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Appunti di calcolo strutturale con elaboratore

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APPUNTI DI CALCOLO STRUTTURALE CON ELABORATORE

(dott. Ing. Pietro Orsini) INTRODUZIONE

Questi appunti costituiscono una sintesi del ciclo di lezioni tenute nellambito del

Corso di Tecnica delle Costruzioni per Edili. La finalit stata quella di introdurre

gli studenti al calcolo automatico delle strutture ed alluso del programma Sap

2000 N al minimo delle potenzialit del programma, per facilitare lanalisi dei telai

piani proposti nello sviluppo delle esercitazioni e del laboratorio. Si parte quindi

con una introduzione, nelle sue linee essenziali, dellalgoritmo di calcolo del

metodo degli elementi finiti, facendo riferimento ad una struttura reticolare piana,

sottintendendo che altre tipologie di elementi seguono lo stesso schema, ma con

maggiori gradi di libert per i nodi. Naturalmente vengono date le informazioni

necessarie sul modo di operare sia del calcolatore che del programma di calcolo, a

seguito dellinput del problema assegnato. Segue poi una spiegazione dei comandi

del programma SAP2000 N che possono essere utili allo studente ed un excursus

sulla formazione di un problema e sullimmissione dei dati relativi. Alla fine di

questo capitolo viene poi inserito un breve richiamo al programma

Mathcad,estremamente utile ai fini della redazione della relazione di calcolo

strutturale.

Prof. Stefano Caramelli

IL METODO DEGLI ELEMENTI FINITI ( F. E. M. FINITE ELEMENT METHOD )

Il metodo consiste in

- il continuo diviso in un numero finito di parti (elementi delimitati da nodi) il

cui comportamento definito da un numero finito di parametri.


- La soluzione del sistema come assieme dei suoi elementi segue le regole dei

problemi discreti standard.

Vediamo un esempio elementare:

Consideriamo una travatura reticolare piana; viene definito ogni elemento e (asta

prismatica con area della sezione trasversale =Ae, lunghezza =Le e modulo

elastico del materiale =Ee), compreso fra i nodi (joints) i ed n . Fra gli spostamenti

a l ( di componenti u l e v l ) e le forze q l ( di componenti U l e V l ) applicate nei

nodi, valgono le seguenti 4 equazioni lineari, in coordinate locali (riferite

allelemento):

aiKeiqi =

Ove

0000010100000101

=

LeAeEeKei

definita come matrice locale delle rigidezze

ed ai

Vnl

Unl

Vil

Uil

qi = vnl

unl

vil

uil

=

sono i vettori delle componenti delle forze (caratteristiche di sollecitazione)

applicate ai due nodi di estremit di unasta di travatura reticolare piana.

2


Coordinate locali

Fig 1

Elemento e in coordinate locali parallelo ad Xl

Usando la seguente matrice C dei coseni direttori per il cambio di

coordinate :

cossin00sincos00

00cossin00sincos

=Ci 3


possiamo portare in coordinate globali la matrice delle rigidezze Ke

Ke = C . Ke l . C T

da cui in coordinate globali abbiamo la matrice locale delle rigidezze di

una asta di travatura reticolare piana :

sin2cossinsin2cossincossincos2cossincos2

sin2cossinsin2cossincossincos2cossincos2

=Le

AeEeKe

E gli spostamenti e forze in coordinate globali X e Y :

ae

Vn

UnViUi

qe= vn

unviui

=

Coordinate globali

Fig 2

Elemento e in coordinate globali inclinato di a rispetto ad Xl

4


Vale quindi

aeK eqe = (1)

legame sforzi deformazioni per lelemento e in coordinate globali. La descrizione di tutta la struttura necessita di definire i carichi esterni

applicati ai nodi :

r ove y

xri =

i

i componenti delle forze esterne applicate ai nodi

rn

r

=1

Dobbiamo soddisfare equilibrio e congruenza : - ogni sistema di spostamenti nodali congruente

- lequilibrio per ogni nodo deve sommare le forze esterne applicate alle

componenti delle forze interne di tutte le aste che concorrono in quel nodo :

......1

321 +++==

= qiqiqim

eqeiri

chiaramente solo gli elementi che includono quel nodo verranno inseriti

nella sommatoria. Ovvero :

.....21

11

)()( 21 +=+== am

eKea

m

eKer iii (2)

Ancora la sommatoria limitata agli elementi che convergono al nodo i.

5


6

Scrivendo la (2) per tutti i nodi abbiamo :

r = K a (3) Sistema di equazioni lineari con K matrice globale di rigidezza.

Alla (3) si impongono le condizioni di contorno costituite dai vincoli (incastri, cerniere carrelli ecc.), ovvero si riduce il numero delle equazioni;

nel sistema di equazioni, alle righe (e colonne) cui corrisponde il grado di

libert eliminato dal vincolo, si impongono tutti i termini nulli (o

ingegneristicamente piccoli ) e lelemento diagonale si pone = 1.

Si risolve e/o si inverte la (3) ridotta :

a = K-1 r

si inseriscono le a nella (1) di ogni elemento ed abbiamo ottenuto, con un

breve esempio, gli sforzi qe in tutti i nodi della travatura.

Gli sforzi qe sono le caratteristiche della sollecitazione nelle sezioni

corrispondenti della travatura, ed in questo particolare caso coincidono con

le estremit delle aste.

In questa esemplificazione abbiamo visto che i vettori qe ed ae degli

elementi hanno 4 componenti (due per nodo) e Ke ne ha quindi 16. Negli

elementi di : trave spaziale abbiamo qe ed ae 12 componenti (sei per

nodo) e Ke 144 elementi.; le sei componenti per nodo sono 3 forze + 3

coppie per qe e 3 spostament + 3 rotazioni per ae . Le dimensioni delle

matrici globali di rigidezza saranno m x m = m2 ; ove m dato dal prodotto

del numero dei nodi n per il numero dei gradi di libert di ogni nodo g


Fig 3

Alcuni esempi di elementi lineari, piani e spaziali.

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3 IL PROGRAMMA SAP2000N

Fig 4

Schermata del programma SAP 2000 di un telaio piano

Le spiegazioni seguenti , sono un breve excursus sui comandi del programma

SAP2000N, disponibile presso la Facolt per uso didattico e con i vincoli dettati

dalla legislazione vigente e dalle disposizioni della Facolt.

Per spiegazioni pi esaurienti o per tipologie di strutture pi articolate

rispetto a quelle richieste dal corso di Tecnica delle Costruzioni si rinvia

all help in linea del programma stesso.

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Dopo lexcursus dei comandi viene consigliata in sommi capi la sequenza

da usare per produrre una struttura similare a quella qui riportata nella

figura .

La struttura costituita da un telaio piano, vincolato con incastri ai nodi 1,

2, 3 e 12. Gli altri nodi 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ed 11 collegano rigidamente gli

elementi costituiti dai pilastri 1 ... 7 e dalle travi 10 13.

Nel nodo 1 sono visibili gli assi globali X e Z (1 e 3)

Per quanto riguarda le rigidezze degli elementi ed i carichi applicati si

rimanda ai paragrafi specifici riportati nel corpo dellexcursus seguente.

Si presuppone che il lettore dei seguenti appunti abbia una conoscenza

delluso del mouse nel selezionare gli oggetti dello schermo e nella tecnica

di drag and drop, nonch delle procedure di gestione del sistema

operativo Windows usato.

La lettura inoltre consigliata con il programma Acrobat Reader di pubblico

dominio per poter ingrandire i paricolari delle figure che non sempre riescono ben

riprodotte a stampa.

Preliminarmente allesercizio proposto vengono richiamati solamente i

principali comandi del programma necessari alla preparazione di una

struttura piana

I comandi contrassegnati da questo simbolo non sono essenziali per una

conoscenza basilare del programma o sono comandi tipici di Windows e

non verranno spiegati in questo contesto.

9


Menu File : New Model - apertura di una nuova struttura, ed impostazione della

griglia dei nodi .

Open - apertura di un file di una struttura gi impostata e precedentemente

salvata

Import - importazione di files

tipo sap90 o formato .DXF

derivati da Autocad, per facilitare

limpostazione della geometria

della struttura.

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Print Comandi di stampa di

input e di outputs, nelle

sottofinestre si sceglie anche

lopzione per la stampa a video o

a stampante; per la stampa delle

figure pu risultare pi agevole

usare il tasto Stamp della tastiera

e poi il comando copy di word.


Menu Edit : Questi comandi necessitano che i nodi o gli elementi su cui si vuol

intervenire siano stati preventivamente selezionati cliccandoli con il mouse

o selezionandoli con una finestra

Undo / Redo - Annulla / ripete lultimo

comando

Cut, Copy, Paste , Delete - Comandi

che tagliano, copiano, cancellano,

incollano (tipo windows)

Merge Joints - Unisce nodi che nel

corso della costruzione geometrica o

nellimportazione di files .DXF si sono

sdoppiati

Move - Sposta i nodi con incrementi

delle coordinate

Replicate - Genera nuovi nodi partendo da

quello/ quelli selezionati

Divide Frames - Divide le aste ai nodi che incontrano o in pi parti

Join Frames - Riunisce pi aste/elementi

Disconnect, Connect - Stacca o riattacca uno o pi elementi

I puntini indicano che si aprono

una o pi successive finestre per

ulteriori specifiche

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Menu View : Set 3D View - Set 2D View setta i parametri

della vista 2D e 3D

Set L a finestra visibile sullo

scher

solo a

Set E

nasco

Rubb

Previ

Out O

nella

Show

Show

Show

selez

Save

mostr

Refre

elimi

imits - limita lmo (utile nelle visioni spaziali per vedere

lcuni elementi)

lements - definisce le caratteristiche da

ndere/visualizzare di nodi ed elementi.

eband Zoom - Restore Full View-

ous - Zoom - Zoom In One Step - Zoom

ne Step comandi di zoom presenti anche

barra dei pulsanti.

Grid visualizza la griglia

Axes... visualizza gli assi

selection only...visualizza solo le parti

ionate

named view - Show named view- salva e

a le viste

sh Window - Refresh View - rigenera la vista o la finestra

nando imperfezioni

Barra dei pulsanti

12


Men Define

Materials.-..Definisce le

caratteristiche elastiche e

meccaniche dei materiali ( modulo

elastico, peso, ecc.)

Frame section-definisce le

caratteristiche geometriche delle

sezioni (vi sono alcune figure

predefinite ; angolari, doppio T, tubi,

ecc.)

Static Load Cases si definisce il

nome e il tipo di carico cui in seguito

assegnare, con il comando Assign, i

carichi specifici su aste e nodi.

Load combination - permette di

combinare i vari carichi tra loro e di

definire i coefficienti moltiplicativi

(conviene inserirvi i coefficienti

degli SLU e SLE, ecc. ).

13


Men Draw

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Reshape element - permette dimodificare

la posizione degli elementi della struttura

Add special joints - aggiunge i joints

(nodi)

Draw Frame elemnt.-.disegna (genera)

elementi (travi).

Quick Draw Frame element.-..comando

rapido per disegnare elementi

Edit Grid - crea una griglia o ne modifica

una esistente

Lock Grid -.blocca la griglia

Snap to Grid - mette le calamite alle

intrersezioni della griglia, per cui attrae il

puntatore sullo schermo.

Glue Joints to Grid - consente di piazzare i nodi della struttura

esattamente sulle intersezioni della griglia

Snap to Joints.-.mette le calamite nei nodi della struttura

New Labels - rinumera nodi/elementi


Men Select Select - seleziona le seguenti opzioni o

parti della struttura

Per selezionare nodi e / o elementi

anche sufficiente cliccarli sullo

schermo

Deselectdeseleziona le seguenti opzioni o parti della struttura

Men Assign In questo men ai nodi/elementi selezionati e che appaiono evidenziati

sullo schermo vengono assegnati

Joint-Apre il sottomen di assegnazione per i nodi

Restraints Vincoli rigidi esterni

Constraints Collegamenti e link interni

Springs- Vincoli elastici - Masses-Masse

concentrate - Local Axes-Non usare

(principianti)

Frame Apre il sottomen di assegnazione per gli elementi

Sections-Caratteristiche

geometriche/statiche della sezione

Releases-Sconnessioni interne

Local Axes- Orienta gli assi locali degli

elementi

Output Segments Divide lelemento in

pi parti, solo per gli outputs dei risultati

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Joint Static Loads - assegna i carichi statici (Forces) o spostamenti

(displacements) ai nodi

(Joints)

Frame Static Loads assegna i carichi statici agli elementi trave

Point and uniform Carichi

concentrati e distribuiti, forze e

coppie

Men Analyze Set Options - assegna gradi di

libert elastici ai nodi e/o la tipologia

di struttura

16

Gradi di libert elastici (DOF Degrees Of

Freedom) = spostamenti di traslazione e

rotazione consentiti ai nodi nella

deformazione elastica della struttura.

Available DOFs si assegnano

rapidamente i gradi di libert a tutti i

nodi della struttura

Fast DOFs posiziona rapidamente

la tipologia di DOFs

Space Frame = Telaio spaziale

Plane Frame = Telaio piano

Plane Grid = Grigliato piano

Space Truss = Reticolare Spaziale


Run .. esegue il calcolo

Men Display

Show Undeformed Shape

Mostra la Geometria della

struttura indeformata

Show Loads Mostra i carichi

applicati ai nodi (joints) o alle

travi (Frame)

Show Input Tables .. Mostra i

dati iniziali del problema (Input)

in forma di tabelle per nodi ed

elementi

Show Deformed Shape Mostra la

Geometria della struttura deformata

Show ElementForces /Stresses Mostra le caratteristiche di

sollecitazione (Forces) ai nodi (joints) o alle travi (Frame)

Set Output Table Mode - Imposta i contenuti delle tabelle dei risultati

dellanalisi

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Men DESIGN Steel design / Concrete design

Consente di scegliere la

progettazione delle strutture in ferro

o in calcestruzzo, con la normativa

che pu essre scelta nel men

Options -> Prefernces e con le

relative caratteristiche dei materiali

scelte nel men Define ->-Materials

Select Design Groups Assegna ai

gruppi di elementi (se gi

precedentemente definiti) i relativi criteri di progettazione. Per i progetti

pi semplici e per lutente neofita conviene avere un solo gruppo.

Select Design Combos Assegna le combinazioni di carico da gestire

per ottenere i risultati del calcolo gi combinati. Infatti il sistema sviluppa

il calcolo per ogni condizione di carico ( Load Case ) e poi combina dette

condizioni base nelle combinazioni di carico e con i relativi coefficienti

(Combos) in maniera lineare.

Display Design Info .. Mostra le informazioni relative ai criteri e alle

condizioni di progettazione

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Men Options Preferences Vengono definite

precisioni di calcolo, tolleranze di

convergenza (si consiglia al neofita di

lasciare quelle che sono impostate dal

sistema Default) e le Normative di

calcolo; gli studenti di Tecnica delle

Costruzioni usuno le verifiche solo per

controllo, dovendole svolgere

esplicitamente.

Colors / Windows / / Sound /

3D View Up Direction.. Vengono

definite alcune possibilit di

visualizzazione estetiche del

programma SAP2000

Lock Model Blocca i risultati

dellanalisi

Men - Help ..AIUTO IN INGLESE

19


20

4 ESEMPIO DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI CON IL PROGRAMMA SAP2000N

Per poter gestire facilmente limmissione dati nel programma SAP 2000,

necessario predisporre in minuta i dati da introdurre; ovvero la

geometria della struttura con le coordinate dei nodi, la geometria delle

sezioni previste, i carichi sulle aste e sui nodi nelle varie condizioni di

carico elementare, le combinazioni di carico ed i relativi coefficienti. Il

programma valuta automaticamente il peso proprio della nuda struttura in

direzione Z globale. Si consiglia di salvare il lavoro frequentemente e con

nomi diversi per le varie fasi di input.

Sequenza minimale per elaborare un telaio piano.

1. Dopo lavvio di un nuovo problema

(New Model), viene attivata una

maschera (Coordinate System

Definition) per inserire i dati iniziali

che ci definiscono una griglia spaziale

a passi costanti. Per noi pi

conveniente introdurre la griglia col

passo 2 seguente.

Controllare preventivamente in basso a

destra le unit di misura ed

eventualmente cambiarle.


2. Cliccare DRAW Edit grid.. Appare lo schermo Modify Grid lines.

Si introducono le varie coordinate e si

aggiungono con il testo Add Grid lines

X, Ye per Z cliccando i relativi per pallini nel riquadro Directions.

Attivare Lock, Snap e Glue nel

riquadro, quindi cliccare OK.

Aprire due finestre per avere una visione

anche tridimensionale

Appare la griglia, cliccare il pulsante x

z

Aprire due finestre

21


3. Costruire le aste con il pulsante \\ che

cambia il puntatore. Disattivare con il tasto

escape Esc sulla tastiera; controllare, mentre

vengono disegnate, che le aste siano posizionate

sui nodi della griglia.

Per rimediare errori usare il tasto/comando

UNDO; oppure selezionare i nodi/elementi e

cancellarli con il tasto Canc su tastiera.

UNDO

4. Dopo aver cos completato le geometrie della

struttura, si possono assegnare i vincoli esterni

Selezionare i nodi (cliccandoli); i nodi

elementi selezionati vengono evidenziati o

tratteggiati sullo schermo

Nodo

cliccato

Pro memoria di cosa stato selezionato,

nella figura a lato 1 Joints selected, appare

in basso a sinistra; dopo aver selezionato i

nodi da vincolare, effettuare la seguente

sequenza - Assign Joint - Restraints (provare ad usare il

tasto fast.)

Possono essere scelti cos ( con la v nei quadratini) i

gradi di libert (Globali) da vincolare.

22

od


4.b Assegnare le sconnessioni. (nel nostro

esempio non ci sono sconnessioni interne, pertanto

questo passo viene saltato)

Selezionare le aste da sconnettere

Assign Frame Relases

- Per determinare start ed end controllare gli assi locali dellasta

con: View-Set elements-

4.c Assegnare le sezioni

Selezionare le aste interessate (cliccandole sullo schermo, controllare in

basso a sinistra cosa stato selezionato; passo analogo al 4 esguito per i

nodi )

Assign - Frame Sections >>appare il

riquadro a destra (Define Frame

Sections)

Cliccare la tendina Add Scegliere la

tipologia di sezione e cliccarla

- Nel riquadro che appare

I / Wide Flange Section

inserire i dati della

sezione (Dimensions) il

nome (- Section name)

ed il Materiale (Material

Steel) poi OK

Il passo 4c va ripetuto per ogni

gruppo di aste con diversa sezione

23


4.d Assegnare i carichi

Define Static load cases

Per lesercizio del corso di Tecnica

usare solo carichi Dead.

Inserire o cambiare i valori dei carichi

Usare Self Weight Multiplier =1 in modo che appaia solo una volta nelle

Combination dei carichi

4e.Define Static Load Combination

24


25

Nella finestra della Load

Combination (nuova o da

modificare) aggiungere i

carichi con i fattori

moltiplicativi

5.Eseguire Analyse - Run

Rimane infine da gestire le

combinazioni di carico e lanalisi dei

risultati;

Si consiglia a chi si accosta per la

prima volta a questa tipologia di

programmi di gestire un prova iniziale

ancora pi semplice del nostro esempio, con una mensola od una trave

appoggiata per poter controllare in una soluzion nota segni, quantit, unit di

misura, deformazioni, caratteristiche di sollecitazione ecc. sia per i dati del

problema (input) che per i risultati numerici e grafici (outputs).

ANALISI DEI RISULTATI

Sulla barra degli strumenti, cliccando F

otteniamo una finestra per la scelta della

caratteristica della sollecitazione che apparir

sullo schermo.


Sulla barra degli strumenti, cliccando J otteniamo

una finestra per la scelta delle reazioni vincolari che

appariranno sullo schermo.

Sulla barra degli strumenti, cliccando D otteniamo una finestra per la scelta

delle deformazioni che appariranno sullo schermo.

Nelle visualizzazioni dei risultati si usa il tasto destro del mouse per

visualizzare i singoli valori dei nodi o degli elementi.

E anche utile selezionare I vari punti di vista o gli elementi nelle strutture

complesse che sullo schermo possono generare confusione.

Con il comando File ed I vari Print si possono comunque ottenere le stampe

dei risultati.

26


5 ELEMENTI DI MATHCAD

Presentiamo brevemente Mathcad con la schermata del programma

27

La selezione di View Math Palette, attiva una

pulsantiera che apre delle sottofinestre, con pulsanti

intuitivi per scrivere i vari simboli matematici


Il simbolo della calcolatrice attiva una pulsantiera che riporta le funzioni

elementari attivabili nel foglio di Mathcad. Funzione base := Ricordandoci che il calcolo procede da sinistra a destra e dallalto al basso

possiamo iniziare con alcuni calcoli elementari. Preliminarmente si

assegnano le costanti a, b, c con il simbolo di := Si definisce ancora con lo stesso simblo di assegnazione

la funzione f(x),

ricordandoci sempre di inserire

il simbolo di moltiplicazione,

cos come fra a ed x2 . Inserendo poi qualsiasi valore

numerico fra le parentesi di f e

digitando poi il solo segno di uguale, otteniamo il risultato della funzione.

28


Gli elementi forniti non sono chiaramente esaustivi del programma, ma forniscono

un minimo start-up, che pu gi utilmente permettere di accedere alluso dello

stesso, a chi gi possiede gli elementi matematici necessari.

29


30

BIBLIOGRAFIA E TESTI CONSIGLIATI :

- O.C. ZIENKEWICZ - The Finite Element Method - Mc Graw Hill -

Maidenhead U.K. 1977 -

- J.S. PRZEMIENIECKI - Theory of Matrix Structural Analysis - J.Wiley

& Sons - N.Y. U.S.A. 1961 -

- G. BARLA ed Altri - Introduzione al Metodo degli Elementi Finiti -

Torino 1980 -

- MICHELE CAPURSO - Introduzione al Calcolo Automatico delle

Strutture - Ed.Sc.A.Cremonese - Roma 1977 -

- C.A.BREBBIA, J.J.CONNOR - Fondamenti del Metodo degli Elementi

Finiti - Clup - Milano 1978 -

- D.R.J.OWEN, E.HINTON - Finite Elements in Plasticity - Pineridge -

Swansea, U.K. 1980 -

- A.S.HALL and P.W.WOODHEAD - Frame Analysis - J.Wiley & Sons -

N.Y. U.S.A. 1961 -

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