G

DISSERTAZ I ONE PR ESENTAT A

ALLA COMMISSIONE ESAMINATRICE

della R. ,'cuoia. d'AJlfllicazione per gli lngegueri in Torino

DA

tla Robbio (Lomellina)

PER OTTE NERE IL DI P LOMA

DI

INGEGNERE CIVILE

1870

T ORINO

T IPOGRAF IA C. FAVALE E COMP .

AI MIEI GENITORI '

TENUE PEGNO

DI RICONOSCENZA E DI AFFETTO

- ~

DEGLI ARCHI EQUILIBRATI

L'esperienza ha confermato che le inflessioni sono le deforma­zioni più pericolose per la stabilità delle grandi centine per tet­toie, per gli archi di grande portata, come per tutte le costru­zioni arcuate. Egli è per questo che alcuni costruttori si propo­sero il problema di determinare la curva che deve presentare l'asse di un arco, perchè non si infletta sotto l'azione di forze e­strinseche. Come ci siano riusciti dirò in questa dissertazione, cui molto sarà per approdare la benignità della Commissione esami­natrice.

Perchè un solido sollecitato da forze esterne possa rimanere in equilibrio , è necessario che in una sezione qualunque di esso si sviluppino azioni molecolari . capaci di fare equilibrio a tutte le forze applicate al solido nella parte compresa fra la. sezione con­siderata ed un suo estremo. Se si suppone, come avviene nei casi ordinarii della pratica, che l'asse del solido sia una curva piana, e le forze esterne riducibili ad una risultante unica contenuta nel piano dell'asse, prendendo ad esame un solo tratto del solido, la risultante unica, che dinoteremo con R, delle forze estrinseche ap· plicate al corpo nel tratto definito potrà essere traslocata al cen­tro della sezione designata coll'introduzione però di una coppia di momento, p. es., M, che tenderà ad infiettere il solido. Si po­trà allora decomporre la R in una componente T, tangente alla

6 fibra media, eppe ·ciò normale alla sezione , ed in un 'altra N ad essa parallela , o ia normale alla fibra media· quella produrrà compressione od estensione, questa cimenterà la resi tenza allo scorrimento trasversale.

Or bene dietro i principii di meccanica razionale si potranno determinare per una sezione qualunque del solido le quant ità M , R, T, N, quando però sieno date l'equazione dell'asse del solido della forma y = f (x), e quella della risultante delle forze esterne, che sollecitano il punto di coordinate x ed y della forma ~ (x, y) : quando in\ece sia data una sola di dette equazioni, si potrà ap­profittare della indeterminazione del problema per oddi fare certe condizioni, delle quali una potrebbe essere quella in base di cni si definiscono .gli archi equilibrati, per i quali richiedesi che la risultante delle forze tutte applicate da un loro estremo fino ad una sezione qualunque passi per il centro di questa sezione, e sia a lei normale ; cosicchè in qualsia i loro punto ha luogo o solo pressione o solo tensione, non mai in una mede ima sezione en­trambe simultaneamente. Soddisfatta questa condizione sarà eli­minata l'inflessione del solido come pure lo sforzo di taglio, si avrà cioè per essi archi equilibrati M== o ed N = o.

Pt•oble•na. r;enera.le.

Premessa la definizione di arco equilibrato vediamo di stabilire le equazioni generali di equilibrio fra le forze estrinseche e le forze molecolari in un arco equilibrato.

In questo problema generale e nei seguenti supporremo sempre che l'asse dell'arco sia contenuto in un piano verticale , sia sim­metrico rispetto alla verticale passante per il suo mezzo, e le im­poste dell'arco stesso sieno poste sopra una medesima orizzontale.

Sia B O A (fig. 1") l'asse dell'arco sostenuto dagli appoggi im­mobili A e B e sollecitato da forze estrin eche contenute tutte nel piano dell'asse ; suppongansi tolti i due appoggi ed a ciascuno di essi sostituita la corrispondente reazione contro l'estremo del­l'arco. Prendasi il punto culminante O dell'asse dell'arco come o­dgine di coordinate ortogonali , l'asse delle ascisse z orizzontale, quello delle ordinate u verticale e positivo dalla parte verso la quale incontra la corda B A; invece dell'arco intiero, consideria-

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moue oltanto la metà, poichè per la. supposta simmetria rispetto alla verticale O O le due metà O A ed O B sono precisamente nelle identiche condizioni ; chiamiamo : z ed u le due coordina.te O p e P M di un punto qualunque N dell'asse dell'arco-

s la luughezza di un arco qualunque O M; S la lunghezza dell'arco O A; F la forza rif rita all'unità di lunghezza dell'arco O A in un

uo punto qualunque N ; .P l angolo F Ez che questa forza fa coll'a e delle z; Q la spinta ori~zontale che l'arco e ercita contro il ritegno A ,

eguale e dir ttamente contraria alla componente orizzontale della reazione che il ritegno opera ontro l'arco ;

V la pre sione che l'arco produce sull'appoggio A, eguale e direttamente contraria alla componente rt i ale della reazione che l'appoggio produce contro l'arco·

T la ri citante di tutte le forze applicate da A in M, la quale, affi.nchè l 'arco sia equilibrato, deve essere diretta secondo la tan­gente in M all'asse A O B , ecl essere eguale e direttamente con­traria alla reazione che l'arco O M esercita contro l'arco M A, ossia all'azione molecolare che viene provocata sulla sezione normale determinata dal punto M.

Ora. per l'equilibrio dell'arco M A, sollecitato in A dalla forza orizzontale Q e dalia verticale V; su tutta la sua lunghezza dalla forza totale corrispondente alla forza F; ed in M della forza tan­genziale T richiedesi che si annullino rispettivamente le somme al­gebriche di tutte le componenti parallele all'asse delle z e delle u, cioè devesi avere :

1' d z +] : F cos ·fi d s - Q = O d s ~

r·s cl u . .

. T - - F sen <f d s - V = O rl .<; .. •

equazioni richieste che servono a determinare le reazioni Q e V, la curva che deve presentare l'asse eli un arco, perchè sia equi­librato, e l'azione molecolare T provocata in una sezione normale qualunque, quando sia data la funzione 'i' (x, y), cioè la legge se­condo cui debbano essere distribuite le forze esterne.

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Potrebbe anche occorrere di dover risolvere il problema inverso, data cioè la funzione f (x), che determina la curva dell'asse, de­terminare la !' (x, y).

Noi qui tratteremo il problema in alcuni casi particolari più frequenti nella pratica riferentisi alla prima supposizione.

l.

L e for ze este'rne siano p esi uniformemente dist1·ibuiti sulla p·roiezione or·izzontale dell'a'rco.

Ritenendo le denominazioni precedenti chiamiamo : 2 c la corda dell'arco; m la sua monta ; p il peso riferito all'unità di lunghezza della proiezione oriz­

zontale dell'arco. Dopo di ciò avremo:

F ds =p dz, <!' = 90", cos <!'= o sen 'f = 1

f : F cos 'f d s = o

. s .

l F sw <!' d s = p (c- e),

J s

e quindi dalle generali equazioni di equilibrio si ha :

T..!:.!_ = Q d s .

du T-- = p z

ds

v ==p c

che sono le equazioni di equilibrio per questo caso particolare. Dividendo la seconda per la prima si avrà:

d tt p z a:z=cr

(1)

0

Integriamo questa equazione e determiniano la costante in modo che per z = o sia u = o risulterà :

u = .p z2 2 Q

(2)

la quale rappresenta la curva secondo cui deve essere foggiato l'asse dell'arco perchè sia equilibrato. Questa curva è una para­bola col vertice in O, avente per suo a se la verticale O u e passante per i due punti A e B, con questo si potrà tracciarla grafica­mente. Così non volendo fare, si dovrà determinare la spinta oriz­zontale Q, per il che basta notare che per z = c deve essere u = m, cosicchè dall'equazione (2) si deduce : ·

p c2 Q= ---

2 rn

Talore che sostituito nella equazione (2) darà:

mediante cui si potrà costrurre la parabola assegnando a z dati valori e determinando le u corrispondenti.

Per trovare la pressione in una sezione normale qualunque del­l'arco quadriamo le equazioni (1) , sommiamole e nell'equazione risultante poniamo per V e Q i loro valori, otterremo :

T = 1J _ c_ + z2 ·v 4 4 m~

la quale fa vedere che T ha il valore minimo 1~ per la sezione corrispondente alla chiave cioè per z = o avendosi allora:

1, - P c~ - Q c - - - -2 m

ed il massimo valore T; all'imposta dell'arco per z = c, cioè:

lO

·v~-- p c~ v 4 m2 T; =p c --- + 1 = 2-- - 1 + - -4 m2 m c~

Suppongasi ora di avere un arco a monta molto depressa non

maggiore di 1~ della corda, per questo si potrà trascurare la fra-

. 4' rn9. . f' d ll' ' ' . a· . ' zwne ---Q - m con ronto e umta, e qum 1 s1 avra : c·

p Co li = - -= Tc =Q

/J m

cioè per siffatti archi con molta approssimazione si può ritenere che in ogni sezione si verifichi la stessa pressione, ragione per cui soglionsi costrurre con spessore costante.

Finalmente se T è la pressione, che si verifica in una sezione normale qualunque dell'arco , si avrà l'equazione di stabilità e­spressa da:

n" B " n= T

dove n" è un coefficiente numerico < 1, R" esprime il coefficiente di rottura per pressione della materia di cui è formato l'arco, o sezione normale all'asse dell'arco in un punto qualunque cui corrisponde la pressione T. Fissataci adunque a priori una dimen­sione di n si potrà sempre determinare l'altra mediante l'ultima equazione, e così dare gli spessori opportuni alle differenti se­zioni.

II.

Le forze esterne siano pesi uniformemente distribuiti sulla lunghezza dell'arco.

Proponiamoci di determinare le stesse quantità che nel problema precedente. Ritenendo sempre le medesime denominazioni, consi­deriamo il tratto di arco M .A (fig. 2a); perchè sia in equilibrio, bisogna che siano soddisfatte le equazioni generali di equilibrio

Il

soprascritte. Or bene per l'ipotesi fatta riguardo alla distribuzione delle forze estrinseche, avremo:

F = p sen 'Y = 1 cos 'Y = o Y = p '

J. ~ F cos 'Y d s = o J. : F en 'V d s = p I ~ d s = q (S - s)

e le equazioni di equilibrio pel caso nostro saranno:

T ~: =Q ')i

du r----a;s = ps

(l)

Dividiamo la 2a per la 1"' e separiamo le variabili , otterremo:

sdz= -Q- du p

(2)

equazione differenziale della curva cercata, che sarebbe una cate­naria omogenea.

Per trovare una relazione finita fra le due coordinate z ed u, eleviamo al quadrato le equazioni (1) e sommiamole membro a membro, avremo:

(3)

Se ora si suppone essere T la pressione , che ha luogo sulla sezione del solido corrispondente al punto M, se noi consideriamo sulla catenaria un altro punto M ' infinitamente vicino ad M, per modo che risulti M M ' = d s, è certo che la pressione in M ' non sarà quella stessa, che si verifica in M, ma sarà per es. T + d T, derivando l'incremento d T dal peso p d s corrispondente all'arco infinitesimo M M ', e quindi deve essere eguale alla componente di questo peso seco~do M T, si avrà dunque:

d T= p d s cos M' M M" ;

12

ma :

dunque:

du cos=M' MM''= ~;

d T= p du.

Integrando e determinando la costante in modo che pel punto O ossia per ~t = o , sia T = Q , si ottiene:

T =p cln + Q

Eguagliamo i due valori di I dati dalla (3) e dalla ( 4), ele­viamo al quadrato i due membri e ricaviamo il valore di s, si avrà:

\'alore che posto nella equazione (2) dà:

Integrando ·e determinando la costante in modo che per · z = o sia tt = o , si ottiene:

(5)

la quale dovendo dare z - c per u = m permette di determi­nare la sola incognita Q mediante l'equazione:

m + !J.. + V m'l + 2 9._ m c= JL log t P P

p _!{ (6)

p

l ~'

Determinato il valore di Q e sostituitolo nella equazione (5), si determineranno per i singoli valori a sunti a pri01·i di u quelli corrispondenti di z.

Questo metodo r igoroso però è poco seguito in pratica , perchè . overchiamente lungo e laborioso. Si determina as ai più spedita­mente e con abbastanza esattezza la spinta orizzontale Q tenendo un'altra via fondata ulla similitudine delle catenarie omogenee ·

per il che costruendo una di queste curve, assumendo per J?... un p .

valore arbitrario A e prendendo . sovr'essa catenaria i valori z '

n' ed s' per un punto qualunque della curva, ba ta accre cere

o diminuire tutte queste quantità nella ragione di A : () onde p

aYere quelle riferentisi alla catenaria di parametro g_ per il p

punto omologo a quello considerato sulla curva di parametro A.

Q p

Così occorrendo di dover costruire una catenaria di parametro

di monta rn e semi corda c , il metodo pratico da seguirsi

è il seguente: si assume per Q_ un valore arbitrario A e me-p

diante l'equazione (5) si costruisce una. catenaria, di cui metà sia per es. AB ( fig. 3a} cui spetteranno la mouta m' , la semicorda c' , e le coordinate di punto qualunque z ' ed 1i , si costruisce il triangolo D O .A i cui cateti A C e O D saranno rispettivamente la semicorda c e la monta m prese nella scala adottata, dal punto d'incontro E della catenaria ausiliaria colla ipotenusa D A si con­duce l'ordinata E F; si misurino A F ed F E, che saranno ri­spettivamente c' ed m' , e si dedurrà Q da una delle due equa­zwm:

2_=A~ P c'

entrambe desunte dalla proporzionalità dei parametri alle ascisse ed alle ordinate di punti omologhi delle due catenarie , l'una da costruirsi, l'altra ausiliaria.

Determinato così il vero valore del p~rametro JL si otterranno p

facilmente le coordinate z ed u di un punto qualunque della ca-

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tenaria da costruirsi omologo del punto di coordinate z ' ed u dalle equazioni :

_!L _Q_

z = ~ - u = p u: ; A

le quali hanno loro fondamento nella proporzionalità delle coor­dinate in curve simili , e così si potrà somministrare al costrut­tore quanto gli occorre pel tracciamento della curva.

La pressione poi , che si verifica in un a sezione normale qua­lunque dell'arco, sarà espressa da·:

'f' = pu + fJ

Dando ad u valori speciali , si dedurra,nno i corrispondenti va­lori di 1' note essendo le alt.re quantità che figurano in essa equa­zwne.

Finalmente l'equazione di stabilità sarà:

n" R" n = 'l'

dove le singole lettere hanno il medesimo significato che sopra nel problema I, ed è pure il medesimo il modo_ di usare della equa­zione per determinare n.

Osservazione. -- La formo la (5) può anche essere scritta sotto altra forma abbastanza comoda per la determinazione diretta del

parametro · JL. Infatti facciamo !L = B e dividiamo tutta l'e-p p

quazione per B avremo :

z - = log' B . t t + B + Y u9. + .2 B n

B

Passando dai logaritmi ai numeri si ottiene:

z

: = ~ + 1 +v;: + .2;

15 7.

u ]3 facciamo ancora - B - = y ed e x si avrà:

tra portando nel primo membro i termini y + 1 e quadrando tutta l'equazione si ha:

y2 + 2 y = x~ + (y + 1 12 - 2 x ( y + 1)

s,·iluppando i qwLdrati e riducendo ri ulta :

donde

y =

quindi sostituendo:

2 x y = x~ - 2 x + 1

1

2 (x+ + ) - 1

e dovendo essere u = m per z = c -verrà :

1 ,?

( ;, - + e + e

1 - 1

colla quale si determinerà B . Volendo finalmente l'espressione dell'angolo T' che la tangente

in un punto qualunque della fibra media fa coll'orizzonte, osservo che ritenendo le denominazioni superiormente usate, esso è iden­ticamente eguale all'angolo che la T fa colla sua componente oriz­zontale, quindi si avrà :

cos o = _ Q_ . T

sostituendo a Q ed a T i loro valori e riducendo si ottiene :

cos ? = B1J B p(B+u ) = B+ ~b

16

III.

Le forze estt·inseche siano pesi dist?·ibuiti p1·oporzionalmente alle ordinate dell'asse dell'arco p1··ese 1·ispetto acl uma determinata orizzontale.

È questo uno dei casi più frequenti nella pratica e si verifica .negli archi estradossati orizzontalmente.

Determiniamo le ste e quantità che nei problemi precedenti. Chiamando q il peso di un parallelepipedo a base quadrata di lato = 1 ed avente per altezza lo spessore del masso sovrastante all'arco, le equazioni generali di equilibrio diverranno :

1' ~ Q l ds

cltt · z TdS =q J

0 u dz

(l)

Dividiamo la seconda per la prima e differenziamo rispetto a ~, otterremo :

_q_ tt

Q

ossia

p dp = q H du Q

avendo fatto

du CfZ =p

Integriamo e determiniamo la costante dietro la condizione che

per u = b = O D (fig. 4") sia ~ ~ = o avremo sostituendo :

( dd :t ) z _- q ( ) « Q u~ - b2

17

Separando le variabili si ha :

1Q du dz=V q Vu'!- b~ (2)

Integriamo una econda volta ritenendo che per u = b sarà z = o otterremo:

u + J/ u'l.- b2 log'

b

che è l'equazione della curva in cui havvi solo Q di incognito, siccome però per z -= c deve avere ~~ = b + m avremo :

Q= q~ log' (b +m + ~?n'l.+ 21M

Per avere la pressione T moltiplico l'equazione (2)

V Q u du v Q u d z - -- --- - -- q J/u2 - b ~ - q

Integrando, si avra:

d (u'l- b ~)

2'1itt2 - b'l

essendo nulla la costante poichè si deve avere

rz u d z = o per u = b . o

(~

Introducendo il valore di questo integrale nella 2• delle equa­zioni (t ), elevando al quadrato entrambe le equazioni (t ) dopo l'ac­cennata sostituzione, e sommandole quindi membro a membro, coll'avvertenza che d u 2 + d z 'l = d s\ risulterà :

T = J/ Q2 + Q q (u~ - b~)

Finalmente l'equazione di stabilità sarà come sopra:

1~" R " n= T.

lB

A VVERTENZ.A.. - Avendosi un arco circolare a monta molto depressa, minore cioè di ~'/.w della corda, e caricato di un peso uniformemente distribuito sulla sua proiezione orizzontale, puossi dimostrare che lo si puo con iderare come posto nelle stesse con­dizioni di un arco equilibrato anzi, "iccome la lunghezza di sif­fatti archi poco differisce dalla loro corda e sempre piccoli sono gli angoli che le tangenti nei diver i loro punti fanno coll'oriz­zontale, uol i dai pratici considerare quale arco equilibrato anche un arco circolare a monta molto depres a e caricato di pesi uni­formemente distribuit i sopra la sua lunghezza, quindi è che a cotesti archi circolari si danno in pratica ezioni normali costanti

CONCLUSIONE.

Chi ben consideri adunque in astratto il carattere degli archi equilibrati potrà senza dubbio persuadersi, come essi debbano riuscire i più vantaggiosi, e quindi ogni arco debba essere co­strutto secondo gli esposti principii. Ma se è indubitato che non sia lecito al costruttore scostarsi dai risultati teorici nelle ardite costruzioni, esso potrà però, quando gli torni comodo, seguire l'uso e l'arte nelle costruzioni ordinarie, nelle quali soglionsi as­segnare alle diverse parti dimensioni esagerate e forme speciali pressochè invariabili, poco o punto giovando una rigorosa deter­minazione. Di più la difficoltà che presenta il pratico traccia­mento delle curve, che non siano archi di circolo, consiglia a non attenersi strettamente al procedimento teorico, potendosi in ogni caso sostituire alla curva teorica una curva policentrica , che vi si accosti quanto si vuole, e non compromettere così la stabilità della costruzione.

G. BISCALDI.

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