Dispense Di Fisica non ufficiali per i corsi di informatica e tecnologie informatiche di S.M.F.N. Il seguente materiale è da intendersi come supporto integrativo ai corsi di fisica 1: Non sono responsabile di problemi di spiegazione o fraintendimenti, fermo restando che farò del mio meglio per essere chiaro e dettagliato. Lo sottoporrò all’attenzione del professore per verificarne la correttezza ma segnalate gli errori che troverete alla mia e-mail: patrizio-tamorri@libero.itIniziamo e buono studio

Queste dispense prendono per buone certe conoscenze di analisi 1 e 2.Studiate prima le Dispense 1 e 2 fino agli integrali prima di iniziare.

Applicherò il famoso metodo inventato da me “Io spiego e voi cercate di capire sennò….”

La prima cosa è capire a cosa serve la fisica.Beh la fisica ci spiega come funziona il mondo attorno a noi.Se volessimo sapere quando una palla lasciata cadere dalla mano toccherà terra è alla fisica che ci rivolgeremmo.In realtà a noi non ci importa molto ma ala professore pare di sì,quindi anche a noi.

CINEMATICA

Lo studio di un oggetto in moto è detto Cinematica.Andremo ora a vedere i vari tipi di moto che esistono,ma prima vediamo cosa è un sistema di riferimento,cosa che ci servirà per studiare i moti degli oggetti.Quando io vedo un oggetto davanti a me su un treno dico che è “2 metri circa davanti a me”.In realtà quell’oggetto di trova nello spazio e si muove alla velocità del treno.Dicendo così io stò prendendo me come origine del mio sistema di riferimento e siccome anche io mi muovo alla velocità del treno,per me l’oggetto è fermo.Un sistema di riferimento non è altro che un sistema di assi cartesiani in grado di darmi dei vantaggi sui calcoli che dovrò fare.Ciò significa che prenderò il sistema di assi cartesiani(che in teoria posso espandere fino alla terza dimensione il grafico) con meno variabili possibile(nell’esempio del treno se l’origine sono io allora mi basta l’asse x,perché voglio sapere quanto è distante).Per capirci se prendessi come origine degli assi l’oggetto invece di me io sarei ad una distanza negativa da questo(considerando sempre positiva la direzione che lo era prima del cambio).E’ una questione di punti di vista.Vediamo un grafico della situazione(passatemi la grafica da asilo) .Il treno si muove ma il tempo che ci metterebbe l’omino a raggiungere l’oggetto è lo stesso che se il treno stesse fermo,proprio perché ho preso l’omino come punto d’origine dell’asse X,ovvero lo 0.Se avessi preso il treno la situazione si complicava.Infatti sia l’omino che l’oggetto si sarebbe mossi a velocità costante e i calcoli si complicavano.E’ una questione di praticità.

1)Il moto rettilineo uniforme:Questo è il moto di un oggetto che si muove in un'unica direzione senza mai cambiare direzione e velocità .Il nostro scopo è trovare la legge oraria,ovvero una legge che associ al tempo trascorso lo spostamento del corpo.Avendo la sua velocità,ovvero lo spazio percorso nell’intervallo di tempo,e sapendo il tempo trascorso da quando è partito potremo sapere quanto spazio ha percorso.Però dovremo prendere in considerazione anche il fatto che il punto di partenza non sia l’origine degli assi.Questo è detto spostamento iniziale.Ricapitolando avremo una formula dello spostamento iniziale,dalla velocità e naturalmente dal tempo trascorso.Avremo dunque: Spostamento = Posizione iniziale rispetto al punto di origine del sistema di riferimento + Velocità * (Differenza di Tempo).In pratica S = X0+V*⌂t (⌂t si legge “delta t” e indica una differenza di tempo) .Avete capito perché ho messo Differenza di Tempo?Il motivo è che l’istante di partenza potrebbe non essere quello dove il tempo è 0.Perciò se sono trascorsi 5 secondi e voglio sapere di quanto si è spostato a 8 secondi ,dovremo mettere la posizione iniziale come lo spostamento dopo 5 secondi e calcolare lo spostamento di (8 - 5) secondi ovvero di 3 secondi.Ed ecco lo spostamento totale.La velocità si può calcolare in due modi.Sappiamo che questa è costante.In genere la velocità si calcola come (lo spostamento è la differenza di posizione): Velocità = (Spostamento)/(Differenza di Tempo)Oltre a questa formula,esiste un altro modo di calcolare la velocità.Questa infatti può essere considerata come la derivata dello spostamento rispetto al tempo(ovvero il tempo è l’incognita della funzione). Perciò potremo scrivere:V = dS / dt = d(X0 + V*t) /dt dove dZ /dt indica « derivata di Z rispetto a t » Infatti se si deriva con t come variabile viene V = V(se vediamo la V come costante).Si può facilmente intuire che si può ottenere lo spostamento integrando la velocità.L’integrale si scrive dV*dt(notare il * invece di /) e si legge <<integrale di V rispetto a t>>2)Il moto uniformemente accelerato:Un moto però non è sempre uniforme.In genere un corpo(ad esempio una macchina da corsa)accelera e frena(Pensate che strazio se tutte le macchine andassero alla stessa velocità.Niente più sorpassi).Vediamo quindi cosa significa accelerare.Un accelerazione è un cambiamento di velocità nel tempo.Quindi non è altro che: Accelerazione = ⌂V/⌂t(si ricorda che ⌂ è “differenza di”).Un corpo varia il suo spostamento nel tempo seguendo questa legge oraria:Differenza di posizione = Posizione iniziale + Velocità iniziale * tempo + 1/2 * accelerazione * tempo2 .In simboli:S = X0 + V0*t + ½*(a*(⌂t)2) .In generale l’accellerazione è anche la derivata della velocità rispetto al tempo(dV/dt).

Quindi avremo che derivando lo spazio(ovvero la formula che associa lo spazio al tempo) otteniamo la velocità e derivando la velocità si ottiene l’accellerazione.Questo si può intuire anche dal grafico spazio-tempo(prendete come asse X lo spazio e Y il tempo).La velocità si calcola come Spazio/tempo.Ma se ci pensate questo non è altro che l’M della retta tangente in quel punto,che è per definizione la derivata della funzione Spazio(la derivata dà l’M della retta tangente in un punto alla funzione,per chi non ricorda).Vediamo un esempio pratico di utilizzo dei due moti:Il moto di un proiettile.Per farlo occorre che sappiate che la terra attira verso di se gli oggetti con un accelerazione g.Il proiettile ha uno di quei moti che si dicono composti.In pratica la sua velocità in orizzontale è costante(dunque un moto rettilineo uniforme),mentre in verticale questo viene attirato al suolo dalla forza di gravità della terra con un’accelerazione pari a g (g = 9.8 circa).Vediamo un semplice grafico.

Come si vede ci sono due moti che insieme generano la parabola di discesa.Quello marrone è il rettilineo uniforme.Trascurando la resistenza che oppone l’aria l’unica cosa che fermerebbe un proiettile è l’impatto col suolo. L’impatto avviene non perché il proiettile si è fermato in aria,ma perché la terra lo ha attirato a sé.In questo caso la freccetta verde indica la direzione verso cui è diretto il secondo moto,quello uniformemente accelerato,con accelerazione g.Si tratta di capire quanta strada in orizzontale avrà percorso l’oggetto nel momento che toccherà terra.Vediamo…La prima cosa da fare è scegliere il sistema di riferimento che vogliamo adottare.In questo caso io sceglierei l’intersezione tra la base dell’edificio e la strada(quella sotto l’oggetto viola nel grafico).Abbiamo quindi due leggi orarie.Supponiamo che l’oggetto sia sparato in avanti a una velocità V .Y = H - 1/2g(t2) .Notare che l’oggetto è inizialmente fermo per questo moto.Il fatto è che la sua velocità in avanti non influisce sulla Y ma solo sulla X dell’oggetto.Per il nostro sistema di riferimento l’oggetto è in una posizione Y positiva e l’accelerazione è negativa,in quanto l’oggetto perde quota e la posizione dall’iniziale decresce invece di crescere.(la posizione iniziale è positiva perché io ho preso quella direzione come Y positiva.In realtà cambiando il segno si otterrà solo la Y negativa ,perché starei moltiplicando per –1 la seconda parte.Nel senso posso prendere il sistema di riferimento che voglio.Il risultato non cambia). Quando avremo Y = 0 allora l’oggetto avrà toccato terra.La seconda parte invece sarà:X = V*t Non compare la X0 perché è uguale a 0.La sua posizione iniziale X è infatti L’origine X del sistema di riferimento(non coincide la Y in quell’istante,perché l’oggetto si trova ad un altezza H da terra,Ma la sua X è la stessa di quella dell’origine del sistema di riferimento).Vediamo un grafico esplicativo che mostra anche il sistema di riferimento.

Vediamo come procedere ora:Poniamo la Y a 0 e ricaviamo il tempo(ovvero il tempo che occorre perché l’oggetto tocchi terra) e mettiamolo in X = V*t .Voilà Ecco la X,ovvero lo spostamento..Tutto Chiaro?Fin qui nulla di impossibile.Ora acceleriamo di brutto.Semplicemente perché il tempo stringe.

Vediamo cos è un vettore.Un vettore è un modo grafico di visualizzare cambiamenti di stato o talune proprietà di un corpo.La velocità si può esprimere vettorialmente ma anche lo spostamento e molto altro.Nel grafico di prima le freccette marroni e verdi sono vettori che indicano uno(quello marrone) la velocità iniziale,che è diretta in avanti,e l’altro(quello verde) indica la direzione dell’accelerazione.In entrambi i casi la lunghezza simboleggia la loro intensità,ovvero il valore reale del parametro che identificano.In pratica più lungo il vettore maggiore il valore che rappresenta.Un vettore ha anche un verso,ovvero è diretto in una direzione.Un vettore ha alcune importanti proprietà.La prima è che si può scomporre in componenti.Possiamo distinguere ad esempio una componente orizzontale e una verticale(per comodità.in teoria sono infinite.Infatti esistono infiniti vettori la cui somma dà il vettore di partenza,ma alcune sono più utili di altre).Vediamo un grafico.

Qui vediamo in verde sull’asse delle X la componente x del vettore(quella dove appare la scritta X)e in verde sull’asse delle Y la componente Y . Queste due componenti sommate ridaranno il vettore di partenza.Ma come si fa la somma tra due vettori?Matematicamente si deve scomporre il vettore nelle sue componenti,sommarle tra loro(Y1 + Y2 e X1 + X2) e poi ricomporre il vettore.Geometricamente la somma si due vettori(che torna un terzo vettore) si ottiene prendendo uno dei due vettori e “Spostandolo” sulla fine del secondo.Il vettore risultante non è altro che il vettore che congiunge la base del primo con la fine di quello spostato.Nel grafico sopra ad esempio il vettore risultante si ottiene prendendo il vettore X e spostandolo alla fine di quello Yo viceversa,e poi congiungendo la base di Y(l’origine) con la fine di X.Un vettore in genere si può scrivere anche utilizzando dei cosiddetti versori.Un versore non è altro che un vettore parallelo a uno degli assi cartesiani di intensità 1.Il versore dell’asse X ad esempio sarà un vettore di intensità 1 parallelo all’asse x.Questi danno semplicemente una direzione(che non deve essere per forza quella degli assi cartesiani,anche se quasi sempre è conveniente fare così).Ma se li moltiplichiamo per un numero N noi allunghiamo il vettore di N volte(Si otterrà dunque un vettore scomposto in componenti ma in un altro modo.Un vettore come i precedenti diventa del tipo N1*X + N2*Y dove X e Y sono versori).Questa moltiplicazione si chiama prodotto di un vettore per uno scalare,ovvero prodotto di un vettore per un numero,e restituisce un vettore di intensità pari all’intensità precedente moltiplicata per tale numero.Non cambia la direzione(ma se il numero è negativo potrebbe il verso).Vediamo poi la differenza.Una differenza tra vettori si fa sommando il primo vettore con il secondo cambiato di segno(ovvero l’opposto.Cambiando il segno si cambia solo il verso di un vettore.sommando un vettore con il suo opposto si ottiene il vettore nullo).Per quanto riguarda la moltiplicazione tra vettori e vettori invece,ci sono 2 tipi:Uno è il prodotto scalare:Questo si trova moltiplicando l’intensità del primo vettore per l’intensità del secondo e il tutto per il coseno dell’angolo compreso tra i due vettori.Questo è graficamente il prodotto dell’intensità(si può dire anche modulo) del primo vettore per la componente parallela al primo del secondo(Le componenti di un vettore non sono legate al piano cartesiano.Per definizione queste sono una serie di vettori tali che la loro somma dia di nuovo il vettore scomposto.In genere conviene prenderle cartesiane ma talvolta…) oppure viceversa.Lo si può intuire anche considerando il significato geometrico del coseno e approssimano il valore di uno dei due vettore per il coseno a un numero,sviluppandolo(Il prodotto scalare si può calcolare anche conoscendo le componenti.Si ha infatti che il prodotto scalare S di A*B è S = (Ax*Bx)+(Ay*By)+(Az*Bz) ). L’altro tipo di prodotto è il prodotto vettoriale.Questo genera un nuovo vettore che ha verso perpendicolare al piano su cui giacciono i due vettori moltiplicati,ed ha un intensità pari all’area del parallelogramma che formano i due vettori.Il verso(entrante o uscente) si determina con la regola della mano destra.Ora ve la spiego.Mettiamo che dobbiate fare A^B(prodotto vettoriale).Mettete la mano messa in modo da fare un OK sopra il foglio (sempre a OK) dove avete i vostri vettori(che poi è il piano su cui giacciono).Poggiate la mano sul foglio e aprite le dita in modo che siano allineate con il primo vettore(qui è A).Ora le dovete chiudere nella direzione di B(la destra he).Per farlo potreste dover mettere sotto sopra la mano(se B si trova a destra di A).Ora il vostro pollice indica il verso del vettore.A conti fatti A^B varrà A*B*sin(a) dove a è l’angolo compreso.L’unità di misura di una forza è il Newton.

Ora vediamo il moto circolare uniforme:Il moto circolare uniforme è il moto di un oggetto che gira in tondo a velocità regolare.Per mantenersi a una distanza r dal centro sull’oggetto deve agire qualcosa.Questo qualcosa è la Forza centripeta.La Forza in generale è una grandezza vettoriale che vale M*A ovvero massa per accelerazione. L’oggetto deve quindi essere vincolato in qualche modo al centro,altrimenti continuerebbe in linea retta anziché curvare.Come si capisce se sul corpo agisce una forza agisce anche una accelerazione.Quindi il corpo effettivamente si muove di moto rettilineo ma nel mentre subisce una accelerazione che è sempre diretta verso il centro,ed è questo che crea il moto circolare.Sappiamo che la velocità è costante.Il periodo di rotazione sarà T = 2 Pgreco / w dove w è la velocità angolare,ovvero l’angolo spazzato nell’intervallo di tempo.La sua unità di misura e 1/s in quanto i radianti sono dimensionali .La w(velocità angolare) è anche data dalla velocità periferica fratto il raggio(w = V/r).La velocità periferica è la velocità effettiva dell’oggetto in metri al secondo.Questo si trova pensando che l’oggetto compie un arco di circonferenza(che si trova da arco = raggio * angolo).Sarà dunque V = (2 Pgreco * raggio) / tempo. Sostituendo alla formula precedente (w = V * r),si ottiene angolo spazzato per raggio fratto secondi per raggio ovvero (2Pgreco * raggio)/(tempo * raggio) .Semplificando si ottiene w = 2Pgreco/tempo che è quello che cercavamo.Da queste due si deduce che V = w*r.Quanto varrà l’accelerazione centripeta?Beh deve essere rivolta verso il centro e deve deviare la velocità in maniera tale da essere sempre parallela al raggio. A conti fatti il modulo dell’ accelerazione vale A = V2/r oppure il che è lo stesso w*V(ovvero velocità angolare per velocità periferica).Si dovrà inoltre ricordare che dato un piano cartesiano in cui il moto circolare a centro nell’origine,la X e la Y dell’oggetto in un dato istante possono essere calcolate rispettivamente come X = r * cos(w*⌂t) e Y = r * sin(w*⌂t).Lo si può facilmente dedurre dal grafico.Provateci… e ricordate sempre che la velocità è equivalente alla derivata dello spostamento e l’accelerazione è la derivata della velocità.Dunque derivando X = r * cos(w*⌂t) si otterrà la velocità lungo l’asse X,ovvero la sua componente X.

Vediamo Ora le tre leggi della dinamica:1)Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto a meno che non intervengano forze esterne.In pratica un corpo immobile o in movimento rimane in tale stato se nessuno applica forze.2)Se su un corpo agisce una forza allora agisce sul corpo anche un’accelerazione e le due sono direttamente proporzionali con costante di proporzionalità la massa.In pratica F = M*A

Esistono due tipi di masse.quella Inerziale è quella che compare in questa formula.Essa rappresenta la riluttanza del corpo a cambiare direzione. L’altra comparirà poi nella legge di gravitazione universale e perciò sarà chiamata Gravitazionale. 3)Se un corpo esercita una forza su un altro corpo allora il secondo corpo esercita una forza opposta sul primo.Si può tradurre anche:Principio di azione e reazione.E’ per questo che il fucile ha un rinculo.Infatti il proiettile parte grazie alla forza impressa dal fucile,ma il fucile subisce la stessa forza nella direzione opposta.Inoltre questa forza è quella per cui un oggetto appoggiato su di un tavolo non cade(bucando il tavolo).Il tavolo respinge l’oggetto con la stessa forza con cui spinge l’oggetto.

Un esempio del loro uso:Se noi avessimo un oggetto di peso m1 che si muove di moto circolare uniforme perché attaccato a una corda e sapessimo che la corda si spezza se superiamo una certa intensità della forza F1,quale sarebbe la velocità massima di rotazione,evitando che la corda si stucchi?Sappiamo che F=m*a dunque Forza sull’oggetto = massa * accelerazione.Poniamo la forza = F1 e otteniamo F1 = M1 * a.Sappiamo che l’accelerazione vale V*w otteniamo F1 = M1 * V*w e dunque w = (F1)/(M1*V) che è la velocità angolare a cui la corda si spezza.Diremo dunque che w < (F1)/(M1*V) è la soluzione,ovvero w deve essere minore di (F1)/(M1*V).Se avessimo avuto il raggio avremo usato l’altra formula dell’accellerazione,ma qui conviene usare a = V*w per evitare la radice quadrata. Ora vediamo uno degli argomenti più tosti:Nella fattispecie,il moto armonico.Un moto armonico è ad esempio quello del pendolo,ma anche un peso attaccato a una molla.Il moto armonico è particolare.Infatti si può descrivere come proiezione di un moto circolare.In altre parole la posizione del pendolo equivale a quella di un oggetto che si muove di moto circolare.Vediamo un grafico che come al solito chiarisce le idee meglio di cento parole.

Vedete nel grafico come una posizione nel cerchio in alto sia la proiezione della posizione del pendolo(ho usato 1 e –1 ma queste ovviamente aumentano con l’aumentare del raggio di oscillazione del pendolo).Come si sarà già intuito il valore della posizione X rispetto al centro(in questo caso è il fulcro a cui è attaccato il pendolo) del pendolo in un dato istante sarà data dal coseno dell’angolo(che sarà w * ⌂t che ci dice l’angolo spazzato nel tempo trascorso.Se abbiamo preso 0 come angolo iniziale beh..) * r . Infatti all’estremo positivo avremo coseno = 1 e a quello negativo –1 (moltiplicati per raggio = 1 in questo caso).Una generica situazione di oscillazione si riconduce sempre a una forma:Spostamento = Ampiezza * (cos (w * ⌂t + angolo di partenza)).Se si ha ben chiaro il problema si può anche sostituire coseno con seno. Infatti in un moto perpendicolare ,come quello di una molla,dovremo aggiungere 90° come angolo di partenza.In alternativa potremo scrivere seno invece di coseno( è equivalente).A è l’ampiezza del moto(qui è il raggio del cerchio) mentre il contenuto del coseno (ovvero W*⌂t + angolo.) è detta fase. L’angolo di partenza è la fase iniziale.Qui w è la pulsazione non la velocità angolare(anche se hanno stessa unità di misura e sono strettamente legate).Lo si dovrà avere ben chiaro.W è la costante che indica dopo quanto tempo il fenomeno si ripete(infatti la sua misura è quella di una frequenza ovvero 1/t).W è costante e non dipende dall’ampiezza dell’oscillazione.La velocità in un istante si può pensare come derivata dello spostamento e lo stesso vale per l’accelerazione.

Ora che abbiamo visto qualcosa ,prima di proseguire dobbiamo analizzare alcune forze particolari.La forza elastica:La forza elastica è quella che sentiamo quando allunghiamo con la mano una molla.E’ data dalla formulaF = k * X dove X è l’allungamento e k è la costante elastica della molla.La forza di gravitazione universale: E’ la forza che fa ruotare i pianeti attorno al sole e la luna attorno alla terra.E’ data da F = G (M1*M2)/(D2) dove G è la costante di gravitazione universale M1 e M2 le masse dei due corpi e D è la distanza tra i due.Ecco il vero significato dell’amore.Anche due persone vicine si Attraggono l’un l’altra(anche se infinitesivamente poco) avendo loro due masse.Sulla terra si può stringere la formula sviluppandone parte(e sarà la forza peso).Questa forza è attrattiva,ovvero il corpo 1 sarà attratto dal corpo2 e viceversa.Questa forza è diretta dal corpo 1 al 2 e dal corpo 2 all’1 e quindi agisce su entrambi corpi con verso opposto e pari intensità .Risulta che la forza gravitazionale terrestre su un corpo posto sulla sua superfice sia Fp = g * m dove g vale circa 9.8(è una convenzione.In realtà varia con la distanza dal nucleo che sulla terra non è costante).Fp è la forza peso ovvero la forza di attrazione terrestre su un corpo sulla sua superficie.Queste forze sono dirette verso il centro della terra.Incredibile a dirsi ma anche noi attiriamo la terra.Tra due oggetti carichi elettricamente si ha inoltre la Forza elettrostatica:F = K * (Q1*Q2)/D2 .Come si sarà notato ha molte analogie con quella di gravitazione.Q1 e 2 sono le cariche(in Coulomb,unità di misura della carica)e K è una costante.Da ricordare che se su un corpo agiscono molte forze diverse,Queste possono essere tutte sostituite da una sola forza che è la risultante,ovvero la somma di tutte le forze presenti.

Viste queste formule torniamo al moto armonico.

Il moto armonico semplice(questo che facciamo si dice semplice.figuratevi il difficile) lo possiamo osservare sia come oscillazione di un pendolo sia come oscillazione di una molla.In realtà esistono infiniti casi di moto armonico(basta infatti che una forza si opponga al moto con intensità proporzionale allo spostamento) ma per fare un esempio di come trovarne il w ,che come abbiamo detto è una costante che varia da moto armonico a moto armonico,prendiamo una molla con attaccato un peso e l’allunghiamo su un piano orizzontale.Vediamo il grafico della posizione iniziale.

Passatemi il pessimo disegno.La molla è allungata e questo allungamento vale X(ovvero tra la sua posizione di equilibrio e la posizione dove si trova c’è una distanza X). Quando l’allungamento si azzera saremo nella posizione di equilibrio.La forza iniziale che agisce sulla molla è F = K * X(ovvero la forza elastica).Ma F = M*A.Sostituiamo e otteniamo M*a = K*X.Vi starete chiedendo che ci dobbiamo fare.Ma non vi ho insegnato che l’accelerazione è al derivata seconda rispetto al tempo di X?Facciamo la derivata seconda di X = A*cos(w*t) e otteniamo -a = w2*A*cos(w*t)ALT!Ma quella dopo w2 non è X?E’ proprio lei. Abbiamo quindi “a” (si trascuri il segno che ci dice che è opposta al moto) = W2*XMettiamo insieme le due equazioni e avremo che w = (K/M)1/2 ovvero la radice quadrata di K/M. Quindi se abbiamo una molla possiamo sapere quanto vale w usando questa formula d’ora in poi.Ma badate di farlo solo con le molle(siamo partiti con la forza elastica…).Utilizzando quanto imparato si può anche dedurre la unità di misura di una variabile sconosciuta,semplicemente vedendo da quali deve essere formata per far tornare il controllo dimensionale.Altri valori di w utili sono:quelli del pendolo,dato da w = (g/ (lunghezza filo))1/2.E quello dovuto alla variazione di Quantità di calore w=(1/(Lavoro*Capacità termica)).Ultimo concetto da vedere prima di proseguire è il periodo dell’oscillazione.Essendo proiezione del moto circolare,secondo voi quanto occorre per tornare al punto di partenza.Il tempo necessario per fare un giro completo,che è lo stesso del moto circolare.T = 2Pgreco/w.Essendo w la frequenza viene subito agli occhi che questa significa che il periodo è uguale al tempo che ci vuole per spazzare tutti i 2Pgreco radianti e tornare alla partenza

Il controllo dimensionale:Un’altra cosa molto importante:Tutte le variabili che abbiamo visto hanno delle grandezze.Lo spazio si misura in metri ad esempio.State attenti a riportare tutto alla stessa unità di misura prima di fare i calcoli o farete un disastro.Ad esempio se avete una distanza in km e un'altra in metri,riportate una delle due alla unità di misura dell’altra.Se aveste 1 Km e 500 metri ad esempio per portare tutto in metri(si fa lo stesso anche con le altre unità) pensate “Quanti metri sono un chilometro?Sono 1000” allora scrivete 1(numero di kilometri) * 1000 metri .Se dai metri dovete passare al silometro pensate “Quanti kilometri sono un metro?Sono 1/1000 ” e farete 1 (metri) * 1/1000.Inoltre per verificare la correttezza di una formula vedete se tornano uguali anche le grandezze.Ad esempio V = m/s sappiamo che la velocità è proprio m/s ma per verificare se è corretta potremo scriverem/s = m/s OK .Sia chiaro che questo non dimostra che una formula è esatta solo che non è scritta male.Perciò scrivereV = m2/s * 1/m dove 1/m è una ipotetica costante è una cavolata,seppure il confronto tra grandezze sia giusto.

Ora vediamo una semplice forza,ma molto importante:Quella di attrito:Esistono 2 tipi di forza d’attrito.Una è quella statica.Si chiama così perché interessa corpi fermi che devono mettersi in moto.L’altra è detta di attrito dinamico,perché interessa corpi in movimento.La forza in entrambi i casi vale F=K*Fn dove Fn è la forza normale allo spostamento(un altro modo di dire perpendicolare allo spostamento).La differenza stà nel K.Questo è detto coefficiente di attrito.Quello statico(per via di minuscoli legami che si formano tra gli atomi dei due corpi in contatto) è sempre maggiore o uguale di quello dinamico.Avremo dunque che Kstatico >= Kdinamico Per conoscere i valori dei K di attrito di un dato materiale con un altro si consultino tabelle apposite(in genere viene dato con il problema).Noi nei problemi consideriamo come se l’attrito dipenda solo dal pavimento ma in realtà è una approssimazione(se avessimo un oggetto ricoperto di carta vetrata sarebbe più difficile da trascinare di uno senza,sulla stessa superficie).Diremo quindi che il K dipende dalle superfici in contatto.Vediamo inoltre altri due tipi di attrito(che a loro volta sono statici e dinamici).Quello volvente interessa corpi rotondi.La forza di attrito vale F = K * Fn/r ,dove r è il raggio del corpo. L’ultimo è quello viscoso che interessa oggetti immersi in liquidi e gas .La forza vale F = K*P*V . I K indicati nei vari attriti non sono uguali ma variano tra attrito e attrito. Nell’attrito viscoso oltre al K che dipende dal corpo (ha le dimensioni di una lunghezza e indica la superficie di contatto con il liquido o il gas.In pratica più superficie esponiamo,più è alto l’attrito).P invece è il coefficiente di attrito viscoso del liquido.Si noti che quest’ultimo tipo di attrito dipende dalla velocità.Infatti ad esempio un paracadute fermo non oppone quasi attrito,mentre quando cadiamo dopo esserci buttati da un aereo l’attrito che oppone è molto alto.Dovremo chiedere a qualche professore di dimostrarlo buttandosi con un paracadute più piccolo del normale.Sai che botta.

Ora vediamo il lavoro(no non devo scappare per lavorare) :Il lavoro è una forza che agisce lungo lo spostamento.In pratica tirando un oggetto da davanti noi compiamo un lavoro.Se tirassimo un oggetto verso l’alto ma vogliamo farlo muovere orizzontalmente stiamo facendo un lavoro nullo.Il lavoro sarà dunque (vediamo se avete già capito) uguale a S*F*cos(a) ovvero s*F*coseno dell’angolo compreso tra i due vettori.Il vettore spostamento è il vettore che ci indica la direzione e l’intensità dello spostamento che abbiamo prodotto nella direzione voluta applicando questa forza.Sapendo il lavoro e la forza potremo sapere lo spostamento provocato.Chiaramente se prendiamo una forza parallela allo spostamento voluto,avremo,a parità di lavoro, uno

spostamento maggiore di quello di una forza obliqua.Dalla definizione di prodotto scalare otteniamo che L = F*S(* indica scalare qui perché i due fattori sono vettori).Il lavoro si misura in joule(che è fondamentale ma equivale a Newton*metro.Newton si può a sua volta scomporre ricordando F = M*A).Vediamo poi l’impulso.Un impulso è una forza applicata per un certo intervallo di tempo.In pratica I = F*⌂t.Infine la potenza.La potenza è il prodotto scalare di F*v (ovvero forza parallela alla velocità per velocità).

Visti questi semplici concetti possiamo passare a studiare cos’è la quantità di moto.Una quantità di moto non è altro che Q = Massa * Velocità. Questa quantità di moto indica la reticenza di un corpo a cambiare velocità(si pensi a un enorme masso che rotola verso di noi e a uno più piccolo che fa la stessa cosa.Se proviamo a fermarli uno ci spiaccica ,l’altro si ferma,a pari velocità). Esiste un teorema che lega l’impulso e la quantità di moto.Infatti l’impulso di una forza su un corpo è pari alla variazione della quantità di moto del corpo.Tra poco faremo gli urti e vedremo quanto sarà utile la quantità di moto.

Ma prima vediamo i due fondamentali concetti di energia cinetica,potenziale e meccanica. L’energia cinetica è l’energia che un corpo possiede perché si trova in movimento.Quindi dipende dalla velocità.Essa vale Ec = ½ * m * V2 dove m è la massa del corpo e V la sua velocità.Un corpo ha anche una certa energia potenziale.Come si intuisce dal nome questa energia non è ancora liberata dal corpo ma il corpo la possiede,pronto ad usarla.Se un corpo si trovasse ad una certa altezza dal suolo,ad esempio,cadendo acquisterebbe velocità e quindi energia cinetica. Quest’energia cinetica si trova già nel corpo e viene solo tirata fuori. L’energia potenziale quindi non ha una sola forma ma molte.Ogni volta che un corpo si trova in una condizione in cui può liberare energia per via di una accelerazione si dice che possiede energia potenziale.Nel caso visto prima di un corpo sospeso ad un altezza h la energia potenziale varrà Ep = Fp * h dove Fp è la forza peso ovvero m*g.Se invece si parla di un oggetto attaccato a una molla avremo Ep = ½ * K*X2

Dove K è la costante della molla e X l’allungamento .L’energia meccanica sopra citata non è altro che l’energia totale del sistema.L’energia potenziale si può ricavare vedendo dove l’energia cinetica ha il sua massimo.In questo punto infatti Ep vale 0.Ma se Ep vale 0 allora Emeccanica = Ec.Se Ec valesse 0 allora si avrebbe Emeccanica = Ep.Quindi visto che Emeccanica è costanteEp = Ec se Ec è il massimo valore che Ec può assumere.In realtà non è detto che l’energia meccanica totale sia costante.Questo succede se e solo se il sistema è conservativo.un sistema di oggetti fermi o in movimento si dice conservativo se su di esso agisce una forza totale nulla(anche la risultante delle forze è nulla,o la somma di tutte le forze presenti è uguale a 0).In alternativa si dice che un sistema è conservativo se su di esso agiscono forze conservative.Forze conservative sono la forza peso ad esempio,perche non compiono lavoro(sono perpendicolari allo spostamento).Per sapere in definitiva se un sistema è conservativo si deve vedere se il lavoro fatto su un percorso chiuso è nullo.Infatti è nullo se non agiscono forze e se agiscono forze conservative.

Chiariamo il concetto di sistema.Qui sistema si riferisce a uno spazio isolato da tutto il resto in cui contano solamente le forze che noi diciamo sono presenti.In pratica anche quando diciamo che una pallina cade verso il suolo noi usiamo un sistema che racchiude la pallina,il suolo e la forza di gravità,ignorando ad esempio l’attrito dell’aria.

Il lavoro è legato all’energia cinetica. Questa connessione trova la concretizzazione nella formula Lab = ⌂Ec a

b.In pratica il lavoro svolto da una forza per portare un corpo da A a B è uguale alla differenza di energia cinetica tra le due posizioni posseduta dal corpo.Inoltre è anche uguale alla differenza di energia potenziale negata(si perde energia potenziale compiendo lavoro)

Voglio spendere un po’ di tempo per vedere le varie grandezze delle variabili fin qui viste.L’energia si misura in Joule,ovvero Newton * Metro.Lavoro e energia si misurano con questa unità di misura.Una unità di misura si dice derivabile se la si può dedurre da altre unità(J = N*M ovvero derivabile).

Ora vediamo gli urti tra oggetti:Se due palle da biliardo si scontrano si ha un urto.Un urto può essere di due tipi.Elastico o anelastico.In urto elastico si conserva l’energia del sistema e la quantità di moto.In pratica si conserva l’energia del corpo.In un urto anelastico invece si conserva la quantità di moto e si perde una parte dell’energia in vibrazioni.Un problema sorge se uno dei due oggetti ha massa molto maggiore dell’altra.Possiamo immaginare infatti che un muro abbia una massa infinita rispetto a una palla da golf.In questo caso la sua quantità di moto viene assorbita e la palla che vi rimbalza prosegue senza problemi come in un qualsiasi urto(se è anelastico parte della sua energia viene assorbita come sempre).Infatti avremo (M1 massa pallina),(V1 velocità pallina),(M2 la massa del muro) sapendo che la velocità del muro vale 0 presupponendo un urto elastico:M1 * V1 + 0*M2 = M1*V1dopo impatto + V2 * M2 mentre per quanto riguarda l’energia cinetica si ha ½ M1*V12 + ½ M2 * 0 = ½ M1*V1dopo impatto + ½ M2*V2 .La quantità di moto del muro è nulla ma la sua resistenza al movimento(la sua inerzia si dice) è infinita.Risolviamo la prima sopra e viene che V2 = 0 in quanto la massa del secondo oggetto è infinita. A questo punto sostituiamo nell’equazione successiva V2 = 0 e otteniamo che V1 = V1dopo impatto.Da notare che qui stiamo parlando di quantità di energia.La velocità dopo l’impatto avrà verso opposto a quello precedente.Analoghe considerazioni valgono per gli urti anelatici.Il tipo di urto completante anelastico invece è quello dove viene persa tutta l’energia.La formula che riguarda l’energia cinetica diventa. ½ M1*V1 + ½ M2*V2 = 0 quindi è semplicissima da trattare.In pratica i due corpi rimangono attaccati.

Fin qui spero sia abbastanza chiaro.Vi ho riempito la testa di formule ma ho cercato di collegarle in modo da farvi capire il nesso.Spero che abbiate capito

Ora un esercizio.Abbiamo un oggetto di peso 100 grammi che si trova appeso a un elastico.Quando lo lasciamo l’elastico trova la sua posizione di equilibrio ad un allungamento pari a 10 cm.Se lo allunghiamo di altri 5 cm e lo lasciamo,quante oscillazioni fa in 10 s?

Vi starete chiedendo come fare?Beh non potete ancora(in realtà si ma ancora non vi salta agli occhi).Ora infatti introduciamo il moto armonico smorzato e forzato,indispensabile in questo caso(leggetelo bene.I concetti sono essenziali ma le formule non le dovete imparare per forza).Un moto armonico con smorzamento è un moto in cui l’ampiezza dell’oscillazione varia nel tempo.Si può anche dire che c’è una perdita di energia meccanica.In generale lo smorzamento si può indicare con una forza, tale che F = -B*V dove B è la costante di smorzamento e V è la velocità.questa forza in realtà approssima di un buon grado,ma non perfettamente lo smorzamento,ma a noi va più che bene.E’ chiaro che il sistema non risulta più essere conservativo.Infatti questa forza compie un continuo lavoro negativo(oltre al fatto che ho già detto che si perde energia).L’energia meccanica di un sistema in moto armonico provocato da una molla èEm = ½ M*V2 + ½ K*X2 Derivando rispetto al tempo si ottiene la variazione di energia meccanica interna nell’unità di tempo(nota che occorre sostituire a V e X le rispettive equazioni dipendenti dal tempo. V va ricavata dall’espressione precedente sostituendo F = M*A e A con la derivata seconda dello spostamento).Inoltre possiamo ricavarci l’ampiezza del moto in funzione del tempo. A(t) = Ainiziale * e-(b/m)*t .Questo detto finora vale se b < 2*M*winiziale.Se b fosse uguale invece che minore a 2*M*winiziale

Si ha uno smorzamento critico,ovvero lo smorzamento più accentuato possibile.Valori maggiori renderebbero il sistema così smorzato da non oscillare.Un altro tipo di moto armonico è quello forzato.In questo moto viene applicata una forza dall’esterno.Se la forza è costante,questa cambia semplicemente il punto di equilibrio del sistema(ecco quello che ci serve nel precedente problema). Se la forza varia con il tempo invece sarà del tipo F = Finiziale * sin(w*t) dove w è la pulsazione della forza non quella del sistema(non c’entra niente).Il ragionamento è lo stesso dello smorzamento solo che opposto.In questo caso c’è un guadagno di energia.In questo caso si ha una risonanza ovvero un guadagno di energia ad ogni intervallo che produce un aumento della velocità e dell’ampiezza del moto. L’ampiezza del moto in un istante t valeA(t) = Finiziale /(m* |w2

molla – w2

forza esterna|).In generale si avranno anche moti composti di questi ultimi 2 ovvero moti armonici forzati con smorzamento ma non verranno trattati in quanto si può all’occorrenza derivare le leggi necessarie dalle precedenti,come in un qualsiasi moto composto.

Ora torniamo all’ esercizio.Abbiamo un oggetto di peso 100 grammi che si trova appeso a un elastico.Quando lo lasciamo l’elastico trova la sua posizione di equilibrio ad un allungamento pari a 10 cm.Se lo allunghiamo di altri 5 cm e lo lasciamo,quante oscillazioni fa in 10 s?A questo punto è tutto chiaro.Non c’è smorzamento ma solo uno spostamento del punto di equilibrio.Avremo dunque che T = 2Pgreco/w con w = (K/M)1/2 . K lo si trova facendo F = K*X e dicendo che la forza nella posizione di equilibrio(quella dove il corpo era fermo) vale Fp,ovvero la forza peso.Risulta quindi M*g = K * X . X vale 10 cm(l’allungamento della molla nella posizione di equilibrio) avremo che K = (9.8 * 100)/10.Approssimiamo 9.8 a 10 per comodità.Viene fuori K = 100.e da qui T =2Pgreco/(100/100)1/2.Risolviamo. T = 6,28 (è approssimato ricordate).Il periodo è il tempo che occorre per fare un oscillazione completa.Quindi facendo (10 secondi /T) otteniamo il risultato. L’elastico fa circa 1 oscillazione completa(andata e ritorno).FREGATI!Ho fatto un errore e voi non ve ne eravate accorti.Il fatto è che quando ho calcolato il k ho usato i centimetri e i grammi mentre avrei dovuto usare i metri e i kili e per questo il calcolo viene sballato (K = 10).A conti fatti l’ oscillazione è sempre circa 1.Ma state attenti alle unita di misura o rimarrete fregati Non è difficile però…

Ora vediamo la termodinamica Ovvero i concetti di temperatura e calore:I due concetti,che sembrano nel nostro pensiero quasi uguali in realtà sono molto diversi.Con temperatura si intende una proprietà del corpo,una sorta di indice che ci fa capire se c’è stato uno scambio di calore.Il calore è invece una energia posseduta dal corpo.Questa energia è immagazzinata nel corpo sotto forma di vibrazione.Quando noi tocchiamo un oggetto caldissimo avviene che parte di questa energia si trasferisca nella nostra mano.Le cellule non sopportano tale vibrazione e si danneggiano,ma nel farlo trasmettono parte della vibrazione a quelle vicine.Questo è il motivo per cui l’area interessata dall’ustione sembra espandersi se non applichiamo acqua fredda(adesso sapete che non dovete toccare oggetti caldissimi,e dite che ve lo dovevo dire).Il motivo per cui non succede con i corpi freddi è che il calore passa da un corpo caldo a uno freddo(quindi se toccate il ghiaccio,gli cederete calore,non ne acquisterete).La termodinamica come ogni altra scienza si basa su dei principi.Il principio zero della termodinamica ci dice due corpi a contatto o vicini sufficientemente scambiano calore finchè la temperatura non diventa costante(si termalizzano).Noi per il momento prenderemo solo il caso in cui i corpi si toccano.Sappiamo dall’esperienza quotidiana che esistono sorgenti di calore più o meno forti.Quindi avremo che una stessa quantità di calore(ovvero di energia termica) scalderà in maniera differente oggetti di massa e materiali diversi.Da questo ricaviamo che ⌂T = Q / (c * M) .Questa ci indica che la differenza di temperatura su un corpo soggetto a uno scambio di calore(con scambio intendo sia cedere che acquisire) è data dal calore scambiato fratto c per la massa del corpo dove c è il calore specifico ovvero una costante che ci dice quanto il corpo sia propenso ad assorbire calore (dipende dal materiale di cui è fatto).Definiamo una caloria.Questa esprime una quantità di calore e precisamente 1 caloria è la quantità di energia termica necessaria per far passare un litro d’acqua da 14.5 1 15.5 gradi centigradi.La definizione deriva dal fatto che c dipende dalla temperatura,come visto prima.

Ora vediamo lo scambio termico tra due corpi in un sistema termicamente isolato(ovvero dove il calore ceduto è uguale a quello assorbito dall’altro corpo,senza perdita di energia termica o altre fonti esterne).Il problema risulta abbastanza semplice da trattare.Infatti la temperatura finale sarà la media delle due temperature pesate con le capacità termiche.Nel dettaglio sarà Tequilibrio = (c1 *M1 *T1 + c2*M2*T2)/(c1*M1 + c2*M2)).Questa formula si può estendere anche a reazioni tra più corpi diversi semplicemente aggiungendoli sopra e sotto(per tre corpi sarebbe Tequilibrio = (c1 *M1 *T1 + c2*M2*T2 + c3*M3*T3)/(c1*M1 + c2*M2 + c3*M3)).Questo andrà fatto sempre tenendo a mente che c = (⌂T/Q)*M (dalla formula vista prima).Introduciamo inoltre una nuova variabile C. C è la capacità termica ovvero il calore specifico per la massa ovvero C = c * M. Se risolviamo l’equazione precedente rispetto a c otterremo c = C/ M che ci dice quindi che il calore specifico è la capacità per unità di massa.Inoltre potremo riscrivere tutte le precedenti relazioni in funzione di questa nuova unità. ⌂T = Q / (c * M) ad esempio diventa ⌂T = Q/C.

In pratica C ci dice quanto un corpo resista al calore.A parità di calore assorbito infatti minore è lo sbalzo di temperatura maggiore è C.

Prendiamo un esempio per capire meglio.Prendiamo una tazza con dentro dell’acqua a una certa temperatura e poi aggiungiamo acqua molto più fredda.Avremo Tequilibrio = (Ctazza * Ttazza +Cacqua inizio * Tacqua inizio +Cacqua

aggiunta * Tacqua aggiunta)/ (Ctazza + C acqua inizio + Cacqua fine).Si noti che visto che acqua inizio e tazza hanno la stessa temperatura iniziale li potremo raggruppare.Questo significa che i due corpi Tazza e acqua inizio che hanno la stessa temperatura iniziale si comportano come un unico corpo avente C uguale alla somma dei C dei due corpi.Interessante no! Come direbbe Alan Grant in Jurassik Park “si muovono in branchi” .

Il lavoro e il calore:Ora,ricordando il legame tra energia e lavoro e l’esperimento di joule con il mulinello(Joule prese un secchio d’acqua e ci immerse due pale.Le pale ruotavano grazie a dei pesi,a loro volta mossi dalla forza di gravità,compiendo lavoro.Joule si accorse che la temperatura aumentava in relazione al lavoro svolto dalle masse) deduciamo che a parità di massa e sostanza Lavoro e Calore(ovvero energia termica) producono lo stesso cambiamento di temperatura.

Vediamo quindi che succede all’energia all’interno del nostro sistema.Se il sistema è conservativo Em = K ovvero si conserva l’energia meccanica.Se non lo è,parte della sua energia viene convertita in energia termica(che provoca innalzamento di temperatura).

Introduciamo ora una grandezza a cui abbiamo già accennato.La potenza.La potenza si misura in Watt(Joule/s) e si trova conP = L/⌂T ovvero indica il lavoro svolto nell’intervallo di tempo.Il prof ha fatto un esempio di potenza prodotta da una centrale elettrica. Si trova facendo P = Fp*H/t .Infatti l’acqua cade in verticale dentro la turbina con una forza parallela allo spostamento pari alla Forza peso totale dell’acqua da un altezza H. Scomponendola si ottiene P = M/t * g * H dove M/T è la Massa d’acqua che entra al secondo(in pratica si puo vedere raggruppando un po i vari termini che la potenza della centrale è data da P = (Fp * H)/T.Ma la prima ovvero forza peso per altezza è l’energia potenziale gravitazionale,ce è uguale a –L,quindi in pratica visto che H è negativa in quanto l’acqua si avvicina alla turbina(scegliamo questo sistema di riferimento) avremo P = L/T ).Fin qui sembra facile…Vediamo questo:Uno scaldabagno di potenza 1000 W funziona per 10 minuti.Calcolare quanto calore ha assorbito l’acqua.Ricordiamo la relazione tra Lavoro e Calore(Si possono scambiare perché hanno stesso valore).AvremoP = Q/⌂t ovvero 1000 = Q/600 (ricordate di portare tutto alle giuste unita di misura.Qui usiamo i secondi.Vedremo poi quelle del sistema di unità di misura internazionale per evitare errori) avremo una quantità Q pari a 60000 Joule.Sapendo che una caloria sono 4.18 J avremo che 60000 J = 4.18 * X calorie e quindi X = 60000/4.18 = 143 Kilocalorie(ovvero 1000 calorie = 1 kilocaloria).Ricordando la definizione di caloria potremo sapere,conoscendo la massa d’acqua quanto calore ha assorbito.

Ritorniamo un momento anche sull’energia potenziale.Vediamo come cavarcela nel caso conosciamo i versori di un vettore spostamento e vogliamo sapere L’energia potenziale che il corpo avrà alla fine dello spostamento.Per farlo dobbiamo verificare per prima cosa che il sistema sia conservativo(sennò è inutile).Poi troviamo il lavoro fatto dalla forza.Il lavoro si trovaL = Fparallela alla spostamento * spostamento .lo spostamento è infatti uguale alla somma di tutti i versori per il valore della rispettiva componente. (S = A*X + B*Y dove a e b sono i valori delle componenti e X e Y i versori).Vediamo un grafico.

qui vedete che sommando i due vettori A*X e B*Y si riottene il vettore di partenza.Immaginiamo di stare cercando il lavoro della forza peso(un esempio banale ma utile) avremo che Fparallela alla spostamento è F*Y ovvero la componente parallela allo spostamento che qui è verticale.Considerando anche la terza dimensione Avremo L = (F*Y)*(A*X + B*Y + C*Z).Chiaramente dobbiamo considerare solo la componente Y(in quanto abbiamo stabilito che la nostra forza è parallela all’asse Y essendo la forza peso.Per definizione di lavoro anche lo spostamento deve esserlo.QUESTO LO SI VEDE GIA’ DALLA PRECEDENTE EQUAZIONE .Infatti F*Y è la componente Y della forza .Avremo cheL=(F*Y)*(B*Y) .Visto che le due componenti sono parallere possiamo togliere il versore e avremo L = F*B.Ma cosa fare ora per trovare l’energia potenziale?Se vi ricordate il lavoro fatto per portare un corpo da A a B(due punti generici) è uguale alla differenza di energia potenziale tra B e A(non sono invertiti a caso) ovvero uguale alla negata della differenza tra le energia potenziali tra A e B( La

b = ⌂Epab oppure La

b = - ⌂Epab Notate che a e b scritti in piccolo rappresentano i punti di partenza e

arrivo.Quelli in basso la partenza e quelli in alto l’arrivo ). Ponendo come punto di arrivo il punto dove Ep è 0 si ottiene quanto cercato.Ora un problema più tosto. Immaginate di volere sapere la forza dall’energia potenziale.La forza la si può ricavare dall’operazione opposta. Ep = - F * S dove S lo spostamento e F la forza parallela.Si ricava che Fx = dEp/ dx ovvero Fx è data dalla derivata rispetto a x dell’energia potenziale.Chiaramente questo vale anche per Y e Z ma anche per un generico versore orientato nella direzione del moto r(potremo prendere r come il versore orientato verso il centro della terra e usare quello invece di X Y Z).Nel moto unidimensionale questo fa molto comodo.

Capisco che sia un po’ difficile ma andava fatto…

Di nuovo al calore:Il calore latente è un valore del calore,che indica una soglia superata la quale qualche corpo entra in particolari situazioni.Ad esempio il calore latente di ebollizione dell’acqua è quella soglia superata la quale l’acqua inizia a evaporare invece che continuare a scaldarsi(esiste pure quello dove gela).In questi casi avviene una metamorfosi del corpo che implica anche un cambiamento del suo calore specifico.L’acqua che si è ghiacciata ha un calore specifico che è la meta di quello dell’acqua liquida ad esempio

Ma quanto tempo ci vuole per raggiungere la temperatura di equilibrio? Per raggiungere l’equilibrioUn corpo deve spostare il suo calore(o riceverne) ad una fonte.Al momento ci interessa solo il caso in cui il secondo corpo sia l’ambiente circostante(che ha capacità termica infinita visto che sto calore dobbiamo darlo a qualcuno). dQ = K * (Tequilibrio - T)* dt ovvero la differenza di calore è uguale a K (coefficiente di dispersione termica che è dunque costante e proprio del corpo in analisi ed ha la misura di joule/s2,una sorta di accelerazione solo che riguarda il calore che viene ceduto) per la differenza di temperatura tra quella finale e quella attuale,per il tempo trascorso(differenza di tempo).Questa lega il calore al tempo.Ma ci fornisce anche un ulteriore strumento per il calcolo della potenza.ricordando che L = Q e dividendo entrambi per dt si ha che P = K * (Tf - T).Inoltre sempre da questo modello si può dedurre che la derivata di Q rispetto il tempo è uguale alla potenza.Infatti dQ/dt = K * (Tf - T).Ma quello che compare a sinistra dell’uguale è la derivata di Q(infatti è la variazione rispetto il tempo di Q).quindi viene che la derivata di Q sia = K * (Tf - T) che è lo stesso della potenza.MA LO SAPEVAMO GIA!Infatti P = L/t e il lavoro è uguale a Q..E’ naturale pensare anche che per sapere quanto tempo due corpi impieghino per raggiungere la temperatura di equilibrio basterà ricavare la Tequilibrio dalla formula vista prima.Poi si usa questa formula.Tutti gli oggetti arriveranno nello stesso tempo alla temperatura di equilibrio.

Vediamo ora anche la forza di Coulomb: Un corpo oltre alla forza gravitazionale è soggetto anche a una forza di tipo elettrico.Questa forza che è simile a quella gravitazionale per molti aspetti è detta forza di Coulomb ed è quella che tiene insieme gli atomi.Due corpi carichi elettricamente si attraggono o si respingono a seconda del segno delle loro cariche.Si pensi a una calamita.Se mettete vicino due poli di segno opposto si attraggono,se di segno uguale si respingono.La forza di Coulomb si traduce con F = K * (Q1*Q2)/D2 dove K è una costante (come quella di gravitazione g,ma non uguale nel valore) Q sono le cariche espresse in Coulomb(unità di misura) e D è la distanza tra i due corpi.Volendo fare il discorso che abbiamo fatto prima per l’energia potenziale su questa forza ,stavolta useremo il versore che indica la direzione della forza (quello accennato prima).Lo chiamiamo r.Vediamo… Ricalcoliamoci il lavoro come prima,solo usando r.L = (F * r) * (A*r).Ancora una volta abbiamo imposto che F sia parallela al moto per non contraddire il significato di lavoro(che poi è anche naturale trattandosi di una forza attrattiva che sia diretta verso lo spostamento,come anche per la forza gravitazionale,sempre che il sistema sia isolato,quindi tale supposizione è sicuramente giusta). Come prima torna L = F * A (dove A è l’intensità della componente parallela allo spostamento).Ora abbiamo il Lavoro che svolge nella direzione dell’altro corpo.Prendiamo il lavoro trovato e avremo anche la differenza di energia potenziale.Se la presupponiamo massima nel punto di partenza,avremo la nostra Ep. Per trovare la forza dall’Ep si procede come prima solo che invece delle componenti X Y e Z ci sarà R. F r = dEp / dr ovvero derivata rispetto a r di Ep.

Per quanto riguarda il valore le equazioni dell’Ep gravitazionale e elettrico esse valgono In pratica(le potreste anche ricavare voi visto che sapete il valore della forza gravitazionale e di Coulomb ).Queste prendono r come versore lungo lo spostamento:

Epgravitazionale = G * (M1*M2) / rEpelettrico = K * (Q1*Q2) / r

L’energia potenziale è massima quando i due corpi si toccano e minima quando sono a distanza infinita,ma ricordate che state trovando una differenza di energia sopra mentre queste sono derivate dalle forze.Per derivare queste sopra infatti si è seguito questo processo.⌂Ep = -F *ds.Lo scriviamo con il versore r e viene ⌂Ep = - Fr * dr.Questa seconda parte è l’integrale di Fr rispetto a r.Prendiamo il valore della forza gravitazionale e elettrica scritta usando i versori per la distanza, e voilà!.Ci siamo arrivati in tutti i modi possibili.Con l’integrale e attraverso il lavoro. Le forze riscritte sono

Fgravitazionale = G *( M1*M2 )/r2 * rversore.

Fcoulumb = K *( Q1*Q2 )/r2 * rversore.

Come si intuirà essendo il versore di intensità sempre uguale a 1 queste rimangono identiche.Almeno sapete come trovare altre energie potenziali all’occorrenza…Ricordare che Ep = integrale della forza tra due punti in questione rispetto alla distanza tra i due punti stessi.Prendiamo la forza di gravitazione (G*M1*M2)/r2.Il suo integrale rispetto a d vale (G*M1*M2)/(-d).Il meno in questo caso indica solo che l’energia è accumulata in maniera opposta a quella usata dalla forza.

Ancora sulle Cariche e il potenziale:Il potenziale elettrico si misura in Volt(Joule/Coulomb). V = K * Q/r ovvero Kostante * carica fratto la distanza tra i punti interessati(il controllo dimensionale non torna perché K ha un unità di misura sua).E’ un po’ come l’energia potenziale gravitazionale Ep = M*g*h.Indica anch’essa il lavoro che una forza può compiere per il fatto di trovarsi in una data posizione .E’ comodo sapere il potenziale tra due punti (esempio A e B) perché risulta più semplice calcolare la differenza di energia potenziale (tra A e B) .Infatti ⌂Ep = Q * ⌂V. Si parla sempre di differenza di potenziale(quando diciamo 5 Volt ci riferiremo a un secondo punto a 0 volt).In pratica il potenziale è la variazione di Ep per unita di Q

Il potenziale è un energia che possiamo convertire in lavoro.Infatti sapendo che Q*⌂V è uguale a Ep e che Ep è in relazione con il lavoro ci si accorge che il lavoro fatto dall’energia elettrica per portare una carica ad una certa posizione dipende da Q e dal potenziale stesso.In pratica indica anche il lavoro che possiamo ricavare da una data carica sotto l’effetto di un certo potenziale. Un esercizio:Sapendo Che la massa di un elettrone è M e che è fermo,che la sua carica vale Q, che deve raggiungere una velocità V Come trovate il potenziale necessario?Per prima cosa sappiamo che il potenziale è direttamente collegato con l’energia potenziale .L’energia potenziale a sua volta è legata all’energia cinetica.Sappiamo che se il potenziale tocca un certo valore allora anche l’energia potenziale lo farà,se il sistema è isolato(e ‘energia potenziale iniziale vale 0.Si ricordi che parliamo di differenza di energia potenziale).Prendiamo dunque un sistema isolato e diciamo che raggiungendo una velocità V Il corpo dovrà avere un energia cinetica pari a Ec = ½ *M*V2.Dalle variabili questa risulta del tutto determinata.Ora sappiamo che Ep massima è uguale all’energia cinetica massima, in un sistema isolato.Avremo dunque Epmassima = Ecmassima(pensate a Ep + Ec = costante e poi pensate che una delle due energie si azzeri e vedrete…).A questo punto abbiamo V = -Ec(quella trovata prima.Negata perché il potenziale si comporta come l’energia potenziale,e dunque è un energia accumulata contro quella cinetica) / Q .Niente di che…

Se sono presenti delle cariche c’è anche un campo magnetico:Un campo magnetico non è un qualcosa che si può vedere o toccare. Esso è semplicemente una zona di spazio in cui ogni oggetto elettricamente carico subisce una forza.Questa forza è proporzionale alla distanza dal centro del campo.Il centro del campo è il punto dove la forza è massima.La sua traiettoria però è nulla(ovvero il vettore forza non punta da nessuna parte),quindi la forza è nulla.(massima e nulla ).Questa è lo stessa cosa che succede col campo gravitazionale(al centro della terra l’attrazione è massima ma diretta da nessuna parte).In ogni posizione l’intensità del campo è pari a Campo elettrico = F elettrica * Q del secondo oggetto(ovvero carica del secondo oggetto).La forza che agisce su un oggetto elettricamente carico in un campo magnetico si ricava da F = Q * V ^ B [ ovvero (carica * velocità) prodotto vettoriale con B(che è il valore del campo magnetico) ]

L’elettricità:L’elettricità è quella che noi usiamo quando accendiamo il computer.La corrente elettrica non è altro che un moto di cariche attraverso una superficie.Le cariche elettriche sono contenute nella superficie,è se non possono scaricare da qualche parte esse tendono a espandersi in modo tale da occupare in maniera uguale tutta la superficie del corpo carico.Quando noi sentiamo la scossa elettrostatica quando tocchiamo una macchina dopo un temporale,la superficie metallica della macchina contiene le cariche ed è pronta a cederla.La superficie si dice equipotenziale in questo caso perché sulla sua superficie il potenziale è costante.E’ utile sapere che esistono dei dispositivi chiamati generatori di tensione in grado di generare una differenza di potenziale tra due punti.Quando una carica passa da un conduttore a un altro la cui differenza di potenziale vale ⌂V la forza elettrica compie per muoverla un lavoro pari L = Q * ⌂V.

La corrente elettrica è definita come la carica nell’unità di tempo.La corrente non scorre allo stesso modo in ogni materiale.Ognuno offre una resistenza al passaggio piccola,grande o infinita(ovvero le blocca).L’intensità della corrente si ricaverà dunque da I = (Vb –Va)/R (questa è la legge di Ohm) dove R è resistenza al passaggio.Come si intuisce dunque la corrente è dovuta al fatto visto prima che il potenziale tende a diventare uniforme sulla superficie del corpo conduttore.Qui noi per studiare l’elettricità useremo una generica carica positiva,ma nella realtà a muoversi sono gli elettroni (di carica negativa).Da notare che la legge di Ohm non vale per ogni materiale ma solo per alcuni detti Ohmici.Qui noi vedremo solo questi.

E qui vediamo cos’è effettivamente la corrente elettrica:Essa è un flusso di elettroni che generano un campo elettrico (quindi una forza diretta lungo lo spostamento) movendosi dai punti a potenziale basso(-) a quelli a alto(+).La corrente funziona al contrario di come potreste pensare.Gli elettroni contenuti nel lato negativo se ne vanno dal lato negativo(dove sono troppi.Ricordo che un elettrone ha una carica negativa) per creare l’equilibrio,per effetto del potenziale,verso il lato positivo(dove mancano) di un filo.Questo flusso però fa diminuire la carica positiva nel lato positivo e diminuirla nel lato negativo.Ed ecco perché la corrente va in un verso e gli elettroni nell’altro.La corrente è studiata come il movimento di una generica carica positiva(un elettrone positivo che non esiste in realta) creata dal fatto che le cariche negative scappano dal lato positivo(se le cariche negative se ne vanno aumenta in risposta la carica positiva.Immaginiamo che in una zona del filo ci sia la carica +++-----.Semplificando i meno coi piu rimane -- .Se togliamo tre cariche negative rimane +++-- che semplificando rimane + quindi la carica è aumentata).

Quanto lavoro occorre per muovere un corpo dal polo positivo di un generatore di tensione a quello negativo? Si ha che il lavoro è L = ⌂q * ⌂V ovvero differenza di carica per differenza di potenziale.Inoltre sappiamo che il lavoro è legato alla potenza Potenza = Lavoro/tempo = (⌂q * ⌂V)/⌂t .Sappiamo però anche che ⌂q/⌂t è la corrente elettrica (carica nell’unità di tempo) e avremo P = I * ⌂V.In questo caso la potenza indica la quantità di Energia elettrica trasformata in calore.

L’effetto joule:Quando un corpo si muove per una forza,abbiamo visto che questa genera un lavoro.Questo lavoro nella vita quotidiana viene dissipato in vari modi(ricordiamo che si tratta di un energia).Per esempio se scendiamo sciando da una montagna il lavoro fatto dalla forza,gravitazionale si dissipa in calore.Ricordate l’esperimento del mulinello visto poco fa…Questo si chiama effetto joule,ovvero si dice effetto joule la generazione di calore dovuta ad attriti.In genere si vede che visto che la potenza è lavoro nell’intervallo di tempo,tutta la potenza sprigionata in un certo tempo diventa calore.In un circuito elettrico questo calore si genera sui resistori (che sono dei dispositivi utilizzati per opporre resistenza alla corrente).Quando si ha una corrente che si trova davanti un resistore,parte del lavoro compiuto dalla forza che essa genera viene assorbito dal resistore e trasformato in calore,diminuendo la quantità di energia(infatti la carica elettrica nel cavo diminuisce) e quindi la corrente.

Vediamo nel dettaglio la corrente elettrica.Si misura in Ampere e si muove nella direzione e nel verso delle cariche positive.Nel verso opposto si muovono le cariche negative degli elettroni(come detto prima).Vediamo un grafico di un circuito semplice per capire bene che succede.

In questo caso il generatore di tensione è una batteria(le batterie servono a questo).Il fatto che il filo conduttore sia collegato ai due poli della pila fa si che gli elettroni si muovano dal lato negativo(dove ci sono troppi elettroni) verso il lato positivo(dove ce ne sono pochi).Se noi toccassimo il filo con le mani quello che avviene è che gli elettroni passano per il nostro corpo per raggiungere il terreno(che ha un potenziale nullo),ma ciò viene interpretato dai muscoli come “contraetevi”(per via del nostro sistema nervoso basato sull’elettricità),provocando i noti spasmi.Se la corrente fosse abbastanza elevata invece il nostro corpo farà la stessa cosa di un resistore(nella figura il resistore è in verde).Assorbirà parte della differenza di potenziale(energia elettrica) e lo trasformerà in calore.Se siamo isolati da terra invece le cariche non si muoveranno,il campo non sarà generato e noi non ci accorgeremo nemmeno che nel filo passa corrente(infatti il punto a potenziale più basso non è più la terra ma il polo negativo della batteria e le cariche andranno lì,ignorando noi).Nel rettangolo in basso si vede il filo e in bianco il flusso che gli elettroni formano movendosi(le frecce bianche) per via della differenza di potenziale.Capito come funziona… Ancora una volta possiamo chiedere a un prof di aiutarci a dimostrarlo…

I RESITORI:I resistori come abbiamo detto hanno il compito di abbassare la carica presente del conduttore. Possiamo usarli per generare calore o per fare in modo che in un conduttore fluisca una corrente non troppo alta.I resistori possono essere inseriti in un circuito in due modi:In serie o in parallelo.Vediamo un grafico:

Il resistore si indica come nel riquadro ma per comodità li indico con un cerchietto verde.In serie i resistori si comportano come uno solo.Ricordando la legge di Ohm ⌂V = I * R avremo che ⌂V = I*R1 + I*R2 ovvero la differenza di potenziale ai due capi è dipendente dalla resistenza offerta dal primo resistore(il filo lo consideriamo senza resistenza) per la corrente e da quella offerta dal secondo per la corrente(l’intensità della corrente per esattezza).Si capisce subito che il collegamento in serie può essere sostituito con un solo resistore di R = R1 + R2 . Le cose cambiano nel caso di un collegamento in parallelo.Qui non è la stessa corrente che raggiunge ogni resistore ma sarà I/n dove n è il numero di resistori collegati in parallelo.Si deduce che la resistenza totale,ovvero quella da dare al resistore che sostituirebbe tutti quelli collegati in parallelo,è pari a 1/R = 1/R1 + 1/R2

La seconda legge di Ohm:Dato un corpo cilindrico omogeneo la sua resistività(resistenza)è pari a R = (K * L) /S. Ovvero la resistenza è pari alla costante di resistenza del materiale(che dipende dal materiale e un po’ anche dalla sua temperatura)per la sua lunghezza diviso la sua superficie di base(area della base del cilindro). La resistenza si misura in Ohm Ω .

Le leggi di Kirchhoff:

Le leggi di Kirchhoff sono 2.La prima dice che la somma delle correnti in un nodo vale 0.Detta così pare difficile ma in realtà è molto semplice.Un nodo è un punto in cui più fili(se i fili formano un percorso chiuso si dice maglie)si incontrano.Se su ognuno agisce una corrente dovrà per forza essere che le correnti in entrata siano uguali a quelle in uscita.Vediamolo su un grafico.

Vediamo che sui due fili neri agiscono 15 e 5 Ampere. Sono entranti verso il nodo, dunque sul nodo stesso (l’intersezione col filo rosso) si sommano e otteniamo 20 Ampere.Sul filo rosso quanti Ampere ci saranno?Per la prima legge di Kirchhoff la somma delle correnti deve essere 0 (si può dire anche che la somma delle correnti entranti è uguale a quelle uscenti)Sul terza filo agiscono –20 Ampere,ovvero c’è una corrente uscente.In pratica dai fili neri entra corrente e da quello rosso esce.Visto che non esce o entra da altro posto se non dai fili è ovvio che è vera la legge di Kirchhoff.La seconda legge è identica alla prima tranne che interessa il potenziale.In pratica ci dice che la diminuzione e l’aumento di potenziale su un nodo è 0(come per gli ampere,se entra una differenza di potenziale X in un nodo da qualche parte deve uscire).Ricordiamo che la differenza di potenziale è la differenza di energia potenziale per unità di carica.

IL CONDENSATORE: Il condensatore è un oggetto in grado di accumulare delle cariche e tale che la tensione(differenza di potenziale) ai suoi lati cresce linearmente con la carica accumulata. In pratica Q(carica accumulata) = C(capacità elettrica)*⌂V(potenziale).C è la capacità elettrica.Questa si misura in Farad (Coulomb/Volt ovvero Carica per variazione di potenziale.In pratica quanta carica accumula il materiale per le proprietà che possiede quando avviene una variazione di potenziale).

In pratica la corrente non passa(i fili sono staccati)ma la differenza di potenziale tra le due armature(rettangoli in nero) del condensatore e la loro vicinanza fa sì che si crei un campo elettrico.Questo a sua volta attrae le cariche negative sulla seconda armatura,provocando un accumulo di cariche positive sulla prima armatura proporzionale alla differenza di potenziale,e di tante cariche negative sulla seconda quante quelle positive(caso speciale perché dipende anche dalla grandezza e dalla distanza tra le armature,ma a noi interessa poco).

Vediamo il campo elettrico: Il campo è una zona dello spazio in cui si avverte una forza,proporzionale alla distanza dal centro del campo.Il campo gravitazionale terrestre è quello che tiene noi attaccati alla terra e la luna sulla sua orbita.Questo campo dipende dalla forza gravitazionale(che dipende dalla distanza).Quello elettrico è uguale.Varrà E = F / q dove F è la risultante delle forze agenti su una carica q e q è una carica campione posta in un punto del campo(F sarà proporzionale a qe diretta verso il centro del campo).Il campo elettrico sarà dunque la forza applicata per unita di Coulomb ovvero N/C. Da notare che con il campo gravitazionale succede lo stesso.Infatti Eg = Fp/m ovvero Forza per massa N/Kg.Sostituendo a F le varie forze(Coulomb e forza peso)otterremo la valutazione in base alla distanza della F agente sul corpo sapendo il campo elettrico. Fp stà in questo caso per la legge di gravitazione universale.Ma per vedere che è vera questa formula possiamo porla uguale a M*g come esempio . Eg sarà uguale a g,e ciò è perfettamente naturale in quanto sulla superficie terrestre la forza attrattiva è costante (la distanza è sempre uguale dal centro della terra.Si provi a porre nella legge di gravitazione universale la distanza come costante e ci si accorgerà che la forza è

costante),anche se questa è comunque una approssimazione,in quanto g varia leggermente da punto a punto,in base a quanto ci allontaniamo dal centro della terra.Si pensi a un uomo sull’everest o al mare.La distanza varia…Tornando al campo elettrico vediamo un esempio pratico che puo tornare MOLTO utile(soprattutto all’esame):Il campo elettrico è come detto il responsabile del movimento delle cariche e quindi anche del potenziale.Questi due in particolare sono legati in maniera strettissima.Si ha infatti: Eelettrico = dV/dr ovvero Il campo elettrico è pari alla variazione di potenziale rispetto alla distanza r dalla fonte da cui viene generato(in pratica più si è vicini più il potenziale è forte) .Questo è molto simile a quello che accade con i magneti.Se volessimo sapere quanto varia il potenziale allontanandoci da un generatore di campo come si puo fare?Per saperlo diciamo che Il campo elettrico e il potenziale sono legati dalle stesse relazioni che sussistono tra Energia potenziale e forza. In pratica :dEpa

b = -Fparalleraspostamento * ds (ricordare che la seconda è il lavoro) e nel campo elettrico otteniamo:dV = - E * ds che è una semplice conseguenza della formula gia nota.Questo avviene pero solo se il campo e la forza sono costanti.Se non lo fossero dovremo trovare in altro modo la variazione. Esempio:Se dovete trovare la variazione tra le distanze 1 e 2 della forza F = 3/dr questa forza varia con la distanza e la formula appena vista è inutile(F1 = 3 e F2 = 3/2).Senza starci a pensare troppo avete fatto caso che la seconda parte di ognuna delle due formule è la scrittura tipica dell’integrale?Bisogna semplicemente integrare a destra e voilà.Il gioco è fatto e pure che il campo o la forza variano non ce ne frega più niente.

Per caricare e scaricare un condensatore avremo che la sua tensione tra le armature iniziale sarà ⌂V = Q/C ovvero tensione = Carica /(capacità del condensatore).La variazione di carica nel tempo è pari al flusso di carica nel tempo(ovvero I).Avremo dunque ⌂Q/⌂t = I. Ora sappiamo che la tensione tra le due armature vale ⌂V = R*I (per definizione) a cui dobbiamo aggiungere la differenza di potenziale iniziale Vc.Ora risolvendo questa sostituendo le formule viste otteniamo: ⌂V/⌂t = (⌂V - Vc )/(R*C) .Questa è un equazione differenziale che risolveremo dopo.Ci basti sapere che questo ci dà la Velocità con cui si carica il condensatore.Sapendo C che è la capacità massima del condensatore,possiamo calcolare quanto ci mette a caricarsi(⌂V/⌂t è la velocità che dovremo moltiplicare per il tempo trascorso) e quanta carica contiene(C).

VEDIAMO L’INDUTTANZA:L’induttanza è un dispositivo a cui capi si crea una differenza di potenziale F proporzionale alla variazione nel tempo della corrente(e la costante è L che è detta coefficiente di induttanza).In pratica⌂V = L * ⌂I /(⌂tempo).Vediamo un esempio di induttore.

Questo è il simbolo di un induttore(molto approssimato).In pratica dall’alto entra una corrente e dal basso esce la stessa corrente,ma varia la differenza di potenziale(come si intuisce dal fatto che l’induttore è un semplice filo).La differenza di potenziale persa nell’induttore si trasforma in un campo magnetico.L’ induttore ha la proprietà di poter trasferire ad altri induttori vicini la stessa corrente(alternata pero non continua come la studiamo noi) che passa su di esso,in virtu della sua forma.

VEDIAMO UN ESEMPIO DELL’USO DELLE FORMULE DEI CONDENSATORI:Abbiamo un generatore di tensione(una pila).Questo generatore genera una potenza di Pg.Se piazziamo un condensatore sulla maglia,quanto vale il lavoro finale?Ragioniamo per gradi. Pg è uguale alla potenza persa in calore più quella finita sul condensatore.Avremo ricordando la formula vista in precedenza che (P persa in calore) = (⌂V)*I .Sostituendo ⌂V otteniamo P persa = R * I2.Ricordiamo la formula⌂V = R*I + Vc e moltiplichiamo i membri per I(moltiplichiamo a destra e a sinistra non cambia nulla).Avremo che⌂V*I = R*I2 + Vc * I.Ma il primo membro è la Potenza totale e anche R*I2 è la potenza dissipata.Avremo che la potenza accumulata nel condensatore è Pcondensatore = Vc * I.Ora sostituiamo Vc con Q/C e I = ⌂Q/⌂t otteniamo Pc = (Q/C)*(⌂Q/⌂t).Ecco la potenza.Ora troviamo il lavoro.Vediamola in questo modo:P = (Q*⌂Q)/C * (1/⌂t).In pratica sapendo che la potenza è lavoro fratto tempoAvremo che la prima parte in rosso rappresenta il lavoro(cha poi divido per il tempo moltiplicandolo per 1/⌂t).Avremo se consideriamo la carica iniziale uguale a 0 che ⌂Q = Q e quindi che L = 2*Q/C.

VOGLIAMO PROSEGUIRE CALCOLANDO L’ENERGIA DEL CONDENSATORE:Questa si ricava dall’integrale della potenza rispetto al tempo.Infatti La potenza è l’energia che viene trasferita nell’intervallo di tempo(in questo caso la potenza totale è l’energia persa in calore più l’energia accumulata).A noi interessa solo l’energia immagazzinata.Dovremo fare l’integrale rispetto al tempo della potenza finita nel condensatore.A conti fatti nell’esempio precedente avremo che Energia = ½ L (non è sempre così).In generale E = ½ C * ⌂V2.

Ora un caso SPECIALE:Poniamo di avere un attrito del tipo B*V ovvero un attrito basato sulla velocità del corpo e su una costante B.E’ ad esempio il caso di un paracadutista.Più lui cade veloce e più resistenza offre il paracadute.Vediamo la forza che agisce su di lui.Sarà F = G*M –B*V (considerando la caduta positiva).Sviluppandola possiamo giungere a M*A = G*M –B*V e sapendo che l’accelerazione è la derivata della velocità avremo dV/dt = G – B*V(semplice sviluppo dei calcoli e A = dV/dt).Risulta infine dV/dt = B/M * ((M*G)/B – V).Perchè scriverla così?.Perché si riconduce ancora all’equazione differenziale che abbiamo visto prima nella termalizzazione e che tra un po’ impareremo a risolvere(era dV/dt = 1/T * (Vf - V) ).Da sapere è che B ha come unità di misura N/(m/s),quindi M*G/B è una velocità.(m/s) e che il T che compare nella formula è una costante con dimensione di tempo(s).

Come si risolve dX/dt = (1/T) * (Xf - X)? :Risolviamo con il metodo della separazione delle variabili.Portiamo dt a secondo membro e (Xf – X) al primo. Avremo dX/(dX - X) = (1/T) * dt.Integriamo a destra e a sinistra (indefinito) e avremo(dopo le dovute semplificazioni) che X(t) = Xf + (X0 -Xf)*e-(t/T)dove Xf è la X finale e X(t) è la X in un dato istante.

Proviamo a vedere un problema semplice su cui applicare questa equazione sapendo che T è la costante di tempo del fenomeno ovvero la costante di ripetizione del fenomeno o il tempo di risposta(dipende dai casi).Se avessimo degli atomi che decadono e sapessimo che la frazione di atomi che decade nell’unità di tempo è alfa(T = -1/Alfa per definizione perciò se sapete una sapete l’altra).Scriviamo la soluzione dell’equazione precedente e avremo Decadimnento nel tempo = atomi finali(che sono 0) +(atomi iniziali – atomi finali(ancora 0))*et/T e perciò Dec = atomi iniziali*et/T

In pratica questa formula si applica ogni volta che abbiamo un fenomeno periodico in crescita o diminuzione,di cui conosciamo lo stato finale.

UN NUOVO ARGOMENTO:I CORPI IN ROTAZIONE SU UN ASSE: Un corpo non è capace solo di muoversi,può anche ruotare.Questo avviene attorno a un asse,ovvero a un punto che funge da base e sul quale l’oggetto ruota(pensando alle ruote della macchina l’asse è il centro della ruota).Una forza che agisce a una distanza X dall’asse non viene interamente usata perché in pratica la forza reale che agisce nel punto è solo quella perpendicolare alla retta congiungente l’asse e il punto di applicazione(quella che effettivamente lo fa ruotare.Il resto lo tira lontano dall’asse a cui è ancorato).Il lavoro fatto dalla forza varrà L = (Forza parallela allo spostamento) * spostamento.Visto che lo spostamento (essendo il moto generato dalla forza , circolare) D = r * angolo possiamo riscrivere il lavoro come L = Forza parallela allo spostamento * r * variazione dell’angolo(l’angolo è quello percorso dall’oggetto da quando è partito rispetto all’asse).Per quanto riguarda l’energia cinetica avremo: Ec = m * v * dv dove v è la velocità periferica del corpo che possiamo sostituire anche con v = w*r ricordando il moto circolare.Ricordando la relazione tra lavoro e energia cinetica avremo: w’ = [(Forza parallela allo spostamento) * r]/[m * r2].Quella al numeratore è detto momento della forza,mentre quello al denominatore è detto momento di inerzia.Notare che la derivata di w ovvero w’ è l’accelerazione del corpo in quanto derivata della velocità.Possiamo scrivere anche il Momento delle forze come M e il momento di inerzia come I.Avremo che:M = (dL/dt) dove L indica il <<momento della quantità di moto>> con L = w * I.Se concorrono piu forze al movimento rotatorio W’ sara dato da w’ = (M1 + M2 + M3 + ….)/(I1 + I2 + I3 + …)Possiamo fare alcune interessanti analogie tra il moto classico e quello rotatorio. Forza = Mmassa = Iv = wDa queste relazioni potete ricavare tutto il necessario.Ad esempio la potenza che è P = F * v (identica a L / dt solo che è sviluppato in un altro modo) diventa per analogia P = M * w.Vediamo l’energia cinetica totale di un oggetto che rotola su un piano.La sua energia cinetica totale è maggiore di quella di un oggetto in movimento che non rotoli(si pensi al fatto che se buttiamo un mattone su una rampa questo tende a fermarsi,mentre un oggetto rotondo dello stesso peso come un pallone pesante accelera notevolmente).L’energia sarà data quindi da :Ectotale = Ecmovimento + Ecrotazione che riscritta è pari a Ect = ½ * m * V2 + ½ * I * w2 ricordando le analogie(non sono uguali hanno sololo stesso significato fisico.Non potete usare I al posto della massa nel moto rettilineo uniforme ma potete PENSARE a m = I se analizzate formule che riguardino moti rotatori.).Ora vediamo una semplice conseguenza di M.M = (w * I)/dt ma anche M = F * r * sin(angolo compreso tra F e r,con r vettore spostamento,ovvero che indica una distanza con la sua intensità e anche una direzione e verso,essendo un vettore).Da quest’ultima possiamo dire che M = F * b dove b è il cosiddetto braccio.Il braccio non è altro che la distanza dall’asse.F in questo caso è la componente perpendicolare al braccio.Definendo il braccio come r * sin (angolo compreso) avremo che M = F *b invece che M = Fperpendicolarealbraccio *b.Nel caso M = F * b in pratica il braccio si accorcia al posto della forza se la forza non è perpendicolare.

UN ULTERIORE CONSIDERAZIONE:Una sola forza non basta per mettere in moto un corpo.Infatti se noi gettiamo un corpo rotondo giu per una discesa,la cosa che lo mette effettivamente in rotazione è la componente parallela al piano della forza peso(che da sola lo farebbe solo scivolare sul piano) e la forza d’attrito del piano.Lavorando in coppia ottengono l’effetto rotatorio.Se lanciate il pallone in aria o in avanti senza fargli toccare terra sarà presente solo la forza attrito e il pallone non rotola..Qualcuno di voi si starà ammazzando dalle risate pensando”Questo lo sapevamo tutti”,ma qualche scienziato c’ha dovuto pensa anni sani….

Altri concetti importanti:Quanto vale la massa di un disco perfettamente circolare alto h e di raggio r?Se vi ricordate un po di integrali verrà fuori: Volume = ∫0

r Pgreco* x2* h ovvero la somma di tutte le circonferenze con altezza h da 0 a r(in pratica la somma del volume di ogni livello della circonferenza).Se volessimo sapere quanto vale la sua massa dovremmo fare m = Volume * densità.Ragionamenti analoghi valgono per momenti di inerzia e calcolo di aree in generale.Ora vediamo anche come calcolare a * b (prodotto vettoriale tra a e b) dalle componenti dei due vettori.

Molti di voi gia sapranno come funziona una matrice,ma per i piu ‘gnoranti una matrice è un modo di scrivere dei particolari dati.In questo caso la zona tra le due righe dopo l’uguale sopra è la matrice delle componenti dei vettori a e b con aggiunti i versori “i” per l’asse x,j per l’y e k per l’asse z.Sotto è indicato il cosiddetto discriminante della matrice che rappresenta il prodotto vettoriale(se sapete come funziona una matrice lo potete ricavare senno imparare a pappardella o andare a cercare su internet). Da sapere inoltre che la derivata di A*B(prodotto vettoriale tra A e B) è regolata dallo stesso meccanismo della derivata del prodotto classico, ovvero primo derivato per il secondo non derivato etc.

Vediamo ora la quantita di moto:Partiamo dal momento della quantita di moto visto in partenza,ovvero L = w * IPossiamo riscrivere L settorialmente come L = r * p ovvero L = raggio ^ quantita di moto(m * v) (da adesso in poi userò ^ per indicare il prodotto vettoriale).Avremo dunque M = dL / dt ovvero variazione del momento della quantita di moto nel tempo.Ultima cosa da ricordare è che nei movimenti rotatori su di un qualsiasi piano le forze possono essere applicate tutte nei punti di contatto tra piano e oggetto(nel caso della ruota di una macchina la forza la potete applicare nel punto in cui la ruota tocca la strada)

Considerazione Finale:Per ottenere l’equilibrio rotatorio(il corpo è fermo e non ruota) occorre che sia nulla la risultante delle forze esterne e quella delle quantita di moto.