Diagrammi di Bode - UNIMORE · 2011-02-25 · Controlli Automatici Introduzione -- 6 Diagrammi di...
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CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria Gestionale http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm Ing. Federica Grossi Tel. 059 2056333 e-mail: [email protected] http://www.dii.unimore.it/wiki/index.php/Federica_Grossi DIAGRAMMI DI BODE
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CONTROLLI AUTOMATICI
Ingegneria Gestionalehttp://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm
Ing. Federica Grossi
Tel. 059 2056333
e-mail: [email protected]
http://www.dii.unimore.it/wiki/index.php/Federica_Grossi
DIAGRAMMI DI BODE
Introduzione -- 2Controlli Automatici
Diagrammi di Bode e polari
• Metodi di rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica
40
50
60
70
80
Ma
gn
itu
de
(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
103
104
105
-90
-45
0
45
Ph
as
e (
de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
|F()|
arg{F()}
Re{F()}
-2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000Nyquist Diagram
Real Axis
Ima
gin
ary
Ax
is
Im{F()}
|F()|
arg{F()}
-80 -60 -40 -20 0 20 4045
50
55
60
65
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75
80Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Op
en
-Lo
op
Ga
in (
dB
)
arg{F()}
|F()|
()
|F()|
Tre possibili rappresentazioni!
funzioni complesse
di variabile reale
Introduzione -- 3Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• La rappresentazione grafica della funzione di risposta armonica viene effettuata con speciali diagrammi, che costituiscono la base dei procedimenti grafici per la sintesi delle reti correttrici nel dominio delle frequenze.
Fra questi sono di largo impiego i diagrammi di Bode o diagrammi logaritmici di risposta armonica.
Poiché la funzione di risposta armonica ha valori complessi, si hanno due diversi diagrammi:
• diagramma delle ampiezze o dei moduli, che riporta il logaritmo del modulo della risposta armonica;
• diagramma delle fasi o degli argomenti, che riporta l'argomento della risposta armonica.
entrambi sono in funzione del logaritmo della pulsazione .
Introduzione -- 4Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Vedremo che il tracciamento dei due diagrammi di Bode (ampiezza e fase) potrà essere eseguito sommando i diagrammi dei fattori elementari. Questo è possibile grazie alle proprietà dei numeri complessi e al fatto di graficare i valori delle ampiezze in scala logaritmica
Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi
Dati quindi (a, b, c, … q) complessi e (k, …, q) interi si ha che
Introduzione -- 5Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Esempio:
-20
-10
0
10
20
30
40
Ma
gn
itu
de
(d
B)
10-1
100
101
102
103
104
105
-90
-45
0
Ph
ase
(d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Ampiezza espressa in decibel:
Fase espressa in gradi
Frequenze in scala logaritmica
Introduzione -- 6Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
I vantaggi che si hanno impiegando la scala logaritmica sono:
• Possibilità di rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi
notevolmente estesi;
• Possibilità di sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il
diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene
eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle
ampiezze (che, impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la
somma delle fasi;
• Possibilità di costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica data in
forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numero limitato di tipi
fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore.
Introduzione -- 7Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Si prenderà in esame ora, in particolare, questo ultimo punto. Sia data
o, in forma fattorizzata:
• Il fattore sh corrisponde ad un eventuale polo nell'origine avente ordine
di molteplicità h: se la funzione di trasferimento non presenta poli
nell'origine, è h=0.
Introduzione -- 8Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Moltiplicando fra loro i fattori corrispondenti a coppie di zeri e poli complessi coniugati, in modo che i coefficienti risultino tutti reali, e operando opportune posizioni, si ottiene
che equivale alla forma con costanti di tempo
in cui è
Introduzione -- 9Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Ponendo s = j , si ottiene la seguente espressione della funzione di risposta armonica
La costante K è detta costante di guadagno.
• Per h = 0, essa rappresenta il guadagno statico, cioè il valore della funzione di risposta armonica per = 0
• Per h = 1, la costante K si chiama anche costante di velocità
• Per h = 2, la costante K si chiama anche costante di accelerazione
Introduzione -- 10Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Si è ottenuto
• Se si tracciano i diagrammi di Bode, delle ampiezze e delle fasi, corrispondenti a funzioni elementari dei tipi:
è possibile, sommandoli, ottenere il diagramma di Bode della funzione complessiva.
Introduzione -- 11Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
1. G(j)=K
• Diagramma delle ampiezze
• Diagramma delle fasi
10-1
100
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5
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|k|>1
|k|<1
|K| (
db
)
Diagrammi di Bode
10-1
100
101
102
-250
-200
-150
-100
-50
0
k<0
k>0arg
(K)
ln() [rad/sec]
Introduzione -- 12Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
2. G(j )=(j )-h
Essendo:
i diagrammi di Bode hanno l'andamento rappresentato in figura (per h =1, 2).
Per un generico valore di h:
• il diagramma delle ampiezze è una retta passante per l'origine di inclinazione – 20 h,
• il diagramma delle fasi è identicamente uguale a –h /2.
10-1
100
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-40
-30
-20
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0
10
20
|1/(
j)|
(d
b)
Diagrammi di Bode
10-1
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-250
-200
-150
-100
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0
arg
(1/(
j
))
ln() [rad/sec]
10-1
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|1/(
j)2
| (
db
)
Diagrammi di Bode
10-1
100
101
102
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
arg
(1/(
j
2))
ln() [rad/sec]
Ampiezza
Fase
Introduzione -- 13Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
3. G(j)= (1+j )§ 1. Diagrammi di Bode di termini del primo ordine ( >0).
Nel caso di :
I corrispondenti diagrammi di Bode sono i seguenti:
10-1
100
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-60
-50
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-30
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0
|1/(
1+
j )
| (
db
)
Diagrammi di Bode
10-1
100
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102
-100
-80
-60
-40
-20
0
arg
(1/(
1+
j )
)
ln() [rad/sec]
10-1
100
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102
0
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40
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|(1
+j )
| (
db
)
Diagrammi di Bode
10-1
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102
0
20
40
60
80
100
arg
(1+
j )
ln() [rad/sec]
Ampiezza
Fase
Introduzione -- 14Controlli Automatici
Diagrammi di Bode – Diagrammi approssimati a spezzata
E’ molto utile, per le costruzioni grafiche, impiegare diagrammi di Bode approssimati a forma di spezzata.
Sia data:
Per il diagramma delle ampiezze si impiega l'approssimazione asintotica (la spezzata costituita dai due asintoti cui tende il diagramma per 0 e per 1), infatti:
• Per ¿ 1/ || (2 2 ¿ 1), si ottiene
cioè il diagramma viene a coincidere con l'asse delle ascisse.
• Per À 1/|| (1 ¿ 2 2), si ha
• Il diagramma viene a coincidere con la retta passante per il punto log = log(1/||) e di inclinazione -20 db/decade (o -1). L'approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze è pertanto costituita dalle due semirette
Introduzione -- 15Controlli Automatici
10-1
100
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-15
-10
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0
5
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15
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|1/(
1+
j)|
(d
b)
Diagrammi di Bode
L'errore massimo di questa approssimazione si ha per = 1/ e vale
Diagrammi di Bode – Diagrammi approssimati a spezzata
Introduzione -- 16Controlli Automatici
Anche il diagramma delle fasi può essere approssimato
con la spezzata che si ottiene collegando i due asintoti = 0 e = -/2 con la
tangente al diagramma nel punto corrispondente alla pulsazione 0 = 1/||, in cui
è = /4.
10-1
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-60
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-10
0
10fase
rad/sec
gra
di
Diagrammi di Bode – Diagrammi approssimati a spezzata
Introduzione -- 17Controlli Automatici
Da
si può scrivere
le pulsazioni a e b si determinano, in funzione della pulsazione corrispondente al “punto di
rottura” del diagramma asintotico delle ampiezze, mediante la relazione
da cui
L'impiego delle approssimazioni asintotiche è vantaggioso perché, nell'eseguire la somma dei diversi
diagrammi elementari, basta determinare le ordinate in corrispondenza dei vertici della spezzata,
cioè in corrispondenza delle pulsazioni di rottura di ciascuno dei diagrammi elementari.
Diagrammi di Bode – Diagrammi approssimati a spezzata
Introduzione -- 18Controlli Automatici
• Ricapitolando:
• Per e valori di positivi (poli stabili)
• Per sia il diagramma delle ampiezze che quello
delle fasi sono ribaltati rispetto all’asse delle ascisse
10-1
100
101-20
-10
0
10
20
ampiezza
db
10-1
100
101-110
-90-70-50-30-1010
fase
rad/sec
gra
di
Pendenza -1 (-20 dB/decade)Pendenza 0
1/
0o
-90o
a = 0 / 4.81 b = 0 * 4.81
Diagrammi di Bode – Diagrammi approssimati a spezzata
Introduzione -- 19Controlli Automatici
Diagrammi di Bode – Diagrammi approssimati a spezzata
Si sono visti i casi relativi alle funzioni (per valori > 0):
Per valori della costante di tempo < 0 in entrambi i casi:
il diagramma delle ampiezze risulta immutato, con il punto di rottura per = 1/||,
il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse.
Introduzione -- 20Controlli Automatici
Diagrammi di Bode - Esempio
10-2
10-1
100
101
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-60
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0
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40ampiezza
rad/sec
db
10-2
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100
101
102
-100
-60
-20
20
60
100fase
rad/sec
gra
di
Introduzione -- 21Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Diagrammi di Bode del termine del secondo ordine
• 0 5 < 1
Se fosse = 1, le radici non sarebbero complesse coniugate e il termine di secondo grado sarebbe il prodotto di due termini di primo grado.
Eventualmente < 0: caso considerato a parte.
Analogamente al caso dei termini di primo ordine, si fa riferimento in un primo tempo all'esponente -1: data la natura logaritmica dei diagrammi, se l'esponente valesse +1 basterebbe ribaltare entrambi i diagrammi di Bode attorno all'asse delle ascisse. Per tale valore dell'esponente si può scrivere
Introduzione -- 22Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Asintoti del diagramma :
• Per /n ¿ 1,
• Per /n À 1, prevale il termine (/n)4 e pertanto
In questo caso il diagramma effettivo può discostarsi sensibilmente da quello asintotico: in particolare, per = 0 e in corrispondenza della pulsazione di rottura n, lo scostamento è infinito.
Introduzione -- 23Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:
• Per la curva presenta un massimo;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a
destra del punto = n ed è pertanto
tutta al di sopra della sua
approssimazione asintotica;
• Per la curva interseca l'asse delle ascisse a
sinistra del punto = n;
• Per la curva non interseca l'asse delle
ascisse ed è pertanto tutta al di sotto
della sua approssimazione asintotica.
Introduzione -- 24Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Andamento del diagramma delle ampiezze per diversi valori di .
100
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102
10-2
10-1
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101
102
ln()
|G(j
)|
= 0.5
= 0.001
= 1
Introduzione -- 25Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Picco di risonanza, Pulsazione di risonanza
• Il picco di risonanza MR è il valore massimo assunto dal diagramma delle
ampiezze.
• La pulsazione di risonanza R è la pulsazione alla quale esso si verifica.
100
101
10210
-2
10-1
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102
ln()
|G(j
)|
= 0.5
= 0.001
= 1
picco di risonanza
pulsazione di risonanza
Introduzione -- 26Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Per il calcolo di MR e R conviene, per semplicità, porre u = /n.
• Il massimo dell'ampiezza corrisponde quindi ad un minimo della funzione
• Derivando e uguagliando a zero la derivata, si ottiene
Introduzione -- 27Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Si è ottenuto
• Noto il valore di R, si calcola il valore dell'ampiezza alla risonanza, cioè del picco
di risonanza MR, come il modulo della funzione di risposta armonica per = R. Si
ricava:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
MR
Andamento del picco di risonanza MR
in funzione del coefficiente di smorzamento .
Introduzione -- 28Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Diagramma delle fasi
• Anche il diagramma delle fasi varia in funzione di .
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101
102
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
ln()
arg
[G(j
)]
= 0.5
= 1
= 0.1
= 0
Introduzione -- 29Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Per quanto riguarda l'approssimazione asintotica, si può ottenere congiungendo gli
asintoti = 0 e = - con un segmento inclinato come la tangente al diagramma
effettivo in corrispondenza della pulsazione di rottura.
• Si ottiene una famiglia di diagrammi, ciascuno per un diverso valore di .
• Per il calcolo dell'approssimazione asintotica, essendo
si deduce
Introduzione -- 30Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Le pulsazioni a e b sono legate alla pulsazione di rottura n dalla relazione
• dalla quale si ottiene
• cioè
Introduzione -- 31Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
In pratica, per determinare sulla scala logaritmica la pulsazione omegaa (oppure la b) in rapporto alla n, basta:
• riportare su una striscia di carta la distanza, presa sulla scala stessa, fra il punto di ascissa 1 e quello di ascissa 4.81
• moltiplicare la lunghezza del segmento così ottenuto per (ad esempio, se è = 0.5, si assume una distanza paria metà del segmento ottenuto).
Introduzione -- 32Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• La pulsazione naturale n, uguale al modulo delle radici complesse coniugate cui corrisponde il termine del secondo ordine, non è mai negativa
n > 0 sempre
• Il coefficiente di smorzamento può essere invece negativo:
< 0
In questo caso:
• il diagramma delle ampiezze è uguale a quello che si avrebbe per uno smorzamento pari a ||
• il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse.
Introduzione -- 33Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Caso con < 0
Diagramma delle ampiezze:non cambia
Diagramma delle fasi:ribaltato attorno all’asse
Introduzione -- 34Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Diagrammi di Bode per il termine di
secondo ordine
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ln()
|G(j
)|
100
101
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-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
ln( )
arg
[G(j
)]
= 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 1, 1.2, 1.5, 2
Introduzione -- 35Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
100
101
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10-1
100
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ln()
|G(j
)|
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0
20
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120
140
160
180
ln( )
arg
[G(j
)]
• Diagrammi di Bode per il termine di
secondo ordine
Si ribaltano attorno all'asse delle ascisse i diagrammi ottenuti per
Picco di attenuazione
Introduzione -- 36Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
• Ritardo
• Essendo
la funzione di risposta armonica ha modulo identicamente unitario e fasecrescente linearmente con la frequenza.
• Per ricavare i diagrammi di Bode, si scrive
dalla quale si deduce che il diagramma delle fasi ha un andamento esponenziale.
Introduzione -- 37Controlli Automatici
Diagrammi di Bode
Andamento dei diagrammi di Bode del ritardo
100
101
102
103
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100
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ln()
|G(j
)|
100
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103
-300
-200
-100
0
ln()
arg
[G(j
)]
t0 = 0.1 sec
t0 = 0.2 sec
t0 = 0.5 sec
t0
Introduzione -- 38Controlli Automatici
10-1
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mpie
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0
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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0
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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-20
0
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60
Am
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-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
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0
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60
Am
pie
zza
10-1
100
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-200
-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
Introduzione -- 39Controlli Automatici
10-1
100
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-40
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0
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Am
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10-1
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101
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-50
0
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Frequenza (rad/sec)
Fase
10-1
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-20
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Am
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zza
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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Frequenza (rad/sec)
Fase
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
Introduzione -- 40Controlli Automatici
Diagrammi di Bode – tabella riassuntiva
10-1
100
101
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-50
0
50A
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-100
0
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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Am
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zza
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-100
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Frequenza (rad/sec)
Fase
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Am
pie
zza
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101
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-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
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101
102
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0
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Am
pie
zza
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101
102
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-100
0
100
200
Frequenza (rad/sec)
Fase
Introduzione -- 41Controlli Automatici
N
N
S
Funzione di trasferimento del sistema(dall’ingresso , all’uscita ):
Mappa poli/zeri:
Zero nell’origine
Poli meccanici
Polo elettrico
• Induttanza bobina
• Resistenza bobina• Costante di forza bobina• Massa del cono• Costante elastica sospensione• Coefficiente attrito cono nell’aria• Costante velocità cono/
potenza acustica
Esempio: Altoparlante magnetico
Introduzione -- 42Controlli Automatici
• La presenza dello zero nell’origine mette in luce che le componenti continue non vengono “trasferite” (senso fisico)
• Le frequenze elevate non vengono trasferite (senso fisico)
-80
-60
-40
-20
0
20
Ma
gn
itu
de (
dB
)
10-1
100
101
102
103
104
105
106
-180
-90
0
90
Ph
ase (
de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Esempio: Altoparlante magnetico
Introduzione -- 43Controlli Automatici
-20
-15
-10
-5
0
5
Ma
gn
itude (
dB
)
Il sistema esaminato risulta essere un “passa banda”, ovvero solo le armoniche comprese in un certo intervallo frequenziale vengono trasferite in uscita senza attenuazione in ampiezza (a meno di una costante e con sfasamenti trascurabili)
Curva
normalizzata
banda passante
Classificazione sistemi
Banda passante:intervallo di frequenze in cui il diagramma di Bode delle ampiezze è compreso tra [-3, 3] dB(in generale compreso in una fascia ampia 6 dB centrata sul valore massimo)
100
101
102
103
104
-180
-135
-90
-45
0
45
90
Ph
ase (
de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Esempio: Altoparlante magnetico
Introduzione -- 44Controlli Automatici
Ogni sistema dinamico agisce sullo spettro delle frequenze in ingresso in modo selettivo. Molti sistemi di interesse fisico possono essere classificati in base la tipo di azione filtrante
Passa Basso
Passa Alto
Banda passante Banda passante
Proprietà filtranti dei sistemi
Introduzione -- 45Controlli Automatici
Passa Banda Elimina Banda
Banda passanteBanda passante
Proprietà filtranti dei sistemi
Introduzione -- 46Controlli Automatici
spettro serie di Fourier
Dalla definizione di funzione di risposta armonica, l’uscita a regime di un sistema lineare
asintoticamente stabile con funzione di risposta armonica F(), forzato da un ingresso con
spettro frequenziale UF(), è un segnale temporale il cui spettro YF():
ha le stesse componenti frequenziali di quello in ingresso (non vengono aggiunte
frequenze non presenti nello spettro di ingresso);
ha un andamento che è quello dello spettro di ingresso “modulato” dall’andamento della
funzione di risposta armonica (| YF(i)| = |F(i)| |UF(i)|).
spettro serie di Fourier
regime
Spettri di segnali filtrati da sistemi lineari
Introduzione -- 47Controlli Automatici
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Introduzione -- 48Controlli Automatici
Spettri di segnali filtrati da sistemi lineari
• In realtà la proprietà dello spettro del segnale di uscita di essere quello del
segnale di ingresso “modulato” dalla funzione di risposta armonica non vale solo
per il segnale a regime ma bensì per l’andamento completo.
• Ricordando le definizioni di serie di Fourier (segnale periodico) o trasformata di
Fourier (segnale qualsiasi)
armoniche
peso del modulo della ka armonica sfasamento della ka armonica
Introduzione -- 49Controlli Automatici
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time (sec)
100
101
102
0
100
200
300
400
500
600
700
Frequency (rad/sec)
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
50
100
150
200
250
Frequency (rad/sec)
Introduzione -- 50Controlli Automatici
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time (sec)
100
101
102
0
100
200
300
400
500
600
700
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
50
100
150
200
250
Frequency (rad/sec)
Introduzione -- 51Controlli Automatici
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Time (sec)
100
101
102
0
100
200
300
400
500
600
700
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
50
100
150
200
250
Frequency (rad/sec)
CONTROLLI AUTOMATICI
Ingegneria Gestionalehttp://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm
Ing. Federica Grossi
Tel. 059 2056333
e-mail: [email protected]
http://www.dii.unimore.it/wiki/index.php/Federica_Grossi
Diagrammi di Bode
FINE
![Diagrammi di Bode - Unimorelbiagiotti/MaterialeCA1415/CA-A-10-Bode_Dispensa.pdf · Diagramma delle fasi Ampiezza [db] Fase [gradi] Pulsazione ω [rad/s] ControlliAutomatici 3. ANALISIARMONICA.](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/5e526050c738366cae40db23/diagrammi-di-bode-lbiagiottimaterialeca1415ca-a-10-bodedispensapdf-diagramma.jpg)
