Lo spazio e le figureDonatella MerloDirezione Didattica 1° Circolo di Pinerolo

MATHESIS - IVREA 3-4-5 Aprile 2002

Chi sono

Presentazione di alcuni esempi di attività da svolgere in classe coerenti con le competenze elencate nel documento UMI

Che cosa farò oggi

insegno nella scuola elementare dal ‘69 faccio parte del N.R.D. di Torino condotto dal Prof. Arzarellomi occupo non solo di matematica ma anche di informatica e scienze

In contesti diversi di indagine e di osservazione:•esplorare, descrivere e rappresentare lo spazio•riconoscere e descrivere le principali figure piane e solide•utilizzare le trasformazioni geometriche per operare su figure•determinare misure di grandezze geometriche•usare la visualizzazione, il ragionamento spaziale e la modellizzazione geometrica per risolvere problemi del mondo reale o interni alla matematica

COMPETENZE

Qualche slogan …

la geometria non ha bisogno della misura... ma la usa quando serveimparare ad argomentare serve a capire il senso del “dimostrare”saper “immaginare” è importantevisione dinamica vs visione staticageometria per problemi vsgeometria per definizionila storia insegna!

Il laboratorio di geometriaprogettare, manipolare, costruire con materiali diversifare ipotesi, discutere, argomentaresperimentare, validare

3 4

2 12 11

3

44

I contesti

Interni: Figure geometriche come oggetti matematiciEsterni: Carte geografiche ma anche:

Ritmi e moduli nello spazioPercorsi su un modelloRappresentazione dello spazio visibileRuote e ingranaggi

I collegamenti esterniLingua italiana: sempre al primo posto!Tutte le educazioni (tecnica, artistica, musicale, motoria)GeografiaScienze naturali, Fisica, Chimica

Gli esempi sceltiIl villaggio delle fiabe: 2°elementare

Solidi noti e solidi misteriosi: 4° e 5° elementare

Dal dialogo del “Menone” al teorema di Pitagora: 2° e 3° media

Alla ricerca della città perduta: 2° e 3° media

Il villaggio delle fiabeContesto: Figure geometriche come oggetti matematiciCominciare in 3D perché il mondo è in 3DI problemi di rappresentazione: ciò che so, non è ciò che vedoI punti di vista

Solidi noti e solidi misteriosi (il toblerone)

Contesto: Figure geometriche come oggetti matematiciLinee di sviluppo del lavoro sulle 3DL’uso dell’immaginazione

Dal dialogo del “Menone” al teorema di Pitagora

Contesto: Figure geometriche come oggetti matematiciLa discussione in classe si ferma su considerazioni solo aritmetiche ma….... quando si inserisce la voce di Platone la discussione si sposta su un altro piano

Alla ricerca della città perdutaContesto: Carte geograficheLe regole di proporzionalità che stanno sotto la similitudine di due triangoliRisolvere un problema per arrivare ad un concetto: ruolo dell’insegnante

Competenze specifiche• Riconoscere e descrivere alcune delle principali relazioni spaziali (sopra/sotto, davanti/dietro, dentro/fuori, …)• Eseguire un semplice percorso partendo dalla descrizione verbale o dal disegno e viceversa• Riconoscere, nel mondo circostante e nel disegno, alcune delle principali forme geometriche del piano e dello spazio, riflettendo sulle relazioni tra forma e uso• Progettare e costruire oggetti con forme semplici

Contenuti−Collocazione di oggetti in un ambiente−Mappe, piantine e orientamento−Le prime figure del piano e dello spazio (triangolo, quadrato, cubo…)

SCUOLA ELEMENTARE1° - 2° anno

Nota: Si consiglia di evitare le definizioni a priori delle figure

geometriche

Il villaggio delle fiabe: fasiProgettazione e costruzione di cubi, in cartoncino e con le cannucce, usando un cubo di legno o polistirolo come modelloDisegno del quadrato su carta quadrettata e su carta bianca (problema dell’angolo retto)

Abbiamo preso il cubo di legno e l’abbiamo appoggiato sul cartoncino, poi abbiamo con la matita ripassato il contorno, è venuto fuori un quadrato. Abbiamo preso le forbici e l’abbiamo ritagliato. Ne abbiamo ritagliati 7 quadrati perché uno era venuto storto. Poi abbiamo tenuto il cartoncino e abbiamo messo lo scoc, una teneva e l’altra metteva lo scoc sugli spigoli, da tutte le parti, in modo da formare un cubo.

COME ABBIAMO COSTRUITO IL CUBO

Abbiamo messo al centro del cartoncino il cubo e abbiamo piegato il cartoncino in modo da impacchettarlo, poi abbiamo messo lo scoc sopra per chiudere. Dopo abbiamo cercato di fare le due parti laterali. Abbiamo piegato il cartoncino in modo da chiudere, abbiamo tagliato via dei pezzi, con quelli rimasti che ci servivano abbiamo fatto le due facce laterali. Abbiamo tolto il cubo da dentro e poi abbiamo messo lo scoc per chiudere tutte le fessure.

COME ABBIAMO COSTRUITO IL CUBO

Abbiamo preso la matita, il righello, la gomma e le forbici e poi abbiamo preso il cubo di legno e il cartoncino e abbiamo fatto una croce con 5 quadrati che erano le facce del cubo. Abbiamo piegato il cartoncino dove c’erano le righe dei quadrati e abbiamo messo lo scoc per chiuderlo e infine abbiamo attaccato la faccia sopra.

COME ABBIAMO COSTRUITO IL CUBO

È O NON È UN QUADRATO?

LAURA - no, perché è tagliato storto, dovrebbe essere tagliato dirittoDIEGO - sembra più lungo che altoYUANA - ha tutte le curve, dovrebbe essere drittoANDREA - qua c’erano 1, 2, 3, 4… qua ce ne sono 10 e qua 9 INSEGNANTE - allora perché non è un quadrato?ANDREA - perché è tagliato storto invece dovrebbe essere tagliato diritto, poi da un parte ha 10 quadretti e dall’altra 9

Il villaggio delle fiabe: fasiProgettazione e costruzione di alcuni sviluppi piani del cubo, cubi di dimensioni diverse

1

1 1 2

1

Vista da davanti Vista da sinistraCasetta costruita

Progettazione e costruzione di “casette”formate da più cubi “uguali” uniti fra loro facendo combaciare le facce: il gioco dell’architetto

Il villaggio delle fiabe: fasiRealizzazione di un villaggio con le casette costruiteMappa del villaggio e percorsieseguiti da pupazzetti

Il villaggio delle fiabe: aspetti rilevanti

descrizione delle caratteristiche delle figure, carte di identità, conflitti con linguaggio naturale (spigolo)qual è un vero sviluppo? dai gesti fatti ai gesti immaginatifacciamo tutte le case possibili con 3, 4 cubi: combinatoria, simmetrie, rotazioni e traslazioni di forme 3D

Competenze specifiche•Costruire e disegnare con strumenti vari le principali figure geometriche•Individuare gli elementi significativi di una figura (lato, angolo, altezza…)•Individuare simmetrie in oggetti e figure date; realizzarle e rappresentarle col disegno•Effettuare traslazioni e rotazioni (movimenti rigidi) di oggetti e figure•Usare in maniera operativa, in contesti diversi, il concetto di angolo (anche mediante rotazioni)•Conoscere le principali proprietà delle figure geometriche•Riconoscere figure equiscomponibili e usare il concetto di equiscomponibilità per la determinazione di aree e di volumi in casi semplici, senza utilizzare troppe formule•Calcolare perimetri, aree e volumi delle più semplici figure geometriche•Utilizzare il piano cartesiano per localizzare punti e figure

SCUOLA ELEMENTARE3° - 4° - 5° anno

Contenuti −Le principali figure del piano e dello spazio−I principali enti geometrici −Simmetrie, traslazioni, rotazioni−Gli angoli e la loro ampiezza−Rette incidenti, parallele, perpendicolari−Uguaglianza tra figure−Scomposizione e ricomposizione di poligoni−Semplici scomposizioni di figure spaziali−Equivalenza di figure −Unità di misura di lunghezze, aree e volumi−Perimetro di poligoni−Area di semplici poligoni−Volume di semplici solidi−Sistema di riferimento cartesiano

NotaA fianco di strumenti usati tradizionalmente (riga, squadra, compasso, …), si consiglia di utilizzare anche software di geometria dinamica.Si eviti di fare ricorso a formule di aree di poligoni complessi attraverso l’uso dei numeri fissi.Si sconsiglia di fare imparare a memoria agli allievi le formule inverse, favorendo invece lo sviluppo di strategie per ricavarle.

Il toblerone: fasiattività preparatorie: quadrati e triangoli equilateri, tetraedro, piramide a base quadrata

Il problema esposto a voce dall’insegnante….

“Provate ad immaginare una piramide a base quadrata con le facce laterali costituite tutte da triangoli equilateri ... provate ad immaginare una seconda piramide a base quadrata, identica alla prima ... ora le due piramidi vengono appoggiate su un piano e si uniscono, in modo che due spigoli di base combacino. Tra i due solidi rimane un vuoto: sapete dire che solido manca per riempire quel vuoto?”

Sherlock Holmes: giocare con gli indizi

Ha 6 spigoli perché……..

Ha 4 facce perché…..

Le facce sono triangoli equilateri perché….

Ha 4 vertici perché…...

Qual è la figura che ha queste caratteristiche?

Il tetraedro!

… sempre il cubo ….

“Prendete 3 quadrati col lato di 10 cm, tagliateli lungo la linea HK in modo da ottenere 3 triangoli e 3 pentagoni (fig. 3). Disegnate un esagono regolare con i lati lunghi come HK e unite i triangoli e i pentagoni ai lati dell’esagono alternandoli (un triangolo, un pentagono e così via). Provate a chiudere la figura come fosse uno sviluppo. Che tipo di solido è venuto fuori? Assomiglia a qualche solido che conoscete? Sapete calcolare il volume di questo solido?”

5 cm

5 cm

10 cm

H

K

Il toblerone: aspetti rilevantimodo di porre un problema: voce, gesti, immaginazioneeducare alla visione spaziale: tempi lunghiconflitto tra aspetti figurali e concettuali: percezione aiuto/ostacolo, ri-costruzione concettuale e mentale

Competenze specifiche•Conoscere le proprietà delle figure piane e solide•Usare il metodo delle coordinate in situazioni problematiche concrete•Visualizzare oggetti tridimensionali a partire da una rappresentazione bidimensionale e, viceversa, rappresentare su un piano una figura solida•Risolvere problemi usando proprietà geometriche delle figure anche ricorrendo a modelli materiali e a opportuni strumenti (riga, squadra, compasso, software di geometria dinamica, …)•Riconoscere figure uguali e descrivere le isometrie necessarie per portarle a coincidere•Riconoscere grandezze proporzionali e figure simili in vari contesti •Riprodurre in scala•Calcolare perimetri, aree e volumi delle principali figure•Calcolare lunghezze di circonferenze e aree di cerchi

SCUOLA MEDIA1° - 2° - 3° anno

Contenuti −Figure piane e solide−Rappresentazione piana di figure solide−Rapporto tra grandezze−Somma degli angoli di un triangolo e di un poligono−Teorema di Pitagora−Traslazioni, rotazioni, simmetrie−Omotetie, similitudini −Lunghezza della circonferenza e area del cerchio−Descrizione di alcuni numeri irrazionali

NotaSi limiterà la memorizzazione di formule abituando i ragazzi a ricavare formule inverse.

Aspetti storici connessi: La misura del raggio della Terra col metodo di EratosteneDiversi valori di π

nella

geometria antica.

Il Menone: fasiil problemale possibili strategiela voce di Platone (dialogo traSocrate e uno schiavo)verso il teorema di Pitagora

“ Trova il lato di un quadrato di area doppia di quella di un quadrato dato. Puoi utilizzare un quadrato di lato 2 cm o 2 quadretti. Spiega con cura il tuo procedimento”.

Il problema

Possibili strategie“2x2= 4 area del primo quadrato, l’area del secondo deve essere 8, allora prendo un quadrato di lato 4 e avrò 4x4= 16 [Il tutto accompagnato da disegni], ma 16 è troppo, è il quadruplo. Allora provo con il lato di 3 perché è più grande di due e più piccolo di 4. Ma 3x3 fa 9 ed è ancora troppo. Però ci sono più vicino e potrei provare con 2,5…”

Si inserisce il dialogo di Platone

Socrate:... il lato di questo ABCD è di due piedi, quanto sarà quello di superficie doppia?Schiavo : evidentemente il doppio, Socrate! Socrate: tu dici che da questo lato si genererà la superficie di otto piedi, se i quattro lati sono uguali?Schiavo: Sì

[viene costruito il quadrato] Socrate: Il quadruplo è dunque quanto il doppio?Schiavo: No, per Zeus

Prima fase: il problema

Schiavo: allora il lato sarà di tre piedi [più grande di due e più piccolo di quattro]Socrate: Ma tre volte tre piedi quanto fa?Schiavo: NoveSocrate: Dunque neppure dal lato di tre piedi si genera la superficie di otto piedi.Schiavo: No certoSocrate: Da quale lato allora? Prova a dircelo con esattezza.Schiavo: Per Zeus, non lo so!

Socrate: Vedi Menone, quanto è progredito ormai? Prima non sapeva quale fosse il quadrato di otto piedi e neppure adesso lo sa, ma allora credeva di saperlo e non si considerava in difficoltà … Ormai invece si considera in difficoltà e poiché non sa, non crede neppure di sapere

Seconda fase: un altro tentativo

Socrate: Questa linea, condotta da un angolo all’altro in ciascuno di questi quadrati, non divide in due ciascuno di essi?Schiavo: Sì…….Socrate:… sicchè, se il suo nome è diagonale, la superficie doppia, come dici tu, schiavo di Menone, sarà generata dalla diagonale

Terza fase: la soluzione

Verso il Teorema di Pitagora

I ragazzi, in genere, riconoscono le equivalenze:“Possiamo dire che A e B sono uguali e sono il doppio del triangolo, mentre C è il quadruplo del triangolo, come ci ha insegnato Socrate, ed è il doppio di A e B.”

Generalizzando a tutti i triangoli rettangoli……..

“Abbiamo un triangolo isoscele rettangolo (mezzo quadrato) di lato l. Costruiamo i quadrati sui lati del triangolo. Che cosa possiamo dire di questi tre quadrati? Che relazione hanno tra di loro?”

Il Menone: aspetti rilevanti

conoscenza dei numeri decimali e del loro significatopur conoscendo la radice quadrata non la usanoruolo della rappresentazioneuso della voce di Platone per sbloccare la situazione (strategia didattica)

Alla ricerca della città perduta: fasi

confronto fra carte geografiche in scale diverse: dov’è sparita St. Étienne?il triangolo sulla prima carta, disegno e misurazioniil triangolo sulla seconda carta: i lati … diviso 5, ma gli angoli?se la direzione per andare da una città all’altra non cambia …..

L'immagine che vedete nella figura 1 è una parte della carta della Francia: la scala è 1 : 1 000 000. Su di essa abbiamo evidenziato tre città - Lyon, Grenoble e St.- Étienne - che formano i vertici di un triangolo scaleno.

Il problema

Di esse la meno famosa è forse St.- Étienne. Probabilmente per questo motivo non l'abbiamo più ritrovata nella carta dell'Europa all'interno di un atlante.In questa seconda carta la scala è 1 : 5 000 000. Il problema che abbiamo di fronte è quello di collocare anche su questa carta St.- Étienne conoscendo la scala e la posizione di Lyon e Grenoble. Come fare?

Come saranno le distanze sulla seconda carta rispetto a quelle della prima? Evidentemente 5 volte più piccole. Controlliamo questo fatto con i dati che abbiamo a disposizione. Sulla prima carta la distanza Lyon-Grenoble è di 9.3 cm; sulla seconda di 1.86 cm. Infatti 9.3 : 5 = 1.86.

….dobbiamo ancora tenere conto degli angoli. Dobbiamo variarli rispetto al triangolo della prima carta? Ragionate un po': la direzione da prendere per andare da una città non può variare passando da una carta all'altra! Quindi gli angoli devono restare uguali. Ora abbiamo tutti gli elementi necessari per costruire il secondo triangolo

Se calcoliamo il rapporto tra il lato maggiore e quello minore del primo triangolo otteniamo: 10,7 / 4,9 ~ 2,1836734 Quanto otteniamo calcolando lo stesso rapporto per il secondo triangolo?

2,14 / 0,98 ~ 2.1836734

….quindi i loro lati formano una proporzione:

4,9 : 9,3 = 0,98 : 1,86 4,9 : 10,7 = 0,98 : 2,14 9,3 : 10,7 = 1,86 : 2,14

Ora tocca all’insegnante!

Due figure piane che abbiano queste caratteristiche si dicono simili. Il rapporto tra i lati corrispondenti di figure simili si chiama rapporto di similitudine.

Figure piane simili hanno la stessa forma.

Alla ricerca della città perduta: aspetti rilevanti

che cosa determina la forma?il calcolo come confermadell'uguaglianza dei rapportil'insegnante dà il “nome” al pezzo di sapere costruito: figure simili, rapporto di similitudine

Metafore e immaginazione

l’alunno (noi) parla di quel che non sa usando ciò che sa (metafore, analogie)usa le sue conoscenze e il suo linguaggio naturalel’immaginazione serve per anticipare i risultati di azioni che si sanno compiere: tempi lunghi!

Non esistono i quadrati perfetti!

i modelli in geometria assiomi e dimostrazionidiscutere e argomentare pro o contro una soluzione quindi…porre problemi in contestisignificativi