CORSO INTENSIVO DI STATISTICA I (V.O.)Esercizi

Dott.ssa CATERINA CONIGLIANIFacolta di EconomiaUniversita Roma Tre

1 Esercizi di statistica descrittiva

Esercizio 1.1 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) In un pronto soccorso di un ospedalesono stati registrati il numero delle richieste di intervento giornaliere (X) su un arcodi 100 giorni, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n(X) 2 9 18 22 16 12 9 5 4 2 1

Fare la rappresentazione grafica della distribuzione e della sua funzione di ripartizione;calcolarne la media e la mediana con i rispettivi indici di variabilita. Commentare irisultati. [R: µ = 3.84; Me = 3; σ2 = 4.47; SMe = 1.68]

Esercizio 1.2 Data la seguente distribuzione delle frequenze cumulate relative diun collettivo rispetto al carattere X:

X 0-2 2-4 4-6 6-10 10-20 20-30 30-50F(X) 0 0.08 0.32 0.64 0.86 0.96 1

a) individuare la classe modale;b) calcolare la media aritmetica e la varianza della variabile Z=1-3X;c) calcolare la proporzione di unita che presentano un livello di X≤12.[R: classe modale: (4-6); µz = −33.2, σ2

z = 659.16; F (12) = 0.684]

Esercizio 1.3 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) Dare una spiegazione breve della/escelta/e: se la devizione standard di un insieme di numeri e pari a zero ne segue che:

a) i dati sono distribuiti normalmente;b) la media deve essere pari a zero;c) i numeri sono tutti uguali;d) meta dei numeri sono positivi, e meta negativi.

Esercizio 1.4 (Prof.ssa Terzi, 8–2-99) Una sessione e costituita da tre appellidi esame, a cui si presentano, rispettivamente, 80, 100 e 50 studenti; tutti vengonopromossi. Il voto medio riportato al primo appello risulta pari a 26.4, con scostamentoquadratico medio (s.q.m.) pari a 4.5. Al secondo appello il voto medio risulta pari

1

a 27.2. Al terzo appello si osserva uno s.q.m. pari a 5. Per l’intera sessione il votomedio risulta pari a 27.

a) Valutare il voto medio relativo al terzo appello.b) Sapendo che lo s.q.m. complessivo vale 5.5, determinare lo s.q.m. relativo al

secondo appello.[R: µ3 = 27.56; σ2 = 6.36]

Esercizio 1.5 (Prof.ssa Terzi, 19–6-01) Una ditta che produce telefoni cellularidistribuisce mensilmente il suo prodotto in tre negozi che si trovano in uno stesso paesenell’entroterra sardo. Il primo negozio vende in media 3.4 telefoni al mese, con s.q.m.pari a 0.6. Il secondo negozio vende in media 7 telefoni al mese, con s.q.m. pari a 1.2.Il terzo negozio vende in media 2.8 telefoni al mese con s.q.m. pari ad 1. Calcolare:

a) il numero medio di vendite mensili per l’intero paese;b) lo s.q.m. delle vendite mensili per l’intero paese.[R: µ = 4.4; σ = 2.091]

Esercizio 1.6 (Prof.ssa Mortera, 13–06-01) Se la distanza interquartile di uninsieme di dati e nulla allora

¤ A la media e uguale a 0¤ B i numeri sono tutti uguali¤ C i dati sono distribuiti normalmente¤ D tutti i quartili sono uguali.

Esercizio 1.7 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Al censimento del 1981 le famiglieitaliane secondo il numero di componenti (X) sono risultate cosı distribuite:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 e piun(X) 3323 4402 4117 4008 1773 629 224 154

Fare la rappresentazione grafica: a) della distribuzione di frequenza; b) della funzionedi ripartizione. Calcolare mediana e quartili, e rappresentarli sul grafico della funzionedi ripartizione. [R: Me = 3; Q1 = 2; Q3 = 4]

Esercizio 1.8 (Prof. Pieraccini, 5–2-01) Data la seguente tabella:

X 0-1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-15 15-30n(X) 15 13 15 12 15 10 15

Fare la rappresentazione grafica della distribuzione di frequenza e quella della suafunzione di ripartizione. Calcolare: a) la mediana; b) il primo e il terzo quartile; c) ladifferenza interquartile. Commentare i risultati ottenuti. [R: Me = 3.67; Q1 = 1.64;Q3 = 10.5; D = 8.86]

Esercizio 1.9 (Prof.ssa Mortera, 28–06-01) La media aritmetica e piu grandedella mediana quando

¤ A la moda e grande¤ B ci sono valori anomali estremamente piccoli¤ C la popolazione non e normale¤ D ci sono valori anomali estremamente grandi.

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Esercizio 1.10 (Prof. Pieraccini, 21–9-99) Sia data la seguente distribuzionedei redditi:

Classi di reddito (milioni) Frequenze relativefino a 10 0.195

10-20 0.41920-30 0.22130-40 0.09540-50 0.041

oltre 50 0.029Totale 1.000

Calcolare media, s.q.m., ed un indice di asimmetria. Commentare i risultati. [R:µ = 19.84; σ = 12.87; γ = 1.41]

Esercizio 1.11 (Prof. Pieraccini, 3-7-00) Data la seguente distribuzione difrequenza:

X 0-1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-15 15-20 20-30 30-40 40-50 50-100ni 15 13 12 11 10 10 8 6 6 5 4

a) fare la rappresentazione grafica della distribuzione;b) fare la rappresentazione grafica della funzione di ripartizione;c) calcolare la mediana e la media aritmetica;d) calcolare lo scarto semplice medio dalla mediana e quello quadratico dalla media

aritmetica;e) calcolare un indice di asimmetria.Commentare i risultati ottenuti. [R: Me = 4.8; µ = 13.26; SMe = 11.336; σ =

17.61; γ = 2.006]

Esercizio 1.12 (Prof. Pieraccini, 3-2-97) In una cittadina degli Stati Uniti estata rilevata la concentrazione media giornaliera di ozono (X in parti di miliardi) fral’1/5/74 e il 13/9/74, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza:

X 0-50 50-75 75-100 100-150 150-200 200-250n(X) 35 29 25 28 11 8

a) Fare la rappresentazione grafica delle frequenze relative e delle frequenze relativecumulate.

b) Calcolare un indice di dimensione, uno di variabilita ed uno di asimmetria avostra scelta.

[R: µ = 88.97; σ = 56.19; γ = 0.78]

Esercizio 1.13 (Prof.ssa Mortera, 28–9-00) Da un campione di 100 aziendedella provincia di Milano e stata rilevata la classe di addetti, ottenendo i seguentirisultati:

Classe di superficie Numero di aziende0-10 3310-50 4350-100 12100-500 10500-1000 2

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a) Si rappresentino graficamente i dati nel modo che si ritiene piu opportuno.b) Si determinino la classe modale e la classe mediana.c) Si calcolino la mediana e un indice di asimmetria.

[R: classe modale: (0-10); Me=25.814;µ−Me

σ= 0.33]

Esercizio 1.14 (Prof.ssa Mortera, 22-2-00) Data la seguente tabella a doppiaentrata relativa ai caratteri reddito mensile in milioni di lire (X) e numero di weekenddedicati a viaggiare (Y):

YX

0− 1 2− 3 4

0-1.5 20 15 31.5-2.5 13 21 6

2.5-4 18 10 8

calcolare:a) la media e la varianza di X, la media e la varianza di Y, la Cov(X,Y);b) la media di X quando Y e tra 2 e 3 weekend;c) la media e la varianza di Z=X+Y e di W=X-Y;d) Cov(Z,W) in funzione di var(X) e var(Y).[R: µx = 1.98; σ2

x = 1.01; µy = 1.83; σ2y = 1.67; σxy = 0.11; µx|y∈(2−3) = 1.86;

µz = 3.81; σ2z = 2.9; µw = 0.15; σ2

w = 2.46; σzw = σ2x − σ2

y]

Esercizio 1.15 (Prof.ssa Mortera, 17-07-01) Con riferimento alla tabellaseguente

EtaSettore

10− 18 18− 20 20− 60

Abbigliamento 312 913 3367Bigiotteria 710 377 208Profumi 248 211 341

dire se (giustificando le risposte):a) la classe modale della distribuzione marginale dell’eta e

¤ A 10-18¤ B 18-20¤ C 20-60¤ D la distribuzione e bimodale

b) la moda della distribuzione marginale del settore merceologico e¤ A abbigliamento¤ B bigiotteria¤ C non si puo calcolare¤ D profumi

c) la mediana della distribuzione marginale del settore merceologico e¤ A abbigliamento¤ B bigiotteria¤ C non si puo calcolare

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¤ D 0.5.

Esercizio 1.16 (Prof.ssa Terzi, 21-9-98) Per la seguente serie di coppie divalori:

X 1 2 6 10 X5

Y 7 12 32 Y4 67

si sa che il coefficiente di correlazione rxy=1. Si determinino i due valori mancanti X5

e Y4. [R: X5 = 13; Y4 = 52]

Esercizio 1.17 (Prof.ssa Mortera, 13–06-01) Date due variabili statistiche Xe Y, se si trova che rxy=1.09 allora X e Y

¤ A sono indipendenti¤ B sono dipendenti in modo quadratico¤ C hanno una fortissima dipendenza lineare¤ D chi ci ha dato il risultato ha sbagliato i conti.

Esercizio 1.18 (Prof.ssa Terzi, 20-6-00) Si consideri il valore dei depositi inmiliardi nelle aziende di credito e presso le amministrazioni postali in Italia nel 1987:

Aziende di credito Amministrazioni postaliTotale 460 000 78 000

I due tipi di deposito sono cosı distribuiti (percentualmente) nelle due ripartizioni delCentro-Nord e Mezzogiorno:

Aziende di credito Amministrazioni postaliCentro-Nord 79.9% 65.9%Mezzogiorno 20.1% 34.1%Totale 100% 100%

a) Sulla base di queste informazioni si costruisca la tabella che classifica congiun-tamente i valori dei depositi per ripartizione territoriale e tipo di deposito.

b) Quale tipo di indipendenza si puo valutare su una tabella come quella del puntoa)?

c) Calcolare un indice adeguato per misurare la dipendenza tra i due caratteri. [R:χ2 = 7585.39]

Esercizio 1.19 (Prof.ssa Terzi, 13–7-98) Data la seguente tabella a doppiaentrata:

YX

2 4 6 tot

1 42 6 103

tot 10 100

completarla nell’ipotesi di indipendenza assoluta tra i due caratteri. Calcolare poi lamedia aritmetica e la mediana di Y. [R: µy = 4.4; Mey = 4]

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Esercizio 1.20 (Prof.ssa Terzi, 22-10-99) Data la seguente tabella:

YX

1 6 tot

1 703 507 30

tot 100 50 150

a) riempirla in modo che risulti η2Y |X=1;

b) senza svolgere i calcoli, quanto vale χ2?[R: χ2 = 150]

Esercizio 1.21 (Prof.ssa Terzi, 21-9-98) Data la seguente distribuzione

YX

0 1 tot

0 45 15 601 5 35 40

tot 50 50 100

a) calcolare l’indice η2Y |X ;

b) tenendo costanti le frequenze marginali, riempire la tabella in modo che risultiη2

X|Y = 0.

[R: η2Y |X = 0.375]

Esercizio 1.22 (Prof.ssa Terzi, 22-2-00) Data la seguente tabella a doppiaentrata

XY

2 6 tot

Y1 5 0 5Y2 0 5 5Y3 15 0 15tot 20 5 25

a) Calcolare η2X|Y .

b) Posto Y1=2, Y3=6, determinare quale deve essere il valore di Y2 affinche risultiη2

Y |X=0.

[R: η2X|Y = 1; Y2 = 5]

Esercizio 1.23 Su una tabella a doppia entrata in cui la variabile X e articolatain 4 modalita e la variabile Y e articolata in 2 modalita, e stato calcolato il χ2 relativo,che risulta pari a 1. Quali affermazioni si possono eventualmente fare sul valore che,su questa tabella, assumono gli indici η2

Y |X , η2X|Y , r2?

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Esercizio 1.24 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) Data la seguente tabella a doppiaentrata:

YX

1 3 tot

1 903 507 60

tot 150 50 200

a) riempirla in modo che risulti η2Y |X = 1;

b) calcolare poi χ2 e χ2 relativo.[R: χ2 = 200]

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2 Esercizi di Calcolo delle Probabilita

Esercizio 2.1 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) Uno studente universitario ha program-mato di sostenere nella sessione estiva gli esami X e Y. Sia A l’evento “supera l’esameX” e sia B l’evento “supera l’esame Y”, con P(A)=0.7, P(B)=0.5, P(A

⋂B)=0.4. Cal-

colare la probabilita che non superi nessuno dei due esami, ovvero P(A⋂

B). [R:P(A

⋂B)= 0.2]

Esercizio 2.2 (Prof.ssa Mortera, 8–2-00) Una fabbrica produce RAM chepossono avere due tipi di difetti, il difetto A e il difetto B. Il responsabile per la qualitadella fabbrica afferma che, dall’esperienza passata, la probabilita che una RAM abbiaalmeno uno dei due difetti e pari a 0.3; la probabilita che abbia il difetto A ma non ilB e pari a 0.1; la probabilita che abbia contemporaneamente i due difetti e pari a 0.2.Calcolare la probabilita che una RAM abbia:

a) il difetto A;b) il difetto B;c) il difetto A, dato che si e riscontrato che non ha il difetto B.[R: P(A)=0.3; P(B)=0.2; P(A|B)=0.125]

Esercizio 2.3 (Prof.ssa Mortera, 28–9-00) Nel cinema Bianchini ci sono duesale. Marco ha deciso di andare a vedere il film che viene proiettato nella sala B, ma ein ritardo. Sa che, arrivando all’ultimo momento, la probabilita di trovare ancora unposto nella sala A e pari a 0.2, la probabilita di trovarlo in almeno una delle due salee 0.4, e la probabilita che vi sia ancora un posto nella sala B sapendo che c’e ancoraun posto nella sala A e 0.3.

a) Quale e la probabilita che Marco riesca a vedere il film che proiettano nella salaB?

b) Come cambia tale probabilita se sappiamo che la sala A e gia completa?[R: P(B)=0.26; P(B|A)=0.25]

Esercizio 2.4 (Prof.ssa Mortera, 22-2-00) In ciascuna copia di una edizioneeconomica dei Promessi Sposi, il 60% delle pagine contiene almeno un errore di stampa.Se ne produce una ristampa riveduta in cui errori di stampa sono contenuti solo nel20% delle pagine. Da uno scaffale, che contiene 20 libri della prima edizione e 10 dellaseconda, si sceglie un libro a caso. Si esamina una pagina, scelta anch’essa in modocasuale, e si trova un errore di stampa.

a) Quale e la probabilita che il libro sia della prima edizione?b) E della ristampa?[R: P(I|E)=0.86; P(II|E)=0.14]

Esercizio 2.5 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Un’urna contiene 4 palline bianchee 2 rosse, un’altra ne contiene 2 bianche e 4 rosse. Da una delle due urne scelta a casoe stata estratta una pallina rossa. Quale e la probabilita che sia stata estratta dallaprima urna? [R: P(U1|R)=1/3]

Esercizio 2.6 (Prof. Pieraccini, 20–2-01) Un’urna contiene 6 palline rosse e 4nere, un’altra ne contiene 2 rosse e 8 nere. Se si estraggono con reimmissione 3 pallineda una delle due urne scelta a caso, e si osservano 3 palline nere, quale e la probabilitache queste siano state estratte dalla prima urna? [R: P(U1|N

⋂N

⋂N)=1/9]

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Esercizio 2.7 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) Dati due eventi A e B indipendenti,verificare se le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) P(A|B)=P(A|B);b) P(A

⋂B)=P(A)-P(A)P(B);

c) P(A⋃

B)=P(A)P(B)+P(B).[R: le affermazioni sono tutte vere]

Esercizio 2.8 (Prof.ssa Mortera, 17-7-01) Due tifosi, Paolo e Carlo, vannospesso allo stadio. Paolo ha assistito al 70% delle partite e Carlo ha assistito al 90%delle partite.

a) Sapendo che la presenza di Paolo allo stadio e indipendente dalla presenza diCarlo (e viceversa), quale e la probabilita che almeno uno dei due tifosi abbia assistitoad una partita?

b) Quale e la probabilita che Paolo abbia assistito alla quarta partita di campionatosapendo che Carlo ha assistito alla seconda partita di campionato?

c) Dati due eventi A e B, definire la proprieta di incompatibilita e di indipendenza.[R: P(P

⋃C)=0.97; P(P|C)=0.7]

Esercizio 2.9 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) Per arrivare ad una cena tra amici,Paolo e Giovanna scelgono, con uguale probabilita, fra i seguenti mezzi di trasporto:bus, auto e bicicletta. Le probabilita che ciascuno dei due amici giunga in ritardo, seprendono rispettivamente il bus, l’auto e la bicicletta, sono pari a 0.6, 0.2 e 0.4.

a) Determinare la probabilita che Paolo arrivi in ritardo.b) Se Paolo e Giovanna viaggiano indipendentemente, quale e la probabilita che

almeno uno giunga in ritardo?c) Sapendo che Paolo e arrivato in ritardo, quale e la probabilita che abbia viaggiato

in auto?[R: P(RP)=0.4; P(RP

⋃RG)=0.64; P(A|RP)=0.17]

Esercizio 2.10 (Prof.ssa Terzi, 20-6-00) La probabilita che durante la pro-duzione giornaliera di una piccola azienda di componenti elettronici, si verifichino Xpezzi difettosi e data da:

P(X=0)=K, P(X=1)=3K, P(X=2)=K, P(X=3)=P(X=4)=2K, P(X ≥ 5)=0.

a) Determinare il valore della costante K.b) Calcolare valore atteso e varianza della variabile casuale X.[R: K=1/9; E(X)=2.11; var(X)=1.88]

Esercizio 2.11 (Prof.ssa Terzi, 3-7-00) Una variabile casuale discreta X ha laseguente funzione di ripartizione:

F(0)=0, F(1)=0.2, F(2)=0.4, F(3)=0.4, F(4)=0.8, F(5)=1.

Calcolarne il valore atteso e la varianza. [R: E(X)=3.2; var(X)=2.16]

Esercizio 2.12 (Prof.ssa Terzi, 16–7-01) Un’urna contiene 5 palline bianchee 5 palline nere. Dall’urna vengono estratte (senza ripetizione) 2 palline. Sia X la

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variabile casuale “numero di palline bianche su due estratte”. Calcolare E(X) e var(X).[R: E(X)=1; var(X)=0.44]

Esercizio 2.13 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) L’altezza di 450 studenti immatri-colati all’Universita di Roma Tre nel 1998 e risultata in media di 170 cm., con unos.q.m. di 7.5 cm. Nell’ipotesi che la statura si distribuisca come una Normale, qualee il numero atteso di studenti con altezza

a) maggiore di 180 cm.;b) minore o uguale a 160 cm.;c) tra 162.5 e 172.5.[R: n(X>180)'41; n(X≤160)'41; n(162.5<X<172.5)'212]

Esercizio 2.14 (Prof.ssa Mortera, 28–06-01) Se Z e una variabile casualestandardizzata, il valore di E (Z2) e

¤ A 0¤ B 1 se Z e normale¤ C non ho sufficienti dati per calcolarlo¤ D 1.

Esercizio 2.15 (Prof. Pieraccini, 5–2-01) Sia X una v.c. N (5, 9). Trovare,facendo uso delle tavole:

a) P (6.41 < X < 7.82);b) la probabilita che la v.c. X assuma un valore compreso fra -1 e 11;c) il valore di X corrispondente al 30o percentile.[R: P (6.41 < X < 7.82) = 0.1456; P (−1 < X < 11) = 0.9544; X30 = 3.41]

Esercizio 2.16 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Un’urna contiene una pallina nerae nove bianche; vengono estratte 10 palline con ripetizione. Si calcoli la probabilita diestrarre due palline nere facendo uso: a) della v.c. di Bernoulli; b) dell’approssimazionecon la v.c. di Poisson. Confrontare i risultati.[R: P(N=2)=0.194; P(N=2)=0.184]

Esercizio 2.17 (Prof.ssa Mortera, 13-6-01) E’ noto che il 35% dei dipendentidi una multinazionale e single. Considerando un campione casuale di 10 dipendenti:

a) determinare la probabilita che almeno due dipendenti siano single;b) determinare la probabilita che il numero di single sia compreso tra 2 e 4;c) preso un campione dieci volte piu grande, calcolare la probabilita che al piu 35

dipendenti siano single.d) Data una variabile casuale X ∼ Bin(n, p), trovare media e varianza.[R: P(X≥2)=0.914; P(2≤X≤4)=0.6655; P(X≤35)=0.5398]

Esercizio 2.18 (Prof. Pieraccini, 10-9-01) Si supponga che il numero di orologia pendolo venduti quotidianamente da un antiquario sia una variabile casuale di Pois-son di parametro λ = 0.1. Si calcoli la probabilita:

a) che siano state effettuate 4 vendite in un periodo di 3 giorni consecutivi;b) che trascorrano 3 giorni consecutivi senza che si abbiano vendite.[R: P(X=4)=0.00025; P(X=0)=0.74]

Esercizio 2.19 (Prof.ssa Mortera, 17-7-01) Una ditta produttrice di fotocopi-atrici sa che la durata di una macchina (in migliaia di copie) si distribuisce come una

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normale con µ = 1600 e σ2 = 3600. Essa risarcisce un milione di lire all’acquirente sela durata della macchina acquistata e inferiore a 1450. Calcolare la probabilita che:

a) su 5 macchine la ditta debba risarcire al massimo un milione di lire;b) su 100 macchine la ditta debba risarcire piu di un milione.[R: P(N≤1)=0.99962; P(N>1)=0.1285]

Esercizio 2.20 (Prof.ssa Mortera, 19–6-00) Il numero di viaggi venduti inuna settimana da ciascun agente dell’agenzia Kalimera, specializzata in viaggi verso laGrecia, si distribuisce come una Poisson con valore atteso λ=3. Il titolare dell’agenziadecide di dare un premio ai dipendenti che in una settimana vendono almeno 4 viaggi.

a) Quale e la probabilita che un dipendente vinca il premio?b) Supposto che non esista nessuna relazione tra il numero di viaggi venduti dai

diversi dipendenti dell’agenzia, calcolare la probabilita che non piu di 3 dei 10 operatoricomplessivi ricevano il premio.

c) Calcolare quanti viaggi vengono venduti mediamente in un mese.[R: P(X≥4)=0.35; P(N≤3)=0.513; E(Y)=130]

Esercizio 2.21 (Prof.ssa Mortera, 16-6-99) Il diametro interno delle guarnizioniprodotte dalla ditta Fido e di 0.502 cm e la deviazione standard e di 0.005 cm. Gliscopi per i quali queste guarnizioni sono prodotte permettono una tolleranza mas-sima del diametro fra 0.496 e 0.508 cm, mentre nel caso contrario le guarnizioni sonoconsiderate difettose. Assumendo la distribuzione dei diametri Normale:

a) determinare la percentuale delle guarnizioni difettose prodotte dalla macchina;b) determinare quale e la probabilita di trovarne almeno 2 difettose in un campione

casuale di 10 guarnizioni;c) determinare quale e la probabilita di trovarne piu di 22 difettose in un campione

casuale di 100 guarnizioni.[R: P(D)=0.23; P(N≥2)=0.71; P(N>22)=0.5478]

Esercizio 2.22 (Prof. Pieraccini, 10-9-01) Un’azienda che produce carta daparati decide di effettuare un controllo sulla qualita del prodotto; i difetti riscontratipossono essere distinti in due tipi: quelli dovuti allo spessore della carta e quelli dovutialla colorazione. Sia X il numero di difetti del primo tipo (per ogni rotolo da 5 metridi carta) e sia Y il numero di difetti del secondo tipo. Si supponga che la distribuzionedi probabilita congiunta di X e Y sia:

XY

0 1 2 3

0 0.49 0.09 0.03 01 0.12 0.07 0.01 0.012 0.05 0.04 0.01 03 0.04 0.03 0 04 0.01 0 0 0

Si calcoli :a) il valore atteso e la deviazione standard di ognuna delle due distribuzioni;b) la covarianza ed il coefficiente di correlazione tra X e Y;c) la probabilita P (X < 2, Y ≥ 2).

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[R: E(X)=0.36; var(X)=0.39; E(Y)=0.66; var(Y)=0.96; cov(X,Y)=0.0924; ρ(X,Y)=0.15;P(X<2,Y≥2)=0.17]

Esercizio 2.23 (Prof. Pieraccini, 3–7-00) Una coppia di dadi e lanciata 100volte. Utilizzando l’approssimazione della Binomiale con la Normale, calcolare la prob-abilita di ottenere non piu di 15 volte un numero pari. [R: P(N≤15)'0].

Esercizio 2.24 (Prof.ssa Mortera, 19–6-00) Si considerino due variabili aleato-rie normali X e Y. Si assuma che E(X)=E(Y)=µ e che var(X)=var(Y)=1. Sia Z=X-3Y-10.

a) Determinare la distribuzione di Z nell’ipotesi che X e Y sono indipendenti.b) Determinare il valore atteso e la varianza di Z supponendo che rxy=1.c) Sempre nell’ipotesi che X e Y siano indipendenti, stabilire il valore atteso della

v. a. W=(Z+µ+10)2.[R: Z∼N(-2µ-10,10); E(Z)=-2µ-10, var(Z)=4; E(W)=10+µ2]

Esercizio 2.25 (Prof.ssa Mortera, 13-6-01) Siano X e Y due variabili casualinormali con E(X)=2λ, E(Y)=λ e var(X)=var(Y)=2. Sia Z=Y-2X+2.

a) Quale e la distribuzione di Z? Perche?

b) Supponendo che rxy=−1

2, calcolare E(Z) e var(Z).

c) Se X e Y sono indipendenti, quale e il valore atteso di (2Z-4+6λ)2.[R: Z ha distribuzione Normale; E(Z)=2-3λ, var(Z)=14; E((2Z-4+6λ)2)=40]

Esercizio 2.26 (Prof.ssa Mortera, esercitazioni) Nell’ambito di un collettivodi famiglie omogenee, il consumo giornaliero di gas metano nel periodo Novembre-Marzo e una v.c. X in m3, con E(X)=8, var(X)=7. Sapendo che il gas metanoviene fatturato a L. 500 al m3 e che il periodo e costituito da 150 giorni, calcolare laprobabilita che:

a) la spesa complessiva di una famiglia scelta a caso sia maggiore di L. 606000;b) in un campione casuale di 5 famiglie, almeno 3 abbiano una spesa complessiva

superiore a L. 606000;c) in un campione casuale di 100 famiglie, almeno 2 abbiano una spesa complessiva

superiore a L. 620000.[R: P(S>606000)=0.35; P(N≥3)=0.2352; P(M≥2)=0.9987]

12

3 Esercizi di inferenza

Esercizio 3.1 (Prof.ssa Mortera, 1-7-99) Il tempo che l’impiegato addetto allosportello “accettazione telegrammi” di un certo ufficio postale dedica a ciascun utentesegue una distribuzione normale di media 5 minuti. E’ anche noto che la probabilitache il tempo dedicato a ciascun utente sia inferiore a 3.2 minuti e pari a 0.209.

a) Ricavare il valore dello scarto quadratico medio di X.b) Determinare la probabilita che il tempo medio ricavato sulla base di un campione

casuale di 25 utenti superi i 6 minuti.c) Determinare l’intervallo in cui, con probabilita 0.9, cade la varianza campionaria

corretta dello stesso campione.

[R: σ = 2.22; P(X > 6

)= 0.01222; S

2 ∈ (2.85; 7.49)]

Esercizio 3.2 (Prof. Pieraccini, 19-6-01) Le cinque unita che compongonouna popolazione presentano per la X i seguenti valori:

3, 4, 6, 12, 17.

Si considerino tutti i possibili campioni di ampiezza due che possono essere estratticon ripetizione da questa popolazione. Calcolare:

a) la media della popolazione;b) lo scarto quadratico medio della popolazione;c) la distribuzione della media campionaria;d) verificare che la media campionaria e una stima non distorta della media della

popolazione;e) controllare che la varianza della distribuzione campionaria delle medie e in ac-

cordo con il risultato teorico.[R: µ = 8.4; σ = 5.31]

Esercizio 3.3 (Prof.ssa Mortera, 28-6-01) Sia X1, X2,...,Xn un campione diampiezza n (n ≥ 4) estratto da una popolazione X con E (X) = µ e varianza σ2. Siconsiderino i seguenti stimatori alternativi per µ:

S1 = 2X1

n− X3 + X4

n+ X2 e S2 = X1 − X2 + X3 − X4

n

a) Lo stimatore S1 e non distorto? In caso di risposta negativa proporre unostimatore non distorto per µ modificando S1;

b) lo stimatore S2 e non distorto? In caso di risposta negativa proporre uno stima-tore non distorto per µ modificando S2;

c) calcolare l’errore quadratico medio di S1e di S2;d) S1e di S2 sono consistenti in media quadratica?[R: S1 non distorto; S2 distorto, nS2/(n-1) non distorto; MSE(S1)=σ2 (6/n2 + 1),

MSE(S2)=σ2 (3/n2 + 1) + µ2/n2; S1 e S2 non sono consistenti in media quadratica]

Esercizio 3.4 (Prof.ssa Mortera, 16-6-99) Sia X1, X2,X3 un campione casualeestratto da una popolazione X con distribuzione di Poisson di parametro λ. Dati i duestimatori di λ:

T1 =2X1 + X2 + 2X3

5e T2 =

X1 + X3

2

13

a) stabilire se sono non distorti;b) ricavare l’errore quadratico medio di T1e di T2;c) quale tra i due stimatori e preferibile, e perche?[R: T1e T2 non distorti; MSE(T1)=9λ/25, MSE(T2)=λ/2; e preferibile T1]

Esercizio 3.5 (Prof.ssa Mortera, 13-6-01) Il numero di clienti che si presentanoad uno sportello bancario in un giorno e descritto da una variabile casuale X condistribuzione di Poisson di parametro λ, cioe

f (x; λ) = e−λ λx

x!x > 0, λ > 0

Al fine di stimare λ, e stato rilevato per cinque giorni il numero di clienti che si sonopresentati a questo sportello e si e osservato: 10, 13, 8, 14, 12.

a) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di λ.b) Calcolarne la stima in corrispondenza del campione osservato.c) Lo stimatore di massima verosimiglianza trovato e consistente in media quadrat-

ica? Dimostrare.d) Definire la proprieta di consistenza di uno stimatore. Lo stimatore trovato e

anche consistente?[R: λML = X; x = 11.4; lo stimatore e consistente in media quadratica e consistente]

Esercizio 3.6 (Prof.ssa Mortera, 28-9-00) Un’impresa vuole valutare la duratamedia µ delle batterie prodotte nel proprio stabilimento. In un campione casuale din=6 batterie si osservano le seguenti durate in ore:

x1 = 10, x2 = 40, x3 = 25, x4 = 32, x5 = 27, x6 = 16.

Nell’ipotesi che il tempo di vita X di ogni singola batteria segua una distribuzioneesponenziale di parametro 1/µ, cioe abbia funzione di densita:

f (x; µ) =1

µe−x/µ x > 0

a) determinare lo stimatore di massima verosimiglianza, L, per µ e ricavare il valoredella stima sulla base del campione dato;

b) dire se tale stimatore e corretto e consistente;

c) considerare lo stimatore S=3

4X e verificare la sua correttezza;

d) confrontare i due stimatori L e S utilizzando l’errore quadratico medio.[R: L=X; x = 25; L e non distorto e consistente; S e distorto; MSE(L)=µ2/n,

MSE(S)=µ2 (9 + n) /16n]

Esercizio 3.7 (Prof. Pieraccini, 20-02-01) In un campione di 100 piccoleimprese si sono rilevate le seguenti spese annue per energia elettrica (in milioni):

X 1-5 5-9 9-12 12-16 16-20 totni 2 37 32 28 1 100

a) Costruire un intervallo di confidenza per la spesa media annua µ al livello diconfidenza 0.90, sapendo che la varianza della popolazione risulta essere σ2 = 9.

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b) Quale deve essere la numerosita n del campione affinche l’intervallo calcolato alpunto a) abbia lunghezza minore di 0.8?

[R: (9.618; 10, 602) ; n ≥ 152]

Esercizio 3.8 (Prof.ssa Terzi, 19-7-00) Per un campione casuale di 14 ragazzi,sono stati osservati i seguenti pesi (in Kg):

48, 46, 45, 47, 53, 50, 38, 49, 40, 43, 46, 38, 50, 41.

Nell’ipotesi che tale campione provenga da una Normale, trovare l’intervallo di confi-denza per la media µ (incognita) dell’intera popolazione, con α=0.05. [R: (42.6; 47.98)]

Esercizio 3.9 (Prof.ssa Mortera, 22-2-00) Supponiamo che X1, X2,...,Xn sia uncampione casuale estratto da una popolazione X con distribuzione Normale di media µincognita e varianza σ2 nota. Quale deve essere la numerosita n del campione affinchesia possibile individuare un intervallo di confidenza per µ, al livello di confidenza 0.95,di lunghezza minore di 0.01σ? [R: n ≥ 153665]

Esercizio 3.10 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) In un campione di 500 famiglie,l’intervallo al 99% del reddito mensile medio (in milioni di lire) e dato da 2<µ<4. Sesi fosse calcolato l’intervallo di confidenza al 90%, questo sarebbe stato:

a) piu stretto ma con un rischio maggiore di non comprendere il valore vero di µ;b) piu largo, ma con un rischio maggiore di non comprendere il valore vero di µ;c) piu’ stretto, ma con rischio minore di non comprendere il valore vero di µ;d) non si puo dire nulla sull’ampiezza dell’intervallo.

Esercizio 3.11 Su un campione casuale di n=300 individui e stato rilevato uncarattere X, con distribuzione normale. Al livello di significativita del 5% si e costruitol’intervallo di confidenza per la media di X, i cui estremi sono risultati pari a 54 e 56.Quanto valgono la media aritmetica campionaria e la varianza campionaria corretta?

[R: X = 55; S2

= 78.09]

Esercizio 3.12 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Si determini l’intervallo di confi-denza al 90% per la percentuale di voti che in una circoscrizione elettorale, otterra uncerto partito politico, sapendo che dopo lo spoglio delle prime 200 schede questo haottenuto 70 voti, e che i votanti nel loro complesso sono stati 1000. Come si modifical’intervallo se, a meta spoglio, quel partito ha ottenuto 175 voti? [R: (0.295; 0.405);(0.315; 0.385)]

Esercizio 3.13 (Prof.ssa Mortera, 8–2-00) Per 100 incidenti stradali nellaprovincia Gonzales, una compagnia di assicurazioni ha pagato un risarcimento mediodi L. 600 000, con uno s.q.m. di L. 150 000. Per la totalita dei sinistri ha invece pagatoun risarcimento medio pari a L. 450 000. Verificare se il risarcimento nella provinciaGonzales e significativamente piu alto rispetto a quello della media nazionale. Usare unlivello di significativita del 5%. [R: rifiuto l’ipotesi nulla secondo la quale il risarcimentonella provincia Gonzales e uguale a quello della media nazionale]

Esercizio 3.14 (Prof.ssa Mortera, 3-7-00) Sia X il ritardo con cui il trenoRomolo arriva alla stazione di Roma Termini. Durante 5 controlli effettuati a caso

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in giorni diversi, sono stati ottenuti i seguenti ritardi in minuti: 12, 37, 23, 27, 19.Assumendo che i ritardi si distribuiscono come una variabile casuale Normale:

a) verificare l’ipotesi che il ritardo medio sia superiore a 15 minuti, usando α=0.05;b) calcolare l’intervallo di confidenza al livello del 95% per il ritardo medio.[R: non rifiuto H0; (12.02; 35.18)]

Esercizio 3.15 (Prof.ssa Terzi, 3-7-00) Supponendo di voler verificare al livelloα=0.10 l’ipotesi nulla che il voto medio riportato dagli studenti di Economia nell’esamedi Statistica I sia pari a 27 contro l’ipotesi alternativa che sia pari a 25.5, quale dovraessere la numerosita campionaria affinche la potenza del test risulti almeno pari a 0.95?Ai fini della soluzione si assume che la popolazione studentesca abbia una distribuzioneNormale con varianza pari a 9. [R: n ≥ 35]

Esercizio 3.16 (Prof.ssa Mortera, 21–9-99) Una societa telefonica dichiarache nel 1990 l’importo della bolletta bimensile pagata dagli abbonati privati ebbe unadistribuzione con media 95 000 Lire e s.q.m. di 70 000 Lire.

a) Se si estrae un campione di 50 bollette dagli elenchi degli abbonati del 1990,quale e approssimativamente la probabilita che la media campionaria degli importi siamaggiore di 100 000?

b) Estraendo un campione di ampiezza 100, la probabilita di cui al punto a) sarebbemaggiore o minore? Perche?

c) Una agenzia per la protezione del consumatore estrae un campione di ampiezza100 ed osserva una media campionaria degli importi pari a 105 000. Si puo concludereche l’importo medio bimensile pagato nel 1990 sia stato maggiore di 95 000? Usare unlivello di significativita del 5%.

[R: P(X>100000)' 0.3085; la probabilita al punto a) sarebbe minore; non rifiutol’ipotesi nulla di importo medio bimensile uguale a 95000]

Esercizio 3.17 (Prof.ssa Terzi, 11-9-00) Per una popolazione Normale(µ,1), sivuole sottoporre a test l’ipotesi H0: µ=0 contro l’ipotesi alternativa H1: µ<0 attraversoun campione casuale di 50 osservazioni.

a) Individuare la regione critica del test per α=0.025.b) Calcolare la potenza del test per µ=-0.5.[R: R(α)=

{X : X < −0.28

}; 1− β = 0.9406]

Esercizio 3.18 (Prof.ssa Terzi, 19–7-00) I pesi degli alunni di una scuola sidistribuiscono normalmente con varianza pari a 36 (Kg2).

a) Per α=0.07 e n=14, determinare la regione critica del test: H0: µ=50; H1:µ 6=50.

b) Sia X=46. A favore di quale ipotesi si conclude?c) Calcolare la potenza del test per µ=45.[R:

{X :

(X > 52.90

) ∪ (X < 47.1

)}; H1; 1− β = 0.9049]

Esercizio 3.19 (Prof.ssa Terzi, 19-6-01) Per una popolazione Normale di var-ianza unitaria, si vuole fare un test d’ipotesi per verificare:

H0 : µ = 12.7

H1 : µ = 12

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Si decide di procedere nel seguente modo: si estrae un campione casuale di numerositan=16 e se ne calcola la media campionaria. Se la media campionaria risulta minore di12.2 si rifiuta l’ipotesi H0.

a) Calcolare α.b) Calcolare β.c) Supponendo di volere 1−β ≥ 0.9, quale dovra essere la numerosita campionaria?

[R: α = 0.02275; β = 0.21186; n ≥ 42]

Esercizio 3.20 (Prof.ssa Terzi, 19-6-01) Per una popolazione Normale di var-ianza =2 si vuole fare un test d’ipotesi per verificare:

H0 : µ = 8

H1 : µ = 8.5

a) Posto α=0.07, sulla base di una numerosita campionaria n=25, trovare la regionecritica.

b) Supponendo di aver osservato una media campionaria pari a 8.2, cosa si con-clude?

c) Calcolare la potenza del test.d) Trovare la numerosita campionaria tale che la potenza risulti almeno pari a 0.98.[R: R:

{X : X > 8.419

}; non rifiuto H0; 1− β = 0.6141; n ≥ 1306].

Esercizio 3.21 (Prof.ssa Terzi, 8-9-99) Data una popolazione Normale di var-ianza unitaria, si vuole sottoporre a verifica l’ipotesi H0: µ=10 contro H1: µ 6=10,attraverso un campione casuale di n = 4 unita. Si adotta la seguente regola di deci-sione:

A : si accetta H0 se 8 ≤ X ≤ 11.

a) calcolare α.b) Calcolare la potenza del test per µ=11.[R: α = 0.02275; 1− β = 0.5]

Esercizio 3.22 (Prof.ssa Terzi, 5-7-99) Si vuole sottoporre a verifica l’ipotesiH0: p=0.5 contro H1: p>0.5 per una popolazione bernoulliana di parametro p, sullabase di un campione di n = 5 elementi.

a) Fissato α ≤ 0.2, trovare la regione critica.b) Calcolare la potenza del test per p=0.8.[R: R(α) = {p : p ≥ 0.8} ; 1− β = 0.737]

Esercizio 3.23 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) In un campione di 1000 famiglie con5 figli, la distribuzione del numero di figli maschi e la seguente:

n. maschi 0 1 2 3 4 5 totn. famiglie 30 150 370 250 170 30 1000

a) Sul totale dei figli, quale e la percentuale di femmine?b) Sia p la percentuale di femmine nella popolazione. Si vuole sottoporre a verifica

l’ipotesi H0: p=0.5 contro l’alternativa H1: p 6=0.5, con α=0.05. Individuare la regionedi accettazione (A) del test, e indicare se si accetta o meno l’ipotesi H0.

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[R: p = 0.506; A={p : 0.486 < p < 0.514} ; non si rifiuta H0]

Esercizio 3.24 (Prof.ssa Terzi, 16–7-01) Si sospetta che una moneta possaessere sbilanciata in maniera tale che l’uscita di Testa risulti piu probabile dell’uscitadi Croce. In particolare, si pensa che la probabilita che esca Testa possa essere 0.8.Si decide quindi di sottoporre a verifica l’ipotesi nulla che la moneta abbia due facceequi-probabili contro l’alternativa che la probabilita che esca Testa sia 0.8. Si decidedi procedere nel seguente modo: si lancia la moneta 5 volte, se si ottiene Testa almeno4 volte si rifiuta l’ipotesi nulla. Calcolare la probabilita dell’errore di prima specie.Calcolare la potenza di questo test. [R: α = 0.1875; 1− β = 0.7373].

Esercizio 3.25 (Prof.ssa Terzi, 3-7-00) Si sospetta che un dado possa essere sbi-lanciato in maniera tale che l’uscita di un numero pari risulti piu probabile dell’uscitadi un numero dispari. In particolare, si pensa che la probabilita che esca un numeropari sia 0.75. Si decide quindi di sottoporre a verifica l’ipotesi nulla che il dado sia benbilanciato contro l’alternativa che la probabilita che esca un numero pari sia 3/4. Sidecide di procedere nel seguente modo: si lancia un dado 5 volte, e se si ottiene unafaccia pari almeno 4 volte si rifiuta l’ipotesi nulla. Calcolare la probabilita dell’erroredi prima specie. Calcolare la potenza di questo test. [R: α = 0.1875; 1− β = 0.6328]

Esercizio 3.26 (Prof.ssa Mortera, 28-9-00) La societa Broglio decide di lan-ciare sul mercato un nuovo tipo di detersivo ”super-white”. A questo scopo vieneinviato gratuitamente un flacone del nuovo detersivo a 150 persone chiedendo loro diprovarlo e di dichiarare se saranno favorevoli o meno all’acquisto del suddetto prodotto.Di queste persone solo 30 dichiarano di essere interessate all’acquisto.

a) Costruire un intervallo di confidenza al livello 1− α = 0.7 per la proporzione disoggetti che acquisteranno il prodotto;

b) verificare al livello α = 0.05 l’ipotesi nulla che la proporzione di soggetti cheacquisteranno il prodotto sia superiore al 30%.

[R: (0.166; 0.234) ; si rifiuta l’ipotesi nulla]

Esercizio 3.27 (Prof. Pieraccini, 24–6-96) Sia µ=5 la media di una popo-lazione Normale. Si vuole sottoporre a test l’ipotesi H0: σ2=1.5 contro l’alternativabilaterale H1: σ2 6=1.5.

a) Trovare la regione critica del test per α=0.05.b) Avendo estratto il seguente campione: (3.1; 3.7; 5.5; 6.6; 4.8; 5.3; 3.1; 2.9; 8.1),

per quale ipotesi si conclude?c) Trovare l’intervallo di confidenza per σ2.[R: R(α) = {σ2 : (σ2 ≤ 0.45) ∪ (σ2 ≥ 3.17)}; non si rifiuta H0; (0.359; 2.533)]

Esercizio 3.28 (Prof.ssa Terzi, 22-6-99) In 100 ristoranti di Roma, la voce“coperto” ammonta mediamente a 3 (migliaia di lire) con s.q.m. pari a 1. A Milano,invece, su un campione di 70 ristoranti, la voce “coperto” risulta mediamente pari a1, con s.q.m. pari a 4. Assumendo che le due popolazioni abbiano la stessa varianza,sottoporre a test l’ipotesi che le due medie siano uguali contro l’alternativa, unilaterale,che in media il “coperto” a Roma sia maggiore.

a) Individuare la regione critica con α = 0.05.b) Individuare la regione critica con α = 0.01.

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c) Cosa si conclude nell’uno e nell’altro caso?[R: R(α) =

{X − Y : X − Y > 0.69

};R(α) =

{X − Y : X − Y > 0.98

}; si rifiuta

H0 in entrambi i casi]

Esercizio 3.29 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Un’indagine campionaria sul numerodi sigarette fumate giornalmente, svolta tra studenti universitari, ha dato i seguentirisultati distinti per sesso:

Campione Maschi FemmineNumerosita 81 62N. medio di sigarette 2.02 3.54Stima non distorta della varianza 22.70 22.81

a) Sottoporre a test l’ipotesi di eguaglianza del numero medio di sigarette fumatedai due sessi al livello di significativita del 5%.

b) Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la differenza tra le due medie.[R: non si rifiuta H0; (−0.0575; 3.0975)]

Esercizio 3.30 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) L’efficacia di una nuova cura dima-grante viene sperimentata su sei soggetti ottenendo i seguenti risultati:

X 68 56 58 62 74 66Y 54 50 50 56 58 54

(dove con X si e indicato il peso prima della cura e con Y quello dopo la stessa).Sottoporre a test l’ipotesi che la cura non abbia avuto effetto. [R: si rifiuta l’ipotesinulla che la cura non abbia avuto effetto].

Esercizio 3.31 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) I voti in Economia (X) ed inStatistica (Y) riportati da dieci studenti sono stati i seguenti:

X 20 24 28 27 18 22 29 30 23 21Y 22 24 27 28 18 23 30 29 21 19

Sotto l’assunzione di Normalita, sottoporre a test l’ipotesi di eguaglianza in media deivoti di Statistica a quelli di Economia sapendo che: Dev(X)=151.6, Dev(Y)=160.9,Cod(X,Y)=147.8. [R: non si rifiuta l’ipotesi nulla di uguaglianza in media dei voti]

Esercizio 3.32 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Un’indagine campionaria sul nu-mero di sigarette fumate giornalmente svolta tra studenti universitari ha dato i seguentirisultati distinti per sesso:

Campione Numerosita Frazione di fumatoriMaschi 81 0.198Femmine 62 0.306

a) Sottoporre a test l’ipotesi di eguaglianza della percentuale di fumatori fra glistudenti universitari maschi e femmine al livello di significativita del 5%.

b) Calcolare l’intervallo di confidenza al 95% per la differenza tra le due percentuali.[R: non si rifiuta l’ipotesi nulla; (−0.25; 0.04)]

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Esercizio 3.33 (Prof.ssa Mortera, 17–7-01) La seguente tabella riporta i furticommessi scoperti in un grande magazzino in un anno, a seconda del settore merceo-logico e dell’eta del colpevole.

Settore Eta10-18 18-20 20-60

Abbigliamento 312 913 3367Bigiotteria 710 377 208Profumi 248 211 341

a) Sia p la probabilita che se un furto viene compiuto nel settore abbigliamento,l’eta del colpevole sia 10-18. Costruire un intervallo di confidenza per p al 95%.

b) Siano p1 e p2 le probabilita che il furto sia commesso nel settore dell’abbigliamentonell’ipotesi che il colpevole abbia rispettivamente eta compresa nella classe 18-20 op-pure 20-60. Verificare l’ipotesi p1= p2 contro l’ipotesi alternativa p1 6= p2.

[R: (0.0606; 0.0752) ; si rifiuta l’ipotesi nulla di uguaglianza delle probabilita]

Esercizio 3.34 (Prof. Pieraccini, 4–10-96) In un campione di 100 studentimaschi si sono rilevati i seguenti pesi:

Peso (Kg) N. di studenti60-62 563-65 1866-68 4269-71 2772-74 8

Sottoporre a test l’ipotesi che i dati provengano da una distribuzione Normale. [R:non si rifiuta l’ipotesi nulla]

Esercizio 3.35 (Prof. Pieraccini, 3–7-00) La distribuzione dei pesi (X) deiportieri che hanno giocato nel campionato di calcio di serie A e B del 1998-99 erisultata la seguente:

X n(X)<68.5 468.5-71.5 1271.5-74.5 2074.5-77.5 1777.5-80.5 1980.5-83.5 10>83.5 3

Si sottoponga a test l’ipotesi che i dati provengono da una distribuzione Normale. [R:non si rifiuta l’ipotesi nulla]

Esercizio 3.36 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) In un pronto soccorso di un os-pedale sono stati registrati il numero delle richieste di intervento giornaliere (X) su unarco di cento giorni, ottenendo la seguente distribuzione di frequenza:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n(X) 2 9 18 21 17 12 9 5 4 2 1

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Sapendo che il numero di interventi giornalieri per i quali il pronto soccorso e strut-turato e uguale a 10, sottoporre a test l’ipotesi che la distribuzione osservata provengada una distribuzione di Bernoulli. [R: si rifiuta H0]

Esercizio 3.37 (Prof. Pieraccini, 3–7-01) In 20 famiglie con 5 figli si e osservatoil seguente numero di figli maschi:

n. maschi 0 1 2 3 4 5n. famiglie 1 3 6 7 2 1

Sottoporre a test l’ipotesi che la distribuzione delle famiglie secondo il numero di figlimaschi segua una distribuzione Binomiale. [R: non si rifiuta l’ipotesi nulla]

Esercizio 3.38 (Prof. Pieraccini, 3–7-01) In un’impresa di soccorso stradalesono state registrate le richieste giornaliere di intervento su un arco di cento giorniottenendo la seguente distribuzione di frequenza:

n. interventi 0 1 2 3 4 5 6 7n. di giorni 14 22 31 17 8 5 2 1

Sottoporre a test l’ipotesi che la distribuzione sia ben adattabile da una distribuzionedi Poisson. [R: non si rifiuta l’ipotesi nulla]

Esercizio 3.39 (Prof.ssa Mortera, 8–2-00) Nell’isola Smeraldina, negli ultimi1000 giorni, sono arrivate delle navi, secondo la seguente tabella: 450 sono i giornidurante i quali non e arrivata alcuna nave, 360 i giorni durante i quali ne e arrivatauna, 140 i giorni in cui ne sono arrivate due, 40 i giorni in cui ne sono arrivate tre, e10 i giorni in cui ne sono arrivate quattro. Questi dati sono conformi con l’ipotesi chela distribuzione del numero di arrivi sia una variabile casuale di Poisson? Usare unlivello di significativita dell’1%. [R: non si rifiuta H0]

Esercizio 3.40 (Prof.ssa Mortera, 22–2-99) Per esaminare come vengono uti-lizzati i quattro ingressi di un grande supermercato si osserva un campione casuale di130 persone e risulta:

Ingresso 1 2 3 4n.persone 24 36 30 40

Si verifichi l’ipotesi che i quattro ingressi vengono utilizzati con la stessa intensita [R:non si rifiuta H0]

Esercizio 3.41 (Prof. Pieraccini, 3–7-01) Lanciando 240 volte un dado si sonoottenuti i seguenti punteggi:

Punteggio 1 2 3 4 5 6Frequenza 27 45 35 46 34 53

Sottoporre a test l’ipotesi che il dado non sia truccato, cioe che i punteggi sianoequidistribuiti. [R: non si rifiuta H0 con α = 0.025, mentre si rifiuta H0 con α = 0.05]

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Esercizio 3.42 (Prof. Pieraccini, 5-7-99) La distribuzione dei matrimoni cel-ebrati in Italia secondo lo stato civile e risultata la seguente:

Stato civile delle sposeStato civile degli sposi Nubili Vedove Divorziate

Celibi 301.933 1.138 2.200Vedovi 3.964 1.286 577

Divorziati 4.571 330 954

Si controlli l’esistenza di una dipendenza assoluta fra i due caratteri e si commenti ilrisultato ottenuto. [R: si rifiuta l’ipotesi nulla di indipendenza].

Esercizio 3.43 (Prof.ssa Mortera, 13-6-01) Ad un campione di 80 giovani ineta compresa tra 25 e 35 anni e stato chiesto se sono laureati e se hanno un’occupazione.Il risultato della rilevazione e contenuto nella tabella seguente:

Stato occupazionaleTitolo di studio Occupato Disoccupato

Laureato 22 8 30Non laureato 16 34 50

38 42 80

a) C’e dipendenza o indipendenza tra il titolo di studio e lo stato occupazionale?Usare l’indice opportuno.

b) Valutare se c’e indipendenza anche mediante l’opportuno test statistico.c) Lasciando inalterata la marginale del titolo di studio, costruire la tabella di

massima dipendenza. [R: χ2 = 12.845; si rifiuta l’ipotesi nulla di indipendenza]

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4 Esercizi sulla regressione

Esercizio 4.1 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) In 5 famiglie sono stati rilevati i seguentiredditi (X) e risparmi (Y):

X 80 110 90 60 60Y 16 18 21 27 35

a) determinare l’equazione della retta di regressione di Y su X;b) stimare il presumibile valore del risparmio per una famiglia con reddito pari a

50: Y(50);c) determinare il valore del coefficiente di correlazione rxy.

[R: Y=45-0.27X; Y(50)=31.5; rxy = −0.75]

Esercizio 4.2 (Prof.ssa Terzi, 11-9-00) Per due variabili statistiche X e Y sihanno le seguenti coppie di osservazioni:

X 1 3 4 7 8 10Y 5 4.9 4.5 3 2.2 2

Stimare i parametri della retta di regressione Y=a +bX e valutarne la bonta di adatta-mento tramite l’indice R2. Posto poi che si osservi X=12, sulla base della retta stimata,qual’e il presumibile valore della Y?[R: a = 5.75, b = −0.39; R2 = 0.94; Y(12)=1.07]

Esercizio 4.3 (Prof. Pieraccini, 1–2-96) Per una distribuzione doppia si e

stimata la retta di regressione Xi=10-2Yi. Individuare quale, fra le seguenti, e lapossibile equazione della retta di regressione di Y su X e motivare la scelta:

a) Yi= 4+0.4Xi

b) Yi= -7-0.8Xi

c) Yi= -3-0.4Xi

d) Yi= 0.8+0.5Xi.

Esercizio 4.4 (Prof.ssa Terzi, 1-10-98) La regressione di Y su X ha fornito la

seguente retta dei minimi quadrati: Y=13-1.5X, mentre quella di X su Y ha fornito:X=31/6-(1/6)Y. Si determinino il coefficiente di correlazione rxy e le due medie M1 (X)e M1 (Y ) . [R: rxy = −0.5; M1 (X) = 4; M1 (Y ) = 7]

Esercizio 4.5 (Prof.ssa Mortera, 2-2-01) Su una variabile statistica doppia(X,Y) si sono stimate le seguenti equazioni delle rette di regressione:

Y = −0.3 + 1.6X, X = 0.84 + 0.4Y.

Determinare il coefficiente di correlazione lineare, la media di X e quella di Y. Sapendopoi che la media quadratica di X e pari a 4.36, determinare la media e la varianzadella variabile Z=2X-4Y+1. [R: rxy = 0.8; M1 (X) = 2; M1 (Y ) = 2.89; M1 (Z) =−6.56, var (Z) = 636.42]

Esercizio 4.6 Data la variabile statistica doppia (X,Y), per cui e noto che X havarianza doppia rispetto a Y, e data la variabile Z=Y+2, determinare il valore del

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rapporto α1/β1, in cui α1 e β1 sono i coefficienti angolari delle rette di regressione diX su Z e di Z su X rispettivamente:

X = α0 + α1Z, Z = β0 + β1X.

[R: α1/β1 = 2]

Esercizio 4.7 Data la variabile statistica doppia (X,Y), si sono stimati i parametridella retta di regressione di X su Y, il cui coefficiente angolare e risultato uguale alcoefficiente di correlazione lineare. Sappiamo inoltre che la variabile Z=2Y ha varianzapari a 36. Calcolare la varianza di X e individuare il campo di valori accettabili perla covarianza tra X e Y. [R: var(X)=9; σxy ∈ (−9, 9)]

Esercizio 4.8 Data la variabile statistica doppia (X,Y), per cui e noto che var(X)=81var(Y),indicare quali tra i seguenti valori del coefficiente angolare della retta di regressione diX su Y:

−2, 0, 15

non sono accettabili, motivando la risposta fornita. [R: il valore 15 non e accettabile].

Esercizio 4.9 (Prof.ssa Mortera, 19–6-00) Al fine di stabilire se esiste unarelazione statistica tra l’altezza degli alberi di ciliegie (X) ed il diametro medio delleciliegie prodotte (Y), si considerino le osservazioni della seguente tabella:

Diametro (cm.) 3.4 4.3 3.0 3.2 2.1Altezza (m.) 5.5 6.0 5.6 5.1 4.5

a) Calcolare la retta di regressione di Y su X. Stabilire se X e Y sono: incorrelate,correlate positivamente oppure correlate negativamente.

b) Calcolare la devianza residua, la devianza spiegata e l’indice di accostamentolineare.

c) Si preveda, sulla base della relazione trovata al punto a), il diametro delle ciliegieprodotte da un albero di altezza 3.5. Commentare il risultato.

d) Costruire l’intervallo di confidenza per β1 con livello di confidenza del 95% everificare l’ipotesi H0:β1=0 contro l’alternativa H1:β1 6=0 (con α=0.05).

e) Si esprima l’altezza delle piante in centimetri e si indichi con W la corrispondentevariabile statistica. Senza rifare i calcoli, a partire dai parametri della funzione diregressione trovata al punto a), determinare la funzione di regressione lineare di Y suW.

[R: Y = 1.26x − 3.53, σxy = 0.326; Dres = 0.449, Dtot = 2.5, R2 = 0.82; Y (3.5) =

0.88; (0.18; 2.34) , si rifiuta l’ipotesi nulla di indipendenza lineare; Y = 0.0126w−3.53]

Esercizio 4.10 (Prof. Pieraccini, 24–6-96) In un campione di 12 famiglie sisono rilevati i pesi del padre (X) e del figlio primogenito (Y) qui di seguito riportati:

X 75 73 77 74 78 72 80 76 78 77 79 81Y 78 76 78 75 79 76 78 75 81 77 78 80

a) Stimare i parametri della retta di regressione della Y sulla X e calcolarne l’R2.

24

b) Nell’ipotesi di normalita della componente accidentale, sottoporre a test le dueipotesi α=0 e β=1 e commentare i risultati.

[R: Y = 38.48 + 0.51x, R2 = 0.46; si rifiuta l’ipotesi nulla di assenza di intercetta,si rifiuta l’ipotesi nulla di coefficiente di regressione unitario]

Esercizio 4.11 (Prof. Pieraccini, 10–9-01) In un campione di 15 famiglie si erilevato il reddito annuo e la spesa per generi alimentari:

Reddito 25 40 20 32 60 18 24 42 45 36 15 21 34 25 58Spesa 8.0 11.4 6.5 9.6 16.2 6.0 7.5 12.0 15.0 12.2 6.0 7.5 10.0 8.0 14.1

a) Si stimino i parametri della retta di regressione della spesa per alimenti infunzione del reddito netto annuo e si determini la bonta di adattamento della relazionestimata;

b) si verifichi l’ipotesi di indipendenza lineare fra le due variabili ad un livello disignificativita del 5%;

c) si verifichi inoltre, per la retta stimata, l’ipotesi di passaggio per l’origine;c) si calcoli l’intervallo di confidenza per la spesa alimentare nel caso in cui il reddito

sia di 58 milioni e nel caso in cui esso sia di 32 milioni.[R: Y = 2.41 + 0.23x, R2 = 0.93; si rifiuta l’ipotesi di indipendenza lineare; si

rifiuta l’ipotesi di passaggio per l’origine; (14.67; 16.83) ; (9.26; 10.28)]

Esercizio 4.12 (Prof. Pieraccini, 3–7-00) In una indagine campionaria si sonorilevati i seguenti dati sulla superficie in ettari (X) e sul rendimento in q/ha (Y) di 10aziende cerealicole:

(3, 27) (2, 26) (4, 30) (3, 28) (4, 32)

(2, 30) (6, 33) (5, 29) (4, 31) (6, 31)

Si verifichi al livello di significativita del 5% l’ipotesi di indipendenza lineare del rendi-mento dalla dimenzione aziendale contro l’ipotesi alternativa piu opportuna. [R: sirifiuta l’ipotesi di indipendenza lineare]

Esercizio 4.13 (Prof.ssa Mortera, 28–6-01) “La torre di Pisa che pende chepende...”. Prima che la torre venisse chiusa, era stata condotta, con frequenza trimes-trale, una rilevazione statistica sull’incremento dell’inclinazione della torre. Sia Y=“pendenza” X= “tempo” e Z=“cm di pioggia caduti su Pisa”. Sono state stimate leseguenti relazioni lineari:

A : Y = 3x + 0.5

B : Y = 3z + 0.5

per le quali l’output di computer e risultato:

Stima di β1 t p Dev. spiegata Dev(Y)Modello A 3 2.896 0.02 2.025 2.25

Modello B 3 0.13 0.90 0.0225 2.25

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a) Per entrambi i modelli A e B, calcolare R2 e Devianza residua.b) Confrontare i due modelli commentando i dati della tabella (t e p) e i risultati

ottenuti in a).c) Dato il modello di regressione lineare Yi = β0 +β1Xi +εi, considerando le ipotesi

assunte riguardo all’errore ε, quali delle seguenti affermazioni sono vere?¤ A E (εi) = β0, V ar (εi) = σ2 e cov (εi, εj) = 0¤ B E (Yi| xi) = β0 + β1xi, V ar (εi) = σ2 e E (εi · εj) = 0

¤ C E (Yi| xi) = β0 + β1xi, V ar (Yi| xi) =σ2

ne cov (εi, εj) = 0

¤ D E (εi) = 0, V ar (εi) = σ2 e ρ (εi, εj) = 0.[R: modello A: Dres = 0.225, R2 = 0.9; modello B: Dres = 2.2575, R2 = 0.01]

Esercizio 4.14 (Prof. Pieraccini, 5–2-01) Si considerino i seguenti dati relativial numero di ore di studio (X) di un campione casuale di 8 studenti per la preparazionedell’esame di statistica ed il voto (Y) riportato:

X 100 95 100 80 75 150 130 160Y 24 22 21 20 18 30 28 30

Nell’ipotesi di normalita delle distribuzioni condizionate:a) trovare la retta di regressione delle votazioni riportate sulle ore di studio;b) sottoporre a test l’ipotesi β = 0 contro l’alternativa β > 0;c) trovare l’intervallo di previsione per il punteggio di uno studente che abbia

studiato 110 ore per la preparazione dell’esame.[R: Y = 8.55 + 0.14x; si rifiuta l’ipotesi di indipendenza lineare; (21.02; 26.88)]

Esercizio 4.15 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) Si siano osservate le seguenti coppiedi valori per le variabili X e Y:

X 1 3 4 6 8 9 11 14Y 1 2 4 4 5 7 8 9

Determinare l’equazione della retta che esprime la Y in funzione della X e calcolaregli intervalli di confidenza per i valori interpolati. Rappresentare sul piano cartesianoi punti osservati, la retta interpolante e gli intervalli di confidenza. [R: β0 = 0.548,

β1 = 0.636; intervalli di confidenza: per Y1: (0.179; 2.189) , per Y2: (1.665; 3.247), ecc]

Esercizio 4.16 (Prof. Pieraccini, 20–6-00) I voti in Economia (X) ed inStatistica (Y) riportati da 10 studenti sono stati i seguenti:

X 20 24 28 27 18 22 29 30 23 21Y 22 24 27 28 18 23 30 29 21 19

Sapendo che Dev(X)=151.6, Dev(Y)=160.9, Cod(X,Y)=147.8, determinare l’intervallodi previsione per il voto in Statistica di uno studente che abbia preso 23 nell’esame diEconomia, sotto l’assunzione di Normalita della componente accidentale. [R: (19.32; 26.54)]

Esercizio 4.17 Negli anni 1987-1993, l’ascolto di televisione (Y) nella fascia 19-20ha avuto il seguente andamento (dati Auditel, in milioni di ascoltatori):

Anno 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993Y 0.7 0.8 0.9 1.1 1.4 1.6 2.0

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Interpolare tale distribuzione con una funzione di tipo Y=abt e sulla base di questomodello prevedere il numero di ascoltatori (in milioni) per l’anno 1996. [R: a = 0.66,

b = 1.20; Y (1996) = 3.4]

Esercizio 4.18 (Prof.ssa Terzi, 5–7-99) Per le seguenti 5 coppie di osservazioni:

X 1 2 3 4 5Y 1 5 8 15 28

si vuole interpolare la Y con la funzione Y=c0+c1X2.

a) calcolare i parametri c0 e c1;b) valutare la bonta di adattamento di tale funzione.[R: c0 = −0.546, c1 = 1.086; R2 = 0.98]

Esercizio 4.19 (Prof.ssa Terzi, 8–9-99) Date le seguenti coppie di osservazioni:

X 1 2.5 3 3.5 5Y 3 19 29 41 87

a) interpolare con la funzione Y=a+bX2;b) confrontare il danno (=somma dei quadrati dei residui) che si ha interpolando

con tale parabola con il danno che si ha interpolando con la retta Y=a+bX.[R: a = −2.078, b = 3.54; Dres (X2) = 4.05, Dres (X) = 238.7]

Esercizio 4.20 (Prof. Pieraccini, 1–2-96) Date le seguenti coppie di valori (X,Y):

(3, 5) (6, 12.5) (9, 14) (15, 35) (25, 65)

sulla base dei quadrati dei coefficienti di correlazione individuare quale di questedue funzioni

a) Y=a1+b1Xb) Y=a2+b2X

2

approssima meglio la relazione esistente tra X e Y, e stimarne i parametri. Nell’ipotesidi Normalita della componente accidentale, sottoporre a test l’ipotesi b=0. [R: siadatta meglio la funzione a), con R2 = 0.984; si rifiuta l’ipotesi nulla di indipendenzalineare].

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