Trascrizione appunti manoscritti prof.Giuseppe Ruta

22 marzo 2014

1 Cinematica dellatto di moto rigido

Nello spazio ambiente euclideo tridimensionale E , la formula fondamentaledellatto di moto rigido (di Euler)

V (P ) = V (Q) +W QP (1)

Q,P Ee` lineare nel vettore posizione QP e nel vettore w, uniforme in E : la (1) si puo`dunque prolungare con continuita` a tutto E , talche` si puo` immaginare cheuna copia intera di E , e non solo la regione di interesse, sia soggetta allattodi moto rigido.Si ha un ATTO DI MOTO TRASLATORIO se:

w = 0 V (Q) = V (P ) Q,P E (2)e tutti i posti dello spazio hanno la stessa velocita` allistante considerato.Se w = 0, fissata unorigine in E , un sistema di coordinate cartesiane orto-gonali monometriche {xyz} ed una base ortonormale {i, j, k} coerente conesso, si ha:v1(P )v2(P )

v3(P )

=v1(Q)v2(Q)v3(Q)

+

i j kw1 w2 w3

xP xQ yP yQ zP zQ

= (3)

=

v1(Q) + w2(zP zQ) w3(yP yQ)v2(Q) + w3(xP xQ) w1(zP zQ)v3(Q) + w1(yP yQ) w2(xP xQ)

1

Dalla (1) segue che, se Q e P sono su una retta parallela a w, il loro prodottovettoriale al secondo addendo si annulla e V (Q) = V (P ), cioe` i posti su retteparallele a w hanno la stessa velocita` allistante considerato.Se, dunque, Q : V (Q) = 0, ce` una retta per Q parallela a w i cui postihanno tutti velocita` nulla, lASSE DI ROTAZIONE ISTANTANEA r.In tal caso, dalla (1) segue che la velocita` di tutti gli altri posti di E sonoin piani ortogonali a r, con intensita` variabile linearmente con la distanzadel posto considerato da r: si ha un ATTO DI MOTO ROTATORIO, con w(PSEUDO)-VETTORE VELOCITA` ANGOLARE.Se, dunque, w 6= 0 e @Q : V (Q) = 0, latto di moto rigido e` detto DIAVVITAMENTO O ELICOIDALE ; dalla (1) si ha ancora che

V (Q) w = V (P ) w Q,P E (4)e quindi tutti i posti di E hanno la stessa componente di velocita` nella dire-zione di w. Questa e` dunque la velocita` minima attingibile nellatto di moto,poiche` le velocita` di ogni altro punto si ottengono sommando ad essa unaquantita` in generale non nulla.Tale valore minimo e` uniforme su un asse parallelo a w, detto ASSE DIMOZZI.Latto di moto rigido e` una isometria equiproiettiva:

V (P ) QP = V (Q) QP Q,P E (5)Sempre come conseguenza della (1), per cui ogni segmento QP non puo` va-riare la sua lunghezza, come imposto dalla condizione di rigidita` dellatto dimoto.Un atto di moto rigido elicoidale puo` avvenire solo in ambiente tridimensio-nale: la componente trasversale e` parallela a w e quella rotatoria si realizzain piani ortogonali allasse di Mozzi a.Dalla (4) segue immediatamente che, se V (P ) w = V (Q) w = 0, latto dimoto rigido e`:

1. traslatorio, se w = 0

2. rotatorio, se Q : V (Q) = 03. piano, comunque siano dati altrimenti V (Q) e w che verifichinoV (Q) w = 0

In uno spazio ambiente bidimensionale, o considerando atti di moto rigidopiani, lavvitamento non e` dunque possibile, e si hanno solo le due possibilita`descritte appena in precedenza; il punto Q : V (Q) = 0 e` il CENTRO DIROTAZIONE ISTANTANEA.

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2 Interpretazioni grafiche

In un atto di moto rigido piano, la velocita` di ogni punto P e` sempre orto-gonale al vettore posizione di P rispetto al centro di rotazione istantanea C;infatti, dalla (1), se V (C) = 0 si ha

V (P ) = V (C) + w CP = w CP (6)e la proprieta` enunciata discende da quelle del prodotto vettoriale in (6).Dalla (6) dipende altres` che il centro di rotazione istantanea e` unico, perla linearita` dellatto di moto rigido. La (6) si puo` anche estendere a com-prendere gli atti di moto rigidi traslatori: se, infatti, w 0 e CP , illoro prodotto e` una quantita` finita indipendente dal posto, come, appunto,in una traslazione, che si puo` vedere, allora, come una rotazione attorno adun punto indefinito nel piano.Tale punto sara` quello idealmente comune, allinfinito, alla direzione di retteortogonali alla velocita` dellatto di moto traslatorio.

Vale, quindi, la COSTRUZIONE DI CHASLES :La conoscenza delle direzioni di velocita` d1, d2 di due punti, Q,P , determinaunivocamente la posizione di C: se e` al finito, si tratta di un atto di motorotatorio; se C e` indefinito, si tratta di un moto traslatorio.

Si ha una sola eccezione a questa costruzione, ovvero quella in cui d1//d2 QP : in tal caso, infatti, le due ortogonali a d1 e d2 sono la stessa retta (= leinformazioni dellequazione (6) sono linearmente dipendenti).La conoscenza, oltre alle direzioni d1 e d2, dellintensita` della velocita` di unodei due punti, permette inoltre di determinare lintensita` di w, sempre apartire dallapplicazione di (6).

Se si hanno due regioni piane R1,R2 in atto di moto rigido, cioe` due pianiinteri sovrapposti in atto di moto rigido, si puo` applicare la (6) in tre modidistinti:

1. Per latto di moto di R1 rispetto a un osservatore esterno di riferimentoR0 (telaio o suolo)

2. Per latto di moto di R2 rispetto a R03. Per latto di moto di R1 rispetto a R2 e reciprocamente

I primi due sono detti ASSOLUTI per R1 e R2 rispetto a R0, il terzoRELATIVO tra R1 e R2.

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Segue allora che esistono tre centri di rotazione istantanea,C10, C20, C12 C21 (qualcuno eventualmente improprio), e per essi vale il

PRIMO TEOREMA DI ARONHOLD-KENNEDY(o delle catene cinematiche):

i tre centri sono allineati. Per tre regioni R1,R2,R3 ( tre piani interi so-vrapposti) in atto di moto rigido, si possono individuare due coppie indipen-denti (latto di moto di R1 e R2 e R1 e R3 implica univocamente quello diR2 e R3, e parimenti con le scelte analoghe).Date due coppie di regioni indipendenti, esistono allora sei centri di rotazioneistantanea (ovvero: tre per gli atti di moto assoluto, tre per quelli relativi).Per ogni coppia vale il primo teorema delle catene cinematiche, e in piu` vale il

SECONDO TEOREMA DI ARONHOLD-KENNEDY :i tre centri relativi sono allineati.Lutilita` delle costruzioni grafiche di Chasles e Aronhold-Kennedy sara` evi-dente nello studio dei cinematismi vincolati. Costruzioni analoghe nello spaziotridimensionale non sono altrettanto maneggevoli.

3 Gradi di liberta` - parametri lagrangiani

Dallesame delle (1) e (6) si vede immediatamente che per caratterizzarelatto di moto rigido sono necessarie 6 informazioni scalari nello spazio tridi-mensionale, 3 nello spazio bidimensionale: per esempio, in E si possono darele 3 componenti di V (Q) e le 3 componenti di w, o le 3 componenti di V (P )e le tre componenti di V (Q).Similmente si puo` operare in spazio bidimensionale. Si usa percio` dire cheuna regione (al limite, uno spazio intero) in E ha 6 possibilita` di atto dimoto rigido, 3 nel piano, o anche, rispettivamente, 6 e 3 gradi di liberta`.Chiaramente, un sistema composto da n regioni, ha 6n e 3n gradi di liberta`,rispettivamente, nello spazio e nel piano.Le quantita` scalari necessarie per descrivere latto di moto rigido sono detteparametri lagrangiani dellatto di moto rigido.Operando, per semplicita`, in ambiente bidimensionale, un esempio di sceltadi parametri lagrangiani e di rappresentazione conseguente dellatto di motorigido e` qui di seguito...

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4 CINEMATICA DEI SISTEMI VINCOLA-

TI IN ATTO DI MOTO RIGIDO

Un dispositivo di vincolo e` un congegno meccanico che lega alcuni dei para-metri lagrangiani che caratterizzano il sistema studiato, determinandone cos`il valore (= facendo muovere il sistema come richiesto dallesterno).Un vincolo olonomo (= di posizione), bilatero, reonomo (= dipendente daltempo in maniera anche esplicita) e` rappresentato da

f(q1(t), q2(t), . . . , ql(t); t) = 0, l = 3n (6n) (7)

in cui il numero dei gradi di liberta` e` 3n nel piano, 6n in E , se il sistemastudiato consta di n forme (= regioni, corpi).Dalla (7) discende il vincolo dellatto di moto allistante considerato t, perderivazione:

df

dt

t=t

=f

qj

t=t

qj +f

t

t=t

(8)

che e` quindi rappresentato, diversamente dalla (7), da una equazione linearenei parametri lagrangiani dellatto di moto.

4.1 ESEMPIO

Una biella (o pendolo) e` un dispositivo che controlla la distanza tra due postiP e S:

(equazione di vincolo sulla posizione, non lineare) P (t) S(t) = d(t)

(P (t) S(t)) (P (t) S(t)) = d2(t)

[V (P ) V (S)] P (t) S (t)d (t)

= d(t)

(equazione di vincolo sulla velocita` allistante t, lineare)

Se il sistema meccanico e` soggetto a v equazioni di incolo semplice, le (7) e(8) si modificano nelle

fi(qj(t), t) = 0,fiqj

t=t

qj +fit

t=t

= 0 (9)

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i = 1, . . . , v j = 1, . . . , l

Le equazioni di vincolo sono cos` riconducibili alla forma matriciale

Aq = ce la possibilita` di determinare gli atti di moto del sistema compatibili coni vincoli assegnati passa per la discussione della solvibilita` del sistema diequazioni algebriche lineari (9).Nel caso considerato, si hanno soluzioni se (Rouche`-Capelli)

rk(A) = rk(A|c)e, se c e` generico come in questo caso, il rango deve essere 3, ovvero det(A) 6=0 6= 0. Infatti, se = 0, la terza riga ripeterebbe la seconda, e, in effetti,i pendoli in S e in T fornirebbero la stessa informazione, vincolando la com-ponente orizzontale della velocita` di S e T che, per lisoproiettivita` dellattodi moto rigido, e` gia` la stessa. I due pendoli, cioe`, sarebbero dipendenti, e ilsistema cinematico non ammetterebbe soluzione a meno che il vettore dellevelocita` imposte dai vincoli sia tale per cui il rango della matrice dei vincolisia uguale a quello della matrice orlata con il vettore dei termini noti. Aggiu-stando opportunamente, cioe`, le velocita` vincolari, si possono sempre trovaresoluzioni datto di moto rigido, ma questo non toglie la malposizione di unvincolo: da 3 vincoli su 3 gradi di liberta` aspetterei infatti una determinazio-ne univoca.Se 6= 0,

rk(A) = rk(A|c) = 3 ! soluzione,

q = A1c(A1 esiste poiche` A e` non singolare). Se si vuole applicare una ricerca gra-fica della soluzione, si opera per sovrapposizione di effetti: si studia, cioe`,leffetto di ogni velocita` vincolare indipendentemente dalle altre, sommandoi grafici ottenuti (la soluzione, cioe`, risulta dalla somma di quella dello-mogenea associata, piu` quelle particolari dovute agli effetti delle forzanti,indipendenti luna dallaltra).La soluzione del problema omogeneo associato e` quella in cui i vincoli sonopensati fissi. Se il teorema di Chasles non e` verificato, allora i vincoli sonolinearmente indipendenti (sono ben posti).Per trovare le soluzioni particolari, sapendo che i vincoli sono indipendenti,si trova la classe datti di moto concessi al sistema da tutti i vincoli, pensatifissi, escluso quello considerato.La soluzione finale e` la somma di tutte le soluzioni precedentemente trovate.

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5 Potenza Meccanica

Linterazione tra il mondo esterno (universo) e un punto e` misurata da unoscalare lineare nella velocita` del punto:

PA(P ) = f(P ) V (P ) (10)chiamata potenza meccanica spesa su V (P ) con costo unitario f(P ) (forza esternasu P). Se il punto e` un elemento denso in una regione R E , la 10 si estendenella forma

PA(R) =R

dPA(P ) =R

df(P ) V (P )

=

Rb(P ) V (P )dv +

Rt(P ) V (P )da (11)

in cui

b(P ) =df(P )

dv

e` la densita` di forza a distanza, densa rispetto allunita` di volume nellinter-no di R, e

t(P ) =df(P )

da

e` la densita` di forza per contatto, densa rispetto allunita` di area sul bordoR di R. Se latto di moto di R e` rigido,

PA =R

df(P ) [V (Q) +W QP ] =

= V (Q) R

df(P ) W +W RQP df(P ) =

= r V (Q) +mQ W =(rmQ

)(V (Q)W

)= FQ q (12)

in cui

r =

R

df(P )

e` detta risultante e

mQ =

RQP df(P )

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e` detto momento risultante rispetto a Q delle azioni su R, dette anchecomponenti lagrangiane della sollecitazione attiva FQ, mentre latto di motoe` descritto dal vettore dei parametri lagrangiani q.Poiche` i vincoli agiscono sugli atti di moto permessi, inevitabilmente essi inte-ragiscono con la regione cui essi sono applicati; un vincolo e` perfetto se spendepotenza nulla su tutti gli atti di moto compatibili con esso, pensato fisso:

PV = Aq (c = 0) (13)da cui discende la caratterizzazione meccanica dei vincoli perfetti, che speci-fica le direzioni efficaci delle reazioni vincolari V .

5.1 Esempi

Nel caso di una biella si ha

0 = 1V (P ) n+ 2V (P ) + 3se

V (P ) n = 0, V (P ) ,

2 = 0, 3 = 0, 1 Re quindi una biella eroga una componente lagrangiana di reazione vincolarelungo la sua direzione, di tipo forza, ma non eroga forze vincolari ortogonalia se`, ne` momenti attorno alla sua testa. Il caso di una cerniera e` sovrappo-sizione di due bielle incidenti: la reazione vincolare e` una forza passante perla cerniera, comunque diretta nel piano. Il caso di un pattino e` sovrapposi-zione di due bielle parallele: la reazione vincolare e` costituita da due forzaparallele, equivalenti a una forza parallela a n, piu` un momento. (Eserci-zio proposto: dimostrare lo stesso con la formula delle potenze usati sopra).Un incastro e` sovrapposizione di tre pendoli (due paralleli, due incidenti): lareazione vincolare e` una forza comunque disposta nel piano, piu` un momento.

N.B. la molteplicita` cinematica e quella reattiva dei vincoli coincidono.

La potenza meccanica totale spesa dallesterno su un sistema meccanicovincolato e` allora (i vincoli adesso sono mobili)

P = FQ q + c = (FQ +AT) q (14)se il sistema e` soggetto ad atti di moto rigido. In tal caso, pero`, si e` di frontea trasformazioni apparenti del sistema, poiche` gli atti di moto rigido non

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alterano le distanza e gli angoli, quindi non cambiano lo stato geometrico delsistema.Si enuncia cos` il postulato della potenza virtuale: dalla 14,

q,P = 0 FQ +AT = 0 (15)

per cui valgono necessariamente le equazioni di bilancio meccanico 15.Esse sono anche sufficienti se il sistema e` soggetto solo ad atti di moto rigido.Dalla 15 discende che la caratterizzazione cinematica del sistema da` indica-zioni anche per la soluzione del bilancio meccanico, in cui il vettore incognito dei moltiplicatori di reazione vincolare ha tante componenti quanti sono ivincoli semplici sul sistema. Si ha che:

rk(A) cinematico meccanico< max singolare singolare= max : v < l indeterminato impossibilev = l univocamente determinato univocamente determinatov > l impossibile indeterminato

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