

π

0

2:


Sistemi M-ASK

E’ possibile realizzare anche sistemi in cui viene utilizzata una sola

portante (seno o coseno) e tale portante viene modulata con un segnale

base che può assumere M livelli. In questo caso siamo in presenza di un

sistema multilivello (già analizzato) traslato in frequenza (intorno alla

frequenza f0).

M

EE

EdM

EdM

E

sb

ggs

2

2

min

22

min

2

lg

12

1

23

1

=

−=

−=

⋅≈

⋅≈

02

2

02

2

2

2lg32lg3

lg

2

N

E

M

MQ

N

E

M

MQ

MP

bb

b


Banda occupata per la trasmissione

Si consideri una sorgente binaria con una cadenza di R [bit/s] e la sua trasmissione su un

canale di tipo bassa-banda con banda B.

Per trasmettere un segnale g(t) del tipo seno cardinale senza interferenza intersimbolica a

passo di lettura T=1/R, e’ necessario che la banda B del segnale (e dunque quella del

canale) sia almeno pari a: (1/T). Il doppio rispetto alla trasmissione in banda base.

Nel caso si vogliano utilizzare forme d’onda a con trasformata a coseno rialzato si avrà:

B=(1/T)(1+αααα)=R(1+αααα), α fattore di roll-off .

Con una costellazione a M punti possiamo trasmettere contemporaneamente N=log2M bit.

Dunque in totale la banda necessaria alla trasmissione sarà:

B=(R/N)(1+αααα)


Confronto tra costellazioni

II sistemi di trasmissione numerici presentano diverse caratteristiche per quanto

riguarda l’utilizzazione della banda di canale B e la potenza di trasmissione

richiesta.

Si consideri una sorgente binaria con una cadenza di R [bit/s] e alla sua

trasmissione su un canale di banda B.

Definiamo come parametro di efficienza nell’utilizzazione della banda il

rapporto R/B [bit/s/Hz] detto efficienza di canale.

Abbiamo visto in precedenza che:

1- per trasmettere un segnale g(t) del tipo seno cardinale senza interferenza intersimbolica

a passo di lettura T, e’ necessario che la banda B del segnale (e dunque quella del canale)

sia almeno pari a 1/T.

2 -La cadenza di bit al secondo R e’ uguale a 1/T

3 - Con una costellazione a M punti possiamo trasmettere contemporaneamente N=log2M

bit.

Dunque, al massimo: MNB

R2

log==


Confronto tra costellazioni M-QAM e M-PSK

8

M-PSK

M-QAM

4

16

64

16 32

0 10 20 300

2

4

6

8

Lim

ite d

i S

hannon

R/B

(dB) 0N

Eb

510

−=

bP

I valori riportati su questo grafico sono decisamente peggiori di quelli ottenibili, anche in

pratica, utilizzando sistemi più efficienti per “codificare” i segnali da trasmettere.

Nei moderni sistemi di trasmissione numerica le prestazioni si avvicinano molto al limite

teorico individuato da Shannon già a metà del secolo scorso.

Per un dato valore di probabilita’ di errore di bit, e’ interessante riportare su un grafico,

l’efficienza di canale R/B ottenibile per diversi tipi di costellazione e il valore di Eb/No

che consente di ottenere la probabilita’ di errore fissata.


Potenza media ricevuta e trasmessa

Abbiamo visto che per garantire una certa probabilità d’errore è necessariogarantire una energia media per bit (E

b).

Ipotizzando un ritmo di trasmissione R=1/T, possiamo dire che sarà necessarioricevere una potenza media di segnale pari a:

Pr=E

b/T= E

bR

Ipotizzando inoltre un canale trasmissivo caratterizzato da una attenuazione (γ)costante nella banda di interesse possiamo ricavare anche la potenza intrasmissione:

Pt =P

r γ

Si ricorda che γ è in genere molto grande (>>1) si ha infatti γ=1/K dove K è ilguadagno (minore di 1) del mezzo trasmissivo.

Trasmissione numerica in banda passante -...

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