Universit di Roma "La Sapienza" Dipartimento di Economia Pubblica CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA IN ECONOMIA POLITICA TEORIA DELLA CRESCITA Modelli esogeni e endogeni per il lungo periodo Anno accademico 2005-2006 Enrico Marchetti 1 1. Introduzione Loscopodiquestobrevecorsointroduttivoquellodipresentareinmaniera sinteticaalcuneteoriedellacrescitaeconomicapartendodallanalisineoclassica standard,ilcuimodelloprototipicostatosviluppatodaSolow(1956),finoad arrivare alla discussione di alcuni modelli paradigmatici della nuova teoria della crescitaendogena,emersasulfiniredeglianniottanta.Introduciamoperprima cosaalcunedefinizionieconcettiessenziali.Nelseguitodiquestedispense assumeremounapproccioessenzialmenteaggregatoallacrescita;pertantoverr descrittolosvilupponeltempodiuneconomiaisolatacheproduceunsingolo bene,chechiameremoY(t).Essorappresentailvalorerealedelprodotto complessivoallistanteditempot.Inquestaeconomialaproduzioneavrluogo tramiteunatecnologiachesarvariamentedescritta;leipotesialriguardo,come lanaturaeilnumerodegliinputsimpiegati,laformadellafunzionedi produzione,ecc.,sarannodifferentiespessocostituirannoildiscriminetraivari modellieteoriedellacrescitacheviaviaesamineremo.Tuttequestedifferenti analisisarannoperaccomunatedaunfenomenobasilare:laccumulazionedi capitale. Assumeremo che uno degli aspetti fondamentali del processo di sviluppo quantitativoedinamicodiquesteconomiasiadatodalfattocheilcapitalepu variareedessereaccumulatoneltempo.Ilcapitalefisicodisponibilealtempot, indicato con K(t) un input necessario alla produzione di Y, e pu essere pensato comecostituitodallostessobeneomogeneocherappresentailprodottofinale. Avremopertanto,intuttiimodelliesaminati,unaconcezionedellaproduzione secondocuiloutputdelsistemapuessereottenutotramitelimpiegodiuna quota dello stesso bene che rappresenta il prodotto. Inoltre assumeremo sempre che sia necessario anche un altro input per generare il prodotto, un input non riproducibile e/o accumulabile: il lavoro. Indicheremo con L(t)laquantitdilavoroimpiegataperottenereY(t),ovveroloccupazione complessivadelsistema1,econN(t)lammontaredisponibilediforzalavoroal tempot(pertantosart t N t L ) ( ) ( ).Assumeremoinoltreperfettaconoscenza (eprevisione)dapartediogniagenteeconomico,ovverounambientedeltutto deterministico.

1 Ipotizzando la stabilit del tempo di lavoro medio complessivo. 22. Il modello di Solow La crescita bilanciata Comesiricorder,lateoriadellacrescitaeconomicadeglianni40-50erastata elaborataapartiredalleanalisidibreveperiododiKeynesdaHarrod(1939)e Domar(1946).Ilmodellocheportailloronomeprocedevainquestomodo:in primoluogosicercadistabilire(inunotticakeynesiana)iltassodicrescitadel redditocompatibileconlecondizionidiofferta(relativeallaproduzione);in secondo luogo si cerca di stabilire le equivalenti condizioni per il tasso di crescita dal lato della domanda. Lipotesidibasechelaproduzionesiacaratterizzatadaunrapporto capitale/prodottov Y K = /fisso. CiovY K = , e derivando rispetto a t:Y v K& & = . Inoltre anchevAN vY K = = , dove A il progresso tecnico (esogeno e, in prima istanza,coincidenteconlaccumulazionedelleconoscenze)eNlaforzalavoro (esogena)2; i loro tassi di crescita sono:aAA=& enNN=&. DividiamoY v K& & =per vY K = ed,essendo) ( N A N A v Y& & &+ = ,otteniamo:n aYYKK+ = =& &.Questoil cosiddetto tasso naturale. LeconclusionidelmodelloHarrod-Domardipendono,tralealtrecose, dallipotesi che il rapporto capitale/prodotto fosse fisso Lanalisi neoclassica della crescita parte proprio dallabbandono di questipotesi; si assume cio che gli input sianoperfettamentesostituibilitraloro,enonrigidamenteimpiegabiliin proporzionifisse.Ciequivaleadipotizzareunatradizionalefunzionedi produzioneaggregataditiponeoclassico)) ( ) ( ), ( ( ) ( t L t A t K F t Y = alpostodella tecnologia con proporzioni fisse. IlmodellodiSolow(1956),cometuttiglialtrischemianaliticiimpiegati nellateoriadellacrescita,sifondasuunaseriediipotesidibasechedaunlato cercanodiindividuaregliaspettifondamentalieifenomeniprincipalidella crescita,edallaltroconsentoquellasemplificazionedanalisinecessariaper procedereallaformulazioneeallostudiodiunmodelloformale.Losviluppo iniziale della teoria neoclassica della crescita da parte di Solow (1956; 1957) e di Swan (1956) negli anni 50 si poneva un duplice obiettivo; da un lato cercava di renderecontodialcunifattiempiricidicaratteregeneralepropridelquadrodi sviluppoedicrescitadelleeconomiecapitalisticheinquelperiodo;daltraparte essaeraparteintegrantedelprocessodigeneraleriassorbimentodeglispunti teoricioriginalidiKeynesnellambitodellateoriatradizionale,ovveroeraparte integrantedelprogettodellasintesineoclassica.Questidueobiettivi implicavano un critica ed una riformulazione della precedente teoria della crescita diHarrodeDomar.Atalfine,venivasottolineatounaspettodelleesperienze concrete della crescita in quegli anni che in qualche modo appariva problematico allinternodelloschemainterpretativodiHarrodeDomar:lacapacitdelle principali economie industrializzate di manifestaresostenuti tassi di crescita nelle principali variabili aggregate (gli anni 50 e 60 sono quelli della cosiddetta golden agedelcapitalismo).Questacrescitaerainpartelegataallacontingenza

2Si ricordi che si assume in tal caso che lintera forza lavoro N sia impiegata, cio L=N. 3postbellica,ovveroauncontestofortementesegnatodallenecessitdi ricostruzioneeriaccumulazionelostockdicapitaleandatoperdutodurantela guerra soprattutto, in Europa e Giappone. Si trattava per anche di un processo di crescita di diffusione notevole e per economie, come almeno quelle europee, che comunquepotevanoormaiconsiderarsimature,ilcuisviluppoindustrialedatava pidiunsecolo.Questifattisembravanononparticolarmenteinsintoniacon lattenzione rivolta dalla teoria Harrod-Domar al problema della lama di rasoio, cio alla difficolt di garantire stabilmente alleconomia la possibilit di crescere altassonaturale,checonsenteilcostantepienoimpiegodellaforzalavoro. Inoltre,sembravacomunquenecessarioridimensionareilruolo dellaccumulazionedelcapitalecomeforzatrainantedellinteroprocessodi sviluppoalungoterminedelleconomia.InfattiSolow(1957)notavacomeuna parte assai consistente del tasso di crescita USA per il periodo 1909-1949 fosse da imputarsi al progresso tecnico, un termine che in essenza racchiudeva quei fattori di produzione non generalmente riconducibili al maggior impiego del lavoro o del capitale. Sebbene una buona parte di quella imputazione fosse in realt dovuta ad imprecisioninellastimaempiricadeivarifattoriproduttivi(eallomissionedi alcuni di essi), appariva comunque sempre pi verosimile lidea che fattori diversi dallaccumulazione del capitale fossero responsabili della sostenuta crescita delle economieavanzate.Lateorianeoclassicadellacrescitacercherproprioottenere inmodosinteticoquestaconclusione;ilmotoreprincipaledellacrescitadelle variabiliaggregatevieneadessereindividuatoinfenomenidicarattere demograficootecnologico.Similmente,laprincipalevariabilepresceltacome indicatoredelprogressomaterialediunpaese,iltassodicrescitadelprodotto procapite,interamentedeterminatodallivellodisviluppoedalladinamicadel progresso tecnologico.Chiaramente,ilfenomenodellacrescita,comeognialtrofenomeno economicoimportante,unarealtdallemoltesfaccettature,complessaed articolata.Ilcompitodellateoriasarquellodiisolareinquestacomplessit (tramiteunaqualcheargomentazioneplausibilechecostituirperparte essenzialedelleipotesidellateoria)pochiaspettiessenzialichepossonoessere considerati interessantie ricchi di significato esplicativo riguardo al fenomeno in oggetto.Losviluppodiunmodelloformalesemplificatoelasuasuccessiva verificaempiricasarannopertantodipendentidalleipotesiedalleassunzioni teoriche che hanno precedentemente isolato i fattori ritenuti interessanti. IlmodellodiSolownondovrebbepertantoesseregiudicatoinbaseallasua semplicitedessenzialit,mapiuttostoinbaseairisultaticheessoconsentedi ottenere.Questaperlomenolagiustificazionemetodologicachestata principalmente fornita dai teorici neoclassici della crescita. In effetti il modello di Solowapparedavveroconcisoesemplice,nonsoloperquelcheriguardala rappresentazione stilizzata del sistema economico, ma anche per ci che concerne ilmeccanismostessodellacrescita:unasingolaequazionedifferenzialeinuna variabile di stato cruciale sar in grado di racchiudere gli aspetti fondamentali del processo di sviluppo quantitativo delleconomia. Ci traspare dalle ipotesi di base stesse del modello, che possono essere ricomprese in tre gruppi: 1)Concorrenza perfetta 4Siassumecheleconomiasiacaratterizzatadamercatiperfettamente concorrenziali. Ci implica che in ogni istante di tempo loccupazione sia sempre quelladipienoimpiego:tutteleforzedilavorodisponibilisonooccupatesenza possibilitdisprechi.Pertantosart t N t L = ) ( ) ( ,et t rKF =) ( ovverole impresesceglierannoKinmododaeguagliareinogniistanteditempola produttivit marginale del capitale al tasso di rendimento relativo a quel periodo. Occorrenotareche(inbasealleipotesisuFillustrateinseguito),) (t r coincide colsaggiogeneralemediodiprofittoperleconomia.Lipotesidimercatiin equilibrio implica poi che in ogni istante di tempo risparmi ed investimenti siano sempre uguali: t t S t I = ) ( ) ( 2)Esogenit del progresso tecnico e della dinamica della popolazione Lo sviluppo nel tempo di A e di N un dato per lanalisi; in particolare abbiamo che: ) ( ) ( t N t N =&ea t A t A ) ( ) ( =& ovveroitassidicrescitadellapopolazioneedellefficienzatecnicadellavoro, n t N t N = ) ( / ) (& ea t A t A = ) ( / ) (&, sono dati e costanti nel tempo 3)Tecnologia a rendimenti costanti che soddisfa le condizioni di Inada Lafunzionediproduzione)) ( ) ( ), ( ( ) ( t L t A t K F t Y = contempladueinput:il capitale fisico K e il lavoro in unita di efficienza tecnica AL (ricordiamo che A unparametrocheindicalimpattodelprogressotecnicosullefficienzadei lavoratori3)LafunzioneFinprimoluogoarendimentidiscalacostanti.Ci significachepossiamomoltiplicarlaperunparametroedottenerelastessa rappresentazione della tecnologia; per esempio, varr leguaglianza: |.|

\|= 1 ,ALKFALY; ) (k f y = ovvero possiamo esprimere il prodotto procapite y come funzione di un solo input: illivellodicapitaleperunitdiefficienzadellavorok.LafunzioneFwell behaved; ovvero le sue derivate parziali sono di questo tipo:

3Questotipoparticolarediprogressotecnicodettolabouraugmenting:siassumecheil progressodelleconoscenzeinfluiscasolosullivellodellaproduttivitdellavoro;Nelcaso ) , ( L AK F Y =avremmo avuto progresso tecnico capital augmenting, cio che influenza solo la produttivitdelcapitale.Seinfinefosse) , ( L K AF Y = ,ilprogressotecnicoverrebbedetto Hicks neutral. 50 ; 022KFKFe0) (; 022ALFALF ovveroleproduttivitmarginalisiadelcapitalechedellavorosonostrettamente decrescenti.Invirtdeirendimentidiscala,taleandamentovaleancheperla derivata di f. Infatti, essendo |.|

\|= 1 ,ALKALF Ysi ha che: ) (1k fAL kFALKkkYKY === Ovvero) (k f coincideconlaproduttivitmarginaledelcapitale KF.Le condizionidiInada,unipotesitecnicamadicrucialeimportanza,implicanoun particolarecomportamentoallimiteperla) (k f ;deveessere: = ) ( lim0k fke 0 ) ( lim = k fk.Inpraticanonoccorresolochelaproduttivitmarginaledel capitale sia decrescente, ma anche che lo sia in modo molto sostenuto: deve essere elevatissima per valori piccoli di k e praticamente nulla per valori molto grandi. In Figura 1 illustrato un esempio di funzione f che soddisfa le condizioni di Inada: Figura 1 Questetreipotesidelineanocompletamentelecaratteristichedifondodel modello.Restadaspecificareancoraunaspettoimportanteriguardanteil comportamentodegliagenti.Analizzandoladinamicadelleconomiarispetto allaccumulazionedicapitaleinunotticaneoclassica,risultainfattiessenziale ipotizzare una qualche regola di comportamento degli agenti riguardo le decisioni di risparmio, tramite cui laccumulazione di capitale stessa finanziata. Anzichsviluppareesplicitamenteunanalisidellesceltediallocazione intertemporalediconsumierisparmidapartedellefamiglie,Solowadottaun approccio che appare di sapore pi keynesiano che neoclassico: egli assume che in ) (k fk y 6ogniistanteditempolefamiglierisparminounaquotafissadireddito,dimodo che: sY S = ;e quindi) ( / k sf AL S = Eimmediatonotarecomelacondizioneprecedenteinunmodello macroeconomicostandarddellasintesineoclassica(ades.unoschemaAD-AS) individuavialeggediWalraslequilibrionelmercatodeibeni.Ineffettisipu pensare lanalisi di Solow come uno schema walrasiano in cui il livello del prezzo delloutputparametrizzatoalluniteiprezzideifattorisvolgonounruolo implicitodiequilibrioneirispettivimercati.Tuttociemergerpichiaramente nellesezionisuccessive,quandoanalizzeremoesplicitamentedeimodellidi equilibriogeneraledinamici.Questimodellidicrescitaottimalemostreranno infatticomelipotesisulrisparmiononincidasuirisultatifinali:lestesse conclusionidifondodelmodellodiSolowpossonoessereottenuteanche considerando esplicitamente il problema di ottimo intertemporale delle famiglie. Infine, la dinamica vera e propria del sistema sar data semplicemente da unacondizionecheinpraticaquasiunatautologia:laleggedisviluppodel capitale fisico nel tempo: K I K =&(1) secondolaqualelavariazioneneltempodellostockdicapitalepari allinvestimentolordomenoilrimpiazzodeibenicapitaliesistenti,chesisono logorati al tasso di ammortamento costante ed esogeno . Derivando k nel tempo abbiamo: ) ( ) () () / (2n a kALKLLAAALKALKL A L AALKALKdtAL K dk + =||.|

\|+ = + = =& & & && &&& Sostituendo la (1)e ricordando chesY S I = = , otteniamo: k n a k sf n a kALK sYk ) ( ) ( ) ( + + = + =&(2) chelequazionefondamentaledelmodellodiSolow:essaesprimeladinamica delsistemainfunzionediunasolavariabileendogena:ilcapitaleperunitdi efficienza di lavoro k. Sitrattadiunequazionedifferenzialenonlineareink,chepossiedeuna soluzioneunica(illivelloinizialediognivariabileendogenaundatoperla teoria).Essaaffermainsostanzachelacrescitadelrapportokneltemposar positiva ogni volta che il termine sf(k), che rappresenta il risparmio, sar superiore alterminek n a ) ( + + ,cherappresentainsostanzalaquantitdicapitaleda rimpiazzare:siaacausadelprogressotecnico(cheaumentalaproduttivitdel lavororispettoalcapitale),siaacausadellacrescitadellapopolazione,siaperil naturaleammortamento.Datocheilprodottoydipendesolodallivellodik,se questultimo cresce allora anche y aumenter nel tempo. 7La(2)puessererisoltaancheesplicitamente,mapercogliernegliaspetti principalisufficienteunanalisigraficamediantediagrammadifase,come illustrato in Figura 2: Figura 2 Lequilibriodisteadystatedatodalvalorek*,chesoddisfalacondizione * ) ( *) ( k n a k sf + + = .Lacurvarappresentak&comefunzionedik;edfacile vedere come tale funzione sia prima crescente e poi decrescente. La sua derivata infatti pari a:) ( ) ( / + + = n a k f s dk k d&; per le condizioni di Inada avremo che per dei k molto piccoli il termine sf(k) sar senzaltro maggiore di) ( + + n a , e quindi la curva crescente. Essendosf(k) decrescente, essa, da un certo k in poi, sarminoredi) ( + + n a ,facendoinmodochelacurvarisultidecrescente. Inoltre, fintanto che la curva positiva (cio a sinistra di k*) si ha0 > k&, quindi k aumentaesimuoveversolosteadystate.Quandolacurvadiventanegativa(a destra di k*), si ha0 < k&, e pertanto k diminuisce muovendo anche in questo caso verso lo steady state. Le condizioni di Inada garantiscono pertanto la stabilit del sistema:allafine,daqualunquevaloreinizialesiparta,leconomiaconverger verso il valore k* e l vi rimarr. Ci implica che i valori delle variabili rilevanti, il tasso di crescita delloutput edelcapitalefisico,sarannotralorouguali,eproseguirannostabilmentesuun sentierodicrescitadettosentierodicrescitabilanciata.Pervederlo,basta calcolareirispettivitassidicrescita;ricordandoche) (k ALf Y = ,iltassodi crescitadelloutput sar: k k f AL k f L A k Lf Adtk dfAL k f L A k Lf A Y& & & & & &) ( ) ( ) () () ( ) ( + + = + + =k k* k& ( ) ( )k n k sf k + + =& 0 8 ovvero, dato che in steady state0 = k&: n aALL AALL AYY+ = + =& & &(3) Per il tasso di crescita del capitale sar sufficiente calcolare la derivata nel tempo di K/AL ed eguagliarla a 0, dato che tale rapporto costante in steady state: 0 0) ( ) (0) / (2 2= =||.|

\|+ =LLAAKKALLALAKALKdtAL K d& & & & & & ovvero: n aKK+ =&(4) Dalla (3) e dalla (4) si nota come i tassi di crescita delloutput e del capitale siano uguali ed entrambi pari alla somma dei tassi esogeni di crescita della popolazione e del progresso tecnico: questa la principale conclusione del modello di Solow. La convergenza Dunqueilrisultatoprincipaleconsistenellaffermazionecheitassidicrescita delleprincipalivariabilirealidipendonoesclusivamentedafattoriesogenidi carattere strutturale; in uneconomia chiusa caratterizzata da concorrenza perfetta, ilmotorefondamentaledellacrescitasarinfattidatodallandamentotemporale delprogressotecnicoedalladinamicadellapopolazione.Ilsentierodicrescita chequestevariabiliseguonodettobilanciatoproprioperchintalcasoil rapportocapitalelavoroK/AL=k*haraggiuntoilsuovaloredisteadystate, quindicostanteneltempo;leconomiasisviluppa(itassiK K /&eY Y /&sono positivi)inmodotalecheilrapportotragliinputKeALrimangacostantenel tempo.Naturalmente,datocheilvaloreinizialedelleendogene,adesempiodel capitaleedellavoroiniziali,possonoesserebendiversidaquelliche caratterizzanoilvaloredisteadystatedelrapportoK/AL,semprepossibileche inunacertafaseinizialedellarcoditempoconsideratodallanalisiilsistemasi muova secondo una dinamica che implica una variabilit del rapporto tra gli input. Malastabilitdellequilibriodellequazione(2)garantiscecheallafinecisi trover sul sentiero di crescita bilanciata. Einteressantenotarecomecivalgaanchepericonfrontitravarisistemi economici.Consideriamoadesempiodueeconomiechenellistanteinizialedi tempopresentinolastessatecnologia,lastessapropensionealrisparmioegli stessitassidisviluppodemograficiedelprogressotecnico,mavaloriiniziali diversiperlevariabiliendogene.Unadelledueeconomiepotrebbepartirecon unadotazionedicapitalepialtadellaltra,equindiavereunvaloreinizialedel redditocomplessivosuperiore.Cipotrebbeconfigurareunconfrontotra 9uneconomiaindustrialesviluppataedunapiarretrataconunminoregradodi sviluppo economico. Se applichiamo ad entrambe il modello sintetizzato dalla (2), abbiamo che esse dovranno convergere allo stesso steady state relativo al rapporto capitalelavoro,equindisitroverannoallafinesullostessosentierodicrescita bilanciata:ilorotassidisvilupposarannouguali.Nonsolo:lavelocitdi convergenzadelledueeconomieversoquestosentierobilanciatosardiversa: leconomiachepartedaunadotazionedicapitaleproporzionalmenteminore converger al sentiero bilanciato pi velocemente dellaltra economia pi matura. Questedueaffermazionicostituisconounaltraimportanteconseguenzadel modello di Solow: la tesi della convergenza. Per mostrare la prima parte della tesi della convergenza sufficiente notare come le due economie siano uguali in tutto epertutto,relativamenteaiprincipaliparametriesogeni;differisconosoloperle posizioni di partenza. Dato che entrambi i sistemi sono stabili (per via della (2)) e i sentieri bilanciati sono gli stessi per le due economie (dato che i tassi a e n sono gli stessi), alla fine entrambe convergeranno allo stesso steady state k* relativo al rapportotragliinput.Ciimplicachedauncertopuntoinpoiseguirannolo stesso andamento di sviluppo dinamico. Perdimostrarelasecondapartedellatesidellaconvergenza,quellarelativa allediversevelocitdiconvergenza,occorrestudiarelandamentoneltempodel tassodivariazionedelrapportocapitalelavorok k /&;infatti,questala variabilecheindicalemodalitdisviluppo deiduesistemi.Datocheilprodottodipendedak,tantopivelocesarilritmodicrescitadiquestultimo,tantopi rapidasarlacrescitadelloutputperoccupato.Leconomiachetraledue manifestailtassok k /&pialtosarpertantoquellacheconvergerpi rapidamentealcomunesteadystatek*.Latesidellaconvergenzaaffermache leconomia col valore iniziale pi basso di k sar quella con il tassok k /& pi alto. PermostrarlosufficienteunasempliceapplicazionedelteoremadiEulero. Infatti,perlefunzionidiproduzionearendimenticostanti,ilteoremadiEulero garantisce che: KKFL ALFY+=2; dividendo per AL: ALKKFALFALY+= Ponendo per semplicit A=1, otteniamo: 0 ) ( ) ( ) ( > = = =k k f k f k k f yALKKFALYLF(5) Lespressione(5)dunquepositiva,inquantoesprimelaproduttivitmarginale del lavoro. Ora, ponendo per semplicit anche0 = , la (2) diventa: nk k sf k = ) (&, ovvero:nkk sfkk =) (& 10chepermettedistudiareagevolmentelandamentodik k /&infunzionedik: baster calcolare la derivata dkk k d ) / (&: | | ) ( ) () ( ) ( ) / (2 2k f k k fkskk fkk fsdkk k d =|.|

\|=& Inbasealla(5)lespressione) ( ) ( k f k k f negativa,pertantorisulta: 0) / ( u u , ovvero utilit marginale positiva e decrescente. Latecnologiadescrittainmodoesattamenteugualeaquellovistoperil modello di Solow: avremo una funzione di produzione aggregata a rendimenti di scala costanti che soddisfa le condizioni di Inada:) , ( AL K F Y = , con: 0 ; 022KFKF,0) (; 022ALFALF e = ) ( lim0k fk;0 ) ( lim = k fk PersemplicitassumeremoA=1e0 = :ovveroassenzadiprogressotecnicoe capitalenondeteriorabile6;intalmodoavremochelaccumulazionedicapitale sardescrittadallequazione:I K =&,mentreilprodottosardatoda: ) , ( L K F Y = . Laltra ipotesi di base, analogamente al modello di Solow, riguarda la dinamica esogena della popolazione: ntte N N0=

5Oanchequellodiuneconomiacentralmentepianificataegovernataefficacementedaun dittatore benevolente (se mai ne pu esistere una). 6Talisemplificazioninonalteranolaqualitdeirisultatininquestomodelloninquellodi Cass- Koopmans. 13Il pianificatore sceglier i sentieri di consumo in modo da far s che in ogni istante non vi siano risorse inutilizzate. Ci consente di formulare il vincolo dinamico che il pianificatore fronteggia; in primo luogo, lintero input di lavoro disponibile dovr essere impiegato: t N Lt t = In secondo luogo, il prodotto dovr essere completamente impiegato, pertanto avremo: t tI C L K F Y + = = ) , ( ovveroessodovrdividersitraconsumitotalieinvestimenticomplessivi; ricordando chenk kLK+ =&& e usando lequazione dellaccumulazione di capitale, potremmo esprimere tale condizione in termini procapite: nk k cLKLCLL K F+ + = + =&&) , ( e quindi, dato che F a rendimenti costanti: nk k c k f + + =&) ( ; c nk k f k = ) (&(6) La(6)ilvincolodinamicodelproblemadelpianificatoreespressointermini procapite. Lobiettivodelpianificatorepotressererappresentatodaunafunzione consistentenellasommadelleutilitdituttiimembridelleconomia,sommatea lorovoltapertuttiiperiodiditempocopertidallanalisi.Ipotizzandofamiglie immortali,ilperiododitempopuessereconsideratoinfinito,eneltempo continuo, tale obiettivo sar dato da: =0) ( dt c u e Utt (7) Iltermineindicailnumerocostantedifamiglienelleconomia;sipu ipotizzare,senzaperditadigeneralit,chesia1 = .La(7)intalmodo rappresenta lutilit di una famiglia rappresentativa. Si assume che tale utilit sia scontata,inbasealfattore te ,dove rappresentailtassodisconto intertemporale.Ineffetti,lapprocciooriginalediRamseyrifiutavaquesta operazione, ritenendola eticamente ingiustificabile (perch il pianificatore avrebbe dovutoscontareleutilitdegliindividui?);alsuopostovenivaadottatauna formulazioneleggermentediversa,maconcettualmentenondissimile.Ramsey adotta in realt come obiettivo del pianificatore la minimizzazione di una funzione di perdita: 14 | | 0) ( ) ( dt L U C U B doveBunblisspoint:unvaloreritenutoottimaledibenesseredalla collettivit;U(C)-U(L)ilflussodiutilitchegliindividuiottengonodal consumo e di disutilit che subiscono per il lavoro.Lamotivazionedietroquestedueformulazioni,siaquellaconilblisspoint che quella con il valore scontato, di natura essenzialmente analitica. Dato che il pianificatoredovrmassimizzare(ominimizzare)unodeidueobiettivi, necessario che lintegrale converga in entrambi i casi. Ci pu essere ottenuto con la formulazione bliss point o con lo sconto delle utilit (con1 < ). Il problema del pianificatore pu essere descritto in questo modo: 0) ( max dt c u ettc s.t.c nk k f k = ) (&; (8)

0) 0 ( k k = ; ) ( 0 k f c dove 0k ilvaloreinizialedelcapitale,klavariabilesistatoecquelladi controllo.Ilproblemapuessererisoltotramiteimetodistandard,formando lHamiltoniano:| | c nk k f c u e Ht + =) ( ) ( , dove la variabile di costato. Le condizioni di primo ordine per un massimo sono: 0 ) ( = =c u ecHtcio:= ) (c u et | | ) (k f nkH = =& 0 lim = kt Lacondizioneditrasversalithaunsignificatointeressante;dataleguaglianza: = ) (c u et,essapuesserescritta:0 ) ( lim = c u kett.Essaimplicachealfine del periodo considerato non rimanga pi capitale non precedentemente impiegato nelconsumo.Infattiseciaccadesse,significherebbechequelcapitaleresiduo non potrebbe essere pi impiegato per il consumo futuro, ed solo il consumo che genera utilit agli individui ( lunica variabile endogena che compare nella (7)). Infatti, puesserepensatocomeilprezzoombradellavariabiledistato,e quindicomeilprezzoombradelcapitale:lacondizioneditrasversalitafferma che il valore finale del capitale, valutato al suo prezzo ombra, deve essere nullo. Derivando nel tempo la prima condizione otteniamo: && = + c u e u et t 15che inseriamo nellequazione differenziale del costato cos da ottenere: | | u e k f n c u e u et t t = + ) ( & e quindi: ( ) k f n cuu + = & (9) La (9) insieme alla (6) definisce il sistema di equazioni differenziali soluzione del problema di ottimo: ( ) k f n cc uc u + = &) () ((10) c nk k f k = ) (& nelsensochelasuasoluzionek(t)ec(t)darisentieritemporalidiconsumoe capitalechemassimizzerannolutilitdellafamigliarappresentativa compatibilmente col vincolo (6): La crescita in uneconomia decentralizzata: il modello Cass-Koopmans IlmodellodiRamseyfornisceunabuonadescrizionestilizzatadel comportamentodiuneconomiacentralizzataocomunqueguidatadauna pianificazione di vasta portata. Il problema del comportamento di uneconomia di mercatodecentratastatoaffrontatosolomoltotempodopo,neglianni60da Cass e da Koopmans, con i veri e propri modelli neoclassici di crescita ottimale. Assumeremochevisiasempreunnumerofissodifamiglieechela tecnologia sia descritta esattamente come nel modello di Ramsey: Y=F(K,L)0 ; 022KFKF,0 ; 022LFLF = ) ( lim0k fk;0 ) ( lim = k fk Anche in questo caso avremo: A=1,0 = e ntte N N0= . Imercatisonoperfettamenteconcorrenziali;visonoduetipidiagenti:le famiglieeleimprese,eentrambeigruppidiagentihannotuttiinformazionee previsione perfetta. Vediamocomepossibilerappresentaresinteticamenteilcomportamento delle famiglie Famiglie: Essendotutteuguali,ciascunafamigliasitroverdifronteadunproblemadi sceltaintertemporaleanalogoaquellodiqualsiasialtra:comeallocaretra 16consumoerisparmioilprodottoinogniistanteditempodellanalisi(anchequi avremoorizzonteinfinito).Ognifamigliaavrdotazioniidentichedifattori (lavoroecapitale)eidentichepreferenze;sarugualepureilnumerodimembri perfamiglia.Pertantosarsufficiente,perdescrivereilcomportamento delleconomianelcomplesso,studiarelazionediunasingolafamiglia rappresentativa. Lefamigliepossiedonotuttoilcapitalefisicoeillavorodelleconomia; impiegandoentrambeifattori,ciocedendolialleimprese,sirealizzaunoutput aggregato in ogni t, che le stesse famiglie acquisteranno sul mercato dei beni; esse inoltredovrannodeciderecomeripartiretaleprodottofinaletraconsumie risparmiinogniistanteditempo.Imercatideifattoriedelprodottofinalesono perfettamente concorrenziali, e lofferta di lavoro delle famiglie rigida rispetto al salario reale: le famiglie offriranno tutto il lavoro disponibile, che nellaggregato coincideconlammontaredellapopolazione tN .Lequilibrionelmercatodei beni,datodallacondizione t tI S = ,farinmodochelesceltediconsumodelle famigliedetermininoancheladotazione(offerta)dicapitaledelleconomianel periodosuccessivoequindilammontareimpiegatodalleimprese.Ovvero, lofferta di capitale inelastica in ogni periodo, essendo determinata da decisioni preseprecedentemente.LaleggediWalrasconsentedifissareunodeiprezzi delleconomiacomenumerario:verrannoquindianalizzatisoloiprezzidel capitale e del lavoro; assumere il prezzo delloutput come numerario consente di considerare agevolmente tutte le grandezze del sistema in termini reali. Quantoappenavisto,ciconsentediassumereperlafamigliarappresentativa una funzione obiettivo uguale a quella del modello di Ramsey: =0) ( dt c u e Utt (7) Questunitdiconsumocercherdimassimizzarela(7)compatibilmenteconil propriovincolodibilancio.Neldefinirequestultimo,occorrenotarecomenon sia vietato a priori ad ogni famiglia di consumare un ammontare superiore, in un datoistanteditempo,allepropriedisponibilitdiredditorelativeaquellistante stesso.Inaltreparolelesingolefamigliepossonocontrarredebiti,chevannoa diminuire le loro dotazioni di ricchezza.Ilvincolodibilancioperleconomianelsuocomplessoinogniistantedi temposar dato da: t t t t tL wdtdVV r C + = dove tC illivellogeneraledelconsumo, tV laricchezzacomplessivadetenuta dallefamiglie, tr iltassodirendimentodellaricchezzainvestita(chein concorrenzaperfettacoincidecoltassodiprofitto)e tw ilsalario.Ilvincolo esprime il fatto che il consumo dovr eguagliare in ogni istante di tempo il reddito complessivo;questultimoinfattidatodalmontesalario t tL w piiredditida 17capitale (profitti) t tV r , a cui vanno sottratti i fondi destinati ad eventuali aumenti di ricchezza, rappresentati dal termine dtdV. Datochelefamigliesonotutteugualidalpuntodivistadelledotazioni,per passarealvincolodibilanciodellasingolaunitsarsufficienteconsiderarela versione procapite del precedente vincolo, ovvero: ttt t twL dtdVv r c + =1 dove t t tL V v / = la ricchezza della singola famiglia. Ricordando che: nvLVLLLVLVv = =& & && Il vincolo di bilancio sar dato da: t t t t tw nv v v r c + = & ;t t t t tw v v n r c + = & ) ( (11) Nelladefinizionedellaricchezzavdevonoentrareancheidebitichelafamiglia pu contrarre, se indichiamo questi ultimi in termini reali con tb , avremo che: t t tb k v Chiaramente in questo contesto semplificato la ricchezza avr solo forma fisica, e sar costituita in sostanza dal capitale accumulato. Ilproblemadecisionaledellafamigliarappresentativaconsisterpertantoin primoluogoneltrovareilsentierodiconsumochemassimizzala(7) compatibilmente con il vincolo (11). Ci per non sufficiente: laver introdotto lapossibilitperlefamigliediprendereaprestitorichiedelaspecificazionedi ulteriori condizioni sullandamento del debito nel tempo. No Ponzi Game Se infatti le famiglie fossero libere di prendere a prestito qualsiasi ammontare, la soluzionedelloroproblemadiottimosarebbetantoscontataquantoirrealistica: essesceglierebberodiaumentareiconsumifinoadeguagliarea0lutilit marginale in ogni istante di tempo, e finanzierebbero questo consumo prendendo a prestitolammontarenecessarioriducendocoslalororicchezza.Cipuessere mostratoosservandoilvincolo(11):unaumentodibdetermineruna diminuzionediv,ovverounv& negativo.Datochequestultimocompareconil segnomenonella(11),ciimplicherunvaloredicpielevato,qualoratale variazione div&superi in valore assoluto il tasso) ( n rt . Chiaramente,questasituazioneinsostenibile:ildebitocrescerebbea dismisura nel tempo per il complesso delle famiglie ci non possibile. Occorre pertanto stabilire una condizione aggiuntiva che richieda che il debito non diventi 18esplosivoneltempo,oalternativamentechelaricchezzacomplessivadelle famigliecalcolatasututtolarcoditempodellanalisisianonnegativa.Questa condizione prende il nome di No Ponzi Game (NPG), e stabilisce che: 0 lim) ( todz n rtte v (12) ovvero che allultimo periodo di tempo, la ricchezza, attualizzata con un adeguato fattore di sconto, deve essere non negativa. IneffettilacondizioneNPGpuancheessereresamediantequesta definizione: somma scontata consumi nel tempo somma scontata ricchezza nel tempo (A) E possibile mostrare come le due condizioni siano equivalenti. Per far ci occorre calcolarelesommedelladefinizione(A).Innanzituttocalcoliamoilfattoredi sconto necessario per attualizzare i valori fino al tempo t; esso sar dato da: =tzdz r R0 ovvero dalla somma di tutti i tassi di interesse dal periodo iniziale al tempo t. La somma dei consumi attualizzata per lintera economia data da: =0000 0dt e c e L dt L c enttrdzt trdzt t la quale, ricordando che = + t tdz n r nt rdz0 0) ( , diventa: 0) (00dt c e Ltdz n rt Oracalcoliamolasommaattualizzatadellaricchezza;essasardatadalla ricchezzainizialepiiredditidalavoroconseguitilungotuttolorizzonte temporale considerato, ovvero: +000dt L w e Vt trdzt procedendo come per i consumi si ottiene: 19|||.|

\|+ 0) (0 00dt w e v Ltdz n rt Ora possiamo esprimere la disuguaglianza (A) in termini formali: 0) (00dt c e Ltdz n rt|||.|

\|+ 0) (0 00dt w e v Ltdz n rt che possiamo scrivere anche in questo modo: 0 ) (0) (00 + dt c w e vt tdz n rt(13) Essaaffermainpraticachelaricchezzainizialepituttiiredditinonconsumati deve essere non negativa. Epossibilemostrarechela(13)ela(12)sonoinrealtequivalenti;la(13) derivainsostanzadalvincolodibilancio(11)edalla(12),considerati congiuntamente: + = 0 lim) () (todz n rttt t t t te vw v v n r c & Il vincolo di bilancio pu essere pensato come unequazione differenziale lineare acoefficientivariabilinellavariabilev: t t t t tc w v n r v + = ) ( & ,dovei coefficientivariabiliintsonodatida t t tc w r e , .Questeequazionisono agevolmenterisolvibiliconimetodiclassici;dataunaequazionesimilenella forma generale:) ( ) ( t m x t l x + = & , con coefficienti l e m, la formula risolutiva : + = t tldt t ld ldte d m e e t x0 0 00) ( ) ( dove una costante determinata dalla condizione iniziale. Nel nostro caso : l = - (r - n), m = w - c, x = v; quindi la soluzione sar: ( )+ = t tdt n r t d n r ldt n re d c w e e t v0 0 0) (0) ( ) () ( ) ( ) ( 20 sardatadallacondizioneiniziale 0 0) 0 ( v t v = = ,erisulta: 0v = . Considerando un tempo di riferimento t=T e dividendo lespressione per Tdt n re0) (, avremo: ( )00) ( ) (0 0) ( v dt c w e e T vT dt n r dt n rt T+ = Facendo infine tendere T ad, otteniamo leguaglianza: ( ) 0 ) ( lim00) ( ) (0 0= + = v dt c w e e T vt Tdt n r dt n rT Ilprimomembrodelleguaglianzaproprioillimitechecomparenella condizioneNPG,quindilintegraleasecondomembrodeveannullarsi:ci dimostrachelacondizione(12)ela(13)affermanolastessacosa.Quindiil significatodellacondizioneNPGquellostabilitodalla(A):lasommadella ricchezza complessiva deve essere non inferiore alla somma dei consumi. Imprese: Ilcomportamentodelleimpreseassaifaciledarappresentare:esse massimizzerannoilprofitto,formulandopertantounadomandadifattori produttivi(ricordiamocheilmercatodeibeniinequilibrioecheilprezzo delloutput e 1); Le imprese sono in numero dato e sono tutte uguali: dispongono dellastessatecnologiaeoperanoinconcorrenzaperfetta;quindisarsufficiente studiareilcomportamentodiunasingolaimpresarappresentativa.Essaavrdei vincolitecnologicirappresentatidallafunzionediproduzionenellaversione procapite: y=f(k); l(extra) profitto procapite sar: t t t tk r w k f ) ( . Le condizioni diprimoordinedellamassimizzazionediquestafunzionedannoledomandedei fattori; ricordando il teorema di Eulero, la produttivit marginale del lavoro sar: k k f k f k k f yLKKFLYLF) ( ) ( ) ( = = =,equindilecondizionidiottimo dellimpresa saranno: ) (t tk f r =t t t tk k f k f w ) ( ) ( = La concorrenza perfetta nel mercato del lavoro far si che il salario w possa essere consideratoundatonellanalisiechesiaggiustiinmododaequilibraresempre domandaedofferta;questultimapoirigidaperipotesi,quindileimprese assorbirannotuttoillavorodisponibilepropriograzieallaflessibilitdelsalario. Lostockdicapitalederivadalledecisionidiaccumulazioneerisparmiodelle 21famigliepresenelperiodoprecedente,equindifissoaltempot.Laflessibilit del tasso di interesse (profitto) r far si che le imprese impieghino tutto il capitale disponibile. Ci vale per ogni istante di tempo. Il sentiero ottimo del consumo e dellaccumulazione: Possiamooraformulareilproblemadicontrolloottimodellefamiglie: massimizzare la (7) sotto i vincoli (11) e (12): 0) ( max dt c u ettc s.t. t t t t tc w v n r v + = ) ( & ; (14)

0) 0 ( k k = ; 0 lim) ( todz n rtte v con v come variabile di stato e w e r dei dati. Possiamo costruire lHamiltoniano delproblemae,ponendocomeusuale comevariabiledistatootteniamole condizioni di primo ordine per un massimo: 0 ) ( = =c u ecHtcio:= ) (c u et | | r nvH = =& 0 lim = vt LostessoprocedimentousatoperilproblemadiRamseyciconsentediottenere lequazione di Eulero, unequazione differenziale in c: r n cuu + = & (15) Le condizioni che esprimono la soluzione del modello sono dunque queste: r n cuu + = &t t t t tc w v n r v + = ) ( &t t tb k v ) (t tk f r =t t t tk k f k f w ) ( ) ( = Laprimaequazione(lequazionediEulerodelproblema(14))forniscedelle informazionisulcomportamentoottimaledellefamiglieeconsentediottenere uninterpretazioneeconomicaassaistandarddellaregoladinamicadiconsumo 22prescelta.Inbasealleipotesidipartenzasullepreferenze,lafunzioneu(c) concava,quindiiltermineu u / negativo.Dunquelequazione r n c u u + = & ) / ( stabiliscecheiconsumatoriaumenterannoilconsumonel futuro( 0 > c& )quandon r + > ,cioquandoiltassodiinteressesarmaggiore del saggio di sconto intertemporale (pi laumento della popolazione). Viceversa, diminuirannoilconsumonelfuturo( 0 < c& )quandon r + < .Ilsaggiorappresentalimpazienza(olamiopia)deiconsumatori;quandon r + > ,i consumatorivorrannorinunciareadelconsumoattualeperaccrescerequello futuro0 > c& ;inquestecondizioniconverrlororisparmiare,cioinvestire nellunicoinputaccumulabilek;ciperchilsaggiodirendimentoreale tr che possonootteneredalrisparmio(ciodallarinunciaalconsumo)altempot maggioredeltasso acuiscontanolutilitderivantedalconsumofuturo (incrementatodellaumentodellapopolazione,datocheconsideriamoconsumi procapite). Occorreoranotareunacosa.Sebbenenonsiaapriorivietatoallasingola famigliacontrarredebitiperaumentareilconsumo,nelsentierodiequilibrio finaledelleconomiaildebitocomplessivodeveperforzaesserenullo;datoche tuttelefamigliesonouguali,sianelledotazionichenellepreferenze,cidovr valereancheperlesingolefamiglielungoilsentierodiequilibrio.Esseinfatti dovranno detenere uno stock di capitale positivo, e sebbene le posizioni debitorie dialcuneverrebberocompensatedaquellecreditoriedialtri,luguaglianzadelle famiglieimponeinsostanzachetuttiisoggettisianoinequilibriorispetto allindebitamento,equindichequestosianulloperciascuno(ricordiamoche siamoinuncontestodiconoscenzaeprevisioneperfetta).Quindidovressere t bt = 0e pertanto t tk v . Le condizioni di ottimalit sopra elencate daranno quindi: ( ) k f n cc uc u + = &) () ((10) c nk k f k = ) (& ovveroleequazionidelsistema(10):sottolipotesidiconcorrenzaperfetta, lanalisidelleconomiapianificataequelladelleconomiacapitalisticadecentrata coincidono.Ineffetti,questacoincidenzaaltrononchelaversionedelprimo teoremadelleconomiadelbenessereperquestomodellosemplificatodi equilibrio generale walrasiano intertemporale e con orizzonte infinito. Analisi dinamica Eorapossibilestudiareilcomportamentodinamicodelsistema(10)per determinareeffettivamenteisentieridiequilibriodicedik.Primaperutile adottare alcune specificazioni per semplificare lanalisi. Nellaletteraturasullacrescitamoltodiffusolimpiegodiunaforma funzionale particolare per la funzione di utilit istantanea delle famiglie u(c), che consentedisnellirelanalisisenzaperditadigeneralit..Nellaprimadelle equazioni(10)appareuntermineu u / ;questoterminepuaverevarie interpretazioni:laprincipalequelladiunamisuradiavversionealrischiodei 23soggetti. A sua volta tale misura risulta legata anche alla elasticit di sostituzione intertemporale.Lelasticitdisostituzioneintertemporaletradueperiodi 1t e 2t datadal coefficiente : ( )( ) ) ( / ) (//) ( / ) (1 21 21 21 2t tt tt tt tc u c u dc c dc cc u c u = Ilcoefficientediavversionerelativaal rischio(simileallamisuraArrow-Pratt) invece definito in questo modo: ) () (c uc c u Leanalisiempirichemostranocomesembriverosimileassumereuncoefficiente costante e piuttosto piccolo: vicino o inferiore a 1. Esiste una classe di funzioni di utilit che consente di ottenere un coefficiente costanteeunamisuradiavversionerelativaalrischiocostanteanchessa:si trattadellecosiddettefunzioniCRRA(constantrelativeriskaversion).Una funzione di utilit CRRA nella forma: =1) (1ttcc u 1 , 0 > (16) Per queste funzioni si ha: = tc c u ) ( , e quindi: ||.|

\|=1212) () (ttttccc uc u. La derivata del rapporto delle utilit marginali sar: ( )( )+ ||.|

\| =

11211 21 2/) ( / ) (ttt tt tccc c dc u c u d e quindi per il coefficiente di elasticit di sostituzione avremo: 1= costante e minore di 1 per1 > . Perilcoefficientediavversionerelativaalrischioavremoinvece,nelcaso delle CRRA: ( )| |= = + cc cc uc c u1) () ( 24Che giustifica il nome di queste funzioni. Esiste quindi, nel caso delle CRRA una relazionetralelasticitdisostituzioneintertemporaleelavversionerelativaal rischio: 1) () (= = c uc c u Adottandolafunzione(16)nelproblemadicontrolloottimodellefamiglie(15), siamo in grado semplificare la prima delle equazioni (10): ( ) | |c n k f cc uc c u = &) () (e quindi:( ) | |c n k f c = & Ora passiamo allo studio delle propriet dinamiche del sistema: ( ) | |c n k f c = & (17) c nk k f k = ) (& Innanzitutto occorre calcolare i valori k* e c* disteady state, per0 = = k c&& : ( ) n k f + = * e ( ) * * * nk k f c = (18) dacuirisultacheillivellodiequilibriodelcapitalek*datodaiparametridel sistema, ed indipendente dal livello di equilibrio del consumo c*. Perprimacosapossiamosviluppareunanalisigraficabasatasuldiagrammadi fase(nellospazio{ } c k, ).Illivellodelcapitaledisteadystatefacilmente rappresentabile: Figura 4 c k k* 25 Possiamostudiareilcomportamentodicpervaloridikdiversidak*, considerandoc& unafunzionedisolok.Inparticolareavremoche: 0 ) ( < =c k fkc&,acausadellandamentodecrescentedellaproduttivit marginale.Quindi,perkmaggioridik*avremounc& negativo,equindiuna diminuzione di c; il contrario per k minori di k*; nel diagramma di fase : Figura 5 Illocus0 = k&inveceunafigurapicomplessa;lequazione( ) * * * nk k f c =descrive infatti una curva con andamento prima crescente e poi decrescente. Ci facilmenteverificabile,infattiladerivatadiquestolocusdatada: n k f dk dc = *) ( * / * ,e,ricordandolecondizionidiInada,avremochela produttivit marginale del capitale molto elevata per valori piccoli di k e tende a zerorapidamentepervaloricrescentidik.Quindiessasarprimapositivaepoi negativa, cosicch la funzione( ) * * * nk k f c =avr un massimo locale gk : Figura 6 k* k c gkk c 0 = k&26Lostudiodellequazionec nk k f k = ) (&comefunzionedicciconsentedi indagare landamento di k; la derivata0 1< =ck& ci dice che per valori di c che si trovano al di sopra della curva0 = k& avremok& negativo, e quindi k diminuir; il contrario per valori di c al di sotto della curva. Graficamente, sul diagramma di fase: Figura 7 Mettendo tutte queste osservazioni insieme possiamo tracciare il diagramma di fase completo: Figura 8 gkc k k* k c c* gk27Landamentodellefreccesuldiagrammadifasesuggerisce(comemostrala Figura 9) lesistenza di un sentiero di sella SP: cio di un unico sentiero dinamico cheportaleduevariabilisulpuntodiequilibrio(k*,c*),mentreintuttelealtre zonedellospaziodellefasiletraiettoriedellevariabilisonoinstabili(divergono dallequilibrio). Figura 9 Questacongetturaconfortatadaunanalisipiprecisadellastabilitlocaledel sistema(10).Calcoliamoatalfinelalinearizzazionedelsistema(10)inun intorno dello steady state (k*,c*):

=

**) *) ( ( 1* *) ( 0k kc cn k fc k fkc &&(19) essendo in steady staten f + = abbiamo:

=

**1* *) ( 0k kc c c k fkc&& Dalla matrice degli autovaloriudel sistema:

u u1* *) ( c k f possiamo determinare lequazione caratteristica: c k k* c* gkSP 280 * *) (2= + c k f u u che consente infine di calcolare i due autovalori: 2* *) ( 422 / 1c k f = u Dataleespressionesievincefacilmentecheentrambigliautovalorisonoreali,e cheunonegativomentrelaltropositivo:infattiiltermine* *) ( 4 c k f positivo,equindilaradicesarsenzaltromaggioredi .Ciconferma lesistenza di un punto di sella. Dunqueilsistemasarinstabile(cidovutoallapresenzadellautovalore positivo),trannecheperununicosentierocheconducestabilmenteallosteady state:ilsentierodisella.Lesistenzaditalesentierocomunquesufficientea garantire stabilit in senso economico al sistema. Ricordiamo infatti che siamo in uncontestodiinformazioneeprevisioneperfetta:gliagentisarannoingradodi individuareilsentierodisellaformulandoaspettativecorrette(orazionali) sullandamento generale delle variabili endogene. In tal caso, potrebbero, con un solobalzodiscreto,portarsisulsentierodiselladaqualunqueposizionedi partenza fuori dallequilibrio. Osservandomeglioilmeglioilmodellosicomprendeanchequalevariabile dovr dare agli individui il segnale su come scegliere il livello iniziale di consumo 0cin modo da portarsi direttamente sul sentiero di sella. Infatti, al tempo iniziale 00 = t , le condizioni di equilibrio del problema (14) prescrivono: 0 ) ( )) ( (0 00= = t t c u ecH, cio: ) ( )) ( (0 0t t c u = Lavariabiledicostato rappresentainrealtilprezzo(ombra)delcapitale; quindisarilsistemadeiprezzi,inquestomodellodiconcorrenzaperfetta,ad indicare agli agenti come dovranno fissare il consumo al tempo iniziale. E, se tale sistemaraggiungerlequilibriodilungoperiodo,questainformazionesar coerenteconilposizionamentodegliindividuisulsentierodisellasindalprimo istante.CipotrebbechiedereperchilsentierodisellaSPlunicoottimale. Infatti non lunico sentiero possibile per il sistema (17)-(19). Consideriamo altri sentieri possibili dati da una situazione in cui per il valore iniziale 0kdel capitale ilconsumosiposizioniinizialmentesopraoppuresottoilsentieroSP,cio rispettivamente nel punto A o nel punto B della Fig. 9bis: 29 Figura 9bis SesipartedaA,ladinamicaimplicatadallefreccedellaFigura8 descriverebbe un sentiero che alla fine si porterebbe su un punto come Q, in cui il consumocostantemailcapitalenullo.Poichinassenzadicapitalenon possibile nessuna produzione, il sistema non appena arrivato al punto Q dovrebbe mostrare un salto discreto e istantaneo allorigine O. Un simile salto discreto non pro permesso dalla prima equazione differenziale delle (17)-(19), che prescrive una variazione continua per c. SeinvecesipartedaunpuntocomeB,semprelefreccedellaFigura8 implicano un sentiero di aggiustamento che alla fine dovrebbe portare al punto Z (incuiillocus0 = k&incontralassek),dovelostockdicapitalesicuramente positivo e costante nel tempo, ma il consumo tende ad essere nullo. Chiaramente questononpuessereunpuntoottimale,ancheseleconomiapuraggiungerlo solo asintoticamente (per t ); per dimostrarlo si pu osservare la condizione ditrasversalit0 ) ( lim = k c u ett:ricordandoleproprietdellafunzioneuessa risulterviolatasectendeazero7.Infatti,lacondizioneditrasversalitimpone che, se k costante, lutilit marginale del consumo) ( ' c udeve crescere8 meno di quanto il termine te diminuisce al divergere di t, e questultimo si riducead un

7Siricordiinoltrecheilfunzionaleobiettivo(7)crescentenellivellodelconsumo,quindiun valore del consumo che si assesta a 0 non potr essere ottimo. 8 Il consumo diminuisce, quindi la sua utilit marginale cresce. SP A B 0kZQ O gk30tasso costante pari a . Lequazione (10) stabilisce invece che lutilit marginale delconsumovariaaduntassoparia( ) > + =k f nc udt c du) (/ ) ( ';essorisulta maggioredi perchaduncertopuntoilcapitalesupererillivellodigolden rule gk ,equindisar:( ) 0 > k f n .Pertantoda gk inpoiiltassodicrescitadi ) ( ' c usar superiore al tasso di (de)crescita di te , e la condizione di trasversalit non sar soddisfatta.Dunquenessunadelleduealternativeottimale,epertantolunicosentiero compatibile con le condizioni (17)-(19) e con la condizione di trasversalit risulta essere proprio il sentiero di sella SP. I modelli di Solow e di crescita ottimale a confronto Orapossibileeffettuareunprimoconfrontotraledueanalisiprincipalidella teoriatradizionaledellacrescita:lapprocciostilizzatodiSolowepidettagliati modelli di crescita ottimale. Dato che linteresse precipuo della teoria della crescita si appunta sulla ricerca delledeterminantiultimedellacrescitareale,ovverosuifattorichedeterminano principalmenteiltassodicrescitadelredditorealeY Y /&,esamineremole conclusioni dei modelli di crescita ottimale riguardo a tale veriabile. E facile osservare come i modelli di crescita ottimale diano in realt lo stesso risultatodiSolow:nellungoperiodoiltassodicrescitadelredditofissatodal tassodicrescitadellaprogressotecnicoedellapopolazione.Nellaversione semplificatadelmodellodiSolowconfrontabiledirettamenteconimodellidei paragrafi precedenti, cio con A=1 e0 = , il tasso di crescita del reddito era dato da: nYY=& uguale a quello del capitale:nKK=& Nei modelli di crescita ottima avremo che una volta raggiunto il sentiero di sella, i valoridelconsumoedelcapitaleprocapitesiassesterannosuilorovaloridi steady state, e quindi saranno costanti. Inequilibrioildebitodiciascunafamigliadovresserenullo,equindila ricchezzarealecoincidereconcapitalefisico.Pertanto,derivandoneltempoil rapporto capitale lavoro: 0 = = kLLLKLK&& & in steady state e dunque:nKK=& anche in questo caso. Riguardo al reddito, possiamo notare come in ogni istante di tempo debba essere: Y=C+Ie quindi:K C Y&+ = 31Interminiprocapitesar:nk k cLYLKLCLY+ + = + =&&; .Inoltre,avremochela derivata del reddito procapite LY sar pari a: ) () / (k nfLYnLYLYdtL Y d = =& & Derivandoleguaglianzaredditoconsumipiinvestimentiprocapiteneltempo otteniamo: k n k cdtL Y d& & && + + =) / ( in steady state tutte le derivate a secondo membro sono nulle, quindi: ) ( 0) / (k nfLYdtL Y d = =&da cui: ) (1) (1k Lfk nfY LY=& ovvero:nYY=&,ancheinquestocasocomenelmodellodiSolow.Inoltre,la principalevariabileindicatricedelprogresso(almenoquantitativo)cheunpaese pufarenellosviluppodellecondizionidivitadatodalladinamicaneltempo del prodotto procapite, cio diL Y y / = . Il tasso di crescita diy dato da: n Y Y y y = / / & & Seassumiamounprogressotecnicoatessocostanteg,alloradaquantovisto sopra, sia nel modello di Solow che in quello di Cass-Koopmans, abbiamo che: g n n g y y = + = / & Unimportante conclusione teorica della teoria neoclassica della crescita che gli standard di vita di uneconomia nel lungo periodo (raggiunto lo steady state) sono determinati unicamente dallevoluzione, del tutto esogena, del progresso tecnico. Comemostratosopra,imodellidicrescitaottimaledannoesattamentegli stessirisultatidiSolowrelativamenteallacrescitadilungoperiodo(disteady state). Quale pu essere allora il loro pregio aggiuntivo rispetto alla formulazione pisempliceemaneggevolediSolow?Essovaricercatonegliapprofondimenti che tali modelli consentono di ottenere relativamente allanalisi delle propriet di ottimalit della crescita. Inprimoluogo,anchemostrarecheglistessirisultatidiunoschemapi semplice possono essere ottenuti tenendo esplicitamente conto del comportamento ottimizantedegliindividuidiperseunrisultato.Insecondoluogo,occorre notarecheilmodellodiSolownonsolonontieneesplicitamentecontodelle 32decisionidiconsumodegliindividui,maconduceancheadunrisultatopercerti versi non ottimale. Il livello di consumo che deriva dallo steady state del modello solovianoinfattipucoincidereconquelloprescrittodallaregolaaurea dellaccumulazionesolopercaso.Laregolaaureaprescrivecheillivellodi capitaleprocapitechemassimizzailconsumodeveesseredeterminato,inogni istanteditempo,eguagliandolaproduttivitmarginaledelcapitalealtassodi crescita della popolazione. Infatti,nelmodellodiSolow(sempreconA=1e0 = ),insteadystate,il consumo poteva essere definito come: nk k f t c = ) ( ) ( Illivellodikchemassimizzailconsumo(conkcostanteneltempo)sar determinato in base alla condizione dc/dk=0, cio: n k fg = ) ( (20) questa appunto la regola aurea. NelloschemadiSolow,ilcapitalediequilibriodinamicoeradeterminatoin base alla condizione: * *) ( nk k sf = dunque il livello di steady state sar una funzione della propensione al risparmio s:) ( * s k k = .Inoltrelaformadellafunzione* *) ( nk k sf = ciconsentedinotare che k* sar una funzione crescente di s, come si pu notare dalla Figura 10: Figura 10 Dovesmaggioredis.Ciimplicachelapropensionealrisparmiodegli individuideterminerillivellok*cheleconomiaeffettivamenteraggiunger,e nksf(k) sf(k) k* k* k 33tale livello potr essere uguale solo per caso al livello prescritto dalla regola aurea gk .Nelcasoiduedovesserodifferire,sipotrebbeconcluderecheleconomia soffre di inefficienza dinamica. Neimodellidicrescitaottimale,illivellodisteadystatesardatodalla condizionediequilibrio( 0 = c& )dellaprimadelleequazionidelsistema(10); dunque esso sar pari a:n k f + = *) ( . Ma tale valore, come mostrano le Figure 8e9,sarnecessariamenteminorediquellochemassimizzailconsumoinogni istanteditempo,datodalla(20).Infatti,affinchlintegraledeiproblemi(8)e (14)convergaoccorrechesia1 0 < < ;laproduttivitmarginaledelcapitale ) (k f perstrettamentedecrescente,quindiilvalorek*ottenutoinbase allequilibriodinamicon k f + = *) ( sarnecessariamenteminorediquello ottenutoinbasealla(20):n k fg = ) ( .Dunqueancheimodelliottimali prescrivono una dinamica inefficiente, almeno rispetto alla regola aurea. Imodellidicrescitaottimaleconsentonoperdiindagaresullecauseditale inefficienzapiafondodiquantononconsentailmodellodiSolow.Talecausa varicercatanellapresenzadiunsaggiodiscontointertemporale positivo(e maggioredin).Unsaggiodiscontopositivodescriveinsostanzalamiopia(o limpazienza) degli individui, ovvero il fatto che essi attribuiscono al consumo dei periodi futuri unutilit minore di quella del consumo presente. Tanto pi vicino a 1 , tanto maggiore sar tale miopia; al contrario, tanto pitende a 0, tanto pigliindividuisarannodispostiaconsiderareilconsumofuturosullostesso pianodiquelloattuale.Infatti,se fossemoltopiccolo,allorailvalorek*di steady state e quello della regola aurea tenderebbero a coincidere. Dunque,leventualeinefficienzadinamicadelleconomiasarebbedovuta allimpazienzadeiconsumatori;essapercomunqueundatostrutturale delleconomia: un parametro indicatore delle preferenze intertemporali. Pertanto il giudizio di inefficienza dinamica andrebbe comunque molto attenuato; non a caso lacondizionen k f + = *) ( vienespessoindicatacomeregolaaurea modificata. 4Unmodellodicrescitaneltempodiscretocongenerazionisovrapposte: Diamond (1965). Inquestasezioneanalizzeremounaltraversionedelmodellodicrescita neoclassico, che si differenzia rispetto alla teoria Ramsey-Cass-Koopmans per due ipotesi:inprimoluogoiltempotrattatocomeunavariabilediscretae, soprattutto,lagenterappresentativoconvitainfinitavienesostituitodauna successioneindefinitadiagenti,ciascunodeiqualivivesolodueperiodi:unoin cui giovane e uno in cui vecchio. In tal modo nel sistema sono presenti in ciascun istante di tempo due gruppi di agenti: i giovani della generazione corrente ei vecchi della generazione passata. Questotipodischemi,conosciuticomemodelliagenerazionesovrapposte (overlappinggenerations:OG),derivanodauncontributooriginariodi 34Samuelson (1958), e rappresentano un approccio molto utile e diffuso allo studio dimoltiproblemimacroeconomici.Inparticolare,lastrutturagenerazionale consentedianalizzareinmodoadeguatofenomenicomeilprofilodilungo terminedelconsumoedelrisparmio,ilfinanziamentodellaprevidenzasocialee la dinamica di lungo periodo del debito pubblico. Nellambito della teoria della crescita, la prima applicazione dello schema OG si deve a Diamond (1965), e lesposizione di questo modello sar loggetto della presente sezione. I modelli OG consentono di ottenere gli stessi risultati di fondo della teoria della crescita neoclassica di Solow e di Ramsey-Cass-Koopmans, ma la cosiddetta doppia infinit dei periodi di tempo e del numero di agenti, dato chelegenerazionisisuccedonosenzamaiterminaredannoluogoadalcuni risultati che si discostano in maniera significativa da quelli della teoria neoclassica con agente singolo a vita infinita. Le imprese Illatodellaproduzionemodellatocomeunaversioneintempodiscreto dellanalogaanalisiinRamsey-Cass-Koopmans. tY ,cherappresentala produzioneaggregata,prodottoconcapitaleelavoroinbaseaunafunzionedi produzione a rendimenti costanti di scala che soddisfa le condizioni di Inada: ) , ( t ttL K F Y = (21) Utilizzandoleproceduregiviste,sipuesprimerela(21)nellaforma intensiva) (k f y = ;comenellaprecedentesezione,supponiamopersemplicit assenzadiprogressotecnico.Leimpresemassimizzanoilprofittoinogniistante di tempo; cio, dato il saggio di salario reale twe il saggio di remunerazione del capitale tr , risolvono il problema: t t t t t tK LK r L w L K Ft t = ) , ( max, da cui si ottengono le condizioni di primo ordine: ttttL FLYw == / cio:t t t tk k f k f w ) ( ) ( = (22) ttttK FKYr == /cio: ) ( 't tk f r = (23) Ancheinquestocaso,le(22)-(23)rappresentanorispettivamentelefunzionidi domanda di lavoro e capitale per lintera economia. Laccumulazione del capitale, 35intempodiscretosarebbeparia: t t t tK I K K = +1;persemplicitsiipotizza completo deprezzamento del capitale nel singolo periodo9 t (cio1 = ): t tI K =+1(25) La popolazione evolve nel tempo a un tasso di crescita costante n:nNN Ntt t=+1, ovvero: 0) 1 ( N n Ntt+ = (26) con 0Npari alla popolazione iniziale. I consumatori Nella descrizione del comportamento dei consumatori cruciale la natura OG del modello: si ipotizza che in ogni istante di tempo siano presenti nelleconomia due gruppidiindividui-conumatori:igiovani,cheoffronolavoro,consumanoed effettuanorisparmio,eivecchicheconsumanoeutilizzanoilrisparmio accumulatonelperiodopassatopersemplicitsiassumecheogniagenteviva solo due periodi. Sempre come ipotesi di comodo, si assume che vecchi e giovani sianoinogniistanteditempopresentisemprenellastessaproporzione(diciamo metemet)echelapopolazionecomplessivanonvarineltempo10.Dunque nelleconomia le generazioni si succedono seguendo questo schema:

Vecchi Giovani Vecchi Giovani Vecchi Giovani .

9 In realt la struttura generazionale fornisce una buona giustificazione per questa ipotesi: infatti t anche lintervallo richiesto per il ricambio generazionale, cfr. oltre. 10 Si tratta di ipotesi semplificatrici: la qualit dei risultati che ci interessano non cambierebbe molto con ipotesi pi raffinate e realistiche. Tempo t = 0 t = 1 t = 2 . Generazione -1 012. 36 Gli agenti hanno tutti le stesse preferenze e dotazioni; un agente nato al tempo t ha una funzione di utilit data da: ( )1 2 1) (++ =t tc u c u V 1 0 < < ,, 0 ' > u 0 ' ' < u (27) tc1 il consumo che esso effettua da giovane, mentre 1 2 + tcquello che effettua da vecchioalperiodosuccessivot+1.Nelprimoperiodo,t,ilvincolodibilancio del consumatore : t t tw s c = +1(28) il risparmio tsviene impiegato dal giovane nellacquisto di nuovi beni capitali K chefruttanounrendimentodimercatoparia tr ,evengonovendutinelperiodo successivo,cosicchlinteroammontarecapitalepirendimentopuessere utilizzatoperfinanziareilconsumodavecchio.Infatti,nelsecondoperiodoil vincolo di bilancio : t t ts r c ) 1 (1 1 2 + ++ = (29) Sostituendo t t ts r c ) 1 (1 1 2 + ++ = nellafunzioneU,ilproblemadisceltadel consumatore : ( ) ( ) | |t t ts cs r u c u Vt t1 1,1 max1++ + = s.t. t t tw s c = +1 Dalla condizione di primo ordine otteniamo: 0) () 1 () (1 21 2111= + +++tttttdcc durdcc du(30) in base ai due vincoli di bilancio, tc1 e 1 2 + tcsono entrambe funzioni di ts(e di w e r): , dunque sostituendoli nella (30) otteniamo una funzione del risparmio: ) , (1 +=t t tr w s s ;(31) Usando il teorema della funzione implicita, le derivate parziali dellafunzione di risparmio (31) sono uguali a: | |21 1 21) 1 ( 1 ) ( ' ') ( ' '+ ++ += =t ttwr c uc udwdss 37| |21 11 221 1 2) 1 ( 1 ) ( ' ') ( ' ' ) 1 ( ) ( '++ + ++ + + + = =t tt t trr c uc u r c udrdss Per cui :1 0 < . Il resto del modello segue le linee dello schema microfondato di Cass Koopmans.Siassumechelefamigliecerchinodimassimizzareilflussodi utilit nel tempo, ovvero lintegrale: dt t Ncet) (101 ||.|

\| scegliendo il livello di consumo c e il tempo di studio 2l . E importante notare cheiltempolibero,cioiltemporesiduorispettoaltempodedicatoallavoroe allo studio, per Lucas un dato. Gli individui devono quindi solo scegliere come ripartire il loro tempo per attivit produttive tra studio e lavoro: una volta fissato uno, laltro automaticamente determinato. I vincoli a cui sono sottoposti i consumatori sono rappresentati dallequazione (35)edallacondizionediripartizionedelprodottocomplessivotraconsumied investimenti: ( ) | | cN h hN l K K = 121& Lafunzionediproduzionequindidatada:( ) | | h hN l K Y =121 .Sinota come loutput sia funzione del capitale umano individuale h, dato che esso agisce comeunfattorecheincrementalaproduttivitdellavoro.Lucasaggiungeper ancheunaltroeffettodovutoalcapitaleumano;unesternalitnellaproduzione rappresentatadalfattore h .h rappresentaillivellomediodicapitaleumano dellinteraeconomia;dunque,laproduzionenondipendesolodallapportodei singolialcapitaleumano,maanchedallaquantitcomplessivadiquestultimo. Tantopigrandeillivellocomplessivodicapitaletantopiefficientesarla produzione,datochelaproduttivitdeisingolisarinfluenzatadallivello generale di abilit che caratterizza il sistema. IlragionamentosviluppatodaLucasinrealtmoltosemplice;iltassodi crescitadelcapitaleumanodipendepositivamentedaunadecisionedegli individui:quantotempodedicareallaccumulazionedicapitaleumanostesso.A suavolta,iltassodicrescitadiquestultimofarvariareinmanierapositivail tasso di crescita delloutput, dato che il capitale umano un input. Quindi il tasso dicrescitadelloutputdipenderdalledecisionidegliindividuiinmeritoalla ripartizionedeltempotralavoroeformazionedelcapitaleumano,ovvero dipenderdaiparametrichegovernanoquestescelte,equindisarendogeno. ComenotaSolow(1994),ilrisultatodellacrescitaendogenainuncertosenso interamente gi contenuto nellequazione (35). Il problema di ottimo delleconomia sar dato da: dt t Ncetl c) (1max01,2 ||.|

\|(36) s.t.( ) | | cN h hN l K K = 121& 61 2l h h =& Ponendocomevariabilidicostato 1 e 2 perleduevariabilidistato, rispettivamente K e h, avremo lHamiltoniano: ( ) | | | |2 212 11) 1 (1hl cN h hN l K Nce Ht + +||.|

\|= e le condizioni di primo ordine: 1 10 = = = c e N N c ecHt t(37) | | 0 ) 1 ( ) 1 (21 12 12= + = h h h N l KlH (38) | | h h N l KKH = =1 1 1211 1) 1 (&(39) | |2 21 12 1 2) 1 ( ) 1 ( l h h N l KhH = = &(40) 0 lim 0 lim2 1= = h Kt t Ora,unavoltadeterminatelecondizionidiequilibrio,possiamoconsiderarehcomeunendogena,elapossiamoporrepariadh.Intalmodo,dallaseconda equazione otteniamo: | |212 1) 1 () 1 ( = h N l K (41) Derivandoneltempolaprimaequazioneotteniamo:| |te c c c + = &&11;ora deriviamo in t lequazione (41): {}112 1 2 11 122 11 12 11212) 1 ( ) ) 1 (( ) 1 ( ) 1 ( ) () 1 ( ) 1 () 1 ( & & && & & + + + + =h N l K N h N l K h h N l Kl h N l K K h N l K Oraeguagliamoquestaespressionealvaloredi 2&datodalla 2&=hH; dividiamo poi la risultante espressione per il termine h N l K12) 1 ( , cos da ottenere infine un espressione nei tassi di crescita: ( ) =+ +++ n h N l KhhllKK 1111 1 12122& & & 62dove n il tasso esogeno di crescita della popolazione. Ricordando che il tasso di crescitadelcapitaledatoda:( )KNc h N l KKK =+ 1 1 1211&otteniamo infine: K cN nhhll/1122+ = & & che possiamo anche esprimere in termini di 1l , il tempo di lavoro, ricordando che 12 1= + l l . Avremo: 1 1 1) 1 () ( ) 1 (lKNc lnl

+ += & Con una procedura simile possiamo facilmente ottenere unespressione perc& : ( ) | |c h N l K c =+ 1 1 12111& Il sistema di equazioni differenziali di equilibrio sar dato da: 1 1 1) 1 () ( ) 1 (lKNc lnl

+ += & ( ) | |c h N l K c =+ 1 1 12111& (42) ( ) | | cN h hN l K K = 121& ) 1 (1l h h = & Ora,invecediconcentrarcisullostudiodelladinamicadelsistema(42),per individuarnelecaratteristichedistabilitlocale,seguiremolimpostazionedi Lucaseciconcentreremosullanalisideitassidicrescitaimplicitichequesto sistema genera; ci consentir comunque di arrivare a mettere in luce i principali risultati in termini di crescita endogena. I tassi di crescita Loscopoprincipaledellanalisisuccessivasarquellodiindividuareitassidi crescitadellevariabiliendogenechederivanodallecondizionidiottimo intertemporale del problema (36), ovvero i tassi di crescita del reddito, del capitale fisico,delcapitaleumanoesoprattutto delconsumo.Mostreremocometalitassi dicrescitasianotuttiinfunzionedeltassodicrescitadelconsumoc c / & ,che rappresenter pertanto la variabile cruciale del modello. Infine, mostreremo come il tassoc c / & siaendogeno,ovverodipenda,tra lealtrecose,anchedaiparametri 63 e .Quindituttiitassidicrescitadiequilibriodlmodellodipenderannodai parametri che esprimo le preferenze dei soggetti, ovvero saranno endogeni. Come nel modello di Romer, terremo conto solo dei tassi di crescita di stato uniforme, ovvero considereremo solo quella situazione in cui i tassi di crescita di tuttelevariabilisonocostantineltempo.Affinchcisiapossibilenecessario che il tasso di crescita di 1lsia nullo; infatti, osservando la (35), notiamo come ci sianecessarioperavereuntassodisviluppodelcapitaleumanocostantenel tempo, e quindi un tasso di crescita costante per la altre due variabili. Consideriamo la seconda equazione del sistema (42): ( ) | |c h N l K c =+ 1 1 12111& La possiamo scrivere cos: ( ) | | =+ 1 1 12111h N l Kcc& da cui: ( ) + =+1 1 1211/h N l Kc c&(43) Se assumiamo che il tasso di crescita del consumo sar costante nel tempo, allora ancheiltermine( ) + 1 1 1211 h N l K sarcostanteneltempo.Ora consideriamolequazionedimotodelcapitalefisico: ( ) | | cN h hN l K K = 121&;lapossiamoscrivereinterminideltassodi crescita dello stesso: ( ) | |KNc h hN l KKK = 1211&,ovvero: KNcc cKK+= / && NellostatouniformeavremocheancheiltassoK K /&sarcostanteneltempo. Dunque,datoche + c c / &costante,ancheilterminecN/Ksarcostantenel tempo. Quindi lo possiamo derivare in t ed eguagliare il risultato a 0: 0 = +KKNNcc& &&ovvero:nccKK+ =&& Oraprendiamola(43),calcoliamoneillogaritmoederiviamoloneltempo;nello stato uniforme il termine + c c / & sar costante e quindi il membro di sinistra si annuller. Alla fine otterremo: 64 nhhllKK) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 011 + + + + =& & & Abbiamo visto come nello stato uniforme 1lraggiunge il livello di steady state, e quindi il suo tasso di crescita nullo. Pertanto avremo: nhhKK) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( + + = & & Ricordando chenccKK+ =&&, alla fine otteniamo: cchh &&) 1 () 1 ( + = (44) La (44) ci consente gi di notare alcune cose importanti. In primo luogo, il tasso dicrescitadelcapitaleumano hh&,nellostatouniforme,minoredeltassodi crescitadelcapitalefisico.Insecondoluogo,inassenzadellesternalitsul capitaleumano,cioquando0 = ,iltassodicrescitadelconsumoequellodel capitale umano coincidono. Oracalcoliamoitassidicrescitadelleduevariabilidicostatodelproblema (36). In primo luogo, dalla (39) abbiamo che: | | ) / (1 1 11111c c h N l K && + = =+ (45) Ora, calcoliamo il logaritmo della (38) e deriviamolo in t: 111122) 1 ( ) 1 ( & & & & & &+ + + + = + nhhllKKhh Usando la (45) e la (44), otteniamo unespressione per 22&: |.|

\|+ ++ +|.|

\|+ =ccnccccn& & && ) 1 () 1 () )( 1 (22 e quindi: 65ncccc+|.|

\|+ + =& && ) 1 (22(46) Dalla condizione (40) sappiamo che: | | ) 1 ( ) 1 (11 112122l h N l K = &(47) e dalla (38) sappiamo che: | | + =1 1121) 1 ( h N l Kh Sostituendo questo valore del rapporto 21 nella (47), otteniamo: = = ) 1 (1 122l l&(48) A questo punto possiamo eguagliare la (46) e la (48): ncccc+ |.|

\|+ + = & & ) 1 ( e risolvere rispetto ac c / & : | | ncc+ + + = ) 1 () 1 ( &(49) La (49) il principale risultato del modello di Lucas: essa afferma che il tasso di crescitaottimale(instatouniforme)delconsumodipendedaiparametridel modello, inclusi quelli che rappresentano le preferenze:e . I tassi di crescita delle altre variabili endogene del modello dipendono tutti da quello del consumo, infatti : cchh &&) 1 () 1 ( + =nccKK+ =&& percuianchequestidipenderannodaiparametri e ;questalacrescita endogena. 66Ladifferenzaqualitativarispettoaitradizionalimodellineoclassicirisalta soprattuttoseconsideriamoiltassodicrescitadelloutput;NelmodellodiLucas abbiamo: K Nc Y&+ = Considerando i logaritmi e derivando nel tempo, otteniamo: KKnccYY&& &&&+ + = dove:nccKK+ =&&& & Quindi: | |

+ + + + = n nYY ) 1 () 1 (2& il tasso di crescita del reddito dipende anche dai parametri delle preferenze degli individui: endogeno secondo terminologia discussa nella sezione precedente. EimportantenotarecomelendogenitdellacrescitanelmodellodiLucas nonsiadovutaprecipuamentenallaconsiderazionedelleffettodiesternalit legatoalcapitaleumano,nallarimozionedellipotesidirendimenticostanti6, quantoalfattocheilcapitaleumanounulteriorefattoreaccumulabileeilsuo livello deve essere deciso dagli individui tramite la scelta di 1l . Infatti, se poniamo 0 = (ovveroassenzadiesternalit),alloralafunzionediproduzionediventa omogeneadigrado1nelfattorecomplessivolavoropercapitaleumano,mail tasso di crescita del consumo diventa: | | ncc+ = 1 & che ancora endogeno. E infine interessante notare come il risultato di endogenit di questo modello dipendafortementedallipotesicheiltempoliberodeiconsumatoriundatoe non una variabile di scelta. Moscarini e De Santis (cfr. Solow 1994) hanno infatti messoinlucecomeconsiderandoanchelasceltadeltempolibero,oltreaquella deltempodilavoroedistudio,ilmodellodiLucasgeneradeitassidicrescita esogeni esattamente uguali a quelli del modello standard neoclassico.

6 La funzione di produzione usata in questo modello ha rendimenti di scala crescenti per1 . 67 8. Studi empirici sulla crescita Lanalisi empirica della crescita economica un campo di studi che ha conosciuto notevolisviluppidagliannicinquantainpoi.Lefinalitdiquestaanalisisono molteplici; chiaramente tra le principali vi il desiderio di capire le determinanti causalidelfenomenodellacrescita,erecentementeanchequelladifornire qualchemetodopervalidareocriticareleprincipaliteoriecontemporaneedella crescita. Lo sviluppo delle analisi empiriche ha risentito fortemente sia del background teorico che della disponibilit e della qualit dei dati, ed entrambi questi elementi hannosubtonegliultimi50annisignificativicambiamenti.Ingeneralesipu specificarequalisonorequisiticheunindagineempiricadelfenomenodella crescita deve avere, in primo luogo riguardo alla natura dei dati numerici che essa impiega.ComesottolineaMalinvaud(1998),essendolacrescitailprincipale fenomeno di lungo periodo studiato dalla macroeconomia, occorre che i dati siano rappresentativi di caratteri strutturali delle economie in questione: che riflettano ciounasintesidellorocomportamentoprofondoedotatodielevata persistenzaneltempo;comunquenonalteratodafenomenilegatiafattoriche operano nel breve periodo, come il ciclo economico. Possono essere utilizzati a tal fine due tipi di dati: se si considera una sola economia, serie storiche relative alle variabiliaggregateparticolarmentelunghe,oppure,sesistudianopisistemi economici,seriestorichedellestessevariabilimenolunghemarelativeadun elevato numero di paesi o aree. Nel primo caso, la pi significativa raccolta di dati aggregatidilungoperiodoquellarealizzatadaAngusMaddison(1982;1991; 1995),incuisonopresentiseriestoricheperiprincipalipaesiindustrializzati, spesso per la durata di circa un secolo. Naturalmente i problemi relativi alla stima di questi dati per i periodi iniziali sono davvero formidabili, e in tal caso il ricorso adipotesiperdeterminareunvalorepreciso(peres.perilPILperunperiodo moltoaddietroneltempo)necessario.Nelsecondocaso,finoaglianni60non eraineffettidisponibileundatabaseaccettabile;daquelperiodoinpoiper statopossibilerealizzareunaraccoltasufficientementeestesa(ilPennWorld Table, PWT, di cui si dir pi avanti) che ha consentito molti studi econometrici. Anchequicisonocomunqueproblemidiaffidabilitdeidatidovuti principalmenteallaccuratezzadellerilevazionidicontabilitnazionaledialcuni paesi.Purcontuttiicaveatcheoccorresegnalare,idatinumericipossonoessere impiegatiinmodidifferentinellostudiodellecaratteristicheempirichedel fenomenodellacrescitadilungoperiodo.Unelencazionesinteticanepu enumerare sostanzialmente tre (Malinvaud 1998): 1)lindagine storica 2)la contabilit della crescita 3)le regressioni econometriche su dati cross-country 68Lindagine storica Lindaginedirettadellecaratteristichestoricheinsensogeneraleunareadi studiosenzadubbioimportanteperunfenomenoconlecaratteristichedella crescita. I fenomeni di lungo periodo si prestano naturalmente ad essere indagati, nei loro tratti empirici, secondo una prospettiva storica. Questa consente un grado diapprofondimentoediconoscenzadegliaspettispecificidelprocessodi evoluzionedelleeconomiecheunanalisistatisticabasatasudatisinteticiein generefortementeaggregatinonpotrebbecertamentedare.Cisirivela particolarmenteutilesesiconsiderachenellungoperiodoleinfluenzedi particolaricaratteridelcontestoeconomicodifondopossonoragionevolmente avereunpesoimportantenelplasmareilpercorsoeirisultatidisistema economico.Inoltrelaspecificiteilgradodiapprofondimentodelleanalisi storicheconsentonodicautelarsiefficacementecontrodellegeneralizzazioni indebite od affrettate che potrebbero essere suggerite dalla semplice analisi diretta deidatinumerici;questepotrebberoinfattirivelarsiingannevolieoscurare fenomeniimportanti,datalanaturaaggregatadelleosservazioni.Lanalisi statistico-econometrica nasconde poi non pochi problemi e limitazioni di carattere siaconcettualecheoperativo,acuisiaccennerpiavanti.Cinondimeno, lanalisistoricapresentaanchessadifettituttisuoi.Lelevatacapacitdi risoluzione consentita da questo approccio ha infatti come conseguenza il classico problemadellaforestaedeglialberi.Spessounindagineapprofonditadelle caratteristichestorichedellosviluppodiundeterminatopaeseoareaeconomica non consente agevolmente di enucleare ed evidenziare tratti di fondo comuni, nel tempoorispettoadaltrerealtgeografiche,delfenomenostesso.Sedaunlato lanalisistoricaconsenteunacriticaminuziosadellegeneralizzazioniaffrettate, persuanaturaessasirivelapocoadattaallegeneralizzazionetoutcourt.E difficileformulareoavanzareinbaseallostudiostoricoipotesiesplicativedi naturaprettamenteteorica:essorisultanonparticolarmenteadattoalla elaborazionedigeneralizzazioni.Pertanto,ancheilprocessodivalidazioneo falsificazione di specifiche teorie risulta non sempre agevole o chiaro se ci si deve basare solo o principalmente su questo approccio. La contabilit della crescita La contabilit della crescita costituisce in effetti uno dei primi tentativi di indagare in modo sistematico il fenomeno della crescita economica con lausilio sia dei dati che della teoria economica. I primi studi approfonditi in questo campo sono quelli bennotidiDenison(1962)(leprimeapplicazionisidevonoineffettiad Abramovitz1950;eSolow1957)e,sebbenenelcorsodeltempoquesta metodologia abbia mostrato i suoi limiti e sia stata ultimamente in qualche modo spiazzatadalmetododelleregressionieconometriche,costituiscecomunqueun importante metodo di indagine ancora in grado di essere utile7. In pratica, la contabilit della crescita consiste nel tentativo di decomporre iltassodicrescitadelloutputneitassicrescitadiquellevariabiliaggregateche sonoritenuteledeterminatipivicinedelloutputstesso.Successivamente possibileprocederecercandodiricondurreledeterminatipivicineaquellepi remote,maquestopuessereunproblemaassaicomplicato.Pereffettuarela

7 Una discussione sul tema in Griliches (1994). 69decomposizione,siutilizzaunoschemateoricobenpreciso:quellodellateoria neoclassica (usualmente esogena) della crescita. I due punti partenza fondamentali sonoladozionediunafunzionediproduzioneaggregataarendimentidiscala costanti) , , ( t L K F Y = , sostanzialmente analoga a quella del modello di Solow, e lipotesi che i fattori produttivi (K e L) ricevano una remunerazione pari alla loro produttivitmarginale(concorrenzaperfetta).Nellafunzionediproduzione,t rappresentailfattochelafunzionestessapossavariareneltempo,cioleffetto delprogressotecnico.Ingeneralesiadottaunaversioneconprogressotecnico (Hicks) neutrale, cio: )) ( ), ( ( ) ( ) ( t L t K F t A t Y = (50) dove A(t) chiamata total factor productivity (TFP). Derivando nel tempo la (50) si ottiene: LYAFKYAFAAYYL K& && &|.|

\|+ |.|

\|+ = Questa espressione pu essere opportunamente convertita in: LLLYAFKKKYAFAAYYL K& & & &|.|

\|+ |.|

\|+ = e, in equilibrio generale, si ha che le produttivit marginali KAFe LAFsono pari aiprezzideifattori,cioar ew.Pertanto,itermini) / ( Y K AFKe) / ( Y L AFL rappresentanolequotedistributivedeidueinputsulprodottototale,che,datii rendimenticostanti,possonoessereindicaticon) (t e) ( 1 t .Dunquesi ottiene: ( )LLtKKtAAYY& & & &) ( 1 ) ( + + = (51) La(51)rappresentaladecomposizionedeltassodicrescitadelloutputcercata: essopariallasommadeitassicrescitadeifattoridiproduzione(inanalisipi raffinate possono essere anche pi di due) ponderata per la quota distributiva degli stessi,piilcontributodelprogressotecnologicoallaproduttivit:A A/&,che vienegeneralmentechiamatoresiduo(oancheresiduodiSolow).Iltassodi crescita delloutput e i due termini relativi al contributo alla crescita da parte dei fattori sono empiricamente calcolabili, mentre ci non in generale possibile per il residuo. Essendo: ( )LLtKKtYYAA& & & &) ( 1 ) ( = 70la(51)forniscequindiunmetodoperstimare(dateleipotesi)ilcontributoalla crescitaoffertodalprogressotecnico,odaqueglialtrifattoridiproduzioneche non agevole o possibile determinare in modo quantitativo. Datalasuaformulazionenelcontinuola(51)utilepidaunpuntodi vistateoricochepratico;nelleconcreteapplicazionidicontabilitdellacrescita vieneusualmenteimpiegataunaversioneneldiscreto(cfr.BarroeSalaiMartin 1999, pag. 347): ( )||.|

\| ||.|

\|||.|

\|=||.|

\|+ + + +ttttttttLLtKKtYYAA1 1 1 1ln ) ( 1 ln ) ( ln ln Siconsideradunqueladifferenzalogaritmicacomeapprossimazioneperiltasso dicrescitaistantaneo,elequotedistributivesonoconsideratecomemedietrai due periodi di riferimento:| | 2 / ) 1 ( ) ( + + = t t . Irisultatidelleprincipalianalisidicontabilitdellacrescitamettonoin lucealcunifenomeniinteressanti(cfr.BarroeSalaiMartin,1999).Neipaesi industrializzati, per il periodo postbellico fino al 1973 la crescita della TFP stata assai alta: per molti paesi stata vicina alla met del tasso di crescita delloutput. Lecosecambiaronodopoil1973,incuisiverificailcosiddettoproductivity slowdown: il tasso di crescita della TFP cade in modo sensibile dal 1960 al 1990 Nonostantesidebbaconsiderareilcomplessivorallentamentodellacrescitadel prodottoinquelperiodo,permoltipaesiiltassodicrescitadellaTFPsiassesta intorno all1,5%. Un altro dato interessante riguarda le cosiddette tigri asiatiche (Corea,Singapore,ecc.)8:lalorocrescitanelventennio70-90statadavvero tumultuosa,malacrescitadellaloroTFPstatainveceassaibassa;lamaggior partedelcontributoallespansionediquelleeconomieemergentisembra provenire dallaccumulazione del capitale e dallimpiego del lavoro. Ineffettisonomoltelelimitazionichetaleapproccio,specieselosi consideracomeunostrumentoapplicativodiunadeterminataimpostazione teorica.Inprimoluogotuttaquestaanalisiempiricadipendesensibilmentedalle ipotesifattesullanaturadellatecnologiaesuimercati.Nelcasoincuinon valesseroirendimentidiscalacostantiolaconcorrenzaperfetta,lacontabilit dellacrescitanonsarebbearigoreapplicabile.Adesempio,lipotesidi concorrenza,implicachelequotedistributivesianofissateinmodotalechela remunerazioneprivata(dimercato)deifattorisiaugualeallaloroproduttivit sociale.Cinonpiveroincasodiesternalit,chepossonogiocareunruolo cruciale nella crescita come evidenziato da alcuni modelli di crescita endogena. Maunaltracriticaforseancorapipesante.Ladecomposizionedeltassodi crescitanellesuedeterminantiassumeimplicitamentechequestesiano indipendentilunadallaltraeciappareparticolarmenteirrealistico.Soprattutto sesiconsideraunanalisisufficientementedettagliatadellacontabilitdella crescitaincuiperesempiovengonoseparatiicontributidatidalleducazione(il capitaleumano).Sipotrebbeargomentarechelincrementonellaqualitdella forzalavoroaumenta,accrescendonelaproduttivit,ancheisalarireali.Questi poipotrebberoportareamaggioritassidirisparmiocheindurrebberoamaggior accumulazione di capitale fisico. Dunque potrebbe essere difficile sostenere che la

8 Cfr Young (1992). 71crescitadelcapitalefisicoedelleducazionesianoindipendenti,eintalcaso leserciziodicontabilitdellacrescitasottostimerebbeilcontributodato dalleducazioneafavorediquellodatodalcapitalefisico.Adognimodoquesto tipodianalisisiancheconcentratosuproblemiimportantiestrettamente connessiaipirecentisviluppidellateoria,comelindaginesullimpattodei differentilivelliqualitatividilavoro(equindiallaquestioneimportantee connessadellaquantificazionedeirendimentidelleducazione)edallespesein R&S dei paesi per cui questi dati sono disponibili. Gli studi econometrici cross-country Lelimitazioniimpostedalleanalisiempirichebasatesullagrowthaccounting hannoinpraticadeterminatounadiminuzionediinteresseneiconfrontidel problemadellacrescitadapartedellamaggioranzadeglieconomistipertuttoil ventenniochevadallametdeglianni60allametdeglianni80.Ineffetti,a determinare questo calo di interesse non stata solo linadeguatezza della growth accounting come strumento di validazione o critica della (allora) prevalente teoria della crescita, ma, come notato in precedenza, anche le stesse limitazioni teoriche dellimpostazione neoclassica di tipo esogeno hanno aggravato la situazione. Nel corso di quel ventennio per stato svolto un grande lavoro di raccolta didati,chehapremesso,proprionellasecondametdeglianni80,dimutare sostanzialmentelasituazioneperquelcheriguardaladisponibilitdidatasets utili allanalisi applicata. Inoltre, proprio allinizio di questo periodo, compaiono i primilavoridellanuovateoriadellacrescita.Questafortunatacoincidenzaha giocatocertamenteunruolonontrascurabilenelriaccendersidellinteressedegli economistiperiproblemimacrodilungoperiodo,chehacaratterizzatocos marcatamente gli ultimi quindici anni. Ottenereundatasetdigrandezzemacroeconomicheperunnumero sufficientementegrandedipaesiuncompitodavverocomplessoecaricodi questionisiametodologichesiapratichedinonfacilesoluzione.Infattioccorre che i dati per la varie economie siano comparabili tra loro, affinch possano essere usati per analisi statistiche significative. In prima battuta si potrebbe essere tentati diapplicareallevariegrandezzemacroeconomicheitassidicambiocorrentiper ottenerelestessegrandezzeinun'unicavalutarappresentativa(diciamodollari). Cipernonchiaramentevalidoingeneraleaifinidellacomparabilit:non difficilenotarecomelostessoammontaredidollariacquistipanieridibeni differentiindiversipaesi,ovverocomeitassidicambioeffettivisidiscostino usualmente dalla parit dei poteri dacquisto (purchasing power parity: PPP). Per ottenetedeitassiconversioneadeguatioccorrecalcolarequindideiveriepropri indicidiPPPperivaripaesi,usandounavalutaspecialecostruitainmodoche unasuaunitacquistilostessopanieredibeniintuttiipaesi.IlProgettoICP (International Comparison Project) delle Nazioni Unite, varato negli anni 60, era dedicato proprio a questo fine, e grazie alla partecipazione di oltre 90 paesi stato possibile costruire questi indici di PPP. I dati cos ottenuti sono stati poi incrociati conquellidicontabilitnazionaledellevarieeconomiedaSummerseHeston (1984;1988;1991;1993),ottenendocosundatabase,ilPWT,contenenteserie storicheconfrontabilirelativearedditoreale,consumoeinvestimentoprivato, 72spesapubblicaepopolazioneperuncentinaiodipaesieperunperiodocheva dal 1959 al 1988. La PWT stata usata estesamente in questi ultimi anni per scopi e progetti di ricerca applicata assai differenti. Tra questi vanno sicuramente menzionati due in particolare: il confronto con i dati della teoria neoclassica esogena della crescita e la questione della convergenza. Crescita esogena ed evidenza empirica Ilpinoto,ediscusso,studiochesioccupatodiconfrontareleimplicazioni dellateoriaSolovianadellacrescitaconidaticross-countryPWTsicuramente quello di Mankiw, Romer e Weil (1992) (MRW). Nel loro lavoro, utilizzando un proceduraOLSstandard,MRWhannocercatoinprimoluogodistabilirela coerenzaconidatidelmodellodiSolowdiscussonellasezione2.Unadelle implicazionidiquelmodelloerailvaloredisteadystatedelrapportocapitale-lavoroeffettivo.UtilizzandounfunzionediproduzioneCobb-Douglas,esso risulta pari a| |) 1 /( 1) /( *+ + = g n s k . Sostituendolo nella funzione di produzione espressa in termini procapite (Y/L), si ha:| |) 1 /() /( ) ( * / + + = = g n s t A Ak L Y , e usando i logaritmi: ) ln(1ln1ln) () (ln0+ ++ + =

g n s gt At Lt Y(52) MRW cercano in primo luogo di confrontare le predizioni di questo modello con i dati PWT riguardo gli standard di vita, espressi appunto dal valore di steady state delredditoprocapitedatodalla(52).Laspecificazionedelmodelloempirico assumecheitassicrescitaesogenisianoglistessiperognipaese,echequesti ultimi differiscano solo per uno shock aleatorio nelle condizioni di partenza della tecnologia(cheriflettonoguerre,eventinaturali,ecc.),ciosiassumechesia: + = a A0ln ,dove lerrorenormale.Ciimplicacheitassidirisparmioe quellidicrescitadellapopolazionesianoindipendentida .Quindivienein effetti stimato il modello: + + ++ =

) ln(1ln1 ) () (ln g n s at Lt Y(53) su vari campioni (tre: uno comprendente tutti i paesi tranne quelli petroliferi, uno con solo i paesi con dati affidabili e un altro solo per lOCSE)17. I risultati portano adunbuonfit:ilvalore 2R correttointornoal60%,mentreilcoefficientedi s ln pari a circa 1,43. Il modello di Solow sembra quindi adattarsi bene ai dati, ma in realt possibile una procedura di verifica pi completa. Infatti, il modello

17Ilvaloredi desuntoinbaseastudisulleconomiaUSAed posto paria0,03;quello per g invecedesunto,coerentementecolmodellodiSolow,daltassodicrescitamediodelreddito procapite del campione: 0,02. Inoltre vengono stimati due modelli: uno in cui i coefficienti per s e per + + g nsono diversi e uno con lo stesso coefficiente. 73diSolowfaanchedelleprevisionisullaquotadistributivadeifattori.Inquesta versioneadueinput, corrispondeallaquotadistributivadelcapitalesul prodotto. Un valore di 1,43 per il termine) 1 /( implicherebbe un valore dipari a circa 0,59. La maggior parte delle analisi empiriche sulla quota distributiva portanoperadunrisultatodiverso:ingeneretalequotaintornoad1/3del prodottototale.PertantoquestorisultatovieneconsideratodaMRWcomeuna evidenza contro il modello di Solow standard esemplificato dalla (53).Gliautorihannoalloracercatodiverificareunaltromodelloesogeno,in cuivisonotrefattori:capitalefisico,lavoroecapitaleumano.Nonostantela presenza del capitale umano, il modello comunque esogeno, dato che il capitale umanoH(t)vienetrattatocomeunnormaleinputaproduttivitmarginale decrescente. Infatti il modello studiato dato dalla funzione di produzione: =1)) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( t L t A t H t K t Y che implica delle equazioni dinamiche per laccumulazione dei due input K/AL e H/AL simili a quelle di Solow, dato che il capitale umano si accumula nel tempo conprocessoanalogoaquellodelcapitalefisicoeconunostessotassodi ammortamento. Le equazioni dinamiche sono h g n y s hk g n y s khk) () (+ + =+ + =&&(54) dove1 < + e kse hssono i tassi di risparmio delle due forme di capitale; si tratta in sostanza di un modello di Solow esteso, dotato di tutte le caratteristiche qualitative delloriginale. E immediato calcolare dalle (54) i valori di steady state di k e h: ||.|

\|+ +=111*g ns skh k; ||.|

\|+ +=111*g ns shh k Questi valori possono essere sostituiti nella funzione di produzione per ottenere lo standarddivitadilungoperiodo,eusandolastessaspecificazionedelmodello (53) si ottiene: + + + + + + =

) ln(1ln1ln1 ) () (ln g n s s at Lt Yh k(55) chevieneeffettivamentestimata18.Inquestocasoirisultatisononettamente miglioridiquellidelmodello(53):siottieneun 2R correttoaddiritturapari all80%circa,eilvaloredi implicatodaicoefficientidellaregressione

18ComeproxyperilsaggiodirisparmiodelcapitaleumanoMRWusanolapercentualedella popolazione in et di lavoro che frequenta la scuola