UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Dipartimento di Fisica �Galileo Galilei�

Tesi di laurea triennale in Fisica

Modi�cazione della struttura a

shell per nuclei esotici

Laureanda: Relatore:Anna Selva Prof.ssa Silvia M. Lenzi

Anno Accademico 2011/2012

Indice

1 Introduzione 2

2 Modello a shell 3

3 Evidenze sperimentali della modi�cazione 9

3.1 Gap neutroniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Gap protoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Analisi teorica della modi�cazione 17

4.1 Gap di oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Gap di spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Conclusioni 22

Elenco delle �gure

1 Livelli di particella singola del modello a shell . . . . . . . . . 42 Potenziale nucleone-nucleone . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Potenziali di Wood-Saxon, buca quadrata e oscillatore armonico 74 E(2+) per la catena isotonica N = 8 . . . . . . . . . . . . . . 115 E(2+) e B(E2) per la catena isotonica N=20 . . . . . . . . . 116 Sn per le catene isotopiche di calcio, argon e zolfo N = 8 . . . 127 E(2+) per le catene isotopiche di calcio, zolfo e silicio . . . . . 138 E(2+) per la catena isotonica N = 40 . . . . . . . . . . . . . 149 E(2+) per la catena isotopica del calcio . . . . . . . . . . . . 1510 E(2+) per la catena isotopica del nichel . . . . . . . . . . . . 1611 E�etto del termine di monopolo nell'evoluzione della gap . . . 1912 E�etto delle variazioni di densità sul termine di spin-orbita . 21

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Sommario

L'argomento della presente tesi è lo studio delle alterazioni che com-paiono nella struttura a shell del nucleo atomico allontanandosi dallavalle di stabilità. È stata considerata in particolare la regione del-la carta dei nuclidi con A ≤ 80, analizzando le chiusure di shell aN = 8, 20, 28, 40 per i neutroni e a Z = 8, 20, 28 per i protoni. L'an-damento dei dati sperimentali di grandezze come l'energia del primostato eccitato 2+ per nuclei pari-pari, la probabilità di transizione diquadrupolo B(E2) e l'energia di separazione dei neutroni Sn mostra inmolti casi un collasso delle gap individuate lungo la valle di stabilità el'emergere di nuove chiusure di shell. Il ridursi delle gap e il guadagnodi energia di legame dovuto alle correlazioni che si sviluppano a seguitodella promozione dei nucleoni in orbitali più esterni danno luogo a staticollettivi, aloni o nuove zone di deformazione lontano dalla stabilità.

1 Introduzione

Il nucleo atomico è un sistema quantistico complesso, composto da un certonumero di fermioni fortemente interagenti, legati tra loro dalla forza nucleareforte e localizzati in una zona di spazio molto piccola, dell'ordine di qualchefermi. A di�erenza di quanto accade nel caso atomico, inoltre, non vi è unaforma analitica per il potenziale nucleone-nucleone generato dalla forza forte:esso viene dunque parametrizzato utilizzando dati sperimentali ricavati dallostudio di stati di scattering (non legati).Questo approccio, cioè quello dei cosiddetti calcoli ab initio [1], diventa peròrapidamente ingestibile al crescere del numero di nucleoni coinvolti: l'enormedimensione delle matrici da diagonalizzare, oltre a porre problemi di conver-genza, richiede una capacità di calcolo in molti casi superiore a quella oggidisponibile. Sono dunque necessari modelli sempli�cativi che permettano diridurre la complessità di calcolo.

Il modello a shell utilizza una descrizione in termini di campo medio, incui i nucleoni sono immersi nel potenziale da loro stessi generato. Esso vienederivato a partire dall'interazione nucleone-nucleone sfruttando le proprietàdella forza nucleare forte, ha simmetria sferica e in generale è funzione dialcuni parametri, determinati sperimentalmente. A partire da questo poten-ziale si risolve poi l'equazione agli autovalori per il singolo nucleone: essadarà un autovalore in energia (la cosiddetta energia di particella singola)e un autostato che corrisponde a una delle orbite, o shell, in cui vengono

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collocati i nucleoni. Esse sono identi�cate in maniera univoca dai numeriquantici n (numero di nodi della funzione d'onda radiale), l e j (momentoangolare orbitale e totale, rispettivamente), e sono rappresentate in Fig. 1.Ogni orbita è 2j + 1 volte degenere in j, dunque per il principio di Pauli vipossono essere collocati al massimo 2j + 1 nucleoni identici. Le orbite pienevengono considerate come un core inerte e si assumono solo interazioni a duecorpi tra i nucleoni delle orbite di valenza (cioè quelle non complete).

L'apparente contraddizione tra un modello a particelle non interagenti ela presenza di forti correlazioni tra i nucleoni giusti�ca la necessità di intro-durre nell'hamiltoniana interazioni e�caci [2], in modo da tener conto siadelle interazioni tra i nucleoni di valenza, sia di possibili eccitazioni del coree dell'e�etto delle interazioni a tre o più corpi, spesso non trascurabili senon in prima approssimazione [3]. Tuttavia questi e�etti dipendono forte-mente dal particolare spazio di valenza considerato, e non sono calcolabiliin maniera esatta: ciò spiega l'assenza di un'unica interazione e�cace validain tutta la carta dei nuclidi e la necessità di introdurre correzioni empirichenegli elementi di matrice dell'hamiltoniana [4].

Nei prossimi paragra�, dopo una descrizione introduttiva del modello ashell, verrà trattata dapprima l'evoluzione delle catene isotoniche e isotopichein prossimità delle chiusure di shell, sulla base di dati sperimentali qualil'andamento dell'energia di legame per nucleone, l'energia del primo statoeccitato 2+ per nuclei pari-pari, la probabilità di transizione di quadrupoloB(E2) e l'energia di separazione dei neutroni Sn. Successivamente verrannotrattate le ragioni teoriche che portano a una tale evoluzione, analizzandoin particolare il ruolo dei vari termini in cui viene decomposta l'interazioneresidua tra nucleoni di valenza.

2 Modello a shell

Il nucleo atomico è mantenuto compatto dall'azione della forza nucleare forte,che contrasta la repulsione coulombiana tra cariche dello stesso segno. Adi�erenza della forza coulombiana, che scala come 1/r2, la forza nucleareha range corto, dell'ordine di 1 fm. Inoltre essa è indipendente dalla carica,cioè agisce in modo analogo per coppie protone-protone, neutrone-neutrone eprotone-neutrone, a condizione che essi si trovino nella stessa con�gurazione,cioè abbiano gli stessi numeri quantici [5].Da queste caratteristiche della forza nucleare segue la forma che assume ilpotenziale tra due nucleoni in funzione della loro distanza (rappresentato inFig. 2): esso ha un core repulsivo per distanze inferiori a 0.5 fm, un minimo

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Figura 1: Livelli di particella singola del modello a shell. Sono visibili le modi�chealla spaziatura dei livelli di oscillatore armonico indotte dall'aggiunta dei termini l2 e dispin-orbita

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Figura 2: Potenziale nucleone-nucleone

per r ≈ 1 fm, e tende rapidamente ad annullarsi per distanze superiori. Piùin generale, esso è funzione della distanza tra i due nucleoni, del loro spinintrinseco e del loro isospin.

Dal range corto della forza nucleare segue che, all'interno del nucleo atom-ico, ogni nucleone interagisce con quelli vicini mantenendo una distanza dicirca 1 fm; si ha quindi la saturazione di densità, essa tende cioè a un valorecostante. È quindi possibile de�nire in modo chiaro la super�cie del nucleo.Inoltre il principio di Pauli riduce di molto il numero delle collisioni possibili,impedendo le collisioni tra due nucleoni se gli stati �nali sono già occupati: inparticolare, se si considera un nucleo in uno stato iniziale che non coinvolgeeccitazioni particella-buco, sono vietate le collisioni con energia �nale minoredell'energia di Fermi. I nucleoni possono dunque essere considerati poco in-teragenti; ciò rende possibile una descrizione delle interazioni in termini dicampo medio.

Un tale approccio potrebbe sembrare a prima vista non applicabile perun sistema quantistico complesso come il nucleo, in cui i vari nucleoni sonofortemente interagenti. Tuttavia varie evidenze sperimentali suggerisconoche anche per esso, in analogia con il caso atomico, sia possibile una de-scrizione in termini di orbitali, o shell, di valenza che, se completate, gliconferiscono particolare stabilità [5]. Queste evidenze sono principalmentetre:

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� andamento dell'energia di legame per nucleone (BE/A): ci sono ev-identi discontinuità da un trend altrimenti regolare, giusti�cabili conun aumento dell'energia di legame in corrispondenza di una chiusuradi shell;

� probabilità di transizione al primo stato eccitato B(E2) per nuclei pari-pari: risulta essere particolarmente bassa per nuclei che completano siauna shell protonica che una neutronica;

� energia di separazione dei neutroni (S2n), cioè l'energia necessaria pertogliere due neutroni dal nucleo: presenta bruschi cali per elementiimmediatamente successivi alla chiusura di shell.

Inoltre il numero di isotopi stabili con Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82 è particolar-mente alto, così come il numero di isotoni stabili conN = 8, 20, 28, 50, 82, 126.Questi numeri sono detti numeri magici e costituiscono l'analogo nuclearedelle chiusure di shell elettroniche. Un nucleo che chiude sia una shell pro-tonica che una neutronica è detto nucleo doppiamente magico ed è partico-larmente stabile.

Per modellizzare il potenziale radiale in cui sono immersi i nucleoni erisolvere così l'equazione di Schrödinger si può partire dalla seguente consid-erazione: i nucleoni situati all'interno del nucleo risentono dell'interazionecon quelli circostanti entro il range di 1 fm, dunque il potenziale medio al-l'interno del nucleo è all'incirca costante. Alla super�cie però, il numero dinucleoni con cui il singolo nucleone interagisce è minore, e diminuisce velo-cemente a mano a mano che si considerano nucleoni sempre più esterni, diconseguenza il potenziale medio tende rapidamente ad annullarsi alla super-�cie.Una forma analitica può essere la seguente [6]:

V (r) =−V0

1 + exp( r−Ra )

dove V0 indica la profondità della buca di potenziale, R è il raggio a cuiil potenziale è metà del suo valore centrale e a è un parametro che misuraquanto è di�usa la super�cie del nucleo. Questo potenziale prende il nomedi potenziale di Woods-Saxon ed è riportato in Fig. 3.In alternativa si utilizza un potenziale di oscillatore armonico, per cui es-istono soluzioni analitiche:

VHO =1

2ω2r2 − V0

con opportuni valori di ω e V0, determinati in base ai dati sperimentali.Per ottenere un potenziale più realistico si aggiunge un termine correttivoproporzionale a l2, che rende più piatto il fondo della buca [6]. Risolvendo

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Figura 3: Potenziale di Wood-Saxon a confronto con quelli di buca quadrata e oscillatorearmonico, per cui esistono soluzioni analitiche

l'equazione di Schrödinger con questo potenziale si ottengono gli autovaloriper l'energia, dalla cui spaziatura si ricavano i numeri magici di oscillatorearmonico 2, 8, 20, 40, 70, 112; tuttavia, ad esclusione dei primi tre, essi nonriproducono le chiusure di shell individuate sperimentalmente.

Per spiegare questa discrepanza, nel 1949 Mayer, Haxel, Suess e Jensen,indipendentemente, proposero un modello nucleare a shell in analogia conquello atomico, aggiungendo al potenziale di oscillatore armonico un terminedi accoppiamento spin-orbita [7, 8]. Esso abbassa l'energia del livello a piùalto j (~l e ~s paralleli tra loro) e aumenta quella del livello con j più basso (~l e~s antiparalleli), riuscendo così a riprodurre le chiusure di shell sperimentali.

Il modello a shell utilizza quindi una descrizione in uno spazio di valenzaristretto, dato dagli orbitali parzialmente occupati. Le shell piene costituis-cono un core considerato inerte e si assume che esse non interagiscano con ilivelli dello spazio di valenza. Chiaramente si tratta di una sempli�cazioneperché in realtà sono possibili eccitazioni del core e interazioni con i livelli piùesterni, ma questi e�etti vengono inglobati in termini di interazioni e�caci[2].

Considerando solamente interazioni a due corpi, la hamiltoniana delsistema costituito da A nucleoni può essere scritta come

H =A∑i=1

Ti +1

2

A∑i,j=1i 6=j

Vij (1)

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Separando il termine di campo medio∑A

i=1 Ui si ottiene

H =A∑i=1

(Ti + Ui) +A∑i=1

(A∑

j=1j 6=i

1

2Vij − Ui

)=

A∑i=1

Hi +Hres

somma di A hamiltoniane di particella singola relative a ciascuno degli Anucleoni e di un termine di interazione tra di essi. Quest'ultimo si supponepiccolo, di modo che sia possibile trattarlo in approccio perturbativo [2].Risolvendo l'equazione agli autovalori per le varie Hi si ricavano gli autostatidi particella singola per i nucleoni di valenza. Poiché vale il principio di Pauli,la funzione d'onda globale deve essere antisimmetrica, dunque è necessariocalcolare il determinante di Slater dei vari autostati di particella singolaper trovare lo stato complessivo. In�ne, se sono possibili sovrapposizionidi con�gurazioni diverse, esse vanno combinate linearmente per determinarel'autostato �nale.

L'hamiltoniana residua Hres può essere trattata attraverso un'espansionein multipoli [9]: il termine principale è chiaramente quello di monopolo,che è identi�cabile con l'energia media apportata al nucleo dall'aggiuntadei nucleoni di valenza, indipendentemente dal particolare J a cui essi siaccoppiano. Ad esempio, considerando il caso di due soli nucleoni di valenza,il termine di monopolo può essere scritto

V pnj1,j2

=

∑J(2J + 1) · EJ(j1, j2)∑

J(2J + 1)

dove EJ(j1, j2) è l'energia apportata al nucleo dai due nucleoni quando essisi accoppiano ad un particolare valore di J , che varia da J = Jmin = |j1−j2|a J = Jmax = j1 + j2. La dipendenza da J è dunque contenuta nei terminidi multipolo, in particolare in quello di quadrupolo.

Il termine di monopolo può a sua volta venir scomposto in tre termini[10]:

� centrale : è quello prevalente, in generale esso è funzione della distanzatra i nucleoni, dello spin intrinseco totale e dell'isospin totale;

� tensoriale : esso è positivo se gli spin intrinseci di neutroni (~sn) e pro-toni (~sp) sono paralleli ai rispettivi momenti angolari orbitali, negativose sono antiparalleli ad essi. Il termine tensoriale può costituire �noal 20% del termine di monopolo [11], ed essere abbastanza forte dacontrastare il termine centrale se ~ln = ~lp. Esso è nullo se le orbite conj = jmax e j = jmin sono entrambe piene;

� di spin-orbita : esso ha la forma VLS = f(r)~l · ~s e rimuove la degen-erazione in j dei livelli di oscillatore armonico.

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Il termine di monopolo di nuclei con un protone e/o un neutrone nella shell divalenza può essere determinato a partire dal dato sperimentale dell'energiadel core e del nucleo stesso. Si consideri ad esempio il nucleo (Z + 1, N + 1)costituito da un core (Z,N), un protone e un neutrone: il suo termine dimonopolo V pn è dato da V pn = BE(Z + 1, N + 1)− [BE(Z,N) + Sn + Sp],ove BE(Z,N) indica l'energia di legame del nucleo (Z,N) e Sn, Sp sono leenergie di separazione di un neutrone e un protone, rispettivamente.Questa procedura può essere generalizzata al caso di nuclei con un bucoprotonico e/o neutronico nella shell più esterna del core.

Un metodo alternativo, valido anche per nuclei con un numero maggioredi nucleoni di valenza, sfrutta la di�erenza di energia di legame tra nucleivicini. Ad esempio, si consideri il core (Z,N) e il nucleo (Z + z,N + n), conz,n numero di protoni e neutroni di valenza, rispettivamente (si supponganoz,n su�cientemente piccoli perché la probabilità di avere stati collettivi siabassa). Allora l'energia di interazione tra gli n neutroni di valenza e il coreè data da BE(Z,N + n)−BE(Z,N); analogamente l'energia di interazionetra gli z protoni di valenza e il core è data da BE(Z + z,N) − BE(Z,N).L'energia media apportata al nucleo dall'aggiunta degli z + n nucleoni divalenza è data da BE(Z + z,N + n) − BE(Z,N), ed è la somma di trecontributi: l'interazione dei protoni di valenza col core, quella dei neutronidi valenza col core e quella di protoni e neutroni di valenza tra di loro.Da ciò segue che il termine di monopolo, cioè il termine che tiene contodell'interazione media tra i protoni e i neutroni di valenza, assume la forma

V pn =1

2[BE(Z + z,N + n)−BE(Z,N)−BE(Z + z,N)−BE(Z,N + n)]

Condizione necessaria a�nché questo metodo sia applicabile è che l'anda-mento dell'energia di legame in funzione del numero di massa sia lineare inun intervallo su�cientemente ampio. Diversamente o viene meno l'ipotesi dicore inerte oppure avviene mescolamento tra con�gurazioni di energia simile,che può essere dovuto all'insorgere di stati collettivi causati dallo scatteringtra nucleoni di valenza [12].

3 Evidenze sperimentali della modi�cazione

Il modello a shell proposto da Mayer, Haxel, Suess e Jensen riproduce per-fettamente le chiusure di shell sperimentali individuate per i nuclei lungola valle di stabilità, perciò per molto tempo si ritenne che i numeri magi-ci rimanessero invariati anche per i nuclei cosiddetti esotici, ovvero quellisituati lontano dalla stabilità. Anche se di ciò non vi erano ancora con-

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ferme sperimentali, questa convinzione venne assunta quasi al rango di unpostulato.

La prima evidenza sperimentale di un'evoluzione delle chiusure di shellper nuclei lontano dalla stabilità si ebbe analizzando la struttura di nucleiricchi di neutroni attorno alla gap N = 8 [13]. In particolare nel 11Li ilvalore misurato dell'energia di separazione dei neutroni risultò troppo bassoper essere compatibile con una shell chiusa [14]. Ciò venne spiegato conla riduzione della gap a N = 8 che permetteva il collocarsi dei neutroninell'orbita s1/2, legata per meno di 1 MeV: dato che se l = 0 non vi è barrieracentrifuga, la funzione d'onda può estendersi a raggi molto più grandi, dandoluogo a un alone neutronico.Un'altra evidenza si ebbe, pochi anni dopo, analizzando l'energia di legamee lo spettro del 32Mg [15]. Si determinò che esso presentava una strutturadeformata; ciò sembrava indicare che la gapN = 20 non era larga abbastanzada rendere poco probabili le eccitazioni dei nucleoni verso gli stati oltre lagap, e quindi lo sviluppo di zone di deformazione. Il fatto che fossero possibilieccitazioni verso la shell fp venne spiegato con l'innalzamento dell'energiadi particella singola dell'orbita d3/2, che causava la formazione di una nuovagap a N = 16 e la progressiva riduzione di quella a N = 20.

3.1 Gap neutroniche

L'ampiezza della gap N = 8, determinata sperimentalmente dalla di�erenzadi energia di legame dei nuclei (Z,N = 8) e (Z+ 1, N = 8), è di circa 6 MeVse si considera il caso del 14C, di circa 7 MeV nel caso del 16O (in questocaso alla di�erenza di energia di legame va sottratto il contributo dovuto altermine di Wigner per i nuclei con N = Z [16]). In questa zona della cartadei nuclidi, proprio per la presenza di pochi nucleoni, si possono infatti averevariazioni signi�cative non appena si toglie o si aggiunge qualche nucleone.

L'energia del primo stato eccitato 2+ per i nuclei della catena isotonicaN = 8 è riportato in Fig. 4. Essa è massima attorno alla valle di stabilità(14C, 16O) e decisamente più bassa al di fuori di essa. Al contrario, laprobabilità di transizione di quadrupolo B(E2) è bassa sia per il 14C che perl'16O, mentre per gli isotoni con Z > 8 aumenta molto, già a partire dal 18Ne[17]: ciò indica la crescente presenza di stati collettivi nella catena isotonica.

Ulteriori informazioni sull'evoluzione della catena isotonica N = 8 pernuclei con Z < 6 possono essere ottenute dall'analisi delle eccitazioni neu-troniche particella-buco tra le shell p1/2 e s1/2 (JTOT = 0−, 1−), a partiredalle quali si può ricavare l'ampiezza della gap. Nel caso del 12Be l'energiadello stato 1− decresce molto rispetto al caso del 14C: ciò indica una drasti-ca riduzione della gap N = 8 per i nuclei più leggeri della catena isotonica,come confermato anche dal valore elevato della B(E1) misurato per il 12Be[18].

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Figura 4: Energia del primo stato eccitato 2+ per nuclei pari-pari lungo la catenaisotonica N = 8

(a) E(2+) (b) B(E2)

Figura 5: Energia del primo stato eccitato 2+ e probabilità di transizione B(E2) per lacatena isotonica N = 20

L'energia del primo stato eccitato 2+ e la probabilità di transizione diquadrupolo B(E2) per la gap N = 20 sono riportate in Fig. 5. Nel casodel 40Ca si ha un valore particolarmente basso per la B(E2) e un picconell'energia dello stato 2+, caratteristiche che lo identi�cano come nucleodoppio magico. Per Z compresi tra 20 e 14 i valori della B(E2) rimangonobassi e le energie degli stati 2+ alte, questo indica che la gap a N = 20 èancora su�cientemente ampia.Per Z < 14 invece, le energie degli stati 2+ subiscono un brusco calo;

al contrario, le probabilità di transizione aumentano bruscamente. Ciò èdovuto alla riduzione della gap a N = 20, e all'insorgere di stati collettiviche coinvolgono eccitazioni dalla shell sd alla shell fp. Per questi nuclei,quindi, lo stato fondamentale è dominato da con�gurazioni particella-buco;il guadagno di energia di legame a causa delle correlazioni così sviluppatecompensa il costo energetico necessario per portare nucleoni nelle shell fp.

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Si genera quindi quella che viene chiamata una �isola di inversione� [19],cioè una situazione in cui la con�gurazione dello stato fondamentale non èquella determinata dal progressivo riempimento della shell, ma è dominatada con�gurazioni che coinvolgono eccitazioni particella-buco tra orbitali dellashell di valenza e orbitali intruder, cioè appartenenti alla shell successiva.

I risultati sperimentali ottenuti per il 30Ne e per il 29F confermano questoandamento. Si vede inoltre che l'ultimo nucleo legato della catena isotopicadell'ossigeno è il 24O, mentre l'28O, che tradizionalmente verrebbe consid-erato doppio magico, non è legato. Ciò è dovuto proprio allo sviluppo diuna gap neutronica a N = 16 in contemporanea con la riduzione di quella aN = 20, come confermato anche dai valori dell'energia di separazione di dueneutroni [20] in questa zona della carta dei nuclidi.

Ulteriori informazioni sullo sviluppo di questa isola di inversione si pos-sono ottenere dallo studio del decadimento β− degli isotopi del magnesio.Analizzando la con�gurazione dei nuclidi nel decadimento 30Mg → 30Al, sivede che esso procede quasi solamente attraverso una transizione di tipoGamow-Teller da uno stato 0+ a uno stato 1+ [12]. Ciò indica che lo statofondamentale del 30Mg è uno stato 0+, e che per esso non vi è una signi-�cativa presenza di stati collettivi sd -fp. Nel caso del 32Mg, invece, unapercentuale signi�cativa (circa il 40%) dei nuclidi di 32Al prodotti è in unostato eccitato; ciò indica una signi�cativa presenza di stati collettivi nellacon�gurazione dei nuclei padri.

Figura 6: Energia di separazione di un neutrone lungo le catene isotopiche di calcio,argon e zolfo

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La gap neutronica N = 28, originata dallo splitting di spin orbita tra ilivelli f7/2 e f5/2, ha un'ampiezza pari a circa 4.5 MeV. Essa presenta unpicco per Z = 28 (56Ni è nucleo doppio magico con N = Z), è approssima-tivamente costante per Z compresi tra 20 e 28 e subisce un calo per Z < 20.Ciò è confermato dall'andamento dell'energia di separazione di un neutroneper gli isotoni con Z < 20, riportata in Fig. 6: il drastico calo visibile perN = 29 nella catena isotopica del calcio è molto più ridotto in quella dell'ar-gon, e scompare completamente in quella dello zolfo.

Figura 7: Energia del primo stato eccitato 2+ per le catene isotopiche di calcio, zolfo esilicio

Questa drastica riduzione della gap è confermata anche dall'andamentodell'energia del primo stato eccitato 2+, riportata in Fig. 7 per la catenaisotopica del calcio (Z = 20), dello zolfo (Z = 16) e del silicio (Z = 14). Sivede infatti che, mentre ad N = 20 essa è alta per tutti e tre gli elementiconsiderati (a indicare la tenuta della gap N = 20), a N = 28 essa è alta soloper il calcio; per lo zolfo il trend è soltanto lievemente ascendente, mentreper il silicio si ha addirittura una decrescita. Confrontando questi dati coni valori della B(E2) si può dedurre che lo stato fondamentale dello 44S èintermedio tra sferico e deformato [21], mentre quello del 42Si è fortementedeformato: l'energia dello stato 2+ del 42Si è infatti una delle più basse diquesta zona della carta dei nuclidi [22].

Per quanto riguarda gli isotoni con Z > 20, invece, la gap N = 28 sembrasopravvivere, sia pur con un lieve calo dell'ampiezza (da 4.5 MeV nel casodel 48Ca a 4 MeV per il 54Fe). La gap risulta invece più ampia nel caso del56Ni: ciò è caratteristico dei nuclei doppio magici con N = Z attorno allavalle di stabilità, e conferma la tenuta della gap N = 28 anche per nucleiricchi di protoni.

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Figura 8: Energia del primo stato eccitato 2+ per la catena isotonica N = 40

L'energia del primo stato eccitato 2+ lungo la catena isotonica N = 40è riportata in Fig. 8. Essa è particolarmente elevata per il nucleo doppiomagico 68Ni, e decisamente più bassa negli altri casi, come ci si aspetta.Tuttavia il calo è particolarmente brusco passando dal 68Ni al 66Fe: bastarimuovere due protoni perché ci sia un'improvvisa riduzione della gap e unforte incremento della collettività, come confermato anche dall'andamentodella probabilità di transizione di quadrupolo [23]. Una energia E(2+) ancorapiù bassa si ha per il 64Cr, che è il nucleo maggiormente deformato dellacatena isotonica considerata [24].

Questo collasso della gap N = 40 per Z < 28 è analogo a ciò che accadeper Z < 14 nella catena isotonica N = 20: in entrambi i casi la rimozione didue protoni da una chiusura di (sub)shell di spin-orbita causa una drasticariduzione della gap neutronica di oscillatore armonico e lo sviluppo di un'isoladi inversione, caratterizzata da con�gurazioni particella-buco e da una fortepresenza di collettività. Tuttavia, mentre per la gap N = 20 si ha una nettapredominanza delle eccitazioni a due particelle (2p − 2h), per la gap N =40 le eccitazioni coinvolgono un numero maggiore di nucleoni (eccitazionidi tipo 4p − 4h ma anche 6p − 6h [25]), generando una funzione d'ondamolto più complessa. Eccitazioni particella-buco sono presenti in percentualesigni�cativa anche nella funzione d'onda dello stato fondamentale del 68Ni:questo spiega perché non si vede traccia della chiusura di shell a N = 40 sesi considera l'energia di separazione dei neutroni.

Considerando l'energia E(2+) per i nuclei della catena isotonica con Z >28, in�ne, si vede che essa decresce lentamente al crescere di Z, a indicare laprogressiva scomparsa della gap N = 40 per i nuclei più pesanti della catenaisotonica.

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3.2 Gap protoniche

L'ampiezza della gap Z = 8 è circa 10 MeV, la più alta di tutta la cartadei nuclidi ad eccezione di quella per Z = 2. Le eccitazioni 2+ sono dunquepoco probabili, sia per l'ampiezza della gap, sia perché essa separa shelldi parità opposta. Tutti i nuclei della catena isotopica dell'ossigeno sonoquindi sferici e le eccitazioni 2+ sono di origine prevalentemente neutronica,ad eccezione del caso dell'16O in cui sono chiuse sia la shell protonica chequella neutronica.

Oltre all'16O (nucleo doppio magico con N = Z), la catena isotopicadell'ossigeno conta altri tre nuclei quasi doppio-magici: 14

8O6, 228O14, 24

8O16,in corrispondenza delle chiusure di subshell a N = 6, 14, 16. La spaziaturatra le orbite p1/2, d5/2, s1/2 e d3/2 è infatti abbastanza ampia.

L'energia di eccitazione E(2+) è molto alta per gli isotopi con N = 6 eN = 8, a indicare l'importanza di queste chiusure di shell, e più bassa per glialtri isotopi della catena. Nel caso dell'24O non sono stati osservati stati 2+

(individuabili a partire dallo spettro dei decadimenti γ), si suppone quindiche questo nucleo decada preferibilmente per emissione di neutroni [26].

La gap protonica Z = 20 si mantiene relativamente costante lungo tuttala catena isotopica del calcio, ed ha un'ampiezza su�ciente (circa 5 MeV)da evitare la formazione di stati collettivi a basse energie. Deviazioni signi-�cative da questo trend altrimenti costante si hanno per il 40Ca e in misuraminore per il 48Ca, entrambi nuclei doppio magici. Il forte aumento del-l'ampiezza della gap nel caso del 40Ca è dato dal fatto che esso è un nucleocon N = Z, dunque le correlazioni di pairing tra protoni e neutroni sonomassimizzate.

Figura 9: Energia del primo stato eccitato 2+ per la catena isotopica del calcio

L'energia del primo stato eccitato E(2+) è riportata in Fig. 9. Essa è

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massima alle chiusure di shell N = 20 e N = 28, mentre assume valoripiù bassi durante il riempimento della shell. Inoltre è relativamente altaper N = 16 e per N = 32; ciò indica la presenza di gap signi�cative trale orbite 1d3/2 e 2s1/2 (N = 16) e 1f5/2 e 2p3/2 (N = 32) lontano dallastabilità. In analogia con quanto accade nel caso neutronico, queste chiusuredi subshell impediscono lo svilupparsi di signi�cative deformazioni al cresceredel numero di neutroni di valenza.

Un'analisi simile si può fare per la gap Z = 28, considerando la cate-na isotopica del nichel. Anche in questo caso l'ampiezza della gap è di circa5 MeV, su�ciente per evitare la formazione di stati collettivi a basse energie.Essa assume valori più elevati in corrispondenza dei nuclei doppio magici,in particolare nel caso del 56Ni (nucleo doppio magico con N = Z che mas-simizza le correlazioni di pairing, caso analogo a quello del 40Ca). Per Ncompreso tra 28 e 40 l'ampiezza della gap cresce all'aumentare del numerodi neutroni di valenza, �no a raggiungere un altro massimo per N = 40(6828Ni40, anch'esso nucleo doppio magico), in corrispondenza della chiusuradi shell di oscillatore armonico. Per N > 40 l'ampiezza della gap Z = 28sembra diminuire in modo costante, anche se l'incertezza sui dati sperimen-tali �nora raccolti non consente di fare previsioni accurate. Se questo trendfosse confermato, ciò porterebbe alla conclusione che la gap Z = 28 tendeprogressivamente a scomparire per rapporti N/Z molto elevati.

Figura 10: Energia del primo stato eccitato 2+ per la catena isotopica del nichel

L'andamento dell'energia del primo stato eccitato per gli isotopi pari-paridel nichel è riportata in Fig. 10. Essa ha un massimo per N = 28, in cor-rispondenza del nucleo doppio magico 56Ni, e si mantiene più o meno costanteper N compresi tra 28 e 40. Per N = 40 si trova un altro valore abbastanzaelevato, conseguenza della presenza della chiusura di shell di oscillatore ar-monico; successivamente si ha una decrescita, confermando l'ipotesi di una

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progressiva riduzione della gap fatta sulla base dell'andamento dell'energiadi legame.

Per gli isotopi con N compreso tra 28 e 40 i valori della probabilità ditransizione di quadrupolo B(E2) si dispongono approssimativamente attornoad una parabola; si hanno tuttavia deviazioni in corrispondenza dei nucleidoppio magici 56Ni e 68Ni. Per il primo il valore è più alto rispetto al trendconsiderato; ciò si spiega con la forte interazione di pairing tra protoni eneutroni, caratteristica dei nuclei con N = Z, che aumenta la probabilità dieccitazioni 2+. Per il secondo il valore misurato è il più basso di tutta lacatena isotopica: ciò segue dalla presenza della chiusura di shell di oscillatorearmonico che separa orbite di parità opposta, rendendo così meno probabilile eccitazioni 2+.

4 Analisi teorica della modi�cazione

Come visto nella Sezione 3, numerose sono le evidenze sperimentali del-l'evoluzione delle varie gap considerate per nuclei lontani dalla stabilità.Queste alterazioni della struttura a shell sono causate principalmente dal-l'azione del termine di monopolo, che modi�ca il campo medio in cui sonoimmersi i nucleoni, spostando le energie di particella singola e causandoun'eventuale riduzione della gap. Ad esso si sovrappone l'e�etto del terminedi quadrupolo, principale responsabile dello svilupparsi di correlazioni e zonedi deformazione.

La presenza di una shell chiusa consente un forte guadagno di energiadi legame, dovuto alla parte di monopolo dell'interazione. Tuttavia essacorrisponde a un'unica con�gurazione possibile in cui possono disporsi i nu-cleoni; è cioè rappresentata da una funzione d'onda composta da un singolodeterminante di Slater degli autostati di particella singola. La rottura dellechiusure di shell permette invece la sovrapposizione di con�gurazioni diverse(combinazione lineare di più determinanti di Slater) e dunque una maggioreenergia di correlazione. Il bilancio tra il guadagno di energia di legamedovuto alle correlazioni e il costo energetico necessario per la promozione deinucleoni in orbitali più esterni determina l'evoluzione della gap. In alcunicasi questo guadagno è su�ciente a compensare la perdita di energia dovutaal termine di monopolo, generando così un'isola di inversione.

L'e�etto del termine di monopolo nel determinare l'evoluzione della gapè particolarmente importante per i nuclei leggeri, poiché il suo valore assolu-to decresce col numero di massa come A2/3 [12]. L'introduzione del terminecorrettivo proporzionale a l2 e l'azione del termine di spin-orbita, infatti,modi�cano la spaziatura tra i livelli di oscillatore armonico, rimuovendo la

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degenerazione in l e in j, rispettivamente. Le gap in energia tra le varieorbite, dunque, non hanno più ampiezza costante, ma si riducono progressi-vamente a mano che si considerano shell più esterne.Si potrebbe quindi pensare che nei nuclei leggeri le gap, proprio per la loroampiezza, subiscano di�cilmente modi�cazioni, tuttavia ciò non è vero. Con-siderando in particolare le gap a N,Z = 8 si vede che possono veri�carsicambiamenti anche drastici non appena si tolgono o si aggiungono uno o duenucleoni: il concetto di campo medio, su cui si basa il modello a shell, nonè del tutto appropriato per descrivere questa zona della carta dei nuclidi,proprio a causa dei pochi nucleoni presenti. È molto facile, quindi, che sisviluppino chiusure di shell locali, aloni o deformazioni quando ci si allontanadalla valle di stabilità.

All'aumentare della massa dei nuclei considerati assume invece semprepiù importanza il termine coulombiano, che rompe la simmetria di isospintra protone e neutrone [5], favorendo energeticamente, per Z alti, nucleirelativamente più ricchi di neutroni. Ciò contrasta l'e�etto del termine diWigner, che tende invece a rendere più legati i nuclei con N = Z, ed inducemodi�che nel campo medio generato dai nucleoni. In entrambi i casi, quandoil rapporto N/Z di�erisce notevolmente da 1, le energie di particella singoladelle shell protoniche e neutroniche di valenza sono molto diverse tra loro:ciò porta ad una riduzione della sovrapposizione delle loro funzioni d'onda equindi ad elementi di matrice deboli.

Nell'ambito del modello a shell si possono distinguere due tipi di gap:quelle determinate dagli autovalori dell'energia del potenziale di oscillatorearmonico (numeri magici 8,20,40) e quelle originate dallo splitting di spinorbita (numeri magici 28,50,82,126). Nell'evoluzione delle prime, che sep-arano shell di parità opposta, riveste importanza fondamentale il terminedi monopolo; per quanto riguarda le seconde, che separano invece shell diuguale parità, l'e�etto dominante è quello dovuto al termine di spin-orbitadell'interazione.

4.1 Gap di oscillatore armonico

L'e�etto principale del termine di monopolo nell'evoluzione delle chiusuredi shell di oscillatore armonico è quello di spostare le energie di particellasingola delle orbite protoniche e neutroniche, modi�cando così l'ampiezzadella gap. Come ciò avvenga può essere chiarito osservando la Fig. 11: essamostra come la presenza di un elemento di matrice signi�cativamente piùattrattivo tra quelli coinvolti porti a una riduzione dell'ampiezza della gap.Si consideri un nucleo con un core inerte, un certo numero di protoni di

valenza nell'orbita jp1 e un unico neutrone situato nell'orbita jn1 : esso in-teragirà in maniera uguale con ciascuno dei protoni che occupano l'orbita

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Figura 11: E�etto del termine di monopolo nel determinare l'evoluzione delle energie diparticella singola

jp1 , in quanto l'ampiezza del termine di monopolo è indipendente dal par-ticolare j a cui essi si accoppiano. Di conseguenza, al crescere del numerodi protoni di valenza da 0 a 2jp1 + 1, l'andamento dell'energia di particellasingola è lineare: si ha ∆E1 = z · (V pn

jp1 ,jn1), con ∆E1 variazione dell'energia

di particella singola del neutrone nell'orbita n1, z numero di protoni nellashell p2 e V pn

jp1 ,jn1elemento di matrice dell'interazione. Se si considera la

gap neutronica tra le orbite n1 e n2, la sua variazione a mano a mano chel'orbita protonica p1 viene riempita sarà tanto maggiore quanto più grandeè la di�erenza tra i termini di monopolo coinvolti:

∆(gap) = ∆(E2 − E1) = z · (V pnjp1 ,jn2

− V pnjp1 ,jn1

) (2)

A seconda di questa di�erenza, dunque, la gap considerata può ra�orzarsio scomparire. In particolare, se l'elemento di matrice V pn

jp1 ,jn2è signi�cati-

vamente più attrattivo di quello V pnjp1 ,jn1

, la gap tenderà a ridursi facilitandol'insorgere di stati deformati o collettivi.

Ciò accade in maniera molto evidente in tutte e tre le gap neutronichedi oscillatore armonico considerate:

� per la gap N = 8 si ha |V pnp3/2,p1/2 | > |V

pnp3/2,s1/2 | : quando vengono ri-

mossi protoni dall'orbita p3/2 (Z < 6), l'orbita neutronica p1/2 diventameno legata, spostandosi verso la s1/2

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� per la gap N = 20 si ha |V pnd5/2,d3/2

| > |V pnd5/2,f7/2

| : a mano a mano

che l'orbita protonica d5/2 si svuota (Z < 14), la corrispondente orbitaneutronica d3/2 diventa meno legata, avvicinandosi alla f7/2

� per la gap N = 40 si ha |V pnf7/2,f5/2

| > |V pnf7/2,g9/2

| : rimuovendo protoni

dall'orbita f7/2 (Z < 28) la sua corrispettiva f5/2 diviene meno legata,riducendo la sua distanza dalla g9/2.

In tutti e tre i casi considerati, dunque, il venire a mancare di un termine dispin-isospin dell'interazione causa una drastica e improvvisa riduzione dellagap di oscillatore armonico: rimuovendo due protoni si passa dai nuclei sferici146C8, 34

14Si20,6828Ni40 ai nuclei deformati 124Be8,

3212Mg20,

6626Fe40, in cui lo stato

fondamentale è dominato da con�gurazioni particella-buco (si vedano le Ref.[18],[15],[23] rispettivamente). Di pari passo con l'insorgere di queste isoledi inversione si ha il ra�orzarsi delle gap di subshell a N = 6, N = 16 eN = 32, date invece dallo splitting di spin-orbita.

Questo tipo di fenomeno spiega inoltre l'inversione delle orbite d5/2 es1/2 che avviene svuotando l'orbita protonica p1/2, cioè passando da Z = 8(ossigeno) a Z = 6 (carbonio): l'elemento di matrice V pn

p1/2,d5/2ha un termine

tensoriale attrattivo, mentre quello V pnp1/2,s1/2 contiene un termine repulsivo.

Si origina quindi un'inversione dei livelli s1/2 e d5/2 tra i due isotoni 156C9 e

178C9, che fa sì che l'ultimo neutrone del 15C si posizioni nell'orbita s anzichénella d5/2. Dato che essa è poco legata, ciò potrebbe far sì che il 15C siaun nucleo con alone a neutrone singolo [27], tuttavia questa conclusionedeve ancora essere veri�cata sperimentalmente con su�ciente accuratezza.Successivamente viene riempita l'orbita d e l'inversione dei livelli scompareprogressivamente. In alcuni casi, è su�ciente aggiungere un solo protoneperché la catena isotonica diventi molto più estesa: ad esempio, l'ultimonucleo legato della catena isotonica dell'ossigeno è il 24

8O16, mentre quelladel �uoro si estende �no a N = 22 [28, 29]. È dunque su�ciente aggiungereun protone all'orbita d5/2 per rendere legata la sua corrispettiva neutronicad3/2.

4.2 Gap di spin-orbita

A partire dal termine di spin-orbita dell'interazione a due corpi, si possonocostruire i potenziali di spin-orbita medi per protoni e neutroni. Essi hannola forma

V pLS =

1

r

∂

∂r[ρn(r) + 2ρp(r)]~L · ~S V n

LS =1

r

∂

∂r[2ρn(r) + ρp(r)]~L · ~S

dove ~L e ~S indicano rispettivamente i momenti angolari orbitale e intrinsecototali e ρn, ρp sono le densità neutroniche e protoniche, rispettivamente [30].

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Figura 12: Modi�ca del potenziale di spin-orbita nel caso di superi�cie di�usa e calo didensità al centro

Si vede dunque che la componente radiale di entrambi i potenziali scala comela derivata della densità: dato che essa è costante all'interno del nucleo, ilpotenziale è signi�cativamente diverso da zero soltanto in prossimità dellasuper�cie (si veda la Fig. 12).

Per quanto riguarda i nuclei esotici, si hanno variazioni del termine dispin-orbita ogniqualvolta la presenza di squilibri tra protoni e neutroni causavariazioni di densità: un esempio è la presenza di una super�cie di�usa, par-ticolarmente evidente nei nuclei con alone neutronico [31], che causa un an-damento nettamente meno piccato rispetto al caso dei nuclei con super�cieben de�nita. Un altro caso interessante è quello dei nuclei che presentanoun calo di densità al centro: come si vede in Fig. 12, in questo caso, oltrealla parte repulsiva alla super�cie, si ha una parte attrattiva del potenziale,che tende a ridurre lo splitting per i nucleoni situati al centro. Ciò coinvolgein particolare nucleoni appartenenti alle orbite p, in quanto hanno momen-to angolare non nullo ma su�cientemente basso da non risentire in modosigni�cativo della forza centrifuga che tende a portarli verso l'esterno delnucleo [32]. In�ne, variazioni del termine di spin-orbita possono essere datedall'azione del termine tensoriale dell'interazione [11].

La drastica riduzione della gap N = 28 per nuclei con Z < 20, descrittanella Sezione 3.1, è conseguenza della riduzione dello splitting di spin-orbitaper le shell fp a mano a mano che vengono rimossi protoni dalla shell sd: gliorbitali f7/2 e p3/2, che hanno ~L e ~S allineati, tendono a diventare progres-

sivamente meno legate delle loro corrispettive con ~L e ~S antiallineati f5/2e p1/2. Questa rimozione di protoni avviene in maniera equiprobabile dalle

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orbite s1/2 e d3/2, poiché esse sono quasi degeneri: l'orbita protonica d3/2diventa infatti più legata a mano a mano che i neutroni riempiono la f7/2(si ha |V pn

d3/2,f7/2| > |V pn

s1/2,f7/2|). Ciò causa la riduzione della gap a Z = 16,

e lo sviluppo di correlazioni di quadrupolo tra orbite con ∆l = 2: questifenomeni, uniti alla riduzione della gap a N = 28, spiegano l'aumentata col-lettività degli isotoni con Z = 16, 18. La forte deformazione del 42Si, in�ne,indica che anche l'orbita protonica d5/2 diviene progressivamente meno lega-ta, tuttavia su ciò non vi sono ancora dati sperimentali de�nitivi.Il fatto che per gli isotoni con Z > 20 la gap non vari in maniera signi�cativa,invece, è conseguenza del fatto che la spaziatura tra le orbite p non cambiamolto. Infatti l'orbita protonica f7/2 e le orbite neutroniche p sono separateda due unità di momento angolare, e dunque non vi è una forza tensorialeche fa cambiare lo splitting di spin-orbita.

5 Conclusioni

In analogia con quanto accade nel caso dell'atomo neutro, anche per il nucleoatomico, la cui struttura è governata dall'interazione forte, è possibile unadescrizione in termini di struttura a shell. Nel caso nucleare le particelle divalenza tendono spesso a correlarsi per formare stati collettivi: a di�erenzadel caso molecolare, tuttavia, non vi è una netta distinzione in energia chepermetta di distinguere le transizioni fra stati di particella singola da quellerotazionali o vibrazionali di uno stesso nucleo.

I numeri magici proposti nel 1949 da Mayer, Haxel, Suess e Jensen ripro-ducono perfettamente le chiusure di shell individuate lungo la valle di stabil-ità: poiché essi sono conseguenza di proprietà fondamentali della strutturanucleare (come il range corto della forza nucleare forte, la spaziatura decres-cente tra gli autovalori in energia e la presenza di un forte accoppiamentospin-orbita), per molto tempo si ritenne naturale che essi fossero una propri-età generale dei nuclei, anche di quelli situati lontano dalla stabilità.Negli ultimi anni, tuttavia, lo sviluppo e l'installazione in varie parti delmondo di strutture per l'accelerazione di fasci radioattivi ha permesso distudiare sperimentalmente molti nuclei esotici, e si è osservato che i numerimagici non restano immutati, ma cambiano in maniera anche drastica se siconsiderano regioni esotiche della carta dei nuclidi.

Nella presente tesi sono state analizzate le modi�che che avvengono nellastruttura a shell del nucleo atomico allontanandosi dalla valle di stabilità,prima a partire dalle evidenze sperimentali che rivelano tale cambiamento epoi, dal punto di vista teorico, analizzando l'e�etto dei vari termini in cuiviene scomposta l'interazione residua tra i nucleoni.

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Dal punto di vista sperimentale, le evidenze di un cambiamento di strut-tura sono date in primo luogo dall'andamento dell'energia del primo statoeccitato 2+ per nuclei pari-pari e della probabilità di transizione di quadrupo-lo dallo stato 2+ allo stato fondamentale. Valori alti per l'energia del primostato 2+ e bassi per la probabilità di transizione B(E2) indicano una strut-tura di forma sferica e non collettiva, e sono dunque caratteristici dei nucleimagici o doppio-magici. Viceversa, un valore basso dell'energia dello stato2+ e un'alta probabilità di transizione di quadrupolo indicano una forte col-lettività e/o la presenza di deformazioni. Per nuclei lontani dalla stabilitàquesti tipi di strutture sono stati osservati in prossimità dei numeri magicitradizionali: ciò è indice del collasso di una gap e, in molti casi, della pre-senza di orbitali intruder, cioè appartenenti a una shell superiore che deveessere inclusa nello spazio di valenza.Ulteriori conferme sperimentali della scomparsa dei numeri magici tradizion-ali e dell'insorgere di nuove chiusure di shell sono date dall'andamento delladi�erenza di energia di legame tra nuclei adiacenti, che de�nisce l'ampiezzadella gap, e dall'energia di separazione di due neutroni, che può anche essereindice della formazione di un alone neutronico (come evidente, ad esempio,nel caso del 11Li).

Dal punto di vista teorico, la scomparsa delle gap tradizionali a N,Z =8, 20, 28, 40 e il conseguente emergere di nuove chiusure di shell a N,Z =6, 14, 16, 32 sono stati ricondotti all'azione del termine di monopolo, chemodi�ca le energie di particella singola delle varie orbite. In particolare, siè visto che la presenza di un elemento di matrice protone-neutrone partico-larmente grande in valore assoluto può signi�cativamente ridurre l'ampiezzadi una gap o addirittura modi�care l'ordine energetico degli orbitali. Ciòfacilita lo sviluppo di correlazioni di quadrupolo e quindi di deformazioni,che consentono in questi casi un guadagno di energia di legame.

Per descrivere questi e�etti con calcoli di modello a shell è fondamentalelo sviluppo di interazioni e�caci adattate al particolare spazio di valenzaconsiderato, che spesso deve includere più di una shell principale, in partico-lare nel caso di stati collettivi o deformati. Parallelamente è necessaria unaraccolta di dati sperimentali sempre più vasti e precisi sui nuclei esotici, checonsentano di veri�care la validità ed eventualmente perfezionare le inter-azioni e�caci utilizzate, nel modello a shell in particolare, ma in generale neidiversi modelli nucleari, di modo da raggiungere un potere predittivo sempremaggiore.

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