DATA PROCESSING
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I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 1
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING
Prof. ALESSANDRO DE CARLIDott. Ing. Vincenzo SuraciANNO ACCADEMICO 2011-20012
Corso di AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 2
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
STRUTTURA DEL NUCLEO TEMATICO:1. INTRODUZIONE AL DATA PROCESSING2. STIMA DEL VALORE MEDIO
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 3
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
INTRODUZIONEAL DATA PROCESSING
DATA PROCESSING 4
SEGNALEANALOGICO
SEGNALEDIGITALE
SCHEDAINPUT
DISPOSITIVO DI ELABORAZIONE
DATAPROCESSING
OSCILLATOREA FREQUENZA
COSTANTE
FILTROPASSA BASSO
CONVERTITOREANALOGICO
DIGITALE
PASSO DI CAMPIONAMENTO
PASSO DI QUANTIZZAZIONE
SCHEMA COSTRUTTIVOSCHEMA FUNZIONALE
ACQUISIZIONE DATI
BANDA PASSANTE ACCORDATAAL PASSO DI
CAMPIONAMENTO
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 5
tempo
tempo
tempo
tempo
SEGNALE UTILE
DISTURBO
RUMORE
VARIABILEMISURATA
CONTIENE INFORMAZIONIUTILI PER VALUTAREL’AZIONE DI CONTROLLO O L’EFFETTO DELL’AZIONE DI CONTROLLO
POTREBBE CONTENERE INFORMAZIONI UTILIZZABILI PER LA GESTIONE O PER LA DIAGNOSTICA
IN GENERE NON CONTIENEINFORMAZIONI UTILI
tempo
UTILE AL FINE DELLACARATTERIZZAZIONEDEL FUNZIONAMENTO
ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 6
tempo
tempo
tempo
tempo
SEGNALE UTILE
DISTURBO
RUMORE
VARIABILEMISURATA
CONTIENE INFORMAZIONIUTILI PER VALUTAREL’AZIONE DI CONTROLLO O L’EFFETTO DELL’AZIONE DI CONTROLLO
POTREBBE CONTENERE INFORMAZIONI UTILIZZABILI PER LA GESTIONE O PER LA DIAGNOSTICA
IN GENERE NON CONTIENEINFORMAZIONI UTILI
tempo
UTILE AL FINE DELLACARATTERIZZAZIONEDEL FUNZIONAMENTO
ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO
AD ESEMPIO
APPROSSIMAZIONE DOVUTA ALLA DIGITALIZZAZIONE DI UN SEGNALE ANALOGICO
VARIAZIONE DELLA PRES-SIONE O DELLA PORTATA DOVUTA ALLE OSCILLA-ZIONI DELL’OTTURATORE DI UNA SERVOVALVOLA
ANDAMENTO DELLA VARIA-BILE DI COMANDO ELABO-RATA DA UN REGOLATORE NEL CONTROLLO A LIVELLO DI CAMPO
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 7
CAMPIONAMENTOE QUANTIZZAZIONE
STIMA DELVALORE MEDIO
SEGNALE UTILE
RUMORE E/ODISTURBO
STIMA DELLADERIVATA PRIMA
SCELTA DEL PASSO DI ACQUISIZIONESE TROPPO FITTO VIENE ESALTATOIL RUMORE DI DIGITALIZZAZIONE
PASSO DI ACQUISIZIONE
SE TROPPO RADO VENGONO DISTORTE LE INFOMAZIONI CONTENUTE NEL SEGNALE UTILE
ELABORAZIONION-LINE
SEGNALE ANALOGICO
DATIACQUISITI
AUTOMAZIONE 1
STIMA DELLADERIVATA SECONDA
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 8
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CALCOLO DEL VALORE MEDIOMETODO OFF-LINE
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 9
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MEDIA ARITMETICA• Il calcolo della MEDIA ARTIMETICA di un insieme di dati è una operazione
a posteriori, ossia che può venire effettuata solo dopo che sono disponibili tutti i dati di cui si vuole calcolare il valore medio;
• L’espressione analitica risulta:
𝑋 (𝑛 )= 1𝑛∑𝑖=1𝑛
𝑥 𝑖 MEDIAARITMETICA
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 10
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MEDIA ARITMETICA• Se per il calcolo della media aritmetica si usa un dispositivo di calcolo
numerico bisogna tenere conto della lunghezza di parola finita (8-64 bit);• Il valore della sommatoria può assumere valori troppo elevati (overflow)
per essere rappresentato con la lunghezza di parola del dispositivo di calcolo.
• Il valore del termine 1/n può assumere valori troppo piccoli (underflow) per essere compatibile con la lunghezza di parola.
𝑋 (𝑛 )= 1𝑛∑𝑖=1𝑛
𝑥 𝑖OVER-FLOW
UNDER-FLOW
ESEMPIO HALF 16-bit
Underflow = 5.96 × 10−8
Overflow = 65504
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 11
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CALCOLO DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE
DATA PROCESSING 12
COME CALCOLARE L’ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO ?
la media aritmetica può essere calcolata solo per un numero limitato (n) di valori campionati.
Interessa allora effettuare una stima ricorsiva calcolando la media:
• minimizzando ad ogni passo la varianza dell’errore di stima, media adattativa
media aritmetica
tempo
ampi
ezza
• su un numero prefissato di valori digitalizzati, media mobile • aggiornandone il valore ad ogni passo, media pesata
AUTOMAZIONE 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 13
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MEDIA MOBILE• Il metodo più semplice e intuitivo per risolvere il problema dell’overflow
e dell’unferflow consiste nel limitare a k il numero degli elementi utilizzati per il calcolo del valore medio. In questo modo n può essere grande a piacere.
• L’espressione analitica della media mobile al passo j risulta:
MEDIA MOBILE𝑋 ( 𝑗 )= 1𝑘 ∑
𝑖= 𝑗
𝑗+𝑘−1
𝑥 𝑖1≤ j ≤𝑛−𝑘
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 14
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MEDIA MOBILE• Il valore di k dati e la durata del transitorio di algoritmo dipendono dalle
caratteristiche statistiche dei dati. In particolare dipendono dalla varianza.• A regime la media mobile presenta una dispersione di ampiezza limitata
e con andamento di tipo periodico.• Tale approccio richiede una occupazione di memoria di k dati su cui
viene calcolata in forma ricorsiva la media mobile.
𝒙𝒌𝒙𝒌−𝟏 …𝒙𝟏
𝒙𝒌+𝟏𝒙𝒌…𝒙𝟐
𝒙𝒏𝒙𝒏−𝟏 … 𝒙𝒏−𝒌+𝟏
PASSO 1
PASSO 2
PASSO n-k+1
REGISTRO DI MEMORIA DI k VALORI
…………………………….
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 15
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STIMA DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE
RICORSIVO
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 16
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MEDIA PESATA• Per risolvere il problema dell’occupazione di memoria si può stimare la
media al passo attuale j conoscendo il valore della media stimato al passo precedente (j-1).
• L’espressione analitica della media pesata al passo j risulta:
MEDIA PESATA
�̂� ( 𝑗 )=𝑋 ( 𝑗−1)+𝛼(𝑥 ( 𝑗)− �̂� ( 𝑗−1))
1≤ j ≤𝑛 �̂� (0 )=𝑋 0
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 17
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MEDIA PESATA• Il valore di a va fissato sulla base della varianza dei dati di cui calcolare la
media.
• Da a dipendono sia la durata del transitorio di algoritmo sia l’inevitabile dispersione della stima del valore medio.
• Dopo che è esaurito il transitorio di algoritmo, la media pesata presenta una dispersione di ampiezza limitata con andamento di tipo periodico.
• La media pesata può essere vista come un sistema controllato con modalità di controllo a controreazione.
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 18
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�̂� ( 𝑗−1 )
�̂� ( 𝑗−1 )
�̂� ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗+1 ) 𝛼
jj+1 j-1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 19
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�̂� ( 𝑗−1 )
�̂� ( 𝑗−1 )
�̂� ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗 )𝑥 ( 𝑗+1 ) 𝛼
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 20
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA• Il sistema da controllare è caratterizzato da un comportamento dinamico
assimilabile a quello di un integratore, in cui il valore al passo attuale X(j) è ottenuto come somma del valore relativo al passo precedente X(j-1) e dell’incremento al passo attuale, ossia (x(j)-X(j-1)), moltiplicato per il guadagno a.
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 21
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MEDIA PESATA• Per assicurare la stabilità della procedura e per ridurre sia la durata del
transitorio di algoritmo sia l’oscillazione residua, l’unica possibilità è quella di agire sul valore da assegnare al guadagno a.
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 22
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EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARITMETICA• Se si fa variare il guadagno a ad ogni passo j, ed i particolare si pone:
=
=
=
𝛼=1/ 𝑗
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 23
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EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA• Pertanto al passo j=n avremo:
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 24
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EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA• Notiamo che al passo n-1, si ha:
=
=
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 25
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EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA
• Sostituendo la seconda nella prima si ha:
�̂� (𝑛 )=[𝑛−2𝑛 ] 𝑋 (𝑛−2 )+ 1𝑛 𝑥 (𝑛−1 )+ 1𝑛 𝑥 (𝑛 )
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 26
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EQUIVALENZA MEDIA PESATA – MEDIA ARTMETICA• Effettuando h sostituzioni si ottiene:
• Effettuando h = n-1 sostituzioni, si ottiene la media aritmetica:
�̂� (𝑛 )=[𝑛−h−1𝑛 ] 𝑋 (𝑛−h−1 )+ 1𝑛∑𝑖=1h+1
𝑥 (𝑛−𝑖+1 )
�̂� (𝑛 )= 0𝑛 𝑋 (0 )+ 1𝑛∑𝑖=1𝑛
𝑥 (𝑛−𝑖+1 )=1𝑛∑𝑖=1𝑛
𝑥 (𝑖 )=𝑋 (𝑛)
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 27
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MEDIA PESATA• Se
all’aumentare di j il valore di 1/j raggiungere valori che non possono essere rappresentati nel dispositivo di calcolo a causa della limitata lunghezza di parola (underflow).
• Occorre allora imporre un minimo al valore che può essere raggiunto dal guadagno a.
• Se tale valore viene fissato fin dal primo passo della procedura ricorsiva, l’andamento della media pesata presenta, oltre al transitorio di algoritmo, anche una oscillazione di tipo periodico.
𝛼=1/ 𝑗
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STIMA DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE
RICORSIVOMINIMIZZAZIONE ERRORE STIMA
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 29
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MEDIA ADATTATIVA• Per ridurre gli effetti del transitorio di algoritmo si applica una
procedura di stima ricorsiva del valore medio basata sulla minimizzazione ad ogni passo dell’errore di stima, chiamata media adattativa..
• L’espressione analitica della media adattativa al passo n risulta:
𝑄𝑛=𝑄𝑛− 1+𝛼 (𝑥𝑛2−𝑄𝑛− 1 )
𝐾 (𝑛)=𝑃𝑛−1
𝑄𝑛+𝑃𝑛−1
𝑋𝑛=𝑋𝑛−1+𝐾 (𝑛) (𝑥𝑛−𝑋𝑛−1 )𝑃𝑛=𝐾 (𝑛 )𝑄𝑛
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 30
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ADATTATIVA• Il valore della media calcolato ad ogni passo n è influenzato da un errore di
misura e da un errore di stima:
• Conviene allora ricavare ad ogni passo quel valore che rende minima la varianza dell’errore di stima.
• Ciò è ottenuto applicando al calcolo ricorsivo della stima del valore medio la metodologia su cui si basa il filtro di Kalman.
𝑥𝑛=𝑋∗+𝜀𝑛�̂� (𝑛 )=𝑋∗+𝜃𝑛
VALORE MISURATO AL PASSO n
STIMA DELLA MEDIA AL PASSO n
MEDIA ESATTA (INCOGNITA)
ERRORE DI MISURA AL PASSO n
ERRORE DI STIMA AL PASSO n
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 31
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MEDIA ADATTATIVA - ASSUNZIONI• L’errore di misura e l’errore di stima sono variabili aleatorie assimilabili a
rumore bianco a media nulla, ovvero:• non presentano periodicità; • non introducono un errore costante (bias).
• L’errore di misura e l’errore di stima non sono correlati, pertanto il valore atteso del loro prodotto ha valore nullo.
𝜀𝑛𝜃𝑛
ERRORE DI MISURA AL PASSO n
ERRORE DI STIMA AL PASSO n
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 32
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MEDIA PESATA ADATTATIVA• Riprendendo la relazione della media pesata, con peso adattativo,
otteniamo:
• Sostituendo nella formula l’errore di stima e di misura, si ottiene:
• Semplificando, si ottiene:
�̂� (𝑛)=𝑋 (𝑛−1)+𝐾 (𝑛)(𝑥 (𝑛)− �̂� (𝑛−1))
𝑋∗+𝜃𝑛=𝑋∗+𝜃𝑛−1+𝐾 (𝑛 ) ( (𝑋∗+𝜀𝑛 )− ( 𝑋∗+𝜃𝑛− 1) )
𝜃𝑛=𝜃𝑛−1+𝐾 (𝑛 ) (𝜀𝑛−𝜃𝑛− 1 )
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 33
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Ricordando che errore di misura e di stima sono variabili aleatorie a valor
medio nullo, la loro varianza è il valore atteso del loro quadrato.
• Il quadrato dell’errore di stima è
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 34
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MEDIA PESATA ADATTATIVA• Ricordando che errore di misura e di stima sono variabili aleatore
indipendenti, il valore atteso del prodotto è nullo.
• La varianza dell’errore di stima è:
• Posti: si ottiene:
𝐸 [𝜃𝑛2 ]=𝐸 [𝜃𝑛−12 ]+𝐾 (𝑛)2𝐸 [𝜀𝑛2 ]+𝐾 (𝑛)2𝐸 [𝜃𝑛− 12 ]−2𝐾 (𝑛)2𝐸 [𝜀𝑛𝜃𝑛−1 ]+2𝐾 (𝑛 )𝐸 [𝜀𝑛𝜃𝑛−1 ]−2𝐾 (𝑛)𝐸 [𝜃𝑛− 12 ]𝐸 [𝜃𝑛2 ]=𝑃𝑛𝐸 [𝜀𝑛2 ]=𝑄𝑛
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )2𝑄𝑛+𝐾 (𝑛 )2𝑃𝑛− 1−2𝐾 (𝑛)𝑃𝑛− 1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 35
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Per minimizzare la varianza dell’errore di stima rispetto a K(n) si dovrà
porre:
• Ovvero:
𝜕𝑃𝑛
𝜕𝐾 (𝑛)=0
𝐾 (𝑛 )=𝑃𝑛− 1
𝑄𝑛+𝑃𝑛−1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 36
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Sostituendo
• Nella equazione:
• Si ottiene:
𝐾 (𝑛 )=𝑃𝑛− 1
𝑄𝑛+𝑃𝑛−1
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )2𝑄𝑛+𝐾 (𝑛 )2𝑃𝑛− 1−2𝐾 (𝑛)𝑃𝑛− 1
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )𝑃𝑛− 1
𝑄𝑛+𝑃𝑛−1(𝑄𝑛+𝑃𝑛− 1 )−2𝐾 (𝑛) 𝑃𝑛−1
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 37
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Continuando:
• Sostituendo nuovamente si ottiene:
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1+𝐾 (𝑛 )𝑃𝑛− 1−2𝐾 (𝑛) 𝑃𝑛−1
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1−𝐾 (𝑛 )𝑃𝑛− 1=𝑃𝑛−1 (1−𝐾 (𝑛 ) )
𝑃𝑛=𝑃𝑛−1(1− 𝑃𝑛− 1
𝑄𝑛+𝑃𝑛−1)=𝑃𝑛−1(𝑄𝑛+𝑃𝑛−1−𝑃𝑛− 1
𝑄𝑛+𝑃𝑛− 1)
𝑃𝑛=𝑄𝑛 ( 𝑃𝑛−1
𝑄𝑛+𝑃𝑛− 1)=𝐾 (𝑛)𝑄𝑛 𝑃𝑛=𝐾 (𝑛)𝑄𝑛
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 38
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVA• Per determinare la varianza dell’errore di misura viene applicata la
relazione ricorsiva che fornisce la stima del suo valore medio.
𝑄𝑛=𝑄𝑛−1+𝛼 (𝑥𝑛2−𝑄𝑛−1 ) 0.1<𝛼<0.001
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 39
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
STIMA DEL VALORE MEDIOESEMPIO COMPARATIVO
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 40
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
ESEMPIO COMPARATIVO• Consideriamo un segnale utile COSTANTE (0.5), a cui si aggiunge un
rumore bianco con escursione ±0.5. Il segnale complessivo è rappresentato in figura in blu. In rosso compare la media aritmetica.
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 41
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
FINESTRA CON 200 DATI
.6
.3
.4
.5
FINESTRA CON 50 DATI
.7
FINESTRA CON 100 DATI
.6
.3
.4
.5
.7
.6
.3
.4
.5
.7
MEDIA MOBILE
TRANSITORIO DI ALGORITMO
OSCILLAZIONI PERIODICHE
A REGIME
NECESSITÀ FILTROPASSA BASSO
MEDIA ARITMETICA MEDIA MOBILE
MEDIA ARITMETICA MEDIA MOBILE
MEDIA ARITMETICA MEDIA MOBILE
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 42
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
.3
.4
.5
.6
.7
.3
.4
.5
.6
.7
.3
.4
.5
.6
.7
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
K= .05
K= .025
K= .01
MEDIA ARITMETICA MEDIA PESATA
MEDIA ARITMETICA MEDIA PESATA
MEDIA ARITMETICA MEDIA PESATA
a=.050
a=.025
a=.010
MEDIA PESATA
TRANSITORIO DI ALGORITMO
OSCILLAZIONI PERIODICHE
A REGIME
NECESSITÀ FILTROPASSA BASSO
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 43
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
.3
.4
.5
.6
.7
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
.05
.10
VARIANZA DELL’ERRORE DI STIMA
GUADAGNO
MEDIA ARITMETICA MEDIA ADATTATIVA MEDIA ADATTATIVA
PERICOLO DIUNDEFLOW
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 44
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ARITMETICA MEDIA ADATTATIVA
MEDIA ADATTATIVACON GUADAGNO LIMITATO INFERIORMENTE
.3
.4
.5
.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
.7
K > .001
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 45
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
ESTRAZIONE DEL SEGNALE UTILEAUTOCORRELAZIONE
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 46
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SEGNALE UTILE, DISTURBO E RUMORE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1ANDAMENTO DEL SEGNALE UTILE
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL DISTURBO
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL RUMORE
t (sec)
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 47
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SEGNALE MISURATO
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ANDAMENTO DEI DATI DI PROVA
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1ANDAMENTO DEL SEGNALE UTILE
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL DISTURBO
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL RUMORE
t (sec)
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 48
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5ANDAMENTO DEI DATI DI PROVA E DEL LORO VALORE MEDIO
t (sec)
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
ARMONICHE DEI DATDI PROVA
ordine della armonica
CONTENUTO ARMONICO DELSEGNALE MISURATO
NON SI CAPISCE QUALE SIALA BANDA DEL SEGNALE !!!
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 49
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.1
0
0.1
0.2ANDAMENTO DELLA AUTOCORRELAZIONE
t (sec)
0 5 10 15 20 25 30
0
0.02
0.04
0.06ARMONICHE DELLA AUTOCORRELAZIONE
ordine della armonica
CONTENUTO ARMONICODEL SEGNALE UTILE !!!
𝜔=2𝜋 𝑛/𝑇ARMONICA DI ORDINE n
𝑇 TEMPO DIOSSERVAZIONEDEI DATI
SPETTRO DI DENSITÀ DI ENERGIA
CONTENUTO ARMONICO DELLA
AUTOCORRELAZIONEDEL SEGNALE
MISURATO
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 50
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
RICOSTRUZIONE CON 3 ARMONICHE
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
RICOSTRUZIONE CON 10 ARMONICHE
t (sec)
VERIFICADEL
CONTENUTO ARMONICO DEL
AUTOCORRELAZIONEDEL SEGNALE
MISURATO
3 ARMONICHE
10 ARMONICHE
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 51
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
ESTRAZIONE DEL SEGNALE UTILEFILTRI PASSA-BASSO
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 52
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
FILTRO PASSA BASSO IDEALE• Un filtro passa-basso ideale dovrebbe:
1. LASCIARE INALTERATE LE FREQUENZE (IN MODULO E FASE) ENTRO LA BANDA DEL SEGNALE UTILE (BANDA PASSANTE DEL FILTRO)
2. ATTENUARE MASSIMAMENTE LE FREQUENZE OLTRE LA BANDA DEL SEGNALE UTILE (BANDA PASSANTE DEL FILTRO)
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 53
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
FILTRO PASSA-BASSO IDEALE
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-90
-45
0
45
90
Pha
se (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
BANDA SEGNALE UTILE
FILTRO PASSA BASSO IDEALE
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 54
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INTRODUCERITARDO DI FASE
IN BANDA
FILTRI DI BUTTERWORTH• Esistono vari filtri in grado di fornire ottime prestazioni come filtri passa-
basso. Ad es. il FILTRO DI BUTTERWORTH
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 55
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSEL• Per capire come funzionano i filtri di Bessel, chiediamoci che forma
dovrebbe avere la funzione di trasferimento del filtro passa basso ideale.
• Il filtro deve avere un guadagno k e una distorsione di fase il più possibile «piatta» al variare delle frequenze nella banda passante.
• Passando nel dominio di Laplace
𝑢 (𝑡 ) FILTRO DIBESSEL
𝑣 (𝑡 ) 𝑣 (𝑡 )=𝑘𝑢 (𝑡− 𝛿)
𝐻 (𝑠 )=𝑉 (𝑠)𝑈 (𝑠 )
=𝑘𝑒− 𝑠 𝛿
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 56
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FILTRI DI BESSEL• Ricordando le espressioni del seno iperbolico e del coseno iperbolico:
• Esplicitiamo l’esponenziale presente nella funzione di trasferimento:
𝐻 (𝑠 )=𝑘𝑒− 𝑠𝛿= 𝑘h𝑠𝑖𝑛 (𝑠 𝛿 )+ h𝑐𝑜𝑠 (𝑠 𝛿 )
h𝑠𝑖𝑛 (𝑠 )=𝑒𝑠−𝑒− 𝑠2
𝑐𝑜𝑠h (𝑠)=𝑒𝑠+𝑒− 𝑠2
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 57
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSEL• Lo sviluppo in serie di Taylor del seno e del coseno iperbolico sono:
• Blocchiamo ad n lo sviluppo in serie.
h𝑠𝑖𝑛 (𝑠 )=𝑠+ 𝑠3
3 !+𝑠55 !
+…+𝑠2h+1
(2h+1 ) !+…
𝑐𝑜𝑠h (𝑠)=1+ 𝑠2
2 !+𝑠44 !
+…+𝑠2h
(2h )!+…
h𝑠𝑖𝑛 (𝑠)≅∑h=0
𝑛 𝑠2h+ 1(2h+1 )!
𝑐𝑜𝑠h (𝑠)≅∑h=0
𝑛 𝑠2h(2h )!
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 58
De Carli - Suraci A.A. 2011/2012 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSEL• Sostituendo nella funzione di trasferimento:
• Si può dimostrare che:
𝐻 (𝑠 )≅𝐻𝑛 (𝑠 )= 𝑘
∑h=0
𝑛 (𝑠𝛿 )2h+1
(2h+1 ) !+∑h=0
𝑛 (𝑠𝛿 )2h
(2h )!
𝐻𝑛 (𝑠 )=𝐵0 (𝑠 )𝐵𝑛 (𝑠 ) dove
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 59
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FILTRI DI BESSEL• Passando nel dominio della frequenza:
• Questa funzione di trasferimento ha un guadagno costante e una fase che varia linearmente con la pulsazione:
• La velocità di fase è costante e può essere scelta piccola a piacere, per avere una variazione di fase minima all’interno della banda passante:
𝜑 ( 𝑗𝜔 )=𝜔𝛿
𝑑𝜑 ( 𝑗 𝜔 )𝑑𝜔 =𝛿
𝐻 ( 𝑗𝜔 )=𝑘𝑒− 𝑗 𝜔𝛿
I CONTROLLORI DI TIPO CONTINUOSlide n. 60
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FILTRI DI BESSELI filtri di Bessel hanno un buon comportamento passa-basso.
I filtri di Bessel hanno la massima linearità nella risposta in fase (nella banda passante).