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Corso di Radioastronomia 1

Quinta parte: interferometria

Aniello (Daniele) Mennella

Dipartimento di Fisica

Aniello Mennella Corso di Radioastronomia I A.A. 2018-2019

Parte 5, Lezione 2

Interferometria a sintesi di apertura


Il principio di ricostruzione dell’immagine


Ricostruire l’immagine di una sorgente dalla funzione visibilità

(1)


Procedura per ricostruire un’immagine estesa

La sorgente viene osservata con un grande numero di configurazioni dell’interferometro in modo da coprire il piano (u,v) in modo uniforme

Per ogni configurazione l’osservazione viene ripetuta a tempi diversi in modo da sfruttare la rotazione terrestre per aumentare ulteriormente il numero delle baseline

L’insieme delle visibilità viene calibrato mediante l’osservazione di opportune sorgenti di calibrazione per correggere effetti strumentali e variazioni nel segnale atmosferico

Le visibilità vengono trasformate per ottenere l’immagine celeste. Poiché il piano (u,v) non potrà contenere un numero infinito di baseline misurate l’immagine sarà soggetta ad artefatti che possono essere ridotti, in una certa misura, da procedure di “pulizia” dei dati


La calibrazione delle visibilità


Calibrazione delle visibilità

(2)


Calibrazione delle visibilità – condizioni sulle fasi


Calibrazione delle visibilità – condizioni sulle ampiezze


La copertura del piano uv


Come campionare le visibilità per ricostruire l’immagine

Ricordiamo che la ricostruzione della mappa di brillanza richiede il calcolo di una trasformata di Fourier

Gli algoritmi di Fast Fourier Transform (FFT) che vengono utilizzati nel calcolo discreto richiedono che i dati siano campionati in una griglia regolare costituita da un numero di punti che sia una potenza di due

In un interferometro la copertura del piano (u,v) viene effettuata sfruttando due gradi di libertà: la rotazione terrestre e la disposizione delle antenne sul terreno. In generale nessuno di questi gradi di libertà è in grado di generare griglie regolari.


Il campionamento dato da un interferometro a due antenne

Un interferometro a due antenne può coprire il piano (u,v) con più di una baseline sfruttando la rotazione terrestre

In questo caso la traccia delle coordinate dei vettori bλ è un’ellisse

Lx, Ly e Lz sono le coordinate del centro dell’ellisse rispetto a un riferimento arbitrario e δ0 è l’angolo di declinazione


Esempio di campionamento 2D – SMA (Maunakea, Hawaii)

Il Submillimeter Array (SMA) è un radio interferometro di 8 elementi situato sul monte Maunakea nelle Hawaii. Lavora a frequenze fra 180 GHz e 418 GHz. È costituito da specchi di 6 m che possono essere disposti in configurazioni con baseline di lunghezza variabile fino a 509 m. La risoluzione finale è inferiore all’arcosecondo.


Configurazione “very extended” - δ0 = 22°, f = 345 GHz


Configurazione “extended” - δ0 = 22°, f = 345 GHz


Configurazione “compact” - δ0 = 22°, f = 345 GHz


Copertura completa - δ0 = 22°, f = 345 GHz


Dirty beam e dirty image


Il “dirty beam” e la “dirty map”

La trasformata di Fourier della distribuzione delle baseline nel piano (u,v) (funzione di campionamento) è una funzione definita nello spazio reale definita “dirty beam”, in quanto è la funzione con cui viene convoluta la brillanza

Se definiamo S(u,v) la distribuzione delle baseline nel piano (u,v) e disponiamo di N baseline localizzate nei punti (uk, vk), la funzione S(u,v) è definita come:

La distribuzione della brillanza misurata (detta anche “dirty map”) è la trasformata di Fourier della funzione visibilità per la funzione di campionamento:

Brillanza “vera” Dirty beam

Prodotto di convoluzione

Dirty map



Vediamo il percorso logico che porta alla definizione della “dirty map”, che è la mappa che otteniamo antitrasformando le visibilità misurate



Vediamo il percorso logico che porta alla definizione della “dirty map”, che è la mappa che otteniamo antitrasformando le visibilità misuratePartiamo dalla mappa del campionamento, costituita dalle coordinate delle varie baseline



La trasformata di Fourier della mappa di campionamento rappresenta il fascio di antenna dell’interferometro, il cosiddetto “dirty beam”. Il dirty beam è il fascio con cui viene convoluta la distribuzione di brillanza, ovvero la mappa “vera” del cielo

Trasf. Fourier



Dirty beam

Mappa vera

Dirty mapConvoluzione



Dirty beam

Mappa vera

Dirty mapConvoluzione

La dirty map è anche la trasformata di Fourier del prodotto fra la funzione visibilità (antitrasformata della mappa vera) e la funzione di campionamento (antitrasformata del dirty beam)


Esempi di dirty beam – due antenne, un campione

Funzione di campionamento Dirty beam


Esempi di dirty beam – due antenne, un campione


Ogni punto rappresenta le coordinate (u,v) di ciascuna baseline

Per un sistema di due antenne ci sono due punti perché ogni baseline può essere caratterizzata da due coppie di coordinate a seconda del verso del vettore


Esempi di dirty beam – tre antenne, un campione



Esempi di dirty beam – quattro antenne, un campione



Esempi di dirty beam – cinque antenne, un campione



Esempi di dirty beam – sei antenne, un campione



Esempi di dirty beam – sette antenne, un campione



Esempi di dirty beam – sette antenne, 10 minuti



Esempi di dirty beam – sette antenne, 20 minuti



Esempi di dirty beam – sette antenne, 1 ora



Esempi di dirty beam – sette antenne, 3 ore



Esempi di dirty beam – sette antenne, 8 ore



Ricostruzione dell’immagine vera

L’algoritmo CLEAN


Problemi di regolarizzazione della griglia (u,v)

Per poter applicare gli algoritmi di Fast Fourier Transform (FFT) è necessario che le visibilità siano campionate su una griglia regolare, costituita da un numero di punti pari a una potenza di due

La funzione di campionamento misurata, però, non è mai distribuita in modo regolare, per cui è necessario applicare opportune procedure di interpolazione per ricostruire le visibilità nella griglia regolare

Poiché il campionamento presenta, generalmente, disuniformità, esisteranno comunque delle regioni dove non è possibile ricostruire la funzione visibilità per interpolazione. In questi punti la scelta più semplice che può essere fatta è di porre V = 0.

Questa scelta consente di ricostruire una dirty map che viene denominata soluzione principale.

La soluzione principale, però, è spesso un’approssimazione molto grezza dell’immagine vera a causa di artefatti dovuti all’annullamento delle visibilità nei punti in cui non è possibile la ricostruzione per interpolazione


L’algoritmo CLEAN – idea di base

Il metodo CLEAN è stato proposto per la prima volta nel 1974 ed è ancora oggi il metodo maggiormente utilizzato per ricostruire la brillanza dalle misure di visibilità

Si basa sull’assunzione che la dirty map possa essere rappresentata come la sovrapposizione dell’emissione da N sorgenti puntiformi + un fondo di rumore statistico. In forma matematica:

Lo scopo finale è quello di ricostruire le ampiezze Ai e un’approssimazione del dirty beam reale, indicato con PD

Dirty map Ampiezza della sorgente i-esima nella posizione (x

i,y

i)

Dirty beam Residuo


L’algoritmo CLEAN – procedura

Inizializzazione: definire una mappa residua uguale alla dirty map, creare una lista di componenti CLEAN inizialmente vuota

1) Identificare il picco di intensità nella mappa residua2) Sottrarre una frazione di questo picco utilizzando una versione del dirty

beam riscalata sull’ampiezza della sorgente3) Aggiungere le coordinate del picco e l’ampiezza alla lista delle componenti

CLEAN4) Tornare al punto 1 e iterare 1 4 fino a che non si raggiunge una certa →

condizione

Step finale: creazione dell’immagine ricostruitaCreare un’immagine con tutte le sorgenti puntiformi presenti nella lista delle componenti CLEANConvolvere le sorgenti puntiformi con un fascio gaussiano ellittico ricavato fittando il picco principale del dirty beamAggiungere la mappa residua ottenuta dopo la rimozione di tutte le componenti CLEAN


L’algoritmo CLEAN – esempio

STEP 0 - inizializzazione

Dirty map Componenti CLEAN Mappa residua



Dopo 30 iterazioni




Dopo 100 iterazioni




Dopo 300 iterazioni




Dopo 583 iterazioni




Ricostruzione della mappa finale

Componenti CLEAN Mappa ricostruita

Convoluzione con fascio gaussiano e aggiunta mappa residua


La sensibilità di un interferometro


Sensibilità di un interferometro

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