CONCEPTASDE MATEMATICA

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matemáticaEl programa SSMCIS El punto de vista categorialLa Conferencia de Bahía Blanca

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líBffiRTOSo Tercer grado:JUGANDO CON MATEMATICA, por N. V. de Tapia

o Sexto grado:APRENDEX. MATEMATICA, por Tapia y Sibil on¡o Séptimo grado:APRENDEX. MATEMATICA, por Tapia y Bibiloni

PE MATEMATICAAbril-Mayo-Junio 1972

• Preescolar:PRIMERITO, porcitación prenumérica)CUENTOS PARA JUGAR, por (conjuntos)• Primer grado:GREGORIO SUMA, por Ferrari y Lagomarsmo• Segundo grado: .CUENTOS CON CUENTAS, por Schefim ySchefini

• Perfeccionamiento docente:COMO EVALUAR EL APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA, por W.H.Dutton ESTADISTICA Y PROBABILIDAD PARA EDUCADORES, por M. de Mastrogiovanni LA MATEMATICA MODERNA EN LOS PRIMEROS GRADOS, por N. PicardLA POTENCIA DE LA MATEMATICA, por Z.P.DienesEL APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA. UN ESTUDIO EXPERIMENTAL, por Z.P.Dienes Guía para la Educación N° 6: RAZONES PARA ENSEÑAR LA NUEVA MATEMATICA

De próxima aparición:Guía Metodológica para Aprendex Matemática VI, por Tapia y Bibiloni

Ferrari y Lagomarsino (ejer-

C. J. DuránCONCEPTOS

DE MATEMATICA PUBLICACION TRIMESTRAL

Redacción y Administración.Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A.

Depósito:Fernández Blanco 1045 - Bs. As.

Director - EditorJOSE BANFI

AÑO VI N° 22

CARTA AL LECTOREste año de mil novecientos y dos será indudablemente, un

año de singular importancia para quienes se preocupan por los aspectos científicos y pedagógicos de la enseñanza de la matemática. Desde el 29 de agosto hasta el 2 de setiembre se producirá un evento de carácter internacional, el Congreso de Exeter, vale decir, el Segundo Congreso Internacional sobre Enseñanza de la Matemática, y desde el 21 de noviembre al 25 del mismo mes, se realizará en nuestro país la Tercera Conferencia Interamericana sobre Enseñanza de Ia Matemática.

El primero de estos Congresos tiene un antecedente valioso: el Congreso realizado en Lyon, sobre el cual hemos dado amplia información a nuestros lectores. Como se tiene el objetivo de estudiar los últimos progresos realizados tanto en el campo pedagógico como en el científico y se cuenta con la experiencia del congreso anterior y el aporte de muchos'matemáticos, docentes y autoridades provenientes de todas las partes del mundo, fácil resulta augurarles a las autoridades organizadoras el más amplio de los éxitos y el logro de conclusiones que serán útiles para todos, incluso para países como el nuestro de cuya participación no tenemos, por ahora, noticias efectivas.* La, Tercera Conferencia Interamericana sobre Enseñanza de la Matemática que se cumplirá en ¡a ciudad de Bahía Blanca tiene los prestigiosos antecedentes de las Conferencias de Lima y de Bogotá en las cuales, sí, la República Argentina no sólo estuvo representada sino que también sus representantes tuvieron destacada actuación y su aporte fue valioso para la redacción de las conclusiones. En el número 2 de Conceptos de Matemática hemos publicado el trabajo de L.A. Santaló y H.R. Vólker intitulado "Preparación de profesores de matemática" presentado por los mismos a dicha reunión.

A esta conferencia, además de los invitados de nuestro país acudirán representantes de las repúblicas americanas, cuyos informes nos permitirán evaluar lo que ocurre en sus países, y también científicos y pedagogos de alto nivel de todo el mundo, cuyas ideas, si sabemos discutirlas y aprovecharlas, nos han de resultar de mucha utilidad para la planificación de nuestras futuras tareas docentes.

A la espera de que se cumplan estos vaticinios, los saluda muy atentamente

Asesores: José Babini, Juan L. Bla- quicr, Frédérique Papy, Georges Papy, Luis A. Santalo.

Redactores: Raúl A. Chiappa, Emilio De Ceccov Juan C. Dalmasso, Haydcc Fernández, Atilio Piaña, Elsa Sabbattiello, Andrés Valeiras y Cristina Vcrdaguer de Banfi.

Dibujante: Arq. Julio R. Juan.Suscripción Anual: Argentina S 15

Ley 18.1S8 (mSn 1.500.-). Exterior. 4 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA.

Ejemplar suelto: S 4,50 Ley 18.188.

Número atrasado: 5 5,00 Ley 18.188.

Lugares de venta: En nuestra sede, Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Librería y Editorial El Ateneo, Florida 340, Librería del Colegio, Alsina y Bolívar; y en el Instituto Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias (INEC), sección Publicaciones, Avenida Eduardo Madero 235, 7o Piso, Capital Federal.

Para colaboraciones, números atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse directamente al editor.

Registro de la Propiedad Intelectual: N° 1.037.530.

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griego, alemán y francés. Aprendió italiano "para leer a Dante y Maquiavello en su versión original". Estudia con un profesor particular que le presenta al joven Edward Fitz Gerald, de riquísima familia americana, bilió filo y mundano, con quien visita el continente europeo, acude a la exposición internacional de 1889 y es de los primeros en ascender a ¡a Torre Eifel.

A los 18 años ingresa al Trinity College. Los tres primeros años los dedicó, intensamente, al estudio de la matemática. Con su agudo sentido crítico muchas de las demostraciones le parecían erróneas y —dice— "supe más tarde que se había descubierto que eran falaces".

Cuando aprobó el último examen de esa materia, "juré -expresa- nunca más mirarla y vendí todos mis libros de matemática". En nombre de esa sublime ciencia, a cuyo afinamiento tanto contribuyó después, digo: ¡gracias a Dios que fue sólo un exabrupto suyo! y pienso; qué razón tiene este prudente proverbio francés: "En Science et en amour ¡I faut pas dire, ni jamais ni toujours".

Tímido estudiante inicial de Cambridge, egresó en 1894 como el graduado más sobresaliente en matemáticas, primero en filosofía y gran erudición en historia. Debía decidirse por la ciencia o la política, ocupación ésta habitual en su familia. Actuó tres meses como agregado en la embajada de su país en Francia y a los 22 contrae su primer matrimonio con A/ys Pearsall Smith, bellísima americana cinco años mayor que él y visita Alemania, Italia y Estados Unidos. En 1896 publica su primer libro "Democracia Social Alemana" en el que no pone gran interés por haber resuelto dedicarse a la filosofía matemática.

Aspira a ser "fel/ow" del Trinity College para lo cual debe exponer sobre un trabajo de investigación, trabajo que le permitió escribir en 1897 el libro "Ensayo sobre los Fundamentos de la Geometría", publicado por la Cambridge University Press, hecho que desagradó sobremanera a su abuela, que veía esfumarse sus esperanzas de que se convirtiera en un político de fuste o un diplómatico de campanillas y le recriminaba "la vida de estudio e investigación abstracta"(1).

Este libro lo dedicó al joven filósofo hege- liano John Mactaggart Ellis. Inmediatamente fue traducido al francés en edición revisada

por el autor y por el notable filósofo y matemático Luis Couturat. Hablando de ellos, entre otros personajes talentosos de aquella época, dice Russell: "Estos son algunos de los hombres que influyeron sobre mí, pero hay dos que han influido aún más:, el matemático italiano Giuseppe Peano y mi amigo George E. Moore", joven filósofo este último de quien Russell se expresa así: era admirable y sutil, tenía la visión de un inspirado, casi, y un intelecto tan apasionado como el de Spinoza, dotado de exquisita pureza. Nunca conseguí que dijese una mentira, salvo una vez, y eso fue utilizando un ardid. Moore —le pregunté— ¿Ud. siempre dice la verdad? No, replicó y Russell termina con esta afirmación: "Creo que ésa fue la única mentira que dijo en su vida".

EL CENTENARIO

Russell-1972*JUAN BLAQUIER

(Argentina)

a los magníficos árboles y admirar una bella puesta de sol".

A los once años de edad se despierta en Bertrand su vocación matemática y se pone de manifiesto su agudo sentido crítico. Cuando su hermano Frank, alumno de Oxford, le habló de enseñarle geometría -ciencia en la que le habían dicho que se demuestran las cosas— se alegró profundamente. Muchos .años más tarde Russell escribió: "Ese fue uno de los grandes descubrimientos de mi vida, tan deslumbrante como mi primer amor". Veamos su propio relato: "Mi hermano empezó con las definiciones que acepté, pero al llegar a los axiomas y pedirle explicación, me dijo: no pueden demostrarse; tienen que darse por supuestos para que todo lo demás pueda demostrarse. Ante esas palabras lo miré decepcionado y mis esperanzas se derrumbaron".

En esa duda de la validez de los principios y en su disconformidad, reside el germen de la orientación general de las investigaciones ulteriores de Russell y de muchos de sus importantes trabajos sobre Fundamentos de la Matemática.

Su educación hogareña fue magnífica; nociones científicas, artísticas, literarias, latín y

Creo que el mejor homenaje que podemos tributar a Bertrand Russell es referirnos a su obra y relatar, simplemente, con verdad, su vida.

En una época esplendorosa para el Imperio Británico, en Trelleck, condado de Monmouth- shire, país de Gales, en la propiedad "Ravens- croft" rodeada por frondosa arboleda, nació el 18 de mayo de 1872, el niño Bertrand Arthur William Russell, quien, andando el tiempo, se reveló como una de las personalidades más originales, más sinceras y de mente más lúcida que han existido.

Llamado comúnmente Bertrand Russell, Bertie para sus íntimos, pertenecía a una familia aristocrática que en los últimos cuatro siglos desempeñó importante papel en Ia vida pública inglesa. Tercer conde de Russell, vizconde de Amberley, aristócrata auténtico, generoso y liberal, espigado, distinguido, con abundante y sedosa cabellera blanca y orejas ligeramente puntiagudas que le daban cierto aire mefistofélicó de personaje infernal, era hijo de John Russell, discípulo y gran amigo del famoso filósofo y economista John Stuart MUI, padrino de Bertrand. Este quedó huérfano siendo muy pequeño; su madre murió cuando apenas tenía dos años y un año más tarde murió su padre, quedando a cargo de sus abuelos, Lady y Lord John Russell. Este era un aristócrata reformista que declaraba adorar a una diosa llamada Libertad —sentimiento heredado por su nieto- y detestar a un peligroso demonio llamado Tiranía.

Muerto su abuelo a los seis años, vivió junto a su abuela en Pembroke Lodge a cuyo bello jardín alude Russell en los siguientes términos: "Ese jardín representó un papel importantísimo en mi vida hasta la edad de 18 años, allí aprendí a meditar, a amar a la naturaleza.

Otro pensador que tuvo significativa gravitación en su vida fue su exprofesor, gran amigo y colaborador, el eminente matemático y filósofo inglés Alfred North Whitehead (1869-1947), de grandísima cultura, dotado de increíble capacidad de concentración. Como profesor y maestro, Russell dice simplemente: "Era de una perfección extraordinaria" y agrega "con él realizamos una hercúlea tarea, en la que invertimos, durante diez años, nuestras mejores energías". Se refería a la monumental obra en tres volúmenes "Princepia Mathema- tica", de Whitehead y Russell.(2)

En 1898, reemplazando a Mctaggart dicta un curso sobre Leibniz: "Esta fortuita circunstancia fue muy afortunada para mí, porque a

*

(1) Con referencia al aludido libro, Russell declara: "más tarde lo consideré demasiado kantiano, pero en aquella época fue una suerte para mi reputación, porque hizo que fuera muy bien recibido; fue mucho más elogiado de lo que en realidad merecía".

(2) En el campo de la filosofía, Russell y Whitehead no coincidían; este último siempre había sentido inclinación por Kant, de quien Russell —lo mismo que de Hegel— no tenía muy buena opinión, y cuando Whitehead desarrolló su propia filosofía lo hizo considerablemente influido por Bergson. Russell, con su característica imparcialidad declara: "mi temperamento me llevó en dirección opuesta a la de Whitehead, pero dudo que la razón pura pudiera haber decidido quién de nosotros se hallaba más cerca de lo justo". Estas divergencias filosóficas y otras sociológicas sobre fundamentales puntos de vista pusieron naturalmente fin a la recíproca colaboración pero —dice Russell— "nuestro afecto permaneció inalterable hasta el final".

* Esta publicación es una síntesis de la conferencia pronunciada por nuestro distinguido asesor, el Dr. Juan Blaquier, en la biblioteca del Jockey Club de Buenos Aires, el 30 de setiembre de 1971, con motivo de su incorporación a la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires. En la imposibilidad de publicarla ¡n extenso, se convino con el autor en realizar la precitada síntesis, pero, para dejar las cosas bien aclaradas, publicamos en letra redonda los párrafos originales y en letra bastardilla aquéllos cuya síntesis hemos realizado. Dejamos constancia de nuestro agradecimiento al autor por su gentileza y

cumpli*

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!esperemos que esté de acuerdo con la tareada.

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buena fe pueden disentir sobre la validez de un concepto, lo cual no ha interferido en el progreso científico. La matemática avanza, sus fundamentos son hoy mucho más sólidos que antes y a los que en la vanguardia vacilan ante las dificultades lógicas, les recordaremos que en el siglo XVIII el enciclopedista Jean-Le- Rond D'Alembert les decía a los que dudaban de los entonces endebles fundamentos del cálculo infinitesimal: " iContinuez, continuez! Allez en avant et la foi vous viendra".

Frege había usado la teoría ingenua de conjuntos; Rus se// le escribió explicándole la antinomia descubierta. El efecto fue fulminante: "Su carta hace tambalear a la aritmética".

Corría el año 1903 y el 2o volumen de la obra de Frege estaba a punto de imprimirse; éste, con admirable probidad científica, le agregó un apéndice diciendo: "Nada más ingrato para un hombre de ciencia que al terminar su obra se derrumben sus cimientos. En tal situación me coloca una carta del señor Bertrand Russell que recibo en el momento en que este trabajo entra en prensa". Desde ese momento cesa su producción científica.

sus tres primeros libros, uno de política, otro de matemática y el tercero de filosofía. Su fecundidad aumenta en el siglo XX y publica más de cincuenta obras. Nos dice: "A principios del siglo XX establecí contacto con un hombre por el que tuve y tengo el mayor respeto desde aquella lejana época en que era prácticamente un desconocido; me refiero a Frege". Es decir, al profesor alemán Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) de la Universidad de Sena. Lo primero que llamó la atención de Russell sobre Frege fue una crítica que le hizo Peano reprochándole su innecesaria sutileza, y como Peano era el lógico más sutil que había conocido, pensó que Frege debía ser un lógico extraordinario. Inmediatamente adquirió el primer volumen de sus "Fundamentos de Aritmética", de 1893; el segundo volumen todavía no había sido publicado (apareció en 1903) y -dice- "leí la introducción con apasionada admiración. Por desgracia, había revestido sus demostraciones con un complicado simbolismo diagramático que repelía al más intrépido y obstinado de los lectores". El resultado fue que su obra y la importante definición de número natural que contenía, pasó por completo inadvertida al mundo matemático hasta que Russell sin conocerla y por otro camino la encontró y expuso; también en términos lógicos, pero con admirable claridad. Ello ha servido de base para ulteriores perfeccionamientos (como los de John von Neumann, 1903-1957, Kurt Godel, 1939, y Paul J. Cohén en 1963).

Russell, que había profundizado el estudio de la filosofía, distinguía netamente entre lógica pura y aplicada. A esta última traslada el difícil problema de la verdad empírica y en la lógica pura —la de la matemática— estudia la verdad formal. En ella le interesa la "forma" del razonamiento, no su contenido. Como en la matemática los primeros conceptos no se definen y las relaciones que los vinculan —los axiomas— no se demuestran, resulta así, su

cintamente interpretada la famosa definición que Russell dio en la revista "International Monthly" (1901, 4o vol., pág. 84). Superficialmente parece una "boutade", una ocurrencia de su espíritu travieso, pero, en realidad es exacta, agudísima y profunda. Dice así: "La Matemática es la ciencia en la cual no se sabe lo que se habla, ni si lo que se dice es verdadero".

Ahora bien, en mayo de 1901 Russell descubrió algo catastrófico, particularmente para un lógico matemático. Apoyándose en la actualmente llamada "noción ingenua" o intuitiva de conjunto, obtuvo una antinomia, una contradicción. Y sabido es que de una se deducen cuantas se quieran. A propósito de esta afirmación referiré una anécdota que mi gran amigo, el profesor Florencio D. Jaime, de sutilísimo espíritu crítico, relata en la magnífica introducción que escribió para lá fundamental obra "Nuestro conocimiento del mundo exterior" de Russell. Al afirmar éste que de una proposición falsa se puede deducir, razonando correctamente, cualquier cosa verdadera o falsa, un chusco le preguntó": ¿Así que podría demostrar lógicamente, por ejemplo, que Ud. es el Papa, basándose en que 2 + 2 es igual a 5? El aristocrático lord, imperturbablemente, respondió: En efecto, si fuera cierto que 2 + 2 es igual a 5, como también 2 + 2 es igual a 4, resultaría que 5 es igual a 4 y restando 3 a cada uno de estos números ¡guales resultaría que 2 es igual a 1, pero como el Papa y yo somos 2, el Papa y yo seríamos 1, lo que queríamos demostrar. Del mismo modo, muta- tis mutandis, aunque nadie lo crea, quedaría demostrado que Ud. es muy gracioso". Así, se dice, apabulló Russell al impertinente chusco.

Georg Cantor (1845-1918) había demostrado que no hay número cardinal trasfinito máximo; Russell aplicó la demostración al conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.

Y al preguntarse si ese conjunto es miembro de sí mismo desencadenó una, tragedia lógica. Tanto el Sí como el No conducen a una contradicción. Esta antinomia, conocida como la Paradoja de Russell, se apoya eñ la noción ingenua de conjunto; provocó una crisis en los fundamentos de la matemática, porque los matemáticos han divergido sobre Ias nociones básicas de la ciencia. Algo sorprendente para el profano: los matemáticos de igual valia y

ella debe mi libro "Exposición crítica de la filosofía de Leibniz", publicado en 1900, en donde propone una nueva interpretación, muy acertada, de la filosofía leibniziana.

Hacia 1900 se realizan en París los dos célebres Congresos de Filosofía y de Matemática. Este, presidido por Henri Poincaré, es de grata recordación para los argentinos. En dicho Congreso, un ¡lustre compatriota, don Angel Gallardo, aparece entre los nueve delegados oficiales representando a la "Faculté de Sciences de Buenos-Ayres". Fue el único americano, fuera de los Estados Unidos, que presentó, en esa memorable reunión, un trabajo que mereció publicarse, intitulado "Les Mathématiques et la Biologie" (compte Rendu du Congrés, pags. 395-403, Gauthiers. Villars, París, 1902) en el cual revelaba singular erudición. Recordemos que Gallardo, además de un Doctor en Ciencias Naturales e Ingeniero Civil, era sobre todo un señor y un sabio auténtico.

Al Congreso de Filosofía asisten Whitehead y Russell. Este dice: "El Congreso señala un punto crucial en mi vida intelectual, porque allí me encontré con Giuseppe Peano ideas del finísimo lógico y matemático italiano Peano (1858-1932) sobre la fundamentación axiomática de la aritmética expuestas con precisión mediante la logística (por sus discípulos y en particular por Alessandro Padoa, 1868-1937), tuvieron señalado éxito en el Congreso de París. "Al pasar los días me dije: eso se debe a su lógica matemática. Le pedí todas sus obras, me las mandó, y tan pronto concluyó el Congreso, me retiré a Penhurst con el matrimonio Whitehead para estudiarlas detenidamente".

Russell extendió los métodos de la Escuela de Peano y creó otros nuevos(3). Henri Poincaré, a quien no puede tildársele de entusiasta de la logística, ni de Russelll, ni de Peano, en su excelente libro "Ciencia y método" expresa textualmente: "Hemos visto nacer nuevas lógicas y la más interesante es la de Russell. Parecía que ya no había nada nuevo que escribir sobre la lógica formal y que Aristóteles había visto el fondo de la misma. Pero el ámbito que Russell confiere a la lógica es infinitamente más extenso que el de la lógica clásica y ha encontrado la manera de expresar sobre el tema puntos de vista originales y a menudo muy exactos".

A fines del siglo XIX, Russell había escrito

Las *Aunque el pesimismo de Frege es compren

sible, el tiempo demostró que tenía grandísi- mérito. En su monumental "Principiamo

Mathematica', "gran obra", como la califica nada menos que la "Histoire des Mathématiques" de Bourbaki (Ed. Hermann, París 1960, pág. 21), Whitehead y Russell declaran en su prólogo que "En todas las cuestiones de análisis lógico nuestra principal deuda es con Frege".

En 1906 Whitehead y Russell habían logrado vencer las dificultades que frustraban los esfuerzos para redactar los "Principia Mathematica". Dice textualmente Russell: 'Trabajé en ellos de diez a doce horas diarias unos ocho meses al año, desde 1907 a 1910, y a

pensaba si algún día los terminaríamos.vecesPersistimos y al final el trabajo quedó concluido, pero mi intelecto jamás se recuperó por completo de aquella tensión". Pese a lo que afirma, después también escribió otros trabajos admirables. "Esto es parte -continúa Russell— de la razón del cambio en la naturaleza de mi obra ulterior". El primer volumen de la obra apareció en 1910, el segundo en 1912 y el tercero y último en 1913. La segunda edición data de 1925 y se reimprimió en 1950.

Su lectura es ardua y su composición com-

(3) Aplicándolos a la lógica de las relaciones, funciones preposicionales y después a la teoría de las descripciones, símbolos y definiciones, desarrollando una nueva técnica matemática mediante la cual pos abandonados a vaguedades filosóficas fueron conquistados por la-precisión de fórmulas exactas, y más tarde hizo un ensayo para ¡ evitar contradicciones ideando la "teoría de los tipos".

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PROBLEMATICA ACTUALLuego obtuvo en su país las más altas distinciones: en 1934, la medalla Sy/vester, de la Roya! Society, la medalla De Morgan y la Orden del Mérito. Corría 1950 y estando en Australia se le otorga el premio Nobel de literatura: fue algo natural, pues escribía admirablemente. La Unesco, en 1957 le adjudicó el premio Katinga y Dinamarca, en 1960, por sus valiosos aportes a la cultura europea, le concedió el premio Sonning.

Para concluir esta síntesis anotemos el juicio que mereció Russell a algunos contemporáneos ilustres:

El eminente economista John Maynard Keynes, amigo y compañero de Russell en Cambridge, lo define diciendo: "Es un gran pensador que comete un grave error: cree que todos los hombres son seres racionales de bien".

pilcad isima. Russell decía humorísticamente: "Hay sólo tres personas en el mundo que han sido capaces de leerla integramente, a saber: sus dos autores, es decir, mi gran amigo y colaborador Whitehead y yo, y el tipógrafo unaque la compuso".

En 1914 compuso del mundo externo" a la que ya nos referi-

también estalla la Primera Guerraenseñanza de la matemática'"Nuestro conocimiento

mos, yMundial, la cual, por proclamar su injusticia en todos los tonos, le provocó una prisión de cinco meses en Brixton, lapso durante el cual escribió un libro "Introducción a la filosofía matemática", que conocemos en versión castellana del profesor Florencio D. Jaime.

Terminada la guerra y producida la revolución rusa, Russell va a Rusia en 1920 y luego de conversar con los principales dirigentes declara: "Me decidí por lo que consideré la verdad y mantuve públicamente que el régimen bolchevique era abominable".

Citaremos sus sensatas palabras pronunciadas en el Congreso de la Paz en Hel sinski: "En todo el mundo las personas serían más felices y prósperas si el Este y el Oeste abandonaran sus querellas. Tenemos, como nunca, los medios de poseer abundancia de bienes y comodidades para hacer la vida agradable. Si se asegurara la paz, Rusia y China podrían dedicar a la producción de bienes de consumo las enormes energías dedicadas ahora al rearme. Con el inmenso saber científico requerido para la producción de las armas nucleares se podrían fertilizar desiertos y hacer que lloviese en el Gobi o en el Sahara" y termina adviertiendo que una guerra en la que se emplean bombas de hidrógeno no puede haber nadie victorioso. Habrá, dice, que elegir entre vivir o morir, pero juntos.

Las observaciones de su viaje a China aparecieron en 1922 en un perspicuo libro intitulado "The problem of China".

Visita muchas veces a Estados Unidos y profesa en Chicago, Los Angeles, Harvard y otras universidades. Fue designado profesor de filosofía en el New York City College, bramiento revocado luego por "intento de establecer una cátedra de la indecencia" Boicoteado en todo el país, consiguió que Ia

Sames Foundation" le encargara el dictado de un curso de filosofía que constituyó la ba™ de su "A History of Western Philoso- phy , aparecido en 1945.

M. DUMONT (Francia)

e) La mayoría de los dirigentes de las sociedades de nuestro tiempo (políticos profesionales), tienen, por todo equipaje matemático, pocas recetas concernientes a tal o cual aspecto particular de las matemáticas, provistas por una enseñanza fijada durante un lapso demasiado . prolongado y contemplativa de su pasado. Ellos y la mayoría de nuestros contemporáneos ignoran todas o casi todas las ¡deas fundamentales de dicha disciplina en la actualidad. Las enseñanzas elemental y secundaria no han cumplido, en este aspecto, su misión. Esto explica, en parte, el fenómeno de autobloqueo del sistema educativo.

f) Los grandes matemáticos (los que crean matemática), llevados por su fervor, raramente se interesan por los problemas educativos. Los otros, que a veces se interesan por la enseñanza llevados por su inquietud por comprender e imitar a los primeros, piensan más en asegurar el porvenir de la profesión descubriendo a sus sucesores, que en la educación de las masas.

En cuanto a los profesionales de la enseñanza de las matemáticas, que no pueden ser los matemáticos profesionales, tomados por el filamento constrictor de los hábitos y las estructuras, no tienen más remedio que someterse a las exigencias de las jerarquías del cuerpo de matemáticos y a las de los responsables de la educación.

g) Las observaciones c, d, e, f, bastan para atar al ciclo, impidiendo toda evolución del sistema educativo.

Las líneas que siguen no tienen otro vo que reunir algunas ¡deas más o menos triviales sobre un problema muy antiguo en el cual los datos han evolucionado considerablemente desde hace un siglo o dos.

Evidentemente, estas ¡deas deben, por una parte, ser ubicadas en el contexto más general de un sistema educativo y cultural y, por otra parte, deben modificarse y completarse a la luz de conocimientos específicos de la disciplina.

objeti-

El gran físico Max Born, doctor en filosofía de Gottingen, miembro de la Royal Society, "Professor Emeritus" de la Universidad de Edimburgo y premio Nobel de Física (1954) escribió hace pocos años un artículo titulado "Reflexiones de un físico" que, cuando lo leí, me recordó un cuento que creo es de André Maurois y comenzaba más o menos así: "Una vez iban dos amigos caminando del brazo, ambos de la misma edad, uno joven, el otro anciano". El elogioso artículo del sabio Max Born empieza, textualmente, declarando: "Este es un humilde intento de un octogenario de pagar tributo al genio siempre joven de Bertrand Russell". Pues bien, Bertrand Russell era ¡diez años mayor que Max Born!

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I. OBSERVACIONES PRELIMINARESa) Las finalidades de una enseñanza de las.

matemáticas acaso estén definidas por ciertos niveles de enseñanza. Raramente lo están sobre el plano general de un sistema educativo completo.

b) Los objetivos de esta disciplina misma están determinados raramente y mal. Algunas humoradas célebres, como la de Bertrand Russell, no bastan para el caso.

c) Los objetivos de una disciplina se confunden a menudo con los objetivos de la enseñanza de esa disciplina. Francia es todavía uno de los raros países en que la didáctica de las disciplinas científicas no ha sido reconocida o lo ha sido tan sólo para la enseñanza superior. Con una excepción o dos, las tentativas que ahora se hacen, subrayan esta confusión, y las dificultades que provienen de ella.

d) En un pasado lejano, las ideas y los métodos fundamentales de la época constituían una parte importante de toda cultura. La imprenta, poniendo énfasis en la difusión de las lenguas naturales, no es, sin duda, ajena a la declinación durante los últimos siglos de la influencia de la matemática sobre la cultura. Es más fácil describir con la ayuda de una lengua familiar que familiarizarse con los lenguajes nuevos.

Finalmente, diré que Einstein, refiriéndose a Russell, lo calificó de hombre sabio, honorable, valiente y lleno de humor.

Bertrand Russell gozó siempre de buena salud, pero ahora llegamos ya al inevitable final que enlutó a las esferas superiores del pensamiento universal. Falleció a las 8 de la noche del lunes 2 de febrero de 1970 a los 97 años de edad. El desenlace llegó con rapidez. Apenas permaneció un día en cama con gripe. Poco antes había estado gozando de la calma del bello jardín de su casa (de Pías Penrhyn) en el distrito de Marionethshire, al norte de Gales.

nom-• Publicamos este notable artículo de la distinguida educadora francesa apelando a la gentileza de la "Association des proffesseurs de mathématiques de l'enseignement public" cuya obra -nos es muy grato consignarlo— debe merecer el reconocimiento de todos los docentes de matemática del mundo. La versión castellana es de la profesora Cristina Verdaguer de Banfi.

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Sus restos fueron incinerados en un acto desprovisto de toda ceremonia, respetándose así la última voluntad del pensador pacifista.

Se había pedido que no enviaran flores,sigue en pág. 78

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mediante modelos diferentes. Además, el mismo modelo puede convenir a sistemas de naturaleza del todo diferentes. Entre esos modelos se puede distinguir:

1) los modelos que se interpretan fácilmente pero cuya sintaxis es complicada;

2) los modelos en los que, inversamente, la interpretación es penosa pero la sintaxis es cómoda.

c) Se han liberado modelos fundamentales (fundamentales porque se los vuelve a encon-

. trar frecuentemente en multitud de situaciones) en el curso de los siglos. Los más antiguos son, sin duda, los sistemas de numeración con sus reglas de cálculo, en el sentido de que la noción de modelo fue más o menos consciente para sus creadores y utilizadores. Pero el más conocido es indubitablemente el modelo geométrico griego (Euclides) que permite describir algunos aspectos de nuestro espacio familiar (algunos solamente); modelo bastante confuso dado que siempre mezcla dos lenguajes. Uno, "natural", el otro "figurativo" (líneas, puntos. . .), pero en donde la axiomatiza- ción más o menos explícita constituye, a no dudarlo, una de las primeras tentativas de organización funcional de un modelo (es decir, de una teoría). Esta organización fue lo suficientemente coherente como para sobrevivir más de veinte siglos. Las insuficiencias de estos modelos antiguos han estado en el origen de una evolución j cada vez más rápida del pensamiento matemático, evolución que en el curso de los últimos ciento cincuenta años, permitiría desarrollar esas nociones de modelos, de teorías, de axiomáticas, debido a la creación y al perfeccionamiento de multitud de modelos.

d) Los modelos así creados se convierten entonces en verdaderas herramientas como medios de expresión y de previsión; pueden ser considerados, o no, como elementos de una cultura. Se los vuelve a encontrar bajo el nombre de "especies de estructuras". Esta noción de "estructura" ha invadido todos los dominios hasta el punto de erigirse en sistema filosófico, el estructuralismo. Pero no son ni las estructuras ni los modelos lo esencial de la actividad del matemático; es la "modeliza- ción" de los modelos.

II. OBJETIVOS DE LA DISCIPLINA diferente de la de las otras ciencias. La profunda diferencia reside en que el matemático abandona siempre el primer sistema que ha originado el modelo. La investigación de los medios de expresión y de las previsiones eficaces y poco fatigosas (por tanto "automáticas") lo lleva a modelizar los modelos ya creados, es decir, a crear nuevos tipos de discursos que permitan comprender mejor el funcionamiento de los discursos precedentes. (El término "modelo" adquiere así diferentes sentidos según el nivel en que nos detenemos).

Se asiste entonces a dos fenómenos: a) por una parte a la oposición entre dos

tendencias:— Una tiende a la especialización del discurso,

es decir, a la creación de modelos adecuados para revelar ciertos aspectos hasta entonces mal comprendidos (nacimiento de las teorías particulares —como el álgebra homológica—; particulares hasta que se advierte que se aplican a dominios distintos de los que les han dado origen);

— la otra tiende a la universidad del discurso '(diversas teorías de los conjuntos, las clases, las lógicas, son ejemplos, otros lo constituyen el lenguaje de las aplicaciones, los mor-

_fismos, los funtores).^ b) por otra parte, a la existencia de dos tipos de "cortocircuitos":— uno, de aspecto teórico, que permite simpli

ficar el funcionamiento de un modelo (no bien la escuela Bourbaki terminaba de lanzar esa vasta tentativa de unificación de la matemática describiendo y organizando las especies de estructuras con ayuda de cierto lenguaje, apareció un nuevo lenguaje, el de las categorías, para iluminar dicho edificio

nueva claridad y más sintéticamente.-el otro, de aspecto práctico, que permite

retornar a las fuentes e interpretar un modelo de modelos... de modelos de sistemas, directamente a nivel de uno de esos sistemas.Se puede así comparar al universo matemá

tico con una vegetación que saca su vida de la tierra misma (problemas "prácticos") y, por

parte, es prodigiosamente lujuriosa, llena de vida, multiplica su follaje, las excrecencias, los jóvenes retoños, y, por otra parte, intenta constantemente reagrupar las ramas, los matorrales y las selvas en un esqueleto monumental -esqueleto cuyos aspectos de vida o de muer-

h) El aporte masivo de los conocimientos nuevos ensiglo o dos, y particularmente en los últimos cincuenta años, su importancia actual y la rapidez de su evolución, provocan un trastorno profundo de las nociones seculares de disciplina. de cultura.

Todos somos conscientes de la necesidad:— de redefinir la noción de cultura compati

blemente con nuestra época.— de proceder a una nueva definición de las

disciplinas.

La "recuperación" actual no debería conducirnos a la idea simplista de una "partición" sino más bien a una noción análoga a la de "filtro". En términos no matemáticos, la ¡dea de proximidad, de aproximación, debería sustituir a la de clasificación en disciplinas disyuntas. ..— hacer una elección entre ese amontona

miento de conocimientos, es decir, admitir sacrificios.

i) Debido a no haber hecho esta elección, se solicita constantemente a la memoria, reduciendo así el tiempo de funcionamiento de la inteligencia. El capital inmenso de la inteligencia de los hombres está ¡nexplotado en más de un noventa por ciento. Ningún sistema puede resistir tal atolladero.

j) Muy a menudo se juzga a las ideas esencialmente por la persona que las emite, su posición social, su pasado. Ahora bien, un "genio" que se equivoca es un hombre como los demás, un "imbécil" que tiene un destello de genio, es un hombre como los demás.

Sólo las frecuencias de los errores, de los destellos, de los sueños diferencian a los individuos, y esas mismas frecuencias varían en el curso de la existencia de un mismo individuo. Lo que muestra cuán peligrosos son tales sustantivos.

k) La oposición entre la observación g), por una parte, y las observaciones i) y j), por otra, explican el carácter pasional que toman las controversias sobre lo que se podría denominar "renacimiento de la educación". Cuando se emplea el término "revolución" bueno es recordar que los verdaderos autores de revolución no son los que la hacen sino los que han impedido o frenado las evoluciones.

todos los dominios desde hace un Las matemáticas sólo existen porque han existido y existen matemáticos. Valdría más, pues, hablar de los objetivos de los matemáticos que de los objetivos de las matemáticas. Retendremos las ideas generales susceptibles de contar con el acuerdo de los matemáticos actuales.

A. LOS MODELOSa) "Comprender" el "funcionamiento" de

"no importa qué".- "Comprender", es decir, "describir y prever

sistemáticamente",- "funcionamiento", es decir, "sistema de re

laciones", ligado o no al espacio usual, al tiempo o a otras dimensiones más o menos sensibles.

- Esos dos caracteres son evidentemente los de toda disciplina científica. Pero, mientras estas últimas subrayan la naturaleza de los sistemas cuya naturaleza estudian, el matemático se interesa esencialmente por la descripción sistemática del funcionamiento, descuidando así la naturaleza de los sistemas. Es este "no importa qué" lo que da a esta disciplina su carácter invasor, acaso imperialista.b) El objetivo fundamental del matemático

es, pues, "crear modelos" que le permitan describir y prever el funcionamiento de un sistema (que puede ser real, imaginario, artificial, visible, audible, . .., o no). Esos modelos (análogos, en otros dominios, a los bosquejos, a las simulaciones) son esencialmente "discursos" realizados con lenguajes creados en su totalidad por las necesidades de la causa (elección de un alfabeto, elección de una sintaxis, elección de axiomas). Es el "funcionamiento del discurso" lo que debe permitir prever el funcionamiento del sistema, por más que los dos no estén necesariamente "calcados" uno sobre el otro (a menudo se ignoran las reglas del último: "todo ocurre como sí...").

Esto unido a los hechos de que un modelo:1o) no describe todo sino sólo ciertos as

pectos del sistema (se dice a veces que es abstracto);

2o) introduce sujeciones- ajenas al sistema que representa (debidas, por ejemplo, a la olección del alfabeto);

Muestra quo un sistema puede ser descrito

1

con

una

unai B. — Los modelos de modelos de modelos...

Hasta ahora, la óptica es, en efecto, apenas.

10 11

■

(es decir, discurso enteramente automatizado) y, por otra parte, poner en cortocircuito la descripción para ganar tiempo, pero con los peligros que así introducen los "abusos de lenguaje").

h) Por una parte, afinar el análisis y, por otra parte, sintetizar olvidando los detalles.

i) Por una parte, imitar para ganar tiempo (en lo inmediato) y, por otra parte, buscar y crear sus modelos propios (por imperfectos que sean).

j) Por una parte, evitar los errores adecuarse a exigencias prefijadas, y, por otra parte, investigarlos para explotar sistemáticamente las informaciones que aportan y satisfacer así una legítima curiosidad (error en el sentido amplio del término).

k) Por una parte, aumentar la eficacia "optimizando" los métodos de tratamiento de un problema particular, y, por otra parte, dejar a un lado esa inquietud para ir más rápido hacia adelante y abordar nuevos problemas.

l) Por una parte, organizar sistemáticamente los conocimientos antes de enriquecerlos, y, por otra parte, soñar de entrada con enriquecerlos.

m) Por una parte, contentarse con un sólo modelo y explotarlo a fondo, y, por otra parte, diversificar los modelos para favorecer las trasmisiones y cubrir mejor los aspectos del sistema que describen.

Pero una lista tal de dualidades podría ser mucho más grande (habría que examinar una involución en el conjunto de los subconjuntos de un conjunto de comportamiento precisos).

Subrayaremos que se han evitado términos tales como razonamiento, lógica, rigor, intuición, concreto, abstracto debido a interpretaciones demasiado vagas, y, por tanto, variadas que se les asigna habitualmente. (Por ejemplo: "razonamiento" sobrentiende por lo menos tres ¡deas que conviene distinguir cuidadosamente: 1) conocimiento de un lenguaje —habitualmente se sobrentiende el empleo de una lengua natural con las incoherencias que comporta y la confusión entre los diversos niveles

metalengua—, 2) automatización del discurso, 3) su adecuación al sistema que describe.

en educación física, la flexibilidad, es decir, la adaptabilidad, proviene del desarrollo equilibrado de los músculos antagónicos, en matemáticas, el comportamiento del individuo oscila siempre entre dos tendencias opuestas. Por eso, las presentaremos de a pares):

a) Por una parte, un comportamiento automático que libere al pensamiento para una acción futura o que permita la fantasía, la somnol¡encía, y, por otra parte, un comportamiento consciente que permita el control de la acción presente. Los automatismos (útiles o no, importantes o no) son los mejores instrumentos y los peores. Los hombres deben permanecer capaces de liberarse del embotamiento en que pueden sumergirlos los automatismos. El peligro es tanto más grande porque uno de los caracteres de las herramientas matemáticas es su funcionamiento automático.

b) Por una parte, el carácter absoluto de un juicio; por otra parte, su carácter relativo.

Las nociones de verdadero y de falso no son, en efecto, nociones absolutas sino nociones relativas:— a sistemas de axiomas,— a reglas de deducción, admitidas o no en la

teoría,— al contexto en el que se aplica la teoría;

c) Por una parte, la voluntad de ajustar un contexto; por otra parte, la de ensancharlo, permitiendo esto estudiar la variabilidad de los juicios (los sentidos de estos términos se invierten, por otra parte, según que el concepto esté definido en comprehensión o extensión).

te se confunden fácilmente—, ¡ay! hasta el punto de aparecer como monumento congelado para la eternidad.

rán más bien entre los medios y métodos. Se trata de ¡deas generales que parece, deberían ser conocidas por los diversos tipos de alumnos, particularmente a) y b).

1) Los conocimientos matemáticos evolucionan con el tiempo; son, pues, relativos a una época.

2) Las herramientas matemáticas no son nunca herramientas universales. Cada modelo ofrece ventajas para ciertos objetivos e inconvenientes para otros objetivos.

3) Las lenguas naturales tienen vocación universal debido a su flexibilidad. Son impropias si se trata de analizar, por una parte, y de sintet:zar, por otra parte, aspectos más profundos en cualquier dominio.

4) Es necesario distinguir en un lenguaje los niveles diversos para no confundir variables, metavariables, axiomas y esquemas de axiomas, etc. (Las máquinas de lenguajes desempeñarán en este aspecto un papel considerable en los años futuros).

5) Es más importante aprender a modelizar (describir, organizar, prever) que usar modelo. El funcionamiento automático de un modelo es del resorte de los autómatas. La inteligencia del hombre debe interesarse por automatizar sus tareas y no por aplicar automatismos: no por eso, los más importantes de esos automatismos (la importancia depende de la época y de los medios técnicos) deben desconocerse aún cuando no sean aplicados (válido sobre todo para el tipo d).

6) Distinguir en el funcionamiento de un modelo si se lo coloca en el punto de vista puramente formal, o si se lo coloca en el punto de vista semántico (el punto de vista formal de este primer modelo puede considerarse como el punto de vista semántico de un segundo modelo que describa al primero).

7) La pluralidad de los modelos, que implica múltiples transferencias, es condición necesaria para una buena "comprehensión".

III. OBJETIVOS DE LA ENSEÑANZA DE ESTA DISCIPLINA

A) Observaciones1°) Cualesquiera sean las personas a quie

nes se destina esta enseñanza, debe distinguirse entre educación e información. Ahora bien, a nivel del ciclo secundario, esto es, de 15 a 17 años, no se trata de educar sino de reeducar, con las dificultades que esto implica.

2o) Las matemáticas no se aprenden; se hacen. Al practicarlas se las llega a memorizar. No se trata, pues, de una enseñanza, de un aprendizaje, sino de educación e información para la acción.

3o) Las finalidades pueden diferir en importancia según los diversos tipos de alumnos, sin que sepamos distinguir esos tipos a priori (esto no es una partición, una clasificación en clases disyuntas y evoluciona con el tiempo):

a) los alumnos que abandonan más o menos sus estudios y especialmente las matemáticas (una formación permanente bien concebida debería reducir esta clase);

b) los que llegan a puestos de responsabilidad en el plano social, político, cultural;

c) los que se especializarán, sea en matemática, sea en la enseñanza de dicha disciplina;

d) finalmente, todos los que usarán a las matemáticas —la clase más numerosa, que evidentemente incluye la clase c), y los responsables en el plano económico (pero no necesariamente los que tendrán interés en utilizarla).

Es evidente, aunque contrario a los usos actuales, que los tipos a) y b) son los que necesitan tener ¡deas más generales sobre esta disciplina, sin tener que entrar por ello en los detalles de los contenidos. En efecto, les importa más saber las herramientas que existen y para qué sirven, saber que se las crea de nuevo, antes que usar mal e inconscientemente algunas de ellas, de alcance limitado (ver observaciones I, e).

para

•I

d) Por una parte, la confianza en la validez de un mecanismo cuidadosamente ensamblado, y por otra parte, la duda, desde el momento en que la vaguedad y la ligereza se introducen en el mecanismo.

e) Por una parte, hacer funcionar a placer un modelo olvidando que se trata de délo; por otra parte, interpretar a cada instante los estados sucesivos del modelo.

f) Por una parte, repetir la misma

un mo-

opera-ción sobre los estados sucesivos de un sistema (iteración) y, por otra parte, repetir la misma operación sobre todos los sistemas de cierta clase.

8) La distinción entre matemáticas aplicadas y matemáticas puras es ficticia. Es tan importante saber aplicar los modelos a situaciones prácticas (es decir, "descender la escala") como tratar de comprenderlos con ayuda de otros modelos (es decir, "ascender la escala").

deB) Educación

Recordemos algunos de los objetivos que podría tener una educación matemática. Al respecto, es mejor hablar en términos de comportamientos que de aptitudes (lo mismo que

'ig) Por una parte, describir linealmente (algoritmo de descripción...) y, por otra parte, describir no linealmente (diagramas, mas,..., figuras, organigramas, etc.)

g) Por una parte, formalizar completamente

esque- 9) Las situaciones "finitas" tienen actualmente considerable lugar y originan problemas a menudo denominados "combinatorios". Pero

c) INFORMACIONES generalesNo se trata aquí de conocimientos precisos

considerados como finalidades: éstas aparece-

1

1213

— Se confunde la evolución cronológica de los descubrimientos, es decir, de los conocimientos, con la organización extratemporal de esos conocimientos (organización que varía por otra parte, con la época);

— Se confunde esta organización con una descripción lineal de la misma;

— Se confunde, porque la enseñanza se desenvuelve en el tiempo, la adquisición lógica de los conocimientos y la toma de conciencia de su organización (este punto es importante: salir de un laberinto porque se conoce un algoritmo, no significa conocer por eso la estructura del laberinto. La diversificación de los algoritmos y de los modelos es lo que permite obtener dicho conocimiento).Un programa lineal comporta más inconve

nientes que ventajas:-ventajas en el plano de la simplicidad de la

realización y del control del sistema de enseñanza;

— inconvenientes sobre el lapso de tiempo necesario para obtener los últimos conocimientos, cansancio engendrado por el muy grande número de etapas, inadaptación al ritmo y caminos propios de cada individuo, entre otros.Esto se agrega al hecho de que algunos:

— admiten difícilmente que puedan existir diversos caminos lógicos, unos más cortos que otros;

— sobrentienden que el que se conoce no se puede abreviar más;

— no imaginan que otra presentación del mismo camino lo pone al alcance de alumnos más jóvenes;

lo que explica las dificultades de elaboración de los "programas".

3) En efecto, lo que debe reconsiderarse es el mismo concepto de "programa". Poco importa el término; lo esencial en cada nivel es recordar los objetivos generales de la enseñan- za» y a partir de ellos precisar los objetivos particulares de ese nivel (tratando de que no haya contradicción entre unos y otros); en fin. Proporcionar medios para alcanzar esos objetivos, permitir a los maestros crear otros medios eventual mente más eficaces; entre esos medios figuran, evidentemente los contenidos, pero con igual importancia que los métodos y las act¡tudes pedagógicas, debiendo estas últimas tener tanta importancia como los contenidos.

Esto exige gran libertad de acción y primordialmente un clima de confianza mutua tanto en los responsables de la educación y los maestros, como entre los maestros y sus alum-

brotados del análisis-; éste último modelizará mejor después de esta preparación.

2) Puntos de vista particularesa) El cálculo en las álgebras de Boole debe

ser tan familiar al hombre del siglo XXI como la tabla de multiplicación al del siglo X\X.

b) La estadística y las probabilidades ya han sido introducidas en los programas; pero allí, todavía, la construcción del modelo, su relatividad, tienen mucho más importancia que su uso inconsciente.

c) Las "lógicas" y gramáticas formales son vistas no en en detalle sino sólo para subrayar la importancia de su concepción y de los resultados que permiten obtener.

d) Por oposición al aspecto c), la investigación operativa, que presenta un aspecto más adecuado a la idea de modelización, alcanzará un lugar importante en la enseñanza de la tecnología.

e) El análisis y el cálculo numérico ocuparán un lugar preponderante como modelo fundamental en un primer nivel.

f) El espacio euclidiano, perderá su importancia en provecho del análisis y del álgebra, pero conservará su interés en el plano pedagógico

menudo asu modelización conduce muy ainfinitos. Importa distinguir allí losmodelos

niveles de modelización.10) Finalmente, nociones como las de va

riable, cuantificación, recurrencia, algoritmo, compatibilidad, múltiples tipos de "infinito", relaciones, morfismos, funtores, etc., son tan

más como finalida-

nos.

0 METODOS1) Motivacionesimportantes que aparecen

des que como medios.Esta lista no es más que un bosquejo con

omisiones e imperfecciones.Estas ¡deas pueden parecer tan generales

que exigen ser completadas por lo que coloca- entre los medios y métodos para la

enseñanza de las matemáticas (el aspecto tecnológico de esta enseñanza se deja a un lado provisoriamente).

crono-Nadie puede hacer un trabajo interesante

sino se interesa en él. El término "interés" no debe hacernos confundir dos tipos de motivaciones: unas hacen intervenir factores exteriores al individuo, las otras, puramente internas.

Entre las motivaciones externas figuran los "apremios formales", sanciones sociales en todas sus formas, en uno y otro sentido —diplomas, recompensas, honores, castigos, esos son los peores males de la enseñanza pues, desnaturalizan completamente al individuo. Sin embargo es ¡ay! la motivación más difundida.

remos

IV. MEDIOS, METODOS Y ESPIRITU DE LA ENSEÑANZA

A) ContenidosEs evidente que los métodos y medios que

usan los matemáticos se pueden convertir en las finalidades de la enseñanza. Como toda herramienta, las herramientas matemáticas sirven para fabricar nuevas herramientas. Las volveremos a encontrar, pues, en la enseñanzas, a la vez entre las finalidades y entre los medios. Indicamos las fundamentales adoptando una clasificación provisoria y ya superada, pero provisoriamente cómoda (Esto no es un programa sino grandes centros de interés que abren horizontes sin cerrarlos por ello).1) Las grandes estructuras

a) Estructuras de orden: toda organización, toda jerarquización, necesitan clara conciencia de esas estructuras y es impensable que actualmente esas nociones no figuren en los programas, particularmente en las secciones no matemáticas.

b) Estructuras algebraicas: el álgebra lineal, herramienta fundamental, no debe aparecer sólo a través de un modelo a la vez demasiado complejo y demasiado simple como el plano euclidiano, si no que debe revestir las formas más variadas para mostrar su eficacia en dominios distintos al del espacio usual de tres dimensiones.

c) Estructuras topológicas: el espacio usual de las situaciones "discretas" puede servir para primeros bosquejos de modelos -no es de ningún modo necesario esperar a conocimientos

Ü—Otra motivación externa es infinitamente

más importante aunque se descuide en la enseñanza general: son los "apremios vitales" o "problemas prácticos". La resolución de los problemas que plantea la extencia cotidiana (¡en nuestra época! ) es una fuente de interés. Las matemáticas sirven para todo. Es bueno darse cuenta de ello, y elaborar la enseñanza de los conceptos a partir de los problemas prácticos que les han dado origen o a los cuales se aplican.

Un ejemplo en un dominio particular, a otro nivel, no es proporcionado por las demostraciones. Aprender a demostrar requiere una demostración. Imponer una demostración en un caso finito, en donde un método exhaustivo es más eficaz, es un error. Precisamente, la elección de situaciones cada vez más "complejas" es lo que introducirá con toda naturalidad la necesidad de una formalización y de una demostración.

-Pero la mejor de todas las motivaciones es la del "juego". Es difícil distinguir un "juego" de un "trabajo". La misma actividad puede, en efecto, ser considerada como un juego por algunos, y como un trabajo para otros. La diferencia reside, sin duda, en el clima más o

grande de libertad que se da el indivi-

Por más que estén enumerados en una misma lista, estas herramientas no están necesariamente en un plano de igualdad. Su agrupa- miento podría ser el objeto de opciones fundamentales, algunas de los cuales aparecerán en la formación general común.

B. Programas1) Que esos contenidos se agrupen en una

forma u otra, siempre serán herramientas, medios para llegar a objetivos mucho más amplios que los que los que consisten en su mero empleo. Es sumamente peligroso dejar creer que el "programa" es el objetivo fundamental de la enseñanza, pues sería congelar la enseñanza. Los programas, en el sentido usual de la palabra, deben aparecer como un medio entre otros.

2) Una ¡dea comúnmente admitida ponsable de numerosos errores —entre otros de las orientaciones definitivas y desventuradas de los alumnos— consiste en creer que la enseñanza de las matemáticas sigue necesariamente un camino lineal. Esta creencia resulta de muchas confusiones:

y res-

menosdúo en el curso de esta acvidad.

* Surgen varias observaciones:a) No se debe confundir "imponer un juego

::

1415

i

creer que se conoce un laberinto cuando se sabe salir de él. De una sola, manera y siempr a partir del mismo punto.

En tanto que los dos primeros objetivos son fundamentales, el tercero es ilusorio y peligroso.

tanto más impondrán las trasferencias la idea de interpretar un lenguaje en otro, y permitirán precisar el concepto y distinguir el nivel formal del semántico. El término "lenguajes" se toma en sentido amplio y designa lo mismo a lenguajes elaborados, medios de expresión "imaginados", "figurativos", objetos reales, materiales diversos, filmes animados, etc.

La experiencia muestra que, incluso como adultos, la enseñanza recupera en eficacia el tiempo consagrado a esos diversos niveles de acceso.

d) Las espirales.El análisis de un problema nunca se com

pleta en profundidad. Tal lenguaje, adaptado a un nivel de .experiencias, debe, a su vez, ser modelizado más tarde. En lugar de colocar una noción en el programa de un curso y considerarla como definitivamente adquirida para los cursos siguientes, sería bueno retomar la misma noción en niveles de análisis, de formalización más avanzados. Este método de enseñanza en espiral tiene la ventaja de restablecer las nociones en la memoria, de restablecer el interés por los procedimientos, las técnicas particulares, para mejorarlos, tratarlos con ayuda de lenguajes más generales devolviendo así al saber cierta modestia.

El argumento de lasitud que se opone a tal método no es válido puesto que los lenguajes y objetivos no son los mismos en cada nivel.

D. ACTI DUDESA priori estaríamos tentados a separar las

de los alumnos de las del maestro. Haciendo eso daríamos un contraejemplo del muy conocido y a menudo olvidado principio: "Para todo individuo A, en todo momento de su existencia, existe por lo menos un dominio y existe por lo menos otro individuo B tal que A esté en posición de alumno con respecto a B en lo que se refiere a ese dominio. "El estudio de tal relación social cambiaría sin duda mucho los comportamientos (ipero algunos la confundirían con la relación que se deduce colocando a la cabeza la última cuanti- ficación! ); Al respecto, es doloroso ver a ciertos pedagogos usar frente a adultos, y a sus colegas en particular, los métodos que estigmatizan frente a niños, como si unos y otros fueran tan diferentes en el plano lógico y en el plano afectivo. (Un contraejemplo no es significativo más que si se tiene conciencia de que se trata de un contraejemplo, es decir, por oposición a un ejemplo).

con sus reglas" y "dar libertad para crear o modificar los juegos";

b) Un juego es tanto más cautivamente cuanto más rico, rico en estrategias posibles, rico en cuanto a las curiosidades que despierta.

c) La última etapa del juego es aquélla en que el individuo juega contra sí mismo y contra sus propios pensamientos.

d) La noción de juego no concierne a tal o cual edad determinada; está ligado a un sentimiento de independencia con respecto al tiempo.

Un matemático de talento concluye la introducción de una de sus obras de alto nivel mediante la cita: "Todo eso, dice la Esfinge, para divertir a Zeus". ¿Por qué privar a nuestros alumnos de sus sonrisas? No son las matemáticas las que tienen un aspecto severo, son los individuos los que han desparramado su severidad sobre lo que enseñan.

De cualquier modo, cada vez que la motivación es insuficiente, sólo los apremios imperativos llegan a movilizar artificialmente al alumno, para un resultado muy efímero. El cincuenta por ciento de la tarea pedagógica debe consagrarse en primer término a crear buenas motivaciones.

e

4) Construcción de conocimientos porrrencia

Un contraejemplo hará comprender mejor este principio:

En una época dada se hace aprender fórmula (por ejemplo la de (a + b)2).

Un año más tarde se hace aprender (a + b)3.

Más tarde todavía se pasa a las otras potencias: (a + b)n.

¡Cuántos esfuerzos de memoria evitados, cuánto tiempo ganado si se hubiera presentado de entrada la serie de potencias, y la recurrencia que permite reconstruir esas fórmulas, presentación bajo múltiples aspectos que permiten ligar los métodos!

recu-

una

's

Cuando se quiere hacer comprender qué es’ una escalera a un niño que jamás la ha visto, no se le presenta una escalera de un escalón, luego una de dos escalones, etc., con el pretexto de simplificarle la tarea. Cuanto mayor es el número de términos de la serie, tanto’ mejor comprenderá el alumno la recurrencia.

1) La autoeducaciónEs fundamental que el individuo sea excita

do a:— buscar por sí mismo las informaciones

(autoinformación);— plantearse él mismo y libremente las cues

tiones (autointerrogación);— controlar él mismo sus propias acciones y

juicios (autocontrol).a) Autoinformación

2) Niveles de accesoa) Enriquecer las experiencias.Una teoría, un modelo, un concepto serán

tanto mejor "comprendidos" cuanto más se apoyen en experiencias numerosas y variadas. Entre estas, los contraejemplos son todavía más significativos que los ejemplos.

Debido a no haber enriquecido esta experiencia, obtenemos de los alumnos que, aun conociendo el "funcionamiento formal" de una teoría, sean incapaces de interpretarla, de colocar ideas en los escritos.

b) Distinguir los niveles de formalización.Aquí todavía, es falso creer que esos nive

les dependen de la edad de los alumnos. La comprehensión de esta formalización depende esencialmente de la experiencia. Cuanto más ricas y variadas sean las experiencias, tanto más podrá elevarse el nivel de modelización. En un nivel dado, un modelo de modelo sólo se comprenderá si la interpretación en el nivel inferior es suficientemente familiar.

c) Diversificar los lenguajes.Cuanto más numerosos sean los lenguajes

3) Caminos axiomáticosParece que hubiera una confusión entre tres

objetivos: una cosa es aprender a axiomatizar (es decir, modelizar);— otra es aprender una axiomática particular

carente de interpretación;— en fin, todavía otra cosa es hacer compren

der un sistema con ayuda de una descripción axiomatizada.La primera pertenece a los objetivos funda

mentales y requiere gran variedad de ejemplos y contraejemplos.

La segunda es un objetivo particular: familiarizarse con el funcionamiento de una herramienta (lo que no significa que se sabrá reconocer las situaciones a que se adapta).

La tercera es un error pedagógico monu- ; mental. Creer que se familiariza a un alumno con un sistema que le es extraño, que se le hace comprender su organización con ayuda de una y sólo una descripción axiomática, es

5) Vínculos interdisciplinariosPor razones de motivación y de educación,

es deseable extraer de los dominios más variados los sistemas que se trata de modelizar. Esta ¡dea, concebida aquí como método pedagógico, debiera ciertamente figurar entre los objetivos de un sistema general de educación.

Esta actitud es facilitada por todas suertes de medios técnicos actuales. El maestro es una fuente de información entre otras. En particular, la vida en sociedad, el trabajo en equipos, la circulación y la adquisición más o menos rápida de las informaciones en el seno de los equipos, hacen que cada alumno pueda acudir primeramente a la ayuda de sus condiscípulos. Esta actitud ofrece además la siguiente ventaja: el alumno, o el equipo informante está obligado a elaborar los medios de expresión precisos y eficaces, portadores de la información; todos saben que el mejor medio para comprender algo es tratar de que lo comprenda otra persona. El potencial de una clase es así usado al máximo.

b) Autointerrogación.Es más importante incitar al individuo a

6) Síntesis y aperturasAsí como las exigencias de rigor (automa-

ticidad) llevan consigo precauciones y refinamientos en los detalles, es peligroso sumergirse en ellos. A cada momento los problemas se deben poder reemplazar por un cuadro más general, es decir, originar nuevos problemas. Para ello, la inquietud por la síntesis debe equilibrar a la inquietud por el análisis (por más que esos dos términos tengan un sentido preciso, digno de ser analizado).

4

4

i 1617

i

Lstudio del mejoramiento del curriculum de la matemática de la

escuela secundaria. S.S.M.C.I.S.evaluación

El papel del maestro ante sus propios errores, voluntarios o no, es ejemplar en este aspecto. Debe tender lazos que permitan aprender a evitarlos. También aquí, la multiplicidad de

• los caminos es lo que permite compararlos y juzgar si el camino que se ha elegido es el mejor.2) El eclipse pedagógico

Tan importante como ayudar, y hacerse ayudar, es decir, vivir en sociedad, es hacer que cada individuo pueda descubrir solo cada idea. Evidentemente, es más fácil dar consejos, dictar un curso, que crear las condiciones que permitirán a los alumnos hacer sus descubrimientos por sí mismos. Entiéndase bien: la dificultad no es sólo el orden psicológico; proviene sobre todo de la necesidad de poner en cortocircuito las etapas para llegar lo más rápido posible a la última información. Esta idea no es nueva: es curioso comprobar que se piense en aplicarla sólo en los niños y raramente en los adultos.

En esta óptica, ya no es esencialmente el maestro la fuente privilegiada de informaciones; es, en primer término, el motor del grupo, el que incita, anima, provoca y se esfuma cuando el grupo lucha. Al respecto, son indispensables un mínimo de conocimientos sobre la psicología del grupo y su dinámica.E) Conclusión

plantearse cuestiones a sí mismo y a los demás, que responder a las mismas. Las respuestas no son más que la salida inevitable a cuestionario bien organizado y cada vez .más preciso. Además, la resolución de un problema crea nuevos problemas en otro nivel. Nada está definitivamente acabado y eso es bueno. La inquietud es propia de los hombres curiosos, la quietud es propia de los seres indolentes. Al respecto, el maestro está llamado a dar el ejemplo de esta investigación, es decir, intentará colocarse en un plano de igualdad con sus alumnos. Pero es difícil olvidar lo que se sabe, por modesto que sea, y ese saber modifica totalmente la actitud de investigación, de donde surge la necesidad de abordar de tiempo en tiempo problemas nuevos para todos.

Además, en un instante dado, no saber resolver un problema no es un defecto, una prueba de falta de inteligencia, lo mismo que saber resolverlo no es prueba de inteligencia. Lo doloroso es no ser capaz de plantearse problemas. Esta condición no es suficiente pero es necesaria. La existencia cotidiana nos plantea nuevos problemas que no podremos resolver de inmediato. Un alumno que ha considerado un problema en todas sus caras, que se ha planteado múltiples cuestiones sin hallar solución; ha aprendido más que el que ¡mita la solución de otro sin plantearse cuestiones.

Esta permanente actitud interrogativa y la creatividad son, sin duda, las características esenciales del hombre. La memoria y los automatismos son realmente del dominio de las máquinas.

c) Autocontrol.El individuo, solo en la vida, no tiene siem

pre detrás suyo un consejero que le diga si lo que ha de hacer es justo o falso. La serie de sucesos es lo que le permitirá juzgar (siempre relativamente). Aquí todavía es importante que el alumno aprenda, gracias a la multiplicidad de experiencias y a su comparación, a descubrir las incompatibiliades, los "errores".

Ignorar los errores es también uno de los grandes males de la enseñanza. Aprender a descubrirlos, a evitarlos, es fundamental. Pero esto exige que se los haya encontrado. Los errores forman parte de la acción. Precisamente en el dominio intelectual, allí donde no provocan consecuencias dramáticas, proporcionan el medio pedagógico para evitarlos en otros dominios.

un

Howard F. Fehr * fEE.UU.)

El punto de vista clásicoLa matemática tradicional se originó por la

necesidad de comprender el medio físico y por este conocimiento práctico se creó una idealización del espacio físico (geometría eu- cl¡diana) y un sistema para contar y medir (Números enteros y racionales). Al crecer el comercio, la navegación y la exploración, la necesidad de la matemática de mayor nivel condujo a especializaciones más altas denominadas álgebra y análisis. Hace unos 300 años se organizó este conocimiento en cuatro ramas de la matemática —aritmética, álgebra, geometría y análisis— cada una considerada como un campo de investigación cerrado y separado. Subordinada a cada una de estas categorías surgió una proliferación de temas. Por ejemplo, subordinados a la aritmética aparecieron cursos de cálculo numérico, análisis combinatorio, análisis diofántico, probabilidad, teoría de números, estadística, etc., y semejantemente para las otras tres divisiones. Esta organización se convirtió en la manera de presentar la matemática como asignatura de la instrucción escolar. Esto tuvo vigencia durante más de dos siglos.

El punto de vista contemporáneoLa matemática, como rama del conoci

miento, no sostiene ya este punto de vista clásico. Cómo emergió el punto de vista temporáneo, es una larga historia de los desarrollos y percepciones graduales sobre los que se hizo la luz durante un siglo o más. Desde

los desarrollos para la comprensión de los números en la organización de sistemas algebraicos y la creación de nuevos espacios geométricos hasta la aparición de la teoría de los conjuntos de Cantor, el formalismo de Hilbert y el concepto de estructura, comenzó a nacer un nuevo punto de vista contemporáneo de la matemática. Hacia 1930, los Bourbaki reconocieron que ciertos conceptos fundamentales apuntalaban todas las ramas de la matemática, y que los conceptos estructurales daban posibilidades para organizar todas las ramas tradicionales en un conjunto general de estructuras interrelacionados. Como consecuencia de ello, reconstruyeron toda la matemática existente usando las nociones básicas de conjuntos, relaciones y correspondencias, en dos grandes estructuras: la algebraica, con los grupos, anillos, cuerpos, espacios vectoriales; y la topológica,

el espacio métrico y lineal, espacio compacto, espacio normado y espacio vectorial. Esta estructuración descubrió una riqueza d? interrelaciones entre los temas, conceptos y teorías, ocultas antes por la separación tradicional, que permitió unificar todo el estudio matemático.

Este punto de vista contemporáneo es el muestra la necesidad de reestructurar

nuestro programa matemático escolar y muestra, además, cómo hacerlo. No habría sido

H

*

La amplitud del problema es tal que únicamente los Fstados Mayores de la Educación pueden intentar precisarlo y organizarlo. Las líneas precedentes no tienen otro objetivo que provocar reflexiones indispensables.

Sin embargo, es útil recordar que el peligro más grave que puede correr la humanidad no es ni la bomba atómica ni otras armas terroríficas. Está en el resultado de las investigaciones sobre la inteligencia artificial delante de las investigaciones sobre el desarrollo de la inteligencia humana. ¡Pensemos en las posibles consecuencias!

En lo que se refiere a la realización de tales proyectos, cada uno debe recordar esto: cuando las ¡deas son buenas, desinteresadas y claramente expuestas, terminan siempre por cumplir su camino. Poco importa saber quién las ha lanzado. En la mayoría de los casos, se deben a confrontaciones de diversos puntos de vista y nacen simultáneamente en distintas bezas.

con

que

‘1

con- * H. H. Fehr, director del Teachers College, de la Universidad de Columbia, nos ha hecho llegar este trabajo, que presentará a la Conferencia de Bahía Blanca.

*ca-

slgue en la pág. 23

18 19

ción nos permite dejar de lado gran parte del contenido tradicional que ya no se considera útil y elegir como básicos conceptos más generales y más unificadores.

En tercer lugar, lo que ha mantenido a nuestra asignatura como disciplina fundamental del quehacer educativo es su utilidad. Nuestra instrucción sirve para desarrollar la capacidad de la mente humana en la observación, selección, generalización, abstracción y construcción de modelos y procedimientos para usarlos en la resolución de problemas de otras disciplinas. A menos que el estudio de la matemática pueda operar para esclarecer y resolver problemas humanos, su valor sería esca-

Cada año de estudios fue precedido por un curso de verano para profesores en ejercicio en donde se adiestró a 20 maestros prender la matemática y cómo enseñarla de modo de alcanzar los objetivos deseados. En el primer año de cada curso se requerían dos maestros en cada clase experimental -uno que observaba las reacciones de estudiantes y. maestros y otro que dictaba la clase. Periódicamente, estos maestros informaban a los consejeros de la experiencia sobre los resultados

posible hacer un cambio inteligente en la construcción curricular sin este desarrollo del siglo XX de la matemática pura. La matemática contemporánea puede describirse como el estudio de pares ordenados.

(Conjunto, Estructura)Por ejemplo, el álgebra elemental se con

vierte eventualmente en el estudio del Conjunto de los números reales y su estructura de orden, densidad, operaciones binarias y funciones. La geometría es el estudio de espacios como (Conjunto, Estructura), en los que el conjunto es una colección de elementos denominados puntos, con ciertos subconjuntos definidos, y la estructura es la de coincidencia, "estar entre", paralelismo, perpendicularidad y transformación.

de la enseñanza. En el verano siguiente, el curso fue evaluado y vuelto a escribir con el objeto de contemplar todas las críticas o los tropiezos habidos. Después de una segunda evaluación se le dio al curso su forma definitiva, y se lo dio a conocer públicamente. En esencia, cada curso fue probado durante tres años antes de alcanzar su forma definitiva. Los resultados fueron controlados con respecto a los objetivos de comportamiento y afectivos definidos en los objetivos generales del programa.

para com-

so. EL CONTENIDO DE LA MATEMATICA UNIFICADA DEL SSMCISEn síntesis, los objetivos del SSMCIS tienen por objetivos desarrollar en las mentes de los estudiantes el punto de vista contemporáneo con respecto a la naturaleza y estructura de la matemática, dando abundante provisión de conocimientos y destrezas útiles y capacitando a los estudiantes para resolver problemas mediante modelos matemáticos.

Los fines de la instrucción matemática escolar

La matemática que hoy enseñamos a nuestros estudiantes debe ser apropiada para sus necesidades en la sociedad en que ellos han de vivir mañana. De ese modo, la matemática que enseñamos debe reflejar la manera en que se concibe contemporáneamente el asunto. Para esta finalidad, debemos en primer término preocuparnos por la formación del intelecto —la capacidad de pensar cognoscitivamente. Lo que enseñamos debe desarrollar la mente humana en su capacidad de comprenson e interpretación de situaciones numéricas espaciales y lógicas del universo físico y de la vida, y encarar problemas con actitud científica interrogadora y analítica. Todos nuestros estudiantes deben llegar a saber qué es la matemática tal como la conciben los matemáticos de hoy, de qué ingredientes se ocupa, qué tipos de pensamientos emplea (no sólo el axiomático), qué consigue y cómo está invadiendo casi todos los demás dominios de la actividad humana. Este es el primer objetivo del programa SSMCIS.

Por supuesto que nuestra instrucción debe tener también una dimensión "informativa y de destreza", por cuanto está encargada de trasmitir de una generación a la siguiente ese conocimiento y destreza heredados que se considera básico y útil para ser usado en los años futuros. Esta información debe adquirirse durante el proceso de desarrollo del pensamiento matemático. Esta meta de la instruc-

El estudio del álgebraEl estudio del álgebra comienza por aritmé

ticas finitas, como los números de un reloj, y desarrolla las nociones fundamentales de operación, conmutatividad, asociatividad, elemento idéntico y elemento inverso.

Además de las operaciones binarias tradicionales de la adición, multiplicación, potenciación, y sus inversas, se examinan otras operaciones, por ejemplo, las de máximo, mínimo, pitagórica, m.c.m., m.c.d., punto medio, punto tercio, composición, etc. En todo momento se señalan los conjuntos de números, puntos o elementos que constituyen un grupo. A su vez, los sistemas de números —naturales, enteros, racionales, reales y complejos— se introducen semiformalmente y asociados con las estructuras de grupos, anillos y cuerpos. En el 9o año se introducen las matrices, con ilustraciones sobre sus muchos usos, por ejemplo, como operadores trasformadores de puntos de espacios bi y tridimensionales.

Después de estudiar las correspondencias de diversos conjuntos (números sobre una linea recta, elementos en un plano etc.) se desarrollan funciones en cada uno de los distintos sistemas numéricos. Se examinan operaciones con funciones y gráficos de funciones. Se cogen funciones especiales para un tratamiento más intenso, por ejemplo, las funciones poli- nómicas (en particular, las cuadráticas), las funciones racionales, las funciones trigonométricas (2 clases), las funciones logarítmica y exponencial, las funciones idéntica e inversa.

Toda esta álgebra se ha de emplear intensivamente en el desarrollo del cálculo infinitesimal.

El programa de geometríaTiene un lugar prominente e importante en

el SSMCIS. En el mismo no queda nada del tratamiento usual de la geometría euclidiana sintética. Hay una revisión de las figuras lineales comunes en el plano, medición de segmentos y ángulos, el empleo de coordenadas en una recta y en los puntos reticulares en un plano. Se introducen las transformaciones del plano como biyecciones mediante el uso de dibujos, plegados del papel, espejos y recursos físicos. Las simetrías con respecto a una recta y a un punto, las traslaciones, las rotaciones (medios giros), y las reflexiones con deslizamiento, con su propiedad de conservación, conducen a los grupos de isometrías. A su vez, estas transformaciones se emplean para desarrollar muchas de las propiedades de la geometría plana euclidiana. También se introducen las dilataciones y se las relaciona con la semejanza. Subsiguientemente se estudian las transformaciones en un plano de coordenadas y se las relaciona con los operadores matriciales 2X2.

El esquema de la experienciaCon el objeto de iniciar el desarrollo de un

currículo que cumpla los objetivos mencionados, un grupo de distinguidos matemáticos y docentes de matemática de Europa y América convinieron en confeccionar un diagrama de programas y planes para jóvenes de 11 Vi a 17 años. Las ideas de conjuntos, relaciones, correspondencias y operaciones debían constituir la base del programa. Sobre estos conceptos fundamentales se construyeron las estructuras, grupo, anillo, cuerpo y espacio vectorial. Las realizaciones de estas estructuras —los sistemas numéricos y las varias geometrías— estaban en la raíz del enfoque en espiral, y todas las actividades que se producen en los sistemas numéricos y en las geometrías contribuyen a formar los conceptos y usos importantes de la matemática. Esta organización unificada no sólo permite que se estudie el cálculo infinitesimal en el undécimo y duodécimo años de estudios, sino que también permite el estudio de aplicaciones auténticamente modernas de las probabilidades, estadística, problemas de computación, programación lineal, análisis numérico y la aplicación usual del cálculo infinitesimal a la mecánica y a la cinemática.

es-Se desarrolla en el 8o año una geometría

plana afín sintética axiomática, con tres axiomas y varias definiciones, a partir de las cuales

prueban de 15 a 20 teoremas. Se dan modelos finitos (4 puntos, 9 puntos, estructuras de comisiones) y los teoremas interpretados

se*

2021

i

nir limites (en un punto) sin recurrir siones. Las derivadas de las funciones se enfocan mediante aproximaciones lineales de los gráficos de las funciones, seguidas por el desarrollo usual de la técnica, teoría y aplicaciones de la diferenciación. Se introduce el cálculo integral mediante sumatorias de áreas rectangulares limitadas por una función en intervalos divididos en partes. El programa de análisis tiene así un enfoque contemporáneo y contiene todo el material exigido por los exámenes de ingreso a la universidad (aunque esto no constituye un objetivo de nuestro programa).

Probabilidad y estadísticaAparecen como capítulos de enseñanza en

todos los años, del 7o al 12°. El estudio comienza con un enfoque a posteriori que registra la ocurrencia de resultados en experiencias, su frecuencia relativa y la asignación de una medida de probabilidad. Con dados, perinolas, monedas, etc., y suponiendo la uniformidad de resultados, se asigna una probabilidad a priori. La colección de datos numéricos y su representación gráfica mediante histo- gramas y polígonos de frecuencia, conduce a medidas de la tendencia central —modo, me diana, media aritmética -desviación típica y rango. Aquí se introduce la notación 2 y su uso. En el 9o año, se introduce la probabilidad de manera formal, con los axiomas de un cuerpo de probabilidad —el conjunto resultado, el conjunto de potencias, el espacio de probabilidad y la medida de la probabilidad. Los acontecimientos están relacionados con subconjuntos del conjunto resultado (el conjunto de potencias) y sus intersecciones. Las permutaciones y las combinaciones son tratadas lo suficiente como para proveer de material a los problemas de probabilidades.

En el 10° año se extiende el estudio a la probabilidad condicional, de la que surgen los conceptos de sucesos dependientes e independientes, el teorema de Bayes, variables al azar y una gran expectativa matemática. En el 5o y 6o curso el estudio de la probabilidad incluye muchas aplicaciones auténticas del tema —simulación, experiencias de Bernoulli, distribución binomial y cadena de Markov. La teoría incluye el espacio de probabilidad infinita. Un folleto sobre Distribuciones Estadísticas con comprobación de hipótesis contiene un estudio original del uso de las distribuciones de Poisson, exponencial y otras.

a suce- Luego de un estudio de seis años habrá provisto a la vez de conceptos y destrezas en

(1) Una visión contemporánea del álgebra como estudio de las estructuras, sus realizaciones en los sistemas numéricos y las actividades derivadas de ella. Preparará a los estudiantes que ingresarán en la universidad para comer zar el estudio riguroso del álgebra abstracta y del espacio vectorial a nivel universitario.

(2) Una visión moderna de la geometría como estudio de espacios eventualmente relacionados con estructuras algebraicas, especialmente los espacios vectoriales y el álgebra lineal. Este debe ser un conocimiento corriente para los hombres del futuro, legos en la mate-

por esos modelos. Luego, se extiende esta geometría al plano afín de coordenadas, e informalmente a la geometría afín tridimensional. Hay unidades en las que se estudia la medida de áreas y volúmenes de regiones geométricas comunes, y se realiza un estudio informal del espacio euclidiano tridimensional. Nuestros alumnos estudian el espacio mediante transformaciones, coordenadas, métodos sintéticos y vectores. Estos últimos hacen su aparición a través del álgebra lineal.

El programa de álgebra linealEste programa es nuevo en la matemática

de la escuela secundaria. Este estudio comienza con el álgebra de matrices, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método Gauss-Jordan, que luego se adapta a un algoritmo tabulado. Se expresan los sistemas en notación matricial. Inicialmente se introducen los vectores como pares ordenados, ternas ordenadas o, en general, n-ernas de números reales ordenadas. La adición y la multiplicación escalar de vectores conduce a la geometría de rectas afines y vectores en un plano, y luego a la de rectas y planos en el espacio tridimensional (o en el espacio n-dimensional). Este estudio culmina en la definición de una estructura de espacio vectorial abstracto que exhiben muchos modelos estudiados anteriormente. Este primer enfoque se completa con el estudio de los subespacios. Se da una interpretación gráfica a la resolución de problemas de programación lineal.

El estudio prosigue volviendo a las ecuaciones lineales representadas en forma paramétri- ca, la eliminación de los parámetros para obtener la forma normal y viceversa. Luego, se examinan sumas lineales o combinaciones lineales, la generación de espacios, dependencia lineal e independencia, bases y dimensión. En todo este estudio sirve como ilustración un espacio vectorial afín geométrico asociado. Al introducir el producto interno se define la ortogonalidad, se desarrollan las funciones de la normal y la distancia y se obtiene el espacio vectorial euclidiano de dos o tres dimensiones. En el 11° año un capítulo final desarrolla las correspon