Degenerazioni delightful e grado k-secante disuperfici toriche

Elisa Postinghel

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE

Gargnano, 25 Maggio 2010

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 1 / 26

1 Le variet à k-secantiGrado k-secante e numero νk (X )

2 Approccio combinatoricoVarietà toriche e degenerazioni toricheDegenerazioni piane toriche k-delightful

3 Risultatik = 1k = 2Una congettura

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Le variet à k-secanti

1 Le variet à k-secantiGrado k-secante e numero νk (X )

2 Approccio combinatoricoVarietà toriche e degenerazioni toricheDegenerazioni piane toriche k-delightful

3 Risultatik = 1k = 2Una congettura

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Le variet à k-secanti

Definizione

Sia X ∈ Pr varietà proiettiva, irriducibile e non-degenere, dim(X ) = n.La varietà k-secante Sk (X ) di X è definita come la chiusura dell’unionedi tutti i Pk che intersecano X almeno k + 1 volte.

Le varietà secanti sono importanti classicamente per il ruolo che essegiocano nella teoria delle proiezioni di varietà su sottospazi: dim(S(X ))fornisce informazioni riguardo all’embedding di X in spazi proiettivi.

La dimensione attesa è

e(Sk (X )) = min{(k + 1)n + k , r}.

X è detta k-difettiva se dim(Sk (X )) < e(Sk (X )), non k-difettivaaltrimenti.

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Le variet à k-secanti

Definizione

Sia X ∈ Pr varietà proiettiva, irriducibile e non-degenere, dim(X ) = n.La varietà k-secante Sk (X ) di X è definita come la chiusura dell’unionedi tutti i Pk che intersecano X almeno k + 1 volte.

Le varietà secanti sono importanti classicamente per il ruolo che essegiocano nella teoria delle proiezioni di varietà su sottospazi: dim(S(X ))fornisce informazioni riguardo all’embedding di X in spazi proiettivi.

La dimensione attesa è

e(Sk (X )) = min{(k + 1)n + k , r}.

X è detta k-difettiva se dim(Sk (X )) < e(Sk (X )), non k-difettivaaltrimenti.

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Le variet à k-secanti

Definizione

Sia X ∈ Pr varietà proiettiva, irriducibile e non-degenere, dim(X ) = n.La varietà k-secante Sk (X ) di X è definita come la chiusura dell’unionedi tutti i Pk che intersecano X almeno k + 1 volte.

Le varietà secanti sono importanti classicamente per il ruolo che essegiocano nella teoria delle proiezioni di varietà su sottospazi: dim(S(X ))fornisce informazioni riguardo all’embedding di X in spazi proiettivi.

La dimensione attesa è

e(Sk (X )) = min{(k + 1)n + k , r}.

X è detta k-difettiva se dim(Sk (X )) < e(Sk (X )), non k-difettivaaltrimenti.

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Le variet à k-secanti

Esempio. Sia Vn,2 l’immagine di ν2 = φ|O(2)| : Pn → Pr = P(n+2

2 )−1.L’ideale di Vn,2 è generato dai minori 2 × 2 della generica matricesimmetrica (n + 1)× (n + 1)

An =

x0 x1 x3 · · · xr−nx1 x2 x4 · · · xr−n+1x3 x4 x5 · · · xr−n+2...

......

. . ....

xr−n xr−n+1 xr−n+2 · · · xr

L’ideale di S(Vn,2) è generato dai minori 3 × 3 della stessa matrice:

dim(S(Vn,2)) = 2n ≤ min{r , 2n + 1},

dunque Vn,2 è non 1-difettiva sse n = 1!

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Le variet à k-secanti

Ci sono varie idee riguardo allo studio di varietà secanti (join di varietà,varietà tangenti, varietà duali, etc.).In molti hanno studiato il problema

1 di classificare le varietà non k-difettive:∗ Catalano-Johnson,∗ Catalisano, Geramita, Gimigliano,∗ Chiantini, Ciliberto,∗ Ciliberto, Russo e altri;

2 di studiare equazioni e grado di Sk (X )∗ Cox-Sidmann,∗ Sturmfels, Sullivant,∗ Landsberg, Manivel,∗ Simis, Ulrich,∗ Vermeire e altri.

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Le variet à k-secanti

Ci sono varie idee riguardo allo studio di varietà secanti (join di varietà,varietà tangenti, varietà duali, etc.).In molti hanno studiato il problema

1 di classificare le varietà non k-difettive:∗ Catalano-Johnson,∗ Catalisano, Geramita, Gimigliano,∗ Chiantini, Ciliberto,∗ Ciliberto, Russo e altri;

2 di studiare equazioni e grado di Sk (X )∗ Cox-Sidmann,∗ Sturmfels, Sullivant,∗ Landsberg, Manivel,∗ Simis, Ulrich,∗ Vermeire e altri.

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Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)

Domanda: Se Sk (X ) ha la dimensione attesa

dim(Sk (X )) = (k + 1)n + k ≤ r .

qual è il numero νk (X ) di Pk (k + 1)-secanti ad X che intersecano unsottospazio generale L ⊆ Pr di codimensione (k + 1)n + k?Abbiamo

νk (X ) = µk (X ) · deg(Sk (X )),

ove µk (X ) è il numero di Pk (k + 1)-secanti che passano per il puntogenerale di Sk (X ).

νk (X ) è anche detto numero di Pk−1 (k + 1)-secanti apparenti di X ,ossia il numero di Pk−1 (k + 1)-secanti che X acquisisce in unagenerica proiezione su M = Pdim(Sk (X))−1, (〈L,M〉 = Pr ).

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Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)

Domanda: Se Sk (X ) ha la dimensione attesa

dim(Sk (X )) = (k + 1)n + k ≤ r .

qual è il numero νk (X ) di Pk (k + 1)-secanti ad X che intersecano unsottospazio generale L ⊆ Pr di codimensione (k + 1)n + k?Abbiamo

νk (X ) = µk (X ) · deg(Sk (X )),

ove µk (X ) è il numero di Pk (k + 1)-secanti che passano per il puntogenerale di Sk (X ).

νk (X ) è anche detto numero di Pk−1 (k + 1)-secanti apparenti di X ,ossia il numero di Pk−1 (k + 1)-secanti che X acquisisce in unagenerica proiezione su M = Pdim(Sk (X))−1, (〈L,M〉 = Pr ).

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Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)

Domanda: Se Sk (X ) ha la dimensione attesa

dim(Sk (X )) = (k + 1)n + k ≤ r .

qual è il numero νk (X ) di Pk (k + 1)-secanti ad X che intersecano unsottospazio generale L ⊆ Pr di codimensione (k + 1)n + k?Abbiamo

νk (X ) = µk (X ) · deg(Sk (X )),

ove µk (X ) è il numero di Pk (k + 1)-secanti che passano per il puntogenerale di Sk (X ).

νk (X ) è anche detto numero di Pk−1 (k + 1)-secanti apparenti di X ,ossia il numero di Pk−1 (k + 1)-secanti che X acquisisce in unagenerica proiezione su M = Pdim(Sk (X))−1, (〈L,M〉 = Pr ).

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Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)

Se k = 1, ν1(X ) conta i nodi apparenti di X , ossia il numero dinodi che X acquisice dopo una proiezione generale in P2n.In particolare se n = 2 e X è liscia

ν1(X ) =d(d−5)

2 − 5g + 6pa − K2 + 11 [F. Severi]

Se k = 2 ν2(X ), conta le rette triscanti apparenti. In particolare− Se n = 2 e X non contiene rette:

ν2(X ) = F (d , c2,K 2,HK ) [B. Le Barz]

− Se n = 2 e X è uno scroll razionale normale:

ν2(X ) = G(d ,g) [C. James]

Daremo un contributo, nell’ambito del calcolo di νk (X ) per superficitoriche, con un approccio combinatorico.

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Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)

Se k = 1, ν1(X ) conta i nodi apparenti di X , ossia il numero dinodi che X acquisice dopo una proiezione generale in P2n.In particolare se n = 2 e X è liscia

ν1(X ) =d(d−5)

2 − 5g + 6pa − K2 + 11 [F. Severi]

Se k = 2 ν2(X ), conta le rette triscanti apparenti. In particolare− Se n = 2 e X non contiene rette:

ν2(X ) = F (d , c2,K 2,HK ) [B. Le Barz]

− Se n = 2 e X è uno scroll razionale normale:

ν2(X ) = G(d ,g) [C. James]

Daremo un contributo, nell’ambito del calcolo di νk (X ) per superficitoriche, con un approccio combinatorico.

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 8 / 26

Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)

Se k = 1, ν1(X ) conta i nodi apparenti di X , ossia il numero dinodi che X acquisice dopo una proiezione generale in P2n.In particolare se n = 2 e X è liscia

ν1(X ) =d(d−5)

2 − 5g + 6pa − K2 + 11 [F. Severi]

Se k = 2 ν2(X ), conta le rette triscanti apparenti. In particolare− Se n = 2 e X non contiene rette:

ν2(X ) = F (d , c2,K 2,HK ) [B. Le Barz]

− Se n = 2 e X è uno scroll razionale normale:

ν2(X ) = G(d ,g) [C. James]

Daremo un contributo, nell’ambito del calcolo di νk (X ) per superficitoriche, con un approccio combinatorico.

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 8 / 26

Le variet à k-secanti Grado k-secante e numero νk (X)

Se k = 1, ν1(X ) conta i nodi apparenti di X , ossia il numero dinodi che X acquisice dopo una proiezione generale in P2n.In particolare se n = 2 e X è liscia

ν1(X ) =d(d−5)

2 − 5g + 6pa − K2 + 11 [F. Severi]

Se k = 2 ν2(X ), conta le rette triscanti apparenti. In particolare− Se n = 2 e X non contiene rette:

ν2(X ) = F (d , c2,K 2,HK ) [B. Le Barz]

− Se n = 2 e X è uno scroll razionale normale:

ν2(X ) = G(d ,g) [C. James]

Daremo un contributo, nell’ambito del calcolo di νk (X ) per superficitoriche, con un approccio combinatorico.

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 8 / 26

Approccio combinatorico

1 Le variet à k-secantiGrado k-secante e numero νk (X )

2 Approccio combinatoricoVarietà toriche e degenerazioni toricheDegenerazioni piane toriche k-delightful

3 Risultatik = 1k = 2Una congettura

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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

DefinizioneUna viarietà torica è una varietà X normale, separata e contenente untoro (C∗)n, n = dim(X ), come sottoinsieme denso, la cui azione su Xestende quella di (C∗)n su se stesso.

variet̀a torica proiettivaXPn-dimensionale

LP fibrato linearesenza punti base, molto ampio

↔

politopo convessoP ⊆ Rn

compatto, integrale,definito a - di traslazioni

Siano P ∩ Zn = {m0, . . . ,mr} i punti reticolari di P ⊆ Rn. Consideriamoil morfismo

φP : x = (x1, . . . , xn) ∈ (C∗)n → [xm0 , . . . , xmr ] ∈ Pr

con xmi = xmi11 · · · xminn .

XP = Im(φP) ⊆ Pr , immerso con il morfismo associato a LP .

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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

DefinizioneUna viarietà torica è una varietà X normale, separata e contenente untoro (C∗)n, n = dim(X ), come sottoinsieme denso, la cui azione su Xestende quella di (C∗)n su se stesso.

variet̀a torica proiettivaXPn-dimensionale

LP fibrato linearesenza punti base, molto ampio

↔

politopo convessoP ⊆ Rn

compatto, integrale,definito a - di traslazioni

Siano P ∩ Zn = {m0, . . . ,mr} i punti reticolari di P ⊆ Rn. Consideriamoil morfismo

φP : x = (x1, . . . , xn) ∈ (C∗)n → [xm0 , . . . , xmr ] ∈ Pr

con xmi = xmi11 · · · xminn .

XP = Im(φP) ⊆ Pr , immerso con il morfismo associato a LP .

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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

DefinizioneUna viarietà torica è una varietà X normale, separata e contenente untoro (C∗)n, n = dim(X ), come sottoinsieme denso, la cui azione su Xestende quella di (C∗)n su se stesso.

variet̀a torica proiettivaXPn-dimensionale

LP fibrato linearesenza punti base, molto ampio

↔

politopo convessoP ⊆ Rn

compatto, integrale,definito a - di traslazioni

Siano P ∩ Zn = {m0, . . . ,mr} i punti reticolari di P ⊆ Rn. Consideriamoil morfismo

φP : x = (x1, . . . , xn) ∈ (C∗)n → [xm0 , . . . , xmr ] ∈ Pr

con xmi = xmi11 · · · xminn .

XP = Im(φP) ⊆ Pr , immerso con il morfismo associato a LP .

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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

Esempio 0. P2 è descritto da@@.. .

Esempio 1. La superficie di Veronese d-esima Vd ⊆ Pd(d+3)

2 è descrittadal triangolo

@@@@

.

. .

. . .

. . . .d

d

Esempio 2. Lo scroll razionale normale S(δ1, δ2) ⊆ Pδ1+δ2+1 èdescritto dal trapezio

HHH. . . . .. . . . . . .

δ1

δ2

Esempio 3. L’immersione della quadrica P1 × P1 via O(2, 2) in P8 èdescritta dal quadrato . . .

. . .

. . .

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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

Esempio 0. P2 è descritto da@@.. .

Esempio 1. La superficie di Veronese d-esima Vd ⊆ Pd(d+3)

2 è descrittadal triangolo

@@@@

.

. .

. . .

. . . .d

d

Esempio 2. Lo scroll razionale normale S(δ1, δ2) ⊆ Pδ1+δ2+1 èdescritto dal trapezio

HHH. . . . .. . . . . . .

δ1

δ2

Esempio 3. L’immersione della quadrica P1 × P1 via O(2, 2) in P8 èdescritta dal quadrato . . .

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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

Esempio 0. P2 è descritto da@@.. .

Esempio 1. La superficie di Veronese d-esima Vd ⊆ Pd(d+3)

2 è descrittadal triangolo

@@@@

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. . . .d

d

Esempio 2. Lo scroll razionale normale S(δ1, δ2) ⊆ Pδ1+δ2+1 èdescritto dal trapezio

HHH. . . . .. . . . . . .

δ1

δ2

Esempio 3. L’immersione della quadrica P1 × P1 via O(2, 2) in P8 èdescritta dal quadrato . . .

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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

Esempio 0. P2 è descritto da@@.. .

Esempio 1. La superficie di Veronese d-esima Vd ⊆ Pd(d+3)

2 è descrittadal triangolo

@@@@

.

. .

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. . . .d

d

Esempio 2. Lo scroll razionale normale S(δ1, δ2) ⊆ Pδ1+δ2+1 èdescritto dal trapezio

HHH. . . . .. . . . . . .

δ1

δ2

Esempio 3. L’immersione della quadrica P1 × P1 via O(2, 2) in P8 èdescritta dal quadrato . . .

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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

Degenerazioni toriche.

- Una suddivisione D di P è una famiglia finita {Qi}i∈I disottopolitopi n-dimensionali che si intersecando a 2 a 2 lungo unafaccia comune, la cui unione è P.

- D è regolare se esiste una funzione FD definita sopra P, positiva,lineare a tratti (sui sottopolitopi) e strettamente convessa.

Una suddivisione regolare D di P definisce una degenerazione toricadi XP (parametrizzata da C) come segue:

ΦD : (C∗)n+1 → Pr × C

(x , t) 7→ ([tFD(m0)xm0 : · · · : tFD(mr )xmr ], t).

La chiusura di ΦD((C∗)n+1), ∀t 6= 0, è una varietà Xt proiettivamenteequivalente a XP ; inoltre

X0 := limt→0

Xt =⋃

i∈I

XQi .

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 12 / 26

Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

Degenerazioni toriche.

- Una suddivisione D di P è una famiglia finita {Qi}i∈I disottopolitopi n-dimensionali che si intersecando a 2 a 2 lungo unafaccia comune, la cui unione è P.

- D è regolare se esiste una funzione FD definita sopra P, positiva,lineare a tratti (sui sottopolitopi) e strettamente convessa.

Una suddivisione regolare D di P definisce una degenerazione toricadi XP (parametrizzata da C) come segue:

ΦD : (C∗)n+1 → Pr × C

(x , t) 7→ ([tFD(m0)xm0 : · · · : tFD(mr )xmr ], t).

La chiusura di ΦD((C∗)n+1), ∀t 6= 0, è una varietà Xt proiettivamenteequivalente a XP ; inoltre

X0 := limt→0

Xt =⋃

i∈I

XQi .

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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

Degenerazioni toriche.

- Una suddivisione D di P è una famiglia finita {Qi}i∈I disottopolitopi n-dimensionali che si intersecando a 2 a 2 lungo unafaccia comune, la cui unione è P.

- D è regolare se esiste una funzione FD definita sopra P, positiva,lineare a tratti (sui sottopolitopi) e strettamente convessa.

Una suddivisione regolare D di P definisce una degenerazione toricadi XP (parametrizzata da C) come segue:

ΦD : (C∗)n+1 → Pr × C

(x , t) 7→ ([tFD(m0)xm0 : · · · : tFD(mr )xmr ], t).

La chiusura di ΦD((C∗)n+1), ∀t 6= 0, è una varietà Xt proiettivamenteequivalente a XP ; inoltre

X0 := limt→0

Xt =⋃

i∈I

XQi .

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 12 / 26

Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

Esempio.Consideriamo la seguentetriangolazione del politopo Dche definisce la VeroneseV3 ⊆ P9.

@@

@@@

@@@@@

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 13 / 26

Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

Esempio.Consideriamo la seguentetriangolazione del politopo Dche definisce la VeroneseV3 ⊆ P9.

@@

@@@

@@@@@

Una funzione positiva FDlineare a tratti sulla suddivisionee strettamente convessa su P FDè ad esempio

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Approccio combinatorico Variet à toriche e degenerazioni toriche

Esempio.Consideriamo la seguentetriangolazione del politopo Dche definisce la VeroneseV3 ⊆ P9.

@@

@@@

@@@@@

Una funzione positiva FDlineare a tratti sulla suddivisionee strettamente convessa su P FDè ad esempio

Se XP è una superficie torica e D una triangolazione regolare di P,allora il limite piatto di XP è una superficie ridotta e riducibile data daun’unione di piani (♯(I) = deg(XP)).Parleremo di degenerazioni toriche piane.(corrisponde a prendere l’ideale iniziale di IX rispetto ad unordinamento monomiale)

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Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

Definizione

Data X ∈ Pr superficie torica e D triangolazione di X , definiamo

Nk+1(D) := {(k+1)-insiemi di triangoli a 2 a 2 disgiunti};

νk+1(D) := ♯(Nk+1(D)).

Esempio.V3, k = 2 @

@@

@@

@@@@@∗

∗

∗

@@

@@@

@@@@@

∗

∗

∗−→ ν3(D) = 4

@@@

@@

@@@@@∗

∗

∗

@@

@@@

@@@@@∗

∗

∗

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 14 / 26

Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

Definizione

Data X ∈ Pr superficie torica e D triangolazione di X , definiamo

Nk+1(D) := {(k+1)-insiemi di triangoli a 2 a 2 disgiunti};

νk+1(D) := ♯(Nk+1(D)).

Esempio.V3, k = 2 @

@@

@@

@@@@@∗

∗

∗

@@

@@@

@@@@@

∗

∗

∗−→ ν3(D) = 4

@@@

@@

@@@@@∗

∗

∗

@@

@@@

@@@@@∗

∗

∗

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Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

Teorema [Sturmfels-Sullivant ’06]

Se esiste D con νk+1(D) ≥ 1, allora X è non k-difettiva. Inoltre

νk (X ) ≥ νk+1(D).

Dimostrazione: Sia n = dim(X ) = 2. Il limite piatto limD Sk (X )continene i sottospazi π ⊆ Pr generati da unioni di k + 1 piani; inparticolare se ne esiste almeno uno di dimensione massimale 3k + 2,allora dim(Sk (X )) = 3k + 2.Inoltre, differenti insiemi di (k + 1) piani possono generare lo stessosottospazio: il numero di tali insiemi contribuisce a νk (X ). �

Remarks:

- La dimostrazione vale anche per n = dim(X ) ≥ 3.

- Una dimostrazione analoga è proposta in[Ciliberto-Dumitrescu-Miranda ’07] per varietà di Veronese.

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Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

Teorema [Sturmfels-Sullivant ’06]

Se esiste D con νk+1(D) ≥ 1, allora X è non k-difettiva. Inoltre

νk (X ) ≥ νk+1(D).

Dimostrazione: Sia n = dim(X ) = 2. Il limite piatto limD Sk (X )continene i sottospazi π ⊆ Pr generati da unioni di k + 1 piani; inparticolare se ne esiste almeno uno di dimensione massimale 3k + 2,allora dim(Sk (X )) = 3k + 2.Inoltre, differenti insiemi di (k + 1) piani possono generare lo stessosottospazio: il numero di tali insiemi contribuisce a νk (X ). �

Remarks:

- La dimostrazione vale anche per n = dim(X ) ≥ 3.

- Una dimostrazione analoga è proposta in[Ciliberto-Dumitrescu-Miranda ’07] per varietà di Veronese.

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 15 / 26

Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

Teorema [Sturmfels-Sullivant ’06]

Se esiste D con νk+1(D) ≥ 1, allora X è non k-difettiva. Inoltre

νk (X ) ≥ νk+1(D).

Dimostrazione: Sia n = dim(X ) = 2. Il limite piatto limD Sk (X )continene i sottospazi π ⊆ Pr generati da unioni di k + 1 piani; inparticolare se ne esiste almeno uno di dimensione massimale 3k + 2,allora dim(Sk (X )) = 3k + 2.Inoltre, differenti insiemi di (k + 1) piani possono generare lo stessosottospazio: il numero di tali insiemi contribuisce a νk (X ). �

Remarks:

- La dimostrazione vale anche per n = dim(X ) ≥ 3.

- Una dimostrazione analoga è proposta in[Ciliberto-Dumitrescu-Miranda ’07] per varietà di Veronese.

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 15 / 26

Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

DefinizioneUna degenerazione D per cui vale νk (X ) = νk+1(D), è dettak-delightful.

Esempio 1.V3 ⊆ P9,k = 2

@@@@@

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∗

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∗

∗

ν3(D) = 4 = deg(S2(V3)) = ν2(V3) : D è 2-delightful!

Esempio 2.X6 ⊆ P6,k = 1 @@

@@

����∗

∗ @@

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����∗

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����∗

∗

ν2(D) = 3 = deg(S1(X6)) = ν1(X6) : D è 1-delightful!

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 16 / 26

Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

DefinizioneUna degenerazione D per cui vale νk (X ) = νk+1(D), è dettak-delightful.

Esempio 1.V3 ⊆ P9,k = 2

@@@@@

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ν3(D) = 4 = deg(S2(V3)) = ν2(V3) : D è 2-delightful!

Esempio 2.X6 ⊆ P6,k = 1 @@

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ν2(D) = 3 = deg(S1(X6)) = ν1(X6) : D è 1-delightful!

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 16 / 26

Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

DefinizioneUna degenerazione D per cui vale νk (X ) = νk+1(D), è dettak-delightful.

Esempio 1.V3 ⊆ P9,k = 2

@@@@@

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ν3(D) = 4 = deg(S2(V3)) = ν2(V3) : D è 2-delightful!

Esempio 2.X6 ⊆ P6,k = 1 @@

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ν2(D) = 3 = deg(S1(X6)) = ν1(X6) : D è 1-delightful!

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 16 / 26

Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

Esempio 1. X = V3 ⊆ P9

@@

@@@

@@@@@

• ν2(D) = 12

deg(S1(V3)) = ν1(V3) = 15.

Domanda: come influisce sul difetto di k-delightfulness la presenza dipunti multipli • nella configurazione?

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 17 / 26

Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

Esempio 1. X = V3 ⊆ P9 Esempio 2. X = X6 ⊆ P6

@@@

@@

@@@@@

•@@

@@

@@

@•ν2(D) = 12 ν2(D) = 0

deg(S1(V3)) = ν1(V3) = 15. deg(S1(X6)) = ν1(X6) = 3.

Domanda: come influisce sul difetto di k-delightfulness la presenza dipunti multipli • nella configurazione?

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 17 / 26

Approccio combinatorico Degenerazioni piane toriche k-delightful

Esempio 1. X = V3 ⊆ P9 Esempio 2. X = X6 ⊆ P6

@@@

@@

@@@@@

•@@

@@

@@

@•ν2(D) = 12 ν2(D) = 0

deg(S1(V3)) = ν1(V3) = 15. deg(S1(X6)) = ν1(X6) = 3.

Esempio 3. X = V4 ⊆ P14

@@@

@@@@

@@@@

@@@

@@

@@• •

•ν2(D) = 66

deg(S1(V4)) = ν1(V4) = 75.

Domanda: come influisce sul difetto di k-delightfulness la presenza dipunti multipli • nella configurazione?

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 17 / 26

Risultati

1 Le variet à k-secantiGrado k-secante e numero νk (X )

2 Approccio combinatoricoVarietà toriche e degenerazioni toricheDegenerazioni piane toriche k-delightful

3 Risultatik = 1k = 2Una congettura

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 18 / 26

Risultati k = 1

Verso una risposta:k = 1 Sia X = XP una superficie torica con dimS1(X ) = 5 e sia D unadegenerazione piana di X .

- Sia p sia un punto multiplo di D ellittico come��

@@��AAA

•

o razionale come ��HHH@@

HHHPPPP•

- Sia Q = Qp il sotto-politopo di P dato dall’unione dei triangoli conun vertice in p e sia Z = Zp la superficie torica associata.

- Assumiamo dim(S1(Z )) = 5.

- Supponiamo che esista una suddivisione regolare D1 di Pcontenente Q, come in figura

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P@@@

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@@@@D1 Qp

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•p@@@@@@@D

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 19 / 26

Risultati k = 1

Teorema[ −]

X ,D e Z come sopra: ν1(X ) ≥ ν2(D) + ν1(Z ).

Dimostrazione: Siano D1 e D2 successive suddivisioni di P da cui siottiene, come composizione, D.

1 Il limite piatto limD1 S(X ) contiene(a) S(Z ),(b) tutti le varietà secanti e i join di componenti della fibra centrale (tra

cui N2(D1)).2 Il limite limD S(X ) = limD2 limD1 S(X ) contiene come componenti i

limiti piatti, via D2, di tutte le componenti di limD1 S(X ): inparticolare(a’) limD2 S(Z ),(b’) i limiti delle varietà secanti e dei join al punto (b)

(tra cui N2(D2) = N2(D)).

Le componenti di dimensione massimale 5 contribuiscono aν1(X ). �

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 20 / 26

Risultati k = 1

Teorema[ −]

X ,D e Z come sopra: ν1(X ) ≥ ν2(D) + ν1(Z ).

Dimostrazione: Siano D1 e D2 successive suddivisioni di P da cui siottiene, come composizione, D.

1 Il limite piatto limD1 S(X ) contiene(a) S(Z ),(b) tutti le varietà secanti e i join di componenti della fibra centrale (tra

cui N2(D1)).2 Il limite limD S(X ) = limD2 limD1 S(X ) contiene come componenti i

limiti piatti, via D2, di tutte le componenti di limD1 S(X ): inparticolare(a’) limD2 S(Z ),(b’) i limiti delle varietà secanti e dei join al punto (b)

(tra cui N2(D2) = N2(D)).

Le componenti di dimensione massimale 5 contribuiscono aν1(X ). �

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 20 / 26

Risultati k = 1

D|Q d ν1(Z )

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5 1

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•

5 1

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6 3

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D|Q d ν1(Z )

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8 10

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•

9 15

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 21 / 26

Risultati k = 1

D|Q d ν1(Z )

��@@HHH•

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4 1

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5 3

��@@HHHPPPPXXXXX•

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7 10

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8 15S(1, δ − 1) S(2, δ − 2) δ ≥ 9

(

δ−22

)

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 22 / 26

Risultati k = 1

Inoltre, siano p1, p2 due singolarità di D con le stesse proprietà disopra. Se dim(Qp1 ∩ Qp2) < 2, diremo che Qp1 e Qp2 sononon-sovrapposti.

CorollarioSiano {pi} come sopra, inoltre {Qpi} a due a due non-sovrapposti.Allora

ν1(X ) ≥ ν2(D) +∑

i

ν1(Zpi ).

Dimostrazione: Per ogni i , consideriamo D1i e D2i come nella

dimostrazione del Teorema. Il limite piatto di S(Zpi ), via D2i sta in

limD S(X ).Inoltre l’ipotesi che i politopi siano non-sovrapposti assicura chelimD2i S(Zpi ) e limD2j S(Zpj ) sono componenti distinte di limD S(X ) di

dimensione massimale, dunque i gradi si sommano. �

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 23 / 26

Risultati k = 1

Inoltre, siano p1, p2 due singolarità di D con le stesse proprietà disopra. Se dim(Qp1 ∩ Qp2) < 2, diremo che Qp1 e Qp2 sononon-sovrapposti.

CorollarioSiano {pi} come sopra, inoltre {Qpi} a due a due non-sovrapposti.Allora

ν1(X ) ≥ ν2(D) +∑

i

ν1(Zpi ).

Dimostrazione: Per ogni i , consideriamo D1i e D2i come nella

dimostrazione del Teorema. Il limite piatto di S(Zpi ), via D2i sta in

limD S(X ).Inoltre l’ipotesi che i politopi siano non-sovrapposti assicura chelimD2i S(Zpi ) e limD2j S(Zpj ) sono componenti distinte di limD S(X ) di

dimensione massimale, dunque i gradi si sommano. �

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 23 / 26

Risultati k = 2

k = 2 Sia X = XP una superficie torica con dim(S2(X )) = 8 e sia Ddegenerazione piana di X .Sia p un punto reticolare ellittico o razionale di D tale chedim(S2(Zp)) = 8.

Esistono solo tre casi (ellittici o razionali):

(i.) Zp = V3 la superficie di Veronese in P9

(ii.) Zp = X8 la superficie di Del Pezzo in P8@

@@@@@@

��HHH•

(iii.) Zp = S(2, δ − 2), con δ ≥ 7 ��HHH@@XXXXX

PPPPXXXXX`````̀•

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 24 / 26

Risultati k = 2

k = 2 Sia X = XP una superficie torica con dim(S2(X )) = 8 e sia Ddegenerazione piana di X .Sia p un punto reticolare ellittico o razionale di D tale chedim(S2(Zp)) = 8.

Esistono solo tre casi (ellittici o razionali):

(i.) Zp = V3 la superficie di Veronese in P9

(ii.) Zp = X8 la superficie di Del Pezzo in P8@

@@@@@@

��HHH•

(iii.) Zp = S(2, δ − 2), con δ ≥ 7 ��HHH@@XXXXX

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Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 24 / 26

Risultati k = 2

k = 2 Sia X = XP una superficie torica con dim(S2(X )) = 8 e sia Ddegenerazione piana di X .Sia p un punto reticolare ellittico o razionale di D tale chedim(S2(Zp)) = 8.

Esistono solo tre casi (ellittici o razionali):

(i.) Zp = V3 la superficie di Veronese in P9

(ii.) Zp = X8 la superficie di Del Pezzo in P8@

@@@@@@

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(iii.) Zp = S(2, δ − 2), con δ ≥ 7 ��HHH@@XXXXX

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Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 24 / 26

Risultati k = 2

k = 2 Sia X = XP una superficie torica con dim(S2(X )) = 8 e sia Ddegenerazione piana di X .Sia p un punto reticolare ellittico o razionale di D tale chedim(S2(Zp)) = 8.

Esistono solo tre casi (ellittici o razionali):

(i.) Zp = V3 la superficie di Veronese in P9

(ii.) Zp = X8 la superficie di Del Pezzo in P8@

@@@@@@

��HHH•

(iii.) Zp = S(2, δ − 2), con δ ≥ 7 ��HHH@@XXXXX

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Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 24 / 26

Risultati k = 2

Teorema [ −]

Siano X = XP e D come sopra. Siano pi t.c. Zpi sono V3, X8 oS(2, δ − 2), δ ≥ 7 e t.c. i Qpi siano a due a due non-sovrapposti.Assumiamo che ∀i esista D1i contenente Qpi . Allora

ν2(X ) ≥ ν3(D) +∑

i

ν2(Zpi ).

Dimostrazione: Per ogni i1 limD1i S2(X ) contiene tutti i join J(Y1, J(Y2,Y3)), per ogni Y1,Y2,Y3

componenti della fibra centrale, in particolare contiene S2(Zpi ).2 limD S2(X ) contiene come componenti i limiti piatti, via D21, di tutte

le componenti di limD1i S2(X ), in particolare limD21 S2(Zpi ) e

N3(D2i ) = N3(D).

I contributi delle componenti 8-dimensionali si sommano. �

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 25 / 26

Risultati k = 2

Teorema [ −]

Siano X = XP e D come sopra. Siano pi t.c. Zpi sono V3, X8 oS(2, δ − 2), δ ≥ 7 e t.c. i Qpi siano a due a due non-sovrapposti.Assumiamo che ∀i esista D1i contenente Qpi . Allora

ν2(X ) ≥ ν3(D) +∑

i

ν2(Zpi ).

Dimostrazione: Per ogni i1 limD1i S2(X ) contiene tutti i join J(Y1, J(Y2,Y3)), per ogni Y1,Y2,Y3

componenti della fibra centrale, in particolare contiene S2(Zpi ).2 limD S2(X ) contiene come componenti i limiti piatti, via D21, di tutte

le componenti di limD1i S2(X ), in particolare limD21 S2(Zpi ) e

N3(D2i ) = N3(D).

I contributi delle componenti 8-dimensionali si sommano. �

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 25 / 26

Risultati Una congettura

Congettura

Sia k ∈ {1, 2}. L’ipotesi che i Qpi siano a due a due non-sovrappostipuò essere rimossa.

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 26 / 26

Risultati Una congettura

Congettura

Sia k ∈ {1, 2}. L’ipotesi che i Qpi siano a due a due non-sovrappostipuò essere rimossa.

Esempio. Siano D e D′ triangolazioni di X = φ|O(2,3)|(P1 × P1) ⊆ P11:

@@

@@��

���

�����

D@@

@@D′@@

�������

@@ deg(S1(X )) =ν1(X ) = 35

ν2(D) = 28

ν2(D′) = 29

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 26 / 26

Risultati Una congettura

Congettura

Sia k ∈ {1, 2}. L’ipotesi che i Qpi siano a due a due non-sovrappostipuò essere rimossa.

Esempio. Siano D e D′ triangolazioni di X = φ|O(2,3)|(P1 × P1) ⊆ P11:

@@

@@��

���

�����

D •p1•p2•p3

@@

@@D′@@

�������

@@ deg(S1(X )) =ν1(X ) = 35

ν2(D) = 28

ν2(D′) = 29

Abbiamo ν1(Zp1) = ν1(Zp3) = 3 e ν1(Zp2) = 1 e

ν2(D) + ν1(Xp1) + ν1(Xp2) + ν1(Xp3) = 35.

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Risultati Una congettura

Congettura

Sia k ∈ {1, 2}. L’ipotesi che i Qpi siano a due a due non-sovrappostipuò essere rimossa.

Esempio. Siano D e D′ triangolazioni di X = φ|O(2,3)|(P1 × P1) ⊆ P11:

@@

@@��

���

�����

D •p1•p2•p3

@@

@@D′@@

�������

@@•p′2•p′3

•p′4

•p′1•q deg(S1(X )) =ν1(X ) = 35

ν2(D) = 28

ν2(D′) = 29

Abbiamo ν1(Zp1) = ν1(Zp3) = 3 e ν1(Zp2) = 1 e

ν2(D) + ν1(Xp1) + ν1(Xp2) + ν1(Xp3) = 35.

Analogamente per D′:ν2(D′) + ν1(Xp′1) + ν1(Xp′2) + ν1(Xp′3) + ν1(Xp′4) = 29 + 1 + 1 + 1 + 1

= 33 < 35.

Elisa Postinghel (UNIVERSIT À DEGLI STUDI ROMA TRE)Degenerazioni delightful e grado k-secante di superfici tor icheGargnano, 25 Maggio 2010 26 / 26

Le varietà k-secantiGrado k-secante e numero k(X)

Approccio combinatoricoVarietà toriche e degenerazioni toricheDegenerazioni piane toriche k-delightful

Risultatik=1k=2Una congettura