Costruzioni idrauliche

Luciano Pirri - 1998

4 ottobre 2015

Indice

1 Idrodinamica 31.1 Viscosità, o attrito interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Liquido perfetto e reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Il moto dei �uidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Moto vario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Moto permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.3 Moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Portata - Legge di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Teorema di Bernoulli per liquidi ideali . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Rappresentazione gra�ca del teorema di Bernoulli . . . . . . . . . 7

2 Correnti in moto uniforme 72.1 Equazione del moto in una condotta . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Equazione del moto in un canale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Perdite di carico continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Condotte in pressione in tubi circolari . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Perdite di carico continue nei circuiti termici . . . . . . . . . . . 92.6 Canali in condotte circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Corsi d�acqua naturali - Sistemazioni montane 103.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Suddivisione del corso di un torrente . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Rimboschimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Sistemazione delle pendici montane . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 Sistemazioni degli alvei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.6 Briglie o traverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Canali 124.1 Correnti lente veloci e rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Sezioni idrauliche nel moto uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Veri�ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.4.1 Trapezia isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1

4.4.2 Sezioni di minima resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4.3 Circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4.4 Semicircolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.4.5 Trapezia isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.5 Tavola sinottica per esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Smaltimento delle acque 195.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Il bacino idrogra�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Tempo di corrivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4 Linea segnalatrice di pioggia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.5 Portata di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Calcolo della sezione del collettore 246.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246.2 Sezione circolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6.2.1 Criteri di scelta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2.2 Ricerca della velocità massima . . . . . . . . . . . . . . . 266.2.3 Ricerca della portata massima . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3 Sezione ovoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.4 Canale di minima resistenza - sezione semicircolare . . . . . . . . 30

6.4.1 Relazioni disponibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.4.2 Uso della formula di Bazin . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4.3 Uso della formula di Strickler . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7 Esempio di progetto di un canale 327.1 Pro�lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327.2 Indagini idrologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.2.1 Tempo di corrivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2.2 Linea segnalatrice di pioggia . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2.3 Coe¢ ciente udometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2.4 Portata di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.3 Progetto della sezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.3.1 Forma e dimensioni e natura dell�alveo della sezione . . . 337.3.2 Prima soluzione - Altezza assegnata . . . . . . . . . . . . 347.3.3 Seconda soluzione - snellezza assegnata . . . . . . . . . . 367.3.4 Terza soluzione - Velocità assegnata . . . . . . . . . . . . 377.3.5 Quarta soluzione. Sezione di minima resistenza per �

assegnato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.4 Scelta della sezione da adottare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.5 Dimensionamento del salto di fondo . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8 Sintesi matematica per la sezione trapezia 428.1 Gli strumenti di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428.2 Le formule disponibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.3 Prima soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2

8.4 Seconda soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.5 Terza soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448.6 Quarta soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1 Idrodinamica

1.1 Viscosità, o attrito interno

La viscosità è al misura dell�attrito interno dei �uidi. L�aumento della viscositàprovoca un aumento della di¢ coltà con cui il �uido scorre all�interno di uncondotto. Un �uido perfetto ha viscosità nulla.Consideriamo due elementi piani e paralleli di �uido di super�cie A e distanti

tra loro di �y, il primo elemento ha velocità V ed il secondo ha velocità V +�V .Per mantenere il movimento è necessario applicare una forza che aumenta conl�aumentare dell�estensione della super�cie A, con l�aumentare della di¤erenzadi velocità tra gli strati �V e con l�attrito interno del �uido rappresentatodalla viscosità �. La forza diminuisce con l�aumentare della distanza tra lesuper�ci �y: In altri termini la forza aumenta con l�aumentare della rapiditàcon cui varia le velocità con la profondità. Questa rapidità è rappresentata dalgradiente �V=�y.

F = �A�V

�y

Da questa ricaviamo la de�nizione di viscosità

� =F

A

�y

�V

le dimensioni sono

� =N

m2m

m= s=N s

m2= Pa� s =

kg

m s

è anche usata come unità il poise

poise = 0:1 kgm�1 s�1

La viscosità varia molto con la temperatura, ad esempio per l�aria

�(t) = 9:807� 1:72 � 10�6(1 + 3:3 � 10�3t+ 7 � 10�6t2) Pa� s

3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

1

2

3

4

t

Viscosità dell�aria �10�5 e temperatura

Esempio 1 a t = 25 �C si ha �(25) =�9:807� 1:72 � 10�6(1 + 3:3 � 10�3t+ 7 � 10�6t2)

�t=25

=

1: 833� 10�5 Pa� s

Spesso è utile considerare la viscosità cinematica, detta così perché contienesoltanto unità di misura della cinematica

� =�

�=

�kg

m s

m3

kg=m2

s

�

1.2 Liquido perfetto e reale

Un liquido perfetto è un liquido ideale (che non esiste in realtà) che è privo diviscosità e incomprimibile.Chiariamo meglio i limiti della schematizzazione di un �uido reale con uno

ideale (cioè privo di viscosità).Mettiamo in equilibrio verticale una moneta su un tavolo. Se la investiamo

con un getto d�acqua questa cade sempre sia se consideriamo l�acqua un �uidoperfetto (o ideale) sia se la consideriamo un �uido reale. Le cose cambianose poniamo la moneta in equilibrio verticale sul fondo di un bicchiere colmod�acqua. Se l�acqua è ferma la moneta rimane sicuramente in piedi. Le cosecambiano se l�acqua è in movimento. In questo caso l�acqua reale fa caderesicuramente la moneta mentre l�acqua ideale la lascerebbe in piedi. Osserviamoancora che un tornado se fosse provocato dal movimento d�aria perfetta (o ideale)non provocherebbe nessun danno alle cose, anzi non sposterebbe neanche unafoglia e inoltre non avrebbe mai �ne (inoltre non potrebbe mai iniziare).

4

Vediamo di capire la �sica del fenomeno.Un �uido perfetto è privo di viscosità, cioè privo di attrito e per questo

non è in grado di esercitare alcuna forza su un ostacolo immerso in esso, anchese in movimento (paradosso di D�Alambert). Per il secondo principio delladinamica F = ma ad una forza nulla corrisponde la quiete o il moto rettilineouniforme, quindi se il �uido perfetto è in movimento rimane in movimento senzanecessità di applicare nessuna forza e quindi nessuna potenza. Questo è verosolo se l�ostacolo è completamente immerso mentre non è più vero se l�ostacoloè investito da un getto di �uido in quanto in questo caso nasce una forza dovutaalla variazione della quantità di moto mv dovuta alla variazione del vettorevelocità. Questo è il caso delle macchine idrauliche dove un getto d�acqua investedelle pareti (ad esempio le pale di una turbina) e le sposta sia se consideriamol�acqua reale sia se la consideriamo ideale. In questo caso, infatti, le pareti (lepale della turbina) non sono immerse ma investite dal getto d�acqua.

1.3 Il moto dei �uidi

Il moto di una corrente liquida di un �uido a densità costante (cioè incomprim-ibile) è caratterizzato dai valori che assumono nei vari punti della corrente lapressione P e la velocità V .

1.3.1 Moto vario

E�il caso più generale e si ha quando P e V variano da punto a punto e nellostesso punto al passare del tempo.

1.3.2 Moto permanente

Si ha quando P e V sono diversi da punto a punto ma nello stesso punto hannosempre lo stesso valore. Ad esempio il moto dell�acqua in un canale o un �ume.Se consideriamo due sezioni diverse in esse transita la stessa portata d�acqua(equazione di continuità) ma la velocità e la pressione sono diverse tra le duesezioni e rimangono le stesse al passare del tempo (corrente stazionaria)

1.3.3 Moto uniforme

E�un caso particolare del moto permanente. P e V non cambiano lungo la traiet-toria della particella liquida, pur potendo cambiare da traiettoria a traiettoria..E�il caso di canali o tubazioni a sezione costante.

1.4 Portata - Legge di continuità

La legge della continuità è una forma della legge più generale delle legge diconservazione della massa. In un condotto indeformabile la massa che entra inuna sezione è uguale a quella che esce nell�altra

�1V1A1 = �2V2A2

5

se il �uido è incomprimibile la sua densità rimane costante e quindi l�espres-sione si sempli�ca nella

V1A1 = V2A2

nella quale è descritto il semplice fatto �sico che se diminuisce la sezioneaumenta la velocita e viceversa.

1.5 Teorema di Bernoulli per liquidi ideali

Si tratta dell�applicazione del teorema di conservazione dell�energia meccanicaad una corrente stazionaria di un �uido perfetto (o ideale) con densità costante(incomprimibile).In un sistema isolato la variazione dell�energia meccanica è pari al lavoro

delle forze esterne applicate.Le forze esterne applicate sono dovute alle pressioni agenti agli estremi del

condotto e la somma dei lavori svolti è

W = F1s1 � F2s2 = p1A1s1 � p2A2s2 [ J]l�energia meccanica è la somma dell�energia cinetica e dell�energia potenziale

del volume di �uido interessato e quindi la sua variazione vale

�E =

�1

2m2v

22 +m2gh2

���1

2m1v

21 +m1gh1

�[ J]

uguagliando le precedenti otteniamo

�E = W�1

2m2v

22 +m2gh2

���1

2m1v

21 +m1gh1

�= p1A1s1 � p2A2s2

Le masse possono essere espresse in funzione della densità

m1 = �A1s1; m2 = �A2s2

che sostituite nella equazione precedente fornisce

�1

2�A2s2v

22 + �A2s2gh2

���1

2�A1s1v

21 + �A1s1gh1

�= p1A1s1 � p2A2s2

Data l�incomprimibilità del �uido i volumi sono uguali, cioè

V = A1s1 = A2s2

e sempli�cando la precedente si ottiene�1

2�v22 + �gh2

���1

2�v21 + �gh1

�= p1 � p2

�J

m3

�

6

che può essere riscritta nel seguente modo:

1

2�v22 + �gh2 + p2 =

1

2�v22 + �gh2 + p2 = cost (1)

e rappresenta l�equazione di Bernoulli.

1.6 Rappresentazione gra�ca del teorema di Bernoulli

Nelle applicazioni tecniche si usa riscrivere l�equazione di Bernoulli 1 in unaforma di¤erente che consente una utile rappresentazione gra�ca. Sostituendo lade�nizione di peso volumico l�equazione Bernoulli diventa

H =v2

2g+p

+ h

�J=m3

N=m3=J

N=Nm

N= m

�(2)

in cui tutti i termini hanno le dimensioni di una altezza. Il carico totale H�sicamente rappresenta l�energia posseduta dal peso di 1N, quindi l�energia delgenerico peso Fp vale E = FpH [ J].

2 Correnti in moto uniforme

2.1 Equazione del moto in una condotta

Applichiamo il teorema di Bernoulli tra due sezioni di una condotta:�z1 +

p1 +v212g

���z2 +

p2 +v222g

�= Y

Nel moto uniforme la velocità è costante quindi v1 = v2 e sempli�candorimane �

z1 +p1

���z2 +

p2

�= �1 � �2 = Y

Indicando con L la lunghezza della condotta si ottiene la pendenza piezo-metrica

J = Y=L

2.2 Equazione del moto in un canale

Nei canali l�altezza del livello dell�acqua è costante quindi nel fondo si ha p1 = p2e allora rimane

z1 � z2 = �1 � �2 = Y

In un tratto lungo L la pendenza piezometrica vale

7

J =Y

L=�1 � �2L

= sin�

dove � è l�inclinazione del canale. La pendenza geometrica del canale i(pendenza motrice)

i =z1 � z2L

= tan�

ma per piccoli valori di � si ha tan� ' sin� quindi la pendenza piezometricaè uguale alla pendenza del fondo

J = i

2.3 Perdite di carico continue

Le perdite di carico sono date in generale dalla relazione

J =�

8g

V 2

R(3)

dove � è un coe¢ ciente adimensionale d�attrito che dipende dalla scabrezzadella condotta ed R è una dimensione lineare caratteristica della condotta datadal rapporto tra l�area della sezione bagnata ed il contorno bagnato.

R = A=C

2.4 Condotte in pressione in tubi circolari

In questo caso

R =�D2

4

1

�D=D

4

e quindi dall�equazione di continuità ricaviamo

V =Q

A=4Q

�D2

J =�

8g

�4Q

�D2

�24

D=8�

g�2Q2

D5

che spesso viene scritta nella forma

J = �Q2

D5

e allora il una condotta lunga L si ha una perdita di carico data dalla formuladi Darcy (1854)

8

Y = �Q2

D5L

E� importante osservare che le perdite di carico cambiano con la quintapotenza del diametro, quindi piccole variazioni di D provocano grandi variazionidi Y:I valori di � sono di origine sperimentale e dipendono dalla scabrezza del

tubo, dal suo diametro e dalla velocità dell�acqua. Per questo sono state pro-poste numerose formule empiriche che forniscono � in funzione del diametro perassegnati campi di velocità e diametro.

2.5 Perdite di carico continue nei circuiti termici

Il valore di � da usare nelle tubazioni negli impianti termici è normalmentefornito in tabelle dei costruttori delle tubazioni. In via orientativa si possonousare le seguenti espressioni ottenute interpolando dati sperimentali con acquaa T = 80 �C circolante in tubi UNI 3824 (acciaio gas), UNI 7069 (acciaio) ed intubazioni di rame e plastica.C�è da prestare molta attenzione alle unità di misura adottate, perché sono

quelle usate nella tecnica degli impianti e quindi da non confondere con quelledel S.I. alle quali è sempre possibile ricondursi.J = perdite distribuite mmH2O

m e non mm del S.I.

D = diametro interno in mm (non in m)Q = portata d�acqua in kg

h 'lh (non

m3

s )V = velocità media dell�acqua in m= s

J = 394:37Q1:783

D4:748; D = 3:5213

Q0:376

J0:211

Q = 3:4995� 10�2 J0:561

D2:663; V = 0:35386

Q

D2

Esempio 2 Calcolare il diametro di una tubazione che deve convogliare unaportata Q = 280 kg=h di acqua con una velocità V = 0:37m= s

Soluzione.

D =

�q0:35386QV

�V=0:37;Q=280

= 16: 364mm

occorre quindi un diametro interno corrispondente ad un tubo gasda 1=20. La perdita di carico è di

J =h394:37Q

1:783

D4:748

iD=16:364;Q=280

= 15: 69mmH2O=m

9

2.6 Canali in condotte circolari

Nel caso di canali nella formula delle perdite di carico 3 si usa porre

� =

�8g

�

�1=2e si ottiene

V = � (Ri)1=2

Nelle sezioni chiuse di qualsiasi forma la portata massima si raggiunge conil tubo parzialmente riempito.

3 Corsi d�acqua naturali - Sistemazioni montane

3.1 Generalità

Una parte dell�acqua che cade sotto forma di pioggia o di neve e non vieneassorbita dal terreno, scorre alla super�cie di questo, si raccoglie nelle valli eforma i corsi d�acqua naturali che sboccano nel mare o nei laghi. Nel primo trat-to questi corsi d�acqua, hanno comportamento irregolare (carattere torrentizio)dovuto alla instabilità dell�alveo ed alle improvvise variazioni della massa d�ac-qua. Man mano che poi si allontanano dalle sorgenti, il letto del �ume si vieneregolarizzando e le rapide alterazioni della portata diventano meno frequenti.Questi due diversi stadi, a cui corrispondono quelle caratteristiche che dif-

ferenziano i �umi dai torrenti, richiedono opere di difesa e provvedimenti diversi.

3.2 Suddivisione del corso di un torrente

In questo paragrafo tratteremo di tutti quei corsi d�acqua a carattere torrentizio,cioè dei veri e propri torrenti, o dei piccoli tratti dell�alto corso dei �umi, aventilo stesso comportamento dei torrenti.In essi distingueremo:

1. il bacino di raccolta, formato da tutte le rami�cazioni che scendono aventaglio dai monti, e si uniscono poi per dare origine alla così detta astadel torrente. Le acque scorrono su terreni brulli con forti velocità e nellaloro rapida corsa scalzano e sconnettono il terreno trascinando verso valleciottoli e massi rocciosi

2. il canale di scolo, nel quale le acque vengono raccolte, incassate fra lefalde rocciose delle montagne; a causa della diminuita velocità e dellaconsistenza delle sponde, in questo tratto non si riscontrano erosioni.

3. il cono di deiezione, che si forma nel tratto dove il torrente sbocca nellasottostante vallata. L�alveo si allarga e quindi la velocità diminuisce. Leparti solide trasportate dall�acqua si depositano sul fondo.

10

Le opere da attuare in difesa del territorio sono regolate dalla legge 24 dicem-bre 1928, N. 3134 e dal R. D. modi�cativo 24 luglio 1930, N. 1145, e si possonocosì raggruppare:

1. Rimboschimento;

2. Sistemazione dei torrenti e delle pendici montane.

3.3 Rimboschimento

I boschi creano uno strato protettivo sul terreno; i grossi alberi, con i loro ramie le loro foglie, spezzano la violenza delle piogge, ne ritardano la caduta, e nesuddividono il cammino in �li piccolissimi: le radici con le loro rami�cazionirassodano la consistenza del terreno sottostante.Nelle regioni coperte da boschi l�acqua piovana discende lentamente seguendo

quasi per intero le falde della montagna, e si incanala nelle depressioni del terrenoquasi senza smuoverlo, formando tranquilli ruscelli. Dove invece mancano iboschi, l�acqua, non trattenuta da ostacoli, scende a valle velocemente, sconnetteil terreno e scava solchi qua e là che successivamente si ampli�cano, mutando lependici in una vasta rovina.

3.4 Sistemazione delle pendici montane

La sistemazione delle pendici montane, ossia delle falde delle montagne, lungole quali scorre� l�acqua che si riversa poi a valle nelle depressioni del terreno,consistono: eliminazione delle zone depresse e delle falde irregolari, mediantecolmate;

1. eliminazione delle zone depresse e delle falde irregolari mediante riempi-mento

2. correzione dei forti declivi, mediante muretti a secco, graticci.

3.5 Sistemazioni degli alvei

Le difese contro l�azione dei torrenti, si possono suddividere: in quelle aventicarattere locale, tendenti a proteggere le sponde ed il letto del corso d�acquaed in quelle di carattere radicale, tendenti a correggere l�intera giacitura deltorrente regolandone le piene, la velocità e l�energia cinetica della massa d�acqua,attenuando così l�erosione del terreno e il trasporto dei materiali.Fra le locali, tendenti a salvaguardare le sponde ricordiamo le opere di

salvaripa, fra quelle di carattere generale ricordiamo le briglie o traverse.

3.6 Briglie o traverse

Per ridurre la velocità dell�acqua è necessario ridurre la pendenza dell�alveo. Lebriglie servono a questo. Si usa lo stesso accorgimento che si adotta quando

11

si vuole sostituire una rampa a forte pendenza con una gradonata. Le alzatesono appunto le briglie mentre le pedate, cioè il nuovo fondo dell�alveo, vienerealizzato dal materiale trasportato dall�acqua che decanta per la diminuitavelocità. L�energia cinetica dell�acqua viene in parte trasformata in energiainterna e quindi essa si scalda un pò ed una parte provoca l�erosione a valle delnuovo fondo dell�alveo. A poco a poco il letto del torrente assumerà un nuovopro�lo, che avrà una pendenza minore di quello primitivo.Le briglie si costruiscono in: legname, preferibilmente verde e capace di

vegetare ancora; pietrame a secco attraverso al quale l�acqua in un primo tempo�ltra, abbandonando a monte le materie solide.

Briglia in pietra a secco

Oggi vengono sempre più spesso realizzate in calcestruzzo semplice o armatocon un discutibile impatto ambientale.

4 Canali

4.1 Correnti lente veloci e rapide

Consideriamo una sezione rettangolare o una sezione trapezoidale molto larga,ad esempio con la larghezza media superiore a sei volte l�altezza. L�ener-gia trasportata dall�unità di peso ( JN = Nm

m = m) dalla corrente è datadall�equazione di Bernoulli (carico idraulico)

H = z +p

+V 2

2g

La velocità della corrente è V = Q=A e riferendoci ad una striscia larga unmetro A = h� 1 diventa V = Q=h. Riferendo le quote al fondo del canale si haz = 0 inoltre l�altezza del canale è h = p= e quindi

H =p

+V 2

2g= h+

Q2

2gh2

12

Quindi a parità di portata Q si possono avere in�niti valori della profon-dità h e quindi in�niti valori dell�energia trasportata H. Vediamo nella �gural�andamento di H(h) per la portata unitaria.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00

1

2

3

4

5

h

H(h)

Energia della corrente H a varie altezze h per Q = 1m3= s

Osserviamo che si ha un minimo che si può facilmente trovare annullando laderivata

dH

dh=d

dh

�h+

Q2

2gh2

�=gh3 �Q2gh3

= 1� Q2

gh3= 0

che ha come unica soluzione reale l�altezza critica

hc =

�Q2

g

�1=3Esempio 3 Se la portata per un metro di larghezza vale Q = 5m3= s l�altezza

critica vale hc =�Q2=g

�1=3=�52=9:81

�1=3= 1: 37m. Quindi se la profondità

del canale è maggiore di 1:37m si ha una corrente lenta, se minore una correnteveloce.

Le correnti rapide si distinguono dalle correnti veloci, per il fatto che laparte superiore di esse è aerata. Ciò tuttavia non modi�ca il comportamentodella corrente; agli e¤etti dei calcoli indicati in seguito, una corrente rapida, puòessere trattata come una corrente veloce.All�altezza critica corrisponde una pendenza critica.

13

ic =g

�2

In condizioni medie � ' 50 e quindi ic = g=�2 ' 10=502 = 0:00 4 = 0:4% .Come indicazione di larga massima quindi possiamo a¤ermare che si ha debolependenza (alveo tranquillo) per i < 0:4% ed forte pendenza (alveo torrentizio)nel caso opposto. Nel caso di alvei molto lisci dalla formula di Bazin fornisce = 0 e � = 87 e quindi per avere alveo tranquillo occorre una pendenza minoredi ic = g=�2 ' 10=872 = 0:1 3%. Se invece l�alveo è molto scabro = 2:3 e� = 24:6 è ancora debole la pendenza del ic = g=�2 ' 10=24:62 = 1: 65%.Frequentemente gli alvei tranquilli si constatano �no a valori della pendenze

dell�1:4%, quelli torrentizi �no al 3 o 4%. Per valori superiori si entra nel campodelle correnti rapide.Tra i vari tipi di corrente si hanno notevoli di¤erenze di comportamento, tra

le quali ricordiamo

1. Se diminuisce la portata le correnti lente si innalzano, quelle veloci siabbassano.

2. A parità di portata e di carico speci�co, vi è la possibilità di avere unacorrente lenta e una corrente veloce: lo stabilirsi dell�una o dell�altra,dipende dalla pendenza dell�alveo e dalle condizioni di monte e di valle.Questo si vede chiaramente dal gra�co precedente. Ad esempio per H =1m si possono avere le due altezze risolvendo la h+ 1

(2�9:81�h2) = 1 la cuisoluzione è fh = 0: 263mg ; fh = 0: 943mg :

3. Se in una qualunque sezione si ha una perturbazione, se la corrente èveloce nessuna modi�ca viene a ripercuotersi nella zona a monte. Unavena stramazzante risente della chiamata allo sbocco solo se è lenta. Inquesto in prossimità dello sbalzo aumenta la velocità e diminuisce l�altezza.Se è veloce prosegue nella caduta nella sua con�gurazione originale.

4. Una corrente lenta, viene avvertita della presenza dell�ostacolo dalle ondeche si propagano verso monte e può quindi modi�care il proprio andamentoed investire l�ostacolo con minore violenza.

5. La conoscenza della sola velocità non è su¢ ciente a stabilire se una cor-rente è lenta o veloce

6. In curva le correnti veloci hanno una sopraelevazione verso l�esterno circadoppia delle correnti lente e la resistenza è sempre superiore a quella diun analogo tratto rettilineo

4.2 Sezioni idrauliche nel moto uniforme

La prima relazione disponibile è di tipo geometrico e dipende dalla forma e dalledimensioni della sezione. Si tratta del raggio idraulico

14

R = A=C

La seconda relazione è di tipo strutturale. Si tratta del parametro d�attritoche tiene conto oltre che della geometria della sezione, attraverso R, anche dellanatura del fondo attraverso un coe¢ ciente di scabrezza.Il parametro d�attrito è stato de�nito da molti sperimentatori in forme spesso

equivalenti. Tra le più usate ricordiamo

� =87

1 + R�1=2; Bazin(1897) (4)

� =100

1 +mR�1=2; Kutter (5)

� = cR1=6; Strickler(1923) (6)

I coe¢ cienti di scabrezza. ;m; n sono raccolti in tabelle di origine speri-mentale. La scelta della formula da adottare deve essere e¤ettuata cercando inquale delle tabelle è meglio descritta la situazione in esame.Ci sono poi due relazioni di carattere idraulico.

Q = AV (7)

V = �pRi; Ch�ezy(1775) (8)

dalle quali si ricava

Q = �ApRi (9)

E�importante osservare che tutte le espressioni di � forniscono valori che au-mentano con l�aumentare del raggio idraulico R. Questo signi�ca che la velocitàV e quindi la portata Q aumentano con l�aumentare di R. Inoltre ricordandoche R = A=C per una data area A la migliore forma per una sezione è quellache presenta il minimo contorno bagnato.Mettiamo in evidenza le grandezze coinvolte riscrivendo l�ultima equazione

nella forma

Q(A;C; i) = �(A

C)�A

�A

Ci

�1=2Come si vede la portata Q dipende dalle tre variabili A;C ed i; quindi in

totale abbiamo quattro variabili, cioè Q;A;C; i (consideriamo costante il coef-�ciente di scabrezza, cioè assegnata la natura delle sponde). Dalla precedente,una volta scelta la forma della funzione � , �ssati tre valori si può ricavare ilquarto.Osserviamo che se adottiamo la formula di Bazin si ottiene

15

Q(A;C; i) =87

1 + = (A=C)1=2

�A�A

Ci

�1=2Si vede immediatamente che non è risolubile direttamente rispetto ad A o

C ovvero rispetto ad R. Per questo nel caso di progetto, in cui si ricercano iparametri della sezione, occorre risolverla numericamente per tentativi. Analogorisultato si ottiene con l�espressione 5 di Kutter. Le espressioni di Kutter e Bazin4 sono quindi più indicate nei calcoli di veri�ca in cui si ricerca la portata Q diun canale esistente di cui è noto A;C ed i.Usando l�espressione monomia di Strickler 6 si ottiene

Q(A;C; i) = c

�A

C

�1=6�A

�A

Ci

�1=2= c

A1=6

C1=6AA1=2

C1=2i1=2 = c

A5=3

C2=3i1=2 (10)

Questa espressione è possibile risolverla direttamente per qualunque variabilequindi è la più idonea sia in fase di veri�ca che in quella di progetto.

4.3 Veri�ca

E�assegnata la geometria della sezione, cioè C ed A, e la pendenza i dell�alveoe si ricerca la portata Q (e la velocità V ) della corrente. In questo caso lasoluzione è molto semplice qualunque sia l�espressione di � adottata.

Esempio 4 Calcolare la portata Q e la velocità dell�acqua V in un canale asezione trapezia isoscele che ha pendenza i = 32 cm= km. Il pelo libero è largoB = 6:72m, il fondo b = 2:4m e le sponde hanno inclinazione h=s = k = 2 Lepareti sono della classe 1 di Kutter cui corrisponde un coe¢ ciente di scabrezzam = 0:12m0:5.

Soluzione Dalla geometria del canale è facile ricavare A e C:

s = (B � b)=2 = (6:72� 2:4)=2 = 2:16mh = s� k = 2:16� 2 = 4:32m Altezza

l =p(s2 + h2) =

p2:162 + 4:322 = 4:83m Sponda

A = h(B + b)=2 = 4:32(6:72 + 2:4)=2 = 19:70m2 Area bagnata

C = b+ 2l = 2:4 + 2� 4:83 = 12:06m Perimetro bagnato

R = A=C = 19:70=12:06 = 1:634m Raggio idraulico

Ora possiamo trovare direttamente l�incognita cercata.

Kutter c = 100=(1 +mR�1=2) = 100=(1 + 0:12� 1:634�1=2) = 91:417 [pm= s]

velocità V = c (Ri)1=2

= 91:417 (1:634� 0:00032)1=2 = 2:09m= sportata Q = AV = 19:70� 2:09 = 41:172m3= s

16

4.4 Progetto

La prima cosa da fare è la scelta della sezione. Spesso la scelta non è libera e sisceglie tra alcune forme ricorrenti tra le quali la più di¤usa è la sezione trapeziaisoscele.

4.4.1 Trapezia isoscele

Il trapezio è un quadrilatero, quindi occorrono almeno tre parametri indipen-denti (es. �; b; h), di cui almeno uno lineare, per de�nirne compiutamente laforma. Occorre ora �ssarne due (es. � e b) o stabilire una relazione tra di essi(es. minima resistenza) e poi ricavare il terzo (es. h).Quando si vogliono evitare canali eccessivamente profondi (è il caso più fre-

quente) si sceglie � e la relazione bm = wh che è rapporto w tra la larghezzamedia del canale e l�altezza. La scelta va fatta in base all�esperienza. A titoloindicativo per A > 0:5m2 si assume1 3 < w < 5 con valori crescenti con A.

4.4.2 Sezioni di minima resistenza

Come già detto la sezione di minima resistenza è quella che, a parità di area A,rende minimo il contorno bagnato C.

4.4.3 Circolare

Dalla geometria sappiamo che la super�cie che a parità di area ha il minorperimetro è quella circolare, quindi per un tubo circolare a bocca piena il raggioidraulico vale R = A

C =�r2

2�r =r2 cioè è pari alla metà del raggio geometrico.

4.4.4 Semicircolare

Se consideriamo il tubo riempito a metà il raggio idraulico è ancora R = r=2,infatti dimezza sia l�area sia la circonferenza quindi la sezione idraulicamentepiù conveniente è la semicircolare.

1Colombo, Manuale dell�Ingegnere

17

4.4.5 Trapezia isoscele

R R

α

bB

c

L h

Sezioni ottime 1) � = 60�C 2) �ssato � peggiore della 1

Se si �ssa, come spesso accade, l�inclinazione delle sponde � allora si trovache il trapezio di minima resistenza è circoscritto alla circonferenza di raggio h.Con semplici osservazioni geometriche si trova la lunghezza della sponda L, labase del canale b ed in�ne si ottiene che il raggio idraulico R è la meta dellaprofondità.

h =pA

�sin�

2� cos�

�1=2; L = B=2; R = h=2; b = B(1� cos�):

(11)

0 10 20 30 40 50 60 70 800.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7y

y = hpA=q

sin�2�cos�

18

Come si vede dalla �gura precedente l�altezza del canale è funzione dell�ango-lo di inclinazione delle sponde � e raggiunge il massimo assoluto quando � = 60�

e si ottiene

h =

"A1=2

�sin�

2� cos�

�1=2#�=60�

= 0: 759 8A1=2

b = B(1� cos 60�) = B=2

La sezione rettangolare è un caso particolare della sezione trapezia in cui� = 90�. Le formule precedenti si sempli�cano nelle

h = b=2; b = B

4.5 Tavola sinottica per esercizi

� = cR1=6 Manning q = Q=bm portata unitaria� = 100=(1 +mR�0:5) Kutter hc = (q

2=g)1=3 alt. critica� = 87=(1 + R�0:5) Bazin Vc = (ghc)

0:5 vel. criticaQ = AV Portata ic = g=�

2 pend. criticaV = � (Ri)

1=2 Chézy A = y(b+ h= tan�) AreaR = A=C Raggio idraulico C = b+ 2h= sin� Contorno bagnato

b = 2h tan �2 l = h= sin� R = h2 =

12

�A sin�2�cos�

�1=2Minima res.

s = h= tan� bm = wh wr = 4 + 0:075AAcquedotti - condotte forzate

J = � Q2

D5 =YL V = Q

A = 1:2732QD2 =

�16JD�2�

�0:5D =

��Q

2

J

�1=5Q =

�JD5

�

�0:5 = �g ' 10000N=m3 �p = (Y ��z) N = �pQW

Nuovi Limiti UsatiGhisa �N =

�1:64 + 0:04 2

D

�� 10�3 V < 2m= s �U = 2�N

Acciaio �N =�1:46 + 0:0 162

D

�� 10�3 V < 4m= s �U = 1:5�N

Eternit �N =�1:26 + 0:0 38

D

�� 10�3 V < 4:4m= s �U = 1:25�N

Approssimate �N = 0:002 5 � D � 40 cm �U = 2�N

5 Smaltimento delle acque

5.1 Introduzione

Nella legge n� 319/1976 una rete di fognatura è de�nita �a sistema misto quandoraccoglie nella stessa canalizzazione sia le acque di tempo asciutto, che quelledi pioggia, ed a sistema separato se le acque re�ue vengono raccolte in unaapposita rete distinta da quella delle acque super�ciali�.Non esistono criteri univoci per de�nire in assoluto quale dei due sistemi sia

il migliore. In linea di principio il più economico è il sistema misto in quanto

19

la portata delle acque piovane è sicuramente molto maggiore della portata delleacque nere e quindi non è necessario nessun sovradimensionamento delle sezioni.Il sistema misto ha però alcuni svantaggi di cui occorre tener conto.

1. La rete è in comunicazione con l�atmosfera e rappresenta un ottimo am-biente per lo sviluppo di colonie di roditori (ratti di fogna) che possonorappresentare un serio problema igienico.

2. L�elevata diluizione delle acque rende necessario separare, attraverso unos�oratore, le acque nere da inviare nel depuratore.

3. Spesso la velocità dell�acqua è molto bassa con il rischio di incrostazioni.

Per i canali di piccole e medie dimensioni si adottano sezioni circolari. Pergrandi canali si preferiscono sezioni ovoidali o di altro tipo che consentono unabuona velocità dei liquidi anche in caso di basse portate. Le dimensioni minimedei tubi devono essere di � = 300mm nel caso di fogne miste o bianche edi � = 200mm nel caso di sole fogne nere. La velocità massima può ancheraggiungere e superare i 3m= s mentre la velocità minima, almeno una voltaal giorno, deve essere superiore a 0:6m= s per consentire il lavaggio. Se questonon è possibile naturalmente occorre provvedere con dei pozzetti appositi cheautomaticamente provvedono al lavaggio attraverso un sistema a sifone. Inquesti pozzetti viene ricavato un serbatoio d�acqua alimentato dall�acquedottoche si svuota automaticamente quando l�acqua raggiunge il livello prestabilito.La progettazione è molto complessa e coinvolge competenze speci�che del-

l�ingegnere idraulico. Illustreremo il criterio di progettazione di una fogna biancaper un bacino di piccole dimensioni, cioè 30 o 40 ettari svolgendo un esempio dicalcolo.

5.2 Il bacino idrogra�co

Il bacino viene individuato sulla carta geogra�ca a curve di livello a scala 1 :10 000 oppure 1 : 5000 (IGM).Il bacino idrogra�co sotteso da una sezione è de�nito come la porzione di

super�cie terrestre che alimenta il de�usso del corso d�acqua (asta principale)sfociante alla sezione di chiusura del bacino stesso. Il contorno (spartiacque -watersheds) del bacino super�ciale non necessariamente coincide con lo spar-tiacque sotterraneo (o di falda). Inoltre la forma del bacino può cambiare neltempo. Il bacino viene poi diviso in sottobacini in modo che ognuno alimenti unafogna. In modo del tutto analogo a quanto si fa nella progettazione stradale,si realizza il pro�lo del percorso scelto individuando le pendenze necessarie orealizzabili nei vari tratti. Ogni tratto è individuato da un pozzetto iniziale e�nale.Il sottobacino d�esempio raccoglie l�acqua che cade su di esso ma nella sezione

di chiusura della fogna passa l�acqua raccolta dai precedenti rami a monte. Intotale viene raccolta l�acqua da una super�cie somma del sottobacino in esamee di quelli a monte. Nella sezione di chiusura dell�intero bacino si consideraevidentemente l�intera super�cie che ne nostro esempio è S = 20 ha.

20

5.3 Tempo di corrivazione

Dal momento in cui inizia a piovere l�acqua inizia il suo viaggio verso la fogna.Quella che cade sui tetti deve scolare attraverso i discendenti e poi raggiungerela fogna privata dell�edi�cio e in�ne la fogna comune. Quella che cade sul ter-reno e che non viene assorbita, raggiunge a rivoli le caditoie e poi i fognoli edin�ne la sezione di chiusura. Inoltre quella che cade più lontano dalla sezionedi chiusura deve ovviamente percorre una distanza maggiore. Quindi la porta-ta aumenta continuamente e raggiunge il valore massimo dopo che è passato iltempo necessario perché anche la goccia più lontana abbia raggiunto la sezionedi chiusura. Questo tempo viene detto tempo di corrivazione (o di concentra-mento). Ovviamente è di incerta determinazione e molti autori lo mettono inrelazione con la dimensione del bacino, con la lunghezza dell�asta principale edella quota media sul livello del mare, con la natura del terreno, ecc.Per bacini di piccole dimensioni nei quali la maggior parte del percorso l�ac-

qua lo fa all�interno della fogna si può procedere in maniera iterativa. Si ipotizzauna velocità media per l�acqua nell�intero percorso e quindi si calcola il tempodi percorrenza di primo tentativo. Si progetta la fogna e poi si fa una secondastima della velocità e quindi del tempo di corrivazione. In genere il procedimen-to è rapidamente convergente ed è sicuramente consigliabile se si usa il calcoloautomatico.Normalmente gli scrosci più intensi durano 5 o 6 minuti e raramente superano

i 10 o 15 minuti. Con questa avvertenza possiamo usare la seguente espressionericavata dall�esperienza

Tc = 1:4pS

dove S è in m2 e Tc in s. Otteniamo quindi Tc = 1:4p20� 104 = 626: 1 s

ovvero 626: 1=60 = 10: 435 minuti oppure 626: 1=3600 = 0: 174 h

5.4 Linea segnalatrice di pioggia

Per stimare la portata d�acqua che cade sulla super�cie interessata occorreconoscere i dati idrologici della zona di progetto. Questi dati sono disponi-bili presso in Servizio Idrogra�co Italiano. A Rieti, alla con�uenza del �umeSalto, il �ume Velino sottende un bacino imbrifero di 1367 km2 e per questosono disponibili i dati riportati in tabella seguente.

Tr a n10 41:25 0:346 Tr = tempo di ritorno in anni20 47:65 0:344 a e n esponenti della linea50 55:83 0:344 segnalatrice della possibilità pluviometrica100 61:94 0:344 h = atn con h = mm e t = h500 76:20 0:343 e della curva delle intensità di pioggia1000 82:34 0:343 i = h=t = atn�1 con i = mm=h

Tempo di ritorno e linea segnalatrice a Rieti

21

Date le piccole dimensioni progettiamo per uno scroscio che ha un tempo diritorno di 10 anni, quindi assumiamo a = 41:25 e n = 0:346. Questi valori vannopresi comunque con estrema cautela perché nel caso di sottobacini di limitatedimensioni i valori sono di norma maggiori.

300 400 500 600 700 800 900 1000100

120

140

160

180

200

secondi

i

Linea di intensità di pioggia i = 41:25(t=3600)0:346�1 mm=h

Nella gra�co precedente si vede chiaramente che le piogge brevi sono le piùintense. L�intensità dello scroscio di pioggia che ha la durata di Tc = 626: 1 s è

i = 41:25(626:1=3600)0:346�1 = 129: 49mm=h = 3: 597�10�5 m3= s

m2= 0:3597

m3= s

ha:

Per avere un ordine di grandezza osserviamo che il �ume Velino ha unaportata media di 115m3= s, una portata di piena di 154m3= s con un tempo di

ritorno si 10 anni ed i = 0:187 m3= sha . Con un tempo di ritorno di 1000 anni la

portata di piena diventa di 263m3= s ed i = 0:32 m3= sha . Ricordando che il valore

di i aumenta in bacini di piccole dimensioni come il nostro possiamo riteneteaccettabile il valore ottenuto.La linea segnalatrice di possibilità pluviometrica è

h = 41:25t0:346

nella quale leggiamo i millimetri di pioggia, cioè la lama d�acqua raccolta,dall�inizio della pioggia �no al tempo di corrivazione.

22

300 400 500 600 700 800 900 100017

18

19

20

21

22

23

24

25

26

secondi

mm

h = 41:25(t=3600)0:346 ) h = 41:25(626: 1=3600)0:346 = 22: 521mm

5.5 Portata di progetto

La portata d�acqua piovuta è data da i � S, ma non tutta �nisce convogliatanella fogna. Parte viene assorbita dal terreno, parte evapora ecc. In de�nitiva èutile introdurre il coe¢ ciente di de�usso � che indica la percentuale dell�acquapiovuta che viene raccolta in fogna. In relazione al tipo di bacino ed ai possibiliulteriori sviluppi urbanistici si può stimare2 � = 0:8 in zona a fabbricazioneintensiva3 .La portata di progetto viene quindi calcolata con la

Q = �iS

nota in letteratura come formula razionale.Sostituendo i nostri dati otteniamo2Manale di Ingegneria Civile - Cremonese3Una stima analitica può essere fatta adottando i dati del Soil Conservation Service. In

una tabella sono raccolti i dati del Curve Number cioè dei valori assegnati a varie tipologiedi terreno. Il coe¢ ciente di de�usso viene stimato come media di questi valori relativi allacomposizione del bacino in esame. I valori vanno comunque presi con estrema cutela perchérilevati negli USA e quindi su terreni con caratteristiche spesso molto diverse da quelle italiane,è anche molto di¢ cile stabilire il parametro AMC che de�nisce lo stato di bagnamento prece-dente alla pioggia ed in �ne spesso è molto di¢ cile fare una stima attendibile della incidenzapercentuale delle varie tipologie di copertura vegetale o di tipo di suolo. In conclusione sitratta di un metodo che se non usato con grande perizia fornisce dei valori con una precisioneillusoria.

23

Q = 0:8� 0:3597 m3= s

ha� 20 ha = 5: 755 2 m

3

s

ed in unita del S.I.

Q = 0:8��3: 597� 10�5m= s

���20� 104m2

�= 5: 755 2m3= s

E�importante osservare che la scelta del coe¢ ciente di de�usso è una sceltacritica perché in�uenza in maniera diretta la portata di progetto da cui dipendel�intero svolgimento dei calcoli. Questo signi�ca che una scelta sbagliata vani�cal�intera progettazione. I valori hanno un campo di variabilità molto grande esono di di¢ cile valutazione. Se si adotta un valore eccessivo si ottiene una mag-giore sicurezza che però viene pagata con un maggiore costo di realizzazione. Seil valore è basso l�opera è meno costosa ma è maggiore il rischio di tracimazione.In conclusione non esistono dei criteri rigorosi di scelta e quindi è determinantel�esperienza del progettista che dovrà prestare la massima attenzione ad even-tuali opere analoghe realizzate in zone vicine a quella di progetto, alla loroe¢ cienza dimostrata in passato, ecc.

6 Calcolo della sezione del collettore

6.1 Introduzione

Dall�esame del pro�lo �ssiamo la pendenza di progetto del fondo i = 1:5% equindi procediamo al calcolo della sezione. Le relazioni disponibili sono le noteQ = AV e V = �(Ri)1=2: Si tratta ora di scegliere la forma della sezione.Limitiamo la scelta tra

1. tubo circolare

2. tubo ovoidale

3. canale trapezoidale

Vediamo ora come procedere nei primi due casi. Vedremo in dettaglio ilprogetto di una sezione in 7.3.2.

24

6.2 Sezione circolare

6.2.1 Criteri di scelta

Sezione circolare

Si sceglie di realizzare la fognatura con un tubo circolare in PVC per ilquale il coe¢ ciente di Bazin vale = 0:12m0:5 (per il CLS i valore classicoè = 0:23m0:5 , cioè circa il doppio) ed con un coe¢ ciente di riempimentoY = h=D pari a Y = 0:5 (la massima portata si ha per Y = 0:8).Vista che la portata è molto grande veri�chiamo subito se è su¢ ciente il

diametro commerciale più grande D = 0:600m e quindi calcoliamo:

� = [2 arccos(1� 2Y )]Y=0:5 = � = 180�

A=D2 = k1 = [(�� sin(�))=8]�=� =1

8� = 0: 392 7

R=D = k2 = [2k1=�]�=3:1416;k1=0: 392 7 = 0: 25

Ora possiamo calcolare subito l�area della sezione ed il raggio idraulico

A =�k1D

2�k1=0: 392 7;D=0:6

= 0:14137m2

R = [k2D]k2=0:25;D=0:6 = 0:15m

Con questo calcoliamo il coe¢ ciente di Bazin, la velocità e la portata

� =

�87

1 + =R0:5

� =0:12;R=0:15

= 66: 42pm= s

V =h�pRii�=66:72;R=0:15;i=0:015

= 3: 164 8m= s

Q = [AV ]A=0:14137;V=3: 164 8 = 0: 447 41m3= s

Come si vede la smaltibile portata è largamente insu¢ ciente.

25

6.2.2 Ricerca della velocità massima

Utilizzando l�espressione di Gauckler-Strickler si ottiene, �ssato K,

V = KJ1=2R2=3

Q = V A = KJ1=2AR2=3

a bocca piena, cioè con Y = 1; si ha

A0 = �D2=4

V0 = K (D=4)2=3J1=2

Q0 = V0A0 = A0K (D=4)2=3J1=2

vediamo quale è il coe¢ ciente di riempimento che fornisce la velocità massi-ma.

V

V0=

�4R

D

�2=3= (4k2)

2=3

Il valore massimo della velocità si ha quando è massimo k2

0 1 2 3 4 5 60.0

0.1

0.2

0.3

k2 =14��sin�

�

Il valore di � che rende massimo k2 è quello che annulla la sua derivata prima

d

d�

�1

4

�� sin��

�= �1

4

� cos�� sin��2

= 0

26

che risolta numericamente ha soluzione: � = 4: 493 = 257: 4� a cui cor-risponde un coe¢ ciente di riempimento che ricaviamo dalla equazione

� = 2arccos(1� 2Y ) = 4: 493

Y =

��12cos

1

2a+

1

2

�4:493

= 0:812 72

Quindi la massima velocità si ha quando il riempimento è circa dell�81% e:

k2 =

�1

4

�� sin��

��=4: 493

= 0: 304 3

V

V0=

h(4k2)

2=3ik2=0:3043

= 1: 14

quindi la velocità massima è superiore del 14% a quella corrispondente allabocca piena.

6.2.3 Ricerca della portata massima

Calcoliamo il valore del coe¢ ciente di riempimento che consente la portatamassima

Q

Q0=A

A0

V

V0=4k1�(4k2)

2=3=4k1�(8k1=�)

2=3

sostituendo k1 otteniamo la precedente in funzione del solo parametro �

Q

Q0=

�4k1�(8k1=�)

2=3

�k1=(��sin(�))=8

=1

2

�� sin��2

((�� sin�)�2)2=3�

Il valore massimo della portata si ottiene annullando la derivata della prece-dente espressione. Una soluzione è quella banale � = 0. La soluzione cheinteressa la otteniamo risolvendo l�espressione numericamente ed otteniamo:

(dd�

�12��sin��2

((��sin�)�2)2=3�

�� 2 (4; 6:28)

;Soluzione : f� = 5: 278 = 302: 4�g

a cui corrisponde l�equazione

� = 2arccos(1� 2Y ) = 5: 278che risolta per tentativi fornisce la soluzione: Y = 0: 938 2: Quindi la portatamassima si ha per un coe¢ ciente di riempimento pari a circa il 94%.

Q

Q0=

�1

2

�� sin��2

((�� sin�)�2)2=3�

��=5:278

= 1: 076

in conclusione la portata massima è superiore del 7.6% di quella corrispon-dente a bocca piena. I risultati sono riassunti nella �gura 1

27

0 1 2 3 4 5 60.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

QQ0= 1

2��sin��2

((��sin�)�2)2=3� Continua

VV0=���sin�

�

�2=3Tratteggiata

Figura 1: Formule conclusive

28

Esercizio 5 Come esercizio calcoliamo gli altri elementi della sezione idraulica;

perimetro bagnato

P = [D (� � arccos (2Y � 1))]D=0:6;Y=0:5 = 0: 3� = 0: 942 48m

larghezza della super�cie libera

b =hD�2 (Y (1� Y ))1=2

�iD=0:6;Y=0:5

= 0: 6m

profondità del baricentro

z =

�D

�Y � 1

2+1

12

b3

AD

��D=0:6;Y=0:5;b=0:6;A=0:14137

= 0: 127 3m

6.3 Sezione ovoidale

Sezione ovoidale

Proviamo con la più grande sezione ovoidale (vecchia inglese) disponibilecommercialmente che è la OVI 150� 100 realizzata in calcestruzzo quindi =0:23m0:5:In questo caso i coe¢ cienti k1 e k2 sono riportati nella �gura 2 in funzione

di coe¢ ciente di riempimento Y:

Esercizio 6 Con i nostri dati otteniamo k1 = 0:226 e k2 = 0:179 con i qualicalcoliamo l�area

29

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6K1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Y

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25K2

Figura 2: Sezione ovoidale inglese - Y = 0:5

A =�k1H

2�k1=0:226;H=1:5

= 0: 508 5m2

ed il raggio idraulico

R = [k2H]k2=0:179;H=1:5 = 0: 268 5m

Con questo calcoliamo il coe¢ ciente di Bazin

� =

�87

1 + =R0:5

� =0:23;R=0:2685

= 60: 255m1=2

s

ed in�ne la velocità

V =h�pRii�=60:255;R=0:2685;i=0:015

= 3: 823 9m= s

e la portata

Q = [AV ]A=0:5085;V=3: 823 9 = 1: 944 5m3= s

Anche questa sezione è largamente insu¢ ciente.

6.4 Canale di minima resistenza - sezione semicircolare

6.4.1 Relazioni disponibili

Le relazioni di carattere idraulico sono sempre le

Q = AV , V = �pRi, R = A=C, � = �(R;n)

dalle quali si ricava

30

Q = �(R;n)ApRi

Nel caso in progetto è assegnato Q ed i ed occorre calcolare la sezione, cioè Aed R. Ma A ed R dipendono dalla forma della sezione. A¢ nché R sia massimooccorre che il contorno bagnato sia minimoIl cerchio è la �gura geometrica che a parità di area presenta il minimo

perimetro, quindi la sezione semicircolare è la migliore in assoluto. Il raggioidraulico è lo stesso della sezione circolare piena, infatti in questo caso dimezzasia l�area che il perimetro.

R =A

C=�r2=2

�r=r

2

6.4.2 Uso della formula di Bazin

Realizziamo le sponde in calcestruzzo quindi = 0:23m0:5 Sostituendo i dati diprogetto nella equazione 4

�Q =

87

1 + R�1=2�A(Ri)1=2

�Q=5:76;A=�r2=2;R=r=2; =0:23;i=1:5=100

) 5: 76 =11: 835

1 + 0: 325r�0:5r2:5

La soluzione ottenuta per via numerica è r = 0: 846 24 che arrotondiamo ar = 0: 85m quindi

D = 2r = 1:7m

A =��r2=2

�r=0:85

= 1: 135m2

V = [Q=A]Q=5:75;A=1:135 = 5: 066m= s

che è elevata ma compatibile con la natura delle sponde in CLS.

6.4.3 Uso della formula di Strickler

Per il calcestruzzo si può usare per il coe¢ ciente di scabrezza di Strickler 6 ilvalore c = 67. Sostituendo nell�equazione della portata le espressioni dell�area edel raggio idraulico otteniamo

hQ = AcR2=3i1=2

iQ=5:75;A=�r2=2;R=r=2;c=67;i=1:5=100

) 5: 75 = 8: 118r8=3

La soluzione ottenuta per via numerica è r = 0:88m quindi

A =��r2=2

�r=0:88

= 1: 216 4m2

V = [Q=A]Q=5:75;A=1:2164 = 4: 727 1m= s

31

Come si vede il risultato è praticamente uguale a quello ottenuto con laformula di Bazin solo che in questo caso non è stato necessario realizzare lascala dei de�ussi per risolvere l�equazione della portata.

7 Esempio di progetto di un canale

7.1 Pro�lo

Ora svolgeremo un progetto abbastanza dettagliato della sistemazione idraulicadi un torrente evidenziando le varie fasi progettuali. I risultati dei calcoli ver-ranno presi così come sono senza arrotondarli per poter e¤ettuare le opportuneveri�che. Ovviamente alla �ne i valori delle dimensioni dovranno essere almenoarrotondati al centimetro o al decimetro.Con il rilievo topogra�co otteniamo la seguente sequenza di coordinate (x; y)

che rappresentano il pro�lo esistente:

(0; 100) ; (400; 97) ; (600; 93) ; (900; 91)

nel quale si individuano tre tratti dei quali calcoliamo la pendenza �y=�x.La pendenza nel primo tratto è 3=400 = 0; 75%, nel secondo 4=200 = 2%, nelterzo 2=300 = 0:6% mentre la pendenza media nell�intero tratto è 9=900 = 1%Sperando di ottenere una corrente lenta scegliamo per la pendenza di proget-

to lo 0:2%, veri�cheremo poi se la corrente risulterà lenta o veloce. Con questovalore nell�intero tratto si scende di 0:2=100� 900 = 1:8m. Con le briglie dob-biamo scendere 9�1:8 = 7: 2m quindi realizziamo due briglie ognuna di altezza7:2=2 = 3: 6m, la prima a metà percorso, cioè alla progressiva x = 450m e laseconda alla �ne, cioè ad x = 900m. In conclusione il pro�lo di progetto èrappresentatati dalla seguente sequenza di coordinate (x; y):

(0; 100:0) ; (450:0; 99: 1) ; (450:0; 95: 5) ; (900:0; 94: 6) ; (900:0; 91:0)

92

94

96

98

100

0 200 400 600 800x

Pro�lo rilevato e pro�lo di progetto

32

7.2 Indagini idrologiche

7.2.1 Tempo di corrivazione

Per poter procedere al dimensionamento della sezione occorre conoscere la por-tata di acqua piovana convogliata nel canale. Il bacino ha una super�cie S =10 km2 = 10 � 106m2 ed in base a questa calcoliamo il tempo di corrivazionecon la formula empirica

Tc = 1:4pS = 1:4

p10� 106 = 4427: 2 s = 73: 787mn = 1: 229 8 h

Per il bacino del �ume Velino sono disponibili dei dati idrologici a quali pos-siamo fare riferimento in quanto il bacino in progetto è in realtà un sottobacinodel Velino.

7.2.2 Linea segnalatrice di pioggia

Per un tempo di ritorno dello scroscio violento di 10 anni la linea segnalatricedi possibilità pluviometrica è de�nita da a = 41:25 e n = 0:346. Con i nostridati otteniamo che lo spessore della lama d�acqua caduta vale

h =h41:25 (Tc)

0:346iTc=1: 229 8

= 44: 311mm = 4: 431 1� 10�2m

7.2.3 Coe¢ ciente udometrico

Il bacino è in zona collinare e quindi una buona parte della pioggia caduta non�nisce nel canale ma viene assorbita dal terreno, comunque in via cautelativaassumiamo per il coe¢ ciente di de�usso il valore � = 0:5. Sostituendo i nostridati nell�espressione del coe¢ ciente udometrico otteniamo

u =

��h

Tc

��=0:5;Tc=4427: 2;h=4: 431 1�10�2

= 5� 10�6m= s

7.2.4 Portata di progetto

Possiamo ora stimare la portata massima di progetto

Q = [u� S]u=5�10�6;S=10�106 = 50m3= s

7.3 Progetto della sezione

7.3.1 Forma e dimensioni e natura dell�alveo della sezione

Il problema si presenta in questa forma: data la portata Q da smaltire, lapendenza del fondo i e la natura dell�alveo attraverso il coe¢ ciente di scabrezza,calcolare la forma e le dimensioni del canale, cioè A ed R.

33

Utilizziamo l�espressione Strickler 10 che può essere riscritta evidenziando Rcome

Q = cAR2=3i1=2

Prevediamo di realizzare l�alveo del canale in calcestruzzo per il quale assum-iamo il coe¢ ciente di Strickler c = 60. Sono incognite la forma e le dimensionidella sezione del canale cioè A ed R. Dalla espressione precedente si vede chiara-mente che a parità di area A la migliore sezione è quella che presenta il massimoraggio idraulico, ovvero il minimo contorno bagnato. In un canale aperto lasezione migliore in assoluto è quella semicircolare.Scegliamo la sezione di forma trapezia isoscele.La sezione è un quadrilatero ed è de�nita da tre parametri indipendenti, di

cui almeno uno lineare.Scegliamo l�altezza y la base minore b e l�inclinazione delle sponde �.L�area ed il perimetro bagnato ed il raggio idraulico sono dati da

A = y(b+ y= tan�); C = b+ 2y= sin�; R =A

C=y(b+ y= tan�)

b+ 2y= sin�

Le variabili geometriche indipendenti in totale sono y; b; � e le variabiliidrauliche Q;n; i per un totale di sei. Per avere una soluzione dell�equazionedella portata questa deve avere una sola incognita.Nel progetto sono assegnate Q (o V ),n; i e sono incognite le tre variabili geo-

metriche y; b; �. Per poter avere una sola incognita nell�equazione della portataoccorre aggiungere due condizioni.

7.3.2 Prima soluzione - Altezza assegnata

I dati di progetto sono

1. La portata Q = 50m3= s

2. la pendenza del fondo i = 0:2%

3. la scabrezza dell�alveo c = 60

Le due condizioni che aggiungiamo sono:

1. l�angolo di inclinazione delle sponde � = 45� = 0: 785 4 rad

2. l�altezza massima dell�acqua y = 1:3m

ed otteniamoA = [y(b+ y= tan�)]�=45�;y=1:3 = 1: 3b+ 1: 69

R =hy(b+y= tan�)b+2y= sin�

i�=45�;y=1:3

= 1: 3 b+1: 3b+3:677

sostituendo i valori di progetto e le espressioni trovate otteniamo

34

�Q = AcR2=3i1=2

�Q=50;i=0:2=100;c=60;A=1: 3b+1: 69;R=1: 3 b+1: 3

b+3:677

50 = 3: 196 (1: 3b+ 1: 69)�b+1: 3b+3:677

�2=3) b = 12:12m

La soluzione dell�equazione può essere ottenuta facilmente per interpolazionegra�ca o numerica realizzando la scala dei de�ussi riportata in �gura 7.3.2,ovvero l�andamento della portata al variare della base incognita.

38

40

42

44

46

48

50

52

9 10 11 12 13b

Scala dei de�ussi

Dal gra�co si legge la soluzione. Ora calcoliamo la larghezza del pelo liberoB = [b+ 2y= tan�]b=12:12;y=1:3;�=45� = 14: 72mla larghezza media del canale valebm = [(B + b) =2]B=14:72;b=12:12 = 13: 42mOsserviamo subito che il rapporto tra larghezza media del canale ed altezza

valew = [bm=y]bm=13:42;y=1:3 = 10: 32ed è un valore elevato. L�area della sezione valeA = [1: 3b+ 1: 69]b=12:12 = 17: 45m

2

mentre la velocità media dell�acqua èV = [Q=A]Q=50;A=17: 45 = 2: 865m= sNella �gura 7.3.2 è rappresentata la sezione del canale progettato. L�altezza

delle sponde deve essere superiore a quanto disegnato per lasciare un franco dialmeno y=10 con un minimo di 50 cm.

35

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15x

Altezza assegnata

Tipo di correntePer ogni metro di larghezza del canale la portata valeq = [Q=bm]Q=50;bm=13: 42 = 3: 726m

3= se l�altezza criticahc =

h�q2=g

�1=3iq=3: 726;g=9:81

= 1: 123m

quindi la corrente è lenta, visto che l�altezza y = 1:3m è maggiore dell�altezzacritica hc e nella briglia si ha la chiamata allo sbocco.

7.3.3 Seconda soluzione - snellezza assegnata

I dati di progetto sono

1. La portata Q = 50m3= s

2. la pendenza del fondo i = 0:2%

3. la scabrezza dell�alveo c = 60

Le due condizioni che aggiungiamo sono:

1. l�angolo di inclinazione delle sponde � = 45� = 0: 785 4 rad

2. w = 6 = bm=y che è rapporto tra la larghezza media e l�altezza del canale

In questo modo è de�nita la forma della sezione ma non le dimensioni. Perde�nire la scala della �gura è su¢ ciente conoscere una dimensione lineare ad es.b o y. Scegliamo y e quindi scriviamo le equazioni di A e C in funzione di y.L�area, il contorno bagnato e la lunghezza della sponda sono dati dalleA = bmy = wy

2; C = b+ 2l; l = y= sin�la larghezza media del canale èbm = b+ s = b+ y= tan� = wy; ) b = wy � y= tan�allora il contorno bagnato in funzione della altezza y valeC = wy � y= tan�+ 2y= sin�

36

Con i nostri valori otteniamoA =

�wy2

�w=6

= 6y2; C = [wy � y= tan�+ 2y= sin�]w=6;�=45� = 5y +2y20:5

R = AC =

6y2

5y+2y20:5

sostituendo i valori di progetto e le espressioni trovate otteniamo�Q = AcR2=3i1=2

�Q=50;i=0:2=100;c=60;A=6y2;R= 6y2

5y+2y20:5

50 = 13: 48y8=3 ) y = 1:63mOvviamente anche in questo caso possiamo risolvere gra�camente tracciando

la scala dei de�ussi. Ora possiamo calcolare tutti i parametri mancantib = [wy � y= tan�]w=6;y=1:63;�=45� = 8: 15mB = [b+ 2y= tan�]b=8:15;�=45�;y=1:63 = 11:41m

A =�wy2

�w=6;y=1:63

= 15:94m2

V = [Q=A]Q=50;A=15:94 = 3:14m= sLa sezione ottenuta è in �gura 7.3.3

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x

Snellezza assegnata

Tipo di correnteCome visto prima otteniamobm = [wy]w=6;y=1:63 = 9:78m

q = [Q=bm]Q=50;bm=9:78 = 5: 11m3= s

hc =h�q2=g

�1=3iq=5:11;g=9:81

= 1: 39m

anche in questo caso si tratta di una corrente lenta.

7.3.4 Terza soluzione - Velocità assegnata

I dati di progetto sono

1. La portata Q = 50m3= s

2. la pendenza del fondo i = 0:2%

3. la scabrezza dell�alveo c = 60

37

Le due condizioni che aggiungiamo sono:

1. l�angolo di inclinazione delle sponde � = 45� = 0: 785 4 rad

2. velocità massima dell�acqua V = 3m= s

In questo caso emerge evidente l�utilità di avere usato per � l�espressionemonomia, infatti

V = cR2=3i1=2

che può essere immediatamente risolta ottenendo

R =h�

Vci1=2

�3=2ii=0:2=100;c=60;V=3

= 1: 182m

inoltre l�area della sezione valeA = [Q=V ]Q=50;V=3 =

503 = 16: 67m

2

Scriviamo le equazioni dell�area e del raggio idraulico sostituendo i nostrivalori[A = y(b+ y= tan�)]�=45�;A=50=3 ) 50

3 = y (b+ y)hR = y(b+y= tan�)

b+2y= sin�

i�=45�;R=1: 164 5

) 1: 164 5 = y b+yb+2y20:5

ed otteniamo le due equazioni con due incognite che risolviamo a sistema�50=3 = y (b+ y)

1: 164 5 = y b+yb+2y20:5

ed otteniamo le soluzioni y = 1: 42m e b = 10: 29m.Ora possiamo calcolare tutti i parametri mancantiB = [b+ 2y= tan�]b=10:29;�=45�;y=1:42 = 13:13m

bm =�b+B2

�b=10:29;B=13:13

= 11: 71m; w = bmy = 11:71

1:42 = 8:25m

0

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x

Velocità assegnata

Tipo di correnteOtteniamo ancora una corrente lenta.q = [Q=bm]Q=50;bm=11:71 = 4:27m3= s; hc =

h�q2=g

�1=3iq=4:27;g=9:81

=

1: 23m

38

7.3.5 Quarta soluzione. Sezione di minima resistenza per � asseg-nato

I dati di progetto sono

1. La portata Q = 50m3= s

2. la pendenza del fondo i = 0:2%

3. la scabrezza dell�alveo c = 60

Le due condizioni che aggiungiamo sono:

1. l�angolo di inclinazione delle sponde � = 45� = 0: 785 4 rad

2. delle condizioni di minima resistenza 11 usiamo

(a) y = A0:5�

sin�2�cos�

�1=2(b) R = y=2

queste due corrispondono all�unica

R = y2 =

12

�A sin�2�cos�

�1=2Usiamo per la portata l�espressione in forma monomiaQ = AcR2=3i1=2

nella quale sostituendo l�espressione di R otteniamo una espressione nell�u-nica incognita A

Q = A4=3c2�2=3�

sin�2�cos�

�1=3i1=2

ed in�ne sostituendo i nostri valori troviamo

A =

"�22=3Q

c( sin�2�cos� )

1=3i1=2

�3=4#Q=50;c=60;i=0:2=100;�=45�

= 14: 75m2

e quindi

V =hQA

iQ=50;A=14:75

= 3: 39m= s

Calcoliamo gli altri parametri della sezione

y =

�A1=2

�sin�

2�cos�

�1=2�A=14:75;�=45�

= 2: 84m

b =hA tan��y2y tan�

iA=14:75;�=45�;y=2:84

= 2: 35m

B = [b+ 2y= tan�]b=2:35;y=2:84;�=45� = 8: 03mTipo di correnteCome visto prima otteniamobm =

�B+b2

�b=2:35;B=2:83

= 2:59m; q = [Q=bm]Q=50;bm=2:59 = 19:31m3= s

hc =h�q2=g

�1=3iq=19:31;g=9:81

= 3:36m; w = bmy = 2:59

2:84 = 0:91

in questo caso si ha una corrente veloce e la snellezza w è estremamentebassa.

39

0

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8x

Minima resistenza

7.4 Scelta della sezione da adottare

Nella tabella 1 e nella �gura 7.4 sono riportati i risultati dei quattro casiesaminati.

Sez. A B b y w V hc corrente1 17.45 14.72 12.12 1.30 10.32 2.87 1.12 lenta2 15.94 11.41 8.15 1.63 6.00 3.14 1.39 lenta3 16.67 13.13 10.29 1.42 8.25 3.00 1.23 lenta4 14.75 8.03 2.35 2.84 0.91 3.39 3.36 veloce

Tabella 1: Confronto tra sezioni dei canali. Sono evidenziate le scelte di progettonei vari casi.

0

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14x

Confronto dei risultati

Come si vede la sezione di minima resistenza quattro risulta troppo profondae stretta, in essa ovviamente si ha la massima velocità dell�acqua mentre l�areadella sezione è la minima. Questo però non signi�ca che sia necessariamente la

40

più economica, infatti nel computo dell�area di scavo va aggiunto il necessariofranco che deve essere maggiore che negli altri casi perché un aumento di portataporta ad un maggiore aumento della profondità. Inoltre lo scavo deve essere piùprofondo con maggiori probabilità di trovare materiale più resistente con unconseguente aumento del costo unitario. Per questi e per altri motivi le sezionidi minima resistenza sono ormai quasi totalmente abbandonate.La sezione tre è la più semplice da progettare ma sembra più equilibrata la

soluzione due, che scegliamo.

7.5 Dimensionamento del salto di fondo

Mentre l�acqua si avvicina al salto riduce la sua altezza da y1 = 1:63m �no alvalore critico hc = 1:39m e di conseguenza aumenta la sua velocità da V1 =3:14m= s �no alla velocità criticaVc = V1

y1hc= 3:14 1:631:39 = 3: 69m= s

Questo valore si può trovare direttamente dalla de�nizione di velocità criticaVc = (ghc)

0:5 = (9:81� 1:39)0:5 = 3: 69m= sSe l�altezza y1 fosse stata maggiore di hc allora non sarebbe diminuita e

quindi anche la velocità sarebbe rimasta la stessa. Vediamo ora il pro�lo dellacorrente durante e dopo il salto. Sperimentalmente si sono trovati i caratterigeometrici che descrivono il moto dell�acqua in funzione del numero di salto(drop number):

D =

�hch

�3=

1

h

�q2

g

�1=3!3=q2

gh3

dove h è l�altezza del salto che nel nostro caso vale h = 3:6m. Con i nostrivalori otteniamoD =

h�hch

�3ihc=1:39;h=3:6

= 5: 76� 10�2

la distanza del punto di impatto Ld e la relativa altezza minima h1 sono datidalle relazioni empiricheLd =

�4:3hD0:27

�h=3:6;D=5:76�10�2 = 7: 16m

h1 =�0:54hD0:425

�h=3:6;D=5:76�10�2 = 0: 58m

dopo il salto, ad una distanza 2� 3 volte Ld, la corrente tende ad assumerei caratteri de�niti dal nuovo alveo.

41

8 Sintesi matematica per la sezione trapezia

8.1 Gli strumenti di calcolo

Riprendiamo gli esempi (7.3.2) e appro�ttiamo per presentare alcuni tra i piùpotenti programmi applicativi di calcolo sia numerico che simbolico.Il nostro problema è quello di risolvere un sistema non lineare di 11 o più

equazioni. Evidentemente la soluzione in forma chiusa non è possibile per questocercheremo la soluzione numerica. I quattro esempi sono stati risolti usandoquattro tra i più di¤usi software:

Foglio di calcolo Excel La soluzione numerica è stata ottenuta usando l�ag-giunta Risolutore. Il risolutore è uno strumento di analisi numerica digrande potenza che, tra gli altri, utilizza il codice di ottimizzazione non lin-eare Generalized Reduced Gradient (GRG2) sviluppato da Leon Lasdon,Università del Texas ad Austin, e Allan Waren, Università di Cleveland.

Mathcad Questo programma è molto versato per il calcolo numerico. Per lasoluzione usa l�algoritmo Levemberg-Marquardt che è una variante delmetodo del gradiente di Newton. Il problema viene scritto su dei fogli neiquali è possibile in maniera molto semplice inserire sia testo che gra�ca. Ifogli sono documenti vivi sul tipo dei più noti fogli di calcolo, cambiandoun valore avviene automaticamente il ricalcolo di tutti valori e relativigra�ci. I fogli possono essere stampati ottenendo così dei documenti conuna buona veste gra�ca.

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Maple E�uno dei più potenti e versatili programmi di Computer Algebra at-tualmente disponibile. Il suo punto di forza è nella risoluzione algebricadi un grandissimo numero di problemi. Considerando le impressionanticapacità di calcolo il suo uso è relativamente semplice ma necessita co-munque di una buona esperienza per realizzare applicazioni che non sianobanali. Il suo motore di calcolo simbolico è usato da molti alti programmitra cui Mathcad e Scienti�c Notebook

Scienti�c Notebook Si tratta probabilmente della più amichevole interfacciadisponibile per il motore di calcolo Maple. Si possono realizzare dei docu-menti di elevata qualità gra�ca perché basato sul linguaggio TEX che è lostandard mondiale per la redazione di documenti tecnici e scienti�ci. Sitratta di un prodotto che unisce una grande facilità d�uso ad un prezzodecisamente economico.

Proponiamo la soluzione con Scienti�c Notebook perché la più semplice edimmediata da realizzare.

8.2 Le formule disponibili

di natura idraulica

8>><>>:Q = AV

V = �pRi

� = cR6

R = A=C

di natura geometrica�A = y(b+ y= tan�)C = b+ 2y= sin�

In totale le variabili sono Q;A; V; i; �; c; R;C; b; y; � cioè 11, le relazionidisponibili sono 6 occorre imporre quindi 5 costanti di progetto. Queste 5costanti possono essere qualsiasi purché non rendano impossibile il sistema. Adesempio non si possono assegnare valori arbitrari ad A; V e Q perché legati dallaprima equazione oppure ad A;C ed R. Con questa avvertenza si può semprerisolvere il sistema.

8.3 Prima soluzione

Con i dati della prima soluzione otteniamo un sistema di 11 equazioni che vienerisolto in un colpo solo:

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8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:

Q = AV

V = �pRi

� = cR1=6

R = A=CA = y(b+ y= tan�)C = b+ 2y= sin�

Q = 50i = 0:2=100y = 1:3� = 45�

c = 60

;Soluzione:

8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:

b = 11: 994C = 15: 671� = 61: 603V = 2: 893 1A = 17: 282R = 1: 102 8Q = 50:0� = 0: 785 4y = 1: 3c = 60i = 0:00 2

9>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>;8.4 Seconda soluzione

In questo caso si è imposta la snellezza del canale bm = yw che corrisponde adun ulteriore vincolo sull�area che diventa A = wy2. In pratica aggiungiamo unaequazione al sistema, che diventa di 12 equazioni, ed una costante. Anche inquesto caso la soluzione è immediata:8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Q = AV

V = �pRi

� = cR1=6

R = A=CA = y(b+ y= tan�)C = b+ 2y= sin�

Q = 50i = 0:2=100A = wy2

w = 6� = 45�

c = 60

;Soluzione:

8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Q = 50:0� = 0: 785 4c = 60i = 0:00 2� = 62: 887V = 3: 142y = 1: 628 6A = 15: 913R = 1: 248 2C = 12: 749b = 8: 142 8w = 6:0

9>>>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>>>;8.5 Terza soluzione

In questo imponiamo la velocità massima

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8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:

Q = AV

V = �pRi

� = cR1=6

R = A=CA = y(b+ y= tan�)C = b+ 2y= sin�

Q = 50i = 0:2=100V = 3� = 45�

c = 60

;Soluzione:

8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:

C = 14: 312R = 1: 164 5� = 62: 164y = 1: 423 3b = 10: 287A = 16: 667V = 3:0Q = 50:0� = 0: 785 4c = 60i = 0:00 2

9>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>;8.6 Quarta soluzione

La sezione di minima resistenza si ha quando R = y=2 quindi8>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

Q = AV

V = �pRi

� = cR1=6

R = A=CA = y(b+ y= tan�)C = b+ 2y= sin�

Q = 50i = 0:2=100R = y=2� = 45�

c = 60y 2 (0:1; 10)

;Soluzione:

8>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>:

i = 0:00 2Q = 50:0y = 2: 829 5b = 2: 344A = 14: 638C = 10: 347R = 1: 414 7V = 3: 415 7� = 64: 214� = 0: 785 4c = 60

9>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>;Come si vede è possibile esplorare con grande facilità un gran numero di

soluzioni.

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