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□ Q □■ n nTecnología educativa

en la matemáticaEn este número:

Pag.- Pág.

0 La enseñanza de la matemática(L. Campedelli) ...................... 18

Foto de L. Euler ........................ 4 Un libro importante (AL Sadosky) 23La lingüistica y la matemática (F.

Speranza) .............5 Eseritos (Ai. Dumont)

Carta al lector

La tecnología educativa en la en­señanza de la matemática (R. T. Heimer) ...............................

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Argentinos de empresa

en una empresa

argentina

¿ Qué pasaría

si esta pieza

llegara a faltar?. ' ■’N.

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‘Hombres y mujeres que dedican su esfuerzo diario a una tarea común de gran trascendencia económica y social.Ledesma, operado por dirigentes, técnicos y obreros argentinos, constituye un factor fundamental en el desarrollo del noroeste argentino.

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Si su calculadora

es Cifra, nada.Porque nunca faltará un repuesto Cifra.

Ni la atención posventa.Ni el respaldo de Fate Electrónica.

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CONCEPTOSDE MATEMATICAP.fntrO HF ALTOS ESTUDIOS EN CIENCIAS EXACTAS

CAECE AÑO XV — Julio-Agosto-Setiembre 1981 — N° 59CONCEPTOS DE MATEMATICAPUBLICACION TRIMENSUAL

©10 ESTABLECIMIENTO UNIVERSITARIO PRIVADO

AUTORIZADO POR DECRETO DEL PODER EJECUTIVO NACIONAL N• 2227/68 CONFORME A LO ESTABLECIDO

EN EL ARTICULO 7o DE LA LEY N° 17604

Redacción y Administración-Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A. 1121 Buenos Aires.

CARTA AL LECTOR

AÑO LECTIVO 1981ABIERTA LA INSCRIPCION Director - Editor

JÓSE BANFI* De acuerdo con lo anteriormente informado, cumplimos en enviarle, con bastante antelación, el N° 59 de “Conceptos de Matemática”.

• Calculista Científico• Investigador Operativo• Licenciado en Sistemas• Doctor en Sistemas

* Hemos tratado de mantener cuidadosamente la calidad de nuestras anteriores publicaciones, y para ello hemos recurrido a autores de reconoci­do prestigio: R. Heimernos escribe sobre tecnolo­gía educativa; de M. Dumont publicamos extracto de diversas publicaciones suyas; L. Cam­peeielli se ocupa de problemas de la enseñanza de la matemática; F. Speranza trata de problemas lingüísticos relacionados con la matemática y M. Sadosky hace un minucioso análisis del último libro de uno de los más importantes propulsores de la enseñanza de la matemática de tiempo: el recientemente desaparecido E. C. Begle.

COMPUTACION

Y SISTEMAS Suscripción Anual: Argentina $ 60.000. Exterior 20 dó­lares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o bancarios sobre Bs. As. deben ser extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATE­MATICA.

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• Profesor de Matemáticaw * Licenciado en Matemática Pura o Aplicada

PURA Y APLICADA • Doctor en MatemáticaMATEMATICA

• Estadígrafo• Licenciado en Estadística

Ejemplar suelto: $ 18.000 Ejemplar atrasado: $ 20.000 Exterior: $ 6 dólares.Para colaboraciones, números

atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse directamen­te al editor.

ESTADISTICA nuestro

• Profesor de Enseñanza Primaria• Profesor de Enseñanza Secundaria• Licenciado en Pedagogía• Psicopedagogo• Licenciado en Psicopedagogía

* Queremos dejar constancia de que, por un involuntario, en el número 56, al publicar el artícu­lo “Revistas de Matemática”, no hemos hecho alusión a la fuente de la cual hemos extraído los datos, que no es otra que la extraordinaria publi­cación al respecto hecha por el Dr. Gert Schubring con la colaboración de la profesora Jutta Richter, del Instituto de i a Didáctica de la matemática de la Universidad de Bielefeld, de Alemania Faderal, a quienes ofrecemos nuestras excusas a la vez que los felicitamos por la profun­didad del trabajo realizado.

* Los saluda cordialmente.

errorCIENCIASPEDAGOGICAS

Registro de la Propiedad Intelectual N° 1.037.530• Técnico Biólogo Universitario

• Profesor de Ciencias Biológicas• Licenciado en Ciencias Biológicas

(varias orientaciones)

CIENCIASBIOLOGICAS I Impreso en COGTAL

j Rivadavia 767, Capital

Turnos MAÑANA, TARDE y NOCHEinformes de 8,30 a 20,30 horas

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;JíINTERES GENERAL Concesión N° 8205

FRANQUEO PAGADO Concesión N° 2687I47-0425Belgrano 2211

EL DIRECTOR

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enseñanza de la matemática *Ralph T. HEIMER

(E.U.A.)

IntroducciónEste artículo tiene tres secciones: 1. Pa­

norama general de la tecnología y su impor­tancia en la educación matemática; 2 Aná­lisis critico de las tecnologías particulares, sus cualidades pedagógicas y tendencias acerca de su uso; 3. Pasado, presente y fu­turo del uso de la tecnología en la enseñanza de la matemática.

Ei propósito de la sección 1 es establecer el márco en el cual el artículo se va a de­sarrollar. Consideraremos, específicamente, las características especiales y las cualidades de la tecnología en general, con particular referencia a los diversos tipos de problemas educativos y pedagógicos que la tecnología, se supone, puede ayudar a resolver.

Los propósitos de la sección 2 son: (1) de­linear las cualidades pedagógicas y las limita­ciones de las tecnologías particulares; (2) in­formar sobre los esfuerzos importantes que se han hecho para aprovechar estas tecnolo­gías, con el propósito de mejorar algunos as­pectos de la educación matemática, y (3) in­tentar descubrir tendencias futuras impor­tantes referentes al papel o papeles de estas tecnologías en el aula.

El propósito de la sección 3 es suministrar un análisis comprensivo y racional de ias ten­dencias actuales en el uso de la tecnología educativa en las clases de matemática. Este análisis tendrá en cuenta el uso de multime- dios, tipos y niveles de la matemática para los cuales el uso de la tecnología parece más apropiado, las actitudes maestro-alumno con respecto al uso de la tecnología y otras consideraciones importantes.1. Panorama general de la tecnología y

su importancia en la educación mate­máticaEn este informe, interpretamos la tecnolo­

gía educativa como "... los medios nacidos de la revolución en las comunicaciones, que pueden ser usados para la enseñanza al lado

del maestro, el libro de texto y el pizarrón" (Tickton, 1970). La razón de ello es que los medios considerados, incluyendo filmes, ti­ras fílmicas y diapositivas, televisión y com­putadoras, han entrado en la educación de manera independiente, y todavía es más co­mún que operen separadamente que en combinación. . .

El libro fue el avance tecnológico de ma­yor importancia desde hace cinco siglos y de la misma manera que su influencia en la edu­cación se dejó sentir desde sus principios, muchos educadores opinan que los actuales desarrollos tecnológicos, sobre todo lob re­ferentes a las computadoras, van 3 ejercer un impacto igual o mayor en la empresa edu­cativa. El motivo de este optimismo es e. one- cimiento continuo de las cualidades pedagó­gicas de las nuevas tecnologías, tópico que ha sido discutido extensamente por Green (1972) y otros. Las principales cualidades de los medios tecnológicos, se pueden resumir como sigue

1. Pueden hacer cosas, como crear si­tuaciones de aprendizaje, que no se pueden hacer de otra manera (por ejemplo, llevar a la clase sucesos de la vi­da diaria);

2. Puedén usarse para presentar infama­ción de diversas maneras, entre las cuales se pueden elegir ¡as que mejor se adaptan a los objetivos del aprendizaje;

3. Variando los medios, la información puede presentarse a grupos de distintos

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( * Este articulo fue redactado por el autor según su di sertación en el Tercer Congreso Internacional de KaM sruhe, Alemania Federal, en 1976. teniendo en cuenta las observaciones de un panel compuesto por J. Chas- tenet de Gery (Francia). M. Fiedler (Checoslovaquia). W. Fraunholz (República Federal de Alemania). J. Hun- ter (Gran Bretaña). D. R. Lichienberg (E.U.A.), M. Quere (Francia), S Schuster (E.U A.) y H. Stever (Re­pública Federal de Alemania).A

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(c) Análisis-tendencias.2.1.2 Tiras, fílmicas, diapositivas, "cassettes", cintas de video grabadas.(a) Características pedagógicas y considera­ciones.(b) Exposición general de los progresos reali­zados.(c) Análisis-tendencias.2.1.3 Televisión-radiovisión.(a) Características pedagógicas y considera­ciones.(b) Exposición de progresos importantes y usos.(c) Análisis-tendencias.

2.2. Las tecnologías educativas relacionadas con computadoras2.2.1 Enseñanza realizada por computado-

tamaños, desde individuos a audiencias nacionales, y también simultáneamente en ambas.

4. Pueden hacer el aprendizaje más efecti­vo aumentando el realismo, la dinámica y el impacto de la información, pueden aumentar la motivación para aprender;

5. Algunos medios, como la televisión, pueden hacer que los mejores maestros y las mejores situaciones del aprendizaje, puedan ser asequibles a más alumnos de lo que sería posible de otra manera;

6. Pueden extender los límites de las si­tuaciones del aprendizaje, reforzando y extendiendo las experiencias y los cono­cimientos básicos del maestro y del alumno. Además, pueden superar los lí­mites impuestos por la escuela y su si­tuación geográfica;

7. Pueden permitir la individualización del curriculum, presentando la misma infor­mación, o variantes de ella, a alumnos distintos en momentos diferentes;

8. Pueden permitir a los alumnos trabajar sin la guía o supervisión del maestro, li­berando al maestro de su presencia,

9. Pueden, en algunos casos, emplearse para dar información directa a algunas personas en un período de tiempo menor que el convencional;

10. Algunos objetivos educativos pueden ser alcanzados de manera más económi­ca usando medios tecnológicos que con los medios convencionales,

11. Su uso obliga a los educadores a exami­nar sus metas y objetivos con más dete­nimiento que antes.

Ningún medio tecnológico posee, sin em­bargo. todas estas cualidades Cada medio individual tiene sus posibilidades y sus limita­ciones pedagógicas especiales, de lo cual debe tener conciencia el maestro para ha­cer un plan correcto sobre su uso, sea aisla­damente. sea en combinación con otros me­dios. La sección 2 trata este punto, junto con el análisis de los esfuerzos realizados y de las tendencias actuales en el uso de las nuevas tecnologías.

2. Análisis crítico de las tecnologías par­ticulares, sus cualidades pedagógicas, y tendencias acerca de su uso

2. 7. Las tecnologías educativas no rela­cionadas con computadoras2.1.1 Filmes(a) Características pedagógicas y considera­ciones.(b) Algunos progresos importantes.

presentar en el aula, pueden mostrarse por medio de filmes . El filme "Simetrías del cu­bo", por ejemplo, hace posible el estudio del cubo y del octaedro regular y de su grupo de simetrías a través de reflexiones en un ca­leidoscopio octaédrico. Los caleidoscopios de precisión son raros, muy caros y difíciles de construir. Por tanto, el filme lleva a la cla­se lo que de otra manera los maestros no podrían conseguir. La película, hecha con computadoras, sobre "Curvas que llenan el espacio" presenta la construcción, a paso, de dos ejemplos notables de que pasan por todos los puntos de un cuadrado.

Las imágenes en movimiento ofrecen ven­tajas pedagógicas especiales que provienen de su característica esencial, la de crear la ilusión del movimiento. Los fenómenos diná­micos y la geometría con ellos relacionada, son por tanto temas ideales para ser estu­diados mediante películas Las técnicas de animación y detención del movimiento pueden ser utilizadas en muchos tipos de representaciones gráficas Varios e intere­santes ejemplos a este respecto pueden ver­se en "Los siete puentes de Koeniqsberg" que usa los dibujos animados para pro­bar cómo un modelo matemático, un grafo, puede obtenerse por abstracción de problema concreto; en "cuatro crónicas", que usa el movimiento para engendrar una familia de cónicas dependiente de un parámetro y mostrar infinitas curvas en po­cos segundos; en "Posiblemente asi, P/tágo- ras", que muestra con movimientos có­mo se transforman unas regiones en otras; y en "Topología" que muestra un montón es­férico de arcilla que va cambiando de forma: primero se convierte en un vaso, luego en una torta, un gusano, un hongo y finalmente en un cubo, lo que constituye un claro ejemplo de equivalencia topológica. Final­mente, observemos que la disponibilidad del movimiento permite mostrar y usar el papel de la continuidad en geometría. Ejemplos de estos aparecen en "Posiblemente así, Pitá- goras" y en "Proyecciones ortogonales" En la primera de estas películas, el movi­miento se usa para mostrar un triángulo que se transforma de manera que sus ángulos crezcan continuamente de O a "p¡"; el es­pectador se convence firmemente de que en algún momento el triángulo debe haber sido rectángulo. En la segunda película, el interior de una elipse se transforma continuamente de manera que su eje mayor va disminuyen­do hasta cero, mientras que el eje menor permanece constante; la escena muestra

claramente que en algún momento la región debe haber sido circular

Más recientemente se han producido pelí­culas fotografiando resultados obtenidos por una computadora. Esta técnica parece pres­tarse muy bien para producir películas que muestren las características y el comporta­miento de ciertas funciones. Otros aspectos de la tecnología con figuras móviles, que tienen importancia pedagógica, son las fo­tografías con larga exposición y la microci- nematografía. Como ejemplo de esta última, los alumnos resultan fascinados al compro­bar cómo manipulan la cera las abejas en la película "Matemática de la colmena", en la cual se muestra, además, cómo las abejas minimizan la cantidad de cera necesaria para construir su colmena

Aunque las películas tienen muchas ven tajas desde el punto de vista pedagógico, tienen también sus limitaciones. En general se puede decir que las películas no proveen ambientes de apréndizaje que sean respon­sables o adaptables. Es decir, ellas no sirven pa­ra aceptar o responder preguntas de los alum­nos, ni para hacer ajustes sobre la marcha, basados en las reacciones de los alumnos es­pectadores. En consecuencia, las películas no pueden considerarse como sustituías ae una clase, sino más bien como preparatorias o ampliadoras de las actividades comunes. Debe darse a los alumnos información sobre lo que se espera de la película, y después de verla deben tener oportunidad de discutir su contenido. En otras palabras, el maestro ex­perimentado debe usar las películas como un trampolín para estudios posteriores.

La incorporación de películas a la ense­ñanza, necesita bastante preparación y pla­neamiento de parte del maestro. Además, debe conocer la manera de operar y poner en marcha el equipo de proyección, todo lo cual ha frenado un poco el uso de las pelícu­las como medio de enseñanza. Afortunada­mente, el desarrollo de los proyectores para películas de 8 mm., realizado en los años 60. ayudó mucho al problema. Cargar un pro­yector a cartucho consiste simplemente en colocar el cartucho que.contiene la película en el dispositivo correspondiente, y la pelícu-

. la ya está dispuesta para su proyección. Además, la película se enrolla nuevamente de manera automática, de manera que no existen problemas de ajuste y de •enrosca­miento. Los cartuchos pueden contener pelí­culas cuya duración oscila entre cuatro y treinta minutos. Algunos proyectores son de pantalla delantera, mientras que otros usan proyección hacia atrás, con la ventaja.

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ras.(a) Características pedagógicas y considera­ciones.(b) Exposición de progresos importantes.(c) Análisis-tendenciaá.2.2.2 Enseñanza ayudada por computado­ras.(a) Características pedagógicas y considera­ciones.(b) Exposición de los principales progresos.(c) Análisis-tendencias.|(a) Características pedagógicas y considera­ciones

Los que propugnan los filmes o películas como medio pedagógico tienen varias razo­nes para el uso de imágenes en movimiento en la clase, y muchas de estas razones valen lo mismo para la enseñanza de la matemáti­ca que para cualquier otra materia.

Como lo sabe muy bien todo maestro, el problema de la motivación es fundamental en la enseñanza de la matemática. No hay duda de que un filme bien hecho puede ha­cer mucho para suscitar el interés de los alumnos y crear un ambiente de interés en la clase, muy difícil de lograr por otros medios. Ejemplos de filmes qúe deben ser valoriza­dos por sus cualidades motivadoras, son los treinta filmes de la serie intitulada "Matemá­tica elemental para maestros y alumnos", producidos por el National Council of Te- achers of Mathematics en cooperación con la General Learning Corporation, ambos de los' Estados Unidos de América •

Las imágenes en movimiento dan también la oportunidad para presentar a los alumnos experiencias que de otra manera no podrían conocer. Muchos fenómenos raros y a veces únicos, que de otra manera sería imposible

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ocupó de producir películas destinadas a la enseñanza de la matemática. En uno de sus proyectos, produjo una serie de 14 dibujos animados destinados a las primeras clases introductorias al cálculo infinitesimal. Algu­nos de sus títulos son los siguientes: "Una función como representación", "Límites", ",Area limitada por una curva " y "Teorema del valor medio". La MAA filmó también una serie de clases dadas por matemáticos pro­minentes. Ejemplos de películas de esta serie son: "Enseñemos a conjeturar", en la cual el

• profesor George Polyá dicta una clase para alumnos universitarios destinada a descubrir el número de partes en que el espacio queda dividido por cinco planos arbitrarios; "Desa­fiando conjeturas", en la cual el profesor R. H. Bing expone la historia y los fundamentos de cinco problemas clásicos; "Medida y teo­ría de conjuntos", en la cual el profesor Sta- nislaw Ulam define el concepto de medida y considera cuestiones de existencia y unici­dad con ella vinculadas y "Teoría del apare­amiento y teorema del matrimonio" por Giancarlo Rota.(c) Análisis-tendencias

Dibujos animados destinados a la clase han existido desde hace unos cincuenta años, pero hay que reconocer que hasta la fecha no han tenido gran aceptación por parte de los maestros. Posiblemente, la ma­yoría de los maestros en actividad, no han usado nunca una película en sus clases Sin embargo, el número de películas dispo­nibles, parece crecer continuamente. Por ejemplo, en los Estados Unidos de América, el National Information Cerner for Educa- dona! Media (NICEM), que funciona en la Universidad del Sud de California desde 1966, ha computado bancos de datos de los cuales publica volúmenes con referencias para la enseñanza media. En su primer "Indi­ce de películas educativas de 16 mm " señala aproximadamente 500 títulos en el campo de la matemática, y en la quinta edición del In­dice aparecen ya tres veces más. Por otra parte, el último "Indice de dibujos animados de8mm", publicado por el NICEM en 1974, contiene más de 1000 títulos en el área mate­mática. Un detallado examen de los datos anteriores indica que el sector comercial de la empresa educativa está prestando mucho interés al mercado de películas, yr al mismo tiempo, que el uso en las aulas es cada vez mayor, aun cuando todavía no sea muy sig­nificativo. Otra tendencia posible es el de­sarrollo del uso de películas engendradas por computadoras. Un proyecto en tal sentido

en general, de necesitar menos obscureci­miento para la proyección. La mayoría de las películas a cartucho son mudas, pero las hay también sonoras, por medios ópticos o mag­néticos.

La mayoría de las películas a cartucho son cortas y son ideales para una sola persona o pequeños grupos. La simplicidad de opera­ción dq los proyectores a cartucho hace que puedan ser operados por los mismos alum­nos de la escuela. Por otra parte, como la película vuelve automáticamente al car­tucho, el alumno que lo desee puede verla las veces que quiera. Además, los cartuchos pueden guardarse en cajas especiales, y por tanto ser accesibles a los alumnos como los libros de una biblioteca u otros materiales de aprendizaje También se pueden transferir a "cassettes" las películas de 16 mm, con las mismas facilidades operativas que los car­tuchos. El futuro desarrollo de los video­discos. ofrecerá posibilidades del mismo ti-

existe en el Garitón College, titulado "Gráficos de computadoras para aprender matemática". Incluida en este proyecto, existe una colección de 33 películas de 8 mm.

la respuesta es correcta, suena una chicharra.

Algunas de estas tiras están coordinadas con un disco o una cinta sonora, lo cual enri­quece el poder de aprendizaje. Individual­mente o en grupos, los alumnos pueden usar esta combinación, de la misma manera que se dijo antes, para las películas de dibujos animados. El sonido que acompaña a la tira está dado en general por una cinta, tipo "cassette", colocada en un envoltorio de 6 cm. por 10 cm. Tira y sonido-se suelen ven­der separadamente y muchas veces se coor­dinan con otros materiales educativos, como folletos de estudio. Es típico que los alumnos escuchen las cintas grabadas y tomen nota en un cuaderno al estilo clásico.

Prácticamente todo lo dicho acerca de las tiras fílmicas se aplica a las diapositivas de 35 mm. Los proyectores de diapositivas son re­lativamente baratos, aunque es posible que requieran un poco más de cuidado que los proyectores de tiras. Si bien el almacenaje y tratamiento de las diapositivas es un poco más complicado que el de las tiras, la tecno­logía de las diapositivas tiene la virtud espe­cial de permitir cambios y añadidos en las se­cuencias preparadas para tratar determina­dos temas. Algunos profesores, además acostumbran a preparar sus propias oiaposi- tivas de 35 mm de suficiente calidad(b) Exposición general de los progresos reali­zados

Aparentemente, ios esfuerzos sumados de varios grupos, dedicados a la elaboración de curricula, para la producción de películas, no han sido acompañados por la producción de tiras fílmicas, diapositivas, cintas graba­das o cintas televisivas, para ser usadas so­las o en combinación. Tal ciertamente, es el caso en los Estados Unidos de América. Entre los esfuerzo? más notables realizados en otras partes del mundo existen tres pro­yectos importantes, a nivel universitario, que están en marcha en el Reino Unido. Ellos son:(1) Desarrollo de una serie de cintas graba

das para auto-ayuda en la enseñanza de la matemática para alumnos de primer año de la Universidad de Edinburgo.La idea es complementar el material de lectura, pero no sustituirlo.

(2) Desarrollo de tiras tilmicas y cintas gra­badas, en el departamento de matemáti ca de la Universidad de Glasgow.Se trata de complementar los materiales del CAL (Computer-Assisted Learning),

Para terminar este aspecto del informe, debemos señalar que el problema de la cali­dad en las películas matemáticas ha sido per­manente y es posible que haya influido un poco en contra de su expansión. A pesar de esta circunstancia, la tendencia ha sido siempre producir películas cada vez de más alta calidad, lo cual posiblemente se deba a que en tal empresa han participado muchos matemáticos y educadores matemáticos, tanto en su diseño como en su supervisión.

2.1.2 Tiras fílmicas, diapositivas, "cassettes", cintas de video grabadas(a) Características pedagógicas y considera­ciones

Una tira fílmica es una colección de cuadros sin movimiento en una tira de 35 mm Normalmente hay entre 25 y 60 cuadros en una tira. Estas tiras son relativamente ba­ratas y por su reducido tamaño no necesitan mucho espacio para ser guardadas. El equipo de proyección es también de bajo costo, fácil de transportar y de operar y, en general, de larga duración.

Parece que los profesores de matemática hacen más uso de las tiras fílmicas que de las películas con movimiento (películas cinema­tográficas), lo que puede atribuirse a que las primeras son más baratas y fáciles de guar­dar y también de usar. Otra posible razón es que muchos temas de matemática deben de­sarrollarse en un orden particular, y, en las ti­ras fílmicas, cuando un cuadro necesita más tiempo o se quiere hablar más sobre el mis­mo, el profesor puede parar la proyección, e incluso volver atrás si es necesario. Otra ven­taja de estas tiras es que pueden servir de ayuda a la clase, en el caso de figuras cuyo dibujo en el pizarrón puede ser demasiado complicado. Se puede razonar sobre una fi­gura proyectada en vez de tener que dibu­jarla en el pizarrón.

Las tiras fílmicas son flexibles, esto es, pueden usarse para toda la clase y también individualmente. En este caso, algunas tiras han sido construidas de manera que permi­tan respuestas del alumno. El procedimiento consiste en que el alumno responde a un cuestionario de elección múltiple que apare­ce sobre una pantalla, apretando un botón conveniente del aparato de proyección y, si

po.<b) Algunos procesos importantes

La mayoría de las películas matemáticas importantes que actualmente se pueden conseguir, fueron producidas durante los úl­timos veinte años, y muchas de ellas han si­do producidas por organizaciones de mate­máticos profesionales o grupos dedicados al desarrollo curricular, o, por lo menos, han si­do patrocinadas por alguna institución de es­te tipo.

En los Estados Unidos de América, un am­bicioso proyecto para elaborar películas fue emprendido en los años 1960 por el National Council oí Teachers gf Mathematíes (NC- TM), en cooperación'con la Genera! Lear­ning Corporation. El contenido matemático de las películas fue elaborado por un grupo consultivo del NCTM, pero se dio a los pro­ductores ampio libertad para decidir como debían ser representadas las ideas básicas. Las películas fueron pensadas para alumnos de grados 3 a 8. El resultado fue un conjunto de 30 hermosas películas, en que los con­ceptos matemáticos se presentan en forma de dibujos animados. La duración de las pelí­culas varía entre 6 y 30 minutos. Junto con estas películas destinadas a los alumnos, se produjeron otras doce para los estudios de los futuros profesores. En estas últimas se discuten importantes conceptos matemáti­cos y se incluyen ejemplos de situaciones que se presentan en la enseñanza real en cla­se.

Durante los años 1960, la Mathematical Association of America (MAA), también se

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para las películas, la incorporación de la tele­visión a la clase, requiere una preparación y

programación cuidadas por parte deipara alumnos del primer año de matemá­tica en la Universidad de Glasgow.

(3) Cursos con cintas grabadas televisivas del departamento de matemática de la Universidad de Strathclyde (Glasgow). Este proyecto se basa sobre cintas graba­das televisivas (video tapes) de clases es­peciales dadas en un estudio, sin audien­cia. Se han preparado vanos cursos completos, en particular, el muy numero-

de matemática para los alumos

vas y material impreso para el uso en la cla­se, es de importancia creciente, y promete

medio efectivo para llegar a alumnos de áreas apartadas, fuera del alcance de otros medios básicos de comunicación. La radiovisión necesita esencialmente los mis­mos tipos de medios auxiliares que hemos descrito para la televisión.

(b) Exposición de progresos importantes y usos

sarrollado programas de matemática por te­levisión para las escuelas elemental, secun­daria y preuniversitaria y también de radio para la escuela secundaria superior. En los Estados Unidos de América, el Educational Development Cerner ha desarrollado programa experimental de matemática (pro­yecto uno) que consiste en sesenta y cinco medias horas de programas de televisión, destinados a la escuela elemental; estos programas fueron lanzados al aire en otoño de 1976 desde seis grandes ciudades de los Estados Unidos de América. También en es­te país hay que mencionar que la Universi­dad de Maryland ha preparado treinta y seis medias horas de televisión, destinadas a apoyar la enseñanza de los cursos de mate­mática para biólogos y ciencias sociales En Hong Kong, según Marjorie J. McGilvrey (1976). existe ". . .la mejor organización de televisión y la base educativa más profunda que he visto en todo el mundo, zando a 335 000 alumnos de primera ense­ñanza por semana"

(c) Análisis-tendenciasEn las Actas de la Tercera Conferencia In­

ternacional sobre Radio y Televisión Educati­vas, de 1967, se afirmó que los usos de la ra­dio y televisión para fines educativos esta­ban en aumento, tanto en el número de programas como en el número de maestros y profesores que tenían deseos de utilizarlos. Actualmente hay pocas dudas acerca de tai afirmación. Aunque la mayoría de esas acti­vidades han tenido lugar en los llamados países desarrollados, parece haber motivos para creer que la radiovisión y la televisión, tai vez en este orden, habrán de jugar un im portane papel en el desarrollo de los siste­mas educativos de los países en desarrollo-, en los cuales se busca un rápido progreso de la educación.

unaser unprofesor.

Sin embargo, las consideraciones pedagó­gicas referentes al uso de la televisión en las clases, son un poco diferentes de las corres­pondientes al uso de películas. Como ha dicho-Bending (1970): "La película es un me­dio que es usado por el profesor y está bajo su control. La televisión, a nivel nacional, es un medio que usa al profesor" La cuestión es que el profesor o la escuela que desean hacer uso de la televisión, deben acomodar

horarios a los de la estación emisora y, generalmente, deben rellenar algunos aspec­tos educativos de los programas emitidos. Esto hace que la televisión impónga cierta ri­gidez a la estructura de la clase y del profe­sor. Una consecuencia importante de este hecho, es la necesidad de gran cantidad de material de clase para apoyar las audiciones de televisión. A este respecto, en las Actas de la Tercera Conferencia Internacional sobre Radio y Televisión Educativa (1967), organi­zada por la Unión Europea de Radioemiso­ras, se menciona que la filosofía y las aspira­ciones de las exhibiciones, aisladas o en se­rie, deben ser provistas por materiales a dis­posición del profesor y, por tanto, hay que dar la lista de estos materiales junto con di­rectivas para la preparación previa de la cla­se, lista del vocabulario no corriente que se va a usar, soluciones de los problemas pro­puestos, indicaciones sobre ampliaciones fu­turas, etcétera Además se dijo que los ma­teriales para el alumno deben incluir vistas para analizar y discutir, listas de libros para lecturas complementarias, textos para clases futuras, vistas que los alumnos puedan llevar a casa, material autocorregible programado

• si el profesor no está disponible, material de actividades para juegos o experimentos y co­lecciones de problemas

Debe insistirse también en que, debido al amplio impacto potencial que los programas de televisión pueden tener en el desarrollo educativo, es imperativo que se hagan inver­siones para asegurar la alta calidad de los programas desde el punto de vista del de­sarrollo curricular. De otra manera, se corre el peligro de difundir mediocridad en mayor escala que por ningún otro medio.

A primera vista, la importancia de la di­mensión visual para el aprendizaje y el uso de la matemática, hace pensar que la radio ha de tener menor impacto en la educación matemática. Sin embargo, el concepto de radiovisión, radio acompañada de diapositi-

un

so cursode primer año. Cada clase consiste en una primera parte de 20 minutos, un des­canso de 10 minutos para resolver dudas que contesta un miembro del personal docente que está presente en el aula, y una segunda parto de la película de otros 20 minutos. Las proyecciones están apo­yadas por notas, hojas de problemas, tu­tores, ejercicios y exámenes. El proyecto se inició en un momento en que era difícil conseguir profesores competentes, pero tuvo suficiente éxito como para ser conti­nuado aún en el presente, en que tal difi­cultad ha desaparecido.

Hay gran cantidad de proyectos en marcha, referentes a educación matemática, que hacen uso de la televisión o radiovisión Ellos se encuentran en muchas partes del mundo. En las Actas de la Tercera EBU Con­ferencia Internacional sobre Radio y Televi­sión Educativa (1967), figura una lista de ta­les programas, que fueron analizados en la conferencia La lista incluye programas de Dinamarca, Austria. Francia, Hungría. Irlan­da y Reino Unido

La British Broadcasting Corporation (BBC) ha estado particularmente activa en la producción de programas de matemática David Rosevare (1974) ha dicho que: "Desde 1957 ha habido cerca de 300 programas de matemática para las escuelas, distribuidos en 11 series diferentes de la televisión de la BBC. Esto no incluye repeticiones (lo que elevaría la suma a más de 1 000), ni a ningu­no de los otros educativos, como los de la Universidad Abierta (Open University) o ITV".

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alcan-

(c) Análisis-tendenciasLa quinta edición (1975) del NICEM "In­

dex to 35 mm Educational Fi/mstrips" trae una lista de 3.000 títulos referentes a mate­mática, que cubren prácticamente todos los temas desde el comienzo de los números hasta el cálculo. La mayoría de estas tiras ííl- micas ha sido fabricada a escala comercial y se adecúa para ser usada junto con otros materiales educativos, como libros de texto.

Como indica la naturaleza de los proyec­tos descritos, existe una marcada tendencia hacia el desarrollo de materiales multime- dios, aunque el movimiento no ha tenido hasta el presente uñ impacto significativo para la enseñanza de la matemática. El inte­rés relativamente limitado por estas cosas debe atribuirse principalmente a las deficien­cias en la formación de profesores, que no son instruidos de manera adecuada para el uso de la moderna tecnología. De todas ma­neras, los paquetes multimedios de aprendi­zaje tienen muchas cualidades y un natural atractivo, por lo que es fácil predecir para ellos un desarrollo creciente en el futuro.

Entre ios programas matemáticos produci­dos en los años recientes por la BBC en Inglaterra, se pueden mencionar "Maths Workshop" para niños de 9 a 11 años; "Mathshcw", para niños de 11 años; "Sta- t/stics in Perspective" y "Secondary Mathe- matics Individualizad Learning Experiments" (SMILE).

Otros países han montado recientemente importantes programas de televisión o ra­diovisión en matemática. Por ejemplo, en la República Federal de Alemania, donde Südwest-Funk de Badén-Badén, en coope­ración con el Instituí für Mediendidaktik at Erziehungswissenschaftiiche Hochschu/e, en Rheinland-Pfalz, ha desarrollado programas de televisión para alumnos de quinto y séptimo grado y tiene actualmente en desarrollo un programa para el octavo grado. En Brasil se ha desarrollado un multi- medio para la enseñanza de la matemática en la escuela secundaria inferior, que tiene a la televisión como uno de sus componentes esenciales. En Japón, la agencia guber­namental Nippon l-foso Kyokai (NHK) ha de-

2 2 Las tecnologías educativas relacionadas con computadoras

2.2.1 Enseñanza realizada por computadoras doras(a) Características pedagógicas y considera dones

Uno de los usos de las computadoras en educación que ha crecido más rápidamente es el conocido como "enseñanza realiza­da por conputadoras" (Computer manajed instruction, CMI). Como su nombre indica, este tipo de ayuda mediante computadoras utiliza la computadora como administrador:

2.1.3 Televisión-radiovisión

(a) Características pedagógicas y considera­ciones

Fundamentalmente, la televisión tiene los mismos fundamentos pedagógicos que las películas cinematográficas. Por tanto, como

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de las actividades del aprendizaje del alumno, como tests y entrevistas perso­nales con los instructores, además de re­gistrar los recursos disponibles para el aprendizaje. La computadora actúa co­mo una agenda.

11. Grados contratados. Capacidad para permitir a los alumnos especificar el con­tenido y nivel de los conocimientos que desean alcanzar dentro de ciertos límites prefijados por el instructor.

12 Tratamiento de mensajes. Capacidad pa­ra que los alumnos puedan dejar mensa­jes para el instructor y vice versa, táctica que asegura la interacción ad-hbitum de alumno-profesor.

En una valorización del CMI, Mitzel (1974) sugiere que hay tres niveles de aplicación:

En el nivel I la computadora es usada, a iniciativa del instructor, como receptora y despachante de información, para tabular y acumular sistemáticamente datos sobre cali­ficaciones, asistencia, resultados de tests A este nivel rudimentario de ayuda, el papel de la computadora es esencialmente el de susti­tuir a empleados y otros servicios de recolec­ción de datos. Al nivel II, la computadora es usada en el mismo sentido, pero con los da­tos obtenidos realimenta al alumno y al ins­tructor, proporcionándoles los datos requeri­dos según un programa establecido De esa manera, por ejemplo, la computadora infor­ma periódicamente al alumno, individual­mente, lo que necesita para superar las defi­ciencias que se han observado de acuerdo con las evaluaciones del instructor en las pruebas realizadas. Al nivel III se produce una real interacción entre la computadora y el alumno, obteniéndose diagnósticos y prescripciones para el alumno, basados en sus respuestas al material almacenado en la computadora.

Un examen de la lista precedente de fun­ciones que caracterizan al CMI y a su valora­ción de Mitzel, pone de manifiesto que el CMI está asociado con dos de las principales metas pedagógicas del quehacer educativo, a saber, responsabilidad e individualización de la enseñanza.(b) Exposición de progresos importantes

La experimentación de varios aspectos por el CMI ha sido muy extensa en los Esta­dos Unidos de Amérrca, y sigue progresando a una marcha difícil de valorar. En el otoño de 1974, tuvo lugar una conferencia interna­cional sobre el tema "Análisis de!potencial a corto plazo de la enseñanza realizada por

valorización de los progresos de los alum­nos, administración del aprendizaje en la cla­se, datos sobre los alumnos, recuperación de información, etc. son datos típicos que cae en la esfera del CMI.

Como ha señalado Alien (1975), el CMI puede pensarse como clase o categoría de funciones. Un resumen de estas funciones primarias, tal como ha sido señalado por Alien y otros, es el siguiente:

Características comunes:1 Almacenamiento de datos: información

sobre los alumnos, como datos persona­les. resultados de los tests, etc

2. Suministro de información basada en la conservación de datos, informes sobre los logros individuales o de grupos, etc.

3. Valoración detallada de la obra realizada. Para la evaluación de materiales de ense­ñanza- la valorización detallada del mate­rial auxiliar de aprendizaje para el alum­no, identifica los materiales de poca efi­cacia y, por tanto contribuye a seguir la evolución de las modificaciones en los programas de enseñanza.

4. Producción de tests. Construcción de tests adaptados a objetivos específicos del aprendizaje y al comportamiento an­terior de alumno.

5. Clasificación-puntaje de tests emple­ados.

6 Uso de resultados anteriores. Del análisis de los resultados del alumno en distintos tests se puede deducir información de­tallada acerca de los objetivos que han sido alcanzados y de los que no lo han si­do.

7. Conservación y recuperación de datos. Principalmente para el uso del profesor. Datos relativos a varios aspectos del sis­tema de enseñanza que pueden ser usa­dos con fines de evaluación.

Características avanzadas:8. Tests a medida. Métodos altamente sofis­

ticados para adoptar la estrategia de los tésts al "tiempo real", dependiente del desempeño de cada alumno, con lo cual se mejora la eficiencia de los tests.

9. Prescripciones para el estudio. Capaci­dad para producir una lista de recursos a los cuales el alumno pueda acudir en consulta para aprender determinados conjuntos de ideas. Las prescripciones se dan de acuerdo con los datos que se tienen del alumno.

10. Programación-distribución de recursos. Capacidad para ayudar a la coordinación

computadoras" y en las actas de la confe­rencia (Mitzel, 1974) se hace un resumen de 27 sistemas operativos del CMI, 9 de los cuales se refieren, parcial o exclusivamente, a matemática. Entre los proyectos men­cionados, el que ha tenido más amplia reper­cusión ha sido el PLAN (Program for Lear- ning in Accordance with Needs), proyecto que tiene un foco K-12, abarca las artes del lenguaje, estudios sociales y ciencias natura­les, además de matemática, y comprende corrientemente unos 60.000 alumnos, distri­buidos entre 24 estados y un país fuera de los Estados Unidos de América El sistema cumple las siguientes funciones:

1. Identificación y valoración del nivel al­canzado por cada alumno,

2 Identificación y recomendaciones acerca de la cantidad de material educativo ne­cesario,

3. Informe del estado diario de cada alum­no y de cada sección de planeamiento para alumnos y profesores,

4. Análisis y control de los objetivos diarios de la enseñanza.

5 Análisis diario de la situación;6 Indicación diaria de los logros del PLAN;7 Informe periódico de los progresos de

los alumnos;8 Informes administrativos;9. Informes semanales;

10 Informes de los progresos especiales de los alumnos,

11 Historia de los progresos de los alumnos,12 Pedidos especiales de material adicional,13 Desarrollo del programa de estudio de

cada alumno;14. Tratamiento de los objetivos desarrolla­

dos localmente, actividades indepen­dientes y cursos.

En el Reino Unido, un esfuerzo importante del CMI es el Hertfordshre Computer- Managed Mathematíes Projecl, con el apoyo del Programa Nacional de Desarrollo de la Enseñanza ayudada por Computadoras. Este proyecto consiste en un sistema administra­do por computadoras para la enseñanza de la matemática a alumnos de distintas espe­cialidades, de los dos primeros años de una escuela comprensiva. En total están implica­dos unos 4.000 estudiantes y 12 escuelas. Los cursos integrados usan fichas de traba­jo, cintas grabadas de televisión (videotapes) y termínales de teletipo.

Otra empresa CMI de especial interés es el proyecto CAVA, que consiste en un proyec­to de cursos por correspondencia realizados por computadoras, para matemática básica,

desarrollado y actualmente en aplicación de la República Federal de Alemania.

(c) Análisis-tendenciasEn una discusión sobre la necesidad de la

enseñanza realizada por computadoras, Alien (1975) ha dicho:

Hay dos motivos pedagógicos principales, tanto para las instituciones educativas in­dustriales cuanto para las académicas, a saber: responsabilidad e individualización. La responsa­bilidad comprende la necesidad de demostrar la efectividad de los programas educativos pa­ra estimular el aprendizaje. Incluye la necesi­dad de definir las cualidades que deben ser adquiridas por el alumno y los procedimien­tos por los cuales se mide la habilidad para lograr estas cualidades. Otras necesidades adicionales para alcanzar la responsabilidad educativa, son ciertos mecanismos para guardar datos y hacer informes.

La individualización, importante palabra en el vocabulario educativo, representa el r¿ conocimiento de las diferencias humanas y la meta de suministrar el programa educativo apropiado a cada alumno. La enseñanza in­dividualizada permite al alumno, no sólo fle­xibilidad en el tiempo que necesita paia ad­quirir distintos conocimientos y en el camino para ello, sino también en la selección de los objetivos del aprendizaje.

En los programas individualizados apare­cen problemas debidos a la heterogeneidad de las necesidades y actividades de los alum­nos, a la necesidad de los programas, al uso y la disponibilidad de los medios de aprendi­zaje y a la necesidad de los alumnos e ins­tructores de comunicarse efectivamente entre sí en los momentos oportunos. Otros problemas operativos presentan los tests de diagnóstico adaptados a cada alumno, califi­cación rápida de los tests, prescripción de los estudios y la seguridad de los datos

Las necesidades educativas señaladas se encuentran en el CMI en la mayoría de ios casos.

En vista de todo esto y puesto que la res ponsabilidad y la individualización están a la cabeza del pensamiento educativo, hay que esperar que el CMI sea cada vez más sofisti­cado, pero también que sea cada vez más una potente fuerza paia llevar a cabo la en­señanza y el aprendizaje en el aula.

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2.2.2 Enseñanza ayudada por computadoras(a) Características pedagógicas y considera­ciones

El término "enseñanza ayudada por com-

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Lamentablemente, estos potenciales pe­dagógicos de la CAI no son fáciles de lograr en la práctica debido en primer lugar a lo ina­decuado, por el momento, de la tecnología de ia instrucción programada. Sin embargo, dado que el movimiento de la^CAl te (a principios de la década de 1960), falta todavía desarrollar el material complementa­rio para uso en ei aula, y los costos de ad­quisición de materiales y de operación de i a tecnología de la CAI, a pesar de haberse de­sarrollado continuamente, siguen siendo más altos que los correspondientes de la en­señanza convencional.

Estados Unidos de América, es el llamado TICCIT (Time Shared Interactive Computer Controlled Information Televisión). Se­gún A. R. Molnar (1975) este sistema " .. sirve a 128 consolas simultáneamente, usan­do un minicomputador y tecnología de tele­visión La terminal consiste en un teclado, un pequeño televisor en colores para exhibir cuadros generados por computadoras, vide- otapes o transparencias y audio". Dos años de matemática de escuela secundaria supe­rior han sido desarrollados para ser expues­tos por el sistema TICCIT, cursos que están siendo probados en dos centros de enseñan-

Aparte del PLATO y del TICCIT, la mayo­ría de los cursos de tipo CAI de matemática que han sido desarrollados y se usan en los Estados Unidos de América, son del tipo "ejercitación y práctica". Los esfuerzos más conocidos en este sentido son los de "Stan- ford Arithmetic Drills" y "Arithmetic Profi- ciency Trainmg Program", ambos diseñados para complementar la enseñanza en cursos elementales.

La edición de 1973 del "Indice de Ense­ñanza basada en Computadoras" .[Hoyle y Wang, 1973), trae 374 programas de mate­mática, a pesar de que el extenso uso de la CAI en la enseñanza de la matemática hace virtualmente imposible*identificar todos los esfuerzos actualmente en curso para su per­feccionamiento Como ya dijimos, por el momento, parece que los Estados Unidos de América son el centro de los desarrollos curriculares de tipo CAI, con cerca de 300 de los 374 programas catalogados funcionando en escuelas.

En el Canadá, la enseñanza CAI se ha apli­cado en la Universidad de Western Ontario, la Universidad Simón Fraser, la Universidad de Alberta y en los Laboratorios de Pedago­gía Informática, para no citar más que algu­nos lugares En la República Federal de Ale­mania, existen unos 40 programas de- sarrolládos por la Universidad de Freiburg y el Wissenschaftliches Instituí für Rehabihta- tion und Berufh'che BUdung, en Heidelberg. Otras investigaciones y desarrollos en Euro­pa han tenido lugar en la Universidad de Le eds, Universidad de Glasgow (Reino Unido); la Universidad del Estado de Leyden, en los Países Bajos; el Conservatorio Nacional de Artes y Oficios en París y en la Universidad de Liége en Bélgica(c) Análisis-tendencias

La enseñanza realizada por computadoras y la enseñanza ayudada por computadoras,

putadoras" feomputer-assisted instruction, CAI) se usa para referirse al empleo de una computadora como máquina de enseñar, re­alizando las funciones de tutor, examinador y ejercitador (ejercitación y práctica). Como ha dicho Nievergelt (1975).

"El ambiente intelectual que motivó la pri­mera generación de sistemas CAI en los pri­meros años de la década de 1960, estaba al­tamente influido por el movimiento ha-

•cia ia enseñanza programada, ejemplificado por Skmner (1954). La CAI fue considerada por muchos como una continuación directa de los paratos mecánicos de enseñanza, Pre- sey (1926). para los cuales la habilidad de procesar y tomar decisiones de las computa­doras, proveía finalmente la flexibilidad cuya taita en los primeros aparatos mecánicos ha bía impedido su éxito.

"El optimismo dominante entre los traba­jadores de CAI. fue racionalizado por argu mentos basados en las siguientes lineas li La educación es una actividad de trabaio intensivo. 2) La tecnología, aplicada a otras áreas de trabajo intensivo, ha aumentado drásticamente el coeficiente costo/efectivi dad. 3» Con la enseñanza programada como estrategia de enseñanza y ¡as computadoras como instrumentos de producción, se ha conseguido una tecnología de la enseñanza, v por tanto. 4) La CAI mejorará drástica mente la enseñanza en un próximo futuro "Mejorar" tiene tres aspectos 1) Enseñanza más efectiva (aprender mejor y más rápido). 2. Enseñanza más barata, y 3) Superar la escasez de maestros".

Las características pedagógicas de la CAI, por tanto, son esencialmente ¡as atribuidas a ia enseñanza programada por ios futurólo- gos de hace veinte años. En su forma ideal, ia CAI parecería ofrecer, en efecto, algunas oportunidades educativas no usuales, permi­tir al alumno proceder sobre una base indivi­dual (en términos de contenidos, velocidad y modo de aprendizaje), permitir al educador romper las unidades educativas monolíticas usuales, que empiezan y terminan en puntos específicos de tiempo, y a las cuales todos los alumnos deben adaptarse; proveer al alumno de un ambiente de aprendizaje alta­mente interactivo (que responda) y capaz de hacer ajustes de tiempo (adaptable) de acuerdo con los avances del aprendizaje in­dividual, y proporcionar al educador la posi­bilidad de actuar en formas sofisticadas sobre los avances de los alumnos, prescin­diendo del rutinario coleccionar de datos que muchas veces distrae al maestro de su papel fundamental de instructor.

son ¡deas educativas que están todavía en su infancia, y por tanto todas las prognosis y análisis que sepagan respecto de ellas y de su potencial deben ser considerados con re­serva.es recien- Con referencia a la CMI, sin embargo, las siguientes afirmaciones de Scanlon (1974), parecen estar justificadas:

La Expansión del CMI tendrá lugar siempre que las escuelas individualicen su enseñanza usando materiales, curriculares estructurados. Desarrollar un sistema reali­zado por computadoras es cosa fácil si los materiales curriculares en uso tienen objeti­vos bien definidos, los métodos de enseñan­za son variados y los tests son de criterio re- ferencial. Los materiales de este tipo, sin embargo, todavía no son de uso comente en las escuelas El mayor obstáculo para el uso del CMI, es la falta de materiales curriculares publicados que sean altamente estructura-

za(b) Exposición de los principales progresos

En el dominio de la CAI, los Estados Uni­dos de América constituyen el centro de los esfuerzos realizados. Ello no es de extrañar, pues la misma idea de la enseñanza con ayu­da de computadoras se originó en los Esta­dos Unidos de América, donde algunas .nsti- tuciones feaersles, como la National Scien­ce Foundation, han hecho importantes gas­tos para investigar y desarrollar esta tecnolo­gía Seguramente, el proyecto CAI más de­sarrollado del mundo, tiene su cuartel gene­ral en la Universidad de Illinois, donde ei PLATO IV, sistema de enseñanza basado en la computación, lo mismo que sus predece­sores, ha sido desarrollado en el Laboratorio de Investigaciones sobre Enseñanza basada en Computadoras. La tecnología del PLATO ha salido ya del estado de laborato rio: el primero de enero de 1975, había ya cerca de 800 terminales de PLATO IV. ope rando en 70 campus educativos, incluyendo cerca de 450 terminales en 60 edificios iuera del campus de la Universidad de Illinois. El sistema de enseñanza PLATO IV ofrece un ambiente de enseñanza muy rico en sus ter mínales, y en general tiene posibilidad de ex tenderse a las escuelas, siempre que estas tengan los complementos para la dase de suficiente calidad.• Como es natural, los complementos para

la clase que necesita el PLATO IV han sido también muy estudiados en la Universidad de Illinois. De especial interés para nuestro objeto, es el Proyecto de Curriculum para Matemática Elemental, actualmente en es­tudio. Este proyecto está pensado para proveer 150 horas de lección del PLATO pa­ra uso de niños de 4 a 6 años. Estas lec­ciones se dividen en tres capítulos: gráfiebs operaciones y conceptos con números ente­ros y fracciones.

Otro esfuerzo de tipo CAI de especial inte­rés, que está operando actualmente en los

dosEn ei dominio de la CAI, el punto de vista

expresado por Hooper (1975), parece tam­bién defendible:

El aprendizaje ayudado por computadoras es uno de tantos medios posibles en los sis­temas de enseñanza-aprendizaje, los ensa­yos de montar cursos completos usando úni­camente terminales de computadoras, por ejemplo, no son probablemente aceptables ni financieramente, ni filosóficamente. Las computadoras no deben hacer lo que se puede hacer por otros medios de manera’ más efectiva y más barata. Se deben diseñar proyectos que exploten las características de las computadoras para realizar acciones que no puedan obtenerse por otros medios, por ejemplo, cosas que no puedan hacer los ma­estros o los libros, que tienen sus propias ca­racterísticas. La perspectiva eélá en los mui timedios, con la enseñanza ayudada-por computadoras como uno de tantos medios

3. Pasado, presente y futuro del uso de la tecnología en la enseñanza de la matemática

Glaeser al discurtir la didáctica de la ma­temática, ha dicho:

Cuatro rnil años de ceguera y sordera... mientras que la historia de la matemática, precedida de una larga prehistoria, abarca casi 4.000 años, la historia de la didáctica de la matemática se extiende a una o dos décadas.

Teniendo en cuenta que el uso de medios para la enseñanza en la matemática es una cuestión didáctica, el comentario anterior de

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servicios de información y, de manera creciente, como entretenimiento.

- Materiales para lecciones, preparados sin ninguna ideología particular, teoría o limi­taciones auto-impuestas, de acuerdo con el lema "cualquier cosa que usted pueda soñar o programar".

Si estos dos vaticinios se aceptan como hipótesis de trabajo, se puede deducir prácti­camente con certeza, que en el campo de los sistemas interactivos de educación

constituyen el imperativo de esta cuarta re­volución. Ésta es una idea de importancia fundamental en el análisis de las tecnologías contemporáneas: la computadora, con todo su enorme potencial, ocupa el centro de estaépoca. ..

Sin embargo, por el momento es difícilprever la forma cómo las computadoras afectarán a la educación en el futuro. Incluso hay proyectos de redes de comunicación audiovisuales, controladas por computado­ras cuyas posibilidades son superiores a los aspectos formales de la educación escolar. Sobre este punto, Molnar (1975) ha dicho: En la nueva ciudad de Reston, en Virginia, situada en las afueras de Washington, la Na­tional Science Foundation, ha financiado un proyecto, junto con la MITRE Corporation, para probar la posibilidad de sistemas de te­levisión controlados por computadoras, inte­ractivos y para uso en casa El experimento ha acoplado un sistema doble de televisión con una computadora para demostrar la po­sibilidad de usar un receptor de televisión pa­ra exhibiciones dirigidas desde la casa por la computadora. Además de operar como una emisora, el usuario se puede comunicar, des­de su casa con el estudio, o desde éste con su casa, por televisión El usuario puede también comunicarse con la computadora por una terminal. La terminal puede ser usa­da p3ra cálculos o respuestas a problemas que aparecen en la pantalla del televisor. La demostración incluye lecciones de ejercita- ción y práctica, y un lenguaje de computa­ción simple para escribir los programas origi­nados en el alumno. El sistema es ideal para alumnos disminuidos o con problemas espe­ciales para el aprendizaje, o para mayores que pueden tener inconvenientes para viajar. Está previsto que se podrán servir a 2.000 ca­sas particulares, de acuerdo con ciertos ho­norarios.

Al discutir el posible papel de las computa­doras en educación, Nievergelt (1975), ha dicho:

Si se acepta el punto de vista de que inte­resan todos los aspectos de los sistemas educativos de interacción en lugar de algu­nos de ellos con ciertas limitaciones prees­tablecidas solamente, me parece que no es difícil vaticinar que en un futuro próximo, unos 10 años, las computadoras se usarán mucho. Dos puntos son bien manifiestos:- Una rápida expansión de sistemas inte­

ractivos sofisticados para las escuelas detodas clases, negocios y más tarde las ca­sas, que se usarán con fines educativos,

contribuir a acerelar este proceso. El proble­ma real de la sociedad es la progresiva complicación de los problemas con que debe enfrentarse, debido a que somos un sistema avanzado, un organismo social avanzado, o un epiorganismo, como me gusta llamarlo. El automatismo que está llegando, tomará a su cargo la ejecución de los trabajos infe­riores, de manera que el hombre deberá es­tar más calificado para los restantes. Consi­dero que esto no se podrá hacer sin ayuda de la CAI. Dudo de que nadie haya podido desarrollar, durante su vida, ni remotamen­te, todo su enorme potencial, a través de la educación formal u otras experiencias. Po­demos suponer que se ha desarrollado tal vez un tercio de este potencial, medida no posible de justificar, pero con la qué con- cuerdan otras personas. Por tanto, las posi­bilidades del hombre, tal como es en la ac­tualidad, pueden crecer mucho. Pero para mi, todavía más, vendrá un cambio en el hombre mismo, con más ricas posibilidades para la recepción de estímulos. Así como re­ceptores a distancia y otros instrumentos pueden convertir un mono en supermono, estas más ricas posibilidades y estímulos, pueden convertir al hombre en su­perhombre".

Es claro que Gerard tiene grandes espe­ranzas de los beneficios que pueden derivarse del uso de las computadoras en educación. Si ello es cierto o no, solamente el tiempo decidirá. Pero, como ha observado Eric Ash- by, la computadora es seguramente el impe­rativo tecnológico del presente y del futuro previsible en educación.

Glaeser provee una buena perspectiva para mirar al pasado, presente y futuro de las nuevas tecnologías educativas.

De todas maneras, como ha señalado Gre- enhill (1976), hay varias tendencias bien no­torias en el desarrollo y uso de los medios educativos:1. Ha habido un masivo y continuo de­

sarrollo de los materiales pesados ("hard­ware") asociados con distintas tecnolo­gías. Hasta hace pocos años, los proyec­tores o las cintas grabadas para televisión (videotapes), por ejemplo, eran usadas solamente por especialistas en audiovi­sión o • por algunos pocos profesores progresistas, pero raramente por los mis­mos alumnos. Todo esto ha cambiado. La mayoría de los aparatos pesados que se usan actualmente, tienen controles auto­máticos y pueden ser operados fácilmente por alumnos y profesores. Las computa­doras también van siendo cada vez más accesibles para el uso diario en el aula.

2. Las tendencias a producir medids audiovi­suales de enseñanza han sido paralelas a las de otros tipos de equipos. Películas, ti- ias fílmicas, transparencias y otros mate­riales por el estilo, están siendo produci­dos actualmente en gran escala para sa­tisfacer específicas necesidades de la en­señanza.

3. Las aplicaciones de la televisión educativa siguen creciendo, y va siendo bastante común en muchos países la existencia de programas educativos a escala nacional. Hay que suponer que los países en de­sarrollo irán adoptando esta práctica.

4. Los métodos de enseñanza tienden a subrayar la importancia de la enseñanza personalizada, la cual impone la necesi­dad de un grado mucho mayor de flexibili­dad. A este respecto, parece que la tec­nología tiene un gran papel que jugar.Al discutir el informe de la Carnegie Com-

mission on Higher Education, titulado "La cuarta revolución" (1972), Molnar (1975) se­ñaló que el título del informe provenía de la observación de Eric Ashby de que en educa­ción había habido cuatro grandes revolu­ciones. La primera tuvo lugar cuando la edu­cación fue transferida de los padres a los ma­estros, y de la casa a la escuela; la segunda, fue la adopción de la palabra escrita como medio educativo; la tercera fue la invención de la imprenta y la expansión de los libros y la cuarta han sido el desarrollo de la electró­nica, en particular, la radio, la televisión y la computadora, aunque las computadoras

sentarán las siguientes características^nTos próximos diez años:

Las computadoras, con terminales ade­cuadas y vanadas, pasarán a ser cada más los medios de comunicación que ofre­cerán más posibilidades, las cuales no pueden ser dadas por otros medios conven­cionales, como diarios, libros, radio, televi­sión, y películas. Por tanto, este campo tendrá que desarrollar sus propios profe­sionales, como autores, productores o como se les quiera llamar

Las siguientes frases, del fallecido Ralph W. Gerard (1968), pueden servir de conclu­sión a las ideas directrices que se han de­sarrollado;

vez

Las computadoras y el aprendizaje ayuda­do por ellas, como aspecto importante de su uso, motivarán cambios importantes en la sociedad y en el mismo hombre. Como ya hemos dicho otras veces, si las condiciones del ambiente sobre organismos capaces de recibir estímulos ricos y variados, ha condu­cido al crecimiento del cerebro, tengo la tuerte sospecha de que el nuevo enriqueci­miento de las acciones ambientales puede

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pletitud, evitan toda advertencia, , Y argumentostodavía no sistematizados, o se escucha la ex­posición en lecciones que, por una igualmente excesiva pretensión de completitud, r cen demasiado circunscritos. El tratadista orador se sentirían

tenso dado a la trigonometría, la cual se vería mejor si se la redujera a la proporción de un capítulo de geometría o poco más. En cam­bio, hoy, por múltiples circunstancias, la trigo­nometría está convertida en la parte predomi­nante, si no la única, sobre la cual se basa el juicio de "madurez".

La geometría racional debe ser ampliamen­te desarrollada y —encuadrada tal como dire­mos— llevada a convertirse en la esencia de la preparación.

Deberá también darse esta misma significa­ción al problema del liceo científico; los diver­sos —quizás demasiados— capítulos informati­vos, deberían convertirse en argumentos margi­nales y, sobre todo, limitarse a la comprensión de los conceptos que los dominan.

Cerremos el paréntesis que no ha sido inútil porque dice cuál es nuestro pensamiento sobre lo que queremos que constituya el espíritu in­formador de la enseñanza matemática.

En ella se deberían poner de relieve los va­lores constructivos en e! campo de la lógica para la exaltación de la obra del pensamiento humano. Al estudiante que preguntase: "Pero entonces, las verdades matemáticas, ¿se inven­tan, no se descubren? ", se le daría la más sugestiva de las respuestas. Se podría hablarle de la elección de los postulados (¿en qué par­te somos nosotros los que debemos elegir o ellos los que se hacen elegir?); de la posibili­dad teórica de hacerlo de manera del todo arbitraria; de la realidad de los hechos en los cuales lo que nos guía es la intuición, etc.

Cuestiones que ejercen poca fascinación so­bre los jóvenes, sobre todo por su profundo significado de colocar a la matemática al fren­te de todas las creaciones del pensamiento hu­mano como investigación filosófica, sin excluir las manifestaciones artísticas.

El estudio de la matemática aparecería así, por esta vía y por otras, casi como una parte integrante de los estudios humanísticos, a la vez que necesita de éstos para llegar a dar a la inteligencia un desarrollo más armónico.

No se diga que los conceptos generales rela­tivos a la posición lógica y gnoseológica de la matemática están por encima de la compren­sión de nuestros jóvenes alumnos liceales. Bas­ta para el caso abrir su texto de filosofía, e incluso en la más elemental de sus páginas, se encontrarán problemas mucho más arduos si­quiera sea por la menor precisión de los con­tornos, a menos que se sea de la opinión de aquel joven que, en el examen de madurez, declaraba ingenuamente que a le matemática

La enseñanza de

la matemáticapermane-

j y elgravemente disminuidos en

su autoridad si se les ocurriera dejar advertir, detrás del frío enunciado o de la fórmula in- móvil, el toimentó, la pasión, la incertidum­bre, el error de la investigación humana.L. CAMPEDELLI

(Italia)Para una enseñanza vital más cálida

Resulta fácil señalar los defectos de señanza; más difícil es indicar los remedios. No han faltado ni faltan tentativas, pero, sin embargo, la mayoría de las veces se resuelven mediante algún retoque de los programas en una sistematización de particularidades. En verdad, no es cuestión de programas, de au­mento o reducción de los argumentos a ñar, de modificaciones del orden en que deben sucederse. No es desde afuera desde donde se debe afrontar el problema.

Esto, mucho más que a las escuelas medias y liceos, corresponde a la preparación de los docentes. No me refiero a las universidades donde se fabrican docentes (éste es el verbo más adecuado) porque pienso que la forma­ción más significativa de lo que se quiere dar a la enseñanza debe cumplirse fuera de toda es­cuela oficialmente organizada y ser del todo individual, intrínseca, subjetiva.

En cuanto a las características de la ense­ñanza que se debe impartir a los jóvenes, si tuviéramos autoridad para dar sugerencias, las reagruparíamos en los siguientes puntos:

a) espíritu general del tratamiento,b) sentido del descubrimiento,c) goce del espíritu de aventura intelectual,d) búsqueda de las imperfecciones y desa­

rrollo del sentido crítico,e) trabajo de síntesis.

una en-Un horizonte cerradoUna enseñanza estéril

Suele decirse que la cultura general está formada por lo que queda después de haber olvidado todo lo que se ha estudiado.

La definición es sólo aparentemente para­dójica; tiene un significado profundo que le plantea al docente el problema de buscar cuál ha de ser su propio aporte a la preparación de los jóvenes que se le confían.

De todo lo que se le ha enseñado de mate­mática en la escuela secundaria, ¿qué queda en el alumno al término de los cursos? ¿Cuánta matemática y qué parte de ella ha contribuido a formar su mente, su índole, la orientación de su pensamiento, las característi­cas de su quehacer cotidiano?

El hombre culto, el que no hace una profe­sión de la cultura, no vuelve nunca, una vez abandonada la escuela, a sus libros de matemá­tica tal como, en verdad, retorna a los de lite­ratura. Tal vez se le ocurra preguntarse: "Pero, en suma, ¿qué era todo eso que el profesor de matemática se esforzaba por explicarnos y dónde quería ir a parar? ¿Se proponía algo más que enseñarnos una calculatoria un poco más compleja que la de las cuatro operaciones elementales?". Y de preguntársele algo así, ¿qué respondería?

Npsotros somos los que estamos embaraza­dos para poder responder. Nuestros alumnos de ayer, en la mayoría de los casos sólo oyen hablar de matemática^ al escuchar los lamentos de sus hijos. Entonces, sienten la misma inco­modidad de ellos agravada por la impresión de una fatiga inútil.

Múltiples causas determinan este estado de cosas y ellas son muy complejas. Se las busca en los métodos de enseñanza, en la naturaleza de nuestra ciencia, en la mentalidad de mu­chos docentes, además de los acostumbrados motivos externos que valen un poco para to­das las materias, pero que quizás gravitan más sobre la matemática.

Muy a menudo se lamenta en la enseñanza de la matemática la falta de calor vital, de sentido humano. Esto se debe especialmente a dos aspectos del tratamiento acostumbrado: la "mecanicidad" y la "perfección".

Ambas están fuera del común de los hom­bres. La primera no es de los seres pensantes, la segunda es ajena a los mortales comunes. No obstante, la enseñanza parece considerar como primer objetivo la adquisición mecánica de un algoritmo formal, de un procedimiento que siempre se ha de aplicar pasivamente to­das las veces que se cumplan ciertas circuns­tancias.

El joven requiere de la escuela experiencias vitales cálidas y enriquecimiento de su huma­nidad; formalismo y perfección lo alejan irre­parablemente de ella. Del formalismo se cansa­rá rápidamente; podrá llegar a admirar la per­fección, pero, no obstante, no era lo que bus­caba.

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Estas consideraciones no son nuevas. Juan Jacobo Rousseau en ese singular libro que son las Confesiones, al hablar de sus primeras ex­periencias científicas se refiere a la impresión que le produjo el estudio de la geometría que le pareció como’ "jouer un air en toumant un man i vello".

Del astrónomo Arago son estas palabras: "Salvo raras excepciones, los profesores sue­ñan mucho más con familiarizar a los alumnos con los elementos del cálculo que con hacerles sondear los principios". Y prosigue: "No sé, en verdad, si no se podría decir de ciertas per­sonas que emplean el análisis como ¡a mayoría de las manufacturerías emplean la máquina de vapor sin dudar de su forma de actuar".

Algunos de los capítulos más bellos que, cuando se los relee y casi se tiene la sensación de recrearlos, encienden de entusiasmo, nos dejan sin embargo fríos si los leemos en trata­dos que, por malentendida aspiración de com-

La matemática en los estudios humanísticos

Me refiero aquí a los liceos, clásicos y cien­tíficos, esto es, a las direcciones de estudios en los que se confía a la matemática una tarea formativa. Con este propósito, pronto surge la tentación de hacer una digresión que acaso sea más bien larga. Se refiere a la cuestión de los programas.

Los programas actuales de los liceos clási­cos se han revelado adaptados al objetivo. De­bería aligerárselos del desarrollo demasiado

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ex-

1918i

química, la geometría astronómica, etc.; esto sería difícil de callar. Pienso en cambio en los acercamientos del pensamiento filosófico y el matemático y en la posibilidad de ir a buscar los puntos de contacto, formales y sustancía­

las diversas expresiones artísticas, no

manera la pretensión de enseñar la a Emilio. El me la enseñará ré a buscar, pero él deberá buscaré de

totalidad, loes necesario comprenderla en su que no ocurre con la filosofía.

¿Cómo alcanzar concretamente el objetivo indicado, sobre todo con el encuadramiento unitario del pensamiento? Evitando los "com­partimientos estancos" entre las diversas disci­plinas y acompañando el tratamiento científi­co con el histórico Pero no se sobrentienda: la historia no' es la crónica, y aquí nos referimos a la historia del desarrollo del pensamiento y

geometría a mi; yo lo ayuda-encontrar porque

manera que él descubra".La intuición está

la geometría proviene del razonamiento hipo- tético-deductivo. Por tanto, en una primera etapa, no tiene importancia qüe se lo imponga orgánicamente partiendo de los postulados y de las primeras nocionesen la base de la experien­

cia; de ese modo, la geometría elemental vuelve intuitiva y genera ulteriores posibilida­des de comprender y de

Un punto crítico de la _ saje de esta primera fase de la más propiamente racional. Hoy, mentó (en el 4° año del liceo equivalente) se vuelve principio con las

les, con excluida la poesía.

Estos acercamientos se logran fácilmente en las obras de los pensadores que a la vez fueron filósofos y matemáticos, por ejemplo, Descar­tes, Leibniz, Poincaré y Enriques; otros se re-

la estructura de ciertas ¡nvestiga-

o que se lo aplique presuponiendo el conocimiento de algunas r.: ciones más elevadas ya adquiridas por vía in- tuitivo-experimental o que incluso se lo intro­duzca por el mismo medio mientras

seno-

ver.geometría es el

enseñanza a la en cierto mo-

pa-se recorre

el camino. Lo que importa es que la mente adquiera la facultad del raciocinio, la capa­cidad de las coordinaciones, el sentido de las analogías.

no a simples datos.Pero tampoco deben ignorarse totalmente

la anécdota y las noticias sobre la vida de este o aquel científico. Siempre es necesario que los jóvenes adviertan al "hombre" detrás de cada paso que demos en el conocimiento de la matemática. Es necesario que sientan la fatiga del hombre que investiga, el ansia de la bús­queda, el envilecimiento del error, la luz del descubrimiento. De otra manera se corre el riesgo de enfrascarlos en la fría erudición, por­que el hombre está hecho de manera tal que muy difícilmente se hablará a su mente si pri­mero no se

conocen enciones y en el espíritu que guía ciertas orien­taciones. La ejemplificación sería muy fácil.

o en un curso a comenzar desde el

nociones geométricas impos­tándolas racionalmente y continuando de esa Pienso que en la práctica las cosas se han

acomodado bastante de por sí. El docente no insiste demasiado sobre esos primeros postula­dos y, a veces, omite el primer capítulo del libro de texto y sigue adelante sin grandes in­convenientes.

manera en los estudios sucesivos.Otros quisieran, en cambio, que el pasaje

de lo intuitivo —experimental— a lo racional se realizase gradualmente y sin volver sobre los propios pasos.

La sensación del descubrimientoRousseau escribió en el "Emilio": "Haced

figuras exactas, combinadlas, colocadlas unas sobre otras, examinad sus relaciones y hallaréis toda la geometría elemental procediendo de observación en observación, sin necesidad ni de definiciones ni de problemas, ni de ninguna otra forma de demostración fuera de la simple

Creemos que, en uno y otro caso, todo es cuestión de medida.

Actualmente seEl procedimiento hipotético-deductivo y el espíritu de aventura intelectualexagera hasta lo ridículo.

Después de haber explicado al muchacho (de 13 a 14 años) que desde ese momento en ade­lante se probará toda proposición mediante ra­zonamientos, se comienza a relatarles que "existen infinitos puntos" e impertérritamente se continúa hasta que se llega a demostrarles que dado un segmento se puede construir otro igual, y así sucesivamente. Cuando se llega a las demostraciones verdaderamente significati­vas el alumno ya habrá renunciado a compren­der. Desde el comienzo habrá mirado al do­cente con límpidos ojos agrandados un poco por el estupor; después habrá tomado su deci­sión: "Pero estas cosas ya las sé" habrá excla­mado y sacará la conclusión de que no tenía necesidad de permanecer allí y de escuchar. O bien, no habrá creído a sus propios oídos, habrá pensando que no entendió (¡Todos dicen que la matemática es tan difícil! ) y se habrá resignado a considerar inútil todo esfuerzo de comprensión conformándose con aprender al­go de memoria.

apasiona su corazón y se asciende Los inconvenientes nacen si no se los sabe eliminar a tiempo a menos que nos contente­mos con una enseñanza puramente mecánica y formal.

Esos postulados son recordados de tanto en tanto, pero fugazmente, como un mal rio del cual no podemos librarnos aun cuando tratamos de ocultarlo. Al joven se le escapa su significado y, por ello, pierde la visión de junto.

superposición.Puede ocurrir que haya exageración o exce­

sivo optimismo. Verdad es que, desde los pri- contactos que tiene el niño con la mate-

a su humanidad.Esto no significa que se deba llegar a la

minucia de las informaciones que a veces usan los legrados, que a menudo se refieren a mani­festaciones en las cuales casi se confunde el artista con su obra. Pero, sin embargo, tam­bién en el descubrimiento científico más per­sonal es fácil ver la impronta de su autor.

Dígase también que éste es un método que no sirve para mostrar el carácter humano de la investigación matemática y que en cambio conviene exaltarlo mediante valores más in­trínsecos. Lo se* yo también, pero, entre tanto, es un primer medio, y es el que habla un len­guaje comprensible para todos.

A quien conozca la obra de Federico Enri­ques, como sugestiva ilustración de la misma, he aquí líneas que se leen en un cuadernillo que fue escrito cuando tenía ocho años:

. "Poseo 13 objetos."Los objetos que poseo son de dos espe­

cies: objetos aislados.y finales."Llamo objeto aislado a un objeto que no

tiene nada de semejante ni de común con las demás cosas que tengo.

"Llamo finales a un grupo de dos objetos o de varios objetos que sirven para un mismo objetivo o para objetivos semejantes".

Cuando hablo de evitar los compartimientos estancos no aludo sólo a la necesidad de refe­rirse a las.relaciones de la matemática con las otras disciplinas científicas, como la física, la

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merosmática, se debe suscitar en él la sensación del descubrimiento y estimular el espíritu de ese descubrimiento. Es esta la mayor riqueza y la fascinación más viva de nuestra ciencia. Hasta en los pasos más elementales requiere una pro­fundizaron y una reflexión tan personales pa­ra las cuales, después, quien haya llegado a resolver el más vulgar de los problemas tiene la impresión de haber conquistado una verdad, de haber construido autónomamente.

Por otra parte, toda disciplina científica tie­ne necesidad de orientaciones particulares y exige una forma mental su i generis.

Se intentará que el muchacho adquiera la aritmética y el álgebra acudiendo a problemas concretos tomados de la práctica de todos los días. Para la geometría es necesario estimular una educación particular: el arte de saber ver. Para esto ayuda el experimento: modelos en madera o en metal o mediante hilos; uso de la balanza, verificación experimental de la capaci­dad de recipientes de distinta forma, etc. Pero, entiéndase bien, deben ser experiencias realiza­das efectivamente con utensilios que se poseen realmente, no sólo escritas o dibujadas en el pizarrón como suele ocurrir muy a menudo.

Téngase presente la admonición de Rou­sseau: "Por mi parte, no tendré de ninguna

necesa-

con-

El edificio magnífico, la grandiosa obra de construcción de la geometría como ciencia h¡- potético-deductiva, no se eleva ante sus ojos y no advierte el aporte de lógica, de fantasía, de observación, de cordinación debido al pensa­miento humano; en cambio, bajo la guía del maestro, debería revivir la fase de esa argumen­tación y deducir, construir y hacerla cosa suya.

No se crea que el procedimiento deductivo a partir de hipótesis descarnadas sea extraño a la mentalidad de los jóvenes. Más bien es ver­dad lo contrario, porque ante la pobreza de las premisas se eleva más su fantasía.

En otra ocasión tuve oportunidad de citar al respecto un pasaje de un romance de Lucia­no Zuccoli protagonizado por un muchacho. De él dice: "Casi nunca jugaba con juguetes verdaderos que tuvieran una forma determina­da, un sentido preciso. Abandonaba los solda­dlos de plomo para ordenar una gran batalla con las fichas del juego de damas o con las bolillas de la lotería, y las fichas Jel dominó le servían de material para construir fortalezas

La otra vía, aquélla que desearía que el muchacho fuera llevado casi insensiblemente de la deducción experimental a la racional, choca contra el obstáculo de los programas ac­tuales. Al término de la escuela media, el mu­chacho llega a algunos capítulos de estereomé­tria. ¿Cómo se puede, sin una brusca solución de continuidad, hablar de triángulos y de otras figuras planas y no desorientarlo?

Pero son dificultades que se pueden supe­rar. Pensamos que todo el valor formativo de

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continuidad ininterrumpida de construc­ciones progresivas sin demoliciones, las críticas innovadoras, de color revolucionario, acaso despierten un interés emotivo más fuerte que en cualquier otro campo en donde visiblemen­te las crisis se suceden en forma periódica .

Si se abren nuestros libros de texto, inclu­so los de los mayores, se comprobará que nun-

casi nunca, se señala mediante considera-

unay baluartes. Se creaba un mundo a su mane­ra".

Se trata de una experiencia por la cual chos han pasado, de un sentido de aventura

la contribución de la fantasía, intere-

mu-

que, consa sobre todo a la mente. Esto es, estamos sobre el umbral de lo que Bertrand Russell -el matemático que se ha ocupado de filosofía- denomina "espíritu de aventura intelectual". Y nada mejor que la geometría para estimular­lo y para dar la sensación de estar andando por un largo sendero de descubrimientos, siempre que el docente sepa crear el clima ne­cesario. Lo que se requiere es que, cuando su curso está suficientemente adelantado, se de-

importante*ca, odones críticas, la esencia profunda de las cues­tiones, su significado intrínseco que va más allá de la lista de teoremas y corolarios. A

hace de pasada alguna consideración

Manuel SADOSKY (Argentina)

veces sede ese tipo sin que ello alcance a ¡luminar el El profesor de la Universidad de Stanford,

E.U.A., EG. Begle (1914-1978), cosiderado como un virtuoso de la educación matemáti­ca, escribió poco antes de morir un impor­tante libro, la traducción de cuyo título sería: Variables criticas de la educación matemáti­ca. hallazgos a partir de un estudio de la lite­ratura empírica. Consta de 165 páginas, es su trabajo póstumo y fue impreso en 1979 por la Asociación Matemática de América y el Consejo Nacional de Profesores de Mate­mática de E U.A. en Washington.

Begle fue director del School Mathema tics Study Group (SMSG) desde 1958 a 1972. Este grupo impulsó en E.U.A. los pro­yectos relativos a la nueva matemática, aus­piciando, alentando y realizando investiga­ciones de alta calidad que hicieron de la edu­cación matemática "un campo respetable en el cual es posible hacer un serio trabajo aca­démico-lamentablemente, sólo usó hteratu ra norteamericana o a lo sumo inglesa. Begle fue también el iniciador del NLSMA (Estu­dios Longitudinales Nacionales de las Habili­dades Matemáticas) para investigar los di­versos factores que pueden afectar el apren­dizaje de la matemática; estaba convencido de que la educación debía tener una fuerte base empírica; por ello, en e! Primer Congre­so de Educación Matemática, Lyon, 1969, expresó:., la educación matemática debe ser una ciencia con base experimental; debe­mos abandonar nuestra confianza en las dis cusiones filosóficas de base dudosa e inves­tigar tal como se hace en las ciencias físicas y naturales. Comenzaremos haciendo exten sas y cuidadosas observaciones empíricas sobre la enseñanza de la matemática. Siempre que notemos en ellas ciertas regula­ridades foimularemos hipótesis que serán controladas por observaciones posteriores, ajustadas y profundizadas. Es un disparate despreciar tanto las observaciones empíricas como la elaboración de teorías. Constante­mente deben interactuar entre sí.

Finalizado el proyecto SMSG, Begle con­tinuó su acción constituyendo el Grupo de Estudios Educativos Matemáticos de Stan­ford (SMESG) cuyas actividades hasta 1977 se condensan en esto libro, cuya edición fue preparada por J.W.Wilson y J Kilpatrick, autores asimismo del prefacio.

Prefacio de Begle.Este estudio o escrutinio de la información

está destinado a los educadores: maestros, matemáticos, inspectores, administradores, profesores de maestros, autores de textos, etc. Se hacen algunas observaciones intere santes para ei público y, en especial, para lo^ padres de alumnos y se observa que hay muchas opiniones educativas erróneas sien do hora de "prestar más atención a los hechos que a las opiniones".

Begle dividió la información analizada en cinco capítulos: variables relativas a los ma estrosi3), variables curriculares (4), variables relativas a los alumnos (5), variables amblen tales (6) y variables "instrucc/onales". Los capítulos 1 y 2 se refieren a la naturaleza de la matemática y de los objetos matemáticos y a los objetivos de la educación matemáti­ca. El capítulo 8 se dedica a los tests, el 9 a la resolución de problemas y el 10 a reflexiones y conclusiones. El libro contiene además un "esbozo biográfico" de Begle, la nómina de sus publicaciones y de los trabajos sobre en señanza de la matemática, muchas aparea das anónimamente.

Begle señala que tanto la opinión de los expertos como el sentido común contribuye ron muy poco a la elucidación de los proble mas de la educación matemática. Dice tex

conjunto.¿Por qué no hablar también del enmarca­

miento de la geometría elemental con respecto al grupo de transformaciones por semejanzas, según la visión unitaria de Klein en su famoso programa de Erlangen? Ello provocaría en el joven la posibilidad de una síntesis que le ilu­mine el camino recorrido y le indique lo que queda por hacer, con la ventaja que surge de conocer la meta a la cual se apunta, y la cu­riosidad que suscita ver cómo se realizan y se concretan circunstancias entrevistas. Agréguese que desde ese punto de vista se llega a descu­brir otro elemento humano en los orígenes de la geometría: también ella responde a la exi­gencia que ha dominado el pensamiento del hombre en sus primeras épocas cuando miran­do a su alrededor lo ha apresado el ansia de descubrir lo que se conserva pese a las conti­nuas transformaciones y transfiguraciones del todo.

tenga a mirar desde arriba el camino por el cual se ha transitado y ponga de relieve las dificultades superadas, indique los puntos sig­nificativos, llame la atención sobre esas piedras miliares que son los postulados y si, confiando en la intuición o en alguna buena experiencia, se ha tomado por un atajo, conviene mostrar como éste concuerda con el sendero principal.

Será justamente por esa obra de repensa­miento que nacerá en los jóvenes la compren­sión plena y el interés por proseguir el cami-

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.10.

Después, si el joven, comprendiendo el sig­nificado y la función de los postulados, asimi­la el valor relativo de su construcción científi­ca, tanto mejor: permitirá que el docente exal­te los aspectos humanos de la investigación matemática. No será un empobrecimiento de su ciencia sino una conquista de vida y valor, porque el hombre quiere sobre todo lo que nace dentro suyo. La responsabilidad del docente

Esto significa sobre todo la necesidad de hacer algo, de moverse, de cambiar el aire de las habitaciones. El aire de las aulas donde se enseña matemática se ha vuelto demasiado pe­sado.

La visión crítica y la síntesis generalCuando se ha comprendido el valor relativo

de la verdad matemática con respecto a la elección de los postulados nacen múltiples ob­servaciones críticas: las constructivas, que con­sideran las posibilidades de las diversas eleccio­nes; las históricas, referentes a la progresiva sistematización lógica de nuestra ciencia.

¿Por qué no se debe decir nada de esto en la escuela secundaria? Lo dogmático, lo perfecto, lo que cae del cielo, es un peso muerto en la enseñanza. Entonces ¿por qué callar cuánta pasión, ansia, tormento, ha costa­do y cuesta la investigación científica? Pero,

.lo advierte Enriques, "En el ámbito de una ciencia eminentemente conservadora que, des­de hace dos mii años, ofrece el espectáculo de

Repito: no es cuestión de programas sino de tono general y, por tanto, de docentes. Es­tos no deben olvidar que son hombres que deben tener la capacidad de apasionarse por su obra para comprender su significado y su al­cance. Deben trabajar sobre material humano, el más delicado y difícil de tratar porque no obedece a leyes fijas y porque, además, es el que más férvida y vigorosamente realiza la obra de creación. Los docentes que no pueden comprender todo esto, esos infortunados que "nunca estuvieron vivos", convierten a su ac­tividad en un oficio, un oficio bien triste, el de llenar cabezas sin encender la luz.

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(•) Hemos hecho una síntesis, lo más completa po­sible del trabajo hecho por Manuel Sadosky sobre ei libro "Critica! Variables m Mathematics Educatior: Findings from a Survey of Empírica! Literature'. El re­cuerdo de Begle fue constante durante todo el IV Congreso de Educación Matemática.

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de diagramas de flujo y, a veces, el aprendi­zaje de lenguajes elementales así como tam­bién el uso razonado de calculadoras electró­nicas; 3) Preocupados por los crecientes gastos educativos, algunos usuarios de ma­no de obra calificada han tratado de influir en la organización de la educación matemá­tica para hacerla más práctica y esto ha justi­ficado duras críticas de los matemáticos pro­fesionales. Las controversias, no dirimidas, exigen un minucioso estudio de los educa­dores matemáticos. .

Begle señala que los estudiantes de hoy actuarán en un mundo del futuro de caracte­rísticas quizás muy distintas a las actuales y bastante difíciles de predecir. Los educado­res matemáticos deben estar muy atentos a la evolución científica y técnica y también a los cambios sociales. Los educadores norte­americanos del 20 y del 30 se equivocaron al creer que se podían disminuir las exigencias en matemática por su poco uso en la vida diaria y debieron rectificarse drásticamente.

Primera variable critica: los docentesNo es fácil determinar cómo influyen los

docentes en el proceso de enseñanza de la matemática. Se estudiaron las actitudes de los maestros, sus conocimientos matemáti­cos, pero lo más importante es la estimación de la efectividad del profesor, o sea lo que aprenden sus alumnos. Esto concierne tanto al conjunto de profesores cuanto a los alum nos y los tests usados.

El profesor Barr, de la Universidad de W:s consin, dirigió 75 tesis doctorales en las que se analizan diversos aspectos de la efectivi dad del profesor y los resume así- "La ense ñanza no ocurre en el vacío. La efectividad del profesor no radica en el maestro per se sino en la interrelación entre pectos vitales de una situación enseñanza- aprendizaje y un maestro.

Morsh y Wilder relatan los trabajos hechos en la fuerza aérea de E.U.A. desde 1900 a 1952 relativos a inteligencia y logros acadé micos según las edades, experiencias, activi­dades extracurriculares. tests de cultura ge neral e interés por la enseñanza.

B.Ronshine trabajó desde 1960 en los que denomina "tres factores del maestro; X, en­tusiasmo y comprensión versus distan- ciamiento y comportamiento egocéntrico; Y, comportamiento de "hombre de nego­cios" sistemático, versus comportamiento no planificado, descuidado; Z, imaginativo y entusiasta versus aburrido y rutinario".

Los trabajos citados no proveen argumen­tos definitivos. Un trabajo de W.J.Popham,

de 1971, duda de la importancia de la forma­ción profesional de los maestros. Begle se­ñala que no sabe bien qué es la efectividad del docente y que este concepto puede va­riar con el tiempo.

Las variables que se presentan en el estu­dio de los docentes son.

A) Variables fundamentales que figuran en los legajos de los docentes (grado acadé­mico, preparación profesional, antigüedad docente, etc.), no permiten grandes predic­ciones sobre su efectividad NLSMA anotó algunas conclusiones estadísticas; a mayor antigüedad docente, mayores logros de los alumnos; a mayor preparación de los profe­sores, mayores logros de los alumnos, mejor rendimiento con docentes femeninas, con solteros, con maestros de edad media .que con jóvenes, con docentes con hijos que sin ellos, etc.

B) Variables afectivas. Contrariamente a lo previsto, influyen poco, estadísticamente, en el rendimiento estudiantil. Resultados ob­tenibles dignos de mención son; a mayor in­terés del docente mayor rendimiento de los alumnos; los docentes no autoritarios son más efectivos que aquéllos que consideran a la enseñanza como un proceso creativo; cuanto mayor es el asentimiento con respec­to a la capacidad docente del profesor, ma­yor es el rendimiento de los alumnos.

C) Conocimientos matemáticos. Begle di­ce: "Es una creencia muy generalizada que el maestro que más sabe es el más efectivo. Sin embargo, la bibliografía empírica sugiere que esa tendencia debe modificarse drásti­camente, sugiriendo que cuando el docente alcanzó cierto nivel de comprensión de los temas del curso no logra mejores resultados con estudios ulteriores."

D) Informaciones que obtienen los docen­tes mediante tests. Lo único digno de men­ción es que las informaciones buscadas sólo valen si los docentes conocen los tests con los cuales se pretende valorarlos.

E) Estabilidad de la efectividad. Siendo és­ta muy variable, los análisis estadísticos no parecen poder medir e! grado de los efectos de sus variaciones.

Begle señala, al final del capítulo 3 que "acaso la generalización más importante que se pueda extraer de toda esta masa de infor­maciones sea que muchas creencias comu-

sobre los docentes son falsas o se basan en fundamentos muy débiles. Por ejemplo, no hay expertos capaces de distinguir los maestros eficaces de los que no lo son ba­sándose sólo en características fácilmente observables... Mi reacción frente a tantas in­

formaciones sobre docentes es de desalien­to."

Segunda variable crítica: los curricula.Begle usa la palabra curriculum para .efe-

rirse a "objetos matemáticos que intentamos incorporar a las estructuras cognoscitivas de los alumnos y al contenido del programa educativo dedicado a esos objetos matemá­ticos".

Señala numerosas publicaciones sobre es­tas cuestiones y menciona entre paréntesis el número de los trabajos analizados por él, los cuales versan sobre los siguientes temas:

1 .Suma y resta de números naturales (26). (Analiza cuestiones conceptuales v los algo­ritmos correspondientes).

2. Multiplicación y división de números na­turales (2).

3. Fracciones (22). (La mitad dedicado a la división de fracciones).

4. Decimales (2). (Es asombroso, dice ' Begle, que haya tan pocos trabajos sobre es­te tema. Lo que ocurre, agregamos no­sotros, es que el uso de magnitudes en el sis­tema inglés es responsable del descuido de este aspecto tan importante para los estu­diantes de los países que han adoptado el sistema métrico decimal.)

5 Porcentajes (3).6. Algebra (14).7. Geometría y medidas (23).8. Análisis (11) .(7 de estos trabajos se re­

fieren a diversas maneras de enseñar el con­cepto de límite)

9.Interacciones entre diversas actitudes (23). (Se refiere a actitudes como capacidad verbal, visualizacion, tratamiento gráfico, etc.).

Más adelante, Begle se refiere a trabajos sobre Nuevos tópicos introducidos en los programas durante la década de los 60.

1. Lógica (39).2. Geometría (29). (Además de los estu­

dios sobre la efectividad de la geometría transformacional en los distintos niveles, hay estudios de geometría analítica, proyectiva y no euclidiana y hasta de topología en es­cuelas elementales y superiores de nivel se­cundario).

3.Objetos matemáticos (71). (Hay muchos análisis de cómo se debe proceder para introducir conceptos y no sólo resolver problemas. Se emplearon métodos de des­cubrimiento y se estudiaron ejemplos y contraejemplos útiles para aclarar defini­ciones de conceptos).

4. Bases de numeración no decimales (14). (Begle estima que estos sistemas no decima-

tualmente: "Es particularmente duro de aceptar para los matemáticos que conside­ran que las pericias intelectuales importantes para hacer matemática deben también serlo para los temas de educación matemática. Sin embargo, el campo de la educación ma­temática, en su estado actual, es totalmente diferente del de la matemática y se parece más bien al estado en que'se encontraba la agricultura hace algunas generaciones. No hemos establecido una teoría que provea de una base a nuestras discusiones. Por tanto, el razonamiento deductivo no es hoy un ins­trumento útil en la educación matemática porque los educadores no tienen, en gene­ral, nada que les permita hacer deducciones".

Cita cuatro fuentes de información empíri­ca sobre la educación matemática, a saber: las revistas especializadas; la organización ERIC (Educational Resource Information Center) del Instituto Nacional de Educación de E.U.A., que se ocupa de todo lo publica­do en educación, especialmente en matemá­tica; las tesis de doctorado dedicadas a la educación matemática, y la principal fuente de la información empírica, el NLSMA

¿Por qué hay que enseñar matemática?Begle analiza la naturaleza de la matemáti­

ca y de los objetos matemáticos, y los objeti­vos de la educación matemática tratando de señalar la diversidad de opiniones de los pro­fesores, alumnos, autores de textos, autori­dades escolares, representantes del entorno social (científicos, industriales, etc.) padres y, muy especialmente, los matemáticos pro­fesionales.

Hay enorme variedad de respuestas que van de la afirmación de que la matemática debe enseñarse como instrumento útil para resolver problemas prácticos hasta los que creen que siendo la matemática una de las máximas creaciones intelectuales de la hu­manidad, todo estudiante debe iniciarse en ella por su alto valor cultural. Señala asimis­mo que "los objetivos cambian con las épo­cas y responden razonablemente a los cam­bios sociales". Señala varios ejemplos: 1) En 1960 la estadística no excedía de los marcos de la educación secundaria;luego, por el empleo frecuente de resultados estadísticos en los medios de comunicación masivos se ha tendido a incluirla en cursos elementales; 2) Hacia 1960 había pocas computadoras electrónicas; hoy la situación ha variado es­pecialmente por la difusión de las computa­doras de bolsillo. Por eso se han incluido en los programas secundarios la construcción

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numerosos as

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en su libro "Educational Psycho/ogy: A cog- nitive view, Nueva York, 1968).

les no contribuyen significativamente a la comprensión del sistema decimal. Por mi parte, me parecen muy útiles para compren­der el uso de algoritmos).

5. Probabilidad y estadística (11). (Hubo muchas iniciativas para incluir estos tópicos en los niveles preuniversitarios).

6. Libros de textos (118). (Tanto en el nivel elemental como en el secundario se editaron muchos libros de texto, incluidos los del SM- SG. Entre los 118 trabajos hay varias tesis doctorales que comparan los nuevos textos con los convencionales. P.Rosembloom afir­ma: "Ninguno de los hallazgos significativos desde el punto de vista estadístico de esta gran cantidad de estudios es particularmente alarmante Ninguno de los libros de texto es una panacea universal ni un completo de­sastre").

7. Ciencia (17). (Un tópico muy interesante para investigar es el de la relación entre la enseñanza de la matemática y la de las cien­cias físicas, naturales y sociales. Hay muchos matemáticos y científicos que creen que deben estudiarse conjuntamente, pero al respecto hay poca información empírica).

8.Secuencias en el desarrollo de los temas

Habilidad matemática (118). (Conclusión general: ^habilidad matemática multivariada sin un número único que pueda medirla.

Memoria (10) (Los psicólogos distinguen dos tipos de memoria: a corto y a largo tér­mino No tenemos resultados serios para distinguirlas, pero ambas intervienen en el proceso de aprendizaje de la matemática).

Lectura (22). (Sorprendería que no hu­biese correlación entre la facilidad para la lectura y la habilidad para la matemática. Los primeros trabajos lo confirman, pero hay que investigar más este importante tema).

Los trabajos sobre cuestiones diversas en la educación matemática fueron agrupados por el autor así:

a) Conocimiento matemático preescolar (17).

b) Aritmética (57). (Hay muchos trabajos que comparan el conocimiento numérico en diferentes países y épocas, en muchos de los cuales, según Begle, ha influido Piaget

c) Geometría (23).d) Lógica (31).e) Probabilidad (13). (Se ha visto que se

pueden introducir las primeras nociones en la escuela elemental).

f) Razones y proporciones (22). (Los niños y jóvenes tienen dificultades para aplicar es­tos conceptos a la vida real).

g) Medidas (13).h) Misceláneas (22). (Actividades sobre

concepto de función, gráficos, álgebra, etc.).

Finalmente, Begle considera cuatro va­riables "no intelectuales":

a) Etnicidad (34). Begle olvida su afirma­ción de que la educación no se desarrolla en el vacío social y acepta los "resultados empí­ricos" que muestran la superioridad de los "angloamericanos" para el aprendizaje de la matemática con respecto a chicanos, negros e indioamericanos.

b) Variables físicas (36). Varios trabajos se refieren a la repercusión de la edad de ingre­so a la enseñanza sobre el proceso ulterior.

c) Status socioeconómico (2).d) Sexo (958). Parece que las niñas son

mejores en cálculo y los niños en tareas su­periores de matemática, pero esas diferen­cias pueden más bien ser de carácter so­ciológico que genético.

Begle termina el capítulo señalando que consideró (55) estudios sobre predicción de logros, sobre lo cual no tiene ningún resulta­do digno de mención. Espera que los psicó­logos que no han tenido éxito hasta ahora desarrollen teorías que permitan comprender mejor el proceso de aprendizaje de la

mática. La solución del problema de los di­versos rendimientos debe encararse median­te el esfuerzo conjunto de sociólogos, psicó­logos, pedagogos y todos los sectores in­mersos en la cuestión.

Tercera Variable crítica: los estudiantesSe distinguen dos tipos de variables: afec­

tivas y cognoscitivas.Entre las afectivas, Begle distingue:Ansiedad (17). (No pudo determinarse la

causa de la ansiedad, pero las pruebas empí­ricas muestran que a mayor ansiedad corres­ponde menor grado de aprovechamiento).

Actitudes para la matemática (93). (Algu­nas conclusiones sorprenden: la matemática no es la materia más antipática y está en la zona media de preferencia La simpatía cre­ce entre el 4o y el 6o grado y decrece al co­menzar la escuela media. No hay explicación de este hecho).

Motivación. (18)Personalidad. (29)Actitudes escolares. (8)Autoconceptos. (38)Ansiedad por los exámenes. (16)

(Muchas veces la ansiedad la provocan los exámenes y no la matemática misma. Las ni­ñas parecen más propensas que los varones).

Al estudiar las variables cognoscitivas, Begle menciona tres ejemplos1

1) Ante un problema hay gente que busca impulsivamente la solución y otra actúa reflexivamente. Esta es mejor para la mate­mática.

2) La reacción de los alumnos ante ciertos tests "gráficos" permite detectar a los que tienen más facilidad para la matemática.

3) Se han hecho tests sobre capacidad de visualización y manipulación mental de los objetos geométricos.

IQ (25) (La mayoría de los tests de inteli­gencia es una mezcla de medidas de factores cognoscitivos, pero como hay muchas ma­neras de hacerlas, los resultados son muy variables. Quedan muchas cuestiones abier­tas sobre la relación entre IQ y creatividad). Las teorías de la inteligencia (Piaget, Guil- ford) ¿dan medidas más útiles para la educa­ción matemática que las habituales?. Sólo disponemos de respuestas muy fragmenta­rias.

Cuarta variable crítica: el ambiente.Calculadoras (52). (Sobre el efecto de las

calculadoras en las clases hay dos informes interesantes, el de "Ca/cu/ator Information Center" en los números 2 y 3 de ERIC, Ohio State University, 1977).

Comportamiento en ía Clase (69).Instrucción apoyada sobre el uso de com­

putadoras (62). (Habitualmente se llama CAI {Computer Assistent Instructional). Es un te ma aún muy debatido.

Computadoras (29). (Hay excelente bibliografía, pero no hay resultados especta­culares en este rubro).

Uso de materiales concretos (104). (Hay muchos trabajos a nivel primario y secunda­rio y pocas conclusiones convincentes).

Cursos por correspondencia (6).Descubrimiento (102) (Enseña* haciendo

que los alumnos "descubran" los resultados es un método que suscitó mucnas polémi cas. En 1966 hubo una conferencia en E.U.A.con discusiones editadas por Snhus- ter y Keisler, Chicago, E.U.A.).

Juegos (22).Trabajos en casa (27).Instrucción individualizada (193). (De esto

.■¿

(14).9. Programas para estudiantes especiales

(91). (En general, alumnos poco dotados)10. Estructuras (21).(Son estudios sobre el

efecto provocado por la introducción en los programas elementales de las llamadas ma­temáticas modernas).

11. Características de los libros de texto (11). (Estudios sobre las características físi­cas de los textos. La prodigalidad en el uso del color hizo que buena parte del presu­puesto nacional fuera a parar a la compra de textos. Casi no hay estudios para comparar su eficacia con respecto a los libros en blan­co y negro. NLSMA piensa que el dinero se podría emplear mejor en otras cosas.).

12. Variables verbales (52). (Hay numero­sos estudios y gran dispersión de temas pero todavía no hay resultados significativos)

Begle, al finalizar el capítulo 4, concluye

hay varios trabajos de análisis crítico y hay escepticismo sobre los logros pese a que to­dos señalan ciertas ventajas teóricas).

Entrenamientos especiales (27). (Se consi­dera conveniente para aumentar el rendi­miento de los alumnos impartir a los docen­tes cursos especiales de entrenamiento).

Enseñanza magistral (37). (Se estudió (Keller) la oposición entre enseñanza ma­gistral y enseñanza personalizada. Ambas resultan equivalentes en la universidad pero la primera resulta superior en el nivel elemen­tal).

Laboratorio Matemático (58). (No hay grandes ventajas con respecto a la enseñan­za tradicional).

Medios de comunicación (83). (Se analiza­ron las características de la enseñanza al usar filmes y TV. En países con pocos do­centes puede ayudar a resolver algunos problemas, pero su efectividad es mucho menor en los países con suficiente número de docentes).

Instrucción programada (233). (Durante la década de los 50 hubo muchas esperanzas sobre la instrucción programada, alentadas

que:No se sabe si las variables curriculares

analizadas son las verdaderamente impor­tantes; los estudios sobre libros de texto y programas especiales han sido útiles para ahuyentar temores sobre los nuevos curricu­la y aminorar entusiasmos excesivos de los proponentes de esos curricula; la conclusión más importante y más descorazonadora es la falta de dirección teórica de estos estudios (cita como progreso la teoría de D.P.Ausbal

-V

Pensamiento lógico (14). (Variables de campo muy difuso y frases como "razona­miento deductivo", "razonamiento lógico", "pensamiento creativo", "pensamiento críti­co", etc., que se usan para describir gran va­riedad de capacidades no relacionadas entre sí. Por ahora nada nos puede guiar para dir las capacidades correlativas de los estu­diantes).

me-

mate-

26 27:

1) Relaciones entre el conocimiento de la materia por el profesor y los logros de los es­tudiantes.

2) Ejercicios de matemática.3) Enseñanza expositiva de objetos mate­

máticos.4) Aceleración del proceso de aprendizaje.5) Tests predictivos.En síntesis, Begle señala que la enorme

cantidad de observaciones fácticas en los te­mas de educación matemática debe apro­vecharse y, para ello, hay que coordinar los esfuerzos de los investigadores. Todavía no existe ningún cuerpo de conocimientos sóli­dos para construir una teoría. De su ac­tuación en los tres primeros Congresos Inter­nacionales de Educación Matemática saca la triste consecuencia de que el segundo y el tercero no agregaron nada a lo tratado en el primero pero no se desalienta y no espera del Cuarto Congreso más que "nuevas caras, nuevas opiniones y poco de conocimiento nuevo".Observaciones.

Si bien ya incluimos algunas observa­ciones personales, ahora expresaremos al­gunas de las observaciones que sugiere un libro tan singular.

1 Si bien la posición netamente empirista del autor !e evita caer en las exageraciones de los que "filosofan" sobre el tema sin pun­tos de referencias para confrontar la "teoría" con los "datos de la realidad", también lo mantiene inevitablemente en un plano más bien bajo en cuanto a las posibilidades de ha­cer deducciones valederas sobre el complejo proceso educativo. Atenerse demasiado a los datos de los numerosos "informes" y "estudios", sin discriminar sobre la calidad de los autores, puede hacer perder la visión de la globalidad de la cuestión.

2. La experiencia "nacional" (E.U.A.) ad­quirida en muchos años de labor en la edu­cación matemática le ha hecho perder la vi­sión de riquísimas experiencias de otros países en donde la pedagogía está estrecha­mente ligada a la psicología, la sociología y la filosofía.

3. Esa misma visión "nacional" le hace aceptar sin mayor crítica conceptos harto discutibles como los correspondientes a la validez del IQ como medida de la "inteligen­cia".

4. La influencia del medio le ha hecho ex­poner, sin ningún espíritu crítico, los resulta­dos de algunas "investigaciones educativas" sobre el rendimiento de negros, chícanos o

(Continúa pág. 33)

por Skinner y su escuela. Puede dar buenos resultados como auxiliar).

Refuerzo (39).Equipos de maestros (20). (Equipos de 2 ó 3

maestros que actúan sobre un mismo con­junto de alumnos. No se han notado muchas ventajas).

Pruebas (20). (¿Qué conviene más. pruebas difíciles o fáciles?. ¿Con qué fre­cuencia?. No hay resultados concluyentes).

Tiempo (36). (Se trata de estudiar cómo distribuir el tiempo en los horarios).'

Tutelas (51). (En la década de los 60 se di­fundieron mucho las tutorías para los estu­diantes con dificultades de aprendizaje)

a lingüística y la matemáticaF. SPERANZA

(Italia)

güístico, y los lingüísticos en el ámbito mate­mático son recíprocamente de vital impor­tancia para ambos.

2. Podemos comunicarnos entre nosotros mediante un "código de gestos" o mostran­do objetos: y la revaloración de este "len­guaje de gestos" es didácticamente justa, también habría sido un grave error sacrificar a estos "lenguajes aliernativos" los len­guajes más evolucionados, más potentes por mayormente articulados y disponibles, para procedimientos de abstracción. Confi­nar a una persona a que se exprese mediante el lenguaje de los gestos, despreciando el desarrollo de capacidad de comunicación más evolucionado equivale a limitar grave­mente su capacidad de desarrollo intelec­tual.

1. En la cultura tradicional (y de reflejo en sus escuelas) el ámbito lingüístico y el mate­mático han estado, más que en oposición, completamente apartados; oponerlos hu­biera significado confrontarlos, plantear problemas que les interesaran mutuamente En cambio, la lingüística está incluida en el sector "humanístico" y la matemática en el "científico". Es una división absurda porque las ciencias son también una construcción del hombre, son esquemas construidos por nosotros para comprender a la experiencia, y por tanto son también "humanistas"; mientras los métodos científicos interesan también a las "ciencias humanas", no se puede imputar esta oposición a nuestros hu­manistas que cumplían, en sí, la síntesis de diversas disciplinas.

Nuestra escuela, que siempre se mueve con cierto retardo con respecto al tiempo, se basa aún sobre esta dicotomía Tenemos an­te nuestros ojos los desastres provocados

• por esta situación: la cultura clásica, para gran parte de los jóvenes, está vacía de sig­nificado; la cultura científica parece estar en mejor situación, pero en realidad se la comprende de modo muy poco "científico", como conjunto de contenidos que golpean la imaginación, sin el necesario estímulo del espíritu de investigación. En general se nota

profundo desinterés por lo que propor- la escuela. Es desolador ver cómo la

curiosidad, el deseo de comprender, de in­tervenir se van desplomando poco a poco con el pasaje de los años.

¿Cuál es el significado cultural de este apartamiento de la lingüística y la matemáti­ca? La lengua natural y el pensamiento ma­temático son instrumentos que responden a la exigencia de representar la experiencia, comunicar, pensar, actuar sobre el mundo. Ciertamente, también hay aspectos no con­vergentes: la lengua no sólo tiene caracterís­ticas logicoformales, y la matemática no tiene sólo problemas de carácter lingüístico; trataremos con todo de hacer ver cómo los aspectos lógicoformales en el ámbito lin-

Capftulos finales.De los dos capítulos finales uno está dedi­

cado a los tests y el otro a la resolución de problemas.

Hay muchos libros y artículos que tratan la teoría, construcción, administación y usos de los tests incluidos en la bibliografía del libro de Begle.

Sobre la resolución de problemas hay es­tudios como el de G.Davis, The Current Sta­tus of Research in Human Prob/em Solving ED 010 506, que son de tipo general y otros como el de J.Kilpatrick, Prob/ems Solving and Creative Behaviour, Revista de Investiga­ción Educativa, vol 39 (1969) referentes exclusivamente a matemática

En general se estima que la capacidad pa­ra resolver problemas es mezcla de diversas capacidades y algo análogo ocurre con la estrategia de los estudiantes para resol­verlos.

Se concuerda en que un mejor conoci­miento del vocabulario matemático ayuda a resolver problemas.

Begle, que admite la importancia de la re­solución de problemas en el aprendizaje de la matemática, considera que en los E.U.A. no se ha estudiado bastante esta cuestión.

Los temas prioritarios para los investiga­dores de educación matemática, para Begle, son:

ij

El grado siguiente es el de los "lenguajes icónicos", esto es, formados mediante figu­ras (fotografías, dibujos, gráficos). Tienen la característica de ser notablemente sintéticos (un gráfico, un diagrama de flujo bien cons­truidos nos dicen muchas cosas que en una explicación oral requerirían un largo discur­so). Mientras que con los objetos parece normal permanecer en un terreno totalmente concreto, usando "figuras", se oscila fre ­cuentemente entre las representaciones de los objetos naturales y las de las ideas abs­tractas (el dibujo de un automóvil, ¿repre­senta un automóvil determinado o la idea de automóvil?). Probablemente las fotografías se adapten más para representar objetos concretos, mientras que en los dibujos una "estilización" más intrincada, una mayor in­tervención estilística, tenderán a mudar el in­terés sobre las ideas abstractas.

La escuela tradicional se ha equivocado mucho al despreciar las posibilidades de la representación ¡cónica: bien usada sería un importante canal para ayudar a potenciar la representación verbal. No obstante, se la de be usar inteligentemente; pero en cambio se tiene la impresión de que muchos libros y muchas personas la usan inadecuadamente: la parte visible aparece a menudo desancora-

unciona

1) Objetivos de la educación matemática.2) Instrucción fundamental.3) Dimensiones de las aulas.4) Instrucción programada5) Tests.6) Tutorías.7) Tests administrativos y tests caracterís­

ticos.8) Estrategias para la resolución de proble-

i

mas.Para el estudio ulterior de las variables crí­

ticas, Begle sugiere:29

28

cías de fonemas en monemas, de monemas en palabras, de palabras en enunciados... Cumplimos así con la necesidad de "compri­mir" una realidad pluridimensional, o acaso extradimensional, en una información se- cuencial. Cualquiera sea el objeto o fenóme­no que queremos describir, toda explicación que demos en lenguaje natural es secuen- cial; análogamente, las instrucciones que damos a una calculadora deben ser traduci­das en lenguaje secuencial. También la ma­yoría de los lenguajes matemáticos tiene estructura secuencial, y también resulta se- cuencial la exposición de una tería. Una representación ¡cónica única está, en cam­bio, desvinculada de esta limitación.

Aparecen otros aspectos lógicos en la estructura morfosintáctica; luego daremos algún ejemplo. Repetimos, no hay nada extraño en esto. Los conceptos fundamen­tales logicomatemáticos son instrumentos "naturales" del pensamiento humano, y por tanto es justo que se encuentren aplica­ciones en los ámbitos disciplinarios que explican el fundamento racional de nuestra manera de actuar.

Los aspectos lógicoformales de la lengua son, frente a los aspectos históricolingüísti- cos, psicolingüísticos y sociolingüísticos, los dotados de mayor universalidad, por ser váli­dos en todos los tiempos, en todos los luga­res y en todas las situaciones ambientales.

4. El grado siguiente en la escala de los lenguajes es el de los lenguajes formales, sustancialmente el de los lenguajes lógico- matemáticos. Siempre se trata de sistemas simbólicos que, construidos con objetivos bien definidos, funcionan según reglas preci­sas. Como ocurre con los lenguajes natura­les podemos también individualizar en ellos una morfología y una sintaxis (las reglas para construir las expresiones particulares del len­guaje y para desarrollarlo) y también una se­mántica (las reglas para interpretar las expre­siones en otro "universo"). Por ejemplo, pa­ra las expresiones del cálculo algebraico lite­ral, las regias morfológicas se pueden expre­sar en forma generativa del tipo:

E —* E(°, expresan operadores, respectivamente binarios y unitarios), completadas con opor­tunas reglas finales que permiten sustituir por t un signo básico del lenguaje. Las reglas sintácticas son las reglas de cálculo basadas sobre las propiedades algebraicas de las operaciones.

La semántica se obtiene dando un valor a cada variable y calculando el valor de la

da, elegida por exigencias de espectaculari- dad más que de comunicación. Los errores que se cometen en este aspecto son amplifi­cados y enfatizados por esa forma de captu­ra de la atención que ejercen los mensajes vi­suales (sobre todo si son en colores o móvi­les): la parte verbal, asociada a esos mensa­jes, especialmente cuando sólo se confía en el oído, es escasamente recibida.

3. En la escala en donde se alinean diver­sos tipos de combinaciones de carácter sim­bólico, el grado siguiente es el lenguaje natu­ral. uno de los instrumentos más geniales in­ventados por la humanidad. Con pocos ele­mentos de base, los fonemas —en italiano bastan poco más de veinte— y gracias a la posibilidad de las combinaciones, se llega a representar la experiencia en su variedad y complejidad. Ha sido uno de los máximos esfuerzos de la mente humana, constreñida a inventar el pensamiento "abstracto", para poder dominar con pocas "categorías" la vastedad de la experiencia. Es evidente que se lo ha logrado bastante bien; ese camino nos ha llevado por ahora a los viajes extra- terrestres y todavía podrá ir más lejos. Hay que subrayar, sin embargo, el peligro de caer en discursos abstractos cuando sea oportu­no referirse a hechos concretos.

Ya en las reflexiones más elementales

expresión (por tanto, es una aplicación de A en A si las variables'son n y su campo de variabilidad es A). Es natural que los concep­tos básicos de la lingüística se apliquen a la matemática: la lengua, en su estructura más profunda, está estrechamente ligada a nuestro pensamiento y además los lenguajes matemáticos surgen y se desarrollan pro­piamente como especialización de la lengua natural. Esta es un instrumento flexible que se adapta a situaciones muy diversas, truyendo en su interior "códigos" especiali­zados para afrontarlas; piénsese en el léxico propio de la geometría, que a menudo viene tratada en lenguaje natural. Hasta las últimas décadas del siglo XVI toda la matemtica (y, precedentemente, la lógica) eran tratadas con lenguaje natural salvo en lo que concier­ne a los números (para los cuales ya hacía bastante tiempo el comercio y la navegación les habían impuesto una estructura que per­mitiese técnicas de cálculo de ejecución rápi­da y segura). Los sutiles análisis lógicos de los escolásticos, las resoluciones de las ecuaciones algebraicas de tercer y cuarto grado, fueron realizadas en lenguaje natural.

Pero en determinado momento los al­gebristas comenzaron a usar algunas abre­viaturas: por ejemplo "raíz de..." se convier­te en "R..." y luego en \j : en Bombellise encuentran los signes I___ I para encerrarbloques de cálculos, de la misma manera que hoy usamos los paréntesis. Transcurri­das algunas décadas del siglo XVI, por ejemplo en Descartes, encontramos que se había afirmado el nuevo lenguaje bajo la for­ma en que, sustancialmente, lo empleamos hoy. Pero el nuevo lenguaje no había en­contrado sólo una morfología (esto es, la po­sibilidad de escribir autónomamente las ex­presiones propias) si no también una sinta­xis (es decir, estaba listo para funcionar por sí solo) En esa época, el método cartesiano extendía a la geometría la aplicación de estas técnicas de cálculo: una vez más, lo que pri­meramente estaba reservado a pocos espe­cialistas se volvía accesible a grupos mucho más grandes de estudiosos.

En el siglo XIX la lógica, que parecía haber terminado su ciclo vital hacía largo tiempo, encontraba un nuevo impulso en la aplica­ción de los métodos algebraicos gracias a la adopción del simbolismo y los esquemas matemáticos. Ciertas leyes lógicas que fueron el argumento de discusiones sutiles y complejas en la época clásica y medioeval, fueron vueltas accesibles para un publico más amplio con tal de que se aprendiese el

lenguaje. Verdad es que aprender un

nuevo lenguaje requiere siempre cierta apli­cación, pero esto resulta siempre compensa­do por la posibilidad del nuevo instrumento. También es verdad que ciertos matices de la lógica clásica se pierden con el simbolismo moderno, pero se obtiene como premio la simplificación, el descubrimiento de aspec­tos comunes en razonamientos de por sí di­versos. Y nada impide que se busquen for- malizaciones más sutiles, más adaptadas a determinado ámbito; lo que se pierde en ge­neralidad se gana en una mayor adhesión a los problemas que interesan. Se podría citar al respecto los diversos sistemas de lógica modal o, mejor todavía, la formaiización de la teoría del silogismo debida a Lukasiewicz.

La lógica ha encontrado vigor adoptando métodos matemáticos (en ese sentido se habla de la lógica matemática como "mate­mática aplicada") Pero desde otro punto de vista la lógica se ha convertido en el instru­mento básico para desarrollar la matemática formalizada. La lógica ofrece posibilidades de formaiización además de las del razona­miento deductivo, también del lenguas na­tural, a nivel de la estiuctura más profunda. En épocas recientes hemos asistido a verda­deras y profundas "matematizaciones", también en otros nivels, de las estructuras lingüísticas.

Ya de Saussure decía que las reg'as de la nueva gramática habían sido de tipo al­gebraico: estamos observando la confirma­ción de la previsión a través de la construc­ción de "modelos matemáticos" de la len­gua natural (en este sentido es característica la obra de Chomsky y la de los teóricos de la gramática categorial). Puede ocurrir que la . estructura matemática a que están habi­tuados los matemáticos no se adapte a estas operaciones; lo que cuenta, más allá de los resultados actuales, es ei "espíritu matemá­tico" que apuntala esa investigación. Tam­bién en la lógica.Boole había intentado ini­cialmente aplicar las regias del álgebra ordi nana; esta era inadecuada, pero más tarde se aclararon las estructuras algebraicas que se adaptaban al tratamiento matemático de la lógica. Por ello resulta probable y auspi­cioso que las exigencias de nuevas aplica­ciones (por ejemplo, en el ámbito lingüístico al que nos referimos específicamente) empu­jan a los matemáticos a la invención de nuevos tipos de estructura.

5. Examinaremos ahora en forma más particular algunas estructuras formales simples y ascenderemos a algunas posibili­dades de aplicación didáctica interdisciplina- ria; individualizaremos la posibilidad de la

cons-

sobre la lengua natural se pueden destacar estructuras lógicas. Este hecho era bien co­nocido por los estudiosos clásicos y medio­evales los cuales, empero, tenían instrumen­tos formales muy poco evolucionados para profundizar estos aspectos. Nosotros articu­lamos y percibimos físicamente sonidos, de los cuales potencialmente hay un número in­finito, pero los organizamos mentalmente mediante un pequeño número de fonemas que son unidades conceptuales. Los diver­sos sonidos "a" que pronucian diversas per­sonas o incluso la misma persona en circuns­tancias diversas, son entendidos como reali­zaciones variantes del mismo fonema "a". Ac­tivamos, pues, una operación de partición en ciases del conjunto de sonidos que sabe­mos articular: un fonema, ente abstracto, se puede definir según la acostumbrada técnica conjuntista, como una clase de sonidos (he escrito "nosotros reconocemos" porque no existe una necesidad lógica o física, si no só­lo lingüística, de realizar aquella partición en clases: grupos lingüísticos diversos no sólo usan diferentes conjuntos de sonidos, si no

efectúan diferentemente sus parti-

!

E, F. — .E

queciones).

Efectuamos también operaciones de se- riación, esto es de construcción de secuen- nuevo

3130

que están sobre la mesa. Si tuviera un "nombre propio" bastaría con pronunciarlo como hacemos para una persona cuando la llamamos por su nombre). Pero, por razones de economía, sólo a pocos entes les damos nombres propios {personas, ciudades. . .; también los números tienen un nombre pro­pio, pero, atención, no confundir los núme­ros, conceptos abstractos válidos para toda la humanidad, con sus nombres, que cambian de lengua a lengua). Una manera de indivi­dualizar el objeto es el de indicar la posición que ocupa sobre la mesa dando sus coorde­nadas con respecto a los bordes de ésta.

Los puntos de un plano (o del espacio) no tienen nombre propio, pero un sistema de coordenadas es un método para darle uno -un par (o una terna) de números— a cada punto.

Podemos también usar una expresión del tipo "el vasito que tiene la abertura más pe­queña que la base", en efecto, es el único objeto sobre la mesa -el único objeto del "universo" representado en la figura— que tiene esa propiedad Si el universo fuera más amplio, habría que aumentar las explicaciones del discurso, esto es, indicar mayor número de propiedades. Hemos usado un nombre común para individualizar el objeto, pero da­do que un nombre común se adapta a todos los objetos de una clase, es necesario agre­gar explicaciones para restringir la clase de los elementos que verifican esa propiedad un conjunto unitario.

El caballo de Alejandro se llamaba Bucéfa­lo, también el caballo de Gengis Khan tenia un nombre; no lo conocemos, pero indivi­dualizamos muy bien el objeto llamándolo "el caballo de Gengis Khan". Un objeto con algunas puntas, que se usa para llevar el ali­mento a la boca se denomina "tenedor"; el que se usa para comer pescado se denomina "tenedor para pescado", en italiano no es una palabra única, en este último caso, para individualizar a los objetos de esta clase es necesario .una perífrasis (otras lenguas, en cambio, tienen la posibilidad de formar nuevas palabras para responder a exigencias de este tipo). En conclusión, para ciertos ob­jetos no existe un nombre propio que lo de­note; para cierta clase de objetos no hay un nombre común que se adapte a todos los elementos de la clase; se debe recurrir a una expresión más compleja.

Toda expresión lingüística que indique un individuo bien determinado, o variable dentro de una clase, se denomina argumen­to. Podemos, pues, tener argumentos pro­pios (que denotan individuos) y argumentos

comunes (que denotan conjuntos). Un ejemplo de argumento propio es la expresión "el maestro que pidió a Gauss que calculara la suma de los 100 primeros números" por­que indica una persona determinada; se ve que un argumento no puede contener a otro ("maestro", "Gauss", "suma"). Dentro de un enunciado se pueden encontrar uno o' más argumentos.

Pedro come.Los gatos reposan voluntariamente cerca

de la estufa.Roma está en Italia.El último enunciado escrito afirma algo de

Roma;"...está en Italia", se puede denomi­nar predicado a un lugar. Pero se puede pen­sar que el enunciado afirme a la vez algo de Roma y algo de Italia: "...está en..." es un predicado a dos lugares.

Conviene dejar puntos suspensivos para aclarar cuántos son los "lugares" del predi­cado, esto es, los argumentos con los cuales debe ser completado.

Podemos escribir más enunciados con el mismo predicado: "Ancona está en Italia", "Nápoles está en Italia", ..., todos entran en la función enunciativa "x está en Italia" don­de x debe ser el nombre de una ciudad ele­gible en un universo determinado. Se usa la palabra "función" por tratarse de una "má­quina" que, para cada valor atribuido a x, produce un enunciado. Queda bien aclarado cómo se procede. Se consideran enunciados de los cuales se puede decir si son verdade­ros o falsos, en correspondencia se constru­ye una función enunciativa de una variable que genera en el universo en el cual la va­riable toma sus valorés un conjunto, el de los elementos que producen un enunciado ver­dadero. Análogamente, se construye una función enunciativa de dos variables que ge-

los respectivos universos una rela­ción, conjunto de los pares ordenados que vuelven verdadero el enunciado.

Se pueden estudiar relaciones de tipo es­

pecial. Tomemos por ejemplo la función enunciativa "x está en y" (x indica una ciudad, y,una región). Para cada valor de x existe un solo objeto del segundo conjunto que origina un enunciado verdadero: la rela­ción es una aplicación. En la lengua natural, la frase se puede construir de modo que apa­rezca una artículo determinante: "y es la re­gión de la ciudad x".

Las representaciones icónicas ayudan en la elaboración de estos conceptos. Su utili­dad es bien notoria incluso en el plano didác­tico, por ejemplo, los diagramas de Euler- Venn, los gráficos cartesianos, los grafos. En una teoría matemática bastante más avanzada, los "diagramas" resultan un so­porte esencial para el tratamiento de la teoría de las categorías

Como se ve, tanto en el ámbito lingüístico como en el matemático se trata de concep­tos básicos y, por ello, simples. Lo impor­tantes es mantener vinculados los conceptos de dos ámbitos de modo de aprovechar al máximo las oportunidades ofrecidas por ca­da uno de ellos.

En una fase más avanzada se pueden ex­tender estas nociones a los lenguajes más específicos de la matemática, por ejemplo al de las calculadoras, o a los del álgebra y la lógica.

Hemos querido limitarnos a nociones utili­zabas desde los primeros años escolares.

formación de competencias sea matemáti­cas, sea lingüísticas, evidenciando algunas raíces comunes a las dos disciplinas. Ob­viamente, no sugerimos aquí itinerarios di­dácticos concretos porque nos ceñimos a un discurso "maduro" cuya traducción operativa debe estudiarse para que resulte útil a los muchachos de las diversas edades.

Hace unos veinte años la teoría de conjun­tos alcanzó un momento de gran populari­dad, sobre todo en la escuela elemental. Representaba una ruptura frente a una ense­ñanza "anquilosada", permite teorizar sobre "algo" (y no sólo sobre los objetos comunes de la matemática tradicional), permite una fundamentación completa del concepto de número, abre el camino hacia un nuevo sis­tema algebraico (el cálculo de clases). Pesa­ron negativamente la introducción al final de la escuela elemental de la terminología res­pectiva (se pretendía que los niños usaran rápidamente los términos técnicos) y los re­ducidos vínculos con las otras disciplinas y con los otros capítuolos de la matemática (a menudo, para mostrarse informados, los libros condensaban todo el "conjuntismo" en un capítulo inicial para luego no usarlo más; algunos educadores seguían la misma estrategia). Como consecuencia surgió un movimiento de rechazo.

Bajo la guía de atentas reflexiones y de los resultados de numerosas experiencias, po­demos hoy decir que las ideas esenciales de la teoría de conjuntos (y de la lógica) son un apoyo valioso para la educación lingüística (además de la educación lógica). Permiten traducir sobre el plano extensional muchos conceptos lingüísticos e introducir, por tan­to, para ellos, una fase operativa.

1

:1

.i

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F. Speranza. A. Rossi Dell * Acqua, Matemática 5, Ed. Zanichelli, Bologna, 1974.

:

ñera eny ii"" >

Hn (Viene de pág. 28)

indioamericanos en el aprendizaje matemáti­co. Las deducciones que se pueden derivar

peligrosas y habrá que investigar este te- todos los matices que puede présen­

se reseña

trabajo científico que no contenga factores teóricos y empíricos que se contrasten cons­tantemente.

En América Latina quienes investiguen es­tos temas tendrán dificultades para definir los objetivos de la educación matemática y vincularlos con los problemas de la nutrición infantil, la adquisición de un lenguaje completo y la inserción de todo el proceso en un sistema educativo democrático en el que sea real la igualdad de oportunidades, problemas éstos que no cita Begle.

vL/ - A >i

4sonma contar la cuestión.

5 Lo importante del trabajo que es la forma de poner de manifiesto que el te­ma de la educación matemática se ha consti­tuido en campo independiente de investiga­ción de jerarquía internacional y también \a afirmación de que no se puede hacer ningún

Imaginemos encontrarnos delante de un televisor en el cual aparece una mesa con va­rios objetos. Queremos indicar a una perso­na que está cerca de la mesa (por teléfono o por radio) el objeto que en la figura está indi­cado con una flecha. Debemos encontrar palabras que lo distingan de los otros objetos

33; 32

i

ESCRITOS de la situación en 1969. Existe, entonces, un programa al que se lo califica de

tradicional que se ha decidido abandonar, y un proyecto de programa elaborado por la comisión Lichnérowicz, todavía no reconoci­do. Los que participaron en la redacción de este proyecto saben bien cuántos debates ha provocado. La redacción realizada fue, en verdad, acogida con cierta satisfacción (¿No permitía una construcción más "apropiada" de la geometría?). Pero esa "cierta satisfac­ción" estaba acompañada por "cierto males­tar" mal disimulado.

¿Por qué ese malestar?Dos cuestiones, que se plantean los prác­

ticos, explican esa inquietud:1) ¿Están intelectualmente preparados los

muchachos de tercer año para acoger una construcción axiomática de la geometría?.

2) ¿Se ha planteado realmente bien el problema?. ¿No era conveniente retornar a la significación misma de la geometría en lugar de contentarse con encontrar la presenta­ción que satisficiera a la mayoría de nuestras exigencias de matemáticos y de adultos con respecto a una materia cuya misma existencia no era puesta en duda?-

Nuestros trabajos en el Instituto Pedagó­gico Nacional comenzaron con una tentativa de definir la geometría.

La geometría parte de situaciones concre­tas, estudiadas y descritas con cierto len­guaje que siempre es, con algunas variantes, el de la herencia griega. Este lenguaje fue durante mucho tiempo el único modo de aescribir las situaciones reales, pero hoy no se puede ignorar la existencia de otro len­guaje, el lenguaje algebraico de las estructu­ras.

Estas consideraciones históricas condu- plantear el problema de la enseñanza

de la geometría en la siguiente forma:¿Es necesario conservar el lenguaje ge­

ométrico tradicional, o .bien provocar un cortocircuito y hacer a renglón seguido el estudio de las situaciones reales con len­guajes algebraicos?

La enseñanza tradicional de la geometría tiene sus defensores. Conviene no respon­der a la cuetión planteada hasta que se ha-

examinado los argumentos en favor de tipo de enseñanza. ¡Hemos esclarecido

dos!. Educa el rigor, desarrolla la imagina­ción. No parece incompatible tratar de cam- , biar la concepción en la enseñanza de la geo­metría y conservar esas finalidades.

Hemos conservado cierto número de te­

mas que, a nuestro parecer, han de permitir educar el rigor y desarrollar la imaginación evitando totalmente los escollos de una axiomática que no aceptarían muy fácilmen­te nuestros jóvenes alumnos.

La lista de esos temas —que fueron objeti­vo de un comienzo de estudio - no es limita­tiva. Concierne a los siguientes temas:

1. Noción de grupos y de cuerpos finitos y no finitos. Cálculo en Z y en R

2. Espacios vectorialas sobre cuerpos o anillos finitos o no finitos.

3. Distancias.4. Medidas.5. Caminos6. Lógica y organización de la informa­

ción.

Escuchando a

Marcel Dumont;i

j

Marcel DUMONT (Francia)

Introducción a otros tiemposAntes de cualquier debate sobre la ense­

ñanza, sería una juiciosa precaución que ca­da uno de los participantes, especialmente los animadores y los directores, leyeran rápidamente biografías tales como las de Ga- lileo, Galois, Cantor. Ello tendría por efecto recordarnos que:

1) El ejercicio del poder cultural es el más grande factor de esclerosis para los que lo ejercen (en todos los niveles). Desgraciados de aquéllos que no tengan ideas de las po­tencias actuales, de las ideas concernientes a los mismos conocimientos.

2) Los progresos fundamentales se deben siempre a los análisis de los mismos funda­mentos de su empleo. A partir de cierto mo­mento, los refinamientos y los perfecciona­mientos de detalles no desembocan más que en progresos mínimos. Esto es verdad para todas las disciplinas, tanto en su interior co­mo exteriormente. La terminología de estas últimas y los tabiques que las separan, provi­niendo de muchos siglos, serían trastorna­das en poco tiempo. Este trabajo queda por hacerse.

Los optimistas podrían creer que nuestros predecesores carecían de pasado histórico y que ahora nuestras clases escogidas han ad­quirido una apertura de espíritu tal que nun­ca más habrán de producirse incompren­siones. Pero, los salvatajes milagrosos como los del estudiante Grothendiek, no siempre se producen. De todas maneras, el problema no concierne sólo al hallazgo y la selección de los escogidos; concierne a la masa de los ciudadanos.

Estas líneas no tienen otro objetivo que ponernos en guardia contra ideas totalmente construidas. En lo que se refiere á las modifi­caciones del comportamiento humano se ubican en una escala temporal fuera de nuestro alcance, miles de generaciones aca­

so. Eso explicaría la intolerancia de unos y la paciencia de otros, y viceversa. ¡El espacio es una cosa distinta de la recta y el plano'. ¡Un punto no lo es todo!.

/. Un poco de historia.. Ade 1969 a 1975) Los tres primeros escritos que aquí se

publican fueron difundidos después de eta­pas experimentales que precedieron a la re­forma, digamos, en unos diez años.

Otros, referentes a temas precisos: distan­cia, topología, incidencias y bordes, etc., habían resultado atractivos desde el comien­zo de las experiencias (que no han servido para nada, o casi para nada, por no estar de acuerdo con las ideas de las autoridades)

Este recuerdo no tiene como objetivo se­ñalar la importancia de alguno de nosotros; nos incita sólo a mantener nuestras liberta­des con respecto a toda opinión preconcebi­da, venga de donde venga, aunque sea de nosotros mismos.

A) Dijon (mayo de 1969)B) Observaciones (agosto de 1969).C) Señal de alarma (setiembre de 1969).D) ¿Adónde va la enseñanza general?

(noviembre de 1969)E) Propósitos libres (setiembre 1975).

Dijon - Mayo de 1969¿En favor o en contra de la geometría?.

¿Por qué?Desde hace mucho, todos se interrogan

sobre la orientación que se debe dar a la en­señanza en tercer año y en cuarto. Un deseo se halla en todos los informes regionales: que se defina una línea de conducta. Este deseo, explicado con claridad en febrero, tu­vo entonces como consecuencia la decisión de colocar esa cuestión en el orden del día de la reunión de mayo.

En su trabajo de reflexión, los animadores de la región parisina y, paralelamente, algu­nos equipos de Lyon, partieron del análisis

7. Dibujo geométrico.No deben olvidarse, en efecto, los alum­

nos que terminarán sus estudios a! final del cuarto año y que deberían tener ciertos co­nocimientos de dibujo geométrico... Pero conviene, sobre todo, dar a todos buenas técnicas, buenos conceptos, fácilmente utili- zables cualquiera sea la orientación futura.

Verdad es que todo trabajo preparatorio, de reflexión y de discusión, resulta indispen­sable. Adoptando una técnica de trabaje que recuerda a la de los primeros pasos de los ex­perimentadores, nos será posible investigar por pequeños grupos ejemplos precisos para ilustrar tal o cual cuestiónObservaciones concernientes al proyec­to del programa de 1968-69 relativas a las clases experimentales de tercer año.

El objeto esencial de la enseñanza destina­da a todos los alumnos de 15 a 16 años no es satisfacer a tales o cuales especialistas o es­pecialidades. Ante todo es el de dar posibili­dad a los hombres:

1. De vivir en su tiempo, de comprender y dominar las técnicas en lugar de sufrirlas.

2. De darles los medios para preparar el futuro desarrollando todas sus "cualidades" o "virtudes". Esta enseñanza, que es una enseñanza de masas, debe, sobre todo, evi­tar un grave peligro: la segregación intelec­tual, con los sentimientos de superioridad que determina entre los privilegiados.

Esto admitido, un programa experimental para un nivel dado (tercer año, por ejemplo) no tiene como objetivo prolongar la ense­ñanza dada a niveles inferiores ni de preparar la de los niveles superiores. Evidentemente, debe tener en cuenta esas cosas, pero su fi­nalidad es la de ir hacia adelante, es decir, corregir eventualmente los errores o lagunas

cen a

yanese

34 35

el estado de aprehensión, familiarización y descubrimiento en otro tema),

4. olvidar la necesidad de hacer adquirir a la mayoría conocimientos ignorados hasta los últimos años e indispensables para las generaciones futuras Se han creado ramas nuevas, o han tomado considerable impor­tancia. Sería sumamente peligroso esperar más tiempo para introducir nociones de in­formática, de estadística, de probabilidad y de investigación operativa en los programas del primer ciclo. La carencia de programas experimentales anteriores no debe impedir la experimentación de programas razonables pero evolucionados

En síntesis, el argumento según el cual un programa experimental para las clases de tercer y cuarto año debe prolongar los programas de primer y segundo año y prepa­rar los programas del segundo ciclo es un ar­gumento de paralización contrario a toda idea experimental y progresista. La idea de li- nealidad de la enseñanza desde un extremo al otro de la escolaridad, que rigió durante mucho tiempo por la elaboración de los programas, es una idea cuya eficacia a corto plazo es innegable. Pero el ritmo con el cual crecen los conocimientos, las técnicas y evolucionan las necesidades, hace dudar de su eficacia a largo término

Son posibles caminos distintos a esos programas lineales. En todo caso, la finali­dad esencial de una experiencia es buscar los caminos más eficaces y no conformarse con las prescripciones de una larga tradi ción.

acordando la mayor libertad a los experimen­tadores. A la luz de los trabajos realizados en el curso del año, y sólo por esos trabajos, las autoridades competentes podrán decidir de común acuerdo la extensión o la restricción de los programas y métodos experimentales

La cuestión esencial es saber si los experi­mentadores tienen o no la confianza de las autoridades para no perjudicar a los alumnos que se les confían.

de los programas inferiores o superiores se­gún la óptica definida más arriba.

El proyecto Revuz supone que a nivel de tercer año se puede introducir la idea de de­ducción. "Presente dondequiera en la cien­cia, debe también estarlo a partir de cierto nivel de la enseñanza. Desde el tercer año, puede y debe intervenir- en numerosas oca­siones". Esto supone que no habrá deduc­ciones antes de la clase de tercer año. Los ejemplos propuestos muestran cuán grande es la confusión entre:

1) búsqueda de informaciones,2) codificación de esas informaciones,3) organización de esas informaciones,4) codificación de la organización de esas

informaciones.Todo comportamiento inteligente del ser

humano, y esto desde la más tierna infancia, se cumple sobre la base de la deducción y la imaginación. El muchacho que juega ai billar, el obrero que prepara un motor, hacen deducciones. Querer limitar su introducción a la clase de tercer año carece de sentido. Sin duda, el proyecto quiere decir: 1) organi­zación de la deducción en miniteorías, 2) for- malización de esas miniteorías con ayuda de diversos lenguajes, comprendidos entre ellos la lengua usual.

Si es grande la unanimidad sobre la "ne­cesidad de hacer deducciones" en sentido amplio con el fin de desarrollar las cualidades de "honestidad intelectual", de "rigor", etc., y otros términos mal definidos, lo es menos acerca de la "fecundidad" de esas deducciones. En efecto, una cualidad esen­cial para el progreso de la humanidad nos parece singularmente olvidada en los progra­mas científicos latinos: la imaginación.

Muchos peligros amenazan nuestra ense­ñanza de la matemática, peligros de los cuales no siempre son conscientes los res­ponsables (a este respecto, el privilegio de infalibilidad no se je reconoce a nadie, indivi­duo o comisión, por privilegiada que sea).

Estos peligros son:1. fijar la imaginación imponiendo dema­

siado pronto y demasiado sistemáticamente apremios formales-deductivos.

2. querer hacer "la" teoría de las teorías antes de haber dado suficientes ejemplos de miniteorías;

3. ligar la etapa deductiva y formal a la edad de los alumnos mientras que esta etapa depende en primer término de las experien­cias anteriores del alumno (niño o adulto) re­lativas a un tema particular. (En efecto, se puede muy bien estar en el estado formal y deductivo en un tema, y no estar más que en

funciones trigonométricas ni las funciones logarítmicas y exponenciales.

Forma.Un programa tal no tiene el aspecto lineal

habitual: en efecto, se trata mucho más de enriquecer la experiencia de los niños que de presentarles una teoría prematura totalmen­te completa. Además, es idéntico en tercer y cuarto año, lo que permite a los maestros pasar de una etapa de familiarización, de ex­periencias sensoriales, a la etapa de mate­rialización, es decir de organización después de la formalización.

No obstante, la ignorancia que tenemos sobre una enseñanza semejante exige que se acuerde suficiente libertad a los experimen­tadores. Esa es la razón poc la cual no se ha propuesto una redacción detallada de los contenidos de todos los temas. Los detalles

Marcel DUMONT 77 de agosto de 1969

!

Señal de alarmaIEl retardo acumulado por Francia en nu­

merosos aspectos se debe, entre otras cau­sas, a una carencia cierta de nuestro siste­ma de enseñanza y educación. Frenar las ini­ciativas que intentan modernizar esa ense­ñanza y devolverle el lugar envidiable que te­nía en otros tiempos, es un verdadero cri­men hacia nuestras jóvenes generaciones, hacia todo el país. Es importante que cada uno de nosotros tome conciencia de la gra­vedad de la situación: las querellas mez­quinas, las ideas preconcebidas, las tradi­ciones, las ambiciones personales deben de­saparecer delante de este sólo objetivo: dar a nuestros niños de hoy los medios para vivir como hombres libres y conscientes en la ci­vilización de mañana. Intentar ignorar las técnicas nuevas es el medio más seguro para transformar a nuestros niños en esclavos o en revoltosos.

Por ello la Asamblea de Experimentadores del Instituto Pedagógico Nacional propuso el 21 de mayo de 1969 un proyecto de progra-

experimental para las clases de tercer y cuarto año. Ese proyecto se caracterizaba por diversos aspectos:

de esos contenidos deberían precisarse a medida que se desarrollaran las etapas de confrontación y de preparación de las expe­riencias.

Por lo contrario, el proyecto debería ser acompañado por una serie de documentos que subrayaran el espíritu con el cual esos temas podrían ser abordados. Algunos de esos documentos fueron esbozados.

Ahora bien, ese proyecto fue rechazado por la Inspección General con e! siguiente pretexto: sería imposible informar a los ma­estros sobre el nuevo contenido Ese argu­mento parece débil:

1) se trata de un programa experimental que precede en dos años a la puesta en vi­gencia de un programa que puede diferir bastante del proyecto inicial. Dos años per­miten un trabajo eficaz siempre que se lo quiera hacer bien;

2) cediendo a las presiones de los espe­cialistas, la Inspección General ha aceptado en clases superiores y acepta para las clases de tercer y cuarto año un proyecto de ense­ñanza de la geometría mediante una vía axiomática y formal. Ahora bien, el re­adiestramiento de los maestros del primer ciclo sobre una axiomática de la geometría euclidiana y una aproximación al análisis, es

menos difícil (las ex-

¡

El programa propuesto por la asamblea de los experimentadores tiene el mérito de abrir ampliamente el abanico de los conocimien­tos que se juzgan indispensables: iniciación en la informática, iniciación en la estadística, iniciación en la investigación operativa, etc.

El objetivo de la presencia de tales temas experimentales no es construir teorías sobre esos temas sino enriquecer la experiencia de los alumnos y prepararlos así, por una parte, para entrar mejor en la vida y, por otra parte, para comprender mejor las teorías que le en­señarán más adelante.

Los programas tradicionales, Lichnéro- wicz y Revuz, asignan un lugar demasiado grande a las teorías (reales, geometría afín plana) y olvidan completamente los aspectos utilitarios tradicionales (cálculos prácticos con racionales de desarrollo limitado, dibujo geométrico) y modernos (ramas citadas pre­cedentemente).

Por eso importa reconsiderar con toda ur­gencia el problema de la experimentación

ma

Contenido.1) Introducción de temas nuevos: bús­

queda de modos de enseñar nociones ele­mentales de informática, estadística y proba­bilidades, investigación operativa, lógica, to­pología, estructuras algebraicas fundamen­tales

2) Desaparición de la geometría como objetivo número 1 de la enseñanza tradi­cional pero manteniendo ejemplos geométri-

¡lustrar temas al­

una empresa periencias, al respecto, hechas en diversos países así lo muestran).

De todas maneras, readiestramiento difícil o no, lo que se debe repensar en primer tér­mino es el objetivo mismo de la enseñanza; los medios deben evolucionar en función de

no

eos, entre otros, para gebraicos.

3) Presencia de temas concernientes a técnicas usuales tales como los dibujos geo­métricos- y cálculos que no excluyan ni las

ilos objetivos y no viceversa.

En verdad, la razón profunda de ese rechazo es el lugar preponderante que tiene

i

3736

empleo es un arma de doble filo. Por otra parte, se comprueba que los fundamentos axiomáticos son inconsistentes. IViás que in­consistentes, algunos, tales como los casos de igualdad de triángulos, conservan atracción que sin duda se debe a un aspecto no despreciable desde todos los puntos de vista: el aspecto combinatorio. Ahora bien, este aspecto, debido a la nomenclatura simplista del triángulo, es el objeto mismo de estructuras algebraicas fundamentales; por tanto, se puede volver a encontrar en otro lugar que en esta presentación de la geome-

Para paliar esta debilidad lógica, algunos proponen axiomáticas modernas, coheren­tes. Infortunadamente, se trata de un edifi­cio teórico, lógico que, para ser seguido y comprendido, debe exponerse durante va­rios años.

El problema es, pues, saber si no es más eficaz enseñar minisistemas, reducidos en el tiempo, para comprender mejor que son sis­temas deductivos formales que hoy tendrían la ventaja de aplicarse a nociones indispen­sables. Además, la elaboración de un programa de instrucciones por máquinas, constituye un entrenamiento despiadado en el rigor. La máquina no interpreta los olvi­dos, las ambigüedades. ¿No es ésta la mejor escuela de autocorrección?

En síntesis, no se trata de hacer desapare­cer el epíritu geométrico y el espíritu de deli­cadeza de los cuales se enorgullecía nuestra enseñanza sin saber demasiado lo que ocul­tan esos términos.

Pero al mismo tiempo se trata también de salvaguardar las virtudes caras a los ojos de todos: el rigor, la imaginación y sobre todo la facultad de adaptarse rápidamente a si­tuaciones nuevas.

Todo el resto no es más que una querella entre los antiguos y los nuevos especialistas.

Además, en algunos países, el lugar que ocupa la matemática en la educación es pre­ponderante. En muchas partes se le con­sagran 6 horas semanales de un extremo al otro de la escolaridad. Inútil es subrayar que esos Países están a la vanguardia del de­sarrollo técnico. Se mide la discrepancia sie P,ensa en las 3 horas semanales que se

consagran a la matemática en nuestros 4 anos del primer ciclo. A falta de medios sufi­cientes en

-la geometría en la enseñanza tradicional e incluso "moderna", razón mucho mas sentí mental que lógica. Sólo basta un esbozo de análisis para mostrar la fragilidad de ese sen­timiento: f 4

1) Punto de vista utilitario (en tanto se asigne un sentido preciso a ese término).

La geometría de la enseñanza secundaria ha sido, y aún lo es, considerada como una descripción de nuestro espacio usual.

En verdad, es una descripción, y nosotros no lo olvidamos; pero ese modo de descrip­ción ignora otras propiedades de ese espa­cio, propiedades de naturaleza topológica que hoy tiene considerable importancia: to­dos los problemas de caminos, intercambios de autorutas, circuitos impresos, etc. Es nor­mal que esos nuevos problemas de nuestra civilización actual encuentren un lugar en nuestra enseñanza, incluso porque introdu­cen nuevos modos de descripción de nuestro espacio y reducen al mismo tiempo el lugar asignado a una descripción antigua.

2) Punto de vista educativo.La enseñanza deductiva de la geometría

euclidiana tenía dos objetivos: uno, explíci­to, "aprender a razonar", el otro, implícito, desarrollar la imaginación.'

a - "desarrollar la imaginación": ¿de qué forma apela a la imaginación esa geometría?. Esencialmente mediante la presencia de ma­terial sensible; las "líneas", las "figuras" ad­quieren portes de un modo de información directo, global sobre el cual el pensamiento puede trabajar independientemente de toda expresión verbal. Ese hecho era tanto más notable porque de todas las disciplinas cien­tíficas era acaso la única que ponía en fun­cionamiento la imaginación creadora.

Ahora bien, durante veinte años se de­sarrollan otros medios de información tanto visuales como sintéticos, junto a las líneas rectas y las circunferencias: grafos, orga­nigramas, diagramas, esquemas, árboles etc. Esos diseños, a la vez objetos y medios de información, solicitan también la imaqina- ción creadora y tienen además el interés denem^es P,ÍCarSe 3 situaciones mucho más ge-

b - "aprender a razonar":

vendrán con un aumento del horario a 4 ho­ras semanales por lo menos, acumularíamos un retraso terrible con respecto a otros países. Es necesario que nuestros respon­sables tomen conciencia de la gravedad del problema. Si no son capaces el país debe eli­minarlos o sufrirá las consecuencias.

Marcel DUMONT 3 de setiembre de 1969

de la evolución de ese fenómeno. No faltan los que prevén una aceleración prodigiosa. Sin anticiparnos sobre el pasado mañana, in­tentemos tan sólo repensar nuestros proble­mas de hoy y de mañana.

Iuna

1¿Qué ha hecho la enseñanza general fren­

te a ese desorden? ¡Nada! Las enseñanzas técnicas han evolucionado algo ante la pre­sión de las necesidades; pero la enseñanza en general no ha hecho estrictamente nada. Se ha intentado retocar los exámenes, dei bachillerato en particular, como si el mal es­tuviera allí, ignorando las razones profundas: nuestra enseñanza general ya no cumple su misión. No permite ninguna especialización e ignora las que han sido creadas. Permite sólo las especializaciones de otro-. Dicho de otra manera, la totalidad de nuestros ni­ños no está preparada para afrontar los problemas cotidianos con la libertad de espí­ritu que le daría un mínimo de conocimien-

;!

tría. ¿Adónde va la enseñanza general?Enseñanza general, clásica, moderna.,

¿esos términos, como muchos otros, nan conservado en la hora actual un sentido bas­tante preciso para que valga la pena usarlos? La enseñanza general designa lo que se des­tina a toda la población escolar. Seria dema­siado largo analizar los objetivos, los conte­nidos, los métodos y los resultados.

Una enseñanza general se concibe a me­nudo como una enseñanza de tipo no profe­sional, es decir, que no especializa a los alumnos para tal o cual profesión. Ahora bien, el ejercicio de una profesión hace inter­venir a menudo a diversas disciplinas, de allí hace la idea de que una enseñanza general no debe especializar a los alumnos en tal o cual disciplina. Esto sobrentiende que si esta enseñanza cumple bien su misión, debe per­mitir cualquier especiaiización posterior.

No entremos en las querellas de los psicó­logos que debaten sobre la significación o la ausencia de significación del término "apti­tud". Subrayemos simplemente el hecho de que resulta imposible desarrollar lo que se tiene la costumbre de denominar 'aptitud" sin poner en acción ur»o o varios de ios com­portamientos ante situaciones precisas.

El término general f»o tiene pues un senti­do absoluto sino relativo a onjunto de es pecializaciones posibles ante un dato deter­minado. Ahora bien, las condiciones de exis­tencia del hombre han evolucionado más en el último siglo que en el transcurso de ios veinte siglos precedentes, condiciones vin­culadas con el progreso técnico, el creci­miento de los conocimientos, el perfecciona­miento de los métodos je los medios, etc. Asistimos actualmente a jn verdadero de­sorden: hay disciplinas que estallan, que se reencuentran, surgen nuevas disciplinas. Una serie de profesiones, totalmente ignora­das hasta estos últimos años, han visto la luz. Las condiciones de existencia de nuestros niños, se lo desee o no, dependen

I

5tos.

Para convencernos basta hacer un oalan­ce comparar en cada una de las clases de la escuela secundaria y de la primaria el norario que se reserva a las clases denominadas científicas con el de las disciplinas denomi­nadas literarias y artísticas. Esta comparación en clases de primer ciclo (11 a 15 años) su­pera a todo comentario. Pero, aoemás de la insuficiencia del tiempo destinado a ¡as ciar cías, sobrevolemos, sin entrar en ios de talles, ios contenidos y métodos de esa de­masiado rara enseñanza de las ciencias (dis­ciplinas antiguas, entiéndase bien).

Sólo las ciencidS naturales nan evolu cionado. La matemática señala penosamer te una renovación. La Inspección General, bajo la presión de la Enseñanza Superior, consiente poco a poco en modificar los programas. Pero por paradójico que ello pueda parecer, no se ha examinado nmgCr plan de conjunto. En lo que se 'efiere a las ciencias físicas, ignoran la existencia de alumnos antes de «as clases superiores y Sv. contenido es sensiblemente igual que antes de este siglo. ¿Qué puede hacer, en ese fárrago más o menos fangoso, la tímida apa rición de una disciplina, la tecnología, cuvo nombre corre el riesgo de provocar ilusiones o desilusiones?

¿Se puede concebir en el momento actual que un adolescente que abandona la escuela a los 16 años, sometido a los "slogans" publicitarios, políticos, a las maquinas y a las maquinaciones de todo orden, pueda igno­rar las nociones de estadística, de probabili-

i

mente las otras ramas de la matemática en la escuela secundaria eran mucho más una en­señanza de técnicas, de*mecanismos que una escuela de reflexión. Sólo la geometría aparecía como el templo del rigor, de laT ducción más o menos sofisticada d por una parte la lengua empleada, nuestra lengua usual, lleva tantas fallas de lógica di sobrentendidos, de ambigüedades 9 ' d

t t *° '.nmed¡ato (personal, créditos, amrH?fULta. sin embargo posible y urgente n rh T 6 4 ^oras a dicha disciplina en las 40o belases experimentales.

OMa exper¡mentación de un proyecto tal ebiera hacerse en los dos años que

Y bien,

que su3938

otras lenguas usuales. Los otros medios de expresión, esto es, las teorías matemáticas y físicas, los formalismos lógicos, los grafis- mos dé todo tipo, esquemas, organigramas, diseños industriales, etc., no parecen más que astucias técnicas. Todo consiste a fin de cuentas en expresarse por intermedio de la lengua usual. Un error tal es sumamente gra­ve pues condena al hombre a la imposibili­dad de comprender la mayoría de los fenó­menos.

Estas dos razones, entre otras, explican en qué círculo vicioso está aprisionado nuestro sistema educativo. La apertura espiritual, la rapidez de pensamiento, de expresión del pensamiento, la eficacia para la síntesis, la profundidad del análisis, ya no son el patri­monio de las culturas literarias. El latín y la geometría, esos dos ejes de la cultura deno­minada clásica, desaparecerán poco a poco, y esto no porque sean perjudiciales sino por­que otras nociones, otros medios, son más importantes tanto sobre el plano de los co­nocimientos como sobre el de la educación general. El mundo en el que vivirán nuestros hijos será el mundo de la informática y no el de César o el de Euclides. Dejarlos en la ig­norancia es hacer de ellos esclavos o., re­voltosos.

¿Qué hacer para sacudir el letargo de la enseñanza general?. Un ministro, uno solc, tuvo la audacia o la habilidad o las dos cosas a la vez de criticar esa ciudadela que es la educación nacional atacando sus problemas de fondo. Cierto es que su tarea había sido bien preparada. Y sin embargo, las ciudade- las de murallas masivas que son las socieda­des de especialistas, los sindicatos, los cuadros de los altos funcionarios, las aso­ciaciones de antiguos alumnos de X o de Y, etc., y todas las agrupaciones cuya razón de ser esencial es la de preservar las tradiciones, todos ellos dieron razón a la "impertinencia de la pertinencia" de las críticas.

Parece que el esfuerzo más urgente que se debe cumplir sea un esfuerzo de informa­ción. Resulta pavoroso comprobar que las altas autoridades imaginan todavía que la cultura francesa es la mejor del mundo. Eso, que fue verdad en alguna e'poca, no lo es se­guramente ahora. Si algunos brillantes espí­ritus pueden todavía dar la ilusión, acaso uera necesario atribuirlo a su valor ante los

aemás individuos que a la educación que han recibido del sistema. Todos los padres,

aos ios educadores, todos los respon- Q .e? en cualquier nivel que sea, deberían

m ormados de los horarios, de los conte­

nidos, de los métodos y medios de enseñan­za de los distintos países extranjeros. Es evi­dente que todos los países buscan una solu­ción razonable de esos dos problemas más importantes que son la educación de todos nuestros niños y la información de todos los adultos. No resulta menos evidente que la inercia, la inacción en ese dominio, condu­cen al país a una catástrofe. Un país en el cual el sistema educativo gira sobre el pasa­do es un país que muere. Actuemos antes de que sea demasiado tarde.

cuando los programas son explicita- dos,cuando los programas son memoriza- dos,cuando los programas son codificados en un sistema coherente y compatible con la máquina.

3) lo que se espera cuando se enseña ma­temática.

4) lo que se piensa sobre la libertad de pensamiento en un régimen de trabajos intelectuales forzados en el cual el indi­viduo nunca tiene tiempo para plante­arse problemas, o ni siquiera se le da la oportunidad de planteárselos, o se le imponen problemas y soluciones, for­mas convencionales que raramente tienen en cuenta las representaciones mentales apropiadas para cada indivi­duo y dependientes de sus propias ex­periencias.

Conclusión C2Todo el esfuerzo de los psicólogos debería

realizarse sobre la observación de los traba­jos libres de los alumnos y no sobre los tra­bajos impuestos.

Conclusión C3Los especialistas de la observación (porque

parece que la educación actual hubiera olvi­dado el desarrollo de las facultades de obser­vación) podrían dedicarse a.

— el desarrollo de la imaginación,— la curiosidad,— el sentido crítico, la docilidad, la in­

docilidad, '— la tendencia a la imitación, a la anti-

mitación,— las iniciativas (tanto sobre el plano

físico como sobre el mental)

Conclusión C4Algunos problemas particulares:1) Los niños más inquietos, inventivos,

críticos y observadores son a menudo aquéllos que descuidan la escritura, la codifi­cación, la transmisión de las observaciones.

2) La progresión en los niveles de interés:- nivel 0: habiéndose planteado una si­

tuación problemática, el alumno resuelve el problema y da las respuestas y no experi­menta la necesidad de reflexionar sobre la forma cómo las obtiene.- nivel 7: segundo problema sobre el pri­

mero; la comparación de las respuestas dife­rentes incita a comparar los métodos emple­ados y las escrituras eventuales asociadas a esos métodos.- nivel2: tercer problema sobre el prime-

dad, de informática, de electrónica, de lógi­ca, de lingüística, de investigación operati­va, etc.?. ¿Qué empresa, pequeña o grande, qué comerciante, qué artesano puede exa­minar todavía la prosecución de su actividad sin hacer intervenir, conscientemente o no nociones de estrategia económica?. ¿Qué in­dividuo no usa por lo menos una vez por día instrumentos en donde la mecánica y la electrónica están intimamente entremezcla­dos?. ¿Cuál es el lugar de la electrónica en la enseñanza general hasta el final del bachille­rato? Nulo. ¿Cómo sorprenderse por el flo­recimiento en nuestros periódicos de esas "ciencias ocultas", horóscopos y otras pre­dicciones, en tanto que las nociones de azar jamás han sido explicadas de otra manera que por el sesgo eventual de obras literarias?. Sólo en el segundo ciclo, es decir para una minoría de alumnos, se tiene de­recho a algunas nociones de estadística y de probabilidades totalmente teóricas y desen­carnadas. ¿Cómo asombrarse por la apari­ción de ciertas iniciativas comerciales: "aprended radio", "hablad inglés en 6 sema­nas", "cursos de matemática moderna", "curso de informática", "aprended a jugar al billar", etc. Estas iniciativas podrían traducir un loable deseo de información permanente del gran público. En realidad, sólo constitu­yen la prueba de una gran laguna de nuestra enseñanza general, laguna que, por otra par­te, no concierne más que a las disciplinas científicas.

Además de la rigidez de una administra­ción demasiado centralizada, demasiado je­rarquizada, que paraliza las iniciativas, acaso sea preciso señalar dos factores no despre­ciables de este estancamiento:

1) La mayoría de los puestos de responsa­bilidad son confiados a personas de cultura li­teraria (al respecto, sería edificante conocer una estadística que indique la formación de nuestros hombres políticos). Ciertamente sería injusto hacer el proceso de los literatos! injusto e imprudente pues un proceso tal se convertiría sin duda en ventajoso para los acusados. En efecto, la enseñanza científica en todo está concebida y formulada de ma­nera tal que la apertura espiritual, Iá imagina­ción, no son particularmente desarrolladas en esos dominios. Esto explica la descon­fianza más o menos justificada de la opinión pública con respecto a los tecnócratas.

2) La cultura, los hábitos adquiridos, todo concurre para dar al individuo la sensación de que no puede pensar más que por inter­medio de su lengua materna o de algunas

Marcel DUMONT 20 de noviembre de 1969I

Propósitos libres.Axioma A.Si se debiera caracterizar el comporta­

miento de un matemático en "actividad con dos palabras , entonces se podría decir:

1) Curiosidad (o Investigación)2) Creatividad (o Invención)Observación 01Colocando aparte algunos niveles bien de­

terminados (algunas clases de jardines de in­fantes, primer año y tercer ciclo de la ense­ñanza superior) y algunos raros parajes aquí y allí toda la enseñanza actual de la matemá­tica está basada sobre la práctica con algorit­mos, es decir, la ejecución más o menos bien programada de listas de instrucciones más o menos bien exp/icitadas, de las cuales una parte debe ser memorizada (sin que se diga exactamente cuál). Y esto en forma "normalizada”, es decir conforme con reglas debidas a! uso y a menudo contradictorias.

(Los dos términos del coloquio: aprendiza­je y memorización, no invalidan esta obser­vación).

Conclusión C}Desearía que se diga claramente:1) que los siguientes términos (entre

otros)o no tienen sentido o lo tienen y, en ese caso, precisarlo.— inteligencia— comprensión— razonamiento— abstracto— concreto— hacer pensar— imitar, inventar— repetir

2) que la ejecución de los algoritmos (y no la creación) es del resorte de las má­quinas:

í

; 4140

:

Los manuales agregan a esto la noción de noción primera; se encuentra así que "la no­ción de un punto es una noción primera... ia noción de plano es una noción primera. . el plano es un conjunto de puntos..."). Feliz­mente la noción de conjunto ha sido elimina­da del programa puesto que si no una evi­dente contradicción aparecería desde las pri­meras definiciones...

Todas estas dificultades psicológicas de concretización y de sistematización son las que ños han llevado a elegir como noción primera la de "cuarto de punto", abreviada­mente C. D. P. (u O. E. O. para los que leen de derecha a izquierda).

(Obsérvese de entrada una familia rizad ó n con el empleo de letras).

"... El atento examen de algunos objetos familiares que nada tienen de escolares su­gieren perfectamente la imagen de esta no­ción primera que es el C. D. P. (con un detalle más: bien se podrían tomar los cuartos de lu­na, de donde por continuidad, las medias lu­nas, los "brioches" y otros objetos que gus­tan a los niños golosos, es decir, finalmente no importa que, comprendidas en ellas las nociones últimas).

"Cuando el niño ha franqueado esta pri­mera etapa de famUiarización con las imáge­nes de C.D.P. se pueden plantar los jalones de un primer esbozo de matematización, por ejemplo:

Definición: Un punto es un conjunto infi­nito de C.Q.D.

Observación: Todo conjunto de C.Q.D. no es necesariamente un punto.

Definición: Si dos C. Q.D. pertenecen a un mismo punto, Entonces y solamente Enton­ces se dirá que los dos C. Q. D. son copun- tuales.

Teorema Fundamental:Si y sólo si 2 puntos tienen un C. Q. D. co­

mún, Entonces y solamente Entonces esos dos puntos coinciden.

Naturalmente, con esas jóvenes criaturas se evitará la demostración larga pero riguro­sa de esta importante propiedad del espacio usual. Se la admitirá, etc.

Nos falta lugar para comentar estos no­tables trabajos. Los lectores interesados podrán consultar la tesis que ha valido a los autores un doctorado de 4o ciclo. Agregare­mos solamente que la inquietud de rigor, de precisión, es compensada en toda su exten- sión por|a inquietud de estar siempre a ni ve

e . n*ños. Por lo contrario, nunca será' masiado insistir acerca del carácter paradoj

ro y el segundóla comparación de las si­tuaciones más o menos análogas deja entre­ver una clase de problemas, la extensión de los mismos y la invención, sea por analogía,

oposición, de nuevas situaciones,

3) Nada se ha logrado...

co de este trabajo, a saber, la simplicidad de las primeras nociones y de su encadena­miento y la riqueza de las prolongaciones su­geridas por esta teoría que se puede también desarrollar en miniteorías, agrupar en teorías conscientes y multiplicar según teorías pro­ductos que desembocan en hiperteorías.

Señalemos también, para los mejores alumnos, la aparición de C.D.P. semiabier- tos, semicerrados, que también orientan, sea hacia consideraciones topológicas, sea hacia otra teoría, la de los Octavos de punto (O.D.P.).

En cuanto a las clases difíciles, alumnos de 7, 8, 9 años, etc., que necesitan una pe­dagogía de sostén, de consolidación, los profesores K.P.U. y K.M.M. han previsto también una teoría derivada de la preceden­te: la han denominado geometría del punto finito. Se apoya sobre una pequeña modifi­cación del axioma primero: "El punto es un conjunto de 3 C.D.P.". Sería demasiado lar­go exponer aquí las razones de esta elec­ción, ligada a la física teórica, pero es evi­dente que para los alumnos débiles, la fini- tud es más simple de manejar que la infini­tud.

Observemos aún la posibilidad de los alumnos brillantes de introducir las teorías duales de la de los C.D.P.: a saber, las de la T.E.T. y la más sutil de las P.D.C.

Los pedagogos se han puesto de acuerdo sobre el orden de aparición de los axiomas: en prioridad los axiomas métricos del espa­cio de los H.D.P.-seguidos por los axiomas afines. Este punto de vista subraya el hecho de que el espacio de las H.D.P. existe inde­pendientemente de las estructuras usadas para describirlos.

Se observará, de paso, la inquietud por la precisión del lenguaje que aporta una clari­dad nueva a las explicaciones (Ejemplo: Si... Entonces y solamente Entonces...) así como la presencia constante si bien implícita de cuantificadores tales como "un", el ,

"Para todo punto, existen por lo menos 4 C.D.P. "distintos" y copuntuales cuya reunión coincide con el punto y bastan 4 de ellos".

A las últimas novedades, parecería que una demostración algorítmica, mediante or­denador y barrido exhaustivo de los C.D.P. hubiera permitido convalidar esta conjetura. Pero numerosos teóricos no parecen estar convencidos de este método y rehúsan ad­mitir su validez. "Este rechazo subraya una vez más (el que habla es KPU) la paradoja actual: son los mismos que a la vez rehúsan el recurso de la intuición, a la imaginación y al tratamiento automático de las escrituras.

Es difícil para el ser humano admitir otros métodos y otros conocimientos que aquéllos que han nutrido su infancia. He aquí por qué nuestras autoridades se encuentran con 30 años de retraso".

(N.D.R. - Esta alusión del profesor KPU se refiere a las autoridades culturales de las islas Aleoujdi).

sea poretc.

Marcel DUMONT 24 de abril de 1975

Un C.D.P. en el agua.He aquí algunos extractos de la teoría del

C.D.P. (CUARTO DE PUNTO) (Teoríapsico-pegado-epistemo-deonto-lógico*ma-temática de los célebres profesores K0U- PAN-UIT y KRAKAMOA de la Universidad de las Islas ALEOUJDI).

...Es inconcebible que después de los tra­bajos de PrG A sobre las estucturas fun­damentales de la inteligencia se pueda toda­vía comenzar el estudio de la geometría en la forma clásica: el punto, el bipunto, el seg­mento. la semirrecta, la recta, el plano... El niño no puede trepar una escalera saltando demasiados escalones a Ia vez; de la misma manera, no puede franquear demasiadas etapas de abstracción a la vez. Por eso suge­rimos restablecer el estudio del tripunto entre el bipunto y el segmento (estudio abandonado hace poco a causa del mono­teísmo), incluir el cuadripunto en su verda­dero lugar y acaso incluir pentapuntos (las raíces latinas perdonarán a las griegas) que faltan en la sucesión lógica de esta progre­sión.

3. Algunas sugestiones más serías que la teoría de los C.D.P.

A. Objetivos.El término "geometría" debería ser aban­

donado en toda discusión pedagógica pues abarca demasiadas actividades diferentes. Nosotros retendremos entre los objetivos tradicionales que nos parece indispensable conservar:

1) familiarización con el espacio usual,2) escuela de imaginación

que son específicos de la enseñanza tradi­cional de la geometría "pura" de otros tiem-

I

...Pero Io esencial de nuestros trabajos se apoya sobre una idea simple: Iá dificultad del niño para distinguir el punto material del punto matemático: este último, en efecto, siguiendo el punto de vista, puede ser consi­derado como punto geométrico, punto afín, punto vectorial, punto proyectivo, etc. (¡sin olvidar los otros puntos!). Ahora bien, riqueza de abstracciones es difícilmente concretizable a pesar de los esfuerzos de los pedagogos ("La punta de un lápiz, una estrella en el cielo, un objeto muy pequeño para la primera, un objeto demasiado grande para la segunda, dan una imagen imperfec­ta...") ("Se representa

pos.3) escuela de rigor,

que es específica del álgebra y, de manera general, de todo lo que se vuelve formal. No alcanzan rigor su perfección más que a nivel de la programación de las máquinas, es de­cir, de los tratamientos automáticos.

Los dos primeros objetivos han sido casi completamente abandonados por los programas actuales. El retorno a las fórmu­las antiguas de cálculos de áreas y volúme­nes, que sólo conciernen a objetos que da­tan de más de 2000 años, subraya la gran mi­seria de la geometropedagogía.

Por ello desde un punto de vista utilitario intitularemos a esas actividades "Estudio de los espacios reales" (el plural se justificará más adelante). Desde un punto de vista edu­cativo, esos estudios, al familiarizar al alum­no con su medioambiente espacial, se pro­pusieron sugerir la ¡dea fundamental siguien­te: para prever algo mejor la evolución de las

esta"los", etc.Se observará igualmente el golpe de fuer­za de los autores que han logrado exponer de manera luminosa toda la teoría de los C.D.P. sin esbozar la menor figura, lo que es la prueba de su última perfección.

Finalmente, se hallará allí la marca de los grandes genios, a saber, el carácter cerrado de dicha teoría, que se basta a sí misma, pe­ro que se presta sin embargo a muy amplias aperturas. No privaremos al lector del placer de apreciar esta conjetura formulada por pri-

las islas Aleoujdi en el año 9 de

un punto mediante pequeña mancha circular o mediante

una pequeña cruz"). Ahora bien, el niño vive primero un nivel de apariencias; en el primer caso es la "manchometrla", más que la ge­ometría, la que se le ha sugerido, y en el se­gundo caso, que el estudio de los ríos no tiene nada regocijante.

una

mera vez en la era universal.cemente-

42 43

Esta observación nos incita a recalcar dos ideas fundamentales- los "movimientos" y las "transformaciones". Actualmente ambas

prácticamente ignoradas en la escolari­dad obligatoria.

2. El estudio de los "objetos" no puede hacerse independientemente del espacio que forman parte; los "automorfismos" de

"pentágono" considerando como parte de una superficie teórica, ¿son los mismos que los del pentágono considerado como parte del plano?. Esto subraya la necesidad de precisar para cada problema el medio am­biente, el cual evidentemente dependerá del nivel de experiencia de los alumnos.

situaciones, es preciso crear modelos, aprender a hacerlos funcionar e interpretar los estados y el funcionamiento. El rigor y la imaginación se solicitarán evidentemente mediante estos dos objetivos: "familia- rización-modelización".

- introduciendo las tecnologías de in­tegración, es decir, de "cúmulos".

6. Problemas de ”engendramiento" (ac­ción de engendrar):

— juegos de "embaldosados" no limita­dos a los frisos y a los planos sino extendi­dos a espacios variados; la idea fundamental que se quiere introducir es esta: en una pri­mera etapa: cómo engendrar un "espacio" con ayuda de algunos "generadores" y con cuáles "reglas"; en una segunda etapa:

clasificar diversos sistemas de

ner al alcance de las masas algunas ideas fundamentales contemporáneas:. "Surfa- ces", Ed. Cédic).son

5. "Arquitecturas simplistas”: (no limita­das a los "grafoshabituales"), incluidos, por ejemplo, rompecabezas comerciales... (des­tinados a atraer la atención sobre la organi­zación de las relaciones). No existen obras de vulgarización al respecto.

6. "Objetos tecnológicos(tales como trenes de engranaje, ensambles, articula­ciones, etc.)

7. "Curvas variadas(Cf. "Courbes mathématiques", número especial 8, Revis­ta Palacio del Descubrimiento, París).

b)Algunos comportamientos.1. Problemas de caminos (independientes

del tiempo) que conducen a: Invención- Investigación-Codificación y Práctica de al­goritmos de caminos.

2. Problemas de referencia (no sólo de puntos sino también de "bordes" que pueden ser líneas, superficies, etc.) que con­ducen a modelos vectoriales, proyecti- vos, etc., así como a técnicas de aproxima­ción relativos, por ejemplo, a las intersec­ciones de las curvas.

3. Problemas de representación y de delización, incluyendo dibujo técnico, ge­ometría "descriptiva", "cartografía" y es-

ejemplo.

B. Observaciones generales, a) La diversificación de los puntos de vis-

No privilegiar más que un punto de vista conduce a generalizaciones hacia ideas fijas y bloquea toda evolución posterior. Importa preocuparse porque esos diversos aspectos de una misma situación se presenten y, a ve­ces, incluso con aspectos "contradictorios"

Ejemplo 1: "El espacio real tiene tres di­mensiones". Al cabo de tres siglos de carte­sianismo, nuestras ciudades no son más que bloques de paralelepípedos.

Ejempio: 2- "El espacio es un conjunto de puntos". La masa de nuestros conciudada­nos queda completamente mérme ante los numerosos problemas topológicos corres­pondientes a situaciones que sin embargo son familiares y simples

un

la.

comparar y generadores.

- (Cf. al respecto "Grupos abstractos",Coxeter Moser).

D. Prospección y experimentación alrede­dor de ciertos temas.

Lo que sigue no es una clasificación: son sólo posibles vías de experimentación que permitirían al cabo de algunos años acumu­lar suficientes materiales como para consti­tuir un repertorio de actividades. Sólo a par­tir de ellas se podrán elaborar más tarde progiamas orientados hacia los conocimien­tos contemporáneos El estado de deterioro y de vacío casi perfecto de los programas ac­tuales, permite pensar que un período de ex­perimentación tal no dañaría en nada a los alumnos, todo lo contrario. La curiosidad es el objetivo N°1 de toda educación Se puede confiar en que cualquier individuo adquirirá conocimientos desde el momento en que su curiosidad está alerta.

a) Algunas bases para actividades.

- No dejarse engañar con respecto al tér­mino "abstracto"; las bases pueden ser su­mamente concretas y manejables por los ni­ños de la escuela elemental por poco que se reflexione sobre ello,

- Ciertas ideas como las de iteración y re- cursividad podrían introducirse con ese pro­pósito.

7. Problemas de clasificación.(Más estáticos y más especulativos, re­

quieren cierta cantidad de experiencias y de retrocesos sucesivos). Tales problemas no pueden surgir más que al final de familiariza- dones.

8. Problemas de "movimientos”.Un poco de cinemática que conduzca al

punto de vista "local" del estudio de una curva o de un espacio (es decir, idea.de dife­rencial y de derivadas sucesivas).

b) La apertura de los problemasUn problema no concluye nunca con una

solución. Son las aproximaciones, las gene­ralizaciones, las contradicciones, quienes dan nacimiento a una nueva clase de proble­mas. La curiosidad, el sentido crítico de la observación, la originalidad y el gusto de la aventura son las primeras cualidades de los exploradores de cualquier tipo

c) La riqueza de una situación es una con­dición primera para suscitar interés. Una lí­nea recta, un punto, un plano, todos ellos por sí solos no tienen más interés que "cuarto de punto". Sin motivación profun­da. el potencial de inteligencia permanece aletargado. Toda evaluación será falsa desde el comienzo si esas son las condiciones.C. Observaciones particulares.

1. Tomamos conciencia de un espacio porque caminamos, nos desplazamos en ese espacio. Si los árboles estuvieran dotados de inteligencia, su concepción de "su espacio" sería sin duda totalmente diferente de la nuestra. El espacio del astrónomo y el del ci­rujano neurólogo especialista del cerebro, ¿tienen muchos puntos comunes? Poincaré prefería considerar al espacio como un con­junto de trayectorias (las de las golondrinas, por ejemplo) más que como un conjunto de puntos.

mo-

porquematizaciones "maquettes":

— que necesiten el uso oinstrumentos;— que conduzcan en particular a la trigo­

nometría.4. Problemas

pendientes del tiempo).a) Automorfismos de los "objetos" estu­

diados que conduzcan a las estructuras al­gebraicas clásicas y explicitan de ese modo la utilidad de los modelos algebraicos co­menzando por las estructuras afines (grupos de operadores),b) Transformaciones de naturaleza topo- lógica que comportan, además de las defor­maciones continuas de los caminos, los truncamientos de los lados, las aristas, etc.,

— subrayando así la importancia de la no­ción de invariancia y de las clasificaciones

que de ello resulten,— permitiendo igualmente pasar

representación a otra.5. Problemas de medidas (comprendidaslas técnicas de enumeración),

limitándose a las fórmulas tradi- "objetos" no menos tra­

ía invención de

Etc.(No se puede imponer ningún orden: los problemas y conocimientos dependen del in­dividuo y no de las situaciones).

1. "Poliedros”: no limitarse ni a los po­liedros de Platón (denominados "regulares") ni a los poliedros convexos (Cf , por ejemplo, "Polyedron Models" de Magnus Wenmnger, ed. 1975, Cambridge Urnversity Press; "Formes, Espaces et Symétries", de Molden, Ed. Cédic).

2. Pedes”: de todas las clases y en todas las dimensiones.

(Las propiedades específicas de una figura pueden volverse "evidentes" cuando se la ubica en una "red" apropiada: por ejemplo, las medianas concurrentes de un triángulo ~Qei?,oar ,ue9° en ,os tetraedros.

• ♦ fa/imen<os variados”: (frisos, papeles pintados, cristales, etc.) (Cf. Rosaces, frises et pavages, Ed. Cédic).

4. "Superficies variadas”: no limitadas a Planos, esferas, cilindros ejemplo, una

c) Temas del medio ambiente (natural o provocado)

1. Cristalografía.2. Asociaciones moleculares (química-

biología). (Cf. juego Kugeli, Ed. OCDL).3. Asociaciones de redes cúbicas.(Cf.

"Minicubes", Ed. OCDL.)4. Cartografía-Navegación marítima,

aérea.5. "Maquettes" inmóviles y móviles.6. Astronomía.7. Tecnología.

de transformación (inde-

!un

EtQ.E. Conclusión.Estas listas no son evidentemente exhaus­

tivas.Los diversos niveles y clases no se deter­

minan más que cuando un número suficien­te de actividades y problemas han sido expli- citados.

Esto permite a los responsables de los tomar conciencia de la suma de

de una

— no dónales de algunos dicionales,

!y conos. (Cf. por tentativa de Griffiths para po-

programas

4544

..

Un proyecto tal parecería ambicioso si se conservara la actitud dictarorial de la ense­ñanza -actitud que es la de los trabajos for­zados-. No se puede obligar a un ser huma­no a engullir alimentos indigestos cuando no tiene ni hambre ni antojos. Es realizable, por poco que se acuerde a la curiosidad, al espí­ritu crítico y a la invención el lugar preponde­rante que nunca debieron perder y que es también el de la libertad de pensar.

experiencias y de maduraciones que se ne­cesitan para captar un concepto.

Como los conceptos, en matemática, se construyen unos a partir de los otros (sin es­tar necesariamente incluidos en la enseñan­za deductiva de una teoría), entonces será muy necesario organizar los objetivos con los materiales obtenidos.

Naturalmente, las bases de las actividades se volverían a encontrar en todos los niveles, pero conducirían a problemas diferentes y más generales.

Se podría desde ahora fijar para la conclu­sión de los estudios obligatorios un saber ha­cer mínimo que no se limitaría a Tales- Pitágoras, plano-paralelogramo y algunas fórmulas de trigonometría (para arcos de 0o a 180°).

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Marcel DUMONT Douk-Sa-Vien, Islas Ons-En-Fish

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Nota del autor: releído el 26 de febrero de 1978 en Koa-Saser, Islas Sanfout..

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