DI CUI ALL’ORDINANZA 3274 DEL 20 –03 –2003 Verbania, 10 ...

Normativa sismica, Ordinanza 3274 del 20 – 03 – 2003 - Dinamica strutturale Prof. Alessandro De Stefano, Ing. Miriam PescatoreDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica

CORSO DI AGGIORNAMENTO SULLA NORMATIVA SISMICADI CUI ALL’ORDINANZA 3274 DEL 20 – 03 – 2003

Verbania, 10 giugno 2004

Azioni sismiche _______

Alessandro De Stefano

Miriam Pescatore


Moto armonico con vibrazioni libere:Le oscillazioni libere sono causate da un disturbo improvviso e momentaneo dell’equilibrio della struttura dovuto a:

Urti

Aggiunte e/o soppressioni di carico improvvise

Spostamento imposto e rilasciato

Non esiste quindi una eccitazione esterna alla struttura che alimenti la vibrazione.


Rappresentazione grafica del moto armonico:tcosutsinu u(t) 0

0 ωωω

+=&

Definizione delle grandezze:T = Periodo proprio di oscillazione [s]

ρ = Ampiezza del moto

ω = Pulsazione o frequenza circolare [rad /s]

f = Frequenza del moto, n° cicli in un s, [1/s = Hertz ]

Km2 π2 πT ==

ω2

0

20 uu

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ωρ &

f2 πT

2 πmK

⋅===ωT1f =

1s 1s

t

0u =&umax

20u =&

umin

4maxu =&

u=0

3

T/2

umin

4

ρ

0u&

u0

1

u0

0u&1

u

umax

2

3

T


Altri esempi di oscillatori semplici:

X

Y Solo traslazione in X umax

H

m P(t)Fi

Fe FeK = Σ 12EI / H3

Telaio monopiano:

K = EA / H

Tirante:

m

P(t)

H

umax

Fe

Fi

X

Y

Solo traslazione in Y

m

X

Y Solo traslazione in Y

Impalcato con massa concentrata:

umax

L

P(t)Fe

FiK = 48EI / L3


Moto armonico con vibrazioni libere:P (t) =0 ;

MOTO ARMONICO CON VIBRAZIONI LIBERE

u(t) = A sin ωt + B cos ωt oppure u(t) = C cos (ωt – φ0 )

Ove: C= A2+B2 e φ0 = A/B= A/BPer t=0

che esprime lo spostamento nel tempo

ω0

0uA iniziale à velocitu (0)u &

&& =⇒=

00 uB iniziale posizione u u(0) =⇒=

( ) )cos(tu

oppuret cosutsinu u(t)

0

0202

20

00

uutuu⋅

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+=

ωω

ω

ωωω

&&

&


Oscillazione libera non smorzata :

Caratterizzazione matematica

• Dove si definisce “frequenza circolare propria” la grandezza ω.• Il periodo proprio di vibrazione del sistema risulta essere pari a:

T0=2π mk

( ) ( )

0

00

202

00

00

tan

cos

uu

uu

ttu

ωϕ

ωρ

ϕωρ

&

&

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

−=

t⋅ω

La stessa soluzione può essere espressa nella forma alternativa:

Inizio delmoto

0ϕ

uu00

tt


Nessuna struttura reale può però oscillare all’infinito:

Nel tempo il moto si attenua e tende ad annullarsi perché la struttura subisce uno SMORZAMENTO

x

t

ρ= cost

ρ

x

t

ρ ⇒ 0

ρt3ρt1ρt2

Il modello prosegue il suo moto indefinitamente nel tempo:


Lo smorzamento:Durante l’oscillazione lo spostamento della struttura viene smorzato da vari contributi:

Smorzamento viscosoAttritivoIsteretico……..

Si considera la somma dei contributi smorzanti in un’unica componente viscosa inserendo nel modello un pistone idraulico:

La reazione S è proporzionale alla velocità :

P lento S ⇒ 0 (carico statico, smorzamento ininfluente)

P veloce S ⇒ P(carico dinamico, smorzamento contribuisce all’equilibrio del sistema)

PS


Moto libero dell’oscillatore semplice smorzato:

Moto libero dell’OSCILLATORE SEMPLICE SMORZATO

Il contributo dello smorzamento (Fd):

c = costante dello smorzatore

velocità della massa

L’equilibrio viene ripristinato se:

u c- Fd &=

= u&

0uk ucum =++ &&&

0u (0)u && =0u u(0) =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+= tcosutsinuue u(t) D0D

D

00t- ωωω

ζωζω &

Equazione del MOTO LIBERO SMORZATO

ωζω

2mc ;

mk

==

X

Y umax

H

m P(t)Fi

Fk Fk

Fd


Rappresentazione grafica del moto armonico smorzato:

u(t) =

u

t

u0

0u&

TD

u1

u2

u3

u4

u5

t-e ζω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+ tcosutsinuuD0D

D

00 ωωω

ζω&t-e ςω

Dωω ≈


Oscillazione libera smorzata :

Formulazione alternativa

( ) ( )

2

0

000

00200

00

1:ove

tan

cos

ζωω

ωζωϕ

ωζωρ

ϕωρ ζω

−=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++=

−= −

D

D

D

Dt

uuu

uuu

tetu

&

&


crckm2mk2mc2mc

2mc :1 Se ==⋅=⇒⋅=⇒== ωωζ

Nelle strutture è sempre = c / ccr< 10% ⇒ Sistemi sottosmorzati

x

t

Non c’è oscillazione

smorzatoarmonicoMoto2mc

subsidenzadiMoto2mc

⇒<

⇒>

ω

ω

Condizione criticaCondizione critica


Sistema elastico ad un grado di libertà (SDOF) soggetto

ad azione forzante F(t)

• La generica struttura soggetta ad eccitazione dinamica è sottoposta a quattro diverse forze :

– Forza eccitatrice– Forza di massa (conservativa)– Forza di attrito viscoso (dissipativa)– Forza di richiamo elastico (conservativa)

• Ad ogni istante la risultante delle tre forze deve risultare in equilibrio con la sollecitazione esterna e deve quindi soddisfare la seconda legge di Newton per sistemi dinamici:


Fkuucum

FFFFdinamicoequilibriodellEquazione

ucFavisadissipativForzakuFelasticorichiamodiForzaumFinerzialeForza

dki

dk

i

=++

=+++

−=−=

−=

&&&

&

&&

0:'

:cos:

:

Sistema elastico ad un grado di libertà (SDOF)


Per il caso del sisma la forzante (l’impulso dato alla struttura) è costituita dallo spostamento della fondazione dato dalle onde sismiche che si propagano nel terreno.

Le vibrazioni forzate:Nell’analisi del moto armonico smorzato si è ricavato: T, f, ω = f(K, m, c)

cioè il moto, causato da vibrazioni libere è influenzato esclusivamente dalle caratteristiche della struttura.

Se la causa del moto è una forzante esterna (F(t) ≠ 0),

allora si è in presenza di VIBRAZIONI FORZATE.

In tal caso la risposta strutturale dipende ANCHE dalle caratteristiche della azione forzante ed il moto della struttura cambia qualitativamente e quantitativamente.

X

Y umax

H

mFi

Fk

Fk

Fd

F(t)


Il moto in presenza di vibrazioni forzate:

Equazione dell’OSCILLATORE SEMPLICE SMORZATO con

forzante sinusoidale

H

X

Y umax

m

P(t)

FiFk

Fd

tsinPuk u c u m f0 ω⋅=++ &&&

P0 = ampiezza della forzante

ωf = pulsazione della forzante diversa da quella propria dell’oscillatore

P(t) con andamento sinusoidale, tipico delle macchine rotanti:

tsinPP(t) f0 ω⋅=t

PP0

Soluzione per smorzamento nullo:

( )tsinkP

11u(t) f

02 ω

α⋅⋅

−=

ωωα f=

H


Oscillazione forzata sinusoidale :

Caratterizzazione matematica completa

( ) ( ) ( )omo pu t u t u t= +( ) ( )

( ) ( )

;

21

1

sin

)sin(

222

0

0

ωω

α

ζαα

ϕω

ω

f

pfp

f

D

tkFDtu

tPkuucum

=

+−=

−⋅=

=++ &&&

Soluzione dell’integrale particolare (risposta a regime)

Soluzione dell’omogenea associata (transitorio iniziale)



Analisi della risposta a smorzamento nullo

0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6 x 10-3 Oscillatore semplice - w=20 rad/s

t

u(t)

3 rad/s100 rad/s 18 rad/s 20 rad/s

0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6 x 10-3 Oscillatore semplice - w=20 rad/s

t

u(t)


0 2 4 6 8 10-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05Oscillatore semplice - w=20 rad/s

t

u(t)


0 2 4 6 8 10-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Oscillatore semplice - w=20 rad/s

t

u(t)



FENOMENO DELLA RISONANZA

a smorzamento nullo

Oscillazione con ampiezza crescente all’infinito:

tcostk

Pu(t) ff0 ωω ⋅⋅−=

1f ==ω

ωα

u

t



Analisi della risposta smorzata

0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6 x 10-3Oscillatore smorzato (0.05) - w=20 rad/s

t

u(t)


0 2 4 6 8 10-6

-4

-2

0

2

4

6 x 10-3Oscillatore smorzato (0.05) - w=20 rad/s

t

u(t)


0 2 4 6 8 10-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03Oscillatore smorzato (0.05) - w=20 rad/s

t

u(t)


0 2 4 6 8 10-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05Oscillatore smorzato (0.05) - w=20 rad/s

t

u(t)



Oscillazione forzata sinusoidale

Amplificazione dinamica

αα


Zona 1: ωf < ω ⇒ strutture rigide o , a parità di k , basse frequenze relative α della forzante

Se ωf<<ω L’oscillatore fornisce una risposta quasi statica che non subisce nessuna amplificazione, lo spostamento avviene in totale sincronia con la forzante:

LA MASSA SI MUOVE IN FASE CON LA FORZANTE E LA REAZIONE ELASTICA -K·u(t) EQUILIBRA QUASI TOTALMENTE LA FORZANTE IN OGNI ISTANTE.

Zona 2: ωf ≅ ω ;

EFFETTO DI RISONANZA: LA MASSA SI MUOVE CON UN RITARDO DI FASE DI 90° DA F(t); LA REAZIONE ELASTICA MASSIMA VALE: K·umax=(1/2ζ)·P0.

SE ζ=0,05 kumax E’ 10 VOLTE PIU’ GRANDE DI P0

Zona 3: ωf > ω ⇒ strutture flessibili o, a parità di K, basse frequenze relative α della forzante

L’oscillatore non “sente” la sollecitazione, il fattore di amplificazione diventa minore di 1. Per ωf >> ω la massa resta quasi immobile.

LA MASSA SI MUOVE IN OPPOSIZIONE DI FASE CON LA FORZANTE E LA FORZA INERZIALE EQUILIBRA QUASI TOTALMENTE LA FORZANTE IN OGNI ISTANTE.

La lettura del diagramma:

L’oscillatore ‘filtra’ le frequenze della forzante, per alcune subisce un’amplificazione del moto, per altre il moto viene ridotto(t)um &&⋅−


E’ sempre possibile definire una forzante generica, definita in un intervallo dato, come combinazione lineare di infinite funzioni armoniche di ampiezza infinitesima con frequenze infinitamente vicine tra loro. Questa operazione è nota com “trasformata di Fourier”. Nella pratica operativa delle procedure numeriche, gli aggettivi “infinito” e “infinitedimo” vanno letti rispettivamente come “finito molto grande” e “finito molto piccolo”.

Forzanti generiche:

Analisi armonica o trasformata di

Fourier

Risposta dell’oscillatore alle singole armoniche

Forzante aleatoria

t

a

Somma di ∞funzioni armoniche t

a ω3;T3

t

a ω1;T1

t

a ω2;T2


0u (0)u && =0u u(0) =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+= tcosutsinuue u(t) D0D

D

00t- ωωω

ζωζω &

Equazione del MOTO LIBERO SMORZATO

0u (0)u && =0u(0) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= tsinue u(t) D

D

0t- ωω

ζω &

MOTO LIBERO SMORZATO con spostamento iniziale nullo

( ) ( ) ( ) ( ) t0 ove; ≤≤=⋅=⋅ τττττττ uddm

FudmdF &&

τ

τ−tτ00 tt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ττω

ωττω

ωτ τζωω d

mFud edu(t) t-τ-ζ -tsine-tsin D

D

-t-D

D

&


tu

u(t)

F

1τ

1τ−t

dτdτ

( )2τF( )

1

11

udtg

udmdF

&

&

=

⋅=⋅

θ

ττ ( )1τF

θθ

2τ 2τ−t


0( ) 0g

g

mU cu kum u u cu ku

mu cu ku mu

+ + =+ + + =

+ + = −

&& &

&& && &

&& & &&

Terremoto(accelerogramma sismico al suolo)

Risposta della struttura al sisma.



Sistema elastico ad un grado di libertà (SDOF):

L’equazione dell’equilibrio dinamico dell’oscillatore semplice “sismico” smorzato

kmT

mk

uuuumk

mc

postouumku

mcu

umkuucum

g

g

g

===

−=++

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=−=++

−=++

ωπω

ωζω

ω

ζω

2

2

2;

2

2

&&&&&

&&&&&

&&&&&


• Integrale di Duhamel nel caso sismico

( )

( ) ( )

( )∫

∫

−⋅⋅−=

⋅−=⋅

−⋅⋅=

−−

−−

1

1

t

0D

τ)ζω(tg

D

t

0D

τ)ζω(t

D

τ)dτ(tsinωeuω1u(t)

τ)dτ(tsinωeFmω

1u(t)

τ

ττττ

τ

&&

&& dumdF g


Il terremoto:Due sono le caratteristiche salienti della sollecitazione F(t) data dal sisma:

La sollecitazione è strettamente dipendente dal tempo

La sollecitazione è assolutamente random, sempre diversa

Genera F(t) sotto forma di accelerazione

del terreno

La struttura risponde in funzione di K, m, c e

F(t)

t

a

t

a

t

ut

uStessa

struttura risposte differenti

ONDE DISTRUTTIVE!


La funzione di risposta:

∫ −⋅⋅⋅−= −−1t

0D

)(tg

D)d(tsine)(um

m1u(t) ττωτω

τζω&&

Sostituendo l’espressione della forzante del sisma all’interno dell’integrale di Duhamel si ottiene:

Con V(t) detta funzione di risposta in velocità

È possibile eseguire il calcolo completo della risposta nel tempo 0-t1 in modo da conoscere per ogni istante sollecitazioni, spostamenti e sforzi nella struttura, tuttavia ai fini ingegneristici è sufficiente conoscere il valore di V(t) che massimizza lo spostamento detto SV VELOCITA’ SPETTRALE.

V(t)1u(t)D

⋅=ω

sisma durata t-0 tt0 per (t))uf(V(t) 11g ≤≤= &&

10%)( strutture delle tipici di per valori S1 S1 u VVD

max <≅= ζζωω

( )( )max

t

0

)(tgmaxmaxV

1

)d(tsine)(uS ∫ −⋅⋅−=⋅== −− ττωτω τζωDD utV &&

?


Ottenere la funzione di risposta:Si può determinare SV a partire da:

Andamento ügt) che caratterizzi l’evento sismico

Valori fissati di ζ (smorzamento), ω e T relativi alla struttura in esame

Il sisma viene definito attraverso un ACCELEROGRAMMA che riporti l’andamento dell’accelerazione del terreno in funzione del tempo:

t

a

Caratterizzazione dinamica della struttura o scelta di un oscillatore semplice smorzato di riferimento.

ζ, ω, T noti


Spettro di risposta

• Si definisce spettro ogni diagramma che ha in ascisse frequenze o periodi.

• Lo SPETTRO DI RISPOSTA riporta in ordinate le risposte massime in accelerazione, velocità o spostamento ottenute risolvendo l’equazionedell’oscillatore semplice, istante per istante, sotto l’azione di un dato sisma.


Costruzione dello spettro di risposta

Risolvendo l'equazione del moto per un assegnato valore di f (f=1/T) si può valutare il massimo valore della velocità relativa stimata ů: tale quantità prende il nome di velocità spettrale e viene usualmente indicata con il simbolo Sv. Ripetendo questa operazione per diversi valori di f si ottengono diversi valori di Sv che possono essere riportati in un diagramma in funzione del periodo T (o della frequenza f) dove ogni curva corrisponde ad un valore del fattore di smorzamento relativo ζ.


Risultati in funzione della funzione di risposta:

Nota SV, velocità spettrale, restano definiti:

Max spostamento relativo della struttura:

Max accelerazione assoluta, detta accelerazione spettrale, applicata alla struttura, trascurando lo smorzamento:

Max forza applicata alla struttura:

VV2

maxmax2

maxmaxmax SS1U ; uU ; umKU

0KuUm

⋅=⋅⋅=⋅=⋅=

=+

ωω

ωω &&&&&&

&&

Vamaxmax SmSmUmF ⋅⋅=⋅=⋅= ω&&

Forza per unità di massa

spettraleospostamentdettoS1

u Vmax⋅=

ω

Sa SD Sa SD Sa


Relazioni tra spettri di risposta

• Si traccia Sv

• SD = Sv /ω

• Sa = ω2 SD = ω Sv


Oscillazione forzata casuale :

Spettro elastico delle accelerazioni

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Campano Lucano 23.11.1980 18:34 - direzione x

T (s)

Sa

(g)

smorz. 2%smorz. 5%smorz.10%smorz.20%

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


T (s)

Sa

(g)


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


T (s)

Sa

(g)


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


T (s)

Sa

(g)




Spettro elastico normalizzato

0 0.5 1 1.5 2 2.50.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5


T (s)

Sa

norm

aliz

zata


0 0.5 1 1.5 2 2.50.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5


T (s)

Sa

norm

aliz

zata


0 0.5 1 1.5 2 2.50.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5


T (s)

Sa

norm

aliz

zata


0 0.5 1 1.5 2 2.50.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5


T (s)

Sa

norm

aliz

zata




Sovrapposizione spettri elastici normalizzati

0 0.5 1 1.5 2 2.50.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4Sovrapposizione degli spettri normalizzati

T (s)

Sa

norm

aliz

zata

Campano Lucano xCampano Lucano yFriuli xFriuli yMedio

0 0.5 1 1.5 2 2.50.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5Sovrapposizione degli spettri normalizzati

T (s)

Sa

norm

aliz

zata


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4


T (s)

Sa

norm

aliz

zata


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4


T (s)

Sa

norm

aliz

zata


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4


T (s)

Sa

norm

aliz

zata



Gli spettri di risposta:SPETTRO DI RISPOSTA

ELASTICO

definito per la componente orizzontale e verticale

SPETTRO DI RISPOSTA per S. L. U. per la componente orizzontale e verticale

SPETTRO DI RISPOSTA per S. L. di DANNO

per la componente orizzontale e verticale

Andamento degli spettri:

T

Se

TB TDTC

1

L’accelerazione viene definita in funzione del parametro ag = accelerazione al suolo di Cat. A per le diverse zone sismiche:

ZONA 1 ag = 0.35 g

ZONA 2 ag = 0.25 g

ZONA 3 ag = 0.15 g

ZONA 4 ag = 0.05 g



Spettro elastico normalizzato da normativa

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Spettro elastico da normativa

T (s)

Sa

norm

aliz

zata

ABCDE

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2


T (s)

Sa

norm

aliz

zata

ABCDE

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3


T (s)

Sa

norm

aliz

zata

ABCDE

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3


T (s)

Sa

norm

aliz

zata

ABCDE

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3


T (s)

Sa

norm

aliz

zata

ABCDE


Lo spettro di risposta elastico:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅=≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅=<≤

⋅⋅⋅=<≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+⋅⋅=<≤

2DC

geD

CgeDC

geCB

BgeB

TTT2.5Sa(T)S ; TT

TT2.5Sa(T)S ; TTT

2.5Sa(T)S ; TTT

12.5(TT1Sa(T)S ; TT0

η

η

η

η

Spettro di risposta elastico per componente orizzontaleCon:

ζ = coef. di smorzamento viscosoCat. S TB TC TD

A 1 0.15 0.4 2B, C, D 1.25 0.15 0.5 2

E 1.35 0.2 0.8 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅=≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅=<≤

⋅⋅⋅⋅=<≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅+⋅⋅⋅=<≤

2DC

gveD

CgveDC

gveCB

BgveB

TTT3Sa0.9(T)S ; TT

TT3Sa0.9(T)S ; TTT

3Sa0.9(T)S ; TTT

13(TT1Sa0.9(T)S ; TT0

η

η

η

η

Spettro di risposta elastico per componente verticale

Con:Cat. S TB TC TD

A, B, C, D, E 1 0.05 0.15 1

Gli spettri sono applicabili per T ≤ 4 s

Spettro dello spostamento SDe(T):2

eDe 2T(T)S(T)S ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

πDalla definizione di accelerazione spettrale

0.55)10/(5 ≥+= ζη


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅=≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅=<≤

⋅⋅⋅=<≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅⋅⋅=<≤

2DC

gvdD

CgvdDC

gvdCB

BgvdB

TTT

q3Sa0.9(T)S ; TT

TT

q3Sa0.9(T)S ; TTT

q3Sa0.9(T)S ; TTT

1q3

TT1Sa0.9(T)S ; TT0

Spettro di risposta a S. L. U. per componente verticale

Lo spettro di risposta per S. L. U.:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=≥

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅⋅=<≤

⋅⋅=<≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+⋅⋅=<≤

2DC

gdD

CgdDC

gdCB

BgdB

TTT

q2.5Sa(T)S ; TT

TT

q2.5Sa(T)S ; TTT

q2.5Sa(T)S ; TTT

1q

2.5TT1Sa(T)S ; TT0

Spettro di risposta a S. L. U. per componente orizzontale A S. L. U. perde di significato il termine di smorzamento viscoso ritenendo la struttura impegnata al limite delle sue capacità elastiche.

Viene però introdotto il FATTORE DI STRUTTURA q per poter considerare la capacità dissipativa della struttura.

In sostanza q esprime quanto la tipologia strutturale (materiale da costruzione e schema statico) in esame riesca a dissipare energia prima di raggiungere un meccanismo di collasso.

L’allegato contiene diverse prescrizioni a seconda del materiale da costruzione impiegato per la struttura di cui si debba calcolare q (C.A., acciaio, mista C.A. –acciaio, prefabbricata ecc.)


Lo spettro di risposta per S. L. di DANNO:Spettro elastico

2.5

Elastico Cat. A

Elastico Cat. EElastico Cat. B, C, D

S.L.U. Cat. A

S.L.U. Cat. ES.L.U. Cat. B, C, D

S.L.D. Cat. A

S.L.D. Cat. ES.L.D. Cat. B, C, D

Grafici degli spettri:

Spettri di risposta per:

ζ = 5% ⇒ ν = 1 ; q = 2


Sistemi a più gradi di libertà (MDOF) sotto azione sismica :

• Per una struttura MDOF bisogna scrivere l’equazione di equilibrio dinamico per ciascun grado di libertà. In forma compatta si ottiene la scrittura matriciale:

gu+ + = −M u C u K u M i&& & &&

M è la matrice di massa del sistema.C è la matrice di smorzamento viscoso.K è la matrice di rigidezza.u è il vettore dei gradi di libertà.i è il vettore di “trascinamento” o di “influenza”, i cui termini sono 1 (o 0)

• La formulazione delle matrici della struttura può essere effettuata in termini generali mediante una schematizzazione ad elementi finiti della struttura.


u3(t)

u1(t)

u2(t) c3

c1

c2

Strutture a più gradi di libertà:L’oscillatore multiplo; telai multipiano a solai rigidi:

Equazioni di moto ai piani:

323323333232312232312222

1212112121111

F)u-(uk)u-u(cum 3 pianoF)u-(uk)u-(uk)u-u(c)u-u(cum 2 piano

F)u-(ukuk)u-(ucucum 1 piano

=++−=++++−

=++++−

&&&&&&&&&&

&&&

Sistema ordinato in forma matriciale:

Sistema ordinato in forma matriciale e compatta:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tFuKuCuM =++=⋅+⋅+⋅

&&&&&& fuKuCuM

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

++

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

++

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3

2

1

3

2

1

33

3322

221

3

2

1

33

3322

221

3

2

1

3

2

1

FFF

uuu

kk-0k-kkk-0k-kk

uuu

cc-0c-ccc-0c-cc

uuu

m000m000m

&

&

&

&&

&&

&&

F1

F2

F3


• Caso sismico:

( ){ }

{ }

( ){ } [ ] { } [ ] { } gg

g

g

g

g

uiMuMtF

um

mm

uuu

mm

mtF

&&&&

&&

&&

&&

&&

⋅⋅−=⋅−=

⋅⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

:compatta matriciale formaIn

i influenza"" di o nto"trasciname" di vettoreMatrice

111

000000

000000

3

2

1

3

2

1


• L’equazione matriciale di equilibrio diviene:

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } guiMuKuCuM &&&&& ⋅⋅−=++

Poichè le matrici e non sono diagonali (ossia, hanno termini non nulli al di fuori della diagonale principale), le equazioni differenziali del sistema non sono disaccoppiate (ossia, ciascuna di esse contiene più incognite).

Il sistema va risolto tutto insieme, a meno che non si riescano a “disaccoppiare” le equazioni (ossia, a fare in modo che ogni equazione contenga una sola incognita e che, quindi, la si possa risolvere da sola, indipendentemente dalle altre).

Questo risultato può essere ottenuto con una trasformazione di coordinate, mediante la posizione seguente:

[ ]C [ ]M

{ } ( )[ ] ( )tempoqspaziotempospaziou ⋅Φ=),(


[ ]

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

200000004000000040000

1789.02290.00650.023.06783.06350.0

0650.06350.05171.1*108

M

k

[ ] [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=Ψ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=Λ

27.080.077.063.036.055.073.048.031.0

;84.46800

038.20500017.39

30000

E [N/mm2]

Esempio numerico di struttura con orizzontamenti rigidi


q1(t4)=-1q2(t4)=3q3(t4)=-4

q1(t3)=3q2(t3)=-1q3(t3)=0,5

q1(t2)=1q2(t2)=-2q3(t2)=-1

Composizione delle forme modali

{ } { } ( ) { } ( ) { } ( )tqtqtqtu 332211)( ⋅Φ+⋅Φ+⋅Φ=

-2-101234

12

34

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,20

0,2

0,4

0,6

0,81

-1,5-1

-0,50

0,51

1,52

2,53

12

34

-1

-0,50

0,51

1,52

2,53

3,5

12

34

-3-2-1012345

12

34

Le forme modali sono sempre le stesse, ma ognuna è moltiplicate per un fattore di scala di ampiezza qi(t) che è uguale ad ogni piano ma varia nel tempo. La combinazione lineare con pesi variabili nel tempo permette di ottenere qualsiasi configurazione deformata istante per istante.

Forme modali normalizzate,

Indipendenti dal tempo

( )13

11)( tqtu i

ii∑

=Φ= ( )2

3

12)( tqtu i

ii∑

=Φ= ( )3

3

13)( tqtu i

ii∑

=Φ= ( )4

3

14)( tqtu i

ii∑

=Φ=

q1(t1)=2q2(t1)=2q3(t1)=2

Φ1 Φ2Φ3

1

2

3


-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,20

0,2

0,4

0,6

0,81

q1(t4)=-1q2(t4)=0,03q3(t4)=-0,04

q1(t3)=3q2(t3)=-0,1q3(t3)=0,05

q1(t2)=1q2(t2)=-0,2q3(t2)=-0,1

Composizione delle forme modalicon primo modo prevalente (edifici regolari)

-0,9

-0,8

-0,7

-0,6

-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,10

0,1

12

34

Se il primo modo è dominante, come nel caso di edifici regolari, l’inviluppo delle deformate che si evolvono nel tempo non è dissimile da una semiretta. Ciò giustifica la forma triangolare della distribuzione delle forze sismiche nell’analisi statica.

Forme modali normalizzate,

Indipendenti dal tempo

{ } { } ( )13

11)( tqtu i

ii∑

=Φ= { } { } ( )2

3

12)( tqtu i

ii∑

=Φ= { } { } ( )3

3

13)( tqtu i

ii∑

=Φ= { } { } ( )4

3

14)( tqtu i

ii∑

=Φ=

q1(t1)=2q2(t1)=0,2q3(t1)=0,2

Φ(1)Φ(2)Φ(3)

-0,50

0,51

1,52

2,5

12

34

-0,20

0,2

0,4

0,6

0,81

1,2

12

34

-0,4

-0,20

0,2

0,4

0,6

0,81

1,2

1,4

1,6

1,8

12

34

11

1

2

3


Anche una struttura continua può essere calcolata con analisi modale:

Trave nello spazio:

30

40Ix=0.0016 m4

Iz=0.0009 m4

A=0.12 m2

xz

y

Modi di vibrare:

x

y I°

xzII° x

y III°

x

y V° xz

VI°xz

IV°

ω f TMODO (RAD/SEC) (CYCLES/SEC) (SECONDS)

1 0.1081160E+03 0.1720720E+02 0.5811520E-01

2 0.1441547E+03 0.2294293E+02 0.4358640E-01

3 0.4324613E+03 0.6882836E+02 0.1452890E-01

4 0.5766151E+03 0.9177114E+02 0.1089667E-01

5 0.9730096E+03 0.1548593E+03 0.6457475E-02

6 0.1297346E+04 0.2064790E+03 0.4843106E-02


Sistemi a più gradi di libertà (MDOF) :

Analisi modale

Il modo di vibrare della struttura non è altro che la deformata associata ad un determinato periodo definita a meno di una costante. Per ciascun modo di vibrazione è possibile definire la massa equivalente associata che esprime il grado di partecipazione del modo alla vibrazione del sistema:

iMg Tii ϕ=


Massa modale

indica il “peso” (in termini energetici) di ciascun modo nella dinamica sismica complessiva della struttura.

{ } [ ] { }[ ] 2mod,im ii

T gMi =Φ⋅⋅=2


100%3%0,02049,22497%7%0,03826,31390%21%0,1119,01269%69%0,7291,371

[s][Hz]

Massaaccumulata

Massamodale

PeriodoFrequenzaModo

Sistemi a più gradi di libertà (MDOF) :

Analisi modale

Quando la massa accumulata risulta essere maggiore del 90% è possibile trascurare i contributi dei modi superiori per il calcolo degli spostamenti nodali.

Analogamente a quanto visto per i sistemi SDOF in caso di funzione forzante non analitica, come un terremoto, non è possibile calcolare esplicitamente gli integrali. Occorre definire una regola per la somma dei massimi spostamenti nodali ottenuti dallo spettro:

( ) ( )2 2max max max

1 11 1 1...

n nu q q= Φ + + Φ

( )( )max max max

1 1 11 1

n n

ij i i j jj iu q qρ

= =∑ ∑= Φ ⋅ Φ ⋅

( )( ) ( )

32 2

2 22 2

8 11 4 1

ij ij

ij

ij ij ij

i

ij

j

ξ β βρ

β ξ β β

ωβω

+=

− + +

=

SRSS

CQC


5 5 6

35 18

4

3

3

Edificio multipiano in CLS, modello FEM:

Pilastri:

40

40

Ix=Iz=0.00213 m4

A=0.16 m2

Travi:

30

40

Ix=0.0016 m4

Iz=0.0009 m4

A=0.12 m2

El. Beam3d (trave nello spazio):

El. Shell4t (piastra quadrangolare con spessore t):

Soletta: 20 γ = 3000 N/m3

Analisi modale con calcolo automatico dei primi 10 modi

ζ= 5 %


ω f TMODO (RAD/SEC) (CYCLES/SEC) (SECONDS)

1 0.4578766E+01 0.7287332E+00 0.1372244E+012 0.4860698E+01 0.7736041E+00 0.1292651E+013 0.5159890E+01 0.8212219E+00 0.1217698E+014 0.1405707E+02 0.2237253E+01 0.4469768E+005 0.1488365E+02 0.2368806E+01 0.4221537E+006 0.1584682E+02 0.2522100E+01 0.3964949E+007 0.2457173E+02 0.3910712E+01 0.2557079E+008 0.2582469E+02 0.4110126E+01 0.2433015E+009 0.2761081E+02 0.4394397E+01 0.2275625E+00

10 0.3610144E+02 0.5745722E+01 0.1740425E+00


I° modo, flessionale trasversale:


II° modo, flessionale longitudinale:


III° modo, torsionale:


IV° modo, 2° flessionale trasversale:


V° modo, 2° flessionale longitudinale:


VI° modo, 2° torsionale:


VII° modo, 3° flessionale trasversale:


Simulazione del danneggiamentoRiduzione dell’inerzia di alcune sezioni nei pilastri:

Sezioni con drastica riduzione della rigidezza(simulano cerniera plastica)

Idanno ≅ 5% Iiniziale

Sezioni con minima riduzione della rigidezza(simulano perdita del copriferro)

Idanno ≅ 60% Iiniziale

Pilastri:

40

40

C = 2.5 cm

Nuova analisi modale con calcolo automatico


ωD fD TD

MODO (RAD/SEC) (CYCLES/SEC) (SECONDS)

1 0.4455591E+01 0.7091292E+00 0.1410180E+012 0.4702762E+01 0.7484677E+00 0.1336063E+013 0.5009218E+01 0.7972418E+00 0.1254325E+014 0.1377543E+02 0.2192427E+01 0.4561154E+005 0.1455520E+02 0.2316532E+01 0.4316797E+006 0.1547165E+02 0.2462390E+01 0.4061095E+007 0.2412764E+02 0.3840034E+01 0.2604144E+008 0.2523357E+02 0.4016047E+01 0.2490010E+009 0.2700584E+02 0.4298112E+01 0.2326603E+00

10 0.3550111E+02 0.5650178E+01 0.1769856E+00

Ti

(SECONDS)

0.1372244E+010.1292651E+010.1217698E+010.4469768E+000.4221537E+000.3964949E+000.2557079E+000.2433015E+000.2275625E+000.1740425E+00

Riduzione della rigidezza


I° modo, flessionale trasversale, modello danneggiato:

I° modo, flessionale trasversale, modello integro:


II° modo, flessionale longitudinale, modello danneggiato:

II° modo, flessionale longitudianle, modello integro:


III° modo, torsionale, modello danneggiato:

Modello integro: centro di rotazione del III° modo


Isolamento sismico :

Introduzione

E’ una tecnica utilizzata per ridurre le sollecitazioni nelle strutture situate in zona sismica. Viene realizzata mediante dei dispositivi che limitano il trasferimento di energia dal suolo alla struttura. Si crea una sconnessione a livello delle fondazione atta ad aumentare il periodo proprio di vibrazione delle strutture. Effetto negativo che insorge è l’aumento dello spostamento relativo tra la base isolata e il terreno a cui si rimedia parzialmente adottando dei dispositivi ad alto smorzamento viscoso.


Controllo passivo: 1-L’aumento dello smorzamento (dispositivi dissipatori d’energia) e/o l’aumento del periodo proprio fondamentale (isolatori

sismici) causano una riduzione delle ordinate spettrali

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


T (s)

Sa

(g)


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


T (s)

Sa

(g)


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


T (s)

Sa

(g)


0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


T (s)

Sa

(g)


I dispositivi dissipatori accrescono lo smorzamento e riducono la risposta

Gli isolatori sismici aumentano il periodo proprio fondamentale e riducono la risposta


Isolamento sismico (4/6)

Modi di vibrazione

L’analisi modale conferma le previsioni fatte analiticamente. Il modo di vibrazione fondamentale della struttura corrisponde ad una traslazione quasi rigida della struttura con spostamento relativo al piano di sconnessione della fondazione. Il periodo fondamentale èprossimo a quello desiderato mentre il secondo risulta minore di quello fondamentale della struttura originale.


100,0%0,0%0,03528,554

100,0%0,0%0,09210,883

100,0%0,4%0,4922,032

99,6%99,6%2,1020,481

[s][Hz]

Massaaccumulata

Massamodale

PeriodoFrequenzaModo

Isolamento sismico:

Analisi modale

Come si nota dalla tabella il modo fondamentale di vibrazione riveste un ruolo primario nella definizione della risposta globale della struttura. I modi superiori sono pressochéininfluenti


Isolatore sismico in gomma armata

D179c.jpg


Sezione di isolatore in gomma armata


Isolatori a pendolo attritivo


Proprietà caratteristiche:1. Pseudoelasticità2. Effetto memoria3. Dissipazione per isteresi

Leghe con effetto memoria: Ni-Ti (Ni-Ti-X), Cu-Zn-Al

Temperatura del materialeFrequenza cicli di caricoAmpiezza del carico

Aspetti favorevoli per l’impiego strutturale:1. Eccellente resistenza alla corrosione2. Resistenza alla fatica

Due fasi stabili: Martensite e Austenite


Shape Memory AlloysLa pseudo-elasticità

Pseudo-elasticità significa assenza di deformazioni residue dopo cicli di carico-scarico a deformazioni elevate.

Austenite

Austenite

Transizione A M Transizione M A

Martensite

Martensite

In carico (0-3): In scarico (3-6):

Si riscontra per T > Af


Shape Memory AlloysL’effetto memoria

(da F.Auricchio, Shape-Memory Alloys, Ph.D. dissertation, 1995)

L’effetto memoria consiste nella capacità di recuperare la forma austenitica iniziale, mediante riscaldamento fino alla temperatura T > Af

Si riscontra per T < Ms

1. Punto C: σ=0 ma ε≠02. Riscaldamento T > Af

3. Punto D: σ=0 e ε=0


Shape Memory AlloysLa temperatura

La legge costitutiva delle SMA è regolata da tre

L’aumento di T risulta in:1. Aumento della σ dei

tratti “plastici”2. Diminuzione dell’isteresi

variabili: σ, ε, T

SMA con Af = 14 °C

T = temperatura materiale


Controventi dissipativi con leghe a memoria di forma

• Ricentramento automatico: fili austenitici • Dissipazione di energia: fili martensitici

Gruppi SMA: SRCD, NRCD, RCD

da MANSIDE 1999 – M.Dolce

Costo SMA: 10% di un controvento in acciaio


Un caso di studio

• Edificio di civile abitazione

• 6 piani f.t.• Struttura a telaio in c.a.• Asimmetria in pianta

Vista lato ovest

Pianta piano tipo


Analisi del comportamentodinamico dell’edificio

Tipo di analisi condotte:A. Analisi multimodale con spettro di rispostaB. Analisi non lineare con metodo di Newmark β

Criterio di verifica:Stato Limite di Danno ( δ ≤ 0,005 )in conformità all’Ordinanza n. 3274

Modello strutturale:Telaio spaziale (3 gradi di libertà)

(aggiornamento matrici KSMA e CSMA)


Protezione dell’edificiomediante controventi con SMA

Criteri per la disposizione dei controventi dissipativi:

• Riduzione distanza R-G• Distribuzione rigidezze: K* = cost• Sfruttamento ottimo del ciclo di isteresi• Minimizzazione della componente di reazione

verticale

telaio

contr

KKK =*

Caratteristiche controventi installati:• Analoghi al prototipo del MANSIDE Project• Carico massimo = 200 kN• ∆l massimo = 20 mm


Protezione dell’edificiomediante controventi con SMA

Schema della disposizione in pianta dei controventi


Risultati della simulazione

0.0028δControventi SMA

0.0063δEdificio non controventato

I massimi spostamenti di interpiano δ si hanno per il primo piano.

Verifica dello S.L.D. > 0.005

Distinzione nel calcolo:1. SMA con dissipazione2. SMA senza dissipazione

Riduzione spostamenti:

56%SMA con dissipazione

28%SMA senza dissipazione


In sintesi

Elevata dissipazione di energia, sia in fase austenitica sia in fase martensiticaTemperature di esercizio compatibili con l’effetto di pseudoelasticità Effettiva limitazione del dannoCosto iniziale giustificato da:

1. Ricentramento della struttura2. Assenza di manutenzione


Attuatore MRD per controllo semiattivo


Fluido magneto-reologico


Smorzatori MRD su edificio

multipiano

DI CUI ALL’ORDINANZA 3274 DEL 20 –03 –2003 Verbania, 10 ...

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