CSR09-Controllo di Robot Antropomorfi [modalità compatibilità]€¦ · del robot è trattato come...

Cristian Secchi Pag. 1

CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICILaurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICICONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICICONTROLLO DI ROBOT ANTROPOMORFICONTROLLO DI ROBOT ANTROPOMORFI

Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522235

e-mail: [email protected]://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

Richiami di cinematica e dinamica dei robotRichiami di cinematica e dinamica dei robot

jn

Ln-1

Ln

Un robot è una catena cinematica aperta

j0

j1

ji

Jn-1

L1

L2 Li-1 Li End - Effector

• Ogni link (Li) è collegato ad altri link tramite un giunto (Ji) che consente un certo movimento relativo tra i due link.

Controllo di Robot -- 2Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici

• Solitamente ogni giunto è motorizzato ed è, quindi, possibile controllare la posizione di ogni giunto.

• Ad ogni giunto è associata una variabile qi che rappresenta la posizione relativa del giunto i-esimo rispetto a quello i-1-esimo



Si consideri un manipolatore con n gradi di libertà. Sarà adottata la seguente notazione:

Configurazione Wrench


Vettore delle variabili di giunto

Configurazione dell’end-effector

Wrench applicato

all’end-effector

Twist dell’end-effector

Jacobiano del robot


Problemi cinematici fondamentali e soluzioni

Cinematica

Cinematica Differenziale


Statica



Ci sono varie metodologie per trovare queste relazioni, noi ci focalizzeremo sul modello di Eulero-Lagrange. Il generico modello dinamico di un robot è descritto dalla seguente equazione differenziale NON lineare.

• Si ottiene utilizzando il formalismo lagrangiano

• Generalizza le equazioni di Newton per una massa soggetta alla forza di


• Generalizza le equazioni di Newton per una massa soggetta alla forza di gravità al caso di più masse interconnesse

• Descrive il comportamento di un sistema NON lineare


M(q) Matrice d’inerzia. Tiene conto l’effetto delle massedei vari link. Dipende dalla configurazione.

Ti t l’ ff tt d li ff tti di i i i t d tti

C(q,q’)

Tiene conto l’effetto degli effetti dinamici introdotti dal moto relativo dei vari link (forze centrifughe, forze di Coriolis). Dipende sia dalla configurazione che dalla velocità

D Tiene conto degli attriti presenti nel robot come ad esempio l’attrito tra i vari giunti (ma non solo!)


p g ( )

g(q) Tiene conto dell’effetto della gravità. Dipende dalla configurazione!


Controllo di RobotControllo di Robot

Controllo di robot: Determinare le coppie con cui attuare i giunti per fare eseguire all’end-effector un compito desiderato

Le caratteristiche meccaniche di un manipolatore hanno un forte impattoLe caratteristiche meccaniche di un manipolatore hanno un forte impatto sul modo di controllare un robot. Per esempio, i problemi che si incontrano nel controllo di robot cartesiani sono fondamentalmente diversi da quelli che si incontrano nel controllo di robot antropomorfi.

Anche le caratteristiche del sistema di attuazione influenza il modo di controllare un robot. L’uso di motori CC con organi di trasmissione ad elevato rapporto di riduzione tende a disaccoppiare i giunti e ad


pp pp gattenuare gli effetti delle non linearità; tuttavia la trasmissione può introdurre giochi, attriti ed altri effetti indesiderati. L’uso di motori direct drive, direttamente calettati sul giunto senza organi di trasmissione, elimina gli effetti dovuti alla trasmissione ma il peso delle non linearità non viene in alcun modo attenuato.

Controllo di RobotControllo di Robot

Principali problematiche di controllo

Controllo di posizione: Portare il robot in una posizione target (regolazione) o fargli seguire una certa traiettoria.

Può essere effettuato sia nello spazio di giunto che nello spazio operativo


Controllo di interazione: Controllare il modo con cui il robot interagisce con l’ambiente esterno, sia strutturato che non strutturato


Controllo di posizione Controllo di posizione -- spazio di giunto spazio di giunto

Vantaggio: Semplificazioni nella costruzione del controllore

Svantaggio: Necessità di portare i setpoint nell spazio di giunto

Esistono due principali filosofie di controllo nello spazio di giunto:

1. Controllo decentralizzato (o a giunto indipendente):Ogni singolo giunto è visto come un sistema SISO e viene controllato indipendentemente dal moto degli altri giunti. L’accoppiamento tra i link viene considerato un disturbo.


2. Controllo centralizzato: Si tiene esplicitamente conto dell’accoppiamento tra i giunti e della dinamica non lineare del robot

Controllo a giunto indipendenteControllo a giunto indipendente

Le forze generalizzate τi applicate ai giunti sono generate da attuatori tramite opportuni organi di trasmissione.

qm q

Attuatore Riduttore Giuntoτm τ

Kr è una matrice diagonale (n × n) i cui elementi sulla diagonale


elementi sulla diagonale sono molto maggiori di 1 in modo da amplificare la coppia trasmessa al giunto.



La matrice M(q) nel modello di un robot ha sulla diagonale i momenti di inerzia non dipendenti dalla configurazione e termini moltiplicati per funzioni dipendenti dalla configurazione. Si può sempre scrivere:

dove è una matrice diagonale costante i cui termini rappresentano le inerzie medie viste dai giunti.

Utilizzando le equazioni dinamiche del robot e le equazioni di riduzione, si ottiene:

dove


è la matrice degli attriti viscosi riportata ai motori e

è il contributo non lineare dipendente dalla configurazione


Sistema non lineare accoppiato

+ ++

d


-+-

+

Sistema lineare disaccoppiato



Il sistema costituito dal manipolatore e dalla parte meccanica degli attuatori si può scomporre in due sottosistemi. Il primo ha ingresso τm e uscita qm ed è lineare e disaccoppiato, cioè ogni componente di τminfluenza solo la corrispondente componente di qm. L’altro ha come ingressi q e le sue derivate e come uscita d ed è non lineare e accoppiatoingressi qm e le sue derivate e come uscita d ed è non lineare e accoppiatopoiché tiene conto degli accoppiamenti non lineari del robot.

L’idea che sta alla base del controllo a giunto indipendente è quella di considerare il robot come formato da n sistemi indipendenti (gli n giunti) e di controllare ciascun giunto come un sistema SISO utilizzando tecniche di controllo lineare Il contributo d derivante dalla dinamica non lineare


di controllo lineare. Il contributo d derivante dalla dinamica non lineare del robot è trattato come un disturbo e il controllo deve essere disegnato in modo da attenuarne l’effetto sulla dinamica del sistema. Questa strategia funziona bene se Kr>>I, cioè quando non c’è accoppiamento diretto tra motore e giunto.


Prima di costruire il controllore, occorre modellare il sistema di attuazione. Verrà studiato il caso, molto comune in pratica, che il sistema di attuazione sia dato da un motore DC a magneti permanenti.

Circuito d’armaturaCircuito d armatura

vA, iA, LA e RA sono rispettivamente la tensione, la corrente, l’induttanza e la resistenza del circuito d’armatura. vM è la forza controelettromotrice

Dinamica meccanica del rotore


Dinamica meccanica del rotore

I è l’inerzia dell’albero motore e b è il coefficiente d’attrito complessivo



Accoppiamento tra il dominio elettrico e quello meccanico

kt =kv se tutte le grandezze sono misurate nel SIsono misurate nel SI

E’ utile rappresentare il motore tramite una funzione di trasferimento. Passando alle trasformate di Laplace, è possibile scrivere



Da cui

+

-




Complessivamente si ha che:

Solitamente b ≈ 0 e, quindi:

Il sistema ha due poli:


Il sistema ha due poli:


In pratica LA è abbastanza piccola da fare in modo che (RAI)2-4LAIktkv>0, cioè che G(s) abbia due poli reali. Facendo opportune approssimazioni, lecite grazie al fatto che LA è abbastanza piccola, si vede che:

p1 è detto polo elettromeccanico mentre p2 è detto polo elettrico




Mettendo in evidenza le costanti di tempo, è possibile riscrivere G(s) come:

dovedove

costante di tempo meccanica costante di tempo elettrica

Solitamente Te ¿ Tm e quindi il polo elettrico può essere trascurato e, quindi, si può fare l’ulteriore semplificazione:


quindi, si può fare l ulteriore semplificazione:


Un giunto attuato di un robot antropomorfo è quindi modellato dal seguente schema a blocchi:

+ -D

+

- +

La funzione di trasferimento che lega la posizione alla tensione


di alimentazione è data da:

dove km=1/kt è il guadagno velocità-tensione



Abbiamo costruito il modello del sistema da controllare. Per migliorare le prestazioni, verrà utilizzata la tecnica del controllo in cascata.

d

La tecnica è utilizzabile nel caso in cui:

1. La dinamica del processo da controllare sia scomponibile in due o più di i h di ti t

G1(s) G2(s)R(s)yd yu v+

-


dinamiche distinte

2. La dinamica G1(s) è più veloce della dinamica G2(s)

3. C’è la possibilità di misurare la variabile v in ingresso a G2(s)


Per la regolazione della variabile di uscita può convenire realizzare (al posto del classico schema di controllo in retroazione) uno schema di controllo caratterizzato dall’avere più anelli di controllo in retroazione in cascata, cioè uno interno all’altro.

G1(s) G2(s)R1(s)vd yu v+

-

d

R2(s)yd+

-




Il controllo in cascata ha svariati vantaggi rispetto al controllo tradizionale:

1. Il disturbo d può essere compensato dal loop interno in maniera1. Il disturbo d può essere compensato dal loop interno in maniera abbastanza veloce da eliminarne il contributo sull’uscita

2. E’ possibile, grazie al loop interno, ottenere una dinamica più veloce tra vd e v rispetto a quella tra u e v

3. Maggiore robustezza del sistema interno (grazie al loop di retroazione)


4. Possibilità di imporre una dinamica desiderata tra vd e v con conseguente semplificazione per il progetto di R2(s)


La funzione di trasferimento del sistema con un solo anello di retroazione è data da:

Mentre quella del sistema con due anelli in cascata è data da:


Il controllo in cascata consente di avere maggiori gradi di libertà per il disegno del controllore. Inoltre se R1(s)G1(s) >> 1 nella banda di interesse, è possibile considerare vd≈ v, semplificando notevolmente il disegno del controllore R2(s).



++

-D

Si consideri l’azionamento di un giunto del robot.

-

Al fine di avere un’efficiente riduzione degli effetti del disturbo D, occorre determinare l’azione di controllo in modo da avere:


1. Un elevato valore del guadagno a monte del punto di applicazione del disturbo

2. La presenza di un’azione integrale al fine di annullare a regime l’effetto della componente gravitazionale sull’uscita.


+-

D’

+-

+-

+-

-

Schema di controllo generale


dove



Vi sono tre anelli di retroazione in cascata. In ciascun anello vi è un controllore, in particolare:

Controllore Tipo di Costante di Controllore Controllo trasduzione

CP(s)Controllre di

posizione KTP

CV(s)Controllore di

velocità KTV

CA(s)Controllore di Accelerazione KTA


A( ) Accelerazione TA

L’azione di controllo dell’anello più interno deve contenere un’azione integrale (cioè un polo nell’ origine) per compensare l’effetto della gravità a regime.


Consideriamo ora le possibili soluzione di controllo per un singolo giunto. Dapprima considereremo solo il loop di posizione e poi aggiungeremo man man gli altri loop per vedere i benefici introdotti dal controllo in cascata.

Indici di prestazione:

1) Tipo di risposta al riferimento

2) Fattore di attenuazione del disturbo




Consideriamo il caso in cui sia presente solo l’anello di posizione, cioè:

+-

D’

+-

-



Analisi della risposta

Il sistema ha uno zero e tre poli. δ, ωn e τ dipendono dalle scelte fatte per


p , n p pi parametri del controllore.

Si possono distinguere tre situazioni possibili, a seconda della relazione intercorrente tra TP e Tm. In ciascuna situazione, il luogo delle radici può essere utilizzato per studiare l’influenza del guadagno kmKPkTP sul comportamento del sistema chiuso in retroazione.



I° CASO: TP<Tm

Luogo delle radici Risposta al gradino


Il sistema è instabile per ogni valore possibile del guadagno kmKPkTP


II° CASO: TP>Tm δωn<1/TP<1/τ



Il sistema è stabile ma non si possono scegliere guadagni troppo elevati per evitare l’insorgere di oscillazioni troppo accentuate sull’uscita.



III° CASO: TP>>Tm δωn>1/τ ≈ 1/TP




Lo zero in -1/T_P tende a cancellare il polo reale. A parità di guadagno si ottengono oscillazioni più smorzate.


Le caratteristiche di reiezione al disturbo del sistema sono descritte dalla funzione di trasferimento che lega l’uscita al disturbo. Tale funzione è data da:

Analisi della reiezione dei disturbi

Lo zero nell’origine è dovuto

Si vede che per ridurre l’influenza del disturbo sull’uscita conviene scegliere KP elevati. Il fattore di riduzione del disturbo dovuto all’anello di posizione è dato da:

Lo zero nell origine è dovuto all’azione integrale del controllore e, quando Θ=const. Consente di annullare gli effetti della gravità


Per ridurre al minimo l’influenza del disturbo occorre scegliere KP molto elevati. Tuttavia, ricordando l’analisi della risposta, non è consigliabile scegliere guadagni troppo elevati per evitare l’insorgere di un comportamento oscillatorio troppo accentuato. In pratica si scegli una soluzione di compromesso tra la reiezione dei disturbi e la qualità della risposta.



Consideriamo il caso in cui siano presenti l’anello di posizione e quello di velocità, cioè:

D’

+-

+-

-+

-



Analisi della risposta

Lo zero del controllore in s=-1/TV può essere scelto in modo da cancellare gli effetti del polo reale del motore in s=-1/Tm ponendo Tv=Tm. In tal caso la funzione di trasferimento complessiva è data da:


Dove δ e ωn, che caratterizzano la posizione dei poli del sistema, dipendono dai parametri di controllo.



Scegliendo opportunamente KP e KV è possibile posizionare i poli del sistema in retroazione in qualsiasi configurazione e, quindi, è possibile imporre al sistema un comportamente dinamico veloce e smorzato a piacere. In particolare se δ e ωn sono i dati di specifica (cioè la posizione in cui si desidera posizionare i poli del sistema chiuso in retroazione) KPin cui si desidera posizionare i poli del sistema chiuso in retroazione), KPe KV si determinano da queste relazioni:



Le caratteristiche di reiezione al disturbo del sistema sono descritte dalla funzione di trasferimento che lega l’uscita al disturbo. Tale funzione è data da:

Analisi della reiezione dei disturbi

Il fattore di riduzione del disturbo dovuto agli anelli di controllo è dato da:


La riduzione dell’effetto del disturbo è fissata una volta scelta la dinamica da imporre al sistema chiuso in retroazione. Il transitorio dovuto all’effetto del disturbo si esaurisce con la stessa dinamica del transitorio dell’uscita che è imponibile arbitrariamente



Consideriamo il caso in cui siano presenti l’anello di posizione e quello di velocità, cioè:

+-

D’

+-

+-

+-

-



Lo zero del controllore in s=-1/Ta può essere scelto in modo da cancellare gli effetti del polo reale del motore in s=-1/Tm ponendo Ta=Tm. In tal caso la funzione di trasferimento complessiva è data da:


Dove δ e ωn, che caratterizzano la posizione dei poli del sistema, dipendono dai parametri di controllo.



La funzione di trasferimento che lega il disturbo all’uscita è data da:

Il fattore di reiezione dei disturbi è dato da:


Grazie al terzo grado di libertà introdotto dall’anello di accelerazione, è possibile imporre arbitrariamente sia il comportamento dinamico della risposta che il fattore di reiezione dei disturbi.


Siano le specifiche di controllo date da δ, ωn ( dinamica della risposta) e XR ( reiezione dei disturbi desiderata). I guadagni KP, KV e KA si determinano dalle seguenti relazioni:


L’aggiunta dell’anello di accelerazione consent di imporre una dinamica arbitraria e un’arbitrario fattore di reiezione dei disturbi al sistema controllato.



Quando si considerano azionamenti in cui sono imposte traiettrie in posizione caratterizzate da velocità e/o accelerazioni elevate, le capacità di inseguimento dello schema di controllo in retroazione (anche con anelli di retroazione in cascata) sono inevitabilmente degradatedi retroazione in cascata) sono inevitabilmente degradate.

Una possibile soluzione è quella di inserire un’azione di compensazione in avanti sfruttando la conoscenza dei setpoint di posizione, velocità e accelerazione


Nel caso del controllo a giunto indipendente si inserisce un’azione in avanti in ogni giunto controllato e, pertanto, si parla di compensazione in avanti decentralizzata


Schemi di controllo in retroazione

Reiezione ai disturbi, robustezza rispetto alla variazione dei parametri, maggior banda passante

Schemi di controllo con azione in avanti (in catena aperta)

maggior banda passante

Non sono basate sulla retroazione di alcun segnale, azioni di controllo basate sulla conoscenza perfetta del modello del plant in teoria consentono


plant, in teoria consentono l’inseguimento perfetto di un setpoint.



Siccome il modello del plant NON E’ MAI perfettamente noto, non è possibile utilizzare esclusivamente schemi di controllo con azione in avanti.

L’idea che sta alla base della compensa ione in a anti è q ella diL’idea che sta alla base della compensazione in avanti è quella di costruire uno schema di controllo ibrido, che contenga sia azioni in retroazione che azioni in avanti. In tal modo è possibile combinare i benefici del controllo in retroazione con quelli dell’azione in avanti.

Ca(s)


G(s)R(s)yd y

-Cf(s)

a( )

+++ u


Solitamente, le azioni in avanti vengono aggiunte a un sistema di controllo in retroazione per:

1. Filtrare opportumente i segnali di riferimento, modificando in tal modo l f i di t f i t t tt tt i ti hla funzione di trasferimento tra y e yd per ottenere caratteristiche statiche o dinamiche desiderate

2. Migliorare le prestazioni ottenibili in termini di inseguimento

3. Compensare disturbi noti (o misurabili) agenti sul sistema

Uno degli obiettivi principali di uno schema di controllo è quello di ottenere


Uno degli obiettivi principali di uno schema di controllo è quello di ottenere un inseguimento perfetto, cioè y=yd. Negli schemi in retroazione questo non è sempre ottenibile in quando l’azione di controllo è basata sull’errore e=yd-y. L’utilizzo di un’azione in avanti, mette a disposizione del progettista di due garadi di libertà in più (Cf(s) eCa(s)) che consentono di ottenere migliori prestazioni per l’inseguimento perfetto.



Nel caso di controllo con compensazione in avanti si ha:

Imponendo la condizione di perfetto inseguimento del riferimento, Y(s)=Yd(s), si ottiene:


Da cui seguie che, per avere un perfetto inseguimento, si deve porre:


Quindi, noto il modello del plant G(s) e il riferimento Yd(s), per ottenere un perfetto inseguimento, è necessario “invertire” la dinamica del processo da controllare. L’azione di controllo U(s), deve contenere il termine G-1(s)Yd(s).

èQuesto tipo di azione di controllo non è sempre realizzabile. Infatti se:

1. G(s) ha degli zeri a parte reale positiva (sistemi a fase non minima)2. G(s) contiene dei ritardi significativi (termini del tipo e-Ts)3. G(s) non è un sistema proprio (cioè se npoli>nzeri)

L’azione in avanti non è realizzabile. Infatti nel primo caso si otterrebe un controllore instabile mentre nel secondo e nel terzo caso si otterrebero


controllore instabile, mentre nel secondo e nel terzo caso, si otterrebero controllori non fisicamente irrealizzabili.

In questi casi si procede per via approssimata. Si costruisce Ca(s) in modo che esso sia uguale a G-1(s) nella banda di frequenze desiderata.



Nel caso di un azionamento elettrico, la funzione di trasferimento del plant è, in prima approssimazione, a meno di costanti, data da G(s)=1/s2. Pertanto l’azione in avanti, che deve contenere il termine G-1(s)=s2, è fisicamente irrealizzabile in quanto contiene un doppia derivazione sul segnale di posizione di riferimentosegnale di posizione di riferimento.

In realtà, questo non è un problema, in quanto, quando viene calcolato il riferimento di posizone, si calcolano anche i riferimenti di velocità, accelerazione, ecc. Si può evitare di derivare un segnale di riferimento, avendo già a disposizione i valori delle sue derivate fino a un certo ordine.

Nel caso ideale cioè se G-1(s) è realizzabile e perfettamente nota l’anello di


Nel caso ideale, cioè se G 1(s) è realizzabile e perfettamente nota, l anello di retroazione e il regolatore R(s) sarebbero inutili per l’inseguimento del riferimento, essi contribuirebbero solamente all’attenuazione dei disturbi agenti sul sistema. In realtà il contributo della retroazione è fondamentale per compensare l’effetto della conoscenza imperfetta del modello, della non perfetta realizzabilità dell’azione in avanti e dei disturbi sul sistema.


G(s)R(s)yd y

-Cf(s)

Ca(s)

+++ u

- +

Sia, ad esempio:


L’azione in avanti non è fisicamente realizzabile in quanto dovrebbe essere:



Approssimiamo l’azione in avanti ideale con un’azione in avanti approssimata e poniamo:

In tal modo si ha inseguimento perfetto per yd=const.


yd (tratteggiato) e y continuo errore di inseguimento




L’introduzione dell’azione in avanti, anche approssimata, migliora molto le prestazioni in termini di inseguimento,



L’azione in avanti ideale è data da Ca(s)=s+10 e, quindi, il contributo all’ingresso del plant dato dall’azione in avanti è dato da:

D t l i i d d h l lti li i l d i iDa questa relazione, ricordando che la moltiplicazione per s nel dominio di Laplace corrisponde alla derivata nel dominio nel tempo, si deduce che l’azione in avanti ideale, se è nota la velocità di riferimento, è implementabile con il seguente schema con ka,p=10 e ka,v=1

k

ka,v

++


G(s)R(s)yd y

-+

++ u

ka,p




Siccome è stata implementata l’azione in avanti ideale, l’inseguimento è perfetto.


Sistema di conversione MetanoControllo di un riduttore Elettronico di pressioneControllo di un riduttore Elettronico di pressione

Serbatoio di alimentazione

Riduttore di pressione

Commutatore

Controllo di Robot -- 55

FiltroRail iniettori

Centralina Elettronica Gas

Controllo di un riduttore Elettronico di pressioneControllo di un riduttore Elettronico di pressione

Riduttori di pressione meccanici:

• Regolazione effettuata mediante valvola,Regolazione effettuata mediante valvola, membrana (o pistone) e molla

• Sistemi robusti• Costituiti da uno o più stadi di riduzione

Limiti:

I ibilità di i l i i it i tt l l i l


• Impossibilità di variare la pressione in uscita rispetto al valore nominale• Impossibilità di essere gestiti durante il loro funzionamento• Presenza di elementi sensibili alla temperatura (membrana)


Controllo di un riduttore Elettronico di pressioneControllo di un riduttore Elettronico di pressione

• Regolazione elettronica della pressione durante il funzionamento

• Ottenere una pressione variabile ma controllata in uscita per eventualiinnovative strategie di iniezione

• Capacità di mantenere costante la pressione in uscita al variare dellaportata

• Possibilità di facile diagnosi con strategie di recovery in caso dimalfunzionamento

• Possibilità di essere gestito, integralmente al sistema di iniezione, dalla


centralina del veicolo

• Possibilità di funzionamento con diversi carburanti

Attuatore:

InInElettrovalvola di comando

Schema di FunzionamentoSchema di Funzionamento

OutOut

Pistoncino mobile(regolatore pressione e portata)

Strategia dicontrollo:

Il sensore di pressione permette un controllo in feedback.


controllo in feedback.

Il circuito di controllo confronta la pressione d’uscita (Pout) con quella obiettivo elaborando l’appropriato comando elettrico e quindi la giusta attuazione del regolatore affinchè si eguaglino le due pressioni.


Struttura del ControlloStruttura del Controllo


Realizzazione del Controllo

Schema di controllo generale:• La pressione misurata nelrail viene confrontata colvalore di pressionedesiderato Ptarget

• Si ricava l’errore dipressione ΔP su cui agisce il controllore

• Dal rail viene richiestauna portata di gas variabile nel tempo

• Il valore di pressione dialimentazione Pin viene

id


considerato come disturbo Controllo PID


Risultati ottenuti col controllo PID

Ottimizzando i coefficienti KP, KI e KD si ottiene:

• Il sistema si comporta bene in termini di oscillazione di pressione d’uscita, se simantenengono costanti la pressione di alimentazione e la portata di gas richiesta;

• Per variazioni di portata di gas richiesta al riduttore, il sistema non risultabb t f t i tt l ifi h i hi t i t i i di t bilitàabbastanza performante e non rispetta le specifiche richieste in termini di stabilità

della Pout.

Portata di gas richiesta al riduttore


Pressione d’uscita(Pout)

Controllo con compensazione in avanti

Al controllo retroazionato viene aggiunta la compensazione in avanti:


Il modello utilizzato per costruire l’azione in avanti è stato ottenuto mediante tecniche di identificazione e gain scheduling


Risultati


Andamenti della pressione d’uscita al variare della portata di gas richiesta

Pin = 260 [bar]Ptarget = 3 [bar]


Portata di gas



grichiesta al riduttore


Risultati


Andamenti della pressione d’uscita al variare della portata di gas richiesta


richiesta al riduttore



La risposta del sistema a sollecitazioni dinamiche (portata richiesta variabile) si mantiene sempre all’interno dei limiti imposti in tutte le condizioni di pressione d’ingresso e di portata di gas richiesti da specifica.


Risultati

Andamenti della pressione d’uscita al variare della pressione desiderata

Simulazioni effettuate imponendo variazioni di pressione d’uscita Pout desiderata:d p ess o e d usc ta out des de ata

Portata richiesta = 20 [kg/h]Pin = 150 [bar]Pout = 3 5 [bar] in 300 [ms]


Portata richiesta = 30 [kg/h]Pin = 100 [bar]Pout = 3 10 [bar] in 450 [ms]


Consideriamo il caso del controllo di un giunto robotica con il solo anello di posizione.

In prima approssimazione, la relazione che lega l’accelerazione alla ètensione di alimentazione VA è data da:

E quella che lega la velocità a VA è data da:


Pertanto, invertendo le relazioni approssimate, è possibile costruire lo schema di controllo complessivo.



+-

D’

+-

-



Svolgendo dei semplici calcoli, è possibile mostrare che l’inserimento delle azioni in avanti equivale a considerare lo schema di controllo con l’anello di posizione con un riferimento in ingresso pari a:

I valori di velocità e accelerazione che sono necessari per calcolare il


I valori di velocità e accelerazione che sono necessari per calcolare il nuovo riferimento, possono essere facilmente calcolati se non già disponiile se la traiettoria desiderata è espressa in forma analitica.



Consideriamo il caso del controllo di un giunto robotica con l’anello di posizione e quello di velocità in cascata. Facendo ragionamenti del tutto analoghi a quelli precedenti, si ottiene che lo schema complessivo risulta.

+-

D’

+-

-+

-



Svolgendo dei semplici calcoli, è possibile mostrare che l’inserimento delle azioni in avanti equivale a considerare lo schema di controllo con un riferimento in ingresso pari a:



I valori di velocità e accelerazione che sono necessari per calcolare il nuovo riferimento, possono essere facilmente calcolati se non già disponiilese la traiettoria desiderata è espressa in forma analitica.



D’

+-

D

+-

+-

+-

-



Svolgendo dei semplici calcoli, è possibile mostrare che l’inserimento delle azioni in avanti equivale a considerare lo schema di controllo con un riferimento in ingresso pari a:



I valori di velocità e accelerazione che sono necessari per calcolare il nuovo riferimento, possono essere facilmente calcolati se non già disponiilese la traiettoria desiderata è espressa in forma analitica.



Si noti che man mano che crescono gli anelli di controllo, cala il grado di conoscenza del modello richiesto per l’implementazione dell’azione in avanti. In particolare:

A ll di i i T kAnello di posizione: Tm, km

Anelli di posizione e velocità: km

Anelli di posizione, velocità e accelerazione: km, ma con peso ridotto


L’inserimento dei termini con l’azione in avanti migliora notevolmente le prestazioni in termini di inseguimento che sono tanto migliori quanto più è noto accuratamente il modello del sistema.


E’ possibile individuare delle strutture di controllo equivalenti a quelle viste finora che invece di utilizzare la retroazione di variabili intermedie utilizzano la sola retroazione di posizione e regolatori con azioni standard(P, PI, PID, PID2).

Le due strutture alternative sono equivalenti in termini di reiezione dei disturbi e di inseguimenti della traiettoria, tuttavia l’eliminazione degli anelli interni, diminusce drasticamente la possibilità di agire sulla dinamica delle variabili interni (accelerazione, velocità) e rende meno intuitiva la scelta dei guadagni di controllo.


Tuttavia, siccome il PID è il controllore più diffuso in ambito industriale, gli schemi con i regolatori standard sono di gran lunga i più diffusi nelle aziende.



Gli schemi di controllo illustrati finora consentono un inseguimento asintotico di ogni traiettoria fisicamente realizzabile nel caso in cui il disturbo agente sul giunto sia nullo.

La presenza inevitabile del disturbo provoca l’insorgere di un errore che deteriora le prestazioni in termini di inseguimento della traiettoria desiderata.

Finora abbiamo considerato il disturbo una grandezza esogena ignota


Finora abbiamo considerato il disturbo una grandezza esogena ignota agente sull’azionamento e abbiamo cercato di diminuirne l’influenza sulla dinamica del giunto.


In realtà le cose si possono migliorare perché il disturbo agente sull’azionamento ha un’espressione ben nota ed è calcolabile una volta noto il modello del manipolatore.

àSiano i setpoint di posizione, velocità e accelerazione per TUTTI i motori dei giunti (cioè i setpoint a valle dei riduttori). E’ allora possibile calcolare la seguente azione in avanti:

Cioè l’espressione analitica del disturbo utilizzando i valori di setpoint.


p p

Questa azione in avanti tende a compensare l’effetto del disturbo sul giunto derivante dalla struttura meccanica del manipolatore. Una compensazione di questo tipo è detta compensazione in avanti a coppia precalcolata.



Azione

Azione in avanti

centralizzata

ControlloreDecentralizzato

Azionamento del giunto

+-

Azione in avanti

decentralizzata

-+ +

+


Schema di controllo con compensazione in avanti a coppia precalcolata


• Sebbene il termine di disturbo residuo dir=dd

i-d si annulli solo nel caso ideale di inseguimento perfetto, (q=qd) e di conoscenza perfetta del modello, in ogni caso dr rappresenta un disturbo di interazione ridotto rispetto a d; pertanto la tecnica di compensazione a coppia precalcolata riduce l’effetto del disturbo di accoppiamento e richiede al controllo minori sforzi di reiezione al disturbo e, quindi, minori costanti di guadagno

• Il calcolo dell’azione in avanti ddi è oneroso computazionalmente (è

un’azione di controllo centralizzata) e i tempi di calcolo potrebbero eccedere il periodo di campionamento in sistemi real-time.

• Per rendere realizzabile la compensazione del disturbo anche in sistemi i i d i d di i i l ibil


caratterizzati da un periodo di campionamento piccolo, una possibile soluzione è quella di calcolare una compensazione parziale, cioè di calcolare solamente i termini più significativi del disturbo: i termini dovuti alle inerzie e i termini gravitazionali.


Controllo CentralizzatoControllo Centralizzato

• Nel controllo a giunto indipendente ciascun giunto è considerato separatamente.

• In realtà un manipolatore non è un insieme di n sistemi disaccoppiati ma è un unico sistema multivariabile con n ingressi (le coppie ai giunti)coppie ai giunti).

• Gli algoritmi di controllo centralizzato considerano il robot nel suo insieme e sfruttano le caratteristiche, anche non lineari, del sistema per ottenere gli obiettivi desiderati

• L’approccio centralizzato è più rigoroso di quello decentralizzato e consente di disegnare leggi di controllo non lineari che consentono di ottenere la stabilità globale e l’inseguimento di setpoint desiderati

• Le performance che si ottengono con algoritmi di controllo


centralizzato sono migliori di quelle che si ottengono con il controllo decentralizzato. Pertanto, il controllo centralizzato diventa indispensabile quando si ha a che fare con applicazione avanzate.

• L’algoritmo di compensazione in avanti a coppia precalcolata è un esempio particolare di controllo centralizzato.


Per costruire la legge di controllo è necessario tenere conto del modello dinamico del manipolatore:

Il meccanismo di attuazione (motori DC) e riduzione è governato da:

Kt è la matrice delle costanti di coppiaKr è la matrice di riduzioneRa è la matrice di resistenze di armatura


aKv è la matrice delle costanti di tensionGv è la matrice di guadagni degli amplificatorivc è il vettore delle tesioni di controllo dei servomotori



Attuatori ManipolatoreVA

IA

q

Applicando opportune sostituzioni, il modello del manipolatore con il sistema di attuazione è dato da:

Si considera tutto il sistema MIMO con n ingressi e n uscite


dove


• La struttura dinamica del sistema da controllare è la stessa• Il sistema complessivo risulta controllato in tensione

Manipolatore+

-

τuvc


Le coppie date in ingresso ai giunti si ottengono sottraendo all’ingresso u il termine dovuto alla forza controelettromotrice.



Utilizzando un sistema controllato in tensione, le coppie fornite dipendono dalle matrici Kt, Kv e RA dei motori che sono influenzate dalle situazioni operative.

Per ridurre la sensibilità alle variazioni parametriche è conveniente considerare azionamenti caratterizzati dal controllo in coppia (corrente) piuttosto che dal controllo in tensione. In tal caso gli attuatori si comportano come generatori controllati di coppia:


Viene pertanto imposta la corrente di armatura anziché la tensione di armatura tramite la matrice diagonale dei guadagni Gi.


Effettuando opportune sostituzioni, il modello del manipolatore con il sistema di attuazione è dato da:

dove

Manipolatoreu=τvc


Il sistema complessivo risulta controllato in coppia.

Negli schemi di controllo illustrati, si determina la legge di controllo u che assicura il soddisfacimento di opportune specifiche. La tensione da vc da applicare si può ottenere dividendo u per opportune costanti di guadagno.


Controllo PD + Compensazione di gravitàControllo PD + Compensazione di gravità

• E’ un tipo molto semplice di controllo centralizzato

• Combina l’azione lineare del controllore PD con un termine di compensazione non lineare

• Risolve il problema della regolazione, cioè di portare il manipolatore in una configurazione che sia globalmente asintoticamente stabile

• E’ utile per compiti in cui è richiesto il posizionamento dell’end


• E’ utile per compiti in cui è richiesto il posizionamento dell’end-effector in una ben precisa posizione (es.: pick & place)


Si consideri una configurazione qd=(q1, … ,qn)T in cui si desidera portare il robot. In altri termini, il controllore deve garantire che il punto qd sia un punto di equilibrio asintoticamente stabile per il sistema descritto da

L’idea di base è quella di compensare tramite l’azione di controllo l’effetto


q pdella gravità, che tende a portare il robot in una configurazione di minimo di energia potenziale gravitazionale, e poi di introdurre, sempre attraverso il controllore, un’azione che tenda a portare la configurazione del robot in qd.



Da un punto di vista energetico, l’idea è quella di fare un energy shaping, cioè di dare all’energia del sistema controllato la forma di interesse.

Il manipolatore se lasciato libero di evolvere tende a portarsi nellaIl manipolatore, se lasciato libero di evolvere, tende a portarsi nella configurazione di minimo di energia potenziale (gravitazionale). Si costruisce pertanto un’azione di controllo che imponga al sistema controllato un’energia potenziale “desiderata”, cioè con un minimo nella configurazione desiderata qd.

Si costruisce una legge di controllo che compensa il termine gravitazionale g(q) e lo sostituisce con un termine elastico:


g g(q)

dove KP è una matrice definita positiva di guadagni, interpretabili come effetti elastici introdotti sui giunti


Il comportamento dinamico del sistema controllato è dato da:

da cui segue

Il termine relativo al potenziale gravitazionale è stato sostituito da un termine associato a un potenziale.


La configurazione qd è una configurazione di equilibrio per il manipolatore. Perché sia risolto il problema della regolazione, è necessario che qd sia asintoticamente stabile.



Si definisca la seguente variabile:

Considerando il cambio di variabile


è possibile studiare l’asintotica stabilità di qd studiando l’asintotica stabilità dell’origine del sistema nelle nuove coordinate


Si consideri la seguente funzione candidata di Lyapunov:

la funzione è composta da due termini:

L’energia cinetica del sistema


L’energia potenziale elastica imposta al sistema tramite l’azione di controllo



Siccome M(q) e KP sono definite positive per ogni q, la funzione V è definita positiva. Consideriamo ora la sua derivata orbitale. Tenendo conto che

si ha che:


ma:


Per cui:

da cui

ma, per le proprietà del modello di Eulero-Lagrange


pertanto



Siccome D è una matrice definita positiva, la derivata orbitale di V è definita negativa e, pertanto, in virtù del criterio di Lyapunov, la configurazione qd è una configurazione di equilibrio asintoticamente stabile per il sistema controllato. Siccome poi la funzione di Lyapunov è adialmente illimitata il p nto di eq ilib io è GASradialmente illimitata, il punto di equilibrio è GAS.

La velocità con cui il robot si porta nella configurazione desiderata è data dalla velocità con cui V va a 0 e, pertanto dalla matrice D. Per poter imporre una velocità arbitraria di convergenza a 0 di V è utile introdurre nell’azione di controllo un termine derivativo e, cioè, considerare


dove KD è una matrice definita positiva che può essere interpretata come un attrito aggiuntivo introdotto dal controllo.


In tal modo, considerando la stessa funzione di Lyapunov ed effettuando gli stessi passaggi, si ottiene:

scegliendo opportunamente la matrice KD è possibile imporre al robot di portarsi in qd con una velocità arbitraria.




Schema di controllo

Manipolatore+ -+ u

A i di C t ll

Manipolatore- + +


Azione di Controllo


• La legge di controllo è non lineare nel termine gravitazionale e lineare di tipo PD La configurazione q è GAS er ogni K e K

Osservazioni

lineare di tipo PD. La configurazione qd è GAS er ogni KP e KDdefinite positive

• L’introduzione dell’azione derivativa (KD) è necessaria per sistemi caratterizzati da bassi coefficienti di attrito

• Il calcolo di g(q) deve essere perfetto altrimente la metodologia di ll di l i ll bili à


controllo non consente di trarre nessuna conclusione sulla stabilità di qd


Controllo di Robot Controllo di Robot -- EsempioEsempio

y1

x2y2

q2

mi = 1 Kgqi = variabile del giunto i-esimoIi = 1 Nsec^2/rad^2a = 1 m

x0

y0x1

q1

ai = 1 maCi = 0.5 mg = -9.8 m/sec^2τi = coppia agente sul giunto i



x1

y1

y2

q2

Configurazione di Partenza

q1=π/2 rad

x0

y0x2

q1

q1 /q2=-π/2 radx=1 my=1 m




Posizione di pick: x = 1.71 m y = 0.71 m

y0

Posizione di place: x = 0 m y = 1.41 m

x0


x0

y0


Parametri del controllore:

• KPx=KPy= 60 N/my• KDx=KDy= 20 Nsec/m



Controllo a dinamica inversaControllo a dinamica inversa

• E’ una strategia di controllo centralizzata

• E’ utile per problemi di tracking di traiettoria

• Richiede una conoscenza accurata del modello del manipolatore

• Si basa sulla linearizzazione globale del sistema



Il modello dinamico del manipolatore con il suo sistema di attuazione può essere riscritto come:

L’idea è quella di trovare un’azione di controllo che consenta di linearizzare globalmente il sistema cioè di trasformare un sistema non


linearizzare globalmente il sistema, cioè di trasformare un sistema non lineare in un sistema lineare MIMO.

Ciò è possibile in quanto la matrice M(q) è sempre invertibile e si ottiene mediante una retroazione non lineare dello stato del sistema.



Si consideri la seguente azione di controllo:

Dove y rappresenta un nuovo vettore di ingresso la cui struttura deve Dove y rappresenta un nuovo vettore di ingresso la cui struttura deve essere ancora determinata. Utilizzando l’ingresso proposto si ottiene:

Manipolatoreu


Manipolatore+ +


L’azione di controllo proposta porta il sistema ad avere un comportamento descritto da

Dove y è il nuovo ingresso.

Il nuovo sistema è lineare e disaccoppiato rispetto a y, cioè la componente


Il nuovo sistema è lineare e disaccoppiato rispetto a y, cioè la componente yi del nuovo vettore di ingresso influenza solo la componente qi delle variabili di giunto.



Occorre determinare un ingresso y che renda il sistema asintoticamente stabile. Se si sceglie:

Si ottiene che:

che se le matrici K e K sono definite positive risulta asintoticamente


che, se le matrici KP e KD sono definite positive, risulta asintoticamente stabile. Se il sistema viene lasciato libero di evolvere (r=0) esso tende a portarsi nella configurazione GAS q=0. Scegliendo opportunamente le matrici KP e KD è possibile assegnare una dinamica arbitraria al sistema, cioè è possibile assegnare arbitrariamente gli autovalori della matrice di stato che descrive il sistema lineare.


Sia qd(t) una traiettoria che si desidera il manipolatore segua. Imponendo:

Si ottiene che

dove

Pertanto, scegliendo KD e KP definite positive, la dinamica dell’errore di inseguimento è asintoticamente stabile e, pertanto, l’errore di inseguimento tende a 0 con una dinamica che può essere arbitrariamente


g pimposta scegliendo opportunamente KP e KD.

Tramite il controllo a dinamica inversa si possono ottenere ottime prestazioni di tracking per ogni traiettoria desiderata.



Manipolatore+ +u++

+



• Si possono distiguere due anelli di retroazione: quello più interno è una retroazione non lineare dello stato che rende il sistema controllato lineare e disaccoppiato. L’anello più esterno è una retroazione lineare dello stato che stabilizza il sistema complessivo.

• Per implementare questa strategia di controllo è necessario il calcolo in tempo reale e la conoscenza perfetta di tutti i termini del modello dinamico del manipolatore. Questo può risultare problematico e rappresenta il punto debole del controllo a dinamica inversa.


• Esistono tecniche di controllo che non hanno bisogno di una conoscenza precisa del modello del robot (controllo adattativo, controllo sliding mode, …)



y

x2y2

q

mi = 1 Kgqi = variabile del giunto i-esimoIi = 1 Nsec^2/rad^2

Esempio

x0

y0x1

y1

q1

q2Ii 1 Nsec 2/rad 2ai = 1 maCi = 0.5 mg = -9.8 m/sec^2τi = coppia agente sul giunto i



Posizioni dei giunti


Coppie


Controllo nello spazio operativoControllo nello spazio operativo

• Finora abbiamo supposto che la traiettoria di setpoint fosse data nello spazio di giunto e che fossero note le sue derivate.

• Spesso le specifiche di moto vengono prescritte nello spazio operativo e non nello spazio di giunto

• E’ necessario utilizzare algoritmi di cinematica inversa per ricavare i setpoint per gli schemi di controllo che agiscono sullo spazio di giunto

Cambio diCoordinate Controllore Manipolatore

-


Il cambio di coordinate è oneroso computazionalmente, soprattutto se occorre ottenere anche setpoint di velocità e di accelerazione. Per questo, le attuali unità di governo dei robot ricavano i setpoit di posizione per i giunti mediante inversione cinematica e calcolano i setpoint di velocità e di accelerazione, se richiesti dal controllore, mediante algoritmi di derivazione numerica.


Un approccio alternativo consiste di considerare schemi di controllo costruiti direttamente nello spazio operativo. In questi schemi, le grandezze misurate ai giunti vengono trasformate, mediante la cinematica diretta, nella posizione nello spazio operativo. Si calcola poi l’errore di regolazione direttamente nello spazio operativo e lo si utilizza per generare le coppie dadirettamente nello spazio operativo e lo si utilizza per generare le coppie da dare ai giunti.

Controllore Manipolatore-


Alto onere computazionale

Molto utili per certe applicazioni

Maggiori periodi di campionamento (quindi, degrado delle prestazioni)

Controllo di interazione



Schema di principio 1


J-1(q) consente di ottenere l’errore nello spazio di giunto a partire dall’errore nello spazio operativo. L’azione di controllo è implementata nello spazio di giunto.


Per utilizzare tale schema gli errori di regolazione devono essere “piccoli”.

Occorre fare attenzione a non avvicinarsi a configurazioni di singolarità


Schema di principio 2


L’azione di controllo è implementata direttamente nello spazio operativo, a partire dall’errore Δx. L’azione di controllo, un wrench da applicare all’end-effector, è convertito in un vettore di coppire tramite JT(q).


Non ci sono problemi realizzativi quando ci si avvicina a configurazioni di singolarità.



E’ possibile riformulare il controllo PD + compensazione di gravità nello spazio operativo. L’idea che sta dietro all’azione di controllo risulta molto intuitiva.

Problema: Progettare un Controllore nello spazio di lavoro che porti l’end-g p peffector ad una data configurazione.

Il controllore deve agire come il sistema molla-damper. La molla tira l’end-effector verso l’obiettivo e il damper smorza le oscillazioni portando il robot a fermarsi nell’obiettivo

Target

KP

KD


nell obiettivo.

Azione Proporzionale all’errore di posizione

Azione proporzionale alla Derivata dell’errore

g


• Un controllore PD sarebbe sufficiente se non ci fosse la gravità• La forza di gravità “disturba” il robot tendendo a “tirarlo in basso”• Per poter usare il controllore PD occorre compensare l’effetto della

gravitàg

Manipolatore+

-

-++ +

u


KP e KD definite positive



Verifichiamo che l’azione di controllo rende GAS xd.

Si definisca la seguente variabile:

Considerando il cambio di variabile


è possibile studiare l’asintotica stabilità di xd studiando l’asintotica stabilità dell’origine del sistema nelle nuove coordinate


Si consideri la seguente funzione candidata di Lyapunov:

la funzione è composta da due termini:

L’energia cinetica del sistema


L’energia potenziale elastica imposta al sistema tramite l’azione di controllo



Siccome M(q) e KP sono definite positive per ogni q, la funzione V è definita positiva. Consideriamo ora la sua derivata orbitale. Tenendo conto che

si ha che:


ma:


Per cui:

da cui

ma, per le proprietà del modello di Eulero-Lagrange

t t


pertanto

scegliendo opportunamente la matrice KD è possibile imporre al robot di portarsi in xd con una velocità arbitraria.



Anche il controllo a dinamica inversa può essere riformulato nello spazio operativo.

Dove y rappresenta un nuovo vettore di ingresso la cui struttura deve essere ancora determinata. Il nuovo ingresso deve essere determinato in modo che l’end-effector segua la traiettoria di setpoint xd


g p d


Derivando l’equazione costitutiva della cinematica differenziale diretta si ha:

Se si sceglie come ingresso, se J(q) è invertibile:g g , (q)

Si ottiene

Pertanto, scegliendo KD e KP definite positive, la dinamica dell’errore di

dove


inseguimento è asintoticamente stabile e, pertanto, l’errore di inseguimento tende a 0 con una dinamica che può essere arbitrariamente imposta scegliendo opportunamente KP e KD.

Tramite il controllo a dinamica inversa si possono ottenere ottime prestazioni di tracking per ogni traiettoria desiderata.



Manipolatore+ +u++

++



• Si ottengono ottime prestazioni di inseguimento di traiettoria

• C’è il problema delle singolarità siccome nella legge di controllo compare l’inversa dello Jacobiano. Occorre pianificare le traiettorie e costruire l’azione di controllo in modo da tenere il manipolatore lontano dalle singolarità



CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICILaurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica

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Ing. Cristian SecchiTel. 0522 522235

e-mail: [email protected]://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi

CSR09-Controllo di Robot Antropomorfi [modalità compatibilità]€¦ · del robot è trattato come...

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