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Dispense del corso di

Elettronica LProf. Guido Masetti

Teoria dei Segnali e Sistemi

Sommario Architettura dei sistemi per l'elaborazione

dell'informazione Informazione e segnali Teoria dei segnali Analisi di Fourier

Sistemi per l'elaborazione dell'informazione

AmplificatoreSensore ConversioneAD

ElaborazioneGrandezzaFisica

ConversioneDA

Trasduttore

Modulazione Trasmissione

Sistema Informatico

Elaborazione

Segnale Numerico(o Digitale)

Segnale Analogicotemperatura pressione

velocità, etc

Es: Sistema audio digitale Sistema di controllo

Es: Sistema di telecomunicazione

Es: Sistema di archiviazione dati

Informazione e segnali

SEGNALE (Fisico): grandezza fisica di natura elettrica (tensione, corrente), che funge da supporto per la rappresentazione dell'informazione.

L'informazione può essere di due tipi: ANALOGICA: può assumere un numero infinito di valoriNUMERICA: può assumere un numero discreto di valori

In base al tipo di informazione contenuta nel segnale esso viene denominato ANALOGICO o NUMERICO.

Un segnale fisico è quindi matematicamente rappresentato da una funzione tempo continua S(t)indipendentemente dall'informazione in esso contenuta.

Informazione e segnali (II)

Esempi:

Sistema telefonico tradizionaleSistema televisivo tradizionaleSegnale Ecografico

Sistema telefonico numerico (PCM)Sistema televisivo digitale (Digitale terrestre)

Sistema telegraficoCalcolatore elettronico

Teoria dei segnali

Il concetto di segnale (matematico) è quindi una astrazione che permette di studiare le proprietà (contenuto informativo) di grandezze fisiche che variano nel tempo, da un punto di vista analitico (Teoria dei Segnali).

In quest'ambito distinguiamo tre tipi di segnale: Segnali tempo-continui e continui nei valori Segnali tempo-discreti e continui nei valori Segnali tempo-discreti e discreti nei valori

Teoria dei segnali

Segnale tempo continuo e continuo nei valori: funzione S che associa ad ogni istante di tempo t, un valore reale.

S :ℝℝt S t

I segnali di interesse ingegneristico sono limitati:

Smin≤S t ≤S maxUn segnale tempo continuo può quindi assumere infiniti valori all'interno di un intervallo limitato. E' la rappresentazione matematica di un segnale analogico.

Teoria dei segnali

Segnale tempo discreto e continuo nei valori: funzione S che associa ad ogni istante di tempo discreto n, un valore reale.

S :ℤℝn S n

E' la rappresentazione matematica di un segnale ottenuto come campionamento di un segnale tempo continuo, o di una sorgente intrinsecamente tempo discreta che genera valori reali.

(Es: valori delle quotazioni di un titolo azionario).

Teoria dei segnali

Segnale tempo discreto e discreto nei valori: funzione S che associa ad ogni istante di tempo discreto n, un simbolo appartenete ad un alfabeto finito composto da L simboli reali.

S :ℤn S n∈

=[S 1 ,... , S L]

E' la rappresentazione matematica di un segnale ottenuto come campionamento e quantizzazione di un segnale tempo-continuo, oppure di una sorgente intrinsecamente tempo discreta che genera valori appartenenti ad un alfabeto finito.

Es: calcolatore elettronico, segnale telegrafico, sequenza di lanci di un dado

Teoria dei segnali

Esempio: segnale PAM (Pulse Amplitude Modulation)

S t =∑n

an g t−nT

g t = impulso di modulazione

an∈ℝ = sequenza modulante

Nel segnale PAM l'informazione è intrinsecamente tempo discreta ed è contenuta nell'ampiezza dei coeffeicienti della sequenza modulante .

L'impulso di modulazione g(t) funge da supporto per l'informazione contenuta nella sequenza modulante.

Segnale Fisico:segnale tempo continuo e continuo nei valori

Contenuto Informativo:segnale tempo discreto continuo o discreto nei valori

an

Teoria dei segnali: analisi di Fourier

I segnali fino ad ora definiti, sono rappresentati nel dominio del tempo, ma non sempre questa rappresentazione è efficace per l'analisi delle loro proprietà.

Un vettore può essere rappresentato attraverso varie basi. La scelta della base viene fatta in base alle caratteristiche

che la rappresentazione deve mettere in evidenza. Come per i vettori è possibile definire cambiamenti di base

per funzioni e quindi per i segnali. Un cambiamento di base significativo per i segnali è

quello dato dall'analisi di Fourier.

Analisi di Fourier: serie di Fourier

Consideriamo un segnale tempo continuo e continuo nei valori S(t), periodico di periodo T. Sotto alcune condizioni S(t) può essere rappresentato come combinazione delle funzioni esponenziali complesse:

S t ~∑n=−∞

∞

cne j2nf 0 t f 0=1/T

cn=1T ∫T

S t e− j2nf 0 t dt

Il segnale S(t) è rappresentato come somma di fasori rotanti a frequenze multiple di f0. Il coefficiente generico cnè associato alla sinusioide di frequenza nf0 e rappresenta la somiglianza tra il segnale e la sinusoide stessa.

Serie di Fourier: proprietà

La frequenza f0=1/T è detta frequenza fondamentale del segnale S(t).

La serie stabilisce una corrispondenza biunivoca tra le funzioni periodiche nel dominio del tempo e i relativi coefficienti cn nel dominio della frequenza (discreto).

Un segnale periodico viene rappresentato da un'infinità numerabile di coefficienti nel dominio della frequenza, ovvero ha un'infinità numerabile di gradi di libertà.

L'insieme dei coefficienti cn viene detto spettro a righe del segnale periodico. Tali coefficienti complessi vengono generalmente rappresentati tramite ampiezza e fase, ottenendo rispettivamente lo spettro di ampiezza e lo spettro di fase del segnale.

Serie di Fourier: esempi

Segnale

Spettro di ampiezza

Spettro di fase

Serie di Fourier: esempi

Banda di un segnale periodico reale

Lo sviluppo in serie di Fourier di un segnale, prevede teoricamente infiniti termini.

I segnali reali di interesse applicativo devono essere necessariamente costituiti da un numero finito di componenti armoniche.

Si definisce quindi banda di un segnale periodico reale l'intervallo sul semiasse positivo delle frequenze ove lo spettro di ampiezza è significativamente diverso da zero.La sua misura B è detta larghezza di banda.

I segnali di interesse applicativo sono quindi segnali abanda limitata.

Banda di un segnale periodico reale

ESEMPIO con spettri di segnali periodici

Analisi di Fourier: trasformata di Fourier

I segnali periodici costitusicono una astrazione matematica. I segnali reali non sono periodici pertanto occore definire uno strumento matematico che permetta di caratterizzarli in un dominio frequenziale.

Attraverso una estensione della serie di Fourier, si definisce, sotto opportune ipotesi, la trasformata di Fourier di un segnale S(t):

S t ~∫ S f e j2 f t df

S f =∫S t e− j2 f t dt

Analisi di Fourier: trasformata di Fourier

La funzione è detta trasformata di Fourier. La trasformazione definita stabilisce una corrispondenza

biunivoca tra le funzioni nel dominio del tempo e le relative trasformate nel dominio della frequenza (continuo).

Un segnale viene quindi rappresentato come una funzione complessa continua della frequenza f.

La trasformata di Fourier di un segnale viene generalmente rappresentata tramite ampiezza e fase, ottenendo rispettivamente lo spettro di ampiezza e lo spettro di fase del segnale.

S f

Esempio: impulso rettangolare

Trasformata di un impulso rettangolare:

S t =rect t ={1 t∈[−1/2,1 /2]0 altrove}

S f =∫−1/2

1/2e− j2 ft dt=∫−1 /2

1 /2[cos 2 ft jsin 2 ft]dt

= 12 f

[sin 2 ft jcos 2 ft]−1 /21 /2

=sin 2 f /2−sin −2 f /2

2 f=

sin f f

=sinc f

Esempio: impulso rettangolare

Segnale

Spettro di ampiezza

Spettro di fase

Trasformata di Fourier: proprietà

Linearità:

Ritardo temporale:

Cambio di scala:

Convoluzione:

Moltiplicazione:

Traslazione in frequenza:

Dualità:

ℱ [aS t b Rt ] = a S f b R f

ℱ [S t−t0]= S f e− j2 ft0

ℱ [S at ] = 1∣a∣

S fa

ℱ [S t ∗H t ] = S f ⋅ H f

ℱ [S t ⋅H t ] = S f ∗ H f

ℱ [S t ⋅e j2 f 0 t] = S f − f 0

ℱ [ S t ]= S − f


Ritardo temporale: ℱ [S t−t0]= S f e− j2 ft0

ℱ [S t−t0]=∫ S t−t0e− j 2 ft dt

=∫ S e− j 2 f t0 d =t−t 0

d =dt=e− j2 ft0∫ S e− j 2 f d = S f e− j2 ft0

=∣S f ∣e jarg [ S f ]−2 ft0

Trasformata di Fourier: ritardo temporale

Segnale

Spettro di ampiezza

Spettro di fase


Cambio di scala:

ℱ [S at ]=∫ S at e− j 2 ft dt

=∫ S e− j 2 f /a d =atd =a dt

= 1∣a∣∫ S e− j 2 f /a d

=1∣a∣

S fa

ℱ [S at ] = 1∣a∣

S fa

Trasformata di Fourier: cambio di scala


Convoluzione:

ℱ [S t ∗H t ]=∫∫ S H t−d e− j 2 ft dt=∫ S ∫ H t−e− j 2 ft dt d

=∫ S H f e− j 2 f d

= H f ∫ S e− j 2 f d =S f ⋅H f

ℱ [S t ∗H t ] = S f ⋅ H f

Trasformata di Fourier: convoluzione


Traslazione in frequenza:

ℱ [S t ⋅e j2 f 0 t]=∫ S t e j2 f 0 t e− j2 ft dt=∫ S t e− j2 f − f 0 t dt= S f − f 0

ℱ [S t ⋅e j2 f 0 t] = S f − f 0

Applicazione: modulazione

ℱ [S t ⋅2cos 2 f 0 t ]=ℱ [ S t ⋅e j2 f 0 te− j2 f 0 t]= S f − f 0 S f f 0

Trasformata di Fourier: modulazione

Banda di un segnale reale

Analogamente al caso dello sviluppo in serie di Fourier, si definisce banda di un segnale reale l'intervallo sul semiasse positivo delle frequenze [fmin,fmax], ove lo spettro di ampiezza è significativamente diverso da zero.

La sua misura B= fmax– fmin è detta larghezza di banda. I segnali di interesse applicativo sono quindi segnali a

banda limitata. Tra i segnali a banda limitata possiamo distinguere due diverse tipologie di interesse applicativo: Segnali passa-basso Segnali passa-banda

Segnale passa basso

Un segnale si dice passo basso (o in banda base) se fminè zero o prossima ad esso, ovvero se B/f0 ≈ 2, dove f0 è il punto medio dell'intervallo [fmin,fmax].

Esempi:➔Segnale telegrafico;➔Segnale audio;➔Segnale video;➔Immagine ecografica;

Segnale passa banda

Un segnale si dice passo banda se fmin > 0 e B/f0 << 1, dove f0 è il punto medio dell'intervallo [fmin,fmax].

Esempi:➔Segnale radio comunicazioni;➔Segnale su fibra ottica;➔Segnale ottenuto da una sonda ecografica;

Ripetizione periodica di una funzione

Vogliamo ora studiare il caso di ripetezione periodica di un segnale g(t) nel dominio della trasformata di Fourier, allo scopo di mostrare le connessioni con la serie di Fourier.

Consideriamo la ripetizione periodica con periodo T di un segnale g(t):

g pt =∑k=−∞

∞

g t−kT

Poichè il segnale gp(t) è periodico, può essere rappresentato mediante il suo sviluppo in serie di Fourier

g pt =∑n=−∞

∞

cn e j2n f 0 t


cn =1T ∫T

g pt e− j2nf 0 t dt = 1

T ∫0T

∑k=−∞

∞

g t−kT e− j2nf 0 t dt

= 1T ∑

k=−∞

∞

∫0

T

g t−kT e− j2nf 0 t dt= 1T ∑

k=−∞

∞

∫−kT

−k1T

g e− j2 nf 0 d

= 1T ∫

−∞

∞

g e− j2nf 0 d = 1T

g nT = f 0 g n f 0

Riassumendo si ha che i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier possono essere calcolati come campionamento della trasformata di Fourier della funzione g(t) nelle frequenze nf0

cn= f 0 g nf 0

Ripetizione periodica: esempi

Ripetizione periodica della funzione rect(t) con periodo 1:

∑k=−∞

∞

rect t−k =1

cn=sinc n={1 n=00 n≠0}

Ripetizione periodica della funzione rect(2t) con periodo 1:

∑k=−∞

∞

rect 2t−k

cn=12

sincn2

Ripetizione periodica: esempi

Ripetizione periodica di rect(2/3 t) con periodo 1:

Esistono infinite funzioni che hanno come ripetizione periodica la ripetizione di rect(2/3 t)


g t ripetizione periodica

g pt

g f cn= f 0 g nf 0campionamento

Una ripetizione periodica con periodo T nel dominio del tempo corrisponde pertanto ad un campionamento nel dominio delle frequenze con intervallo 1/T=f0.


g t ripetizione periodica

g pt

g f cn= f 0 g nf 0campionamento

Nel caso in cui il segnale g(t) abbia durata limitata Δt < T (dove T è il periodo di ripetizione), l'operazione di ripetizione periodica risulta invertibile, quindi esiste una corrispondenza biunivoca tra g(t) e cn.

Trasformata discreta di Fourier

Finora abbiamo considerato segnali tempo continui, ma in generale è necessario trattare anche segnali tempo discreti.

Sfruttando la proprietà di dualità della trasformata di Fourier è possibile definire la trasformata di una successione tempo-discreta Sn in cui Ts è l'intervallo tra due termini:

S p f =∑n=−∞

∞

S n e− j2nf T s

Sn=T s∫1/T s

S p f e j2nfT s df

La trasformata è periodica per dualità con periodo 1/Ts = fs.

Segnali tempo-discreti

Essendo periodica, la trasformata di una successione, può essere ottenuta come ripetizione periodica di una funzione , trasformata di Fourier del segnale S(t):

S p f = 1T s

∑k=−∞

∞S f k

T s In generale esistono infinite funzioni che danno come

ripetizione periodica la funzione . Per dualità deve essere la trasformata della

sequenza ottenuta campionando S(t) con passo Ts:S p f

Sn=S nT s n∈ℤ

S f

S p f S f

Ripetizione periodica di uno spettro

Considerata la trasformata di un segnale S(t)possiamo valutarne la ripetizione periodica di periodo fs:

S p f = 1T s

∑k=−∞

∞S f k

T s Poichè è periodica è la trasformata di Fourier di una

sequenza discreta Sn di intervallo Ts.

Per dualità i coefficienti Sn si ottengono campionando il segnale S(t) con periodo Ts:

Sn=S nT s n∈ℤ

S f

S p f

Campionamento di una funzione

S t campionamento

Sn

S f S p f ripetizione periodica

Un campionamento con intervallo Ts nel dominio dei tempi corrisponde pertanto a una ripetizione periodica nel dominio delle frequenze con periodo 1/Ts = fs.

Teorema del campionamento di Shannon

S t campionamento

S f S p f ripetizione periodica

Se S(t) ha spettro nullo al di sopra di una frequenza fm, l'operazione di campionamento con fs>2fm, è invertibile, ovvero esiste una corrispondenza biunivoca tra S(t) e Sn.

Sn

Campionamento: esempi

Sovracampionamento di una sinusoide


Campionamento limite di una sinusoide


Campionamento limite, errore di fase e ampiezza


Sottocampionamento, perdita di informazione

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