DIDATTICA DELLA MATEMATICA

TFA A048-A049-Matematica

Incontro 3

1 marzo 2013

Rosetta ZanDipartimento di Matematica, Università di Pisa

zan@dm.unipi.it

Wertheimer:Trovare l’area delle seguenti figure

ESEMPIO DI FIGURE A ESEMPIO DI FIGURE B

Psicologia della Gestalt

• Pensiero produttivo

…pensiero riproduttivo

…pensiero cieco• Insight• Fissità (influenza della ‘buona forma’)• Importanza di strategie generali

(euristiche)

Che cos’è un problema?

Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla.

[Duncker, 1945]

problema / esercizio

Che cos’è un problema?

Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla.

[Duncker, 1945]

La stessa situazione può evocare in individui diversi mete diverse Quale meta? v. Von Neumann

Il problem solving

Esco di casa per andare a scuola: cosa faccio?

Torno a casa e mi accorgo di non avere le chiavi:cosa faccio?

ESERCIZIO

PROBLEMA

ESERCIZIO PROBLEMA

comportamentoautomatico

comportamentostrategico

...nel problema si devono prendere DECISIONI!!!!

Terminologia• Obiettivo, meta (‘goal’)

• Esercizio / problema

• Processi decisionali

• Strategie, euristiche

Le euristiche• I metodi euristici (o euristiche) sono strategie di carattere

generale utili nell’affrontare un problema, in quanto facilitano il raggiungimento della soluzione.

• Spesso i termini strategie ed euristiche sono usati come sinonimi.

• "Scopo dell’euristica è lo studio dei metodi e delle leggi di invenzione e di scoperta” (Polya, 1945).

• Nell'ambito del problem solving il termine ‘euristico’ è usato come aggettivo, col significato di ‘utile per la scoperta’: – ragionamenti euristici– procedimenti di valore euristico – metodi euristici.

• …oppure come sostantivo:- euristiche = i metodi euristici.

Duncker

DATI

META

SOLUZIONE

EURISTICA

Duncker: alcune euristiche

• l’analisi dell’obiettivo

• l'analisi del conflitto

• l’analisi della situazione o del materiale

…euristiche valide sia per problemi di natura pratica che per problemi di tipo matematico

Che cosa significa precisamente quello che devo dimostrare? Come si potrebbe formulare in modo diverso?

Come posso sfruttare i dati?

Le euristiche in matematica Polya (1945)

• L'euristica moderna consente la comprensione del processo di risoluzione dei problemi, soprattutto per quanto concerne le operazioni mentali tipiche di esso.

• Tali operazioni possono essere stimolate da alcune domande chiave che il bravo solutore di problemi si pone in modo naturale e spontaneo.

• Inoltre nel bravo solutore queste domande si susseguono con una certa regolarità, nel senso che egli le formula in genere in corrispondenza di momenti diversi del processo risolutivo.

Le 4 fasi di un processo risolutivo:

• Si comprende il problema• Si compila un piano• Si sviluppa il piano• Si procede alla verifica

George Polya

Un esempio

• Una delle euristiche che Polya fa corrispondere alla prima fase è:

Se non si riesce a risolvere il problema proposto, si tenti di risolvere prima qualche problema connesso con questo.

Se non si riesce a risolvere il problema proposto, si tenti di risolvere prima qualche problema connesso con questo.

Problema di costruzione:

In un triangolo assegnato, inscrivere un quadrato avente due vertici sulla base e ciascuno degli altri due vertici su un lato del triangolo.

“Qual è l’incognita?”“Un quadrato.”“Quali sono i dati?”“Soltanto un triangolo.”“Qual è la condizione?”“Che i quattro vertici del quadrato appartengano al contorno del

triangolo e, precisamente, due stiano sulla base e ciascuno degli altri due giaccia su un lato del triangolo.”

“E’ possibile soddisfare alla condizione?”“Ritengo di sì, ma non ne sono sicuro.”“Sembra che tu non trovi il problema troppo facile. Se non si riesce a

risolvere il problema proposto, si tenti di risolvere prima qualche problema connesso con questo. Si può soddisfare ad una parte della condizione?”

“Cosa si intende per una parte della condizione?”“Ecco, la condizione riguarda tutti i vertici del quadrato; ossia quanti

punti?”“Quattro.”

“Una parte della condizione dovrebbe riferirsi ad un numero di vertici minore di quattro. Si tenga conto soltanto di una parte della condizione, trascurando l’altra. Quale parte della condizione si presta ad essere soddisfatta più facilmente?”

“E’ immediato disegnare un quadrato con due vertici sul contorno del triangolo – od anche con tre vertici su di esso!”

“Si disegni una figura!”

Lo studente disegna la figura 1.

“Così si è tenuto conto soltanto di una parte della condizione, trascurando l’altra. Fino a che punto risulta ora determinata l’incognita?”

“Il quadrato richiesto non è ancora individuato: quello disegnato ha solo tre vertici appartenenti al contorno del triangolo.”

“Bene! Si disegni un’altra figura!”

Lo studente traccia la figura 2.

“ “Abbiamo detto che il quadrato non è determinato dalla parte della condizione considerata. Come può variare?”

[...]“Tre vertici dei quadrati precedenti giacciono sul contorno

del triangolo, ma il quarto vertice non è ancora dove dovrebbe stare. Il quadrato richiesto, come abbiamo già notato, non è fino a questo momento individuato; esso può variare e lo stesso accade per il suo quarto vertice. Come può variare questo punto?”

[...]“Si facciano dei tentativi pratici, per vedere meglio. Si

disegnino tanti quadrati, come quelli già considerati, aventi tutti e tre i vertici sul contorno del triangolo: quadrati piccoli e quadrati grandi. Quale sembra essere il luogo descritto dai quarti vertici? Come può quindi variare il quarto vertice di ciascun quadrato siffatto?”

Alcune critiche (Schoenfeld)• La scelta di trascurare la condizione che impone tutti e 4 i

vertici del quadrato sui lati del triangolo è evidentemente solo una delle tante possibili.

• Ad esempio si poteva rinunciare invece alla condizione che il quadrilatero fosse un quadrato, e lavorare sui rettangoli, ottenendo il problema: inscrivere un rettangolo nel triangolo dato.

• Inoltre l’euristica di partenzaSe non si riesce a risolvere il problema proposto, si tenti

di risolvere prima qualche problema connesso con questo.

poteva suggerire anche di: - partire dal quadrato e costruire un triangolo simile a quello

dato soddisfacente le condizioni; - inscrivere un quadrato in un triangolo particolare, ad

esempio isoscele o equilatero. Ognuna di queste scelte avrebbe avuto una notevole influenza

sul processo risolutivo.

Gli episodi (Schoenfeld,1983):

1. Lettura2. Analisi 3. Esplorazione 4. Pianificazione 5. Implementazione 6. Verifica 7. Transizione

Terminologia• Obiettivo, meta (‘goal’)

• Esercizio / problema

• Processi decisionali

• Strategie, euristiche

• Gestione delle risorse (abilità metacognitive)

OSSERVAZIONE

• Giudizio sulla strategia / giudizio sull’obiettivo

von Neumann

Terminologia• Obiettivo, meta (‘goal’)

• Esercizio / problema

• Processi decisionali

• Strategie, euristiche

• Successo / fallimento

• Gestione delle risorse

“Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla.”

…se il soggetto non raggiunge la meta

FALLIMENTO

• per quel soggetto• rispetto a quella meta

Volevo prendere 8 alla verifica

Volevo prendere la sufficienza alla verifica

Ho preso 7

Ho preso 6

FALLIMENTO

SUCCESSO

Terminologia• Obiettivo, meta (‘goal’)

• Esercizio / problema

• Processi decisionali

• Strategie, euristiche

• Successo / fallimento

• Interpretazione del fallimento/successoAttribuzioni di fallimento (successo)

• Gestione delle risorse

ricerca e individuazione delle cause del successo / fallimento

Processo di attribuzione causale (Weiner):LocusStabilitàControllabilità

• Ho preso l’insufficienza al compitoPerché era difficilePerché non ho studiato abbastanzaPerché la professoressa ce l’ha con mePerché non me l’hanno passatoPerché mi sentivo male

Esempi:

Causa interna, non stabile, controllabile

Attività 2.2

• Pensa a una situazione in cui hai affrontato un problema e l’hai risolto.

• Qual è stata la tua attribuzione di successo?

• Pensa a una situazione in cui hai affrontato un problema e non l’hai risolto.

• Qual è stata la tua attribuzione di fallimento?

Il bravo solutore di problemi

ESERCIZIO PROBLEMA

comportamentoautomatico

comportamentostrategico

...nel problema si devono prendere DECISIONI!!!!

Chi è il bravo solutore di problemi?

Chi sa prendere decisioni adeguate

Da cosa dipendono le decisioni che una persona prende di fronte ad un problema?

Da cosa dipendono le decisioni che una persona prende di fronte ad un problema?

Attività 2.3

• Analizza le decisioni che hai preso in una situazione di problema, cercando di individuarne le origini.

Da cosa dipendono le decisioni che una persona prende di fronte ad un problema?

1. Dalle conoscenze che ha riguardo a quel contesto

2. Dal repertorio di euristiche (Polya)

3. Dalle capacità di gestire le proprie risorse (abilità metacognitive)

Schoenfeld (1985)

In the best of all possible worlds the three categories of knowledge and behavior described above [knowledge, heuristics, control] would suffice to characterize mathematical problem-solving performance.

The literature now makes it abundantly clear that this is not the best of all possible worlds (…).

The literature now makes it abundantly clear that this is not the best of all possible worlds (…).

Da cosa dipendono le decisioni che una persona prende di fronte ad un problema?

1. Dalle conoscenze che ha riguardo a quel contesto

2. Dal repertorio di euristiche (Polya)

3. Dalle capacità di gestire le proprie risorse (abilità metacognitive)

• Da altri aspetti che andremo ad indagare, spostandoci sul polo ‘allievo’ e sulla complessità del processo di apprendimento

ALLIEVO

INSEGNANTE

MATEMATICA

Da cosa dipendono le decisioni che una persona prende di fronte ad un problema?

l’insegnante

…

l’allievo

Il ‘modello’ di insegnanteche assumiamo

• L’insegnante come solutore di problemi

• …o come agente decisionale

Riprenderemo l’analisi delle sue decisioni dopo aver esaminato il polo ‘allievo’