Docenti: Proff.: Renata Graziani – Fausto Martire Tutor: Prof.ssa Anna Alfieri ITC ROSSANO...

Docenti: Proff.: Renata Graziani – Fausto Martire Tutor: Prof.ssa Anna AlfieriDocenti: Proff.: Renata Graziani – Fausto Martire Tutor: Prof.ssa Anna Alfieri

ITC ROSSANOITC ROSSANO

PROGETTO DIGI SCUOLAPROGETTO DIGI SCUOLA

0vvero come risolvere i problemi con le equazioni0vvero come risolvere i problemi con le equazioni

ProblemaProblema

Un televisore, dopo che è stato Un televisore, dopo che è stato praticato lo sconto del 12% sul prezzo praticato lo sconto del 12% sul prezzo

originario è stato pagato 308 euro. originario è stato pagato 308 euro. Qual’era il prezzo del televisore ?Qual’era il prezzo del televisore ?


Familiarizziamo con il problemaFamiliarizziamo con il problema DATIDATI

Sconto effettuato sul Sconto effettuato sul prezzo del televisore: prezzo del televisore:

12%12% Prezzo scontato:Prezzo scontato:

308 euro308 euro

OBIETTIVOOBIETTIVO

Del problemaDel problema Il Il prezzoprezzo originario del originario del

televisoretelevisore


Costruiamo il modello del problemaCostruiamo il modello del problema

Indichiamo conIndichiamo con X X ( INCOGNITA ) il prezzo ( INCOGNITA ) il prezzo originario del televisore (che è il nostro obiettivo)originario del televisore (che è il nostro obiettivo)

Osserviamo che deve essere X>308 ( il prezzo Osserviamo che deve essere X>308 ( il prezzo originario deve essere maggiore del prezzo originario deve essere maggiore del prezzo scontato.scontato.

Per determinare x impostiamo un’Per determinare x impostiamo un’EQUAZIONE EQUAZIONE che tiene conto dei dati.che tiene conto dei dati.

L’equazione è la seguente:L’equazione è la seguente:


Dal problema all’equazioneDal problema all’equazione

308100

12 xx

Prezzo

originario meno

Il 12% del Prezzo

originarioè uguale al Prezzo

scontato

Prezzo

originario


Riscriviamo l’equazioneRiscriviamo l’equazione

ossiaossia

30825

3 xx

Osserva che

25

3

100

12


Risolviamo l’equazioneRisolviamo l’equazione

30825

3 xx

25308325 xx2530822 x

Moltiplichiamo entrambi i membri per 25

35022

25308

x


RispondiamoRispondiamo

La soluzione trovata è accettabileLa soluzione trovata è accettabile

( infatti il prezzo trovato è maggiore di ( infatti il prezzo trovato è maggiore di 308 )308 )

Concludiamo che il prezzo originario Concludiamo che il prezzo originario del televisore era di € 350.del televisore era di € 350.


Dal concreto

Definiamo il modelloAll’astratto


Si chiama equazione algebrica un’uguaglianza fra due espressioni algebriche, in una o più variabili, che risulti verificata solo per particolari valori attribuiti alle variabili che in essa figurano.Un’equazione algebrica, in una sola variabile, si dirà di primo grado se la variabile che in essa figura è di primo grado.La variabile x si chiama incognita dell’equazione. I particolari valori che attribuiti all’incognita soddisfano l’equazione, si chiamano soluzioni o radici dell’equazione stessa. Se l’equazione (di 1° grado) possiede una sola soluzione si dirà determinata; se, invece, possiede infinite soluzioni si dirà indeterminata; infine, si dirà impossibile se non ammette soluzioni.

Definizione di equazioneDefinizione di equazione


Equazioniax = b con a,b,x

Equazioni determinate

(una soluzione)

ax = b

Equazioniindeterminate

(infinite soluzioni)

0x = 0

Equazioniimpossibili

(nessuna soluzione)

0x = b


Data una generica equazione:

ax = b con a, b, x

Chiameremo 1° membro l’espressione posta a sinistra dell’uguale e 2° membro l’espressione a destra.

x – 1 + 2x = 3x - 1

1° membro 2° membro


ClassificazioneEquazioni

RazionaliLe incognite non

compaiono sotto un segno di radice

IrrazionaliLe incognite

compaiono sotto un segno di radice

NumericheOltre alle incognite non compaiono altre

lettere

letteraliOltre alle incognite

compaiono altre lettere

Interele incognite non compaiono in un

denominatore

FratteLe incognite

compaiono anche nei denominatori

Grado di

un’equazione in

tera

nella fo

rma P(x)=

0:

È il gra

do del

polinomio


5x = 15

x 1° membro 2° membro-3 -15 15-2 -10 15-1 -5 150 0 151 5 152 10 153 15 15

x = 3 è la soluzione cercata

Data un’equazione ax = b determinare una soluzione significa determinare quel particolare valore dell’incognita che rende il primo membro uguale al secondo


EQUAZIONI EQUIVALENTI

Diremo che due equazioni, di primo grado, sono equivalenti se ammettono la stessa soluzione

Per risolvere un’equazione è necessario applicare un procedimento risolutivo, occorre cioè conoscere i metodi che consentono di trasformare un’assegnata equazione in una nuova equazione ad essa equivalente ma di forma più semplice.A tale scopo è necessario applicare due importanti teoremi detti principi di equivalenza.


A = B A + k = B + k

1° principio

A = B A p = B p

2° principio

Le equazioni possono essere paragonate ad una bilancia. Il contenuto del piatto di sinistra corrisponde al primo membro, quello di destra al secondo membro:

Se si aggiunge un pesetto su un piatto per mantenere l’equilibrio bisogna aggiungere un pesetto uguale anche sul 2° piatto

Quindi il “primo principio della bilancia” può essere sintetizzato dicendo: se in una bilancia, in equilibrio, si aggiungono pesetti uguali su due piatti si ha ancora l’equilibrio.

Se si raddoppia il contenuto di un piatto per mantenere l’equilibrio bisogna raddoppiare il contenuto del 2° piatto

Quindi il “secondo principio della bilancia” può essere sintetizzato dicendo: se, in una bilancia, in equilibrio, si raddoppia il contenuto dei due piatti si ha ancora l’equilibrio. Lo stesso succede se si triplica, dimezza ecc….


Come si costruiscono equazioni equivalenti?

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Se si aggiunge o si sottrae una stessa espressione letterale, contenente o no l’ incognita, per entrambi i membri, si ottiene un’equazione equivalente.

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Se si moltiplica o si divide entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero, diverso da 0, una stessa espressione letterale ( escludere i valori delle lettere che la annullano o che la rendono priva di significato), si ottiene un’equazione equivalente alla precedente.

Esempio: 8x – 6 = 7x + 4 Applicando il 1° principio, aggiungiamo ambo i membri l’espressione: 6 – 7x:

8x – 6 + 6 – 7x = 7x + 4 + 6 – 7x x = 10

Esempio: 8x = -16 Applicando il 2° principio, dividendo ambo i membri per 80:

8x : 8 = – 16 : 8 x = – 2


Le diapositive che seguono

possono essere presentate agli

allievi come attività di laboratorio

in Excel.


I D E N T I T A’

x2 - 4x + 4 = ( x - 2)2

x= -9 2

81 - -36 + 4 = ( -9 - 2 )

=

6

attribuisci un valore alla x

121 121

l'uguaglianza è verificata


4 x + 7 = 7

x= 0,6

2,4 + 7 = 7

= 7

x=la soluzione dell'equazione è: 0

attribuisci un valore alla x

Personalizza l'equazione inserendo coefficienti ed operazioni nelle aree evidenziate in verde

9

il valore indicato non è soluzione dell'equazione

E Q U A Z I O N E


3 x + 9 = 7 procedi

3 x + 9 - 9 = 7 - 9

procedi

3 x = 7 - 9

cioè

3 x = -2

ESEGUENDO I CALCOLI:

NOTA BENE:QUESTO RISULTATO SI SAREBBE POTUTO OTTENERE

TRASPORTANDO DIRETTAMENTE IL TERMINE NOTO AL 2° MEMBRO E

CAMBIANDOLO DI SEGNO

Personalizza l'equazione inserendo coefficienti ed operazioni nelle aree evidenziate in verde

seleziona procedi nella casella evidenziata in rosso per calcolare la somma algebrica dei termini membro a membro

applicando il primo principio di equivalenza si può scrivere che:


3 x - 9 = 5 x - 9procedi

3 x - 9 + 9 = 5 x procedi

3 x = 5 x

Personalizza l'equazione inserendo coefficienti ed operazioni nelle aree

evidenziate in verde

Trasportando i termini noti al primo membro si otterrebbe:

si sarebbero potuti direttamente eliminare i termini uguali posti su membri diversi, ottenendo lo stesso risultato

1° PRINCIPIO - ELISIONE

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