D.I.B.E.-Università di Genova1 CORSO DI SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE ANNO ACCADEMICO 2009-2010...

D.I.B.E.-Università di Genova 1

CORSO DI SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE ANNO ACCADEMICO 2009-2010

COLLEGAMENTI IN FIBRA OTTICA

Prof. Carlo Regazzoni


RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

[1] P. Mandarini, “Comunicazioni Elettriche”, Vol. I e II, Editrice Ingegneria 2000, Roma: 1989.

[2] M. Luise, “Sistemi di Trasmissione su fibra ottica”, Edizioni ETS, Pisa: 1996.

[3] G. Bonaventura, “Verso una rete tutta ottica”, Mondo Digitale, anno IV n.3, settembre 2005, pp. 32-43


PARTE PRIMA:

GENERALITA’ SULLA TRASMISSIONE A FIBRA OTTICA


FIBRE OTTICHE: GENERALITA’

La trasmissione di segnali elettrici mediante fibre ottiche è realizzabile applicando ad un estremo della fibra una sorgente di luce (infrarosso: 0.52.0m di lunghezza d’onda) in grado di variare la potenza istantanea di emissione proporzionalmente al segnale da trasmettere, e collegando l’altro estremo della fibra ad un fotodiodo, in grado di generare una corrente proporzionale alla potenza luminosa (istantanea) ricevuta.

s(t) Sorgente FotodiodoWT(t)=ks(t) WR(t)

i(t)=k’WR(t)Fibra ottica

R


Note Storiche sulle Fibre Ottiche

• 1500 : Murano(Venezia) utilizzo della propagazione guidata della luce nel vetro per fini artistici

•1950 : Van Heel,Hopkins e Kanapy della Corning Glass (U.S.A) sviluppano il fiberscope per usi medicali; Kanapy introduce in letteratura il termine fibra ottica

•1960 : sviluppo delle sorgenti ottiche LED e LASER

•1970 : Corning Glass commercializza le prime fibre ottiche step-index multimodo , attenuazione 20dB/km

•1980 : uso massivo delle comunicazioni ottiche


Canale di comunicazione in Fibra Ottica -Propagazione guidata ,segnale ottico, trasmissione digitale-

Caratteristiche fondamentali di una linea di trasmissione in fibra ottica

•Mezzo di trasmissione: fibra in vetro-silice o fibra di plastica(tipo nylon)

•Diametro fibra 125 micron (standard)

•Attenuazione 0.2 -5 dB/km ( fibra in vetro-silice mono-multinodo) indipendente dalla frequenza di modulazione; elevata distanza fra amplificatori di linea per rigenerare il segnale (> 100km per fibre in vetro-silice monomodo).


b) Svantaggi:

•Trasmissione di informazioni (segnali ottici), non di potenza.

•Gli amplificatori di linea dovrebbero essere alimentati tramite linea di alimentazione (ottica o elettrica) separata dalla fibra ottica di comunicazione, oppure tramite batteria.

a) Vantaggi:

• Elevata capacità di trasmissione ( alcune decine di Gbit/s);

• Immunità da interferenze elettromagnetiche;

• Elevata sicurezza dei dati trasmessi (bassa probabilità di intercettazione).


Comunicazione in Fibra Ottica -Onde el.m. nelle T.L.C.-

103 108 10 11 1015 1020 f[Hz]

VLF VHF EHF ottica raggi XTelefonia radio,tv radar

Infrarosso (I.R.) visibile UltraVioletto(U.V.)

Ross

oara

nci

ogia

lloverd

e

blu

vio

lett

o

f[1015Hz]Segnale ottico

c/f[10-6m=m]


Efficienza di una linea in fibra ottica

•Un parametro di efficienza globale di una linea di trasmissione è dato dal prodotto tra la velocità massima di trasmissione ottenibile su un dato canale B, utilizzando una data tecnica di modulazione e la massima distanza L che è possibile coprire a tale velocità:

BL

Grafico di al variare delle tecnologie


Banda a disposizione in una linea a fibra ottica

•La banda a disposizione in una fibra ottica è dell’ordine di alcuni terahertz (ovvero 1012 Hz), circa dieci volte superiore a quella disponibile nelle comunicazioni radio.

•Questa grande disponibilità di banda consente di trasmettere ad altissima velocità e questo giustifica il grafico riportato nella slide precedente (in teoria è possibile arrivare a trasmettere ad un rate pari ad alcuni Tb/s).

•La trasmissione su collegamento hertziano subisce minori attenuazioni rispetto alla trasmissione su fibra ottica per lunghe distanze (e quindi si può trasmettere al rate atteso a maggiore distanza), ma la velocità consentita su fibra è così elevata da far sì che il prodotto sia considerevolmente più elevato.


Schema generale di un sistema di trasmissione numerica su fibra

•La modulazione-dati è impressa con la tecnica On-Off-Keying (OOK), ovvero presenza/assenza di segnale in uscita dal modulatore, a seconda che venga trasmesso un bit a “1” o un bit a “0”.

•La sorgente luminosa è in questo caso un diodo LASER, che viene acceso alla massima potenza, oppure spento.


Schema generale di un sistema di trasmissione numerica su fibra (continuazione)

•Il segnale ottico prodotto dal LASER ad una certa lunghezza d’onda 0 viene quindi accoppiato alla fibra ottica. La fibra si comporta come una guida d’onda ottica.

•Il segnale trasmesso viene quindi raccolto dall’estremità terminale della fibra da un dispositivo detto fotorivelatore, che è un altro diodo a semiconduttore, il quale restituisce una corrente elettrica proporzionale all’intensità del segnale luminoso ricevuto.

•Il segnale viene poi amplificato, integrato (onde eliminare i disturbi indotti dal processo di fotorivelazione) ed infine rigenerato da un sogliatore (hard limiter), che restituisce il segnale trasmesso.

•Questo tipo di sistema è detto a rivelazione diretta e costituisce lo schema-base della quasi totalità dei sistemi di trasmissione in fibra attualmente in esercizio.


Generazione di sistemi ottici di trasmissione

•La prima generazione di sistemi ottici (fine anni ‘70) faceva uso di componenti optoelettronici in GaAs (Arseniuro di Gallio), che funzionavano alla lunghezza d’onda di 0.85m (prima finestra) e di fibre ottiche di tipo multimodo, ossia in grado di far transitare il segnale secondo diverse modalità di propagazione.

•La seconda generazione di sistemi ottici (anni ‘80) è caratterizzata da una lunghezza d’onda di 1.3m (II finestra) e da fibre il cui modo di propagazione è unico (fibre monomodo).

•La terza generazione di sistemi ottici (anni ‘90) utilizza la zona di funzionamento della fibra ottica a minima attenuazione (III finestra, 0 = 1.55m per un’attenuazione di 0.25dB/Km).


•La quarta generazione di sistemi ottici (attualmente in uso) mira ad incrementare la capacità aumentando la sensibilità dei ricevitori attraverso diverse tecniche di rivelazione del segnale (sistemi coerenti, o sistemi con amplificatore ottico).

•I sistemi futuri di quinta generazione (sistemi solitonici) si avvarranno delle proprietà di propagazione non lineare del segnale ottico per controbattere la distorsione cromatica ed aumentare la banda utile di trasmissione.

Finestre di funzionamento dei sistemi di trasmissione su fibra


PARTE SECONDA:

CARATTERISTICHE TRASMISSIVE DELLE FIBRE OTTICHE


Segnale Ottico

a) monocromatico distribuzione spettrale : () 0(0) =c/fpotenza ottica :

b)policromatico distribuzione spettrale ()potenza ottica :

dP )(

dP )(

( )

[ m ]

0

()[W/m]

[m] 0


Riflessione e rifrazione in una fibra ottica

•Una fibra ottica è sostanzialmente una guida d’onda di materiale vetroso, il cui fenomeno di guida avviene sulla base di variazioni dell’indice di rifrazione all’interno del materiale.

•Queste variazioni provocano riflessioni e rifrazioni del segnale ottico trasmesso, che ne determinano la propagazione.

•I fenomeni di propagazione del segnale su fibra ottica possono essere studiati mediante due approcci differenti:

•Approccio basato sull’ottica geometrica (semplificato);

•Approccio basato sulle equazioni di Maxwell (formale).

Vedremo, in seguito, sotto quali condizioni i due approcci sopra elencati possono efficacemente descrivere i fenomeni di propagazione del segnale ottico.


Parametri caratteristici dell’ottica geometrica

Indice di rifrazione

L’indice di rifrazione è un parametro caratteristico del mezzo di propagazione del segnale ottico.

Esempi : aria n 1 acqua n 1.3

vetro-silice n 1 cristallo n 1

diamante n 1

1ˆ v

cn

•c = velocità di propagazione del raggio luminoso nel vuoto

= velocità di propagazione del raggio luminoso nel mezzo


2211 sinnsinn Legge di Snell 1221 // nnsinsin

Riflessione e rifrazione di un raggio luminoso

Nel caso in cui un raggio luminoso a si trova ad attraversare una supeficie di interfaccia tra due mezzi con una brusca variazione dell’indice di rifrazione (es vetro-aria), si ha la situazione schematizzata nella figura sottostante:

a = raggio incidente

a’ = raggio riflesso nel mezzo 1

b = raggio rifratto (trasmesso) nel mezzo 2

1 = angolo di incidenza

2 angolo di rifrazione


Riflessione e rifrazione di un raggio luminoso

•Riferendosi all’esempio della slide precedente, dove n2<n1, si può osservare che il raggio rifratto tende ad allontanarsi dalla normale, poiché:

1// 1221 nnsinsin e quindi: 12 12 sinsin

•Aumentando l’angolo di incidenza, si dovrebbe arrivare ad una situazione in cui

•In questo caso, il raggio rifratto non si produce e si ha il fenomeno della riflessione totale;

•L’angolo di incidenza (detto angolo critico) oltre il quale si ha il fenomeno della riflessione totale è quello per cui:

22

12 nnarcsinc


Applicazione dei concetti teorici su riflessione e rifrazione del raggio luminoso alla trasmissione ottica

•Dai concetti teorici precedentemente espressi, si può intuire grossolanamente il principio di funzionamento della guida d’onda in fibra ottica.

•I raggi in fibra che incidono sull’interfaccia vetro-aria (mezzo 1: vetro, mezzo 2: aria) con un angolo maggiore di c sono riflessi totalmente e restano confinati indefinitamente all’interno della fibra stessa, così come schematizzato nella figura sottostante:


Fibre Ottiche a riflessione totale

•Molti tipi di fibra ottica di utilizzo commerciale non si discostano di molto dal principio di funzionamento ideale precedentemente menzionato.

•La realizzazione pratica di tali fibre prevede il controllo degli indici di rifrazione di entrambi i mezzi coinvolti nel fenomeno della riflessione totale, quindi uno dei due mezzi non può essere l’aria (come ipotizzato in precedenza per il mezzo 2).

•Nella realtà le fibre a riflessione totale sono costituite da un cilindro interno, detto nucleo (core), che corrisponde al materiale 1 dell’esempio precedente ed un guscio cilindrico esterno di materiale vetroso, detto mantello (cladding), che corrisponde al materiale 2.

•In generale sia il mantello che il nucleo sono costituiti da materiali vetrosi a diverso indice di rifrazione, ma non mancano fibre in materiale plastico, dai costi ridotti, ma con caratteristiche di propagazione peggiori rispetto alle fibre in vetro.


Fibra Ottica a riflessione totale-Struttura-

a)sezione trasversale b)sezione longitudinale

Core (nucleo) n1>n2

Cladding (mantello) n2

Diametro mantello 125m

Diametro nucleo 50m


Fibre Step-Index

•Le fibre step-index sono caratterizzate da una discontinuità a gradino dell’indice di rifrazione tra nucleo e mantello.

•E’ possibile studiare le proprietà di propagazione del segnale mediante le regole dell’ottica geometrica, solo per le fibre step-index a nucleo largo, ovvero caratterizzate da un raggio del nucleo molto maggiore della lunghezza d’onda del segnale luminoso (cioè <<50m).

•La fibra step-index a nucleo largo è il tipo di fibra più semplice da realizzare, ma presenta, come vedremo, alcuni inconvenienti che la rendono poco adatta alle applicazioni pratiche.


Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell’ottica geometrica

•Consideriamo una fibra step-index a nucleo largo ed esaminiamo, secondo i principi dell’ottica geometrica, la propagazione di un raggio meridionale (ovvero giacente su di un piano passante per l’asse della fibra stessa).

•Consideriamo un raggio proveniente da una sorgente di segnale, che incide l’interfaccia nucleo-mantello con un angolo inferiore a c. Tale raggio sarà parzialmente rifratto nel mantello e la porzione riflessa, a sua volta rifratta, fino a che il raggio non si esaurisce dopo poche riflessioni interne successive

•In questo caso si dice che il raggio non viene accettato dalla fibra.



•Si definisce pertanto un cono di accettazione della fibra, che contiene tutti i raggi che riescono a propagarsi per riflessione totale del nucleo.

•Il vertice del cono di accettazione giace su un diametro della sezione del nucleo (vedi figura sottostante) e l’angolo al vertice a è detto angolo di accettazione della fibra ottica.

Angolo di accettazione della fibra ottica



Relazione tra angolo di accettazione ed indici di rifrazione (1)

•Consideriamo un raggio che subisce una riflessione interna totale (ovvero 1 > c).

•Riferendosi alla figura della slide precedente, l’angolo 1 (complementare di 1) è l’angolo sotto cui viene rifratto un raggio meridionale entrato in fibra, e che forma con la medesima un angolo tale che:

110 sinnsinn 10

1 sinn

nsin

•n0 è l’indice di rifrazione del mezzo esterno alla fibra (aria), che è circa uguale ad 1. Poichè 1 è complementare di 1 si avrà che:

11 cos nsin



Relazione tra angolo di accettazione ed indici di rifrazione (2)

•Poiché deve essere 1 > c (condizione di riflessione totale), si ha che:

c coscos 1

•da questo consegue che:

22

21

21111 1coscos nnsinnnnsin cc

•da cui:

annarcsin

ˆ2

221

•Quindi i raggi che si presentano alla bocca della fibra con un angolo minore di a, definito sopra, subiranno una riflessione totale da parte della fibra e si propagheranno attraverso la fibra stessa. Altrimenti non saranno accettati dalla fibra e verranno “dispersi” nel mantello.



Apertura numerica di una fibra ottica

•Sovente, invece di a viene fornito il valore del suo seno, valore che è chiamato apertura numerica NA (o semplicemente apertura) ovvero:

22

21 nnsinNA a

•Tanto maggiore è l’apertura numerica della fibra, tanto più ampio è il cono di accettazione dei raggi. Con i valori tipici delle fibre per telecomunicazioni, ovvero n1 = 1.50 ed n2 = 1.47 si ottiene:

3.0NA 17a


Angolo di accettazione : m =

Cladding n1

Core n2

Asse otticoc

m

Mezzo n0< n2

)/( 012

22 nnnarcsin

Apertura numerica : N.A. = n0sin a = 12

22 nn

Esempio aria/core e cladding in vetro : n0 1 ; n2 1.50 ; n1 1.48 .

N.A. = = 0.2422 )48.1()50.1( 1

22

2 nn

a = arcsin 0.24 14°

m 90°-c

Esempio di core e cladding in vetro : n0 = n2 1.50; n1 1.48


Cladding n1 = ?

Core n2 = 0.48

Asse otticoc

Esercizio 1

Progettare una fibra ottica con core in vetro (n2 = 1.48) ed angolo di accettazione m= 20 ° rispetto ad una sorgente ottica operante inaria (n01)

m

Mezzo n0 1

Soluzione : occore utilizzare un cladding con indice di rifrazione n21.44

aria


La Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index a nucleo largo

•La dispersione intermodale è l’inconveniente delle fibre step-index a nucleo largo.

•Supponiamo di avere due raggi meridionali incidenti sulla bocca della fibra, uno con l’angolo di incidenza minimo ( = 0) e l’altro massimo ( = a), come indicato nella figura sottostante.



•I due raggi viaggiano all’interno del nucleo alla stessa velocità di propagazione v = c/n1, ma coprono una stessa distanza L, misurata lungo l’asse della fibra, attraverso due percorsi diversi, che hanno lunghezza totale diversa.

•In particolare, il raggio 1 percorre una traiettoria di lunghezza d1 = L, mentre la traiettoria del raggio 2 è lunga d2 = (L / sin c). Se i due raggi sono entrati in fibra allo stesso istante, giungono al punto a distanza L sulla fibra negli istanti:

cvsin

Lt

2v

Lt 1

•L’intervallo di tempo che intercorre tra i due istanti è pari a:

2

21

2

1112 11

1

cn

Ln

n

n

c

Ln

sinv

Lttt

c

1

21ˆn

n

Variazione relativa dell’indice di

rifrazione



•Questo fenomeno di ritardo temporale tra i diversi raggi prende il nome di dispersione intermodale. Infatti i vari cammini percorsi dai raggi possono essere considerati come modi di propagazione dell’onda luminosa all’interno della fibra.

•Ad ognuno di questi modi può essere associata una velocità di propagazione lungo l’asse della fibra pari a:

1n

csinvg

che dipende dall’angolo di incidenza del raggio sull’interfaccia nucleo-mantello e quindi dalla natura del modo.

•Per questo motivo le fibre step-index a nucleo largo sono anche fibre multimodo e sono caratterizzate dalla dispersione intermodale.


Effetti della Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index Multimodo sulle trasmissioni numeriche

•La dispersione intermodale si rivela dannosa quando il ritardo relativo massimo t nella propagazione dei modi diviene confrontabile con le costanti di tempo del segnale trasmesso in fibra.

•Se viene lanciato in fibra un impulso di durata T mediante uno dei raggi più lenti (ovvero con angolo di incidenza esterno = a), la durata di tale impulso, osservato alla distanza L sulla fibra sarà pari a T+t.

•Quando t diviene confrontabile con T, l’impulso trasmesso si “allarga” e tende ad “invadere “gli intervalli di segnalazione adiacenti (vedi figura sotto). Si determina quindi interferenza inter-simbolica (ISI)


Effetti della Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index Multimodo sulle trasmissioni numeriche

•La dispersione intermodale impone quindi un limite superiore alla velocità di trasmissione, che deve essere scelta in modo tale da non avere ISI. In pratica:

bRT

cn

Lnt

1

2

21

•Considerando la banda di trasmissione B circa uguale al bit-rate Rb, si ottiene inoltre che:

21

2

Ln

cnB

•Introducendo il parametro di capacità =BL, si ottiene infine:

21

2

n

cn

•Con i valori di n1 ed n2 usuali (1.50 ed 1.47 rispettivamente) si ottiene un valore della capacità di 10Mb/s*Km, che è un valore alquanto modesto.


Fibre ad indice graduato (Graded-Index)

•Per ovviare ai problemi di dispersione intermodale tipici delle fibre step-index multimodali, si possono fabbricare fibre di differente tipo.

•Restando nell’ambito delle fibre a nucleo largo, si sono realizzate fibre il cui indice di rifrazione del nucleo varia gradatamente tra un valore massimo n1 ed il valore del mantello n2, man mano che ci si sposta dal centro della fibra verso il mantello.

•Questo tipo di fibra è detto ad indice graduato (graded index).


Fibre Graded-Index: caratteristiche della propagazione

•Nelle fibre graded-index i raggi non subiscono una riflessione brusca all’interfaccia nucleo-mantello, ma vengono “incurvati” dalla variazione graduale dell’indice di rifrazione del nucleo.

•La principale legge di variazione di n con la distanza radiale è il cosiddetto profilo :

(mantello)

(nucleo) 21

2

1

an

aann

•a è il raggio del nucleo e è un parametro definito in sede di lavorazione.

•Le traiettorie di propagazione possono essere ricavate mediante il principio di Fermat, secondo il quale il percorso scelto da un raggio per propagarsi tra un punto P1 di partenza ed un punto P1 di arrivo è quello che minimizza il tempo totale di percorrenza.

nn2

n1



•Il tempo dt necessario a percorrere un tratto di lunghezza elementare ds, relativo al generico punto r, caratterizzato da indice di rifrazione n(r) è pari a:

c

dsrn

v

dsdt

)(

•Considerando il principio di Fermat, la traiettoria seguita dal raggio è tale da minimizzare l’integrale curvilineo:

2

1

)(

P

P

dsrn

che è proporzionale al tempo di propagazione totale.



•Il principio di Fermat può essere riformulato in maniera differenziale (equazione di Eulero-Lagrange), ovvero:

)()( rnds

drrn

ds

d

•Adottando un sistema di riferimento come quello della figura sottostante, tale equazione può essere semplificata nella seguente maniera, per ottenere l’equazione cartesiana y(z) del raggio luminoso:

dy

dn

ndz

yd 12

2

Ove n è funzione di , secondo il profilo

y (distanza radiale)



•Sostituendo n() precedentemente indicata, con = 2 (profilo parabolico) e considerando <<1 (condizione verificata nella pratica), si trova l’equazione di un oscillatore armonico, la cui soluzione è la seguente:

a

zsin

a

y

a

zyzy 2

/22cos)(

'0

0

•Ove y0 e y’0 sono la posizione e la direzione iniziale del raggio. Due raggi che partono dalla stessa posizione, ma con direzioni iniziali differenti si propagano seguendo traiettorie diverse, che seguono un andamento sinusoidale con diverse ampiezze (vedi figura slide precedente).

•In questo modo la dispersione intermodale viene attenuata, in quanto, per effetto della graduazione dell’indice di rifrazione, i raggi che si allontanano maggiormente dall’asse seguendo traiettorie più lunghe, si trovano a transitare in zone della fibra caratterizzate da un indice di rifrazione più piccolo, rispetto a quello che si ha in vicinanza dell’asse.

•L’allungamento della traiettoria è quindi compensato da una maggiore velocità di propagazione. In pratica la risposta della fibra viene “equalizzata”.


Fibre Graded-Index: incremento delle prestazioni rispetto alle fibre step-index

•Sfortunatamente, i risultati dell’analisi mostrata in precedenza, valgono solo per i raggi meridionali, cosicché un certo grado di dispersione è presente anche nelle fibre graded-index.

• Si può dimostrare che le fibre a profilo presentano presentano un ritardo differenziale minimo pari a:

Lc

nt

8

21

quando si sceglie:

212

Questo è il motivo per cui si sceglie 2,come già accennato. La dispersione minima conduce ad un valore massimo della capacità per fibra multimodo graduata pari a:

21

8

n

c Valori tipici: 4Gbit/s*Km


Fibre monomodali a nucleo stretto

•Il rimedio più efficace per risolvere il problema della dispersione intermodale sarebbe, teoricamente, quello di inibire la propagazione dei modi multipli in fibra, lasciando un solo modo fondamentale.

•Sfortunatamente questa condizione, detta di monomodalità, non può essere ricavata mediante l’approccio semplificato dato dall’ottica geometrica, usato per la fibra multimodo.

•La monomodalità richiede una configurazione della fibra a “nucleo stretto” (<<50m), in modo tale che le dimensioni caratteristiche della fibra risultino confrontabili con la lunghezza d’onda del segnale (0.8 -1.6m).

•In queste condizioni si deve ricorrere ad un approccio più formale per studiare le caratteristiche di propagazione del segnale attraverso la fibra ottica: ovvero l’approccio basato sulle equazioni di Maxwell.


Propagazione di un’onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell)

•Precisiamo innanzitutto la notazione adottata. Adottando il formalismo degli equivalenti in banda-base di segnali passabanda (o inviluppi complessi), un campo elettrico generico può essere espresso come:

tfjetrEtrE 02,Re,

Equivalente in banda-base rispetto alla frequenza f0 del campo elettrico.

Tzyxr ,,

Vettore posizione

•Nel caso di campo monocromatico si ha che:

rEtrE

,



•L’analisi della propagazione del segnale ottico in una fibra di tipo step-index parte dalle equazioni di D’Alembert delle onde:

2

22

t

EE

2

22

t

HH

•Riscrivendo tali equazioni attraverso l’inviluppo complesso di un campo monocromatico (altrimenti detto fasore) in un materiale dielettrico omogeneo, isotropo e senza perdite, otteniamo la cosiddetta equazione di Helmoltz:

020

22

rknr

r

è una qualsiasi tra le sei componenti dei vettori complessi

E

Hcfk 00 2 è il numero d’onda nel vuoto dell’oscillazione accoppiata

alla fibra.n è l’indice di rifrazione nel mezzo.



•In un sistema di riferimento a coordinate cilindriche (,,z), avente asse z coincidente con l’asse longitudinale della fibra nella direzione di propagazione dell’onda, l’equazione di Helmoltz diventa:

011 2

02

2

2

2

2

22

2

knz

con n=n1 se

a0 (nucleo) e n=n2 se

a (mantello)

•A questo punto si richiede che la soluzione dell’equazione (i) abbia la seguente forma:

(i)

zjFz

exp,, (ii)

•che, in ogni punto della fibra, fissati e , rappresenta un’onda progressiva lungo l’asse z, con coefficiente di propagazione da determinarsi.

z



•Sostituendo (ii) in (i) si ottiene:

0

1

2

220

22

2

2

2

F

FknddF

dFd

•Il termine che moltiplica la funzione è una costante rispetto alla coordinata . Per cui la (iii) può essere spezzata in due equazioni differenziali ordinarie per le funzioni e F(). Poiché la funzione deve risultare periodica di periodo 2 nella variabile , l’equazione relativa deve essere scritta nella seguente maniera:

(iii)

022

2

md

d

•ove m è una costante intera arbitraria per rispettare la condizione di periodicità.

(iv)



•L’equazione per F() è allora un’equazione del secondo ordine di Bessel:

01

2

222

02

2

2

F

mkn

d

dF

d

Fd

•Affinché l’onda sia confinata all’interno del nucleo (ossia venga guidata), la costante di propagazione deve soddisfare le seguenti due condizioni:

01kn a0

02kn a

•E’ quindi conveniente definire due nuove costanti:

02201

2 kn

(v)

(costante di propagazione minore del numero d’onda del nucleo)(costante di propagazione maggiore del numero d’onda del mantello)

(nel nucleo)

0202

22 kn (nel mantello)

(Verificheremo dopo perché)



•L’equazione (v) assumerà quindi due forme diverse, una relativa al nucleo della fibra ottica ed una relativa al mantello, ovvero:

01

2

22

2

2

F

m

d

dF

d

Fd

a0 (v.i

)

01

2

22

2

2

F

m

d

dF

d

Fd

a (v.ii)

•Le equazioni (v.i) e (v.ii) ammettono diversi tipi di soluzioni generali, dette funzioni di Bessel, che sono definite in forma numerica.

•Si devono scartare le funzioni di Bessel che non sono limitate in =0 (poiché il campo elettrico assume valori finiti in tale punto). Così come si devono scartare le funzioni di Bessel che non sono limitate per tendente all’infinito, poiché si richiede che il campo si esaurisca interamente nel mantello (supposto di spessore infinito).



Funzioni di Bessel di prima specie



Funzioni di Bessel di seconda specie(Per x->0, tendono a - )



Funzioni di Bessel modificate di prima specie(Per x->+ , tendono a + )



Funzioni di Bessel modificate di seconda specie



•Da quanto visto nei grafici riportati precedentemente sulle funzioni di Bessel, le uniche funzioni ammissibili come soluzioni dell’equazione di Helmoltz sono quelle di prima specie (Jm) e quelle modificate di seconda specie (Km). La soluzione di (v.i) e (v.ii) viene quindi esplicitata nella seguente maniera.

expexpz,,

expexpz,,

azjjmKB

a zjjmJA

m

m

•Le costanti A e B sono determinate sulla base delle condizioni al contorno. Esempi di andamenti delle soluzioni dell’equazione di Helmoltz sono mostrati sotto:

z,,

è una qualsiasi tra le 6 componenti dei vettori degli equivalenti in banda-base di E e di H. Quindi vi sono da determinare 12 costanti.

(vi)



•Il numero di costanti da determinare può essere, tuttavia, ridotto. Attraverso le equazioni di Maxwell è possibile infatti esprimere le componenti radiali e le componenti tangenziali del campo magnetico e del campo elettrico in funzione delle sole componenti assiali, ovvero:

zEEE

zEEE

zHHH

zEHH

•Le costanti da determinare rimangono in questo modo solamente quattro (due relative alle componenti assiali del campo elettrico e due relative alle componenti assiali del campo magnetico). Queste costanti possono essere, infine, determinate imponendo le condizioni di continuità delle componenti tangenziali ed assiali all’interfaccia in =a (interfaccia nucleo-mantello).

•Si ricava in tal modo un sistema a 4 equazioni e 4 incognite, che ammette soluzione non banale solo se il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo. Questa condizione è detta equazione caratteristica.



•Omettendo i calcoli, l’equazione caratteristica ha la seguente formulazione (l’apice indica l’operazione di derivazione):

2

22

2

01

'

21

22

''' 11

aakn

m

aaK

aK

n

n

aaJ

aJ

aaK

aK

aaJ

aJ

m

m

m

m

m

m

m

m

(vii)

•L’andamento oscillatorio delle funzioni di Bessel Jm suggerisce che fissato l’ordine m di armonica della soluzione elementare dell’equazione di Helmoltz secondo la (vi.i) e (vi.ii), si hanno in generale soluzioni multiple dell’equazione caratteristica, ognuna di esse contraddistinta da un diverso valore della costante di propagazione . Tali valori sono indicati con mi, ove m è l’ordine di armonica (ovvero l’ordine della funzione di Bessel) ed i è l’ordine della soluzione.

•Ognuno dei valori sopracitati corrisponde ad un modo distinto di propagazione dell’onda in fibra, caratterizzato da una specifica costante di propagazione e da una particolare distribuzione radiale del campo.


•A questo punto possiamo capire perché devono verificarsi le due condizioni relative alla costante di propagazione precedentemente indicate in modo tale da garantire il confinamento dell’onda all’interno del nucleo, ovvero:

01kn a0

02kn a

0ˆ kn

21 nnn

•In effetti, ogni modo all’interno della fibra si propaga con un indice di rifrazione n, che deve rispettare le due condizioni:

•Introduciamo la seguente quantità che chiameremo indice di modo, ovvero:



•Infatti, un modo cessa di essere guidato, quando:

2nn

•Questo può essere visto considerando l’andamento della funzione di Bessel soluzione dell’equazione di Helmoltz nel mantello. Per valori molto elevati dell’argomento essa può essere approssimata come:

2exp mK 1

•Quando è verificata la condizione (*), si ha che:

(*)

02020 knknnkn

•E quindi 2<=0. Ciò significa che non si ha più il decadimento esponenziale del campo all’interno del mantello (avremmo una funzione di Bessel che diviene un’esponenziale complessa). Il campo si propaga anche nel mantello. Se =0 (ovvero se n = n2) si dice che il modo raggiunge la condizione di cutoff.



Determinazione del numero dei modi di propagazione in una fibra step-index a nucleo stretto

•Ricavare il numero dei modi di propagazione supportati da una fibra step-index a nucleo stretto non è un’operazione immediata.

•Occorre inanzitutto definire un nuovo parametro, detto parametro V della fibra o anche frequenza normalizzata:

0022

210

22 2ˆ aNANAaknnakaV

•Il parametro V è facilmente determinabile in funzione delle specifiche standard della fibra (apertura numerica, raggio del nucleo). Tuttavia esso è fondamentale nella determinazione del numero dei modi di propagazione della fibra step-index.

•Dato che: 202

2202

22 knkn

•Si ottiene infine che:

2

22

aNA

Vn (viii)

(costante di propagazione)



•Sostituendo la (viii) in (vii), si ottiene un’equazione in due incognite: a e a, che possiamo interpretare in maniera grafica come l’equazione implicita di una famiglia di curve sul piano (a, a), ciascuna individuata da un’armonica di ordine m. Fissato m, ogni punto della relativa curva rappresenta una possibile coppia di valori (a, a), relativi ad un modo della fibra.

•Nella figura della slide precedente sono rappresentate le famiglie di curve per m=0 (tratto nero spesso) e m=1 (tratto grigio). Tuttavia tali curve non ci dicono quanti e quali modi sono effettivamente supportati dalla fibra ottica alla lunghezza assegnale 0.

•Questa informazione si ricava tenendo conto che: 22222ˆ VaaaV

Equazione di una circonferenza di raggio V



•Le intersezioni tra le famiglie di curve e la circonferenza di raggio V rappresentano le coppie di valori (a, a), relative ai modi di propagazione effettivamente supportati dalla fibra ottica. Da queste coppie di valori, si può risalire al coefficiente di propagazione di ogni modo supportato.



•Il parametro V è direttamente proporzionale all’apertura numerica della fibra. Questo incontra quanto osservato in precedenza dall’analisi condotta con l’ottica geometrica per le fibre a nucleo largo, laddove più ampia è l’apertura numerica e più largo è il cono di accettazione dei raggi ed, in definitiva, maggiore il numero dei modi di propagazione supportati.

•Dalla figura riportata nella slide precedente, si osserva come, per quanto piccolo sia il valore di V, almeno una intersezione tra una circonferenza ed una delle curve della famiglia m = 1 esisterà sempre.

•Si può dimostrare (qui viene omesso) che se V<2.405, tale intersezione è unica, anche in presenza delle altre famiglie di curve con m>1, che nel grafico non sono rappresentate. Infatti si può verificare che V=2.405 è il valore per il quale tutti gli altri modi della fibra, eccetto quello fondamentale, sono nella condizione di cutoff (ovvero non possono propagarsi in maniera guidata). La condizione di monomodalità della fibra ottica è quindi: 405.2V Condizione di

monomodalità



•La curva sperimentale che riporta il numero di modi supportati M da una fibra step-index in funzione del parametro V è mostrata nella figura sottostante. Sono anche indicate le due curve di upper e lower bound che “racchiudono” la curva sperimentale. Ciascun modo può essere caratterizzato da diverse polarizzazioni.

2

2VM

242

VM

Valori medio-piccoli di V

Valori grandi di V

(viii)


Realizzazione pratica di una fibra step-index monomodale

•Per concludere questa parte, si può dire che una fibra monomodale può essere realizzata, in pratica, rispettando in sede di fabbricazione la seguente condizione:

405.2222 010 anaNAV

•I due parametri costruttivi su cui si può agire sono il raggio del nucleo a e la variazione relativa dell’indice di rifrazione . Occorre pertanto ridurre o uno o l’altro o entrambi.

•La riduzione eccessiva del raggio del nucleo crea difficoltà di accoppiamento della fibra alle sorgenti ed ai fotorivelatori e rende problematiche le giunzioni durante la posa. Per questo si cerca di ridurre anche , in modo da non dover realizzare fibre a nucleo troppo stretto.

•Tuttavia un valore troppo basso di (nucleo e mantello con indici di rifrazione quasi uguali) e quindi di NA, rende difficile fare entrare e propagare un raggio all’interno della fibra (infatti l’angolo di accettazione a diviene molto piccolo).


Realizzazione pratica di una fibra step-index monomodale

•Per ovviare a questi inconvenienti, talora si utilizzano le cosiddette fibre W, dette anche a mantello depresso.

•Queste fibre sono caratterizzate da un nucleo non troppo stretto e da un doppio mantello. Il primo mantello ha un indice di rifrazione molto inferiore rispetto a quello del nucleo (vedi figura sottostante) ed è molto sottile, mentre il secondo mantello, di spessore maggiore del primo, ha un indice di rifrazione comparabile con quello del nucleo.

0103 knkn

•Il modo fondamentale residuo è tale da verificare la condizione:

•Eventuali altri modi di ordine superiore con:

0302 knkn Non sono possibili in quanto il primo mantello funge da barriera (per tali modi l’onda tende a propagarsi nel primo mantello ed a disperdersi successivamente nel secondo).


Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale

•Fino ad ora abbiamo visto quali accorgimenti possono essere adottati per limitare il fenomeno della dispersione intermodale, che è oggettivamente il massimo fattore di limitazione della capacità di un collegamento in fibra.

•Le soluzioni adottate vanno dall’uso di fibre a nucleo largo, ma ad indice graduato, all’impiego di fibre step-index monomodali (a nucleo stretto o a mantello depresso).

•La soluzione più efficiente appare quella che utilizza fibre step-index monomodali (altre soluzioni, come quella di utilizzare fibre ad indice graduato ed a nucleo stretto non sono utili a migliorare le prestazioni e quindi non vengono realizzate).

•Tuttavia anche le fibre monomodali soffrono di un fattore che limita la capacità del collegamento. Questo fattore è la dispersione intramodale.



•La dispersione intramodale è dovuta al fatto che il vetro è un materiale lineare, ma dispersivo, ovvero il suo indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda dell’oscillazione luminosa a cui è sottoposto, ovvero:

nn•Quindi segnali a lunghezza d’onda differenti si propagano nel mezzo a velocità differenti. Questo fatto è assai rilevante nei sistemi di trasmissione in fibra, poiché il segnale trasmesso è un segnale modulato, che è scomponibile in una sovrapposizione di più oscillazioni monocromatiche a diverse lunghezze d’onda (frequenze), centrata intorno alla frequenza della portante f0 (ovvero alla lunghezza d’onda fondamentale 0).

•Questo tipo di segnale è detto pacchetto d’onda e la generica componente a frequenza f del pacchetto d’onda si propaga con velocità di gruppo definita da:

df

fdn

c

f

c

fn

df

ffnd

cdf

fd

d

d

fvg

1

2

1ˆ

1

c

nvg (Ottica geometrica)



•Se n non è costante rispetto alla frequenza, tali componenti si propagano con velocità diverse ed, una volta raccolte all’estremità del mezzo, si ricombinano con ritardi diversi, dando luogo ad una distorsione lineare analoga alla dispersione temporale per cammini multipli.

•La distorsione cromatica può essere analizzata quantitativamente considerando un pacchetto d’onda che si propaga lungo l’asse z in un mezzo omogeneo, isotropo, lineare e semi-infinito. L’espressione del pacchetto d’onda è la seguente:

ztjftz;a tjftz;ψtz;ψ 000 2expRe2expRe

Costante di propagazione alla lunghezza d’onda

0

Inviluppo complesso del

pacchetto d’onda

Una qualunque delle sei componenti del campo

elettromagnetico associato all’onda

luminosa 000 2ˆ fnf



•A noi interessa calcolare una relazione che leghi la forma d’onda dell’inviluppo complesso dell’onda inviata, con quella osservabile ad una distanza z dall’imboccatura della fibra, ovvero:

t;aT 0 tz;a

•Poiché la distorsione è lineare, possiamo attribuire alla relazione che lega i due inviluppi complessi il significato di una relazione ingresso-uscita di un sistema lineare, che può essere completamente caratterizzato dalla propria risposta in frequenza.

•Per calcolare tale risposta in frequenza, supponiamo che:

tjt;a 2exp0

Oscillazione sinusoidale a frequenza

t;t;a 00



•Per cui, nelle ipotesi fatte in precedenza, avremo che:

tjHtz;a 2exp

•Per cui, il pacchetto d’onda è esprimibile come:

Risposta in frequenza della distorsione intramodale

zjtjHtz; 0exp2exp

•Ritornando, tuttavia, alla definizione letterale di pacchetto d’onda, si può scrivere un’altra eguaglianza:

(i)

zfjtjzfjt;tz;

00 exp2expexp0 (ii)


•Eguagliando (i) con (ii) otterremo la risposta in frequenza del mezzo dispersivo:


zffjH 00exp

•Se l’indice di rifrazione non dipendesse dalla frequenza (mezzo non dispersivo), si otterrebbe:

cnff 200

•E quindi non si avrebbe alcuna distorsione durante la propagazione, ma solamente un ritardo proporzionale alla lunghezza del tragitto percorso, ovvero:

z

g



•Se invece si considera la fibra un mezzo debolmente dispersivo (qual è), ovvero si considerano variazioni modeste dell’indice di rifrazione in funzione della frequenza, è lecito approssimare l’andamento di (f) con un polinomio di Taylor attorno ad f0 ed arrestato al II° ordine. In tal caso si ottiene:

zdf

djz

df

djH

ffff

22

2

002

1expexp

•La relazione scritta sopra può essere espressa in funzione della velocità di gruppo, precedentemente definita e del coefficiente di dispersione cromatica, definito come:

2

2

2 2

111ˆ

df

dc

d

df

df

vd

d

vdD gg



•In tal modo si ottiene la seguente espressione della distorsione cromatica:

c

zDj

v

zjH

g

202exp2exp

Termine che introduce un ritardo di propagazione

(ritardo di gruppo)

Termine di distorsione di fase (nullo se il mezzo non è

dispersivo, mentre dipende da D se lo è)

•A questo punto, possiamo abbandonare l’ipotesi di materiale semi-infinito e ritornare al caso della fibra ottica step-index monomodale, usando l’indice di modo, che è espresso come rapporto tra la costante di propagazione ed il numero d’onda, ovvero:

k

ffN



•L’indice di modo risulta variabile con f poiché il materiale è dispersivo (in quanto dipende da n). Ricordando quindi la definizione di velocità di gruppo, avremo che:

fN

c

df

cffNd

fd

fkNd

d

dfv

gg

111

2ˆ

Ove: df

fdNffNfN g Indice di gruppo, che lega la

velocità di gruppo della componente del pacchetto d’onda a frequenza f con la corrispondente velocità nel vuoto.

•Le diverse componenti spettrali del segnale in fibra aventi differenti lunghezze d’onda si propagheranno quindi con velocità di gruppo in generale diverse. L’impulso sarà tanto più distorto quanto più forte è la dipendenza di N da f.



•Supponiamo che lo spettro del segnale trasmesso si estenda su una banda B centrata attorno alla frequenza di portante f0, che corrisponde ad una larghezza spettrale centrata su 0. Il ritardo differenziale massimo relativo alle componenti in tale banda, associate ad un impulso di durata T, propagatosi in fibra per una lunghezza L sarà esprimibile come:

d

vLd

d

dtt g

•Introducendo il coefficiente di dispersione cromatica D si ottiene, infine:

DL

d

vdLt g1

•Il coefficiente di dispersione cromatica D, misurato in psec/nm*Km, indica l’aumento di durata di un impulso (in psec) caratterizzato da una certa larghezza spettrale (misurata in nm), che ha viaggiato in fibra per 1 Km.



•L’andamento tipico di D in funzione della lunghezza d’onda è mostrato nella Figura sottostante, dalla quale si può desumere che D è nullo per valori di pari a circa 1.3m (seconda finestra). Il valore di D per quel che riguarda la terza finestra (=1.55m) è invece pari a 17 psec/km*nm.

•In realtà la completa nullità delle dispersioni cromatiche non è praticamente raggiungibile e, lavorando in seconda finestra, si può arrivare a valori realistici di D pari a 1 psec/km*nm.


Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale (limitazione alla capacità della fibra)

•Supponendo che l’estensione spettrale del segnale sia circa uguale a 1nm (possibile da ottenere con una sorgente LASER a basso costo) e di lavorare in seconda finestra con D = 1 psec/nm*Km, si ottiene che:

DBL

DLBTDLt

11

condizione per non avere ISI

pari a 1Tbit/sec*Km

•Da questi numeri si capisce come la condizione di monomodalità in una fibra ottica consenta di raggiungere elevati valori di capacità, di svariati ordini di grandezza superiori a quelli ottenuti con fibre multimodali, sia di tipo step-index, che ad indice graduato.


Banda passante di un canale in fibra ottica

•Da quanto visto finora, si può affermare che il coefficiente di distorsione cromatica può essere espresso come la somma di due coefficienti:

•DM, che è il coefficiente di sola dispersione cromatica relativo al materiale (unica fonte di dispersione nelle fibre monomodali);

•DW, che è la dispersione di guida d’onda, dipendente dalla geometria della fibra (termine legato alla dispersione intermodale delle fibre a nucleo largo).

•La caratteristica dispersiva del materiale si traduce in un comportamento passabasso della risposta in frequenza del canale in fibra ottica. Vedremo questo tipo di comportamento prima per le fibre ottiche monomodali, dove la frequenza di taglio della risposta del canale sarà legata alla dispersione intramodale e poi per le fibre ottiche multimodali, ove occorrerà tenere conto anche dell’influenza della dispersione intermodale.


Banda passante di una fibra ottica monomodale

•Da quanto abbiamo visto, l’effetto distorcente sul segnale trasmesso esercitato da una fibra ottica monomodale è essenzialmente un suo allargamento temporale. Se, pertanto, l’eccitazione in ingresso s(t) alla fibra è un impulso matematico, l’uscita h(t) tenderà a divenire un impulso ad andamento Gaussiano, come mostrato nella Figura sottostante:

h(t)

t

DLt

s(t)

t

22 22exp22

1

tth



•Poiché l’allargamento temporale dell’impulso è limitato da una quantità proporzionale alla lunghezza della tratta della fibra ottica, è ragionevole supporre che anch’esso sarà proporzionale a tale lunghezza, per cui si potrà esprimere come:

Lk

•La costante k dipende dalla lunghezza d’onda di trasmissione (poiché il materiale è dispersivo) e dall’allargamento spettrale del segnale trasmesso quest’ultima è caratteristica propria del dispositivo di trasmissione (è molto piccolo nei diodi di tipo LASER, indicato nell’ordine di 1nm).

•La risposta in frequenza della fibra monomodale è pertanto esprimibile come:

222

2

1exp fthfH Che ha

caratteristiche passabasso



•Si assume che la frequenza di taglio della caratteristica passabasso della fibra ottica monomodale sia la frequenza in corrispondenza della quale il valore di H(f) sia la metà di quello assunto in f=0. Questo valore è dato da:

4logef

•Poiché sappiamo che è funzione di L attraverso la costante k, potremo scrivere che:

L

Ff

ove:

k

F e 4log (espresso in GHz*Km)F

in caso di completa assenza di dispersione cromatica (condizione ideale difficile da ottenere)



•In particolare, avremo che la risposta in frequenza di una fibra ottica monomodale potrà essere espressa nella seguente maniera:

22logexp Te fffH

•fT = f è la frequenza di taglio della fibra ottica monomodale. Se la banda del segnale trasmesso è molto minore della frequenza di taglio, allora si può supporre che la linea di trasmissione non introduca nessuna distorsione lineare.

•Altrimenti si deve supporre che una qualche distorsione sia introdotta e quindi sia necessario utilizzare una qualche forma di equalizzazione in ricezione, in maniera analoga a quanto già visto per le linee in cavo coassiale.


2

21

cn

Lnt

Banda passante di una fibra ottica multimodale

•Nel caso in cui si consideri l’utilizzo (invero svantaggioso) delle fibre ottiche multimodali, la funzione di trasferimento della fibra ottica avrà una caratteristica passabasso ancora più accentuata, in quanto alla dispersione intramodale, dovuta alla natura dispersiva del materiale si aggiunge la dispersione intermodale, dovuta alla presenza di diversi modi di trasmissione nella fibra.

•Abbiamo visto che il massimo ritardo differenziale dovuto alla dispersione intermodale è pari a:

•Quindi, l’allargamento temporale dell’impulso dovuta alla dispersione intermodale m è anch’esso proporzionale alla lunghezza della tratta in fibra. E quindi avremo:

tLkmm km dipende dalla lunghezza d’onda


Banda passante di una fibra ottica multimodale

•Per cui, la risposta in frequenza di una fibra ottica multimodale potrà essere espressa come:

2222

2

1exp fthfH mM

•Ritornando alla notazione vista precedentemente, che utilizza la frequenza di taglio, ossia:

22logexp TeM fffH

•Avremo che:

2

2

2

2

1

FL

FL

f

m

T

m

em k

F

4log

mF

Nel caso di fibre monomodali:


Caratteristiche di attenuazione delle fibre ottiche

•Finora nella trattazione sulle caratteristiche di propagazione delle fibre ottiche abbiamo tralasciato gli aspetti relativi alla perdita di potenza sperimentata dal segnale luminoso durante la propagazione in fibra.

•Si può verificare sperimentalmente che l’attenuazione della potenza del segnale trasmesso in una fibra ottica ha un andamento esponenziale in funzione della lunghezza del tipo “classico”, ovvero:

LinePLP


Coefficiente di attenuazione

•Il coefficiente di attenuazione viene usualmente espresso in dB/km, ovvero:

ePLPL inKmdB log10log101

/

•Il coefficiente di attenuazione è una caratteristica costruttiva della fibra ottica. Attualmente sono stati raggiunti valori di circa 0.2dB/Km per la terza finestra di trasmissione ( = 1.55m).

•Oltre alla perdita di potenza a causa della distanza, vi sono altre fonti di attenuazione del segnale in fibra, che qui citeremo soltanto:

•Perdita per assorbimento da materiale, dovuta alla presenza nel vetro di impurità metalliche (ad es. Cu, Co, Cr, Fe), oppure di gruppi di ossidrile imprigionati nel reticolo vetroso;•Perdita per diffusione di Rayleigh, provocata da disomogeneità del materiale su scala più piccola della lunghezza d’onda, che determinano variazioni microscopiche dell’indice di rifrazione;•Perdita per imperfezioni di guida, dovuta a piegature e microfratture della fibra che avvengono durante la posa o per cause meccaniche.


Attenuazione di fibre di nuova generazione


PARTE TERZA:

DISPOSITIVI DI EMISSIONE E RIVELAZIONE DEL SEGNALE

OTTICO


Le sorgenti di segnale ottico per la conversione segnalepotenza luminosa sono:

LED (Light Emitting Diodes): sono diodi polarizzati in modo diretto, che danno luogo ad emissione di fotoni, che sono funzione dell’intensità della corrente che li attraversa. L’emissione di luce generata dalla giunzione viene solo parzialmente convogliata nella fibra.

•Esistono LED a emissione di superficie (SLED) e LED a emissione laterale (ELED), a seconda che la sezione terminale della fibra a contatto col diodo sia disposta ortogonalmente rispetto al piano di giunzione o parallelamente ad esso.

LASER (Light Amplification of Stimulated Emission of Radiation): sono anch’essi diodi polarizzati in modo diretto, ma con una geometria a strati che crea direzioni privilegiate di emissione ed un effetto di risonanza ottica.

Caratteristiche delle sorgenti luminose


Sorgenti LED

•I LED usati per scopi di telecomunicazione sono solitamente del tipo ad alta efficienza, con radianze comprese tra 20 e 100W/angolo solido*cm2.

•A causa della natura isotropica della sorgente e dell’elevato indice di rifrazione del semiconduttore, solo una piccola frazione della potenza generata fuoriesce dal diodo, e solo una piccola parte di essa viene iniettata nella fibra. La massima potenza iniettabile in una fibra può calcolarsi attraverso la seguente formula:

•Ra = radianza del diodo LED;

•d = min(2a,dL);

•2a = diametro del core;

•dL = diametro dell’area di emissione;

= apertura numerica della fibra

•k vale 1 per fibre step-index e 2 per fibre graded-index.

2

2

dkRw aTM


s

s ffjfH

1

1

Sorgenti LED•Le caratteristiche corrente di eccitazione potenza luminosa di un diodo LED e di un diodo LASER sono riportate nella figura sottostante. Si vede che la caratteristica del diodo LED presenta un’accettabile linearità solo per potenze emesse opportunamente inferiori al massimo valore.

•I diodi LED, inoltre, riducono la loro efficienza al crescere della frequenza della corrente di eccitazione. Ciò è dovuto a dissipazioni legate alla capacità non nulla della giunzione (il LED è assimilabile ad un circuito RC). Per cui i diodi LED hanno un comportamento passabasso:

I (mA)

WT

led

laser

fs compresa tra 50 e 100MHz.


Sorgenti LASER

•Le sorgenti LASER sono caratterizzate da direzioni di emissione privilegiate (quindi non sono sorgenti isotrope) e da effetti di risonanza ottica.

•La direttività dell’emissione consente di ridurre grandemente l’allargamento spettrale del segnale luminoso prodotto ( pari a circa 1nm in seconda finestra contro 0.25m registrati per una sorgente LED), e quindi di ridurre la dispersione cromatica propria delle fibre ottiche (in particolare, nelle fibre monomodali, la dispersione cromatica è l’unica fonte di distorsione del segnale).

•Anche l’efficienza spettrale delle sorgenti LASER è maggiore rispetto a quella delle sorgenti LED. La frequenza di taglio fs è difatti dell’ordine di 1GHz.

•Di converso, le sorgenti LASER presentano caratteristiche sfavorevoli di non linearità della caratteristica corrente di eccitazione potenza luminosa, soprattutto per basse correnti di eccitazione (vedere figura nella slide precedente) ed una vita media operativa piuttosto ridotta (circa 1/10 rispetto a quella dei LED).


•Un fotorivelatore è un diodo polarizzato inversamente che dà luogo a conduzione di corrente quando viene colpito da un fascio luminoso.

•Nella figura sottostante è mostrato un tipico circuito di fotorivelazione, in cui il diodo viene attraversato da un fascio luminoso, produce una corrente i(t) direttamente proporzionale alla potenza luminosa ricevuta e quindi una tensione ad essa proporzionale ai capi di una resistenza R, che viene successivamente amplificata e fatta passare attraverso un filtro con una opportuna funzione di trasferimento.

Caratteristiche dei fotorivelatori

fibra

-V

i(t) r(t)RFiltro

amplificatore

wR


Rf whc

n

dove:

•wR è la potenza luminosa in uscita dalla fibra(Watt);

•h=6.62510-34 Js è la costante di Plank;

•c=3109 m/s è la velocità della luce; è la lunghezza d’onda della luce incidente;

• è l’energia di un fotone.

•Un singolo fotone può dar luogo alla generazione di una coppia elettrone/lacuna che attraversa la zona di svuotamento, accelerata dalla tensione inversa, e produce un impulso di corrente q(t) di durata estremamente breve (1 nsec) e di area q (carica dell’elettrone=1.610-19).

c

hh

•Il numero di fotoni al secondo costituenti il fascio incidente è dato da :

Funzionamento di un diodo fotorivelatore


•Se la tensione inversa applicata al diodo è sufficientemente elevata, l’elettrone generato da un fotone ha la possibilità di generare altre coppie elettroni/lacune, dando luogo a g impulsi di corrente q(t). Detto i l’istante di arrivo del fotone i, si ha che:

i

ii tqgti

•in cui è una realizzazione della variabile aleatoria G, di valore atteso e varianza . Questo effetto, detto fotomoltiplicazione, o effetto valanga, non si verifica se la tensione applicata al diodo è bassa.

ig

gm 2g



•Supponendo che il numero di arrivi al secondo abbia distribuzione di Poisson con valore atteso:

(in cui è il rapporto (1) tra il numero di coppie elettroni/lacune generate e il numero di fotoni incidenti), si ha che il valor medio della corrente prodotta dal diodo è:

La corrente in uscita dal fotodiodo può essere espressa come somma di un termine costante (che è il valor medio) e di un termine tempo-variante che esprime lo scostamento di tale grandezza dal valor medio, ovvero:

Rf whc

n

RggR wmmqi hc

q

tiiti qR

iR è il valor medio nel tempo di i(t), che coincide con il suo valore atteso (processo ergodico);

iq(t) è il rumore quantico, e rappresenta la variabilità di i(t) attorno al suo valore medio.


Responsività del fotodiodo


Diodo PIN: la tensione inversa applicata al diodo è bassa (-30v), quindi l’effetto di moltiplicazione degli elettroni non si verifica e risulta sempre (per cui e ).

Diodo a valanga: la tensione inversa è elevata, mg è controllabile attraverso il valore della tensione inversa. Si definisce il FATTORE DI RUMORE DEL FOTOMOLTIPLICATORE(*):

1ig 1gm 02 g

11

2

2

g

ggg m

mF

La curva è stata determinata sperimentalmente : ggg mFF a

gg mF 2

in cui a vale 0.5 per diodi al germanio e 0.150.25 per diodi al silicio ( ).

(*)Analogo del fattore di rumore del filtro visto per rumore termico nel caso dei cavi

400300gm



Fibre ottiche per comunicazioni e dispositivi di emissione del segnale: status 1995

1a finestra

(multimodo)

2a finestra

(multimodo)

2a finestra

(monomodo)

3a finestra

(multimodo)

3a finestra

(monomodo)

Attenuazione

(dB/ km)

3 0.4 0.35 0.25 0.2

Fm (GHzkm) 0.9 0.9 0.9

F (GHzkm)

SLED

0.10 1.2 1.2 0.1 0.15

F (GHzkm)

ELED

0.16 4.0 4.0 0.2 0.25

F (GHzkm)

LASER

2.0 6.5 6.3 6.3

Pot.emessa (dBm)

SLED

-15 -17 -34 -18 -35

Pot.emessa (dBm)

ELED

-9 -11 -22 -12 -23

Pot.emessa (dBm)

LASER

8 5 3 4 2


Banda Nome Campo

O - Band Original 1260 – 1360 nm

E - Band Extended 1360 – 1460 nm

S - Band Short wavelength 1460 – 1530 nm

C - Band Conventional 1530 – 1565 nm

L - Band Long wavelength 1565 – 1625 nm

U - Band Ultralong wavelength

1625 – 1675 nm

Gamma delle lunghezze d’onda per la trasmissione in fibra

L’ ITU-T ha suddiviso il campo delle lunghezze d’onda per la trasmissione in fibra ottica nelle sei seguenti bande:

Banda complessiva disponibile 50 THz


Altri problemi della trasmissione su fibra ottica

• Dispersione di polarizzazione

• Non linearità della fibra

• Legata alla diversa velocità di propagazione delle due componenti ortogonali del campo e.m.

• Effetto: allargamento dell’impulso nel tempo

• Dipendente da fattori di costruzione e posa della fibra e da parametri fisici tempovarianti tra cui la temperatura

• Valori tipici compresi tra 0.2 e 0.5 ps/km-2

• Per valori elevati di intensità del campo e.m. che attraversa la fibra, l’indice di rifrazione può mostrare dipendenza dall’intensità stessa

• La non linearità più nota e problematica è l’interazione a quattro fotoni (Four Wave Mixing FWM)

• Essa dà origine a repliche del sengale a lunghezze d’onda diverse

• Provoca quindi rumore e/o diafonia

• Il problema diventa rilevante in sistemi che trasmettono lunghezze d’onda multiple


PARTE QUARTA:

ANALISI DELLE PRESTAZIONI DI UN COLLEGAMENTO IN FIBRA

OTTICA


La caratteristica corrente in ingressopotenza in uscita è lineare solo se soddisfa le seguenti limitazioni:

m(t)M

Sorgente diluce

wT(t) wR(t)Fotodiodo HR(f) M-1 d(t)

s(t)HC(f) HD(f) HR(f)

wT(t) wR(t)

mg

e-L

GT

iq(t) in(t)

R

r(t)

ts

0minmin wGs T

TMT wwGs maxmax Max potenza nella fibra

Prestazioni di un collegamento in fibra ottica per trasmissioni analogiche


La funzione del blocco M è appunto quella di trasformare il segnale utile allo scopo di rendere il segnale di eccitazione tale da soddisfare queste limitazioni.

Osservazione: Se la banda occupata dal segnale è sensibilmente inferiore al valore di , nella banda occupata dal segnale e la fibra NON introduce distorsione lineare.

Il fattore di conversione potenza ricevutacorrente di uscita del fotodiodo è pari a , in cui è la responsività del fotodiodo (0.5 Ampere/Watt) ed mg è il numero medio di coppie elettrone/lacune generate a partire da un fotone incidente ( per un diodo PIN, fino a 300 per un diodo a valanga).

22lg Te ffD efH

twT

Tf 1fH D

gm

Ritardo della fibra :viene trascurato come shift temporale,se ne tiene conto come distorsione .((t) diventa gaussiana)fibra :f=fT tale che HD(f) = 1/2 (non è proprio f. di taglio)


è il RUMORE QUANTICO; il suo spettro di densità di potenza può assumersi uniforme (fino a qualche GHz) pari a

rappresenta un rumore di natura termica;

il suo spettro di densità di potenza vale

Il filtro di ricezione ha lo scopo di eliminare il rumore al di fuori della banda del segnale ed equalizzare il comportamento della fibra dovuto al termine .

Il calcolo del rapporto segnale/rumore verrà effettuato all’uscita del filtro di ricezione nei due casi seguenti:

tiq

Rggq wqmFfP 2

tin

R

FkTfPn

02

fH R

fH D


eccitazione costante

(caso A)

eccitazione pari ad una costante positiva più una

componente a valor medio nullo, funzione del segnale utile:

, (caso B)

In entrambi i casi wT indica il massimo valore della potenza immessa nella fibra(Hc 2 costante con f se si va nel range giusto (con M)).

ll segnale si ritiene membro di un processo aleatorio stazionario, di spettro di densità di potenza noto .

T

T

G

wts

txG

wts

T

T 12

1tx

tx fPx

Due termini tengono conto del rumore:


Lo spettro di densità di potenza del segnale di eccitazione vale:

(caso A)

(caso B)

Il segnale all’ingresso del fotodiodo vale:

, dato che

Quindi:

(caso A)

fuG

wfP

T

Ts 02

2

fPfuG

wfP x

T

Ts 02

2

4

dhtseGthtseGtw dL

TdL

TR

sL

TdsL

TR meGdhmeGw

0

)(2lg

|102

ff

f

ddT

e

eHdh

TTs Gwm

TTs Gwm 2 (caso B)

)(0 f Delta di Dirac in f

Ipotesi di Ex(t) = 0


Dopo il filtro di ricezione si hanno tre contributi:

trtrtrtr nqR

2222222 fHRmfHeGfPfP RgDL

TsrR

BfPfu

AfufHfHRmew

xRDg

LT

4

1

4

10

0222222

B

AfHqRmFewfP Rgg

LTrq

2

11

222

2

02 fHRFkTfP Rrn


Per ottenere le potenze totali dei segnali in questione e sufficiente integrare da - a + gli spettri di densità di potenza ora calcolati.

Introduciamo le seguenti approssimazioni:

1. si trascura la distorsione della fibra [ ];

2. si ritiene che sia un passa-basso ideale con frequenza di taglio pari alla banda B dei segnali:

Con queste approssimazioni:

(comp.utile del segnale in uscita, nel caso B è solo quella associata ad x(t), non al valor medio)

1fH D

fH R

altrove

BffH R

0

1

B

APRmewP

xg

LTru

4

11

22222


Notazione:

B

ABqRmFewP gg

LTrq

2

11

2222

BRFkTPrn 22 0

LwLwww TTRR exp, .

Caso A:

nq

ggR

gR

rnrq

ruA

SNRSNRBRFkTBqRmFw

Rmw

PP

PSNR

111

222 022

2222

BqFwSNR

gRq 2

dffPtxpotP xx )()(.

Essendo HD(f) 1

)/(1

)/(1

1

cabacb

a


migliora linearmente con la potenza luminosa ricevuta e con la responsività del fotodiodo;

peggiora all’aumentare del fattore di rumore del

fotomoltiplicatore e della larghezza di banda. sarebbe meglio usare diodi PIN ( , ).1gm 1gF

MHzgdBmRdBq BFwSNR 1010 lg10lg1092

BRFkT

Rmw

BFkT

RmwSNR gRg

Rn 224 0

222

0

222

migliora col quadrato della potenza luminosa e del guadagno

di fotomoltiplicazione(=mg);

( 0.5) /29|dB


sembrerebbe che un valore molto grande di R possa

annullare l’effetto del rumore termico, ma non si tiene in

conto della capacità di uscita C del diodo che, in parallelo ad R, dà luogo ad un comportamento passa-basso con frequenza di taglio . Si può compensare tramite l’amplificatore di ingresso, facendo in modo che la

frequenza di taglio sia una frazione abbastanza grande della banda B:

RC21

CBRB

RC

2

1

2

1

Con R massima: 2

0

222

20

222

2424 BkTQ

mw

BkTCF

mwSNR gRgR

n


ingloba tutti gli effetti del gruppo fotodiodo-amplificatore agli effetti della valutazione del rumore termico. Supponendo e si ha:

L’andamento complessivo è mostrato nel grafico seguente:

CFQ

1210Q 5.0

MHzgdBmRdBn BmwSNR 1010 lg20lg202124


I due SNR sono uguali per

,

, ( )

Se si impiegano diodi PIN e non si richiedono valori di rapporto segnale/rumore molto elevati (wr non molto elevato), il rumore prevalente è quello termico.

Per diodi a valanga, il valore ottimo da attribuire ad mg è quello per cui è massimo il rapporto segnale/rumore complessivo (ottenibile uguagliando a zero la derivata di SNRA rispetto ad mg):

q

QkTBwR

00

4

20

0 q

QkTSNRA

MHzdBmR Bw 100 lg1032 dBSNRA 570 1210Q

a

R

Roptg aw

wm

12

1

0

, se ; altrove

0

1RR w

aw 1optgm

per per

a

a

a

a

RA QkT

q

qB

w

a

aSNR

1

0

1

21

421

0

1RR w

aw

qB

wSNRSNR R

qA 2

0

1RR w

aw

Condizione di uso deidiodi a valanga


Assumendo , , :

per

per

Caso B: Il contributo del rumore quantico è dimezzato, mentre il segnale utile è inferiore in quanto è pari al valore utilizzato in precedenza moltiplicato per , in cui è la potenza del segnale con la limitazione .

Si verifica una riduzione della potenza utile:

Quindi, rispetto al caso A:

1210Q 5.0 2.0a

MHzdBmRdBA BwSNR 10lg67.1117.195 05 RR ww

MHzdBmRdBA BwSNR 10lg1092 05 RR ww

4xP xP 1tx

64lg10lg10 1010 dBxxdBU PPP

336 dBxdBxdBq PPSNR

6 dBxdBn PSNR rnBrnArn PPP

ArqBrq PP2

1


EQUALIZZAZIONE DI UN COLLEGAMENTO IN FIBRA OTTICA

Il problema si pone:

nel caso B esaminato in precedenza;

quando la distorsione introdotta dalla fibra a causa di

diventa sensibile;

quando la banda B del segnale diventa confrontabile con la

frequenza di taglio .

in cui è la FdT complessiva incontrata dal segnale nel transito attraverso il collegamento, e è il rapporto segnale/rumore valutato nel precedente caso B.

fH D

Tf

dffH

fH

dffPfH

P

BwSNRSNR

D

o

B

B

xo

xRB

2

2

2

1

2

fHfHfH RDo ts RB wSNR


Consideriamo il caso ideale in cui è nullo fuori della banda del segnale ed entro tale banda dà luogo ad una perfetta equalizzazione ( per ):

per

fH R

1fHoBf

22lg1

Te ff

DR e

fHfH Bf

Supponendo uniforme tra -B e B (zero altrove):

per

si ricava che il rapporto segnale/rumore diminuisce di

Il peggioramento in dB del rapporto segnale/rumore dovuto alla presenza di dispersione della fibra è quindi:

fPx

B

PfP x

x 2 Bf

2lg2

0

2lg2

2

2

1

1 eT

Te

f

B

Bf

fe

dfeB

2

02.6

TD f

BSNR 6dB se B fT

piccolo se B << fT


È del tutto simile a quanto visto per il cavo coassiale:

, con

dove R2 è il rapporto segnale/rumore all’uscita della fibra.

Ipotesi:

impulso di dati rettangolare di durata TL;(approx utile per

calcolare Px)

2 livelli (L=2);

[ assume solo i valori +1 e -1].(caso più frequente)

Il rapporto segnale/rumore R2 è pari al valore ricavato nel caso A, peggiorato delle quantità dovute all’effetto del rumore termico e del rumore quantico con .

yerfcL

PE

11 4112

32

22

L

Ry

1xP tx

0dBxP

Prestazioni di un collegamento in fibra ottica per trasmissioni numeriche


Assumendo validi i dati utilizzati nel precedente esempio e considerando anche il peggioramento introdotto dalla dispersione della fibra equalizzata da HR:

( = attenuazione kilometrica della fibra)

Per il dimensionamento, volendo ottenere :

avendo assunto , .

2

102 02.66lg67.1117.195

TMHzdBRdB f

BBwR

kmdBdBmTdBmR LAww 0

dBA0

1110EP

2441lg103 102

22 dBdBLdB MyR

5.0 6dBM

PEGGIORAMENTO MAX tra i 3dB di rum,q e i 6dB di rum,n


dove , e

La limitazione in lunghezza della fibra ha origine da

attenuazione kilometrica (espressa dal termine );

dispersione della fibra (espressa dai termini e ).

dBmRT

MHz wf

BB 17.102.6lg67.1165

2

10

2/1 bfB kmdBdBmTdBmR LAww 0

2

2

2

2

1

FL

FL

fkm

m

km

T

kmdBmTdBmRb

dBmRkm

m

kmMHz

LAwwfB

wF

L

F

LBB

0

2

2

2

22

10

;2/1

17.102.6lg67.1165

dBA0

mF F


Se pongo :

Se invece :

Lunghezza di tratta in km per e per Mbit/s; il primo numero non tiene conto della dispersione, il secondo non tiene conto dell’attenuazione della fibra.

FFm dBmTMHzkm wBLA 100 lg67.1165

17.1

1

00 A dBmTMHzkm

m

km wBBF

L

F

L17.1lg67.1165

02.6

11022

2

2

2

1110EP 140bf

1a finestra

(multimodo)

2a finestra

(multimodo)

2a finestra

(monomodo)

3a finestra

(multimodo)

3a finestra

(monomodo)

SLED 8.8/ 1.9 27/ 21.6 16.4/ - 33.4/ 1.8 21.3/ -

LASER 16.5/ 40 51.5/ 57.7 98.7/ - 65/ 165 145/ 162

Tab. v1/v2

Risultato : L<min v1,v2TdB dipende dalla sorgente luminosa (SLED,LASER)


Sistemi di trasmissione WDM•Sono sistemi multicanale (Wavelength Division Multiplexing) che trasmettono diverse lunghezze d’onda sulla stessa fibra.

•Esistono due categorie principali:

•Dense Wavelength Division Multiplexing (DWDM) con spaziatura tra I canali di circa 100 GHz

•Coarse Wavelength Division Multiplexing (CWDM) con spaziatura tra I canali di circa 1600 GHz


Sistemi di trasmissione DWDM•I sistemi DWDM sono in grado di trasmettere fino a 40 canali da 10 Gbit/s ciascuno in banda C (1530-1565 nm) su distanze di oltre 100 Km senza rigenerazione intermedia.

•In banda C+L (1530-1625 nm) si possono invece trasmettere tra gli 80 ed I 160 canali a 10 Gbit/s su distanze di oltre 1000 Km.

•La capacità complessiva di un sistema DWDM su una singola coppia di fibre è di oltre 1 Tbit/s (1 Terabit al secondo = 1000 Gbit/s)

Sistemi di trasmissione CWDM•I sistemi DWDM sono in grado di trasmettere un numero limitato di canali (circa 18) da 2.5 Gbit/s ciascuno su un’estesa gamma di lunghezze d’onda (1260-1610 nm banda O+E+S+C+L)

•Le distanze massime consentite dal sistema sono limitate a circa 80 Km poichè non esistono ancora amplificatori con banda così larga

•Richiedono fibre senza picco di attenuazione da Ossidrile OH-

•Nonostante le limitazioni, sono molto utilizzati grazie al costo sensibilmente inferiore rispetto ai sistemi DWDM

D.I.B.E.-Università di Genova1 CORSO DI SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE ANNO ACCADEMICO 2009-2010...

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