Dispense_Elettrotecnica.pdf

Corso di Elettrotecnica(Ing. Meccanica, Ing. Gestionale)

A.A. 2011/2012

Dispense di Elettrotecnica

Prof. Giulio AntoniniDipartimento di Ingegneria Elettrica e dellInformazione

Universita` degli Studi dellAquilaVia G. Gronchi 18, I-67100, LAquilae-mail: [email protected]

10 giugno 2012

Indice

1 Reti in corrente continua 1

1.1 La carica elettrica e la legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Il campo elettrico coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Proprieta` fondamentale del campo elettrico coulombiano 4

1.3 Il potenziale elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 La corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.1 Dipendenza dalla temperatura della resistenza elettri-ca dei conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7.1 Caratteristica volt-amperometrica di un generatore ide-ale di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.2 Caratteristica volt-amperometrica di un generatore ide-ale di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.3 Nozioni topologiche dei circuiti . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Interconnessione di resistenze e generatori ideali . . . . . . . . 17

1.8.1 Partitore di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.2 Shunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.3 Reostato a cursore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8.4 Partitore di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8.5 Resistenza equivalente di una rete resistiva . . . . . . 22

1.9 Generatore reale di tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.10 Generatore reale di corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.10.1 Trasformazione di equivalenza tra un generatore realedi tensione ed un generatore reale di corrente . . . . . 26

1.10.2 Adattamento e rendimento di un generatore reale ditensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

i

ii INDICE

1.10.3 Dimensionamento termico dei conduttori . . . . . . . 36

1.11 Teoremi e metodi di soluzione delle reti elettriche lineari . . . 381.11.1 Analisi delle reti elettriche lineari . . . . . . . . . . . . 38

1.11.2 Metodo di tableau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.11.3 Formule di Millmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.11.4 Principio di Sovrapposizione degli Effetti . . . . . . . 451.11.5 Teorema di Theve`nin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.11.6 Teorema di Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.11.7 Teorema di Tellegen-Principio di conservazione delle

potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.12 Concetti topologici: grafo, albero e coalbero di una rete . . . 571.13 Metodi di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.14 Il metodo dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.14.1 Esempio di applicazione del metodo dei nodi . . . . . 58

1.14.2 Regola di scrittura rapida del sistema risolvente il cir-cuito mediante il metodo dei nodi . . . . . . . . . . . 65

1.15 Il metodo delle maglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.15.1 Esempio di applicazione del metodo delle maglie . . . 701.15.2 Regola di scrittura rapida del sistema risolvente me-

diante il metodo delle maglie . . . . . . . . . . . . . . 78

1.16 Trasformazione triangolo-stella . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.17 Dispersore semisferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2 Fenomeni dielettrici e capacita` 89

2.1 Effetti del campo elettrico nei materiali isolanti . . . . . . . . 892.1.1 Relazione costitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.1.2 Dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.2 Fenomeni dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.2.1 Teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.2.2 Condensatore con armature piane e parallele . . . . . 94

2.2.3 Connessione di condensatori . . . . . . . . . . . . . . . 972.2.4 Cilindro rettilineo indefinito . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.2.5 Cilindri coassiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

2.2.6 Cilindri paralleli indefiniti . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.2.7 Principio delle immagini . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.2.8 Cilindro indefinito in presenza del terreno . . . . . . . 1182.2.9 Capacita` parziali di un sistema di n conduttori . . . . 120

2.2.10 Linea bifilare in aria su terreno . . . . . . . . . . . . . 1232.3 Analisi transitoria di un circuito RC . . . . . . . . . . . . . . 130

2.3.1 Transitorio di carica di un condensatore . . . . . . . . 131

INDICE iii

2.3.2 Transitorio di scarica di un condensatore . . . . . . . 131

2.3.3 Energia immagazzinata in un condensatore . . . . . . 136

2.3.4 Forza di attrazione tra le armature di un condensatore 140

3 I fenomeni magnetici 143

3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.1.1 Legge della circuitazione di Ampere . . . . . . . . . . 143

3.1.2 Legge della circuitazione di Ampere in presenza di piu`correnti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.1.3 Campo magnetico generato da un conduttore rettili-neo indefinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.1.4 Teorema di Gauss per il campo di induzione . . . . . . 147

3.1.5 Campo di induzione: legge di Faraday-Neumann . . . 148

3.1.6 Proprieta` fondamentali di B . . . . . . . . . . . . . . 149

3.1.7 Legge di Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.2 Relazione costitutiva dei mezzi magnetici . . . . . . . . . . . 153

3.2.1 Materiali ferromagnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.3 Modelli circuitali per i fenomeni magnetici . . . . . . . . . . . 160

3.3.1 Tubi di flusso del campo di induzione B . . . . . . . . 160

3.3.2 Induttanza magnetica di un circuito . . . . . . . . . . 166

3.3.3 Induttanza magnetica e riluttanza . . . . . . . . . . . 168

3.3.4 Circuiti magnetici in presenza di due circuiti elettriciaccoppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.3.5 Modello 2-bipolare di due induttori mutuamente ac-coppiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

3.3.6 Coefficienti di accoppiamento e dispersione . . . . . . 173

4 Reti in regime alternativo sinusoidale 195

4.1 Circuiti in regime alternativo sinusoidale . . . . . . . . . . . . 195

4.1.1 Funzioni periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.1.2 Il metodo dei fasori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.1.3 Trasformazione della derivata temporale di una fun-zione sinusoidale y(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.1.4 Trasformazione dellintegrale indefinito di una funzionesinusoidale y(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.1.5 Trasformazione inversa dal dominio dei fasori a quellodel tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.2 Bipoli in regime alternativo sinusoidale . . . . . . . . . . . . . 199

4.2.1 Componenti della corrente in fase ed in quadraturacon la tensione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

iv INDICE

4.2.2 Potenza istantanea, potenza media (attiva) . . . . . . 2014.3 Potenze nei bipoli elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.3.1 Circuito puramente resistivo . . . . . . . . . . . . . . . 2044.3.2 Circuito puramente induttivo . . . . . . . . . . . . . . 2064.3.3 Circuito puramente capacitivo . . . . . . . . . . . . . 2084.3.4 Generico bipolo in regime alternativo sinusoidale . . . 2124.3.5 Potenza complessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.3.6 Circuito RLC serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.3.7 Diagrammi fasoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

4.4 Teorema di Tellegen in regime sinusoidale . . . . . . . . . . . 2274.5 Teorema di Thevenin e di Norton in regime alternativo sinu-

soidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.5.1 Metodo dei nodi e delle maglie in regime alternativo

sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.5.2 Regola di scrittura rapida del sistema risolvente il cir-

cuito mediante il metodo dei nodi . . . . . . . . . . . 2374.5.3 Regola di scrittura rapida del sistema risolvente me-

diante il metodo delle maglie . . . . . . . . . . . . . . 238

5 Sistemi trifase in regime alternativo sinusoidale 2615.1 Sistemi polifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

5.1.1 Tensioni di fase stellate e tensioni concatenate . . . . 2665.1.2 Caso di centro stella dellutenza isolato . . . . . . . . 2685.1.3 Circuito trifase simmetrico nelle tensioni di alimen-

tazione e squilibrato nelle correnti . . . . . . . . . . . 2695.1.4 Collegamento a triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . 2705.1.5 Analisi di una rete trifase simmetrica nelle tensioni ed

equilibrata nei carichi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2755.2 Potenza nei sistemi polifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

5.2.1 Potenza nei sistemi trifase simmetrici ed equilibrati . . 2775.3 Caduta di tensione lungo una linea . . . . . . . . . . . . . . . 285

5.3.1 Rifasamento del carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

Elenco delle figure

1.1 Le legge di Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Somma vettoriale delle forze di Coulomb agenti su una carica. . . . 3

1.3 Forza di Coulomb su una carica esploratrice. . . . . . . . . . 4

1.4 Circuitazione del campo elettrico coulombiano. . . . . . . . . 4

1.5 Integrali di linea del campo elettrico coulombiano lungo duediverse linee congiungenti gli stessi punto A e B. . . . . . . . 5

1.6 Intensita` di corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7 La legge di Ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Caratteristiche volt-amperometriche di resistori lineari e nonlineari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9 Resistivita` e coefficiente di temperatura di alcuni materiali. . 11

1.10 Generatore ideale di tensione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.11 Caratteristica volt-amperometrica (a) e simbolo circuitale di ungeneratore ideale di tensione continua Vg (b). . . . . . . . . . . . 13

1.12 Caratteristica volt-amperometrica (a) e simbolo circuitale di ungeneratore ideale di corrente Ig (b). . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.13 Versi di misura di tensione e corrente di un lato. . . . . . . . . . . 15

1.14 I Principio di Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.15 II Principio di Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.16 Collegamento in serie di n generatori ideali di tensione. . . . 17

1.17 Collegamento in parallelo di n generatori ideali di corrente. . 18

1.18 Partitore di corrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.19 Shunt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.20 Reostato a cursore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.21 Partitore di tensione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

v

vi ELENCO DELLE FIGURE

1.22 Andamenti delle correnti Ip e Iu al variare del parametro k(in alto) e Rendimento del partitore (in basso). . . . . . . . . 22

1.23 Resistenza equivalente di una rete vista da due suoi nodi. . . . . . 23

1.24 Circuito equivalente di un generatore reale di tensione. . . . . . . 24

1.25 Caratteristica volt-amperometrica di un generatore reale di tensione. 24

1.26 Circuito equivalente di un generatore reale di corrente. . . . . . . 25

1.27 Caratteristica volt-amperometrica di un generatore reale di corrente. 25

1.28 Trasformazione di equivalenza tra un generatore reale di ten-sione ed un generatore reale di corrente. . . . . . . . . . . . . 26

1.29 Bipolo elettrico con versi di misura di tensione e correntesecondo la convenzione dei generatori. . . . . . . . . . . . . . 27

1.30 Bipolo elettrico con versi di misura di tensione e correntesecondo la convenzione degli utilizzatori. . . . . . . . . . . . . 28

1.31 Convenzione dei generatori e interpretazione del segno dellapotenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.32 Convenzione degli utilizzatori e interpretazione del segno dellapotenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.33 Legge di Ohm: convenzioni degli utilizzatori e dei generatoriper una resistenza ohmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.34 Circuito costituito da due generatori reali in parallelo. . . . . 31

1.35 Generatore reale di tensione Vg, di resistenza interna Rg, chealimenta un utilizzatore di resistenza Ru. . . . . . . . . . . . 33

1.36 Rapporto Pu/Pmax (in alto), rendimento (in basso). . . . . 34

1.37 Esempio di applicazione del metodo di tableau. . . . . . . . . 40

1.38 Convenzioni per il circuito analizzato con il metodo di tableau. 40

1.39 n generatori reali di tensione in parallelo. . . . . . . . . . . . 43

1.40 Circuito di Fig. 1.39 trasformato. . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.41 Circuiti da analizzare con il Principio di Sovrapposizione degliEffetti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.42 Rete lineare attiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.43 Dimostrazione del Teorema di Theve`nin. . . . . . . . . . . . . 48

1.44 Circuito semplificato in seguito allapplicazione del teoremadi Theve`nin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.45 Circuito equivalente secondo Norton. . . . . . . . . . . . . . . 49

1.46 Esercizio proposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.47 Circuito con il solo generatore Is2 attivo. . . . . . . . . . . . . 51

1.48 Circuito semplificato con il solo generatore Is2 attivo. . . . . . 51

1.49 Circuito con il solo generatore Vs1 attivo. . . . . . . . . . . . 52

1.50 Circuito dopo leliminazione della resistenza R3. . . . . . . . . 52

ELENCO DELLE FIGURE vii

1.51 Circuito dopo leliminazione della resistenza R3 e la trasfor-mazione reale di tensione nellequivalente generatore reale dicorrente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.52 Trasformazioni di equivalenza del circuito. . . . . . . . . . . . 53

1.53 Calcolo della resistenza a vuoto vista dai morsetti AB dellarete resa passiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.54 Circuito finale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.55 Lato generico della rete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.56 Esercizio proposto per lapplicazione del metodo dei nodi. . . 59

1.57 Trasformazioni di equivalenza del circuito di Fig. 1.56. . . . . 60

1.58 Trasformazione dei generatori reali di tensione in generatorireali di corrente per il circuito di Fig. 1.56. . . . . . . . . . . 61


1.60 Esercizio proposto per lapplicazione del metodo delle maglie. 70

1.61 Trasformazione dellesercizio proposto per lapplicazione delmetodo delle maglie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.62 Grafo, albero e co-albero orientati per il circuito di Fig. 1.60. 76

1.63 Maglie indipendenti per il circuito di Fig. 1.60. . . . . . . . . 77


1.65 Trasformazione triangolo-stella. . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.66 Dispersore semisferico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.67 Campo elettrico E (in alto) e potenziale V (in basso) generatinel terreno da un elettrodo semisferico. . . . . . . . . . . . . . 84

1.68 Dispersore cilindrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.69 Connessione allimpianto di terra delle carcasse metalliche diutilizzatori elettrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.1 Teorema di Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.2 Condensatore a facce piane e parallele. . . . . . . . . . . . . . 94

2.3 Connessione in serie di n condensatori. . . . . . . . . . . . . . 97

2.4 Connessione in parallelo di n condensatori. . . . . . . . . . . 98

2.5 Condensatore con armature piane e parallele con piu` dielettrici. 99

2.6 Cilindro indefinito sede di carica uniformemente distribuitasulla sua superficie: calcolo del potenziale prodotto in unpunto P dello spazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.7 Cilindri coassiali di diverso potenziale elettrico. . . . . . . . . . . 102

2.8 Condensatore cilindrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2.9 Condensatore cilindrico a tre strati. . . . . . . . . . . . . . . . 106

2.10 Sfere concentriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.11 Distribuzione del campo elettrico tra due sfere concentriche. . 110

viii ELENCO DELLE FIGURE

2.12 Mappa del campo elettrico tra due sfere concentriche. . . . . 110

2.13 Conduttori paralleli di diverso potenziale elettrico. . . . . . . 112

2.14 Mappa del campo elettrico e del potenziale nel caso di dueconduttori cilindrici paralleli e indefiniti. . . . . . . . . . . . . 114

2.15 Carica puntiforme nel mezzo dielettrico 1 separato da unasuperficie piana dal mezzo dielettrico 2. . . . . . . . . . . . . 115

2.16 Cariche puntiformi per lanalisi del campo elettrico nel mezzodielettrico 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.17 Carica puntiforme per lanalisi del campo elettrico nel mezzodielettrico 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.18 Conduttore in presenza del terreno. . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.19 Conduttori paralleli su terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.20 Rete di capacita` parziali di una linea trifilare. . . . . . . . . . 122

2.21 Linea bifilare in presenza del terreno. . . . . . . . . . . . . . . 123

2.22 Capacita` parziali di una linea bifilare. . . . . . . . . . . . . . 125

2.23 Linea di trasmissione a 2 conduttori su terreno. . . . . . . . . 125

2.24 Rete capacitiva equivalente alla linea a due conduttori suterreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.25 Calcolo del campo elettrico coulombiano prodotto da dueconduttori sul terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2.26 Campo elettrico prodotto da una linea bifilare sulla superficiedel terreno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.27 Campo elettrico prodotto da una linea bifilare ad unaltezzay = 1.75 m dalla superficie del terreno. . . . . . . . . . . . . . 129

2.28 Circuito RC e tensione di alimentazione E(t). . . . . . . . . . 130

2.29 Tensione e corrente di carica di un condensatore. . . . . . . . 132

2.30 Tensione e corrente di scarica di un condensatore. . . . . . . . 133

2.31 Carica di un condensatore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

2.32 Potenza ed energia assorbita da un condensatore alimentatoda un generatore di corrente continua. . . . . . . . . . . . . . 137

2.33 Condensatore cilindrico a 3 strati. . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.1 Legge della circuitazione di Ampere. . . . . . . . . . . . . . . 144

3.2 Concatenamento di N = 4 spire con la linea di circuitazione lc. . . 145

3.3 Legge della circuitazione di Ampere in presenza di piu` correnti. . . 145

3.4 Avvolgimento toroidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3.5 Calcolo del flusso concatenato con la superficie S. . . . . . . . . . 149

3.6 Legge di Lenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.7 Illustrazione delle sorgenti di tensione indotta dalla legge di Faraday-Neumann e le correnti indotte in una spira per la legge di Lenz. . . 151

ELENCO DELLE FIGURE ix

3.8 Generazione di una tensione indotta vF alle estremita` di una spirainterrotta in un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.9 Cavo elettrico coassiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.10 Curva di prima magnetizzazione (sopra), permeabilita` magnetica

assoluta (sotto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.11 Caratteristica di un materiale ferromagnetico non lineare(sopra)

e corrispondenti permeabilita` magnetiche (assoluta, incrementale,

differenziale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.12 Ciclo di isteresi di materiali ferromagnetici. a) materiale ferromag-

netico duro, b) materiale ferromagnetico dolce, c) ferrite. . . . . . 1573.13 Tronco di tubo di flusso del campo di induzione B. . . . . . . . . 1603.14 Tubo di flusso toroidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.15 Tubi di tubo di flusso del campo di induzione B. . . . . . . . . . 1633.16 I legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici. . . . . . . . . . . . . 1653.17 II legge di Kirchhoff per i circuiti magnetici. . . . . . . . . . . . . 1653.18 Esempio di circuito magnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.19 Induttanza di un circuito avvolto su un nucleo toroidale ad elevata

permeabilita` magnetica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.20 Convenzioni per linduttore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.21 Relazione tra induttanza magnetica e riluttanza di un circuito mag-

netico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.22 Circuiti magnetici in presenza di due circuiti elettrici accoppiati. . 1693.23 Circuiti induttori mutuamente accoppiati. . . . . . . . . . . . . . 1703.24 Flussi proprio e mutui generati da due circuiti induttori mutua-

mente accoppiati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.25 Circuito equivalente a due circuiti induttori mutuamente accoppiati. 1733.26 Avvolgimenti accoppiati attraverso un nucleo ferromagnetico lineare.1763.27 Circuito elettrico equivalente al circuito magnetico per il calcolo di

L1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.28 Circuito elettrico semplificato equivalente al circuito magnetico per

il calcolo di L1 e M21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773.29 Circuito elettrico semplificato equivalente al circuito magnetico per

il calcolo di L2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793.30 Elettromagnete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.31 Caratteristica B H (sopra), caratteristica (Fmm ) sotto. . . 1833.32 Nucleo magnetico a tre colonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1843.33 Circuito magnetico per il calcolo di L1. . . . . . . . . . . . . . . 1853.34 Circuito elettrico equivalente per il calcolo di L1. . . . . . . . . . 1853.35 Circuito magnetico per il calcolo di L2. . . . . . . . . . . . . . . 1863.36 Circuito elettrico equivalente per il calcolo di L2. . . . . . . . . . 187

x ELENCO DELLE FIGURE

3.37 Circuito magnetico per il calcolo di L3. . . . . . . . . . . . . . . 188

3.38 Circuito elettrico equivalente per il calcolo di L3. . . . . . . . . . 188

4.1 Vettore rappresentativo (fasore) di una grandezza sinusoidale nelpiano complesso (di Gauss). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.2 Vettore rappresentativo (fasore) della derivata di una funzione si-nusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.3 Trasformazione dellintegrale indefinito di una funzione sinusoidaley(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.4 Bipolo in regime alternativo sinusoidale. . . . . . . . . . . . . . . 200

4.5 Fasori nel piano complesso. Sinistra: caso della corrente sfasata inritardo rispetto alla tensione; destra: caso della corrente sfasata in

anticipo rispetto alla tensione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4.6 Circuito puramente resistivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.7 Tensione vR(t) ai capi della resistenza R (in alto) e potenza istan-tanea pR(t) in essa dissipata (in basso). . . . . . . . . . . . . . . 205

4.8 Circuito puramente induttivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

4.9 Tensione vL(t) ai capi dellinduttanza L (in alto) e potenza istan-tanea pL(t) (in basso). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

4.10 Circuito puramente capacitivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

4.11 Tensione vC(t) ai capi del condensatore (in alto) e potenza istanta-nea pC(t) (in basso). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

4.12 Circuito RLC serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.13 Ampiezza della corrente I e dellimpedenza Z di un circuito RLCserie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.14 Diagramma fasoriale per il circuito RLC serie. . . . . . . . . . . . 221

4.15 Trasformazione triangolo-stella in regime alternativo sinusoidale. . 225

4.16 Rete lineare attiva in regime alternativo sinusoidale. . . . . . . . . 228

4.17 Circuito semplificato a valle dellapplicazione del teorema di Thevenin.229

4.18 Circuito equivalente secondo Norton in regime alternativo sinusoidale.229

4.19 Circuito RL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

4.20 Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4.21 Circuito RLC trasformato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

4.22 Esempio di applicazione del metodo dei nodi in regime alternativosinusoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

4.23 Rete trasformata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

4.24 Esercizio proposto sullapplicazione del metodo dei nodi. . . . 248

4.25 Esempio di applicazione del metodo delle maglie in regime alterna-tivo sinusoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

4.26 Circuito trasformato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

ELENCO DELLE FIGURE xi

5.1 Vettori rappresentativi delle grandezze elettriche di un sis-tema trifase di sequenza diretta (a), di sequenza inversa (b)e di un sistema esafase (c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

5.2 Origine di un sistema trifase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2635.3 Sistema trifase interconnesso a stella. . . . . . . . . . . . . . . 2645.4 Circuito monofase equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2665.5 Tensioni di fase stellate (V 1,V 2,V 3) e tensioni concatenate

(V 12,V 23,V 31). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2675.6 Sistema trifase con il centro stella dellutenza isolato. . . . . . 2685.7 Sistema trifase simmetrico nelle tensioni di alimentazione e

squilibrato nelle correnti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2695.8 Trasformazione di un generatore di tensione trifase con collegamen-

to a triangolo in uno equivalente con collegamento a stella. . . . . 2715.9 Sistema trifase simmetrico nelle tensioni ed equilibrato nei

carichi caratterizzato da collegamento a stella equivalente aquello con collegamento a triangolo. . . . . . . . . . . . . . . 272

5.10 Circuito monofase equivalente al sistema interconnesso a triangolo. 2735.11 Correnti di fase J12,J23,J31 e correnti di linea I1, I2, I3. . . . . . 2745.12 Sistema trifase simmetrico nelle tensioni ed equilibrato nelle correnti.2755.13 Circuito monofase equivalente del sistema trifase in Fig. 5.12. 2755.14 Utenza alimentata mediante un sistema polifase di tensioni. . 2775.15 Utenza trifase con neutro accessibile. . . . . . . . . . . . . . . 2795.16 Sistema monofase equivalente ad un sistema costituito da una

linea trifase ed un carico trifase equilibrato. . . . . . . . . . . 2855.17 Diagramma fasoriale per lo studio della caduta di tensione su

una linea che alimenta un carico ohmico-induttivo. . . . . . . 2865.18 Diagramma fasoriale per lo studio della caduta di tensione su

una linea che alimenta un carico ohmico-capacitivo. . . . . . . 2875.19 Rifasamento del carico di impedenza ZC . . . . . . . . . . . . 2875.20 Rifasamento del carico di impedenza ZC : inserimento di un

banco di condensatori in parallelo al carico. . . . . . . . . . . 2885.21 Rifasamento del carico di impedenza ZC : diagramma fasori-

ale per il calcolo della corrente di linea. . . . . . . . . . . . . 2895.22 Rifasamento di un carico trifase. . . . . . . . . . . . . . . . . 2905.23 Schema unifilare di un sistema trifase. . . . . . . . . . . . . . 2945.24 Schema monofase equivalente del sistema trifase. . . . . . . . 296

xii ELENCO DELLE FIGURE

Elenco delle tabelle

2.1 Permittivita` e rigidita` elettrica di mezzi gassosi, liquidi e solidi. 96

xiii

xiv ELENCO DELLE TABELLE

Prefazione

Queste dispense raccolgono le lezioni di Elettrotecnica generale tenute nel-lambito del corso di Elettrotecnica per Ingegneria Meccanica, IngegneriaGestionale ed Ingegneria Civile, della Facolta` di Ingegneria dell Universita`degli Studi dellAquila. Ogni capitolo e` arricchito da esercizi e dai listati deicodici Matlab che implementano gli studi condotti o la soluzione di eserciziproposti.

Giulio AntoniniLAquila, 10 giugno 2012

xv

xvi ELENCO DELLE TABELLE

Capitolo 1Reti in corrente continua

1.1 La carica elettrica e la legge di Coulomb

Dallo studio della Fisica e` noto che i corpi materiali possono presentareproprieta` particolari che danno luogo alle cosiddette interazioni elettriche emagnetiche. Lelemento chiave di queste interazioni e` la carica elettrica chee` una delle quantita` fondamentali in fisica che, in quanto tale, non puo` esseredefinita, ma solo descritta. E una proprieta` che si manifesta con la cosid-detta interazione elettromagnetica, cioe` con uninterazione a distanza traparticella cariche senza il reale contatto che presuppone linterazione mec-canica. Il risultato dellinterazione elettromagnetica e` la comparsa di forzeche agiscono sulle particelle cariche. In particolare esistono due diversi tipidi cariche, che chiameremo positive e negative, per cui cariche dello stessotipo si respingono e cariche di segno opposto si attraggono. Lelettrone, unodei componenti dellatomo ha carica negativa, mentre nel nucleo dellatomosono presenti i protoni, dotati di una carica positiva. La carica elettrica, nelSistema Internazionale (SI), si misura in coulomb (C); la carica dellelettronee` pari a

e = 1.60210 1019 CLinterazione elettrica tra i corpi materiali puo` essere ricondotta ad unalegge elementare che prende il nome di legge di Coulomb che assume che icorpi materiali portatori di cariche si possano ridurre a punti geometrici. Siintroduce in tal modo il concetto di carica puntiforme: un corpo che occupaun volume infinitamente piccolo individuato dalle coordinate di un punto, dimassa non nulla e portatore di una carica elettrica, positiva o negativa. Ineffetti i volumi dei portatori elementari di carica, protoni ed elettroni, sono

1

2 CAPITOLO 1. RETI IN CORRENTE CONTINUA

molto piccoli rispetto alle dimensioni che caratterizzano i fenomeni elettriciche essi generano. Gli esperimenti dicono che, per esempio, la carica di unprotone puo` essere immaginata concentrata in una sfera di circa 1013cm diraggio.

La legge di Coulomb afferma che, se due cariche puntiformi, q1 e q2,Legge di Coulombfossero poste (ferme) alla distanza r luna dallaltra, su ciascuna delle caricheagirebbe una forza; quella esercitata dalla carica 1 sulla carica 2 e` espressadalla formula

F 12 =1

4

q1q2r2

u12 (1.1.1)

dove il parametro , caratteristico del mezzo in cui il fenomeno elettricosi manifesta, e` detto permittivita` elettrica e si misura in farad su metro[F/m]=[C2/J]. Nel vuoto la permittivita` e` 0 = 8.8564 1012F/m. Dunque,tale forza e` diretta lungo la congiungente tra le due cariche, proporzionale alloro prodotto, inversamente proporzionale al quadrato della distanza che lesepara. Tale forza e` repulsiva o attrattiva a seconda che le cariche abbianolo stesso segno o segno opposto, come illustrato in Fig. 1.1.

Figura 1.1: Le legge di Coulomb.

Una forza uguale ed opposta F 21 = F 12 viene esercitata dalla carica 2sulla carica 1. In presenza di piu` cariche la forza agente su ognuna di esse e`la somma vettoriale delle forze che ogni altra carica produrrebbe sulla stessacarica, in assenza delle altre. Si puo` affermare che leffetto complessivo intermini di forza esercitata sulla singola carica e` la somma degli effetti (forze)prodotti dalle singole cariche agenti in assenza delle altre. Se le cariche simuovono la legge di Coulomb deve essere modificata per tener conto anchedi questo fatto.

1.2. IL CAMPO ELETTRICO COULOMBIANO 3

Figura 1.2: Somma vettoriale delle forze di Coulomb agenti su una carica.

Il principio della conservazione della carica elettrica, proprieta` fonda-mentale della natura, sancisce che in un sistema chiuso la carica totale nonvaria nel tempo. Tuttavia uguali quantita` di carica positive e negative pos-sono essere simultaneamente create o annullate senza alterare lequilibriototale delle cariche elettriche.

1.2 Il campo elettrico coulombiano

Lesperienza di Coulomb dimostra che, in un mezzo uniforme di permittivita`, una carica libera puntiforme q, posta nel punto Q, esercita su una caricadi prova (anche detta esploratrice) q posta in un generico punto P postoa distanza rQP da Q la forza F c esprimibile con la legge di Coulomb (Fig.1.3)

F c(P ) =1

4

qq

r2QPuQP (1.2.1)

Piuttosto che la forza F c conviene considerare il campo elettrico coulom-biano definito come:

Ec(P ) , limq0

F c(P )

q=dF cdq

(1.2.2)

che risulta pari a:

Ec(P ) =q

4r2QPuQP (1.2.3)

Il vettore Ec(P ) e` indipendente dalla carica esploratrice q; essendo fun-zione del punto P costituisce un campo vettoriale detto campo elettrico


Figura 1.3: Forza di Coulomb su una carica esploratrice.

coulombiano. Il campo elettrico ha dimensione fisica di newton su coulomb[N/C], unita` di misura che viene piu` spesso espressa come volt su metro[V/m] (ove si pone volt : [V]=[J/C]).

1.2.1 Proprieta` fondamentale del campo elettrico coulom-biano

La proprieta` fondamentale del campo elettrico coulombiano e` quello di essereconservativo: la sua circuitazione (integrale di linea) su qualsiasi linea chiusae` sempre nulla (Fig. 1.4)

lc

Ec t dl = 0 (1.2.4)

Il campo elettri-co coulombiano e`conservativo

tlc

Ec

Figura 1.4: Circuitazione del campo elettrico coulombiano.

Di conseguenza, lintegrale di linea su qualsiasi linea aperta dipende solodalla posizione degli estremi della linea e mai dal percorso su cui esso sisviluppa (Fig. 1.5).

1.3. IL POTENZIALE ELETTRICO 5

t1

l1

Ec

A

B

l2

t2Ec

Figura 1.5: Integrali di linea del campo elettrico coulombiano lungo duediverse linee congiungenti gli stessi punto A e B.

E dunque possibile scrivere: Bl1,A

Ec t1 dl = Bl2,A

Ec t2 dl (1.2.5)

1.3 Il potenziale elettrico

Dunque, lintegrale di linea di Ec lungo una qualsiasi linea che si sviluppatra i punti A e B non dipende dalla particolare linea scelta, ma soltanto dalpunto iniziale A e da quello finale B. Questa proprieta`, matematicamente,consente di esprimere il campo elettrico coulombiano in termini di una fun-zione scalare, detta potenziale elettrico, funzione solo di punto, attraversola relazione Legame tra il campo

elettrico coulombiano edil potenziale elettrico

Ec = grad V = V (1.3.1)dove grad e` un operatore differenziale noto come gradiente. Assumendo unsistema di coordinate cartesiane e` possibile riscrivere la (1.3.1) come

Ec = (V

xux +

V

yuy +

V

zuz

)(1.3.2)

dove il campo elettrico Ec e` espresso in coordinate cartesiane come:

Ec = (Ecx, Ecy, Ecz) (1.3.3)

e loperatore gradiente e` rappresentato da:

grad =

(

x,

y,

z

)(1.3.4)


Si dimostra che lintegrale di linea del campo elettrico coulombiano (1.2.5),che si e` detto non dipende dalla linea di integrazione, puo` essere calcolatocome B

AEc t dl =

BAgrad V t dl = V (A) V (B) = VAB (1.3.5)

e cioe` e` pari alla differenza di potenziale elettrico tra i punti A e B. Taled.d.p. viene anche detta tensione elettrica VAB.

Potenziale elettrico di una carica puntiformeIl potenziale elettrico prodotto nel punto P di un mezzo omogeneo di

permittivita` da una carica puntiforme q posta nel punto Q vale:

V (P ) =q

4rQP(1.3.6)

1.4 La corrente elettrica

Per definizione, le cariche elettriche in movimento costituiscono una cor-rente elettrica. Per caratterizzare quantitativamente la corrente elettrica, siassume che una carica netta q(t) passi attraverso una superficie arbitrariaS.

S

i t( )

n

Figura 1.6: Intensita` di corrente.

Lintensita` di corrente che attraversa la superficie S aperta puo` esseredefinita come (Fig. 1.6):

i(t) =dq

dt(1.4.1)

1.4. LA CORRENTE ELETTRICA 7

Se si assume che al tempo t0 sia gia` passata una carica q(t0) attraverso lasuperficie S, nella direzione della normale orientata n (Fig. 1.6), la caricatotale al tempo t che e` passata attraverso S e`:

q(t) = q(t0) +

tt0

i()d (1.4.2)

Nel Sistema Internazionale (SI) lunita` di misura dellintensita` di corrente e`lampere [A], definito come coulomb su secondo [Cs1].

Nella teoria dei circuiti, la corrente elettrica normalmente fluisce in con-duttori metallici, sicche` la superficie cui si applica la precedente definizionee` il risultato del taglio del conduttore, denominato sezione trasversale. Ilflusso delle cariche elettriche in un conduttore e` descritto da una grandezzavettoriale, nota come densita` di corrente J . Dal corso di Fisica II e` noto chelintensita` di corrente attraverso una superficie aperta S puo` essere espressacome flusso della densita` di corrente attraverso la stessa superficie S (Fig.1.6):

i(t) =

SJ(t) ndS (1.4.3)

dove n e` la normale orientata alla superficie S.Oltre al campo elettrico coulombiano esiste anche un campo elettrico

indotto Ei generato dalle correnti variabili nel tempo. E possibile dunqueintrodurre un campo elettrico totale:

E = Ec +Ei (1.4.4)

Il campo elettrico indotto gioca un ruolo importante nei circuiti in regimealternativo sinusoidale che verranno studiati nel seguito. Nelle reti in regimestazionario (caratterizzate da grandezze elettriche non variabili nel tempo)lunico campo elettrico esistente e` quello coulombiano.

Oltre alla corrente elettrica appena descritta, esiste un altro tipo di cor-rente elettrica che non e` associata ad un flusso di cariche elettriche ed e`nota come corrente di spostamento. Le correnti di spostamento sono dovutea variazioni nel tempo del campo elettrico e anche esse, come le correntielettriche dovute al flusso di cariche elettriche, generano campi magnetici.

Come si vedra` piu` avanti, un esempio rilevante di corrente di spostamentoe` rappresentato dalla corrente in un condensatore. Le correnti di spostamen-to sono anche responsabili della propagazione delle onde elettromagnetichenel vuoto. Analogamente a prima, e` possibile definire una densita` di correntedi spostamento che, come si vedra`, e` esprimibile come:

Js = E(t)

t(1.4.5)


1.5 Legge di Ohm

Figura 1.7: La legge di Ohm.

Se in un conduttore si manifesta la presenza di un campo elettrico E,contestualmente si manifesta un moto ordinato di cariche elettriche, cuicorrisponde una densita` di corrente elettrica J , legate tra loro dalla legge diOhm per le grandezze specifiche [1].

J = E (1.5.1)

dove rappresenta un coefficiente di proporzionalita` noto come conducibilita`elettrica del materiale sede del campo di corrente. E in generale dipendentedalle condizioni fisiche di esercizio del materiale (densita` di corrente) e dallatemperatura. La sua unita` di misura e` siemens su metro (S/m). Talvolta siusa il suo inverso, la resistivita` elettrica che si misura in ohmmetro (m,ma anche mm2/m o mm2/Km). Se il conduttore e` caratterizzato dauna sezione trasversale molto piccola rispetto alla dimensione assiale, comein Fig. 1.7, i vettori J ed E sono paralleli allasse del conduttore e possonoessere ritenuti costanti in modulo sia nella sezione trasversale del conduttoreche nella sua lunghezza.

Nel regime stazionario che caratterizza le reti in corrente continua, lu-nico campo elettrico che si manifesta e` quello coulombiano che, in quantoconservativo puo` essere espresso come:

Ec = gradV = V (1.5.2)

Questa equazione vettoriale, in coordinate cartesiane, diventa:

Ecx = Vx

Ecy = Vy

Ecz = Vz

(1.5.3)

1.5. LEGGE DI OHM 9

Nel caso considerato esiste una sola componente del campo coulombiano,quella lungo lasse x e dunque si ha

Ecx = Vx

Ecy = Ecz = 0 (1.5.4)

Integrando lungo lasse x a partire dalla superficie posta allascissa x = xAfino a quella posta in x = xB si ottiene: B

AEc dl =

xBxA

Ecxdx = El =

xBxA

Vx

dx = VA VB (1.5.5)

dove VAVB = V e` la differenza di potenziale (d.d.p.) ai capi del conduttore.Inoltre, essendo E = J/, si puo` scrivere:

J = VA VB

l(1.5.6)

Si puo` inoltre calcolare lintensita` di corrente totale che attraversa la sezionetrasversale del conduttore:

I =

SJ ndS = JS = SVA VB

l(1.5.7)

da cui si ricava:

VA VB = V = lS

I =l

SI = RI (1.5.8)

La legge di Ohm V = RI afferma che, a temperatura costante, esiste unaproporzionalita` tra la differenza di potenziale agli estremi di un conduttorefiliforme e lintensita` di corrente che attraversa il conduttore stesso.

Il coefficiente di proporzionalita` e` detto resistenza ohmica del con-duttore. Si misura in ohm (). E possibile anche scrivere la relazioneinversa:

I =S

l(VA VB) = G (VA VB) = GV (1.5.9)

Il coefficiente di proporzionalita` e` detto conduttanza del conduttore e simisura in siemens (S). Esistono materiali per i quali non e` possibile trovareuna proporzionalita` tra d.d.p. e intensita` di corrente e per i quali valeinvece un legame piu` generale del tipo V = f(I) dove f(I) esprime unadipendenza non lineare da I. In questo caso si parla di resistori non lineari.La corrispondente resistenza e` f(I)/I e, al contrario dei resistori ohmici,dipende dallintensita` di corrente I. La Fig. 1.8 illustra alcune possibilicaratteristiche volt-amperometriche di resistori lineari e non lineari.


V

I

V

VVV

I

I I I

Figura 1.8: Caratteristiche volt-amperometriche di resistori lineari e nonlineari.

1.5.1 Dipendenza dalla temperatura della resistenza elettri-ca dei conduttori

La resistivita` dei materiali dipende dalla temperatura T del materiale. Peri metalli e le leghe metalliche, per intervalli di temperatura non molto ampi,si puo` approssimare tale dipendenza con una legge lineare:

(T ) = 0 (1 + T ) (1.5.10)

dove 0 e` la resistivita` del materiale a 00C e il coefficiente di temperatura.

Resistivita` bassa o bassissima: realizzazione di conduttori (rame elet-trolitico e alluminio);

resistivita` intermedie: realizzazione di resistori;

resistivita` elevata: realizzazione di isolanti.

I metalli hanno un coefficiente di temperatura positivo e dunque una resis-tivita` che cresce con T , altri materiali, come il carbone, hanno un coefficientedi temperatura negativo e dunque una resistivita` che decresce con T , altri,come alcune leghe (manganina e costantana usate per costruire strumentidi misura) hanno = 0 e quindi resistivita` costante con T .

1.5. LEGGE DI OHM 11

Data la proporzionalita` tra resistivita` e resistenza ohmica si puo` anchescrivere:

R(T ) = R0 (1 + T ) (1.5.11)

dove R0 e` la resistenza a 00C e R(T ) e` la resistenza alla temperatura T .

Figura 1.9: Resistivita` e coefficiente di temperatura di alcuni materiali.

Indipendentemente da Ohm, Joule condusse degli esperimenti volti adeterminare lenergia dissipata in un conduttore percorso da una corrente Iper un tempo t; trovo` la seguente legge sperimentale:

WJ = kI2t (1.5.12)

La costante di proporzionalita` e` proprio le resistenza ohmica, k = R.Alla (1.5.12) corrisponde una potenza dissipata

PJ =WJt

= kI2 = RI2 (1.5.13)


Affinche` ci sia passaggio continuo di corrente in un conduttore e quindi simanifesti la dissipazione di potenza PJ e` necessario che ci sia una tensioneV ai capi del conduttore stesso e, dunque, che ci sia un dispositivo a duemorsetti, detto generatore ideale di tensione, che sia in grado di generareuna d.d.p. ai suoi capi, per il momento supposta costante, indipendentedalla corrente che lo attraversa.

Generatoreideale

di tensioneRV g

A

B

I

Figura 1.10: Generatore ideale di tensione.

Il generatore ideale di tensione prende delle cariche positive dal morset-to B e le porta al morsetto A. Al suo interno ci sono forze, di varia natura(chimica, meccanica) che compiono un lavoro per realizzare questo sposta-mento. A tali forze corrisponde una forza elettrica specifica Eg. La forzaelementare che si esercita su una carica dq e`:

dF = Egdq (1.5.14)

In corrispondenza di uno spostamento dl della carica il lavoro sviluppato datale forza e`:

d2L = dF dl = Eg dl dq (1.5.15)La carica dq puo` essere espressa in termini di intensita` di corrente I = dq/dte dunque risulta:

d2L = dF dl = Eg dl I dt (1.5.16)Assumiamo per semplicita` che Eg sia uniforme allinterno del generatoreideale supposto di lunghezza l e si integri tra i due morsetti A e B. Siottiene:

dL = Egl I dt = VgI dt (1.5.17)

La potenza sviluppata e`:

Pg =dL

dt= VgI (1.5.18)


Per la legge di Ohm V = RI e dunque si ha:

Pg =dL

dt= VgI = RI

2 = PJ (1.5.19)

Si puo` quindi affermare che:

Osservazione 1.6. la potenza Pg sviluppata da un generatore ideale ditensione sulle cariche per spostarle dal morsetto B al morsetto A e` ugualealla potenza PJ dissipata per effetto Joule nel resistore lineare alimentatodal generatore ideale stesso.

In generale, senza ipotizzare che il generatore alimenti un resistore lin-eare, si puo` affermare che:

Osservazione 1.7. la potenza Pg sviluppata da un generatore ideale ditensione sulle cariche per spostarle dal morsetto B al morsetto A e` ugualealla potenza Pu trasferita allutilizzatore alimentato dal generatore idealestesso.

Pg = VgI = Pu (1.7.1)

1.7.1 Caratteristica volt-amperometrica di un generatore ide-ale di tensione

In Fig. 1.11 e` mostrata la caratteristica volt-amperometrica (V I) di ungeneratore ideale di tensione continua e il simbolo che viene utilizzato perrappresentarlo nei circuiti.

Vg

V

I

Vg

I

(a) (b)

Figura 1.11: Caratteristica volt-amperometrica (a) e simbolo circuitale di ungeneratore ideale di tensione continua Vg (b).

Il generatore ideale di tensione continua Vg e` detto anche generatore dipotenza infinita; infatti si ha:


Pg quando I , per esempio al ridursi della resistenza delcarico alimentato, per un assegnato valore della tensione erogata V .

1.7.2 Caratteristica volt-amperometrica di un generatore ide-ale di corrente

Ig

V

I

VIg

(a) (b)

Figura 1.12: Caratteristica volt-amperometrica (a) e simbolo circuitale di ungeneratore ideale di corrente Ig (b).

Il generatore ideale di corrente eroga una corrente Ig indipendentementedalla d.d.p. V ai suoi capi. E anchesso dunque un generatore di potenzainfinita.

1.7.3 Nozioni topologiche dei circuiti

Passiamo ora da un singolo conduttore alimentato da un generatore idealedi tensione ad una rete piu` complessa costituita da piu` resistenze e gener-atori ideali di tensione, collegati tra loro. In una rete elettrica e` possibileindividuare alcune entita` fondamentali, di natura topologica:

il nodo: un punto in cui sono collegati almeno tre componenti (perora resistenze e generatori ideali di tensione);

il lato: un circuito che collega due nodi;

la maglia: un insieme di lati che costituisce un percorso chiuso;Vedremo in seguito che e` possibile individuare un lato standard e definirequindi il nodo come un punto in cui sono collegati almeno tre lati standard.Un altro concetto molto importante nello studio delle reti, di qualunque tipo,


e` quello di verso di misura delle grandezze elettriche, tensione e corrente,che caratterizzano un lato, come illustrato in Fig. 1.13. La scelta dei versi

I

VAB

nodo A

versodimisuradiVABversodimisuradiI

nodoB

Figura 1.13: Versi di misura di tensione e corrente di un lato.

di misura di tensione e di corrente e` del tutto arbitraria e quella di V e`indipendente da quella di I. Per lo studio di una qualsiasi rete non banale(n nodi e l lati) e` necessario ricorrere a Principi generali, noti come Principidi Kirchhoff, di seguito enunciati.

I Principio di Kirchhoff : la somma algebrica delle correnti in un nododi un circuito e` uguale a zero. E conseguenza della legge divJ = J = 0,valida in regime stazionario (campo di corrente solenoidale).

I1

I5

I2

I4

I3

Figura 1.14: I Principio di Kirchhoff.

Nnk=1

Ik = 0 (1.7.2)


Il segno della somma algebrica tiene conto dei versi di misura sui lati chesi toccano nel nodo: ad esempio positivo se entrante, negativo se uscente(oppure il contrario). Nellesempio: I1 I2 + I3 I4 I5 = 0.

II Principio di Kirchhoff : la somma algebrica delle tensioni deilati appartenenti ad una maglia e` uguale a zero. E conseguenza dellalegge rotE = E = 0 valida in regime stazionario (campo elettricoconservativo).

Vg1

Vg3

Vg2

R1

R3

R2

VR1VR2

VR3

I2I1

I3

Figura 1.15: II Principio di Kirchhoff.

Nlk=1

Vk = 0 (1.7.3)

Si scelga un verso di percorrenza della maglia (orario o antiorario). Il segnodella somma algebrica tiene conto dei versi di misura dei lati rispetto alverso di percorrenza scelto: il segno sara` positivo se sono concordi, negativoaltrimenti (oppure il contrario).Nellesempio: Vg1 VR1 Vg2 + VR2 Vg3 + VR3 = 0.Per la legge di Ohm diventa: Vg1 R1I1 Vg2 +R2I2 Vg3 +R3I3 = 0

1.8. INTERCONNESSIONEDI RESISTENZEE GENERATORI IDEALI17

Vg1

Vg2

Vg3

=

A

B

A

B

Vg,eq=Vg1-Vg2+Vg3

Figura 1.16: Collegamento in serie di n generatori ideali di tensione.

1.8 Interconnessione di resistenze e generatori ide-ali

Collegamento in serie di n resistenze

Req =

nk=1

Rk (1.8.1)

Collegamento in parallelo di n resistenze

1

Req=

nk=1

1

Rk Geq =

nk=1

Gk (1.8.2)

Collegamento in serie di n generatori ideali di tensione

Vg,eq =

nk=1

Vgk (1.8.3)

dove il segno meno tiene conto della polarita` dei singoli generatori di tensionerispetto a quella assunta per il generatore equivalente Vg,eq.


Ig1 Ig2 Ig3=

A

B

A

B

Ig,eq =I g1-Ig2+I g3

Figura 1.17: Collegamento in parallelo di n generatori ideali di corrente.

Interconnessione in parallelo di n generatori ideali di corrente

Ig,eq =n

k=1

Igk (1.8.4)

dove il segno meno tiene conto della polarita` dei singoli generatori di correnterispetto a quella assunta per il generatore equivalente Ig,eq.

Casi patologiciNon ha significato fisico il collegamento in parallelo di generatori ideali di

tensione ne` il collegamento in serie di generatori ideali di corrente.

1.8.1 Partitore di corrente

I I1 I2 = 0 VA VB = R1I1 = R2I2 (1.8.5)

I1 =R2

R1 +R2I I2 =

R1R1 +R2

I (1.8.6)

1.8.2 Shunt

Se la corrente che percorre un circuito e` cos` intensa da non essere toller-ata da uno strumento di misura (amperometro o galvanometro) si usa ildeviatore di corrente o shunt.

Si genera cos` un percorso ad elevata conducibilita`, bassa resistenza, inparallelo allo strumento di misura che viene cos` attraversato da una corrente


R1

R2

I1

I2I

VA-VB

Figura 1.18: Partitore di corrente.

Figura 1.19: Shunt.

di intensita` ridotta. Se la resistenza dello shunt e` K volte minore di quelladello strumento di misura si ha:

IA =Rs

Rs +RAI =

RA/K

RA/K +RAI

=1

K + 1I (1.8.7)

Cio` permette di misurare correnti di intensita`K+1 volte maggiori rispetto alfondo scala dello strumento di misura posto in parallelo allo shunt. Limpiegodi uno shunt avente resistenza 1/9, 1/49, 1/499 di quella dellamperometrocon il quale e` posto in parallelo consente la misura di correnti 10,50,500 voltemaggiori di quelle che attraversano lo strumento di misura.


Figura 1.20: Reostato a cursore.

1.8.3 Reostato a cursore

Quando e` necessario variare la corrente di un circuito si ricorre ai reostati.

Sono conduttori a forma di fili lunghi e sottili, avvolti a spire su unmateriale isolante. Sono generalmente realizzati in manganina, costantana,argentana, nichel-cromo.

Possono essere:

a cursore (come in Fig. 1.20);

a cassetta;

a tastiera.

In quelli a cursore lo spostamento del cursore inserisce un tratto piu` omeno lungo di conduttore, variando la resistenza inserita e, quindi, anchelintensita` della corrente erogata dallalimentazione.

1.8.4 Partitore di tensione

Rp Rp

Ru

RpRpRp

Iu

Ip Ip+Iu

Vu

V

I 1 2 kn-1

n

Figura 1.21: Partitore di tensione.


Per la rete in Fig. 1.21 valgono le seguenti relazioni:

kRpIp + (n k)Rp (Iu + Ip) = V (1.8.8)kRpIp = RuIu (1.8.9)

Dalle (1.8.8-1.8.9) si ricava:

Ip =V

nRp + (n k) kR2p

Ru

(1.8.10)

Iu =kRpRu

Ip (1.8.11)

Il partitore di tensione permette di alimentare con una tensione continua Vulutilizzatore avendo a disposizione una tensione di alimentazione V > Vu.

Indichiamo m = Vu/V il rapporto di trasformazione del partitore e con il rendimento di trasformazione, uguale al rapporto tra la potenza fornitaallutilizzatore e quella assorbita dal partitore:

=VuIu

V (Iu + Ip)= m

IuIu + Ip

(1.8.12)

Parametri: Rp = 1 , Ru = 2 , V = 1 V , n = 20.Si evince che, onde mantenere il rendimento di trasformazione entro valoriaccettabili da un punto di vista economico, il partitore va utilizzato pervalori di m superiori a 0.85.

% Partitore_tensione.m

clear, clc, close all

Rp=1; Ru=2; n=20; k=[1:n];V=1;

Ip=V./(n*Rp+(n-k).*k*Rp^2/Ru);

Iu=k.*Rp/Ru.*Ip;

Vu=Ru*Iu;

m=Vu./V;

eta=m.*Iu./(Iu+Ip);

figure plot(k,Ip,k,Iu,--,linewidth,2)

xlabel(k partitore)

ylabel(I [A])

legend(I_p,I_u)

figure

plot(m,eta,--,linewidth,2)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

k partitore

I [A]

IpIu

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

m

Ren

dim

ento

del

par

titor

e

Figura 1.22: Andamenti delle correnti Ip e Iu al variare del parametro k (inalto) e Rendimento del partitore (in basso).

xlabel(m)

ylabel(Rendimento del partitore \eta)

1.8.5 Resistenza equivalente di una rete resistiva

Si consideri una rete resistiva comunque complessa.

Si definisce resistenza equivalente della rete vista da due suoi nodi A eB, RAB , il rapporto tra la tensione applicata VAB tra gli stessi nodi e lacorrente I che entra (esce), nella rete attraverso il nodo A (B):

1.9. GENERATORE REALE DI TENSIONE 23

RAB =VABI

(1.8.13)

Figura 1.23: Resistenza equivalente di una rete vista da due suoi nodi.

Nellesempio si trova:

1

RAB=

1

R1+

1

R2+

1

R3 +R4 RAB =

(1

R1+

1

R2+

1

R3 +R4

)1(1.8.14)

1.9 Generatore reale di tensione

Un qualsiasi generatore di tensione presenta sempre dei fenomeni dissipativinon trascurabili che vengono modellizzati mediante linserimento, in serie algeneratore ideale di tensione Vg, di un resistore di resistenza Rg.

I due funzionamenti limite sono:

funzionamento a vuoto vg = Vg I = 0

funzionamento in corto circuito vg = 0 I = Icc = VgRgIl progetto del generatore, in particolare il dimensionamento degli avvol-

gimenti ed il sistema di raffreddamento, limitano il valore della correnteerogata I a valori inferiori o al piu` uguali ad un valore caratteristico notocome corrente nominale In del generatore.

La legge di Ohm applicata al circuito equivalente di un generatore realedi tensione fornisce:

vg = Vg RgI (1.9.1)che prende il nome di legge di Ohm generalizzata.


Rg

Vg

vg

I

Figura 1.24: Circuito equivalente di un generatore reale di tensione.

Figura 1.25: Caratteristica volt-amperometrica di un generatore reale di tensione.

1.10 Generatore reale di corrente

Analogamente e` definibile un generatore reale di corrente, illustrato in Fig.1.26, la cui caratteristica volt-amperometrica e` riportata in Fig. 1.27.

1.10. GENERATORE REALE DI CORRENTE 25

Rg*Ig vg

II

Figura 1.26: Circuito equivalente di un generatore reale di corrente.

Figura 1.27: Caratteristica volt-amperometrica di un generatore reale di corrente.


1.10.1 Trasformazione di equivalenza tra un generatore realedi tensione ed un generatore reale di corrente

E sempre possibile trasformare un generatore reale di tensione in uno realedi corrente e viceversa. Le condizioni di trasformazione si trovano imponen-do che, a parita` di corrente I, qualunque essa sia, la tensione ai morsetti deidue generatori sia la stessa.

Si trova

vg = Vg RgI = RgI = Rg (Ig I) (1.10.1)Dovendo valere qualunque sia la corrente si puo` porre I = 0 e si trova dunqueuna prima condizione:

Vg = RgIg (1.10.2)

Sostituendo questa nella (1.10.1) si ottiene anche la seconda condizione:

Rg = Rg (1.10.3)

Queste condizioni consentono di trasformare tutti i generatori reali di cor-rente di una rete in generatori reali di tensione e viceversa. Cio` risultera`utile nellapplicazione di alcuni metodi di analisi delle reti (metodo dei nodie metodo delle maglie). E dunque possibile stabilire la trasformazione diequivalenza illustrata in Fig. 1.28.

Rg

Vg

RgIg=Vg/Rg

=vgvg

I I

I

Figura 1.28: Trasformazione di equivalenza tra un generatore reale ditensione ed un generatore reale di corrente.

Definiamo bipolo elettrico un elemento di circuito caratterizzato dadue morsetti A e B, tra i quali esiste una d.d.p. V e che e` attraversato dallacorrente I.


Una qualsiasi rete elettrica vista tra una coppia di suoi nodi puo` essereconsiderata un bipolo elettrico.

La relazione che intercorre tra la d.d.p. V e la corrente I prende il nomedi caratteristica del bipolo e puo` essere tracciata solo dopo aver fissatole convenzioni di segno (verso di misura) per le suddette grandezze.

Sia V che I sono individuate da un valore (in volt ed in ampere), da unapolarita` per la tensione ed un verso per la corrente. Assumiamo di misurarela tensione V come VAB = VA VB.

A questo punto sono possibili due scelte per il verso di misura dellacorrente che, insieme a quello della tensione, determina la convenzione perle potenze.

1. Verso di misura di I concorde con VAB : convenzione dei generatori(C.d.G.);

2. Verso di misura di I discorde con VAB: convenzione degli utilizzatori(C.d.U.);

VAB

I

A

B

Figura 1.29: Bipolo elettrico con versi di misura di tensione e correntesecondo la convenzione dei generatori.

La convenzione dei generatori (utilizzatori) deriva il suo nome dal fattoche i versi di misura corrispondono ai versi che tensione e corrente avreb-bero in regime stazionario se il bipolo elettrico si comporta come generatore(utilizzatore) rispetto al mondo elettrico collegato ai morsetti A e B.

Per la (1.7.1) e` possibile associare ad ogni bipolo elettrico una potenzaespressa come

P = V I (1.10.4)


VAB

I

A

B

Figura 1.30: Bipolo elettrico con versi di misura di tensione e correntesecondo la convenzione degli utilizzatori.

Le due convenzioni danno luogo ad una diversa interpretazione del segno ditale potenza.

Per semplicita` si assuma che il bipolo elettrico abbia le caratteristichedi generatore reale di tensione che, dora in poi, sara` assunto come latostandard nelle nostre valutazioni.

Si assuma di conoscere le grandezze di tensione V = VAB e corrente Iin intensita` e segno (verso) cosicche` anche la potenza e` nota come grandez-za scalare con segno. Per ogni convenzione sono possibili due sotto-casi aseconda dellorientamento di Vg.


Rg

Vg

Rg

Vg

Convenzione dei generatori P>0 potenza erogata P0 potenza assorbitaP


Si osservi che la legge di Ohm per una resistenza ohmica R puo` essereottenuta come caso particolare della legge di Ohm generalizzata nel casoVg = 0.

R

Convenzione degli utilizzatori

V = -RIV = RI

V

I

Convenzione dei generatori

R V

I

Figura 1.33: Legge di Ohm: convenzioni degli utilizzatori e dei generatoriper una resistenza ohmica.


EsempioPer il circuito in Fig. 1.34:

calcolare la corrente I e le tensioni V1 e V2; calcolare la potenza associata al bipolo elettrico 1 e al bipolo elettrico2;

calcolare la potenza dissipata nelle resistenze R1 e R2 per effetto Joule; calcolare la potenza associata ai generatori ideali Vg1 e Vg2; interpretare il segno della corrente e delle potenze.

Vg1 Vg2

R1 R2V1 V2

I

Figura 1.34: Circuito costituito da due generatori reali in parallelo.

Dati: R1 = 1 , R2 = 0.5 , Vg1 = 2 V, Vg2 = 5 V .

Ripetere tutti i calcoli invertendo il verso di misura della corrente I assuntonella Fig. 1.34.Imponendo il II Principio di Kirchhoff alla maglia individuata dal parallelodei due generatori reali di tensione si ottiene:

Vg1 R1I R2I Vg2 = 0

da cui e` immediato ricavare la corrente

I =Vg1 Vg2R1 +R2

= 2 A

Il segno meno ha uninterpretazione fisica: la corrente I fisicamente circolain verso opposto a quello assunto come verso (positivo) di misura.


Sul ato 1 si e` assunta la convenzione dei generatori (C.d.G.), sul lato 2 laconvenzione degli utilizzatori (C.d.U.); le tensioni di lato sono:

V1 = Vg1 R1I = 4 V V2 = Vg2 +R2I = 4 V

e naturalmente coincidono.La potenza dissipata nelle resistenze per effetto Joule e`:

PR1 = R1I2 = 4 W PR2 = R2I

2 = 2 W

Tali potenze sono sempre positive essendo valutate con la C.d.U. e rappre-sentano le potenze dissipate nelle resistenze.La potenza associata ai generatori e`:

Pg1 = Vg1I = 4 W Pg2 = Vg2I = 10 W

La prima potenza e` da interpretarsi con la C.d.G. e dunque rappresentafisicamente una potenza assorbita dal generatore Vg1. La seconda potenza e`da interpretarsi con la C.d.U. e dunque rappresenta fisicamente una potenzaerogata dal generatore Vg2. Dunque, il generatore Vg2 eroga una potenzache in parte e` dissipata nelle resistenze R1 e R2 per effetto Joule e in parteassorbita dal generatore Vg1. E interessante anche osservare che la sommadelle potenze dei bipoli per i quali e` stata assunta la C.d.G. e` uguale allasomma delle potenze dei bipoli per i quali e` stata assunta la C.d.U. Infattirisulta:

Pg1 = 4 W = Pg2 + PR1 + PR2 = (10 + 4 + 2) W

che, come si vedra`, e` una verifica del principio di conservazione delle potenze.


1.10.2 Adattamento e rendimento di un generatore reale ditensione

Si consideri il circuito di Fig. 1.35 che rappresenta un generatore realedi tensione Vg, di resistenza interna Rg, che alimenta un utilizzatore diresistenza Ru.

Rg

Vg

Ru

I

Figura 1.35: Generatore reale di tensione Vg, di resistenza interna Rg, chealimenta un utilizzatore di resistenza Ru.

La corrente I che circola nel generatore e nellutilizzatore e`:

I =Vg

Rg +Ru(1.10.5)

La potenza elettrica che il generatore reale fornisce al carico Ru e` dunque:

Pu = RuI2 = Ru

V 2g

(Rg +Ru)2 (1.10.6)

Il valore di Ru che permette di massimizzare il valore di Pu si ottieneimponendo Pu/Ru = 0 e dunque:

V 2g (Rg +Ru)2 2 (Rg +Ru)RuV 2g

(Rg +Ru)4 = 0 da cui si ricava (1.10.7)

Rg +Ru 2Ru = 0 Ru = Rg Pu,max =V 2g4Rg

(1.10.8)

PuPu,max

= RuV 2g

Rg +Ru

24RgV 2g

=4RuRg

R2g + 2RuRg +R2u

=4

2 + 2+ 1(1.10.9)

essendo = Ru/Rg.


Il rendimento del generatore e` pari al rapporto fra la potenza fornita dalgeneratore allutilizzatore e quella prodotta dal generatore:

=Pu

Pu + Pg(1.10.10)

essendo Pg = RgI2 la potenza dissipata nella resistenza interna del genera-

tore e Pu = RuI2. Dunque = / (1 + ).

Nel caso che Rg = 2 , Vg = 1 V si ottengono le curve rappresentate in Fig.1.36.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

=Ru/Rg

P u/P

max

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

=Ru/Rg

Ren

dim

ento

gen

erat

ore

Figura 1.36: Rapporto Pu/Pmax (in alto), rendimento (in basso).

Per = 1 si ha il massimo trasferimento di potenza al carico, ma il rendi-mento e` solo 0.5. Tale condizione non e` dunque economicamente ottimale.


Implementazione Matlab dello studio delladattamento di un gen-eratore reale di tensione

% Adattamento.m

clear, clc, close all;

Ru=[0.1:0.3:10];

Rg=2;

Vg=1;

Pmax=Vg^2/(4*Rg);

alpha=Ru./Rg;

Pu_over_Pmax=4*alpha./(alpha.^2+2*alpha+1);

eta=alpha./(alpha+1);

figure

plot(Ru/Rg,Pu_over_Pmax,linewidth,2)

xlabel(\alpha=R_u/R_g)

ylabel(P_u/P_max)

figure

plot(Ru/Rg,eta,linewidth,2)

xlabel(\alpha=R_u/R_g)

ylabel(Rendimento generatore \eta)


1.10.3 Dimensionamento termico dei conduttori

Le calorie prodotte per effetto Joule in un intervallo di tempo t si ottengonoda:

Q = 0.24PJt1 (1.10.11)

dove PJ e` la potenza elettrica trasformata in calore, espressa in watt (W )e Q e` il calore prodotto espresso in calorie. Leffetto Joule rappresentanormalmente un effetto, collaterale al passaggio di corrente, che si cercadi ridurre al minimo essendo causa di perdita. Il calore prodotto infattiprovoca nei conduttori un aumento di temperatura che deve essere limitatoallo scopo di non danneggiare i materiali isolanti.

J =I

Sdensita` di corrente espressa usualmente in A/mm2 (1.10.12)

Per contenere laumento di temperatura nei conduttori e` necessario limitarela densita` di corrente al di sotto di determinati valori, per valutare i quali e`utile definire le seguenti grandezze.

1. Resistenza termica: rapporto tra la sovratemperatura t del condut-tore rispetto allambiente e la potenza trasformata in calore;

Rterm =t

PJ(1.10.13)

Normalmente Rterm e` valutata sperimentalmente. E comunque inver-samente proporzionale alla superficie del conduttore in contatto conlambiente;

2. Potenza trasformata in calore per unita` di volume p:

p =PJv

=RI2

v= J2 (1.10.14)

Utilizzando le unita` di misura del sistema internazionale (SI) p e`espressa in W/m3.

Assegnata la massima sovratemperatura ammessa dal conduttore, tmax,la massima potenza dissipabile per effetto Joule PJ e`:

PJ,max =tmaxRterm

(1.10.15)

1Si ricorda che 1kcal = 4186Joule


Essendo inoltre:

PJ,max = pv = J2maxv (1.10.16)

la (1.10.15) consente di di ottenere:

Jmax =

tmaxRtermv

(1.10.17)

Per sfruttare al meglio i conduttori disponibili si adottano valori di densita`di corrente J elevati. Cio` implica che:

1. si utilizzano materiali isolanti resistenti ad alta temperatura, in mododa aumentare la sovratemperatura massima ammessa tmax;

2. si mantiene bassa la resistivita` elettrica adottando conduttori in rameo in alluminio;

3. si riduce la resistenza termica Rterm aumentando la superficie di scam-bio con lambiente.

Si osservi che, a parita` di sezione, i conduttori a sezione rettangolarepresentano una superficie esterna maggiore rispetto a quelli circolari; perquesto motivo i conduttori dei circuiti stampati sono di sezione rettangolaree sono pertanto in grado di sopportare densita` di corrente superiori a quelletollerate dai conduttori di sezione circolare.

Quando la dissipazione per convezione naturale del calore prodotto pereffetto Joule non e` piu` sufficiente, al fine di ridurre ulteriormente la resistenzatermica Rterm, si ricorre alla ventilazione forzata o anche al raffreddamentoin olio o in acqua.

Valori tipici di densita` di corrente di esercizio dei conduttori

1. conduttori in impianti civili 3 5 A/mm2

2. avvolgimenti in macchine elettriche 6 10 A/mm2

3. piste di circuiti stampati 10 20 A/mm2

I valori minimi vengono adottati per i conduttori di maggiore sezione o perle macchine di maggiori dimensioni, poiche` in queste ultime si ha un minorvalore del rapporto superficie/volume.


1.11 Teoremi e metodi di soluzione delle reti elet-

triche lineari

Nel seguito vedremo i seguenti metodi e teoremi per lo studio di reti elet-triche lineari:

1. Metodo di Tableau

2. Formule di Millmann

3. Principio di Sovrapposizione degli Effetti

4. Teorema di Theve`nin

5. Teorema di Tellegen

6. Metodo dei nodi

7. Metodo delle maglie

Nota bene!! Tutti i metodi e teoremi qui elencati possono essere applicaticon le stesse modalita` sia a circuiti lineari in corrente continua che in regimealternativo sinusoidale.

1.11.1 Analisi delle reti elettriche lineari

Una rete elettrica e` rappresentata dallinterconnessione di bipoli che in gen-erale possiamo pensare essere del tipo generatore reale di tensione (il latostandard precedentemente introdotto) o, equivalentemente, generatore realedi corrente.

Lanalisi di una rete richiede:

1. la conoscenza della topologia della rete (l lati, n nodi e come sonointerconnessi);

2. la conoscenza della natura fisica dei lati (gen.reale di tensione, gen.reale di corrente, resistenze , capacita`, induttanze);

3. la conoscenza dei valori degli elementi passivi (resistenze , capac-ita`, induttanze);

4. la conoscenza dei valori degli elementi attivi (gen. ideali di tensionee di corrente).

Lobiettivo finale e` quello di determinare:

1.11. TEOREMI EMETODI DI SOLUZIONEDELLE RETI ELETTRICHE LINEARI39

1. la corrente in ogni lato l;

2. il potenziale degli n1 nodi rispetto ad un nodo di riferimento che puo`essere assunto a potenziale zero (e che puo` essere scelto come megliosi crede).

La d.d.p. esistente su ogni lato e` calcolabile quando siano noti i potenzialidei nodi.

Cose da tenere a mente

un lato e` da identificarsi con il lato standard;

un nodo e` un punto in cui si toccano almeno tre lati;

un nodo e` un punto in cui si toccano almeno tre lati standard; se essisono solo due, possono essere posti in serie permettendo leliminazionedel nodo.

Se la rete ha l lati e n nodi, la sua analisi richiede la determinazione dil correnti di lato e p = n 1 potenziali dei nodi indipendenti. Complessiva-mente le incognite sono dunque l + p = l + n 1.

1.11.2 Metodo di tableau

Consiste nellimporre il I Principio di Kirchhoff ad ogni nodo indipendente(p = n 1 equazioni) e scrivere la legge di Ohm generalizzata per ognunodegli l lati della rete (l equazioni). Complessivamente si hanno dunque l+ pequazioni ed il problema e` risolvibile.

Esempio di applicazione del metodo di tableauSi consideri il circuito di Fig. 1.37.

Dati:

Vs1 = 2 V, Vs3 = 1 V

R1 = 1 , R2 = 3 , R3 = 2

Esso e` costituito da l = 3 lati, n = 2 nodi, p = n 1 = 1 nodi indipendenti,m = l p = 2 maglie indipendenti. Volendo applicare il metodo di tableau,si assumano i versi di misura delle correnti e delle tensioni di lato, come inFig. 1.38. Il nodo 0 e` assunto come nodo di riferimento dei potenziali.

Il I Principio di Kirchhoff applicato al nodo 1 fornisce:

I1 I2 I3 = 0


R1

Vs1

R2 R3

1

0

Vs3

Figura 1.37: Esempio di applicazione del metodo di tableau.

R1

Vs1

R2 R3

1

0

Vs3

I1 I2 I3Vl1

Vl2

Vl3

Figura 1.38: Convenzioni per il circuito analizzato con il metodo di tableau.

La legge di Ohm generalizzata applicata ai tre lati consente di scrivere:

Vl1 = V1 V0 = V1 = Vs1 R1I1Vl2 = V1 V0 = V1 = R2I2

Vl3 = V1 V0 = V1 = Vs3 +R3I3In forma matriciale le precedenti equazioni possono essere riscritte come

1 1 1 0R1 0 0 10 R2 0 10 0 R3 1

I1I2I3V1

=

0Vs10

Vs3


La soluzione fornisce:

I1 = 0.6364 AI2 = 0.4545 AI3 = 0.1818 AV1 = 1.3636 V

Le tre tensioni di lato, coincidenti sono

Vl1 = Vl2 = Vl3 = V1

La potenza associata ai tre lati e`:

Pl1 = Vl1I1 = 0.8678 W, C.d.G., potenza erogata

Pl2 = Vl2I2 = 0.6198 W, C.d.U., potenza assorbita

Pl3 = Vl2I3 = 0.2479 W, C.d.U., potenza assorbita


Esempio di implementazione Matlab del circuito di Fig. 1.37

%Esempio_tableau.m

clear

Vs1=2; Vs3=1;

R1=1; R2=3;, R3=2;

mat_tableau=[1 -1 -1 0; R1 0 0 1; 0 -R2 0 1; 0 0 -R3 1];

termine_noto=[0;-Vs1;0;-Vs3];

x=mat_tableau\termine_noto;

I1=x(1);

I2=x(2);

I3=x(3);

V1=x(4);

Vl1=V1;

Vl2=V1;

Vl3=V1;

Pl1=Vl1*I1;

Pl2=Vl2*I2;

Pl3=Vl3*I3;

% Verifica della conservazione delle potenze (Bilancio di Tellegen, vedi dopo)

Pl1-Pl2-Pl3

% la somma algebrica e` praticamente nulla,

% come il principio di conservazione delle potenze richiede

% (si veda dopo il Teorema di Tellegen)


1.11.3 Formule di Millmann

Nel caso di una rete con due soli nodi e un numero comunque grande dilati tra i due nodi, si puo` pervenire ad una formulazione sintetica per lavalutazione dellunico potenziale incognito. Si faccia riferimento alla Fig.1.39.

R1 R2

Vs1 Vs2

0

A

Rl

Vsl

I2I1 Il

Vl1Vl2 Vll

Figura 1.39: n generatori reali di tensione in parallelo.

Per ogni lato della rete si puo` scrivere:

Vl1 = VA V0 = Vs1 R1I1Vl2 = VA V0 = Vs2 R2I2 (1.11.1) = = Vll = VA V0 = Vsl RlIl

da cui si possono ricavare le correnti di lato. Tali correnti devono soddisfareal I Principio di Kirchhoff

lk=1

Ik = 0 (1.11.2)

Tale equazione diventa dunque:

(Vs1 VA)R1

+(Vs2 VA)

R2+ (Vsl VA)

Rl= 0 (1.11.3)

che puo` essere riscritta come

Vs1R1

+Vs2R2

+ + VslRl

= VA

(1

R1+

1

R2+ + 1

Rl

)(1.11.4)

G1Vs1 +G2Vs2 + +GlVsl = VA (G1 +G2 + +Gl) (1.11.5)


e infine

VA =G1Vs1 +G2Vs2 + +GlVsl

G1 +G2 + +Gl=

lk=1GkVsklk=1Gk

(1.11.6)

che rappresenta la media delle tensioni dei generatori ideali pesata con leconduttanze dei vari lati.

La stessa rete puo` essere ridisegnata trasformando ogni generatore realedi tensione nel corrispondente generatore reale di corrente equivalente

R1 R2 RlIs2Is1 Isl.

0

A

Re

Ise

0

A

Figura 1.40: Circuito di Fig. 1.39 trasformato.

Per il circuito a destra si puo` scrivere VA = ReIse dove:

Re =

(1

R1+

1

R2+ + 1

Rl

)1=

(l

k=1

Gk

)1(1.11.7)

Ise =l

k=1

GkVsk (1.11.8)

che fornisce la stessa formula precedentemente ottenuta.

VA = ReIse =

lk=1GkVsklk=1Gk

(1.11.9)


1.11.4 Principio di Sovrapposizione degli Effetti

Leffetto di piu` generatori agenti in una rete elettrica lineare e`uguale alla somma degli effetti di ciascun generatore agente sepa-ratamente.

Si dice lineare una rete elettrica i cui elementi passivi (resistenze (infuturo capacita` ed induttanze)) sono quantita` che non dipendono dallegrandezze elettriche (tensioni e correnti);

Per far agire separatamente i generatori ideali di tensione e di correntesi devono cortocircuitare i primi e aprire i secondi, lasciando attivo soloun generatore alla volta.

Se la rete contiene Ngv generatori ideali di tensione e Ngi generatoriideali di corrente si devono risolvere Ngv + Ngi problemi elementariin ciascuno dei quali agisce un solo generatore ideale (di tensione o dicorrente).

Ciascuno di tali problemi puo` essere risolto, oltre che con metodi gen-erali di analisi delle reti, anche attraverso trasformazioni di equivalenza(serie, parallelo, triangolo-stella, stella-triangolo).

Ig2

Vg1

R1

R2R3I1

I3IR2

Ig0

Vg1

R1

R0R2

I1

I2IR0

Vg2

I0

B

A

Figura 1.41: Circuiti da analizzare con il Principio di Sovrapposizione degliEffetti.

Esercizi proposti sul Principio di Sovrapposizione degli EffettiDati circuito 1: Vg1 = 10 V,R1 = 1 , Ig2 = 1 A,R2 = 2 , R3 = 3 .Dati circuito 2: Vg1 = 8 V,R1 = 2 , Ig0 = 1 A,R0 = 2 , Vg2 = 10 V,R2 =4 .


Per i due circuiti illustrati calcolare potenziali nodali, correnti di lato,tensioni di lato, potenze dissipate nelle resistenze e potenze generate daigeneratori utilizzando il Principio di Sovrapposizione degli Effetti.


1.11.5 Teorema di Theve`nin

Si consideri una rete resistiva lineare attiva; dunque i suoi elementi pas-sivi (resistenze) sono quantita` che non dipendono dalle grandezze elettriche(tensioni e correnti); inoltre essa contiene generatori ideali di tensione e dicorrente che la rendono attiva.

Si supponga di considerare una coppia di nodi tra i quali sia inserita unaresistenza R (impedenza Z in futuro).

R

I

B

A

VABRete lineare attiva

Figura 1.42: Rete lineare attiva.

Il Teorema di Theve`nin dimostra che la rete lineare attiva collegata allaresistenza R attraverso i nodi A e B puo` essere modellizzata come un gen-eratore reale di tensione di valori e polarita` calcolabili a partire dalla retelineare attiva privata della resistenza R.

I parametri del circuito equivalente secondo Theve`nin della rete lineareattiva sono:

la tensione (VA VB)0 = V 0AB esistente tra i nodi A e B della rete avuoto (dopo aver staccato la resistenza R); la polarita` del generatorecorrispondente nel circuito equivalente finale e` uguale a quella dellatensione cos` calcolata;

la resistenza RAB vista dai nodi A e B della rete lineare resa passiva,cioe` dopo aver cortocircuitato tutti i generatori ideali di tensione eaperto tutti i generatori ideali di corrente.

La rete lineare attiva e` dunque equivalente ad un generatore reale ditensione con parametri V 0AB e RAB , come illustrato in Fig. 1.44. La correnteche passa nella resistenza R e` facilmente calcolabile come:

I =(VA VB)0RAB +R

=V 0AB

RAB +R(1.11.10)


Figura 1.43: Dimostrazione del Teorema di Theve`nin.

VAB0

RRAB

VAB

A

B

I

Figura 1.44: Circuito semplificato in seguito allapplicazione del teorema diTheve`nin.


1.11.6 Teorema di Norton

Il teorema di Norton dimostra, in modo analogo al Teorema di Theve`nin,che una rete lineare attiva collegata alla resistenza R attraverso i nodi A eB puo` essere modellizzata come un generatore reale di corrente di valori epolarita` calcolabili a partire dalla rete lineare attiva privata della resistenzaR. I parametri del circuito equivalente secondo Norton della rete lineareattiva sono:

la corrente IccAB che circola tra i nodi A eB della rete messa in corto-circuito (dopo aver staccato la resistenza R e mettendo in contatto idue nodi A e B); la polarita` del generatore corrispondente nel circuitoequivalente finale e` uguale a quella della corrente cos` calcolata;

la resistenza RAB vista dai nodi A e B della rete lineare resa passiva,cioe` dopo aver cortocircuitato tutti i generatori ideali di tensione eaperto tutti i generatori ideali di corrente.

Il circuito equivalente second Norton della rete lineare attiva diventa quellorappresentato in Fig. 1.45:

IABcc RRAB VAB

A

B

I

Figura 1.45: Circuito equivalente secondo Norton.

Per lequivalenza tra generatori reali di tensione e di corrente e` immediatoverificare che tra i parametri V 0AB e I

ccAB esiste la seguente relazione:

IccAB =V 0ABRAB

(1.11.11)

Esempio di applicazione del Principio di Sovrapposizione degli Ef-fetti e del teorema di Theve`nin


Per il circuito in Fig. 1.46 calcolare la corrente che circola nella resistenzaR3 utilizzando:

il Principio di Sovrapposizione degli Effetti; il teorema di Theve`nin.

Vs1

R1

R2

R3 R4Is2

Figura 1.46: Esercizio proposto.

Dati:

Vs1 = 10 V, Is2 = 3 A R1 = 1 , R2 = 3 , R3 = 2.5 , R4 = 2

Risultato: IR3 = 1.13 A.

Soluzione con il Principio di Sovrapposizione degli EffettiVolendo applicare il Principio di Sovrapposizione degli Effetti e` necessariodecomporre il problema in tanti problemi, piu` elementari, in ciascuno deiquali agisce un solo generatore ideale di tensione o di corrente, avendo curadi cortocircuitare tutti gli altri generatori ideali di tensione e aprire tutti glialtri generatori ideali di corrente.Circuito 1Si lascia attivo solo il generatore di corrente Is2 e si disattiva il generatoredi tensione Vs1 cortocircuitandolo. Il circuito puo` essere semplificato comein Fig. 1.48 dove

Req = R2 +R3R4

R3 +R4Applicando la regola del partitore di corrente si puo` scrivere:

Ieq =R1

R1 +ReqIs2


Is2

R1

R2

R3 R4

I3'

Figura 1.47: Circuito con il solo generatore Is2 attivo.

Is2

R1 Req

Ieq

Figura 1.48: Circuito semplificato con il solo generatore Is2 attivo.

Nota la corrente Ieq si applica di nuovo la regola del partitore di corrente alparallelo tra le resistenze R3 e R4, ottenendo:

I 3 =R4

R3 +R4Ieq = 0.261 A

Circuito 2

Ora si lascia attivo il generatore di tensione Vs1 e si disattiva il generatoredi corrente 2 aprendolo (Fig. 1.49).

La corrente che circola nel generatore Vs1 e`:

I1 =Vs1

R1 +R2 +R3R4R3+R4

Applicando la regola del partitore di corrente si ottiene:

I 3 =R4

R3 +R4I1 = 0.869 A


Vs1

R1

R2

R3 R4

I3''

Figura 1.49: Circuito con il solo generatore Vs1 attivo.

Avendo assunto nei due problemi lo stesso verso di misura per le correntiI 3 e I

3 , la corrente totale che attraversa la resistenza R3 e`:

I3 = I3 + I

3 = 1.13 A

Soluzione con il teorema di Theve`nin

Volendo applicare il teorema di Theve`nin al lato R3, come primo passo siprocede a staccare dal circuito la resistenza R3, come illustrato in Fig. 1.50.

Vs1

R1

R2

R4Is2

A

B

VAB0

Figura 1.50: Circuito dopo leliminazione della resistenza R3.

Lobiettivo e` quello di valutare i parametri del generatore equivalente diTheve`nin, V 0AB e RAB . Per il calcolo di V

0AB si puo` utilizzare una qualsiasi

delle tecniche di analisi dei circuiti. Volendo procedere attraverso sempli-ficazioni della rete e` opportuno trasformare il generatore reale di tensione(Vs1, R1) nellequivalente generatore reale di corrente (Is1 = Vs1/R1, R1),come illustrato nella Fig. 1.51. Essendo i due generatori ideali di correntein parallelo, essi possono essere sostituiti dal generatore ideale di corrente


Is1 R1

R2

R4Is2

A

B

VAB0

Figura 1.51: Circuito dopo leliminazione della resistenza R3 e latrasformazione reale di tensione nellequivalente generatore reale di corrente.

equivalente

Ieq = Is1 + Is2 =Vs1R1

+ Is2

come illustrato in Fig. 1.52. Inoltre, il generatore reale di corrente cos` gen-

R2

R4Ieq

A

B

VAB0R1

R2

R4

Veq

A

B

VAB0

R1

I1

Figura 1.52: Trasformazioni di equivalenza del circuito.

erato (Ieq, R1) puo` essere ulteriormente trasformato nellequivalente gener-


atore reale di tensione, ottenendo il secondo circuito mostrato in Fig. 1.52,dove Veq = R1Ieq = Vs1+R1Is2 ed e` stato introdotto anche il verso di misuradella corrente nella resistenza R2. Imponendo il II Principio di Kirchhoff allamaglia si ottiene:

Veq (R1 +R2 +R4) I1 = 0che fornisce

I1 =Veq

R1 +R2 +R4= 2.16 A

La tensione a vuoto V 0AB coincide con la tensione sulla resistenza R4 e dunquesi ottiene.

V 0AB = VR4 = R4I1 = 4.33 V

La resistenza a vuoto vista dai morsetti AB della rete resa passiva si puo`valutare facilmente dalla Fi

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