Lezione 5GEOTECNICA

Docente: Ing. Giusy Mitaritonnae-mail: g.mitaritonna@poliba.it

- Lezione 5 –

A. Legame costitutivo

B. Modello elastico

C. Modello plastico

D. Criteri di resistenza delle terre

5.A

Legame costitutivo

La REOLOGIA è la scienza che studia l’andamento delle deformazioni dei corpi naturali sotto l’effetto dell’applicazione di un sistema di sollecitazioni.

Uno degli obiettivi principali di questa disciplina è quello di definire modelli matematici che stabiliscano dei legami tra tensioni, deformazioni e tempo (legami costitutivi).

Un modello reologico non è legato solo al tipo di materiale, ma anche e soprattutto al fenomeno fisico che lo interessa; per questo motivo la scelta del tipo di modello è strettamente dipendente oltre che dal tipo di terreno, da quello dell’applicazione ingegneristicaconsiderata.

• Per la soluzione dei problemi applicativi geotecnici è

necessario stabilire delle relazioni tra le tensioni

efficaci σ‘ e le deformazioni ε

• La legge che definisce la dipendenza fra σ ‘ e ε (ed eventualmente la loro dipendenza dal tempo t) è detta

legame o modello costitutivo

• Data la complessità del comportamento meccanico dei

terreni, tradizionalmente si assume che il modello

costitutivo sia diverso in relazione al differente

problema applicativo esaminato

PROBLEMA APPLICATIVO MODELLO COSTITUTIVO ASSUNTO

Valutazione delle variazioni di tensione Δσ indotte dalle opere geotecniche

MODELLO ELASTICO LINEARE ISOTROPO

Studio del comportamento di un’opera in esercizio (deformabilità)

MODELLO ELASTICO LINEARE ISOTROPO O SUE

EVOLUZIONI

Stabilità di un’opera in relazione al raggiungimento delle condizioni di collasso

MODELLO RIGIDO PLASTICO PERFETTO

5.B

Modello elastico

• Il modello elastico è caratterizzato da una legge costitutiva indipendente dal tempo, nella quale le sollecitazioni e le deformazioni sono in relazione biunivoca tra loro

• Ciò significa che una stessa sollecitazione, anche se applicata ripetutamente, produce sempre la stessa deformazione

• Il simbolo del modello elastico è una molla elicoidale

s

F F

F F

• Modello elastico non lineare:

• Modello elastico lineare:

( )sfF =

sKF ⋅=

• MODELLO ELASTICO LINEARE ISOTROPO (isotropo: stesse caratteristiche meccaniche in ogni direzione)

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

'G

'G

'G

'''''E

1

'''''E

1

'''''E

1

zxzx

yzyz

xyxy

yxzz

zxzy

zyxx

τγ

τγ

τγ

σσνσε

σσνσε

σσνσε

=

=

=

+−=

+−=

+−=

E' = modulo di Young

ν' = coefficiente di Poisson

G' = modulo di taglio

PARAMETRI ELASTICI

• E'= modulo di Young

• ν'= coefficiente di Poisson

• G' = modulo di taglio

• Dunque sono necessari solo due parametri per caratterizzare un

mezzo elastico, lineare ed isotropo

( )'12''ν+

=EG

5.C

Modello plastico

• Il modello plastico è caratterizzato dall’esistenza di determinate soglie di sollecitazione raggiunte le quali si manifestano deformazioni permanenti ed indipendenti dalla durata del processo che le genera (deformazioni plastiche).

• Il simbolo del mezzo plastico è rappresentato dal morsetto ad attrito caratterizzato da un valore limite, F*, della sollecitazione applicata per il quale iniziano le deformazioni plastiche

• Prima di raggiungere la soglia di sollecitazione in cui di generano le deformazioni plastiche, la deformazione del mezzo è nulla (mezzo rigido plastico) oppure elastica (mezzo elasto-plastico)

• Il modello plastico più semplice è il mezzo RIGIDO PLASTICO PERFETTO

• Esiste una soglia F* tale per cui:

- se F < F* non si hanno spostamenti (s = 0)

- se F > F* si hanno spostamenti indefiniti (s = ∞), cioèROTTURA

• Esempio di mezzo RIGIDO PLASTICO PERFETTO

• P = forza normale

• Q = forza tangenziale

P

Qbloccoscabro

• Applichiamo P = P1 e facciamo crescere Q fino a quando non si ottiene lo scorrimento del blocco Q = Q1

• Applichiamo ora P = P2 > P1 ....................Q = Q2

• Applichiamo ora P = P3 > P2 ....................Q = Q3

• ..........................................................

Q

s

Q0 P = P0

P = P1Q1

P = P2Q2

• Diagrammando i risultati in un piano (P , Q):

P

Q

STATI

POSSIBILI

Q0

STATI NON

POSSIBILI

Q0

Inviluppo di rottura

• Analiticamente, definita come Q0 l’intercetta con l’asse delle ordinate, la curva limite può essere espressa come:

• Se la curva risulta lineare si può scrivere allora:

• è un CRITERIO DI RESISTENZA

( )PfQQ 0 +=

PQQ 0 ⋅+= μ

PQQ 0 ⋅+= μP

Q

STATI

POSSIBILI

Q0

STATI NON

POSSIBILI μ

Analogia tra blocco e terreno

P

Qbloccoscabro

σ'nτ

P

Q

Granuli

Piano di rottura

σ‘n=Tensioni efficaci normali

τf = Tensioni di taglio

Quando lo sforzo di taglio agente raggiunge la resistenza al taglio si ha ROTTURA del terreno cioè uno scorrimento indefinito dei granuli tra loro che se concentrata in una fascia di piccolo spessore determina la formazione di un piano di rottura.

NO!!

I grani scorrono gli uni rispetto agli altri lungo il piano di rottura

NON C’É ROTTURA DEI SINGOLI GRANI

5.D

Criteri di resistenza delle terre

σ'

τ

tg ϕ'

•CRITERIO DI RESISTENZA PER TERRENI INCOERENTI (sabbie, ghiaie)

' 'f n tgτ σ ϕ= ⋅

• CRITERIO DI MOHR-COULOMB:

• τf = tensione tangenziale a rottura

• σ'n = tensione efficace normale al piano di rottura

• φ‘ = angolo di attrito efficace

• Il criterio è formulato in termini di tensioni efficaci

• Per σ'n = 0 si ha τf = 0 (comportamento puramente attritivo: si verifica sempre nelle ghiaie e nelle sabbie; in condizioni particolari anche nelle argille e nei limi)

'tg'nf ϕστ ⋅=

• CRITERIO DI RESISTENZA PER TERRENI “COESIVI”(argille sovraconsolidate *)

• (*) le argille sovraconsolidate sono argille che in passato sono state sottoposte a stati tensionali superiori a quelli attuali (σ’attuale < σ’max); il terreno ha conservato traccia dello stato tensionale massimo precedentemente sperimentato (σ’max) attraverso il generarsi di legami interparticellari cui può essere correlata la COESIONE (c’)

σ'

τ

tg ϕ'

c'

'' tan 'f ncτ σ ϕ= +

• CRITERIO DI MOHR-COULOMB:

• τf = tensione tangenziale a rottura

• σ'n = tensione efficace normale al piano di rottura

• c' = coesione intercetta efficace

• φ‘ = angolo di attrito efficace

• Il criterio è formulato in termini di tensioni efficaci

• Per σ ‘n = 0 si ha τf = c‘ > 0 (componente coesiva della resistenza)

'tg''c nf ϕστ ⋅+=