Definizioni e concetti di base Concetti...

Teoria dei segnali Sistemi lineari: definizioni e concetti di base

© 2005 Politecnico di Torino 1

Teoria dei segnali

Unità 2Sistemi lineari

2

Sistemi lineari

Definizioni e concetti di base

Concetti avanzati



Sistemi lineari

Sistemi lineari: definizioni e concetti di base

4


Definizione

Risposta all’impulso e funzione di trasferimento

Fisica realizzabilità di un sistema LTI




Definizioni

6

t

( )tx ( )ty

t

( )x t sistema ( )y tsistema

( ){ }S x t

Che cos’è un sistema



7

Esempi di sistema

Filtri realizzati come circuiti elettronici“Equalizzatori” nei sistemi audio“Equalizzatori” nei ricevitori per telecomunicazioniProcessori di segnale di varia natura

8

Sistemi lineari

Detto x(t) il segnale di ingresso ad un sistemalineare ed y(t) la sua uscita, un sistema si dice lineare se il segnale di ingressox(t)=a1x1(t)+a2x2(t) ha come uscitay(t)=a1y1(t)+a2y2(t) per ogni tIn questo caso vale il principio di“sovrapposizione degli effetti”: l’uscita del sistema somma linearmente i contributi dellevarie componenti del segnale di ingresso



9

Sistemi tempo-invarianti

Detto x(t) il segnale di ingresso ad un sistema ed y(t) la sua uscita, il sistema si dice tempo-invariante se, fissato un certo ritardo T, il segnaledi ingresso x(t-T) ha come uscita y(t-T) per ogni tOvvero, ritardando di T l’applicazione del segnaledi ingresso si ottiene la stessa uscita, ritardataanch’essa di TI sistemi tempo-invarianti sono buoni modelli disistemi i cui parametri non variano nel tempoEsistono però anche sistemi per cui la tempo-invarianza non è un buon modello

10

( ){ }txS

NON LINEARE

( ){ }txLLINEARE

Classificazioni dei sistemi



11

tempoinvarianteLTI

tempo varianteLTV

( ){ }txS

NON LINEARE

( ){ }txLLINEARE

Classificazioni dei sistemi

12

Sistemi con memoria

I sistemi, lineari o non lineari, possono esseresenza memoria, se il valore dell’uscita all’istante tdipende solo dal valore dell’ingresso all’istante tcon memoria in tutti gli altri casi

Esempi:

( ) | ( ) |

( ) ( )t

y t x t

y t x u du−∞

=

= ∫



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Sistemi con memoria

Un sistema senza memoria è generalmente piùsemplice da realizzare di uno con memoriaUn sistema con memoria ha maggiore potenzialedal punto di vista dell’elaborazione del segnale

per esempio, il concetto di frequenza di un segnaleè legato al valore del segnale non in un solo istante, ma in un intervallo; quindi elaborare ilcontenuto armonico di un segnale generalmenterichiede l’uso di un sistema con memoria

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Esempi di sistemi

Esempi:

∫ ∞−=

==

tdxty

txtytaxty

ττ )()(

|)(|)()()( lineare, tempo-invariante, senza memoria

non lineare, tempo-invariante, senza memoria

lineare, tempo-invariante, con memoria



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Sistemi LTI

In questo corso ci occuperemo principalmente disistemi lineari e tempo-invarianti (LTI)Per questi sistemi è facile dare una precisacaratterizzazione matematicaObiettivo: trovare un modello dei sistemi LTI chepermetta di calcolare il segnale di uscita dati

il segnale di ingressouna descrizione matematica del comportamentodel sistema

16

LTI

Risposta nel tempo



17

t

( )ti

LTI

Risposta nel tempo

18

t

( )ti

t

( )tu

LTI

Risposta nel tempo



19

t

( )ti

t

( )tu

t

( )Tti −2

LTI

T

LTI

Risposta nel tempo

20

t

( )Ttu −2

T

t

( )ti

t

( )tu

t

( )Tti −2

LTI

T

LTI

Risposta nel tempo



21

LTI( )Tti −5.0

tT

+

( )ti

t

Linearità e invarianza

22

( )tyLTI

( )Tti −5.0

tT

+

( )ti

t




23

( )tyLTI

( )Tti −5.0

tT

+

( )ti

t

t

( )Tti −5.0

( )ti


24

( )ty

invarianza

t

( )ty

LTI( )Tti −5.0

tT

+

( )ti

t

t

( )Tti −5.0

( )ti




25

( )ty

t

linearità

( )ty

invarianza

t

( )ty

LTI( )Tti −5.0

tT

+

( )ti

t

t

( )Tti −5.0

( )ti


26

( ) ( )∑ −≅ ittitx iα

( ) ( )∑ −≅ ittuty iα

Risposta a x(t) generico



27


28





Risposta all’impulso e funzione di trasferimento

30

( )ti1

T t

area=1

( ) ( )1ii

x t i t iTα≅ −∑

( ) ( )iy t u t iTα≅ −∑

( )1 1i t dt+∞

−∞

=∫ ( )i x iTα =

Risposta all’impulso



31

( )ti1

T t

area=1

( ) ( )1ii


( ) ( )iy t u t iTα≅ −∑

( )1 1i t dt+∞

−∞

=∫area=1

t

( )ti2

( )i x iTα =


32

( )ti1

T t

area=1

( ) ( )1ii


( ) ( )iy t u t iTα≅ −∑

( )1 1i t dt+∞

−∞

=∫area=1

t

( )ti2

)(iTxi =α

( ) ( ) ( )x t x t dϑ δ ϑ ϑ+∞

−∞

= −∫

( ) ( ) ( )y t x h t dϑ ϑ ϑ+∞

−∞

= −∫

t

( ) 1t dtδ+ ∞

− ∞

=∫

( )tδ




33

( )ti1

T t

area=1

( ) ( )1ii


( ) ( )iy t u t iTα≅ −∑

( )1 1i t dt+∞

−∞

=∫

( )tδ

t

( )th

t

rispostaall’impulso

area=1

t

( )ti2

( )i x iTα =

( ) ( ) ( )x t x t dϑ δ ϑ ϑ+∞

−∞

= −∫

( ) ( ) ( )y t x h t dϑ ϑ ϑ+∞

−∞

= −∫

t

( ) 1t dtδ+ ∞

− ∞

=∫

( )tδ


34


y(t)=S[x(t)]Scriviamo x(t) tramite le delta di Dirac:

Ora otteniamo l’uscita del sistema applicandol’operatore S:

∫+∞

∞−−= duutuxtx )()()( δ

{ }∫+∞

∞−−== duutuxStxSty )()()}({)( δ



35


Possiamo scambiare l’ordine di due operatorilineari:

Definiamo quindi

{ }

{ }∫∫

∞+

∞−

+∞

∞−

−=

=−=

duutSux

duutuxSty

)()(

)()()(

δ

δ

{ })()( tSth δ=

36


Per la tempo-invarianza del sistema

e quindi

Definiamo infine il prodotto di convoluzione:

{ })()( utSuth −=− δ

∫+∞

∞−−= duuthuxty )()()(

∫+∞

∞−−= duutyuxtytx )()()(*)(



37


Questo ci porta a scrivere la relazione ingresso-uscita come

La è detta “risposta all’impulso” del sistema LTI Questa funzione descrive il sistema in modounivocoPuò però essere difficile da calcolare per via delladefinizione di tipo integrale

)(*)()( thtxty =

{ })()( tSth δ=

38

Convoluzione

Definizione:

Calcolo grafico:

( ) ( ) ( )( ) * ( )y t x t h t x u h t u du+∞

−∞

= = −∫

u

( )ux1

( )uh

u

( )uth −

t t

( )ty

1 121

tt+−1 121

2



39

Sistema causale

Nota:con uno dei due che può essere infinito

Un sistema LTI si dice causale se h(t)=0 per t<0

Questo significa che il sistema non produce uscitaprima che vi sia un ingresso applicato

)}(supp{)}(supp{)}(supp{ thtxty +=

40

Causalità e ritardo

Un sistema causale è generalmente un sistemache potenzialmente non introduce ritardo, perchénon c’è bisogno di campioni “futuri” del segnaleper generare l’uscita in un dato istanteSe il ritardo non è un problema, si può ritardaredi T l’emissione del campione di uscita all’istantet, così da poter utilizzare per l’elaborazione del segnale anche i campioni compresi tra t e t+T



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Altri esempi di calcolo

Esempio 1

Esempio 2

[ ]

∑

∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

−==

−=

−+=−+=

−+=

ii

ii

iTthathtxty

iTtatx

TtxtxTtttxty

Tttth

)()(*)()(

)()(

)(21)()(2

1)(*)()(

)(21)()(

δ

δδ

δδ

42

( )th( )tx ( )tydominio del tempo

La funzione di trasferimento

( ) ( ) ( )duuthuxty −= ∫+∞

∞−



43

( )th( )tx ( )ty

( ) ( ) ( )duuthuxty −= ∫+∞

∞−

dominio del tempo

dominio della frequenza

( )th( )tx ( ) ( ) ( )thtxty ∗=

( )fH( )fX ( ) ( ) ( )fHfXfY =

⇓⇓ ⇓F F F

convoluzione

prodotto


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La funzione di trasferimento lega le trasformatedi Fourier dei segnali di ingresso e uscitaCome si vedrà tra poco, questa funzione cipermette di dare un’interpretazione del comportamento di un sistema LTI nel dominiodella frequenzaAbbiamo a disposizione due relazioni ingresso-uscita ciascuna delle quali definisceunivocamente il sistema LTI



45


La relazione nel dominio del tempofornisce direttamente la forma d’onda di uscita del sistemail calcolo può essere complicatola risposta all’impulso è misurabile in laboratorio

La relazione nel dominio della frequenzafornisce lo spettro del segnale di uscitail calcolo non richiede la soluzione di un integraledi convoluzionela risposta all’impulso è misurabile in laboratoriola descrizione del sistema è più “intuitiva”, e puòfacilitare il progetto

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φπ +tfjAe 02 ( ) ( )( )0020

ftfjefAM ϕφπ ++( )fH

0f f

)()( 022 0 ffAedteeAefX jftjjtfj −== ∫

+∞

∞−

− δφπφπ

Risposta in frequenza



47

φπ +tfjAe 02 ( ) ( )( )0020


0f f


+∞

∞−

− δφπφπ

)()()()()( 0 fHffAefHfXfY j −== δφ


48

φπ +tfjAe 02 ( ) ( )( )0020


0f f


+∞

∞−

− δφπφπ


( ) ( ) ( )j fH f M f e ϕ=




49

φπ +tfjAe 02 ( ) ( )( )0020


0f f


+∞

∞−

− δφπφπ


( ) ( ) ( )j fH f M f e ϕ=

( ) ( )( )

( ) ( )( )00

0

20

00

)(

)()(ftfj

fj

efAMty

ffefAMfYϕφπ

ϕφ δ++

+

=

−=


50

( )fH

0f f

0cos2A f t Aπ → ( ) ( )( )0 0 0cos 2M f f t fπ ϕ+

( ) ( ) ( )( )000 20

2 ftfjtfj efAMAe ϕφπφπ +++ →

φπ +tfjAe 02 ( ) ( )( )0020

ftfjefAM ϕφπ ++




51

Interpretazione della risposta in frequenza

Entra una sinusoide a frequenza f0Esce una sinusoide a frequenza f0

la funzione di trasferimento modula ampiezza e fase della sinusoide

La funzione di trasferimento modifica il segnale diingresso “frequenza per frequenza”

( ) ( )00 02 20 fj f t j f te M f e eϕπ π→

52

Interpretazione della risposta in frequenza

La sinusoide complessa agisce come un “autovettore” del sistema LTI

xAx λ=

( )

( ) ( )0

0

00

2

)(

)(

)()}({

fj

tfj

efMfH

Aetx

txtxS

ϕ

φπ

λ

λ

==

=

=+




Fisica realizzabilità di un sistema LTI

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sistema reale

ℜ∈)(thLa risposta all’impulso è una funzione reale

sistema causale

0 0)( <= tthLa risposta all’impulso è nulla per t < 0

Condizioni di realizzabilità



55

Hid(f)=p2B(f)hid(t)=2B sinc(2Bt)

f

( )fHid

B− B

1

Il filtro ideale

56

( )fY

B− B f

f

( )fHid

B− B( )fX

f

1

Il filtro ideale



57

( )thid

tNon causale

Non fisicamente realizzabile

Il filtro ideale

( )fY

B− B f

f

( )fHid

B− B( )fX

f

1

58

non realizzabile

( )fH id

B− B f

1

Dal filtro ideale al filtro realizzabile



59

ancora non causale

( )thNC ( )fHNC1

t f

1−F


( )fH id

B− B f

1

non realizzabile

60

( )thC ( )fHC1−F

t

modulo

( ) ( ) fTjNCfC efHH π2−=

fase f


ancora non causale

( )thNC ( )fHNC1

t f

1−F

( )fH id

B− B f

1

non realizzabile



61

non realizzabile

( )fHid

B− B f

1

ancora non causale

( )thNC ( )fHNC

1

t f

1−F

( )th1−F

t

( )fH

f

1


( )thC ( )fHC1−F

t

modulo

( ) ( ) fTjNCfC efHH π2−=

fase f

62

BIBO (Bounded Input Bounded Output): ad un ingresso x(t) di ampiezza limitata corrispondeun’uscita y(t) di ampiezza limitata, ovvero

Questa definizione equivale a verificare la seguente condizione:

In alternativa si può usare la condizionenecessaria:

( )h t dt+∞

−∞

< ∞∫

( )H f < ∞

( ) ( ) x t t y t t< ∞ ∀ ⇒ < ∞ ∀

Sistema stabile

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