di Matteo Puzzle

Lautore grato a chiunque voglia segnalare eventuali imprecisioni, riportate in questo documento, o soluzioni alternative ai quesiti proposti; sono graditi commenti, suggerimenti e giudizi critici. Il presente documento pu essere copiato, fotocopiato, riprodotto, a patto che non venga altera lintegrit, la propriet dellautore e il contenuto stesso. Lautore non potr essere ritenuto responsabile per il contenuto e l'utilizzo del presente documento, declinandone ogni responsabilit.

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Matteo Puzzle 2.3 27 Luglio 2004 20 Ottobre 2004 .pdf

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PREMESSA

La matematica considerata dagli scienziati la regina delle scienze poich lunico e valido strumento per indagare, spiegare e capire ci che succede nella realt, sia microscopica (ad esempio latomo e le particelle che lo compongono), sia macroscopica (come il cosmo e i pianeti). Non esisterebbero le branche della scienza (fisica, chimica e biologia) e lingegneria (applicazione della scienza) se lumanit non avesse sviluppato, nel corso dei secoli, le strutture matematiche (assiomi, teoremi e dimostrazioni) che oggi permettono ad un computer di funzionare o ad un treno di partire in orario; ci non deve far pensare che la ricerca matematica sia conclusa, anzi, vero il contrario: gli studi nei vari settori (mi si permetta questo termine) della matematica proseguono, e in questo lungo e infinito cammino si aprono nuove porte che conducono ad altrettanti nuovi settori di indagine spesso completamente sconosciuti. A dimostrazione di quanto affermo, a titolo desempio, sufficiente pensare ai frattali, la cui recente scoperta (anni 70) da parte di Mandelbrot , ha introdotto un immenso e ignoto campo di indagine di cui difficile, se non impossibile, vederne i confini. Purtroppo nella societ in cui viviamo, la matematica (aritmetica, algebra, geometria, calcolo infinitesimale etc) relegata a poche ore settimanali nelle scuole medie e pochissime ore nelle scuole superiori, e come aggravante, spesso insegnata da persone che non hanno una idonea e valida preparazione in matematica. Quindi lo studente, nella maggior parte dei casi, vive la matematica tra i banchi di scuola come un mattone indigesto di cui non ne comprende lutilit, e si trascina cos preoccupanti lacune alluniversit e per tutta la vita, rimanendo convinto che la matematica non serva fondamentalmente a nulla se non a turbare la propria vita; ignorando magari che il telefonino cellulare, di cui sicuramente un geloso possessore, stato inventato grazie alla matematica, poich il fenomeno dellelettromagnetismo, che ci permette anche di fare una telefonata, descritto dalle equazioni di Maxwell. E essenziale sottolineare ulteriormente limportanza della matematica nel fare Scienza, e nelladempiere a questo compito necessario richiamare allattenzione il metodo galileiano, utilizzato in tutti i laboratori e centri ricerca del mondo. In breve, tale metodo, proposto da Galileo Galilei (insieme con di Isaac Newton sono considerati i padri della scienza moderna) prevede losservazione di un fenomeno (fisico, chimico, biologico etc) la successiva riproducibilit in laboratorio e lo sviluppo di un modello matematico che lo descriva; quindi la matematica ha un ruolo centrale nel produrre la conoscenza della realt, senza la matematica non possibile dimostrare o smentire ipotesi scientifiche e quindi far fare un passo in avanti allumanit. Sullimportanza della matematica se ne potrebbe discutere ancora per molto, ma mi fermer qui, e citer come esempio conclusivo ricordando che uno strumento valido, utilizzato dagli organismi internazionali, per valutare la preparazione e le potenzialit di un popolo sono le conoscenze che esso possiede in matematica. Vedi: http://matematica.uni-bocconi.it/losapevateche/losapevate-eis.htm In queste poche pagine cercher di mettere in evidenza limportanza della conoscenza di semplici concetti matematici nella risoluzione degli indovinelli. Poich i quesiti sono posti sottoforma di gioco, di ricreazione, il lettore non deve pensare che ci rappresenti una banalizzazione della matematica, anzi, come dice Carlo Bo nel suo ottimo sito web, la matematica ricreativa vera matematica, ha un'antichissima tradizione e il suo ruolo fondamentalmente educativo. Non solo, la matematica ricreativa basata su una vastissima collezione di problemi che hanno lo straordinario

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potere di generare entusiasmo, attenzione e curiosit nei confronti della matematica. E di sviluppare le abilit matematiche che sono in noi. I pi antichi problemi di questa tradizione risalgono al 3000 a.C. e tuttoggi se ne creano continuamente di nuovi. La maggior parte delle persone, che hanno talvolta portato i loro studi sino alluniversit, ignorano completamente lesistenza di questo aspetto della matematica, appunto ricreativo, come dice la parola stessa, ri-crea, ri-genera, fa rinascere. Ci un male, perch questa tipologia di problemi sviluppano la capacit di concentrarsi su un unico punto, aiutano a mettersi in contatto con il proprio inconscio cognitivo, e una volta risolti danno il senso della vittoria, di aver vinto una sfida. Nelle scuole primarie, elementari e medie, i problemi matematici di tipo ricreativo hanno il potere di scovare tra gli scolari gli autentici talenti e far divertire tutti e dimostrare che le noiose ore di matematica possono avere tante applicazioni, tra cui la risoluzione di un divertente indovinello! Alle superiori e soprattutto alluniversit, questo tipo di quesiti, possono diventare uno spunto interessante per gli esami di matematica, spesso eccessivamente improntati nella risoluzione manuale di un calcolo, che unoperazione meccanica, sterile ed sufficiente una calcolatrice grafico simbolica per svolgere tale operazione in pochi secondi! Linutilit di risolvere per ore limiti, derivate, integrali, serie etc evidente, le abilit individuali devono, invece e pi proficuamente, essere tese allimpostazione logica della soluzione di un qualunque problema! Credo che sia arrivato il tempo per aggiornare i programmi dei corsi di matematica (analisi 1 e 2, geometria e algebra, meccanica razionale etc) attraverso linserimento di analisi di problemi in cui labilit nello sviluppo di un procedimento risolutivo logico sia il cardine dellesame. Mentre si assiste a una forte valorizzazione della matematica, in tutti i suoi aspetti compreso quello ricreativo, nei paesi pi sviluppati come U.S.A. e Giappone, come fu precedentemente per lU.R.S.S. e tutto il blocco sovietico, ma anche nei paesi in via di sviluppo che hanno compreso limportanza della matematica nel progresso tecnologico e quindi economico, come Cina e India, il sistema scolastico italiano purtroppo responsabile di uno scarso impegno nellinsegnamento della matematica, con un conseguente impoverimento di cultura matematica in tutto il Paese. Va detto, per, che nel resto dellEuropa occidentale le cose non vanno meglio, le competizioni matematiche internazionali sono spesso vinte dai Paesi dellEst (ex blocco sovietico) e dai Paesi asiatici e gran parte dellinnovazione tecnologica, come gi detto prima, prodotta negli Stati Uniti e in Giappone. Al termine di questo documento riportata una ricca bibliografia rivolta a chi vuole approfondire gli aspetti della matematica, per addetti ai lavori e non; inoltre vi una raccolta di link di siti web attinenti alla matematica e alle sue infinite applicazioni, e un breve elenco di film in cui la matematica protagonista. Chiunque riesca a dotare di veste matematica un qualunque problema, arriver per passaggi logici ad una soluzione certa e far fare un passo, seppur piccolo, alla scienza, chi invece ripudia lo strumento matematico proceder per tentativi disordinati, magari invocando la fortuna o chiss quale altra divinit, perdendo una gran quantit di tempo e non giungendo ad alcun risultato utile ne per s ne per gli altri.

Matteo Puzzle matematicare@hotmail.com

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INTRODUZIONE ALLA RISOLUZIONE DEGLI INDOVINELLI

Tutti i 50 indovinelli proposti in queste pagine, sono risolvibili attraverso semplici conoscenze di analisi matematica e geometria; pi precisamente, sono state utilizzate nozioni basilari di algebra, matrici, serie numeriche e di funzioni, trigonometria, geometria euclidea, integrazione semplice e multipla, e derivazione semplice, parziale e direzionale. Alcuni dei quesiti proposti sono tratti da riviste, periodici nazionali e siti web, specificando di volta in volta la fonte, e i testi per esigenze grafiche e pratiche possono aver subito lievi modifiche; ad esempio, le unit di misura di problemi antichi sono state sostituite con unit di misura moderne e del sistema internazionale. Le soluzioni di quasi tutti i quesiti sono state sviluppate dallautore del presente documento, che si preoccupato di evidenziare laspetto matematico di ognuno dei quesiti non limitandosi a dare una risposta, ma ad approfondire i vari aspetti delle soluzioni che sono abbondantemente discusse; quando ci non avvenuto stato riportato il nome dellautore della soluzione dellindovinello e da dove tale soluzione tratta. Per aiutare il lettore, sono stati inseriti i passaggi intermedi pi significativi prima del conseguimento della soluzione dellindovinello proposto; tuttavia, invito il lettore a porre la sua attenzione principalmente sullimpostazione della soluzione, perch lo svolgimento dei calcoli spesso puramente tecnico e affidato talvolta ai calcolatori, lasciando cos poco spazio alla creativit individuale. Per poter impostare il procedimento risolutivo per poi giungere alla soluzione, auspicabile, in fase preliminare, elencare i dati contenuti nel testo dellindovinello; il passaggio successivo fondamentale, perch consiste nel passare dalla proposizione, contenuta nel testo dellindovinello, alla scrittura matematica mediante equazioni o, nel caso vi fossero figure, alla loro analisi geometrica; ci possibile dopo una attenta lettura del testo e dopo aver individuato le incognite e aver fatto considerazioni sugli ordini di grandezza. Spesso conveniente indicare anche i dati noti, oltre ovviamente lincognita, mediante variabili simboliche cos da trovare una soluzione globale adatta a risolvere almeno tutti gli indovinelli di una stessa tipologia; ci avvenuto, ad esempio, nella terna di indovinelli n34,35,36 ed anche in altri casi che non vi voglio anticipare. Comunque, una volta impostata, la soluzione si pu eseguire attraverso un calcolatore, o, nei casi pi semplici, un p di esercizio mentale non guasta! Questi indovinelli vogliono essere un spunto interessante per trovare unapplicazione alla matematica laddove sembrerebbe, a prima vista, non vi siano implicazioni. Molte delle soluzioni dei quesiti proposti, sono adatte ad essere risolte mediante un software di matematica (Derive, Maple, Mathematica, Scientific Workplace etc..) o con luso di calcolatrici grafico simboliche dotate preferibilmente di C.A.S. (Computer Algebra System), come le Texas Instruments (TI 89Titanium/Voyage200), Hewlett Packard (HP 49G+) e Casio (FX 2.0 Plus e ClassPad 300). In questo documento, i grafici sono stati tracciati utilizzando Maple e Derive, ed anche i calcoli sono stati elaborati, laddove era opportuno, con versioni recenti di questi due software. Per concludere questa breve introduzione, invito il lettore a consultare le soluzioni solo dopo aver impostato una sua soluzione logica che porti ad un risultato possibile. Ribadisco che il passaggio fondamentale limpostazione logica, e quindi rigorosa, della soluzione, ma, se il lettore dovesse sbagliare questo passaggio necessaria una rilettura attenta del testo dellindovinello cercando di riflettere prima di buttarsi in calcoli sconclusionati e illogici.

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Invece, una volta impostata una soluzione logica e corretta dei quesiti, un errore nella procedura dei calcoli assai meno importante e con lausilio di una semplice calcolatrice si pu rimediare allerrore. Tengo a precisare che il lettore non deve preoccuparsi se non riesce a risolvere tutti gli indovinelli, perch incontrare difficolt, soprattutto per i neofiti della matematica ricreativa, normalissimo; pi in generale, incontrare difficolt in matematica normale e come diceva il grande fisico premio nobel Albert Einstein: non preoccuparti delle tue difficolt in matematica, ti posso assicurare che le mie sono ancora molto grandi. In ultima analisi, vorrei invitare tutti a navigare sullottimo sito di Carlo Bo: http://utenti.quipo.it/base5/ Vi lascio con il disegno dellornitottero e una frase del grande Leonardo da Vinci buon divertimento!!

La scienza il capitano e la pratica i suoi soldati

Leonardo da Vinci da: L'uomo e la natura, Feltrinelli. 5

INDICE - I testi dei 50 indovinelli1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Lartista e la sua matita La pesca alle trote Tre amici allenoteca Le camere di un ospedale Let di Matteo e Sara Uno strano parcheggiatore La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 1 La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 2 La convergenza dei cerchi in un quadrato La convergenza dei cerchi in un triangolo isoscele Rotolando sui binari Larea interstiziale Le ruote del treno Gara tra solidi Il salvadanaio Il giocatore dazzardo Una pigna per una pallottola Larcipelago di Fantasilandia Luniverso di Fantasilandia Il filo per stendere i panni A Paola piacciono le ciliegie Somma e prodotto uguali Il figliol prodigo Lasino e il mulo Alice e Roberto La scala fra due torri Le due torri e la fonte Se tu mi dai una mano Un leone, un leopardo e un ghepardo Leredit dei 35 cammelli Il cavallo stanco Dilapidare la ricchezza Un filo intorno alla terra Se io avessi venduto tante uova come te Se io avessi venduto tante uova come te - Parte II Rompicapo bovino Il viaggiatore Il viaggiatore Parte II Cin Cin Una gallina e mezza Dieci sacchetti da dieci monete Traversate transatlantiche Tre rubinetti La botte che si svuota Gli ebrei in Egitto Adamo ed Eva La lumaca Quanto pesano i ragazzi? Loste disonesto e recidivo La scimmia e le noci di cocco

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INDICE Le soluzioni dei 50 indovinelli1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Lartista e la sua matita La pesca alle trote Tre amici allenoteca Le camere di un ospedale Let di Matteo e Sara Uno strano parcheggiatore La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 1 La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 2 La convergenza dei cerchi in un quadrato La convergenza dei cerchi in un triangolo isoscele Rotolando sui binari Larea interstiziale Le ruote del treno Gara tra solidi Il salvadanaio Il giocatore dazzardo Una pigna per una pallottola Larcipelago di Fantasilandia Luniverso di Fantasilandia Il filo per stendere i panni A Paola piacciono le ciliegie Somma e prodotto uguali Il figliol prodigo Lasino e il mulo Alice e Roberto La scala fra due torri Le due torri e la fonte Se tu mi dai una mano Un leone, un leopardo e un ghepardo Leredit dei 35 cammelli Il cavallo stanco Dilapidare la ricchezza Un filo intorno alla terra Se io avessi venduto tante uova come te Se io avessi venduto tante uova come te - Parte II Rompicapo bovino Il viaggiatore Il viaggiatore Parte II Cin Cin Una gallina e mezza Dieci sacchetti da dieci monete Traversate transatlantiche Tre rubinetti La botte che si svuota Gli ebrei in Egitto Adamo ed Eva La lumaca Quanto pesano i ragazzi? Loste disonesto e recidivo La scimmia e le noci di cocco

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Bibliografia Link utili La matematica al cinema

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Ho sempre pensato che il modo migliore per rendere la matematica interessante quello di presentarla come se fosse un gioco. A livelli superiori, specialmente quando la matematica applicata a problemi concreti, pu e deve essere terribilmente seria. Ma nessuno studente pu essere motivato a studiare, ad esempio, la teoria astratta dei gruppi dicendogli che la trover bella, interessante, o addirittura utile se diventer un fisico delle particelle elementari. Sicuramente il miglior modo per tenerlo sveglio quello di presentargli giochi matematici, puzzles, paradossi (...). Nessuno dice che un insegnante non debba fare altro che divertire i propri studenti. Deve esserci un interscambio tra seriet e divertimento: questultimo tiene desto l'interesse, mentre la seriet giustifica il divertimento. Alla fine, lo studente potr perfino essere sorpreso della quantit di matematica non banale che ha appreso senza neppure volerlo. Martin Gardner

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INDOVINELLO 1 Lartista e la sua matita (tratto dalla Settimana Enigmistica n 3677 del 14/9/2002 a pagina 35) Un artista usa 2 matite, una con la mina dura e unaltra con la mina tenera. Prima che inizi il disegno entrambe le matite sono di lunghezza identica. Quando lartista finisce il disegno, la matita con la mina tenera lunga di 1 cm pi della met della matita con la mina dura; poich esse si sono accorciate complessivamente (entrambe le matite) di una lunghezza pari a quella della attuale matita con la mina tenera, quanti cm di matita dura ha consumato lartista?

INDOVINELLO 2 La pesca alle trote (tratto dalla rivista Focus n 114 del Aprile 2002 a pagina 152) In un lago si sono tenute le finali di pesca alla trota tra Matteo, Marco, Luca e Giovanni. La gara stata vinta da Marco che, curiosamente, ha pescato la met delle trote complessivamente prese dai 4 concorrenti pi mezza trota; al secondo posto si piazzato Matteo, che riuscito a catturare la met delle trote rimaste (dopo aver tolto quelle pescate da Marco) pi mezza trota; Giovanni, terzo arrivato, ha preso allamo la met delle trote rimaste (dopo aver tolto quelle dei primi due piazzati) pi mezza trota; Luca, ultimo, si portato a casa le rimanenti 12 trote. Dato che le trote si pescano intere, quante trote hanno pescato rispettivamente i 4 partecipanti alla gara di pesca? E quante in totale?

INDOVINELLO 3 Tre amici allenoteca (tratto dalla rivista Focus n 97 del Novembre 2000 a pagina 190) Tre amici hanno comprato 3 bottiglie di vino ciascuno, spendendo 100 euro a testa. Ogni bottiglia stata scelta almeno una volta, tranne una che stata scelta tre volte; quale tra le 9 bottiglie, che hanno il seguente costo, stata scelte 3 volte? bottiglia 1 bottiglia 2 bottiglia 3 bottiglia 4 bottiglia 5 bottiglia 6 bottiglia 7 costo: costo: costo: costo: costo: costo: costo: 11 19 22 28 50 59 67

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INDOVINELLO 4 Le camere di un ospedale (tratto dalla Settimana Enigmistica n 3683 del 26/10/2002 a pagina 35) Il primo piano di un ospedale composto di dieci locali numerati da 1 a 10. Il locale n 2 destinato a ripostiglio, ma tutti glia altri sono camere per degenti. Le camere hanno un numero di letti compreso tra 2 e 5; soltanto in due di queste nove camere con letti, il rapporto fra il numero della camera stessa e il numero di letti che essa contiene, non un numero intero, ma frazionario. Il numero totale dei letti nelle camere pari supera di uno il totale di quelle nelle dispari. Qual il numero di letti per ognuna delle nove camere? Quanti letti in totale?

INDOVINELLO 5 Let di Matteo e Sara Fra tre anni Matteo avr il doppio dellet che Sara aveva tre anni fa, mentre ora il quadruplo degli anni di lui pari al quintuplo degli anni di lei. Se possibile determinarlo, qual let di Matteo e di Sara?

INDOVINELLO 6 Uno strano parcheggiatore Un parcheggiatore ha un tariffario un p particolare: chiede 1 per la prima ora di sosta, 0,5 per la seconda ora di sosta, 0,25 per la terza ora di sosta, 0,125 per la quarta ora di sosta e cos via. Ipotizzando che unauto rimanga in sosta per un tempo infinito, se possibile determinarlo, quanto avr guadagnato il parcheggiatore? Sar diventato infinitamente ricco?

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INDOVINELLO 7 La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 1 Qual larea % ricoperta dai cerchi inscritti nel triangolo equilatero, di lato AB = , che convergono nel vertice C?

INDOVINELLO 8 La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 2 Qual larea % ricoperta dai cerchi inscritti nel triangolo equilatero, di lato AB = , che convergono nei vertice A, B e C?

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INDOVINELLO 9 La convergenza dei cerchi in un quadrato Qual larea % ricoperta dal cerchio inscritto nel quadrato di lato AB = 2 r , e dagli infiniti cerchi che convergono nei quattro vertici del A, B, C e D?

INDOVINELLO 10 La convergenza dei cerchi in un triangolo isoscele Qual larea % ricoperta dai cerchi inscritti nel triangolo isoscele, in cui noto un lato ( AB = ) e un angolo ( ACB = ), che convergono nel vertice C?

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INDOVINELLO 11 Rotolando sui binari Due binari distano tra loro di una grandezza nota e costante k . Se una biglia perfettamente sferica di diametro d ( ovvia la condizione d > k ), poggiata su questi binari, rotolando senza strisciare ( ipotizzata la presenza del solo attrito statico, mentre il coefficiente di attrito dinamico dato nullo) compie un giro completo su se stessa, quanto sar avanzata lungo i binari?

INDOVINELLO 12 Larea interstiziale Quanto misura larea di colore rosso sapendo che le sette circonferenze, contenute nella circonferenza pi grande di diametro d , sono tutte uguali?

INDOVINELLO 13 Le ruote del treno (tratto dalla rivista Focus n 93 del Luglio 2000 a pagina 175) Un treno percorre 84,78 Km in 45 minuti a velocit costante. Se le ruote dei vagoni hanno il diametro di un metro, quanti giri al secondo compie ogni ruota e quanti giri compie in tutto? 14

INDOVINELLO 14 Gara tra solidi I soliti quattro amici, Matteo, Marco, Luca e Giovanni decidono di fare una gara che consiste nel far rotolare in un piano inclinato, di angolo (con 0 < < 90 ) in cui supposto lattrito trascurabile ( ipotizzata la condizione di rotolamento puro), quattro solidi rigidi e omogenei di massa M : 1) un cilindro pieno di raggio R e altezza k 2) un guscio cilindrico di raggio R e altezza k (tubo di spessore sottile e trascurabile) 3) una sfera piena di raggio R 4) un guscio sferico di raggio R (sfera cava dallo spessore sottile e trascurabile) Ciascuno dei quattro amici sceglier un solido tra questi (come indicato nella tabella sottostante), e vince la gara colui che ha il solido che per primo giunger in fondo al piano inclinato. concorrente solido scelto Luca cilindro pieno Marco guscio cilindrico Matteo sfera piena Giovanni guscio sferico Questi solidi, se lasciati rotolare contemporaneamente dalla stessa altezza h giungeranno alla fine del piano inclinato tutti nello stesso istante o in tempi diversi? Nel caso si verifichi la seconda ipotesi, chi vincer la gara? INDOVINELLO 15 Il salvadanaio (tratto dalla rivista Focus n 111 del Gennaio 2002 a pagina 116) Pino e Daniele sono due fratelli che hanno entrambi un salvadanaio. Lo rompono e ci trovano rispettivamente 20,80 e 69,46 . La mamma aggiunge di suo quanto ha nel borsellino in quel momento, dividendo esattamente la cifra in due. Curiosamente, dopo aver aggiunto i soldi regalati dalla mamma, Daniele si ritrova con una somma esattamente doppia di quella del fratello Pino. Quanto ha regalato loro la mamma? INDOVINELLO 16 Il giocatore dazzardo Un incallito giocatore dazzardo scommette 500 in una corsa di cavalli ove raddoppia tutti i suoi soldi. Nella giocata successiva perde 500 ; non soddisfatto entra in una sala da gioco e riesce raddoppiare tutto il suo denaro. Dopo aver perso nuovamente 600 si accorge di non aver pi soldi nel portafogli. Quanti soldi aveva inizialmente il giocatore? INDOVINELLO 17 Una pigna per una pallottola Da una altezza di 1,70 m un cacciatore spara un proiettile col suo fucile in direzione perfettamente orizzontale. Nel medesimo istante in cui la pallottola fuoriesce dalla canna del fucile alla velocit di 500 m/s, una pigna si stacca da un ramo dalla stessa altezza del fucile (1,70 m). Ipotizzando trascurabile lattrito con laria in entrambi i casi, chi per prima tra la pallottola e la pigna raggiunge il suolo? Quanto sar lunga la traiettoria (curva) percorsa dalla pallottola? 15

INDOVINELLO 18 Larcipelago di Fantasilandia Nellarcipelago di Fantasilandia ci sono quattro isole e sono molto belle. Queste quattro isole sono un p particolari; infatti hanno tutte la medesima superficie, e, la prima isola di forma perfettamente circolare, la seconda di forma quadrata, la terza di forma esagonale e lultima un triangolo equilatero. Tutte e quattro le isole sono in vendita. Un imprenditore vuole acquistare una di queste quattro isole perch vuole costruirci alberghi e altre strutture turistiche lungo la costa, cos vuole scegliere lisola che ha il maggior numero di Km di costa. Se fossi limprenditore, quale delle quattro isole dovresti scegliere?

INDOVINELLO 19 Luniverso di Fantasilandia Nell universo di Fantasilandia ci sono molti pianeti. Questi pianeti sono un p particolari perch hanno la forma di perfetti solidi geometrici e poi hanno tutti il medesimo volume. Per sfamare la popolazione dellintera galassia, il Consiglio Intergalattico ha deciso di sacrificare un pianeta delluniverso di Fantasilandia dedicando il 100% della sua superficie allagricoltura. Ora rimane da determinare quale pianeta sia pi conveniente a essere dedicato completamente allagricoltura, e quindi abbia la superficie maggiore. La scelta ricade tra i pianeti dalle seguenti forme: 1) Sfera 2) Cubo 3) Parallelepipedo formato da due cubi adiacenti 4) Cono equilatero 5) Cilindro equilatero 6) Tetraedro regolare 7) Esaedro regolare 8) Ottaedro regolare 9) Dodecaedro regolare 10) Icosaedro regolare Se fossi il Consiglio Intergalattico, quale tra questi pianeti sceglieresti?

INDOVINELLO 20 Il filo per stendere i panni Una casalinga deve mettere il filo per stendere i panni. Il filo pogger in due pali alla stessa altezza di 2 m, distanziati a loro volta di 5 m. Poich la casalinga vuole evitare di doversi inchinare quando passa sotto il filo, decide che il punto pi basso (rispetto al suolo) del filo, corrisponda alla sua altezza che 1,6 m. Affinch si verifichi ci, quanto dovr essere lungo il filo per stendere i panni?

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INDOVINELLO 21 A Paola piacciono le ciliegie (tratto dalla rivista Quark n 41 del Giugno 2004 a pagina 154) A Paola piacciono le ciliegie sotto spirito delle quali cos golosa che non sa proprio trattenersi. Un giorno le viene regalato un vaso di ciliegie preparato secondo una ricetta antica e sono talmente buone che il primo giorno ne mangia un terzo del totale, il secondo giorno un quarto del totale iniziale, il terzo giorno un quinto del totale. Al quarto giorno il vaso calato in modo preoccupante e rimangono solo 13 ciliegie. Quante ciliegie vi erano allinizio nel vaso? Quante ne ha mangiato in tutto Paola?

INDOVINELLO 22 Somma e prodotto uguali Esistono due numeri reali diversi tra di loro e non nulli, tali che hanno somma e prodotto uguali? Se si dire quali.

INDOVINELLO 23 Il figliol prodigo Un giovanotto ha ricevuto 1024 in regalo. Ogni giorno spende met di quello che possiede (approssimato allEuro). Dopo quanti giorni rimarr senza neanche un Euro?

INDOVINELLO 24 Lasino e il mulo Un asino e un mulo viaggiavano assieme, portando un carico di sacchi di grano (o otri di vino). Lasino si lamentava per il carico eccessivo. Il mulo gli disse: Di che cosa ti lamenti? Se tu mi dessi uno soltanto dei tuoi sacchi, io ne avrei il doppio di te. Ma se io ti dessi uno dei miei sacchi, ne avremmo tanti uguali. Dimmi, o sapiente lettore, quanti sacchi portava l'asino e quanti il mulo?(Dall'Antologia Greca, Epigrammi raccolti da Metrodoro)

INDOVINELLO 25 Alice e Roberto Alice e Roberto stavano confrontando le loro pile di monete. Alice disse: Se tu mi dessi un certo numero di monete della tua pila, allora io avrei il sestuplo delle tue monete. Se invece io ti dessi lo stesso numero di monete tu ne avresti 1/3 delle mie. Qual il pi piccolo numero di monete che Alice potrebbe avere?(David Singmaster, The Skoliad Corner of December 2001, Maritime Mathematics Contest 2001)

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INDOVINELLO 26 La scala fra due torri Due torri sono alte rispettivamente 20 m e 24 m, e distano 22 m luna dallaltra. In quale punto del suolo deve essere posata una scala in modo che, appoggiata alluna o allaltra torre, ne raggiunga esattamente la cima? Quanto deve essere alta la scala?

INDOVINELLO 27 Le due torri e la fonte Due torri alte rispettivamente 90 braccia e 80 braccia distano 100 braccia fra loro. Fra le due torri si trova una fonte in un luogo tale che se due uccelli uguali partissero contemporaneamente dalle cime delle due torri arriverebbero a bere alla fonte nello stesso istante. Chiedo, quanto dista la fonte da ciascuna torre? (si suppone che gli uccelli volino alla stessa velocit)(Gaspar Nicolas, Prtica D'aritmtica, 1519)

INDOVINELLO 28 Se tu mi dai una mano C da tosare lerba di un prato. Il padre dice al figlio: Se mi aiuti per 8 minuti, riuscir a tosare il prato in 20 minuti. Il figlio risponde: Se mi aiuti per 10 minuti, riuscir a tosare il prato in 15 minuti. Quanto tempo impiega ciascuno di essi a tosare il prato da solo?(Chuquet, 1484)

INDOVINELLO 29 Un leone, un leopardo e un ghepardo Un leone, un leopardo e un ghepardo hanno catturato una zebra e la stanno mangiando assieme. Il leone da solo impiega 4 ore per mangiare una zebra, il leopardo impiega 5 ore e il ghepardo 6 ore. Quanto impiegheranno, assieme, a mangiare la loro preda?(Fibonacci, 1202)

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INDOVINELLO 30 Leredit dei 35 cammelli Uno sceicco lascia in eredit 35 cammelli ai suoi tre figli. L'eredit dovr essere divisa in parti direttamente proporzionali a 1/2, 1/3 e 1/9, senza uccidere animali. Il notaio, inoltre, dovr ricevere un cammello come ricompensa per il suo lavoro di esecutore testamentario. Come andranno divisi i cammelli?(Richard A. Proctor, 1886)

INDOVINELLO 31 Il cavallo stanco Un cavallo ha percorso 700 Km in 7 giorni, dimezzando la sua velocit ogni giorno. Quanti Km ha percorso in ognuno dei 7 giorni?(Zhang Qiujian Suan Jing)

INDOVINELLO 32 Dilapidare la ricchezza Un uomo possiede inizialmente 1.000.000 e spende ogni giorno 1/10 di ci che possiede. Con quanti soldi rimane dopo 12 giorni? Quanto ha speso durante i 12 giorni?(Fibonacci. 1202)

INDOVINELLO 33 Un filo intorno alla terra Supponiamo la terra perfettamente sferica di circonferenza 40.000 Km, e un filo della stessa lunghezza che le giri tutto attorno allEquatore. Tagliamo il filo, aggiungiamogliene un metro, riannodiamo il tutto e lasciamo il nuovo anello a distanza costante dalla superficie. Pu un gatto passare tra il filo e la terra?

INDOVINELLO 34 Se io avessi venduto tante uova come te Due donne ovivendole, Alda e Berta, vanno al mercato e portano una determinata quantit di uova per ciascuna; inoltre la somma delle uova che hanno portato le due ovivendole di 100. Alda vende le sue uova al prezzo a un determinato prezzo cadauna, mentre Berta le vende a un altro prezzo cadauna. Dalla vendita di tutte le uova, le due donne ricavano la stessa cifra. Per Alda dice a Berta: Se avessi venduto tante uova come te, al mio prezzo, avrei ricavato 18 . Berta risponde: Se avessi venduto tante uova come te, al mio prezzo, avrei ricavato solo 8 . Quante uova ha venduto Alda e quante Berta? Quanto costavano cadauna le uova di Alda e Berta?(Simpson, Algebra - 1745)

19

INDOVINELLO 35 Se io avessi venduto tante uova come te - Parte II Due donne ovivendole, Alda e Berta, vanno al mercato e portano una determinata quantit di uova per ciascuna; inoltre la somma delle uova che hanno portato le due ovivendole un dato numero. Alda vende le sue uova a un determinato prezzo cadauna, mentre Berta le vende a unaltro prezzo cadauna. Dalla vendita di tutte le uova, le due donne ricavano la stessa cifra. Per Alda dice a Berta: Se avessi venduto tante uova come te, al mio prezzo, avrei ricavato una bella cifra! Berta risponde: Se avessi venduto tante uova come te, al mio prezzo, avrei ricavato meno di te. Esprimere il guadagno totale delle uova vendute da Alda e Berta in funzione delle due somme ricavate dalle ipotetiche vendite delle uova di Berta al prezzo delle uova di Alda e viceversa. In quale direzione, rispetto alle due variabili matematiche rappresentate dai guadagni ipotetici delle vendite delle uova di Berta al prezzo delle uova di Alda e viceversa, aumenta pi rapidamente il guadagno totale delle uova vendute da Alda e Berta? Con quale rapidit aumenta in tale direzione?(variante dellindovinello n34 di Simpson, Algebra del 1745, proposta dallautore de La matematica degli indovinelli)

INDOVINELLO 36 Rompicapo bovino Due allevatori, Aldo e Baldo, comprano rispettivamente una determinata quantit di mucche ciascuno, pagandole per lo stesso prezzo, cio 350 euro. Se Aldo avesse comprato al prezzo pagato da Baldo, avrebbe speso 250 euro. Quanto avrebbe pagato Baldo se avesse comprato al prezzo di Aldo?(McKay, At Home Tonight. 1940)

INDOVINELLO 37 Il viaggiatore Un uomo percorre 1, 3, 9, ... Km in giorni successivi. Continuando a questo ritmo, quanti Km percorrer in 5 giorni e mezzo?(Chuquet, 1484)

INDOVINELLO 38 Il viaggiatore Parte II Un uomo percorre 1, 3, 9, ... Km in giorni successivi. Continuando a questo ritmo, quanti giorni impiegher per fare il giro completo intorno alla Terra? Ipotizzando che mantenga una velocit costante, quanto tempo impiegher per fare il giro della Terra? Si ricorda che un giro completo della Terra pari a 40.000 Km.(variante dellindovinello n37 di Chuquet, proposta dallautore de La matematica degli indovinelli)

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INDOVINELLO 39 Cin Cin In una tavolata di dieci persone quanti cin cin vengono fatti se ognuno lo fa con ciascun altro una sola volta?

INDOVINELLO 40 Una gallina e mezza Se una gallina e mezzo fa un uovo e mezzo in un giorno e mezzo, quante uova far una gallina in sei giorni?

INDOVINELLO 41 Dieci sacchetti da dieci monete Ho dieci sacchetti contenenti ciascuno dieci monete; in uno di questi sono contenute monete di peso 0,1 g ciascuna, nei rimanenti nove sono contenute monete di 1 g ciascuna. Come posso individuare con una bilancia ad un solo piatto, con una sola pesata e senza l'aiuto di altri fattori in quale sacchetto sono contenute le monete che pesano di meno?

INDOVINELLO 42 Traversate transatlantiche (tratto dalla rivista Leducazione matematica n 3 Ottobre 2003, anno XXIV serie VII vol.1, pagina 25) Si supponga che ogni giorno a mezzogiorno, un transatlantico parta da Le Havre per New York, e che nello stesso tempo un transatlantico della stessa compagnia parta da New York per Le Havre. La traversata si effettua esattamente in sette giorni, sia in un senso che nellaltro. Il transatlantico che parte oggi a mezzogiorno da Le Havre quante navi della stessa compagnia che effettuano il percorso in senso inverso incontrer?(del matematico Edouard Lucas e pubblicato da Laisant nel 1909)

INDOVINELLO 43 Tre rubinetti Abbiamo tre rubinetti. Il primo riempie una vasca in un certo tempo. Il secondo riempie la vasca in met tempo rispetto al primo. Il terzo riempie la vasca in un terzo del tempo rispetto al primo. I tre rubinetti, aperti assieme, riempiono la vasca in 2 minuti. Quanto tempo impiega ciascun rubinetto singolarmente?

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INDOVINELLO 44 La botte che si svuota Una botte contiene una quantit di vino pari a 9,5 barili. Il suo contenuto viene trasferito nei barili in modo tale che: il primo barile si riempie in 1 ora; il secondo barile si riempie in 2 ore; il terzo barile si riempie in 4 ore; e cos via, raddoppiando ogni volta il tempo. Quanto tempo necessario per svuotare la botte?(Chuquet, 1484)

INDOVINELLO 45 Gli ebrei in Egitto Si parte con 210 persone. Ogni 25 anni, la popolazione triplica. Quante persone ci saranno dopo 225 anni?(Ozanam, 1778)

INDOVINELLO 46 Adamo ed Eva Si parte con una coppia: Adamo ed Eva. Supponiamo che la popolazione umana raddoppi ogni 20 anni. La bibbia ci dice che Adamo visse 900 anni. Quanti nipoti, pronipoti, etc. pot vedere Adamo circa alla met della sua vita, cio quando aveva 500 anni? Si tenga presente che Adamo ebbe il primo figlio a 100 anni.(Ozanam, 1778)

INDOVINELLO 47 La lumaca Una lumaca si arrampica lungo la parete di un pozzo umido, buio e profondo 5 m. Ogni giorno sale di 3 m ed ogni notte, mentre dorme, scivola verso il basso di 2 m. Dopo quanti giorni la lumaca potr uscire dal pozzo?

INDOVINELLO 48 Quanto pesano i ragazzi? Aldo, Baldo, Carlo, Diego e Franco pesano assieme 213 kg. Aldo e Baldo pesano assieme 78 kg Aldo e Carlo pesano assieme 84 kg Aldo e Diego pesano assieme 67 kg Aldo e Franco pesano assieme 89 kg Quanto pesa ciascuno di essi?

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INDOVINELLO 49 Loste disonesto e recidivo Un oste disonesto e ubriacone beve 6 litri di vino da un barile che ne contiene 360 litri e li sostituisce con acqua, in modo che nessuno si accorga del prelievo. Dopo una settimana ripete la malefatta. Dopo unaltra settimana la ripete di nuovo. Quanto vino ha bevuto loste disonesto?(Les Amusemens. 1749)

INDOVINELLO 50 La scimmia e le noci di cocco Cinque marinai naufragano su un'isola semideserta (semi-, perch c' una scimmia). Durante la giornata raccolgono un mucchio di noci di cocco, per dividersele tra di loro il giorno dopo. Durante la notte, per, uno si sveglia e decide di prendersi la sua parte in anticipo: fa cinque mucchi uguali, vede che avanza una noce, la d alla scimmia e nasconde la sua parte. Il secondo marinaio si sveglia poco dopo, va al mucchio (pi piccolo) e fa esattamente la stessa cosa: anche stavolta rimane una noce per la scimmia. Lo stesso fanno a turno gli altri tre: tutte le volte avanza una noce per la scimmia. Il mattino dopo, tutti vedono che il mucchio pi piccolo, ma avendo la coscienza sporca stanno zitti. Fanno la divisione, e di nuovo avanza una noce data alla scimmia. Qual il numero minimo di noci che i marinai avevano raccolto?Nota storica: Questo problema stato pubblicato (per la prima volta?) da Ben Ames Williams in The Saturday Evening Post nel 1926 e pi recentemente ripreso da Martin Gardner nel libro Enigmi e giochi matematici 2.

23

24

INDOVINELLO 1Lartista e la sua matita

SEGMENTO AB CD DE FG GH HL MN

VALORE

LEGENDA Lunghezza iniziale delle matite: la medesima sia per quella dura D sia per quella tenera T Lunghezza finale (dopo aver finito il disegno) della matita con la mina dura Lunghezza di mina dura consumata Lunghezza finale (dopo aver finito il disegno) della matita con la mina tenera Differenza di lunghezza tra la matita dura e tenera dopo aver finito il disegno Differenza tra la lunghezza iniziale delle matite e la lunghezza della matita dura dopo aver finito il disegno Differenza tra la lunghezza iniziale delle matite e la lunghezza della matita tenera dopo aver finito il disegno

= D = T 'Dx

'T ' D 'T 'D 'T

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Considerazioni preliminari: = D = T ' > D ' > T DE = HL = ' = x D 1a condizione fornita dal problema:

+1 2 implicazioni alla 1 condizione:GH = D T ' '

T ' =

D '

D '2 1 2

1

D ' > T ' D '2 1 > 0 D ' >

2a condizione fornita dal problema: ( D ' ) + ( T ' ) = T ' sistema risolutivo: ' D ' +1 T = 2 ' = D + x ' ' ' D + T = T

(

) (

)

inserendo i valori della 1a e 2a equazione nella 3a si ottiene una sola equazione di 1 grado in cui

D '

si elide:'

(

' D

+ x D

)

' ' ' D + x D + 1 = D + 1 + 2 2

diventando: 2 x 1 = 1 risultato finale: x =1

La mina dura consumata dallartista sar pari a 1 cm.

26

INDOVINELLO 2La pesca alle trote

x y z tQ

Numero di trote pescate da Matteo Numero di trote pescate da Marco Numero di trote pescate da Luca Numero di trote pescate da Giovanni Numero totale di trote pescate dai quattro concorrenti

considerazioni preliminari: x+ y + z +t = Q x+ y+t Q = z Q> y > x>t > z condizioni fornite dallindovinello: Q 1 y= + 2 2 1 x =Q y+ 2 1 t =Q yx+ 2 z = 12 Le incognite da calcolare sono x , y , t e Q ; per cui, per determinarle sono necessarie 4 equazioni tra loro linearmente indipendenti. Tali equazioni sono date dalle prime tre condizioni fornite dallindovinello, mentre la quarta condizione ottenuta dallesplicitazione del termine noto z nella considerazione preliminare in cui Q la somma delle trote pescate dai quattro concorrenti. Il sistema risolutivo quindi il seguente: Q 1 y= + 2 2 x = Q y + 1 2 1 t = Q y x + 2 x + y + t Q = 12 Per verificare se il sistema sia risolvibile, necessario calcolare il determinante della matrice del sistema stesso, e appurare che non sia nullo: 1 0 1 0 2 1 1 1 0 1 2 2 = 0 8 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1

27

Il calcolo del determinante ci assicura che il sistema fornir una soluzione utile, poich diverso da zero e quindi il rango della matrice massimo e uguale a 4 (il numero delle righe della matrice). Impostato il sistema in forma matriciale, per una rapida soluzione al calcolatore, si ha: 0 x y = 1 t 1 Q 2 1 1 0 1 1 2 2 0 1 1 1 2 2 2 = 2 0 1 1 2 2 2 1 12 1

1 0 2 1 1 2 1 1

2 2 0 4

2 4 2 8

2 1 26 4 1 52 = 1 1 13 8 24 103

x = 26 y = 52 t = 13 Q = 103 Quindi Marco, il primo classificato, ha pescato 52 trote, Matteo (secondo classificato) ha pescato 26 trote, Giovanni (terzo classificato) ha pescato 13 trote, mentre Luca, ultimo classificato, ha pescato 12 trote. Il totale di trote pescate dai quattro concorrenti 103.

28

INDOVINELLO 3Tre amici allenoteca

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

bottiglia 1 bottiglia 2 bottiglia 3 bottiglia 4 bottiglia 5 bottiglia 6 bottiglia 7 bottiglia scelta 3 volten

costo: 11 costo: 19 costo: 22 costo: 28 costo: 50 costo: 59 costo: 67

x

xn =1

7

somma totale del costo delle 7 bottiglie

Lequazione risolutiva data dallespressione:2 x + xn = 300n =1 7

da cui si esplicita lincognita x :

x=

300 xnn =1

7

2

quindi, sostituendo i costi di ciascuna bottiglia:

x=

300 (11 + 19 + 22 + 28 + 50 + 59 + 67 ) 2

si ottiene il valore dellincognita x :x = 22

Per cui la bottiglia scelta tre volte la bottiglia che costa 22 , cio la bottiglia numero 3.

29

INDOVINELLO 4Le camere di un ospedale 1a condizione imposta dallindovinello: x2 = 0 2a condizione imposta dallindovinello: 2 xn 5 3a condizione imposta dallindovinello: n con l'insieme dei numeri naturali xn 4a condizione imposta dallindovinello:

LOCALE n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

NUMERO LETTI xn

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10

xn=2

5

2 n

= 1 + x2n 1n =1

5

Considerazioni:18 xn 45n =1 10

Infatti 18 rappresenta il numero minimo della somma dei letti di tutti i locali (ovviamente 2 letti per locale moltiplicato per i 9 locali); 45 rappresenta il numero massimo della somma dei letti di tutti i locali (ovviamente 5 letti per locale moltiplicato per i 9 locali). LEGENDA

xn =1 5

10

n

Somma totale dei letti dellospedale

xn=2 5

2 n

Somma totale dei letti dei locali pari

xn =1

2n 1

Somma totale dei letti dei locali dispari

Gli unici due locali in cui la terza condizione non rispettata, diventando: n xn sono n = 1 n = 7 Infatti sono numeri primi, quindi divisibili solo per 1 o per se stessi, ma al contrario di 2,3,5 non hanno il numero della stanza compreso nella seconda condizione, quindi il rapporto per n = 1 n = 7 Diventa: n con l'insieme dei numeri razionali xn

30

I locali di numero dispari e con il rapporto che rispetta: n xn sono: n = 3 n = 5 n = 9 Affinch il rapporto tra il numero di queste tre stanze e il loro rispettivo numero di letti, compreso tra 2 e 5, fornisca un numero intero, si avr: 3 n = 3 x3 = 3 perch 3 = 1 5 n = 5 x5 = 5 perch = 1 5 9 n = 9 x9 = 3 perch 3 = 3 Nei locali pari: 4 4 n = 4 x4 = 2; 4 perch 2 = 2 e 4 = 1 n = 6 x = 2;3 perch 6 = 3 e 6 = 2 6 2 3 n = 8 x = 2; 4 perch 8 = 4 e 8 = 2 8 2 4 10 10 n = 10 x10 = 2;5 perch =5 e =2 2 5 Quindi vi sono due possibili numeri di letti per ognuno dei quattro locali pari: LOCALE n NUMERO LETTI xn LOCALE n NUMERO LETTI xn

1 2 3 4 5

x10 3 2;4 5

6 7 8 9 10

2;3

x72;4 3 2;5

Quelli segnati in rosso, sono gli unici locali di cui, per ora, si ha la certezza del numero dei letti. Applicando la quarta condizione: x4 + x6 + x8 + x10 = x1 + x3 + x5 + x7 + x9 + 1 sostituendo i rispettivi e possibili numeri dei letti, si ottiene lequazione risolutiva: 2; 4 + 2;3 + 2; 4 + 2;5 = x1 + 3 + 5 + x7 + 3 + 1 quindi si deduce:8 x2n 16n=2 5

Per cui, il numero totale dei letti dei nove locali sar compreso tra:18 xn 31n =1 10

sviluppando lequazione risolutiva: 2; 4 + 2;3 + 2; 4 + 2;5 = x1 + x7 + 12

31

Siccome x1 e x7 devono avere almeno 2 letti ciascuno, e la somma minima dei letti dei locali dispari, considerando 2 letti per entrambi i locali incogniti, sar:1 + x2n 1 = 16n =1 5

quindi risolvendo lequazione di sopra:

xn=1

5

2n 1

= 16 1 = 15

si ottiene che il numero totale dei letti dei locali dispari 15. Infatti il numero 16 corrisponde alla somma massima dei locali pari:

xn= 2

5

2 n

= x4 + x6 + x8 + x10 = 4 + 3 + 4 + 5 = 16

che verifica la quarta condizione:

x2n = 1 + x2n1n=2 n =1

5

5

allora il numero totale dei letti delle camere pari 16. Il numero totale dei letti dellospedale uguale alla somma dei letti delle camere pari e delle camere dispari:

xn = x2n + x2n1n =1 n=2 n =1

10

5

5

che sviluppata:

xn =1

10

n

= 16 + 15 = 31

Il numero totale dei letti dellospedale 31, e sono cos distribuiti:LOCALE NUMERO LETTI xn 2 0 3 4 5 LOCALE NUMERO LETTI xn 3 2 4 3 5

n1 2 3 4 5

n6 7 8 9 10

Lospedale ha 31 posti letto!

32

INDOVINELLO 5Let di Matteo e Sara

x y

Et di Matteo Et di Sara

condizioni imposte dallindovinello: x + 3 = 2 ( y 3 ) x 2 y = 9 4 x = 5 y 4 x 5 y = 0 Per determinare let di Matteo e di Sara sufficiente impostare un sistema lineare di equazioni utilizzando le due condizioni imposte nel testo dellindovinello. Prima per opportuno verificare se tale sistema ammette ununica soluzione, e quindi se sia possibile determinare entrambe le et, per cui necessario calcolare il determinante e constatare che sia di rango massimo, in altre parole, che non sia nullo: 1 2 =30 4 5 come si pu osservare il rango massimo (cio 2, quindi pari al numero di righe della matrice) perch il determinante diverso da zero. Le et di Matteo e Sara sono quindi determinabili, e per calcolarle utile impostare, per il sistema risolutivo, la matrice inversa. sistema risolutivo: x 2 y = 9 4 x 5 y = 0 risoluzione del sistema: 1 x 1 2 9 1 5 2 9 15 y = 4 5 0 = 3 4 1 0 = 12 Da cui si ottiene che Matteo ha 15 anni, mentre Sara ha 12 anni. Esplicitando lincognita y in entrambe le equazioni del sistema risolutivo, si pu dare una interpretazione geometrica allindovinello, infatti si ottengono due rette la cui intersezione fornisce il valore dellincognita x e y :x+9 y = 2 y = 4 x 5

33

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA17 16 15 14 13 12 11 ETA' DI SARA 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ETA' DI MATTEO

La retta di colore fucsia la rappresentazione grafica dellequazione: 4 y = x 5 La retta di colore blu la rappresentazione grafica dellequazione: x+9 y= 2 Lintersezione tra le due rette la soluzione dellindovinello, infatti mostra nellasse delle ascisse ( x ), che rappresenta let di Matteo, il valore corrispondente 15 (anni), mentre nellasse delle ordinate ( y ), che rappresenta invece let di Sara, il valore che corrisponde al punto di intersezione 12 (anni).

34

INDOVINELLO 6Uno strano parcheggiatore Il parcheggiatore vorr essere corrisposto con un costo che si dimezza continuamente allo scandire delle ore, quindi si ottiene una successione di questo tipo: 1 1 1 1 1 1, , , , ,................, n 2 4 8 16 2 essa rappresenta una serie geometrica:

arn =1

n 1

in cui a una costante, r la ragione ed n il termine ennesimo. In questo caso a = 1 e r = 1/ 2 . Le serie geometriche, quando 1 < r < 1 , convergono sempre e quindi forniscono una somma finita anche nel caso di infiniti addendi (come nel caso analizzato), infatti: a a r n1 = 1 r n =1 perci, per calcolare il guadagno in un tempo infinito, si imposta la sommatoria: 1 1 = = 2 2n n=1 2 n=0 la quale dimostra che il parcheggiatore uno sprovveduto, perch anche dopo che trascorsa una eternit (tempo infinto) avr guadagnato solamente 2 euro!! Rappresentazione grafica della serie geometrica in questione: n 1

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 y 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 2 4 6 8 10 x 12 14 16 18 20

Da notarsi che la serie geometrica limitata inferiormente dallasse delle ascisse: 1 lim n = 0 n 235

INDOVINELLO 7La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 1 La seguente costruzione geometrica aiuta a capire con quale tipo di andamento diminuiscono i raggi delle infinite circonferenze che convergono verso il vertice C del triangolo equilatero:

dati e considerazioni preliminari:AB = BC = CA = ABC = BCA = CAB = C1 BH =

3

= 60

ABC = = 30 = K1C1S = C2 K1S 2 6 2 3 T = 4

36

Considerazioni geometriche per il calcolo dei raggi:

r1 = C1 H =

2

tan C1 BH =

(

)

3 tan = 2 6 6

3 r2 = C1S tan K1C1S tan C2 K1S = r1 tan = tan = 2 18 6 62 3

(

) (

)

3 r3 = tan = 2 54 65

3 r4 = tan = 2 162 6 ............7

rn = tan 2 6

2n +1

con n N

calcolo dellarea degli infiniti cerchi:2n +1 C = tan 6 n =0 2 2

= n =0

2

3 ( 4

2n +1)

2 1 2 1 2 n = = 4 n =0 32n +1 12 n =0 3

poich (essendo una serie geometrica): a a r i k o pi in generale: a r k n = a r k n = 1 rk 1 rk n=0 n =ia con 1 < r < 1 k > 0 2 a= 12 1 in questo caso r = 3 k = 2 quindi, larea occupata dagli infiniti cerchi :

3 C = 32

2

0, 2946 100

2

area % occupata dagli infiniti cerchi rispetto allintero triangolo equilatero:

C % =

100 C = T

3 32 2 3 4

2

=

25 3 2

68%

37

INDOVINELLO 8La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero parte 2 Analogamente allindovinello precedente (n 7) si imposta la sommatoria per il calcolo dellarea degli infiniti cerchi:2 2n +1 2 2 n 2 2 2 2 tan + 3 tan = + 3 1 C = r1 + 3 rn +1 = 12 12 n =1 3 2 6 6 n =1 n =1 2

C =

11 96

2

0,3599

2

area % occupata dagli infiniti cerchi rispetto allintero triangolo equilatero:

C % =

100 C = T

100

11 96 2 3 4

2

=

11 3 72

83%

38

INDOVINELLO 9La convergenza dei cerchi in un quadrato Analogamente allindovinello n7 si adotta una costruzione geometrica per capire con quale andamento diminuiscono i raggi delle infinite circonferenze, inscritte nel quadrato, mentre convergono nei quattro vertici.

Dati e considerazioni preliminari:AB = BC = CD = DA = 2 r K1C1 H1 =

4

= 45

K1C1 H1 = K1C1 K 2 = K 2C1 H1 = H1 K 2C2 = = 22,5 2 8K1 K 2 = H1 K 2 = C1 K1 tan K1C1 K 2 = r tan r1 = C2 H1 = H1 K 2 tan H1 K 2C2 = r

8

= r2

(

2 1

)

(

2 1

)

( r = r (r2 = r 3

) 2 1)2 1 2 1

4

6

.............. rn = r

(

)

2n

39

area totale degli infinti cerchi inscritti nel quadrato:

C = r + 4 r 2 n =1

(

(

2 1

)

2n 2

)

= r 2 + 4 r 2 n =1

(

(

2 1

)

4n

)

3 2 2 = r2 2

3 2 2 2 C = r 2 3,5227 r 2 area % occupata dagli infiniti cerchi rispetto allintero quadrato:

3 2 2 100 r 2 2 3 2 2 100 C = C % = = 2 8 Q (2 r )

(

)

88%

40

INDOVINELLO 10La convergenza dei cerchi in un triangolo isoscele

ACB = AB =larea occupata dagli infiniti cerchi che convergono verso il suddetto angolo :2n 1 C = tan 4 n =1 2 con 0 < < 2

C =

2

f

indicando con f la funzione dangolo:3 2 3 2 2 2 2 2 8 sin ( ) cos 3 cos ( ) + 9 cos ( ) + 23 sin ( ) + 12 + ( cos ( ) + 1) cos ( ) sin ( ) + 2 + 8 cos ( ) 1 4 sin ( ) + 3 31 sin ( ) + 2 2 f = 4 4 3 2 2 2 16 ( cos ( ) + 1) cos 2 cos ( ) 14 cos ( ) + 17 + 4 sin ( ) cos 2 ( 3 cos ( ) ) + 8 sin 2 ( cos ( ) 3) cos ( ) + 14 cos ( ) 17 sin 2 + 1

(

)

(

(

)

(

) (

))

(

)

larea C % :2n 1 100 tan 2n 1 2 4 n =1 2 100 C = 100 tan tan C % = = 2 T 2 n =1 4 cot 4 2 Nei casi limite: 2n 1 2 lim+ C ( ) = lim+ tan = + 0 0 4 n =1 2 2

2n 1 2 lim C ( ) = lim+ C ( ) = lim tan 4 n =1 2

=0

41

Calcolo dellarea C con varie grandezze dellangolo :ANGOLO DEG. RAD. AREA C ESATTO APPROSS. %

0

0

-

-

30

6 4 3 22 3 5 6

2

3 6 + 5 2 64

0, 2253

2

75,86

45

2

(

4 2 2 + 2 1

)(2

4 2 2 2 +1

816128 577024 2 64 2 5 2 7

(

)

4

)

0,1394

2

72,56

60

2

3 322 32 3 96

0, 0937

2

68, 01

90

2

0, 0442

2

55,54

120

2

0, 0180

2

39, 27

150

2

3 6 5 2 64

0, 0043

2

20,33

180

0

-

-

42

INDOVINELLO 11Rotolando sui binari La vista frontale della sfera che rotola, senza strisciare lungo binari, aiuta per limpostazione del calcolo dellavanzamento della stessa:

AB = 2 AO = d AC = k d >k

Diametro della sfera Distanza tra i due binari Condizione imposta affinch la sfera possa rotolare sui binari

Attraverso il teorema di Pitagora:

BC = AB AC = d 2 k 2 quindi lavanzamento , della sfera che rotola senza strisciare sui binari, :

2

2

= d2 k2Nel caso limite in cui la distanza tra i binari pari al diametro della sfera:

lim d 2 k 2 = 0 = 0k d

(

)

lavanzamento nullo, mentre nel caso in cui la distanza k tende a zero:

lim d 2 k 2 = 0 = dk 0

(

)

lavanzamento pari alla circonferenza che si ottiene sezionando la sfera con un qualunque piano passante per il centro della sfera stessa.

43

INDOVINELLO 12Larea interstiziale La seguente costruzione geometrica aiuta a capire su come procedere per il calcolo dellarea di colore rosso:

d R

Diametro della circonferenza pi grande Area di colore rosso Area di colore giallo

G

Il triangolo di vertici C , C1 e C2 equilatero e di lato d / 3 .2 2 2 1 d d d R + G = 7 = 6 2 6 108 2 d2 2 3 d2 3 d G = = 36 2 6 72

(

)

R = R =

d21082

G =

d2108

d2 2 3 72

(

) = d (5 6 3 )2

d 5 6 3 216

(

)

216

0, 02460952973 d 2

44

INDOVINELLO 13Le ruote del treno Dati:= 84, 78 Km = 84780 m t = 45 minuti = 2700 secondi d =1 m

La velocit media del treno data dallequazione:

vm =

[ m] = 84780 = 31, 4 m/s t [s] 2700vm [ m / s ]

il numero dei giri effettuati dalla ruota del treno nellunit di tempo pari a:

rotazioni / s =

d [ m]

=

31, 4

10

quindi, nel corso di 45 minuti, ogni ruota effettuer un numero di giri dato da:

rotazioni = [ rotazioni / s ] t [ s ] = 10 2700 = 27000

45

INDOVINELLO 14Gara tra solidi

Poich si ipotizzato che tutti i quattro solidi sono sottoposti a un moto di rotolamento puro, possibile applicare il principio di conservazione dellenergia uguagliando lenergia potenziale, nellistante prima che il solido rotoli lungo il piano inclinato (quando si trova allaltezza h ), e lenergia cinetica al termine del rotolamento sul piano inclinato ( h = 0 ). Legenda: Massa di un solido M h Altezza del piano inclinato

[Kg] [m] [rad] [J] [J] [m/s2] [kg m2] [rad/s] [m/s]

U

Pendenza del piano inclinato Energia potenziale Energia cinetica Accelerazione di gravit Momento dinerzia generico Velocit angolare del solido Velocit lineare del baricentro del solido

K g Ic

vc

Uguagliando lenergia potenziale e lenergia cinetica: U h = K h =0 e sostituendo i valori di entrambi i membri, si ottiene: 1 1 M g h = M vc2 + I c 2 2 2 poich, a causa del rotolamento puro, si ha: v vc = R = c R leguaglianza tra lenergia potenziale e lenergia cinetica diventa: 2 1 1 v M g h = M vc2 + I c c 2 2 R ed esplicitando la variabile vc si ricava la velocit raggiunta da un solido al termine di un rotolamento puro (senza strisciamento) lungo un piano inclinato: 2 g h vc = Ic 1+ M R2 Lunico parametro che fa variare la velocit vc il momento dinerzia I c , poich g , h , M e R sono gli stessi per tutti i quattro solidi. Quindi necessario calcolare i momenti dinerzia per ognuno dei solidi. In tutti e quattro i solidi: I c = I z .

46

1) Cilindro pieno Scegliendo un riferimento cartesiano per il cilindro pieno di altezza k , in cui lasse z corrisponde con lasse di simmetria del solido, il momento di inerzia rispetto allasse z (detto anche momento polare I p ) dato dallintegrale triplo:

I p = I x + I y = I z = ( x 2 + y 2 ) ( x, y, z ) dVV

in cui la funzione densit costante, perch il corpo cilindrico supposto omogeneo, ed data dal rapporto massa volume: M M ( x, y , z ) = = V R2 k Per poter risolvere agevolmente lintegrale triplo, si sostituiscono le coordinate cartesiane con le coordinate cilindriche: dV = d d dz x = cos y = sin per cui lintegrale diventa:k R 2 M Iz = 2k R2 k 2 0 0

(( cos )

2

+ ( sin ) d d dz2

)

quindi il momento dinerzia del cilindro rispetto al suo asse di simmetria : M R2 Iz = 2 per cui la velocit che raggiunge in fondo al piano inclinato : 2 g h 4 2 3 vc = = g h = g h 1,1547 g h 2 3 3 M R1+ 2 M R2

Come si pu notare, la velocit vc , raggiunta dal solido, al termine del rotolamento lungo il piano inclinato, non dipende n dal raggio R del solido n dalla sua massa M , ma solamente dallaltezza h del piano inclinato, dato che laccelerazione gravitazionale g costante e pari a 9,80 m/s2. 2) Guscio cilindrico Analogamente al cilindro pieno, il momento di inerzia rispetto allasse z dato dalla somma degli integrali tripli:k k M ( R2 + r 2 ) M R 2 r 2 M 3 3 2 2 = M R2 I z = lim d d dz + d d dz = lim k k rR r R R 2 k 0 0 r 2 k 2 0 0 2 2

quindi il momento dinerzia del guscio cilindrico rispetto al suo asse di simmetria : I z = M R2 per cui la velocit che raggiunge in fondo al piano inclinato : 2 g h = g h vc = M R2 1+ M R2

47

3) Sfera piena Il momento di inerzia di una sfera piena rispetto allasse z dato da: R2 2 R 2 M 2 Iz = 2 2 3 d d dz = M R 2 R 0 0 4 5 R3 3 perci la velocit raggiunta : 2 g h 70 vc = = g h 1,1952 g h 2 7 2 M R 1+ 5 M R2 4) Guscio sferico Il momento di inerzia di un guscio sferico rispetto allasse z , analogamente ai solidi analizzati in precedenza, dato da: 2 I z = M R2 3 da cui la velocit che raggiunge in fondo al piano inclinato : 2 g h 30 vc = = g h 1, 0954 g h 2 5 2 M R 3 1+ M R2 Come gi detto per il cilindro pieno, anche per gli altri tre solidi la velocit vc raggiunta al termine del rotolamento lungo il piano inclinato, non dipende n dal raggio R del solido n dalla sua massa M , n dallaltezza h del piano inclinato, n da g dato che laccelerazione gravitazionale costante e pari a 9,80 m/s2, ma dal solo momento dinerzia (detto anche momento polare). E evidente che i quattro solidi giungeranno in fondo alla discesa in tempi diversi. Dato che si calcolata la velocit di ciascuno di essi, ora possibile stendere una classifica per capire chi vince e chi perde! Ecco la classifica, con g = 9,80 m/s2 : Momento dinerzia Velocit raggiunta vc Posizione Solido Concorrente Ic = I z = I p 1 Sfera piena Cilindro pieno Guscio sferico Guscio cilindrico Matteo70 g h 7 2 3 g h 3 30 g h 5 1,1952 g h

2 M R2 5M R2 2

2

Luca

1,1547 g h

3

Giovanni

1, 0954 g h

2 M R2 3M R2

4

Marco

g h

48

La gara quindi vinta da Matteo che ha scelto la sfera piena, al secondo posto Luca che ha scelto il cilindro pieno, al penultimo posto Giovanni che ha optato per il guscio sferico, infine, allultimo posto Marco che ha preferito il guscio cilindrico e gli costato unamara sconfitta! Per capire meglio il fenomeno, il seguente grafico n da una interpretazione geometrica:vc = 19, 6 Ic 1+ 2 1 10 VELOCITA' RAGGIUNTA [m/s]

VELOCITA' RAGGIUNTA AL TERMINE DEL ROTOLAMENTO SU UN PIANO INCLINATO1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5MOMENTO D'INERZIA [Kg*m^2]

h = 1 m con R = 10 cm M = 1 Kg

Se ne deduce che allaumentare del momento dinerzia I z diminuisce la velocit vc del solido omogeneo che rotola senza strisciare lungo un piano inclinato. Se avesse partecipato alla gara un concorrente (di nome Massimo) che sfidando i quattro amici, ad esempio con una cassa di forma qualunque, che ovviamente striscia, ma si suppone lattrito nullo o comunque trascurabile, avrebbe vinto? Per rispondere a questa domanda sufficiente impostare il principio di conservazione dellenergia come fatto in precedenza. Uguagliando lenergia potenziale e lenergia cinetica e sostituendo i valori di entrambi i membri, si ottiene: 1 1 U h = K h =0 M g h = M vc2 + I c 2 2 2 poich la cassa non rotola, ma striscia: = 0 Ic 2 = 01 2

quindi:1 M g h = M vc2 2 da cui si ricava la velocit che raggiunge una cassa (corpo), di qualunque forma e dimensioni, al termine di un piano inclinato:

vc = 2 g h 1, 4142 g h49

Tale velocit poteva alternativamente ricavarsi impostando e svolgendo il limite in cui il momento dinerzia I z 0 :2 g h = 2 g h 1, 4142 g h Ic I z 0 I z 0 1+ M R2 La risposta sicuramente si. In presenza di attrito nullo o trascurabile, un qualunque corpo che striscia giunger per primo al termine del piano inclinato rispetto a un corpo che rotola. Da notarsi che anche in questo caso la massa M del corpo non influisce sulla velocit di strisciamento lungo una discesa. Inoltre, nel caso limite in cui il momento dinerzia I z infinitamente grande, la velocit vc nulla: 2 g h lim vc lim =0 I z I z Ic 1+ M R2 La nuova classifica di conseguenza: Momento dinerzia Velocit raggiunta vc Posizione Solido Concorrente Ic = I z = I p lim+ vc lim+

1

Corpo qualunque Sfera piena Cilindro pieno Guscio sferico Guscio cilindrico

Massimo

2 g h 1, 4142 g h70 g h 7 2 3 g h 3 30 g h 5

0

2

Matteo

1,1952 g h

2 M R2 5M R2 2

3

Luca

1,1547 g h

4

Giovanni

1, 0954 g h

2 M R2 3M R2

5

Marco

g h

50

INDOVINELLO 15Il salvadanaio

Indicando con: S1 La somma trovata nel salvadanaio di Pino pari a 20,80 S2 La somma trovata nel salvadanaio di Daniele pari a 69,46 x La somma incognita donata dalla mamma ai due fratelli Impostando lequazione risolutiva, si ha: x x S 2 + = 2 S1 + 2 2 da cui si ricava immediatamente la somma donata dalla mamma ai due fratelli: x = 2 S2 4 S1 sostituendo il valore delle somme di Pino e Daniele: S1 = 20,80 S 2 = 69, 46 x = 2 S 4 S x = 55, 72 2 1 Quindi la mamma ha donato complessivamente ai due figli 55,72 , perci ciascuno dei due fratelli ha ricevuto dalla madre 27,86 .

51

INDOVINELLO 16Il giocatore dazzardo

Indicando con x la somma iniziale che il giocatore aveva nel portafogli prima di entrare nelle due sale da gioco, si pu scrivere lequazione risolutiva dellindovinello: 2 ( 2 ( x 500 ) 500 ) 600 = 0 da cui si ricava il valore dellincognita x : x = 900 Quindi il giocatore dazzardo aveva inizialmente nel portafogli 900 .

52

INDOVINELLO 17Una pigna per una pallottola Per individuare chi tra la pigna e la pallottola giunge per prima al suolo da una medesima altezza, necessario analizzare distintamente i due casi. 1) La pigna. Lo spazio che separa la pigna dal suolo dato dallequazione (si supposto lattrito con laria trascurabile): 1 s = g t2 2 indicando con: s Lo spazio [m] g Laccelerazione gravitazionale pari a 9,80 [m/s2] t Il tempo [s] Da questa equazione si ricava il tempo t impiegato dalla pigna per cadere al suolo, e la velocit v con cui giunge al suolo: 2s t= g

ds d 1 = g t2 = g t dt dt 2 Derivando la velocit rispetto al tempo si ottiene laccelerazione con cui la pigna prende velocit, e come prevedibile, pari alla accelerazione gravitazionale dato che oltre alla forza di gravit non vi nessunaltra forza che agisce sulla pigna: d 2 s dv d = ( g t) = g a=s =v= 2 = dt dt dt Poich la pigna si trova a 1,70 m di altezza, il tempo di caduta libera : 2 1, 70 t= = 0,589 [s] 9,80 impiegher poco pi di mezzo secondo per raggiungere il suolo. La caduta libera rappresenta un moto incipiente e come si pu notare, il tempo di caduta di una pigna, o di un qualunque altro corpo, non dipende n dalla massa, n dal peso e n dalla forma (nel caso di attrito con laria nullo) ma dipende solo ed esclusivamente dallaltezza da cui cade un corpo. v=s=2) La pallottola La pallottola uscendo alla velocit v dalla canna del fucile compier un percorso parabolico, descritto dallequazione, espressa in coordinate cartesiane: 2 g y = ( tan ) x x 2 2 v 2 ( cos ) in cui langolo di inclinazione del fucile rispetto allorizzonte. In questo caso = 0 e x 0 , quindi lequazione del moto parabolico : g 2 y = x 2 2v che descrive la met esatta di una parabola.53

A cui si aggiunge laltezza h del fucile dal suolo: g 2 y = x +h 2 2v La gittata xG del proiettile data dal sistema ( s = h ): g 2 x +h y = 2 2v y = 0 da cui: 1 2h xG = v = v 2 g 2 h 0, 4517 v h g e la lunghezza di una qualunque curva, data dallintegrale di linea: 2 x2 d = f ( x ) + 1 dx x1 dx sostituendo il valore degli estremi di integrazione e della funzione f ( x) con lequazione della parabola descritta dalla pallottola, si ha: 1 2 2 d d xG v 2 g 2 h g x 2 + h + 1 dx = g x 2 + h + 1 dx = 0 0 dx 2 v 2 dx 2 v 2 che diventa:

v 4 ln g 2 x 2 + v 4 + g x + g x g 2 x 2 + v 4 v 2 g = dx = 2 0 2 g v 0 risolto lintegrale indefinito e sostituiti gli estremi di integrazione, si ottiene la lunghezza della traiettoria parabolica percorsa dal proiettile, che risolta numericamente, per evitare calcoli prolissi, fornisce il risultato: = 294,5140865 m 1 2

h g 2 x2 + v4 v4

(

)

v 2 g

1 2

h

h = 1, 7 m con v = 500 m/s g = 9,8 m/s2 invece la gittata : xG = 294,5075446 m ovviamente > xG sempre. xG (differiscono di 6/10 di millimetro) perch laltezza Si pu notare che in questo caso da cui si spara con il fucile (1,7 m) molto piccola se raffrontata alla gittata che di quasi 300 m. La traiettoria percorsa della pallottola = 294,5140865 m .

54

Il grafico sottostante rappresenta la traiettoria che la pallottola segue dalluscita della canna del fucile sino a raggiungere il suolo (in assenza di attrito). Il grafico non in scala dato che i valori dellasse delle ordinate sono molto pi piccoli dellasse delle ascisse.1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 GITTATA [m]

Ora si conosce anche la lunghezza del tragitto percorso dalla pallottola (la velocit un data del quesito). Per calcolare il tempo impiegato dal proiettile per giungere al suolo, si applica lequazione del moto rettilineo uniforme: x [m] v[m/s] = G t [s] da cui si ricava il tempo: x [m] t [s] = G v [m/s] ricordando che s = h : 2h v g 2h 2s = = = 0,589 [s] t= g g v ci dimostra che il tempo impiegato da una pigna a cadere a terra, in caduta libera, da una altezza h lo stesso di una pallottola spara da unarma puntata perfettamente sullorizzonte. In entrambi i casi la massa della pigna e della pallottola e la velocit di questultima non influenzano in alcun modo il tempo di caduta, il quale condizionato solo dallaltezza h . E chiaro che ci avviene in condizioni ideali in cui lattrito tra aria e proiettile sia almeno trascurabile (nella pratica la presenza di vento modifica sensibilmente il tempo di caduta di una pallottola, anticipandolo); la pigna cade da unaltezza cos piccola da ritenere in ogni caso trascurabile lattrito con laria.

ALTEZZA DI SPARO [m]

55

INDOVINELLO 18Larcipelago di Fantasilandia Tutte e quattro le isole possiedono una superficie per ciascuna. Per capire quale isola ha il maggior numero di Km di costa, bisogna calcolare il perimetro P di ciascuna isola esprimendolo in funzione dellarea. 1) Isola di forma circolare di raggio r e perimetro PC : = r2 r =

PC = 2 r PC = 2 PC = 2

2) Isola di forma quadrata di lato=2

e perimetro PQ :

=

PQ = 4 PQ = 4

3) Isola di forma esagonale di lato e perimetro PE : 4 3 3 2 12 = = 2 3

PE = 6

4

12 PE = 2 4 12 3

4) Isola dalla forma di triangolo equilatero di lato e perimetro P : T= 3 2 23 = 4 33 3 4

3 2 34 PT = 3 PT = 2 3 4 3

Per determinare lisola con il maggior numero di Km di costa sufficiente approssimare la parte numerica dellespressione dei tre perimetri, magari con luso di una calcolatrice, oppure pi elegantemente si pu scrivere unipotesi di relazione di grandezza e verificare se confermata. Seguendo questultima strada, si avr: ipotesi: PC > PQ > PE > PT sostituendo i rispettivi valori dei perimetri, omettendo essi, ed elevandoli al quadrato: perch compare in ognuno di

(2 )

2

> 4 > 2 122 4

(

)

2

3 > 2 34

2

56

quindi: 4 > 16 > 4 12 >12 3 con = 3,141592.....

( 4 )

2

> 162 > 4 12

(

) > (12 3 )2

2

16 2 > 256 > 192 > 432 lipotesi errata, infatti questa quella corretta 432 > 256 > 192 > 16 2 , perci il giusto ordine di grandezze il seguente: PT > PQ > PE > PC

In conclusione, allimprenditore sar pi conveniente scegliere lisola di forma triangolare (equilatero) perch ha le coste pi lunghe, mentre lisola di forma circolare ha meno Km di coste delle altre tre. Nella tabella sottostante sono rappresentate le lunghezze delle coste di ognuna delle quattro isole. Forma dellisola Triangolare (equilatero) Quadrata Esagonale Circolare Superficie Lunghezza della costaPT = 2 3 4 3

4,559014113

PQ = 4 PE = 2 4 12

(

)

3, 722419436

PC = 2

3,544907701

57

INDOVINELLO 19Luniverso di Fantasilandia Solido 1 2 3 4 5 Sfera Cubo Parallelepipedo formato da due cubi adiacenti Cono equilatero Cilindro equilateroV

S

F6

4 r3 33

4 r 2 62

2

3

10

2

6

3 3 3

3 2

-

2 3

6 2

Poliedro regolare 6 7 8 9 10 Tetraedro Esaedro Ottaedro Dodecaedro Icosaedro

F4 6 8 12 20 3 4 3 5 3

6 12 12 30 30

V

S

4 8 6 20 12

2 3 12

2 36 22 3 2 3 2 5 5 + 2 5 5 3 2

32 3 3 15 + 7 5 3 4

(

)

5 3+ 5 12

(

)

3

Legenda: V Volume del solido S Superficie totale del solido F Numero di facce del solido Numero dei lati del poligono che costituisce ogni faccia Numero dei vertici Numero degli spigoli r Raggio della sfera Lato del cubo Raggio della circonferenza di base del cono equilatero Raggio della circonferenza delle due estermit del cilindro equilatero Lunghezza dello spigolo58

Ora necessario esprimere la superficie S in funzione del volume V che uguale per tutti. Superficie S in funzione del volume V Solido 1 Sfera1 3 4 1 3 r3 = V r = 3 3 V S = 4 3 3 V 2 3 2 3 2

2

Cubo Parallelepipedo formato da due cubi adiacenti Cono equilatero Cilindro equilatero Tetraedro regolare Esaedro regolare Ottaedro regolare Dodecaedro regolare Icosaedro regolare

= V = 3 V S= 6

( V)3

2

3

2

3

V V =V = S = 10 3 2 2 3

2

4

6 63 3 3 3 3 3 = V = 3 V S= 3 3 V 3

2

5

V V 2 = V = 3 S= 6 3 2 2 3

2

6

12 V 2 3 12 V = V = 3 S= 3 3 12 2 2

2

7

3 = V = 3 V S= 6

( V)3

2

8

3 V 2 3 3 V = V = 3 S= 2 3 3 3 2 2

2

9

15 + 7 5 3 4V 4V = V = 3 S= 3 3 15 + 7 5 5 5 + 2 5 4 15 + 7 5

2

(

)

10

5 3+ 5 12

(

)

12 V 12 V 3 = V = 3 S= 5 3 3 5 3+ 5 5 3+ 5

(

)

(

)

2

Sviluppando il valore della superficie S simbolicamente e numericamente, isolando il termine V , si pu determinare quale solido a parit di volume V sviluppa una superficie maggiore. La tabella della pagina successiva la classifica in ordine decrescente del solido con lestensione della superficie pi grande.2 3

59

Solido

Sviluppo della superficie S in funzione del volume V

1

Tetraedro regolare

S= 6 6 3 V3

2

7, 205621731 V 3

2

2

Cono equilatero

S = 3 3 V3

2 3

6,336921061 V

2 3

3

Parallelepipedo formato da due cubi adiacenti

S= 5 2 V3

2 3

6, 29960524 V

2 3

4

Cubo

S= 6

( )3

2

V

= 6V3

2

4

Esaedro regolare

S= 6 V3

2

6

Ottaedro regolare

S= 3 2 3 V6

2 3

2 3

5, 719105757 V

2 3

7

Cilindro equilatero

S = 3 3 2 V 3

2

5,535810445 V 3

2

8

Icosaedro regolare

S = V 3 3 1890 3 810 15

2

5,148348556 V 3

2

9

Dodecaedro regolare

S= V 3 6

2

129600 5 29903 5 38080 3 17024 15 + 66842 835212

(

)

S10 Sfera2

4, 298074882 V 32 2

S = 33 3 V 3

3, 046473892 V 3

Il Consiglio Intergalattico dovr scegliere il pianeta che ha la forma di tetraedro regolare!!

60

INDOVINELLO 20Il filo per stendere i panni

Il filo sottoposto al peso proprio assumer la forma di una curva detta catenaria. In questo caso gli estremi della catenaria stanno alla stessa quota, e si esprime attraverso la funzione del coseno iperbolico: x y = k cosh k con k , detto parametro della catenaria, indicante laltezza minima del filo. Quando la catenaria assume valori tali per cui k 2 e le potenze superiori possono essere trascurate rispetto alla potenza prima, come avviene nel caso di un filo da stendere, la catenaria tende ad una configurazione parabolica (sviluppando in serie di Taylor): x2 x4 x y = k cosh k 1 + + + ......... 2 4 24 k k 2k giungendo alla funzione: 4(h k ) 2 y= x +k d2 in cui h laltezza di attacco del filo ai pali e d la distanza tra i pali. Per calcolare la lunghezza della catenaria si utilizza lintegrale di linea: 2 d x2 = f ( x ) + 1 dx x1 dx quindi: 2 d d 4 ( h k ) x 2 + k + 1 dx 2 = d dx d2 2 che fornisce il risultato: d 2 + 16 ( h k )2 + 4 ( h k ) 2 2 2 4 ( h k ) d + 16 ( h k ) + d ln d = 8(h k )con

h = 2 m k = 1, 6 m d = 5 m

y = 0, 256 x 2 + 1, 6

si ottiene la lunghezza del filo tale che nel punto pi basso 1,6 m: 5,084 m Quindi la casalinga dovr mettere un filo lungo 5,08 m, praticamente 8,5 cm in pi della distanza tra i pali del filo da stendere. Nella pagina seguente rappresentata la funzione matematica del filo in questione.

61

CATENARIA DEL FILO DA STENDERE2,0 1,8 1,6 1,4 ALTEZZA [m] 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 SUOLO [m] 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

62

INDOVINELLO 21A Paola piacciono le ciliegie Impostando lequazione risolutiva ed indicando con contenute nel vaso: 5 1 Q = 13 + Q n =3 n da cui si ottiene: Q Q Q Q = 13 + + + 3 4 5 Esplicitando Q e svolgendo lequazione si ricava:1

Q il numero iniziale di ciliegie

1 1 1 Q = 13 1 + + = 60 3 4 5 Quindi il vaso conteneva inizialmente 60 ciliegie e Paola in 3 giorni ne ha mangiato 47.

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INDOVINELLO 22Somma e prodotto uguali Condizioni imposte nel quesito: x1 , x2 x1 x2 0 Per cui deve verificarsi:

xn = xn xn xn = 0n =1 n =1 n =1 n =1

i

i

i

i

Quindi: x1 + x2 = x1 x2 x1 + x2 x1 x2 = 0 Lequazione di sopra rappresenta una x2 conica (raffigurata nel grafico qui accanto). E precisamente una iperbole, la cui equazione si ottiene esplicitando una delle due variabili, ad esempio x2 , per cui: x x2 = 1 x1 1 x1 Tutte le coppie di numeri il cui prodotto e somma forniscono lo stesso risultato, giacciono sul tracciato del grafico (rappresentato dal colore rosso). Per cui assegnando un valore arbitrario in ingresso, per x1 , considerandola variabile indipendente, si ottiene: 3 3 9 3 9 x1 = 3 x2 = e 3 = infatti: 3 + = 2 2 2 2 2 Da notarsi che lunico numero reale per il quale non possibile trovare un altro numero reale affinch sia possibile verificare lequazione x1 + x2 = x1 x2 , il numero 1 poich coincide con lunico asintoto verticale delliperbole in questione, infatti: x lim 1 = x1 1 x 1 1 In altre parole, per qualunque numero reale diverso da 1, da 0 (soluzione banale) e da 2 (il cui numero corrispondente se stesso x1 = x2 = 2 poich 2 2 = 2 + 2 = 4 ) possibile trovare un altro numero reale tale che se moltiplicati e sommati forniscono il medesimo risultato: x1 {0;1; 2} x1 + x2 = x1 x2 E importante sottolineare che quanto affermato per la variabile x1 vale allo stesso modo per laltra variabile x2 , poich liperbole simmetrica rispetto alla coordinata cartesiana (1;1) individuata dallintersezione dellasintoto verticale x1 = 1 e orizzontale x2 = 1 . In conclusione si pu affermare che le coppie di numeri che soddisfano tale condizione sono infinite, pi precisamente vi sono 1 coppie.

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INDOVINELLO 23Il figliol prodigo Generalizzando il problema, ed indicando con: n Giorni q somma ricevuta dal giovane k somma minima raggiunta rapporto con il quale decrementa la somma iniziale R Si imposta lequazione risolutiva atta a calcolare in quale giorno il giovane rimarr con 1 : Rn q = k 0 < R < 1 con: 0 < k < q n > 0 Da cui si ottiene, esplicitando il numero dei giorni n : k ln q n= ln ( R )

1 R= 2 con: q = 1024 k = 1 1 ln 1024 n= 1 ln 2 n = 10 Dopo 10 giorni il giovanotto si ritrova alla cifra di 1 , quindi dall11esimo giorno rimarr con meno di 1 , precisamente con 0,5 . Nel grafico sottostante rappresentata la curva delle spese del giovanotto col trascorrere dei giorni in funzione della somma raggiunta; da notarsi che nei casi limite si ha: k ln lim n ( k ) = lim q = k 0+ ln ( R ) k 0 k ln q =0 lim n ( k ) = lim k q k q ln ( R ) k ln q lim n ( k ) = lim ln R = k k ( )

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SOMMA SPESA DAL GIOVANOTTO

k ln 1024 n= 1 ln 210 9 8 7 n GIORNI 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k SOMMA RIMASTA

E evidente che nel giorno 0 il giovanotto ha la somma iniziale di 1024 :1 R q = k con: n = 0 k = 1024 = 1024 2 e con il trascorrere dei giorni, tale somma, si dimezza continuamente in successione geometrica.n 0

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INDOVINELLO 24Lasino e il mulo

Indicando con: x Sacchi portati dallasino y Sacchi portati dal mulo Le condizioni imposte dallindovinello sono: y + 1 = 2 ( x 1)

y 1 = x +1 Ordinate in sistema, e svolto: 2 x y = 3 x y = 2 2 1 3 5 1 1 2 = 7 x = 5 y = 7 Quindi lasino porta un carico di 5 sacchi, mentre il mulo porta un carico di 7 sacchi.1

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INDOVINELLO 25Alice e Roberto Indicando con: x Monete di Alice y Monete di Roberto q Quantit minima di monete Le condizioni imposte dallindovinello sono: x + q = 6 ( y q)yq = y+q 3 Ordinate in sistema, e svolto: 1 1 6 7 q 15 q 1 4 q = 11 q 1 3 3 3 x = 15 q 11 q y = 3 Poich 3 un numero primo, la quantit q minima di monete sar 3; quindi: x = 45 y = 11 Si conclude che il numero minimo di monete che potrebbe avere Alice 45.

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INDOVINELLO 26La scala fra due torri

Generalizzando il problema si ha: x Distanza incognita della scala dalla torre pi alta y Lunghezza incognita della scala1 2

Lunghezza della torre pi alta Lunghezza della torre pi bassa Distanza tra le due torri

d

Tale generalizzazione implica, utilizzando il teorema di Pitagora:dx

Distanza della scala dalla torre pi bassa2 1

y = x2 +

Lunghezza della scala

Ovviamente deve verificarsi: y > 1 2 y > d Impostando lequazione risolutiva, utilizzando nuovamente il teorema di Pitagora:

x2 +

2 1

=

(d x)

2

+

2 2

Elevando al quadrato primo e secondo membro ed esplicitando lincognita x si ricava la distanza della scala dalla torre pi alta: 2 d2 + 2 1 2 x= 2d La lunghezza della scala data da:

d2 + 2 2 y= 2d

2 1

+

2

2 1

=

d 4 + 2 d 2 (

2 2

+

2 1

)+

2 2

2

2 2

2 1

+

2 1

2d69

Sostituendo i valori numerici: 1 = 24 2 = 20 d = 22 si ottiene il punto del suolo dove deve essere posata una scala, in modo che appoggiata alluna o allaltra torre ne raggiunga esattamente la cima, e la lunghezza della scala stessa: x = 7 y = 25 Per cui, come indicato dal disegno sottostante, la scala dovr distare 7 m dalla torre pi alta o 15 m dalla torre pi bassa e sar lunga 25 m.

Si pu facilmente osservare che nel caso in cui le 2 torri abbiano la medesima altezza, la scala dovr essere posta nella met della distanza tra le torri: 2 2 d2 + 2 1 d2 + 2 1 d 2 2 lim = lim = 1 2 2 1 2d 2d 2

70

INDOVINELLO 27Le due torri e la fonte

Analogamente allindovinello precedente (n26), si ricava immediatamente la posizione x della fonte rispetto alle torri: 2 d2 + 2 1 2 x1 = 2d 1 = 90 con: 2 = 80 d = 100 83 x1 = = 41,5 2 83 117 x2 = d x1 = 100 = = 58,5 2 2 Per cui la fonte dister 41,5 braccia dalla torre pi alta e 58,5 braccia dalla torre pi bassa.

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INDOVINELLO 28Se tu mi dai una mano Indicando con: x Tempo impiegato dal padre a tosare da solo il prato y Tempo impiegato dal figlio a tosare da solo il prato Impostando il sistema risolutivo si ottengono due iperboli la cui intersezione la soluzione dellindovinello: 20 8 x + y =1 10 + 15 = 1 x y 8 x x 20 15 x y= x 10 y= 220 7 = 22 31, 42 y = 220 20 7 Come si evince dal grafico sottostente, lintersezioni sono due per la presenza della soluzione banale x = 0; y = 0 mentre lintersezione indicata dal punto rosso la soluzione dellindovinello (le linee verticali sono i due asintoti verticali delle rispettive iperboli, ve ne sono anche due orizzontali che non sono stati tracciati per non appesantire il disegno): 8 x 15 x 220 = x= x 20 x 10 7 8

Quindi, il padre impiegher a tosare il prato, da solo, quasi 31 minuti e mezzo, mentre il figlio impiegher solamente 22 minuti esatti. 72

INDOVINELLO 29Un leone, un leopardo e un ghepardo Indicando con: t1 Tempo impiegato dal leone per mangiare da solo la zebra t2 Tempo impiegato dal leopardo per mangiare da solo la zebra

t3

Tempo impiegato dal ghepardo per mangiare da solo la zebra Tempo impiegato dai 3 predatori per mangiarsi assieme la zebra

T

Impostando una semplice sommatoria, i tre predatori assieme, in un'ora mangiano: 3 1 1 1 1 1 1 37 tn1 = t + t + t = 4 + 5 + 6 = 60 0, 617 n =1 1 2 3 Quindi in unora riescono a mangiare poco pi della met di una zebra; per mangiare tutta la zebra impiegano:

3 37 T = tn 1 = 1, 621 1h 37m 60 n =1 Tale sommatoria una successione armonica che allinfinito diverge.

1

1

73

INDOVINELLO 30Leredit dei 35 cammelli Soluzione di Gianfranco Bo tratta dalla pagina web: http://digilander.libero.it/basecinque/numeri/eredita.htm Poich 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 = 34/36 il notaio aggiunge un suo cammello e consegna 1/2 di 36 = 18 cammelli al primo figlio; 1/3 di 36 = 12 cammelli al secondo figlio; 1/9 di 36 = 4 cammeli al terzo figlio. In tutto ha consegnato 34 cammelli. Dunque si riprende il suo cammello e si tiene uno dei 35 cammelli come ricompensa. Il bello della storia che nessun figlio protesta per laudacia del calcolo, in quanto tutti hanno ricevuto pi del dovuto!

74

INDOVINELLO 31Il cavallo stanco Si pu subito calcolare lo spazio percorso nel j -esimo giorno indicando con k il tragitto totale del cavallo (Km) e con i la durata complessiva in giorni del tragitto:

sj =

k 2i j k = i 2 1 i 1 1 j 1 2n ( 2 ) n=0

Il primo giorno il cavallo ha percorso: 26 700 44800 s1 = 7 = 352, 75 Km 2 1 127 mentre per i 6 giorni successivi: 44800 s 22400 176,38 Km s2 = 1 = 127 = 2 2 127 44800 11200 s2 s1 88,19 Km s3 = = = 127 = 2 4 4 127 44800 s s 5600 44, 09 Km s4 = 3 = 1 = 127 = 2 8 8 127 44800 2800 s4 s1 22, 05 Km s5 = = = 127 = 2 16 16 127 44800 s s 1400 11, 02 Km s6 = 5 = 1 = 127 = 2 32 32 127 44800 s6 s1 700 = 127 = 5,51 Km s7 = = 64 127 2 64

Tuttavia, il tragitto percorso dal cavallo in ognuno dei 6 giorni (successivi al primo giorno) si pu alternativamente calcolare utilizzando la formula generica per il j -esimo giorno, utilizzata per determinare i Km percorsi dal cavallo il primo giorno ( s1 ); per semplicit pi conveniente calcolare lo spazio percorso un determinato giorno dividendo per 2 lo spazio percorso il giorno precedente e cos via. E evidente che se la durata del tragitto fosse pi lunga e servisse sapere i Km percorsi dal cavallo in un determinato giorno, sar decisamente pi rapido applicare la formula generale per il j -esimo giorno. A conferma di quanto scritto, la somma dei percorsi parziali dei 7 giorni fornisce come somma il percorso totale che di 700 Km:

s j = k sn = 700j =1 n =1

i

7

75

Fornendo una rappresentazione grafica del percorso del cavallo in funzione di un dato giorno, sia ha:

TRAGITTO DEL CAVALLO

s=750 700 650 600 550 500 Km percorsi "s" 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 0 1 2 3

700 27 d 127

4 Giorno "d"

5

6

7

Tale curva una funzione esponenziale: y ( x ) = a b c x89600 a = 127 in cui b = 2 c = 1

76

INDOVINELLO 32Dilapidare la ricchezza Indicando con: S Soldi rimasti dopo n giorni n Giorni q Somma posseduta dalluomo inizialmente Rapporto con il quale decrementa la somma iniziale R si imposta lequazione risolutiva: 0 < R < 1 n 1 S = q (1 R ) con: n 1 e sostituendo i valori numerici: 1 R = 10 q = 1.000.000 n = 12 si ottiene: S 313.810 Praticamente in 12 giorni ha speso: q S 686.189 La somma posseduta dalluomo decrementa in successione geometrica come avviene nellindovinello n6 lo strano parcheggiatore e nel n23 il figliol prodigo.

77

INDOVINELLO 33Un filo intorno alla Terra Indicando con: Circonferenza terrestre k Incremento arbitrario mediante il filo Raggio terrestre r ' Raggio dellanello posto a distanza costante dalla superficie terrestre r R Differenza tra i raggi r e r ' si ha:

= 2 r r =

+ k = 2 r' r' =

+k 2 +k k R = r ' r = = 2 2 2

2

1 0,16 m 16 cm 2 Quindi, il gatto ha a disposizione circa 16 cm in altezza per passare tra lanello posto a distanza costante dalla superficie terrestre e la superficie stessa; in tale spazio un qualunque gatto pu passarci agevolmente, per cui la risposta allindovinello sicuramente affermativa. Da notarsi che la differenza