Dipartimento di Fisica Gruppo di Ricerca in Didattica e Storia della Fisica

Università degli Studi della Calabria

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Dispense del materiale multimediale realizzato per la sperimentazione nelle scuole

Progetto Lauree Scientifiche anno 2005/2006

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Introduzione

Le dispense prodotte per questo progetto riguardano determinati argomenti della Fisica, appartenenti sia alla Cinematica che alla Dinamica, selezionati tenendo conto dei problemi che spesso gli studenti incontrano durante il loro corso di studi e realizzati come applicazioni in linguaggio Java (applets Java). Il vantaggio dell’utilizzo di tali applicazioni consiste nel fatto che esse costituiscono un utile supporto alla didattica delle materie scientifiche, in quanto indipendenti dal sistema operativo utilizzato e perché consentono un alto grado di interattività. Inoltre non va dimenticato che l’aspetto ludico, insito nelle applets, rende più accattivante il loro utilizzo e contemporaneamente stimola l’interesse dello studente.

Gli argomenti presentati sono relativi alla trattazione del:1. Moto del proiettile in assenza e presenza della resistenza dell’aria.2. Moto di un corpo in presenza di forza d’attrito sia su un piano orizzontale che su un piano

inclinato.

1. Moto del proiettile

Dal punto di vista didattico, questa applet java permette di mettere in evidenza la natura vettoriale delle grandezze cinematiche coinvolte sottolineando l’importanza del sistema di riferimento e consente di chiarire la differenza tra il concetto di traiettoria e legge oraria, spesso fonte di confusione per gli studenti. Inoltre, vengono presi in considerazione i seguenti due casi:

a) Il moto del proiettile trascurando la resistenza dell’aria.b) Il moto del proiettile in presenza della resistenza dell’aria.

Il percorso didattico, relativo al punto (a), permette di focalizzare l’attenzione sulle componenti della velocità, e , e di osservarne l’andamento in funzione del tempo istante. Allo stesso modo può essere osservato che l’accelerazione lungo y è costante nel tempo ( ). L’applet consente di porre in evidenza le caratteristiche peculiari del moto, e come la massima altezza, il tempo di

volo e la gittata del proiettile si modificano al variare della velocità, dell’angolo di tiro e della posizione al tempo t = 0 .

Il percorso didattico, relativo al punto (b) consente di affrontare in classe un problema che solitamente non viene trattato nei libri di testo scolastico, cioè il moto del proiettile in presenza di resistenza dell’aria. In questo caso si può far comprendere che la resistenza dell’aria può essere considerata come una forza dipendente linearmente dal modulo della velocità del proiettile e avente verso opposto al moto dello stesso, dando luogo ad una nuova accelerazione avente componenti sia lungo l’asse x che lungo l’asse y . Si potrà mostrare che le suddette accelerazioni sono esprimibili come:

dove k è il coefficiente d’attrito viscoso.

Poiché e , sostituendo avremo:

risolvendo queste equazioni differenziali e tenendo conto delle condizioni iniziali ( e ), si arriverà alle equazioni che descrivono l’andamento temporale delle velocità:

Ma e sono esprimibili, rispettivamente, come: e per cui andando di

nuovo a sostituire ed integrando si ottiene:

Va sottolineato che il procedimento seguito per ricavare le equazioni del moto non rientra nelle competenze che devono acquisire gli studenti, i quali non avrebbero gli strumenti matematici necessari, durante questo percorso didattico. L’ applet fornisce la possibilità di visualizzare queste equazioni e confrontarle con quelle relative al caso ideale (assenza di resistenza dell’aria), al solo scopo di far comprendere come le cose si complichino nel caso reale. Unitamente a ciò viene fornita la possibilità di comparare l’andamento temporale delle componenti della velocità e dell’accelerazione con quelle relative al moto ideale, oltre al confronto delle due traiettorie. Tale confronto è visibile anche in termini di valori numerici. Nel paragrafo seguente, tutto ciò sarà discusso più dettagliatamente.

1.1 Caratteristiche dell’ applet sul moto del proiettile

L'ingresso dei dati è realizzato tramite un pannello di controllo posto alla destra dell'applet, che consente l'input dei dati ed il controllo dell'animazione. Gli elementi in esso contenuti sono mostrati nella Fig.1, dove si può notare la presenza di 3 cursori ( slider ) , relativi alle condizioni iniziali che permettono la selezione della velocità iniziale, dell'angolo di tiro e dell'altezza da cui viene sparato

il proiettile, mentre gli altri 2 cursori permettono di variare la posizione del bersaglio e l'intervallo di tempo elementare connesso al numero di punti necessario per disegnare la traiettoria. Sono pure contenuti:

a) 4 pulsanti (button), di seguito elencati, ognuno dei quali, se attivato, permette l'apertura di una finestra. 1. “grafici vx(t) e vy(t) ” (Fig.2) , in cui si osserva l'andamento in funzione del tempo delle componenti del vettore velocità, vx e vy. 2. “grafici ax(t) e ay(t) ” (Fig.3), dove si visualizza l'andamento temporale delle componenti del vettore accelerazione, ax e ay . 3. “valori numerici” (Fig.4), dove vengono mostrati i valori numerici relativi alla gittata ed alla massima altezza raggiunta dal proiettile. 4. “equazioni del moto” (Fig.5), in cui è permessa la visualizzazione delle equazioni del moto sia in assenza che in presenza di resistenza dell'aria.

b) 2 pulsanti di scelta (checkbox). Attivando “resistenza dell'aria” (Fig.6) si può osservare la traiettoria dello stesso in presenza di attrito viscoso, confrontandola con la corrispondente traiettoria in assenza di d'attrito, mentre selezionando “rallenta”, è possibile rallentare il moto del proiettile.Infine sono presenti altri 3 pulsanti (button). 1. “ avvia ”, tramite il quale lo studente può far partire la simulazione (Fig.7) ed osservare, rispetto al sistema di riferimento, il vettore velocità ed il vettore accelerazione con le rispettive componenti. 2. “ blocca ”, che permette l'arresto dell'immagine per alcuni secondi, in modo da rendere possibile l'intervento didattico del docente. 3. “ pulisci ”, che consente la pulizia dello schermo (Fig.8).

 

 

Fig.1

A destra dell'applet è mostrato il pannello di controllo contenente 5 slider tramite le quali vengono forniti gli input, 2 checkbox e 7 button che permettono di effettuare scelte e controllare l'animazione.

(a) (b)

Fig.2

In questa figura sono mostrati gli andamenti nel tempo delle componenti della velocità in assenza (a) ed in presenza di resistenza dell'aria (b).

(a) (b)

Fig.3

La figura (a) mostra l'accelerazione a cui è sottoposto il proiettile in assenza di attrito viscoso, che è la sola accelerazione di gravità, mentre la figura (b) mostra le componenti ax e ay dell'accelerazione tenendo conto

anche della presenza della forza d'attrito viscoso.

Fig.4

Selezionare “val.numerici” permette di osservare i valori delle componenti della velocità iniziale, della gittata e della massima altezza raggiunta dal proiettile in assenza e presenza di attrito viscoso.

Fig.5

Nella figura è mostrata la finestra che contiene le equazioni che regolano il moto del proiettile nei due casi considerati

Fig.6

La figura mostra come l'applet dia la possibilità di confrontare le traiettorie del proiettile in assenza e in presenza di resistenza dell'aria.

Fig.7

Come si può notare dalla figura, nell'applet viene messo in risalto il sistema di riferimento e la scomposizione dei vettori rispetto allo stesso.

Fig.8

Se non si effettua la pulizia dello schermo, è possibile osservare le traiettorie per diversi valori dei parametri del moto.

N.B.

Per un corretto funzionamento dell'applet è necessario non variare i parametri durante la simulazione e "clickare" sul pulsante "pulisci" quando si passa al caso di presenza di resistenza dell'aria e viceversa.

1.2 Suggerimenti per l’utilizzo

Gli obiettivi proposti con il supporto di questa applet, durante il percorso didattico, sono di seguito elencati:

1. Saper scomporre il vettore velocità e accelerazione nelle sue componenti rispetto al sistema di riferimento considerato, al fine di dedurre il diverso comportamento nel tempo delle componenti. (Fase 1)

2. Saper distinguere tra traiettoria e legge oraria. (Fase 2)3. Conoscere le caratteristiche e le leggi del moto parabolico. (Fase 3)4. Saper applicare le leggi del moto parabolico. (Fase 4)5. Conoscere le caratteristiche e le leggi del moto parabolico in presenza di resistenza dell’aria.

(Fase 5).

A tal fine, può essere consegnata agli studenti la seguente scheda:

Come procedere Cosa osservare

Fase 1.Avvia l’animazione e blocca la stessa in diversi istanti.

Osserva l’andamento dell’accelerazione. Il proiettile è soggetto, lungo l’asse y , alla sola forza di

gravità, per cui ay =- g.Apri la finestra “grafici ax(t) e ay(t)”

Osserva l’andamento dell’accelerazione e confrontalo con il comportamento del vettore corrispondente.

Blocca l’animazione in diversi istanti.

Osserva come variano: la velocità, tangente punto per punto alla traiettoria del

proiettile, in direzione, modulo e verso. le componenti della velocità:

- vx resta costante - vy varia in modulo e verso

Apri la finestra “grafici vx(t) e vy(t)”

Osserva l’andamento temporale delle componenti della velocità e confrontali con il comportamento dei vettori corrispondenti.

Fase 2.Confronta la traiettoria del proiettile con i grafici delle equazioni orarie del moto, delle velocità e dell’accelerazione.

Osserva che la quota y del proiettile può essere espressa in funzione della posizione orizzontale, y = y(x), ottenendo la traiettoria, oppure in funzione del tempo t , y = y(t) e x = x(t), ottenendo la legge oraria.

Fase 3.Seleziona diversi valori dell’angolo di tiro.

Osserva come varia, in funzione dell’angolo di tiro, il punto in cui il proiettile tocca il suolo. La distanza raggiunta dal proiettile rispetto al punto di lancio prende il nome di gittata ed il tempo impiegato è detto tempo di volo. Osserva anche come varia la massima altezza raggiunta dal proiettile.Osserva che nel punto di massima altezza la vy è nulla. Osseva che la gittata massima, a fissata velocità iniziale, si ha per un angolo di 45°.

Seleziona diversi valori della velocità iniziale.

Osserva la variazione della gittata e della massima altezza.

Seleziona diversi valori della quota, y, iniziale.

Osserva la variazione della gittata e della massima altezza.

Fase 4.Seleziona il pulsante “equazioni del moto”.

Osserva le equazioni che regolano il moto del proiettile e svolgi degli esercizi.

Fase 5.Seleziona il pulsante “resistenza dell’aria” e, a fissato valore dell’angolo di tiro, varia la velocità iniziale.

Osserva che la traiettoria non è più parabolica.Osserva come la gittata si discosti da quella del caso ideale. Osserva la presenza delle accelerazioni lungo l’asse x e y.Osserva come ax e ay aumentino all’aumentare della velocità.

Apri la finestra “grafici vx(t) e vy(t)” e quella “grafici ax(t) e ay(t)”

Confronta l’andamento temporale delle velocità e delle accelerazioni con quello relativo al caso ideale (assenza di resistenza dell’aria).

2. Moto di un corpo sotto l’azione della Forza d’Attrito sia su un piano orizzontale che su un piano inclinato

Spesso gli studenti incontrano difficoltà nello studio della seconda Legge di Newton, nonostante gli effetti delle forze si facciano sempre sentire. In particolare le difficoltà, riguardanti il moto nel piano, aumentano notevolmente se è presente anche l'azione della forza d'attrito, a causa della sua dipendenza dalla rugosità delle superfici poste a contatto e della forza premente una superficie sull'altra.Inoltre la comprensione della differenza tra forza d'attrito dinamico e statico (Fad ed Fas rispettivamente) è concettualmente difficile, poichè la prima si oppone costantemente al moto del corpo, mentre la seconda è presente fino a quando il corpo è in equilibrio stazionario ed è sempre opposta all'azione della forza agente, Fext, per metterlo in movimento. Come tutte le forze vincolari, il valore della forza d'attrito statico non è costante, ma dipende dal modulo della Fext , infatti essa è espressa attraverso la relazione Fas µs N (dove µs è il coefficiente d'attrito statico e N è la forza Normale dovuta al vincolo), ed il valore Fas = µs N rappresenta il suo massimo valore raggiungibile.Per esempio, nel caso di un corpo che si muove su un piano orizzontale, il valore dell'attrito statico è, istante per istante, uguale ed opposto alla componente orizzontale di Fext fino a quando quest'ultima non supera il valore limite per cui l'attrito dinamico sostituisce quello statico, e il corpo comincia a scorrere sul piano orizzontale. Lo stesso problema può essere trattato introducendo l'angolo, , compreso tra la direzione della reazione totale, Rt , (ottenuta dalla somma di N e Fas), e la normale al piano, verificando che l'aumento di deriva da quello di Fas. E' noto che l'angolo limite, l , sperimentalmente è equivalente all'angolo del piano inclinato per cui il corpo comincia a scivolare ed è legato a µs dalla relazione: µs = tg l . Lo scopo di questa applet è quello di sottolineare la differenza tra le due forze d'attrito tramite la visualizzazione e rendendo interattivi tutti i parametri che caratterizzano il moto del corpo su un piano scabro. In particolare, vengono visualizzate la Fas , N e la forza peso P , inoltre l'utente può applicare una forza aggiuntiva, Fext , con modulo ed orientazione variabili, agente fino a quando il corpo non comincia a scorrere sul piano.  2.1 Caratteristiche delle Applets

2.1.1 -Applet A – Moto sul piano orizzontale

In questa applet abbiamo reso interattivi i seguenti parametri:1. massa del corpo; 2. coefficiente di attrito statico; 3. coefficiente di attrito dinamico;

inoltre è possibile la selezione di altri due pulsanti necessari a:4. visualizzare l'angolo limite; 5. pulire lo schermo e far ripartire l'animazione.

La selezione dei parametri 2 e 3 permette di fissare il valore dei coefficienti di attrito statico e dinamico, rispettivamente, e perciò la velocità iniziale è determinata dalla relazione:

dove m è la massa del corpo, e t è il tempo necessario al corpo per passare dallo stato di quiete a quello di moto. Scegliendo il pulsante che permette di visualizzare l'angolo limite, gli insegnanti possono trattare lo stesso argomento introducendo l'angolo , compreso tra N e Rt . In questa applet abbiamo reso interattivi altri due parametri:a) l'inclinazione di Fext rispetto all'asse x;b) il modulo di Fext . Variando l'orientazione della forza esterna, si può osservare la variazione di Rt , fino a quando questa non supera il valore dell'angolo limite l , per il quale il corpo comincia a scorrere sul piano orizzontale. Il pannello di controllo (Fig.1, a sinistra dell'applet) presenta 5 cursori: •  “seleziona la massa ” : Variando la massa del corpo è possibile osservare la va riazione di Fad , il valore massimo di Fas ed il valore di N. Gli studenti possono comprendere come la variazione della massa del corpo non influenzi l'accelerazione dello stesso.•  “seleziona il coeff.d'attrito statico” : La sua variazione consente di cambiare il valore massimo dell'attrito statico.•  “seleziona il coeff.d'attrito dinamico ” : Tramite la variazione di questo cursore gli studenti possono comprendere come questo coefficiente influenzi la forza d'attrito dinamico e l'accelerazione del corpo sul piano orizzontale.•  “seleziona l'orientazione di Fext” : Questo cursore permette di variare l'orientazione della forza esterna.•  “seleziona il modulo di Fext” : La sua variazione mostra come l'attrito statico sia uguale ed opposto alla forza esterna fino a quando quest'ultima non supera il valore massimo di Fas ed il corpo scorre sul piano orizzontale sotto l'azione dell'attrito dinamico. (Fig.1– Fig.2 rispettivamente).La scelta del pulsante ”visualizza l'angolo limite ” permette agli insegnanti di trattare lo stesso argomento introducendo il concetto di angolo limite (Fig.1). Il pulsante ”pulisci e riparti ” consente di pulire lo schermo e far ripartire la simulazione. Inoltre sul lato destro dell'applet si possono sempre visualizzare i valori numerici (Fig.3) di:

1. Modulo della forza d'arìttrito statico ; 2. Modulo della forza esterna; 3. Modulo della forza d'attrito dinamico ; 4. velocità iniziale del corpo; 5. massima distanza raggiunta dal corpo.

Fig.1La figura mostra la possibilità di visualizzare l'angolo limite, inoltre a sinistra è mostrato il pannello

di controllo, con 5 cursori e 2 pulsanti, per gestire l'animazione.

 

Fig.2La figura mostra il moto del corpo sotto l'azione della forza d'attrito dinamico.

 

Fig.3La figura mostra l'area di testo che permette di leggere i valori dei parametri coinvolti nella

simulazione. N.B. Non variare i parametri durante l'animazione, e "cliccare" sul pulsante "pulisci" per far ripartire l'animazione.

 2.1.2 -Applet B – moto sul piano inclinato scabro

Questa applet è relativa al moto di un corpo su un piano inclinato scabro, in essa abbiamo reso interattivi, tramite cursori, i seguenti parametri:

1. massa del corpo; 2. coefficiente di attrito statico; 3. coefficiente di attrito dinamico;

inoltre è possibile la selezione di altri due pulsanti necessari a:3. visualizzare l'angolo limite; 4. pulire lo schermo e far ripartire l'animazione.

In aggiunta ai parametri da 1 a 3, il pannello di controllo presenta il cursore per variare l'inclinazione del piano (Fig.1, lato sinistro dell'applet).Variando l'inclinazione del piano, gli studenti possono osservare, all'equilibrio, come l'attrito statico sia uguale ed opposto alla componente x della forza peso P e come il corpo (sottol'azione di P) cominci a scivolare quando il piano raggiunge una inclinazione maggiore di l. La visualizzazione del collegamento tra inclinazione del piano e angolo limite rende più semplice la comprensione del concetto di quest'ultimo (Fig.1).Inoltre a destra dell'applet (Fig.1) è possibile leggere i valori di:

1. Forza d'attrito statico ; 2. Valore dell'angolo limite, che l'inclinazione del piano deve superare affinchè il corpo

cominci a scivolare. 3. Forza d'attrito dinamico.

Fig.1La figura mostra il legame tra angolo limite e inclinazione del piano, inoltre presenta a sinistra il

pannello di controllo con 4 cursori e 2 pulsanti, e a destra l'area di testo per visualizzare i valori dei parametri coinvolti.

 N.B. Non variare i parametri durante l'animazione, e "cliccare" sul pulsante "pulisci" per far ripartire l'animazione.  2.2 Suggerimenti per l’utilizzo

Gli obiettivi proposti con l’utilizzo dell’ applet A sono di seguito elencati:

1. Sapere distinguere tra la forza di attrito statico e la forza di attrito dinamico.(Fase 1)2. Conoscere il concetto di angolo limite.(Fase 2)3. Conoscere e saper risolvere le equazioni del moto di un corpo su un piano orizzontale

scabro.(Fase 3)

A tal fine, può essere consegnata agli studenti la seguente scheda:

Come procedere Cosa osservare

Fase 1.Seleziona il valore del coefficiente d’attrito statico ed aumenta il modulo della forza Fext

Osserva che il valore della forza d’attrito statico non è costante, ma è, istante per istante, uguale ed opposto alla Fext.Osserva che la forza d’attrito statico è presente fino a quando il corpo è in equilibrio stazionario.

Seleziona un valore di Fext maggiore del valore massimo della forza d’attrito statico

Osserva che appena il modulo di Fext supera il valore massimo della forza d’attrito statico il corpo comincia a muoversi sotto l’azione della forza d’attrito dinamico.

Seleziona diversi valori del coefficiente d’attrito statico

Osserva come varia il valore massimo della forza d’attrito statico.

Seleziona diversi valori del coefficiente d’attrito dinamico

Osserva come varia il modulo dell’accelerazione del corpo.

Seleziona diversi valori della massa

Osserva che la variazione della massa non influenza l’accelerazione del corpo.Osserva come variano i valori della forza Normale, della forza d’attrito statico e dinamico.

Seleziona diversi valori dei coefficienti d’attrito statico e dinamico

Osserva come varia la velocità iniziale del corpo.

Fase 2.Seleziona il pulsante “visualizza l’angolo limite”

Osserva l’angolo compreso tra la direzione della reazione totale (ottenuta dalla somma di N e Fas) e la normale al piano. Esso aumenta all’aumentare di della forza d’attrito statico.Osserva che, superato il valore dell’angolo limite, il corpo comincia a scivolare sul piano orizzontale scabro.

Seleziona diversi valori del coefficiente d’attrito statico

Osserva come varia il valore dell’angolo limite.

Seleziona diversi valori dell’orientazione di Fext

Osserva come varia la direzione della reazione totale.

Fase 3.Osserva l’animazione Ricava le equazioni del moto partendo dall’equazione

fondamentale della Dinamica e svolgi degli esercizi.

Per quanto riguarda l’applet B, gli obiettivi proposti sono:

1. Conoscere la relazione esistente tra angolo limite e inclinazione del piano scabro.(Fase 4)2. Conoscere e saper risolvere le equazioni del moto di un corpo su un piano inclinato scabro.

(Fase 5)

Le fasi da aggiungere alla scheda precedente sono le seguenti:

Fase 4.Seleziona diversi valori del coefficiente d’attrito statico a fissato valore dell’inclinazione del piano

Osserva come variano i valori della forza d’attrito statico ed il valore dell’angolo limite.Osserva che la forza d’attrito statico è uguale ed opposta alla componente, Px, della forza Peso.

Selezione il pulsante “visualizza l’angolo limite”

Osserva che quando l’inclinazione del piano supera il valore dell’angolo limite il corpo comincia a scivolare.

Seleziona diversi valori del coefficiente d’attrito statico

Osserva come varia il valore dell’angolo limite.

Fase 5.Osserva l’animazione Ricava le equazioni del moto partendo dall’equazione

fondamentale della Dinamica e svolgi degli esercizi.