DIAMO I NUMERI CON EULERO

Pristem & PolymathScuola di Idro13 settembre 2008

Renato BettiPolitecnico di Milano

“L’amore degli uomini per i numeri forse è più antico della teoria dei numeri”.(A. Weyl)

1) Contenuto = NumeriIl termine “teoria dei numeri” fa la prima comparsa inE279 (De resolutione formularum quadricarum indeterminarum per numeros integros), pubblicato nel 1764.

2) Metodo = Tensione al risultato / rigore

3) La matematica che serve?E quanti soldi occorre pagare per liberarsi da chi vuoleimparare solo la matematica che serve?

4) Matematica di Euclide Matematica dell'abaco

5) Continuità e generalitàLa costruzione di una rete di proprietà

Eulero e la matematica che serve

Dal piccolo teorema di Fermat (1640) al teorema di Eulero-Fermat (E271, Theoremata arithmetica nova metodo demonstrata, 1758).

Piccolo teorema di Fermat:

Fermat studiava i numeri perfetti attraverso i numeriprimi della forma 2m -1 (primi di Mersenne) e le proprietà dei coefficienti binomiali

k

p

Euclide (IX,36) dimostra che i numeri della forma2m –1(2m –1), con 2m –1 primo, sono perfetti

Eulero (1756), dimostra che i numeri di questa formasono tutti i numeri perfetti pari

Numeri perfetti“Proprietà magiche o mistiche dei numeri ricorrono in molte culture. In qualche modo,nell’antica Grecia, o anche prima, l’idea di perfezione fu associata a quegli interi chesono uguali alla somma dei propri divisori”.(A. Weyl)

Non si conoscono numeri perfetti dispari (ma se ne esistono devono essere > 10300

La dimostrazione del piccolo teorema di Fermatsegue subito osservando che i coefficienti binomiali

k

p

sono divisibili per p esattamente quando p è primo (k = 1, 2,…,p).

1....

212)11(22

p

ppppp

è divisibile per 2p

Infatti:

Prime dimostrazioni del piccolo teorema di Fermat

Eulero 1741(E54, Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio) per induzione su a

Eulero 1763 (E271, Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata) generalizza p–1 a φ(n):

Eulero 1750 (E134, Theoremata circa divisores numerorum) basata sulla proprietà:

Matematica di Euclide / Matematica dell'abaco

F0 = 3F1 = 5F2 = 17F3 = 257F4 = 65.537

Nel 1729 Goldbach comunica ad Eulero la congetturadi Fermat

Eulero 1747 (E134, Theoremata circa divisores numerorum):

ha divisori primi solo della forma 2m+1·h + 1

ha solo divisori primi della forma 26 · h + 1

Eulero 1732 (E26, Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus):

Ma F5 e divisibile per 641

Occorre rivalutare i fenomeni matematici!

Niente è più bello di ciò che è vero

(H. Minkowski)

Bastano cinque tentativi per trovare il divisore primo 641 di F5.

Secondo Condorcet:

pranza con gli allievi discute il fenomeno Montgolfier (idrodinamica) calcola (con Lexell) l'orbita di Urano cessa di vivere e di calcolare

'600 Fermat '700 Eulero '800 Gauss . . .

Cosa ha fatto Eulero il 18 settembre 1783?

“La matematica non deve essere nella mente come un peso portato dall’esterno, ma comeun’abitudine del pensiero”.(P.A. Florenskij)

Continuità e generalità

La formula del prodottoEulero 1744 (E72, Variae observationes circa series infinitas):

Teorema 8. Se usiamo la serie dei numeri primi per formare l’espressione

allora il suo valore è uguale alla somma della serie

In simboli:

Come dire (?!)

Teorema 7. “Il prodotto esteso all'infinito della frazione

in cui i numeratori sono numeri primi e superano di un'unita i denominatori, uguaglia la somma della serie infinita

ed entrambe le somme sono infinite”.

Ma….

Dim.

Nel nostro linguaggio:

Il problema di Basilea

Viene posto nel 1644 da Pietro Mengoli:

Nel 1730 il “Methodus differentialis” di James Stirlingfornisce l’approssimazione:

Eulero dimostra:

[tre dimostrazioni in E41, De summis serierum reciprocarum (1735), una quarta in E63, Demonstrationde la somme de cette suite 1+1/4+1/9+1/16+… (1743)]

Dim. La funzione ha gli zeri

Se

allora

Per analogia:

implica

La ζ di Riemann

Il problema di Basilea corrisponde a:

In E41, De summis serierum reciprocarum (1735), Eulero calcola la somma ζ (s) per ogni s= 2n pari.

L'infinità dei primi

Prima dimostrazione in Euclide (IX,20)

Eulero, E72, Variae observationes circa series infinitas (1744):

Inoltre: “La serie degli inversi dei numeri primi è infinitamente minore della serie armonica”

“il valore della serie armonica è uguale al logaritmo di infinito”

“La prima somma è quasi il logaritmo della seconda”

In simboli:

Questo anticipa il “teorema dei numeri primi”,congetturato da Gauss nel 1793, da Legendre nel1798 e dimostrato nel 1896 sia da Hadamard che daLa Vallée Poussin.