電気電子数学 II 課題３ 2016. 11. 11 K. Shibata

以下では，i, j, k はそれぞれ x 軸，y 軸，z 軸方向の単位ベクトル，r は位置ベクトル

€

r = xi + yj + zk とし、rは原点からの距離

€

r = r = x 2 + y 2 + z2 とする。

[1] (1)

€

ddt(A × B) =

dAdt

× B + A × dBdt

を示しなさい。

(2) ddt(A ⋅B) = dA

dt⋅B+ A ⋅ dB

dtを示しなさい。

(3) A ⋅ A= A 2となることを示しなさい。

(4) (2)と(3)を利用して，ある点が原点を中心に円運動(等速でなくても良い)をしている

場合，その位置ベクトル rと速度ベクトルv = drdtが直交することを示しなさい。

（ヒント：円運動をしているということは，位置ベクトル rの大きさが変化しない）

[2] 時刻 t によって周期的に変化するベクトル

€

r1(t) = (0,cosπt,sinπt)Tと定ベクトル

€

r2 = (1,1,1)T

があります。 (1) tを変化させた時の位置ベクトル

€

r1 で表される点の軌跡と

€

r2 を三次元空間上に図示しなさい。

(2) 位置ベクトル

€

r1 で表される点の運動がどのような運動か，一意に特定できるように述べなさい。

(3) この点の運動の角速度(角周波数)を答えなさい。 (4)

€

r1 ⋅ r2 および

€

r1 × r2 を求めなさい。 (5) tを変化させた時の

€

r1 ⋅ r2 および

€

r1 × r22 の値を、横軸を tとしてそれぞれ図示しなさい。

(6)

€

r1 ⋅ r2 および

€

r1 × r22 の最大値を求め，それぞれが最大値を取るすべての場合の

€

r1 を (1)で描いた図の中に示しなさい。

[3] 時刻 t によって周期的に変化するベクトル

€

r(t) = bcosπti + sinπtj (b: 定数) について，以下の問いに答えなさい。

(1) 速度ベクトル v，加速度ベクトル a を求め，aを rで表しなさい。 (2)

€

b = 2の際の

€

r(t) の軌跡を xy平面上に図示し，その形状を説明しなさい。

以下は，

€

b = 2，

€

t =1 の時について答えなさい。

€

t =14

の時(少々難)についても解いてみる。

(3) ベクトル r, v, aを求めなさい。 (4) 単位接線ベクトル tを求めなさい。 (5) 加速度ベクトル aのうち，単位接線ベクトル t方向の成分を求めなさい。 (6) 加速度ベクトル aのうち，単位接線ベクトル tと垂直な成分を、ベクトルの形で求めなさい。

(7) 単位主法線ベクトル nを求めなさい。 (8) 加速度ベクトル a を単位接線ベクトル tと単位主法線ベクトルnを用いて表しなさい。 (9) 曲率半径

€

ρ を求めなさい。