Corso di preparazione ai test di ingresso:

Fisica e matematica

10-02-2015

Il 31 dicembre di ogni anno, l’Istituto di Statistica di un determinato paese pubblica nel proprio Rapporto annuale l’ammontare delle spese mediche sostenute in quell’anno. Ipotizzando una crescita annua del 30% delle spese mediche, nel Rapporto di quale anno apparirà per la prima volta un ammontare superiore al doppio della spesa sostenuta nel 2010? A) 2013 B) 2012 C) 2014 D) 2015 E) 2011 Ogni anno la spesa aumenta del 30 % rispetto all’anno precedente Assumendo 100 nel 2010 2011 : 2010 + 30% = 100 + (100 / 100) * 30 = 130 2012 : 30 % in più del 2011= 130 + (130 / 100) * 30 = 130 + 39 = 169 2013 : 169 + (169 / 100) * 30 = 169 + 50,7 = 219,7 più del doppio Risposta A

CALCOLO DI PERCENTUALI E RAPPORTI

Tre amici ricevono complessivamente € 36 da suddividere tra di loro nelle seguenti proporzioni 2:3:7. Qual è la differenza tra l’ammontare più grande e quello più piccolo ricevuto dai tre amici? A) € 15 B) € 3 C) € 6 D) € 9 E) € 12 Consideriamo quante parti dobbiamo fare : il primo prende 2 parti, il secondo 3 e il terzo 7 in totale sono 12 Il primo amico ha (36 / 12)*2 = 6 euro il terzo avrà : (36 / 12) * 7 = 21 euro La differenza è di 15 euro risposta A

La base di partenza per il calcolo dell'IMU di un immobile di classe A1 si ottiene rivalutando la rendita catastale del 5% e moltiplicando il risultato ottenuto per 160. Allo stesso risultato si può giungere in un solo passaggio, moltiplicando direttamente la rendita catastale per un opportuno coefficiente c. Determinare il valore di c. A) 168 B) 165 C) 265 D) 121 E) 180 Calcoliamo nel primo modo Supponiamo una rendita catastale di 100, rivalutiamo del 5% 105 Moltiplichiamo per 160 16800 Ora compariamo il risultato con la rendita catastale iniziale 100 16800 / 100 = 168 risposta A

Determinare quante sono le parole di 7 lettere (anche senza senso) che si possono scrivere utilizzando solo le 4 lettere A, C, G, T (si intende che non bisogna necessariamente utilizzare tutte le 4 lettere, per cui per esempio anche la parola AGGTATA va bene). A) 74

B) (7·6·5·4)/(4·3·2) C) 7 · 6 · 5 · 4 D) 47

E) 7 · 4 Come prima lettera posso scegliere una delle 4 4 possibilità Anche per la seconda lettera posso scegliere tra 4, indipendentemente da quella scelta prima 4 * 4 = 16 combinazioni diverse Questo discorso vale per tutte e 7 le lettere della parola, per cui 47

risposta D

Una pentola che contiene 2 kg di liquido è messa a bollire. Il liquido è 90% acqua e per il resto sale. Il cuoco la dimentica sul fuoco. Dopo un’ora l’evaporazione riduce al 50% il rapporto fra acqua e sale. Tenendo presente che il sale non evapora e che il suo peso viene qui assunto come eguale a quello dell’acqua, quanto pesa ora il liquido della pentola? A)0,4 kg B)0,6 kg C)0,8 kg D)1,0 kg E)1,2 kg Calcoliamo il 90 % del peso iniziale 2 Kg * 0,9 = 1,8 Kg acqua iniziale, 0,2 Kg sale iniziale Il rapporto acqua sale si riduce al 50% abbiamo tanta acqua quanto sale ora Il sale non è calato, è sempre 0,2 Kg. Ora anche l’acqua è 0,2 Kg in totale 0,4 Kg , risposta A

Alan lancia contemporaneamente due dadi non truccati con le facce numerate da 1 a 6. Qual è la probabilità che esca lo stesso numero su entrambi i dadi? A) 1/6 B) 1/3 C) 1/36 D) 1/2 E) 1/18 ATTENZIONE: nel primo lancio qualsiasi sia il numero che esce ci va bene, non ne vogliamo uno in particolare, quindi la probabilità è 1. Per il secondo dado abbiamo 1 probabilità su 6 che esca un numero preciso (nel nostro caso, il numero uscito nel dado 1) probabilità degli eventi combinati = 1 * 1/6 = 1/6 Risposta A Se avessimo voluto il numero 1 in entrambi i lanci, allora avremmo avuto una probabilità 1/6 nel primo lancio e 1/6 nel secondo, che ci da 1/ 36

PROBABILITA’ Se due eventi non sono collegati, la probabilità che i due eventi si verifichino entrambi è il prodotto delle due probabilità P1 * P2 ATTENZIONE : in eventi come lancio di dadi o di monete, ogni lancio ha una probabilità svincolata dal risultato del lancio precedente sono eventi indipendenti

Tirando contemporaneamente cinque dadi con facce numerate da 1 a 6, qual è la probabilità di ottenere cinque numeri pari? A) 1/32 B) 1/25 C) 1/10 D) 1/6 E) (1/6)5 Ci sono 3 numeri pari in ogni dado, quindi la probabilità che ne esca uno è 1/6 * 3 = ½ Con 5 dadi, la probabilità è ½ * ½ * ½ * ½ * ½ = (½)5 = 1/32 risposta A

Qual è la probabilità che lanciando 6 volte una moneta escano esattamente 4 teste? A) 1/64 B) 15/64 C) 15/16 D) 1/16 E) 5/32 Probabilità che esca testa in un lancio ½ ATTENZIONE: non è specificato in che ordine devono uscire i valori dei lanci, diverse combinazioni mi danno quattro teste e due croci Se ho una croce subito, posso averla anche al secondo lancio oppure al terzo, oppure al quarto, oppure al quinto, oppure al sesto 5 possibilità Se ho una croce al secondo, posso averla anche al terzo, al quarto, al quinto e al sesto 4 possibilità (se era uscito al primo, ricado nel caso già considerato prima) Se esce al terzo 3 possibilità Se esce al quarto 2 possibilità Se esce al quinto 1 possibilità 5+ 4 + 3 + 2 +1 = 15 possibilità in tutto Ognuna corrisponde ad uno schema fissato per tutti i lanci probabilità (½)6 = 1/64 Quindi 15* 1/64 = 15/64 risposta B

Un’urna contiene 100 palline numerate da 1 a 100. La probabilità che estraendo una pallina essa rechi un numero divisibile per 6 è: A) 4/25 B) 3/20 C) 33/100 D) 17/100 E) 8/2 Consideriamo i numeri divisibili per 6 fino a cento : 6*1=6 6*2=12 6*3=18 6*4=24 6*5=30 6*6=36 6*7=42 6*8=48 6*9=54 6*10=60 6*11=66 6*12=72 6*13=78 6*14=84 6*15=90 6*16= 96 6*17= 102 Sono in totale 16 numeri Ogni pallina ha una probabilità di uscita di 1/100 16/100 = 8/50 = 4 / 25 risposta A

Semplificare la seguente espressione:

4𝑥 -2 16𝑥6 con x > 0

A) x/4 B) x C) 64 x D) x2 / 4 E) x2

La prima parte 4𝑥 -2 = 1

4𝑥 2 =1

16𝑥2

La seconda parte 16𝑥6 = 4𝑥3

Il prodotto è 4𝑥3 ∙ 1

16𝑥2 = x/4 risposta A

ESPRESSIONI

Semplificare la seguente espressione: 𝑥

𝑥+2 -

𝑥−2

𝑥

A) 4

𝑥(𝑥+2)

B) 𝑥−2

(𝑥+2)

C) −4

𝑥(𝑥+2)

D) 2𝑥2 − 4

𝑥(𝑥+2)

E) 4

𝑥+2

Svolgiamo la somma : 𝑥

𝑥+2 -

𝑥−2

𝑥 =

𝑥 𝑥 −(𝑥+2)(𝑥−2)

𝑥(𝑥+2) =

𝑥2 −(𝑥2−4)

𝑥(𝑥+2)=

4

𝑥(𝑥+2)

Risposta A

L’espressione algebrica 4

𝑎 −1 +

𝑎

1−𝑎 è uguale a:

A) 4+𝑎

𝑎 −1

B) 4 −𝑎

𝑎 −1

C) 𝑎−4

𝑎 −1

D) 4+ 𝑎

𝑎+1

E) 𝑎 + 1 4

𝑎 −1 +

𝑎

1−𝑎 =

4

𝑎 −1 +

𝑎

−(𝑎−1)=

4

𝑎 −1 -

𝑎

𝑎−1 =

4 −𝑎

𝑎 −1 risposta B

Il valore dell'espressione loga 0,001, con a numero reale positivo A) è un numero sempre negativo B) è un numero sempre positivo C) è un numero irrazionale per ogni valore di a D) è uguale a -3/2 per ogni valore di a E) è uguale a -3/2 se il valore della base è 10 Logaritmo : esponente a cui dobbiamo elevare la base a per ottenere l’argomento

In questo caso a elevato al valore del logaritmo = 0,001 = 0,0011/2 = (10-3)1/2

Proprietà dei logaritmi log (xy) = ylog (x), quindi loga 0,001 = loga((10-3)1/2) = ½*loga(10-3) = Concentriamoci su loga(10-3) se a = 10, abbiamo 10x= 10-3 x=-3 Moltiplicato per ½ = -3/2 Risposta E

Nell’espressione a = bx, la quantità x può essere definita: A)il logaritmo naturale di a B)il logaritmo di a in base b C)la potenza di x D)l’esponente di a E)il logaritmo di b in base a Logaritmo = potenza alla quale la base deve essere elevata per ottenere l’argomento Base =b argomento =a (attenzione, log naturale è quello in base e) risposta B

Nei numeri reali l’equazione x2 + 1 = 0 a) non ha soluzioni b) ha soluzione ±1 c) ha solo soluzione + 1 d) ha soluzione ±i Numeri reali siamo in R, niente numeri complessi x2 + 1 = 0 è uguale a x2 = -1. Ma il quadrato di un numero deve essere sempre positivo, per cui nessuna soluzione, risposta A

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E FUNZIONI

La disequazione 𝑥2 +4

𝑥2 −4> 0

A) è soddisfatta per ogni numero reale x B) è soddisfatta per ogni numero reale x tale che x < 2 C) è soddisfatta per ogni numero reale x tale che -2 < x < 2 D) è soddisfatta per ogni numero reale x tale che x < -2 oppure x > 2 Analiziamo per prima cosa il DENOMINATORE: x2 – 4 > 0 x2 > 4 denominatore positivo per x< -2 o x >2 Per il NUMERATORE: X2 + 4 > 0 x2 > -4 sempre Quindi il segno è dato dal denominatore effettivamente > 0 se x< -2 o x >2 risposta D Sapendo che x + y = 2, quanto vale x2+ y2? A) 4 B) 4 – 2xy C) 2 + xy D) 2x + y2 E) Nessuno dei valori precedenti Se eleviamo entrambi i termini al quadrato, otteniamo = x2 + y 2 + 2 xy per il primo membro e 4 per il secondo x2 + y 2 + 2 xy = 4 , quindi x2 + y 2 = 4 - 2 xy risposta B

Data la funzione f(x) = 3x-6, quale delle seguenti risposte rappresenta la sua funzione inversa?

A)𝑥

3+2

B)𝑥

3 +6

C)𝑥

3 -2

D)𝑥

3 -6

E) 2- 𝑥

3

Funzione inversa ricaviamo x in funzione di y

Y = 3x -6 3x = y+6 x = 𝑦+6

3=

𝑦

3+ 2

Per ottenere la funzione inversa, la nuova y è la vecchia x e viceversa, quindi y = 𝑥

3+ 2 risposta A

Considerando y = e^( -k*x), possiamo dedurre che l’esponenziale che tende a zero più velocemente è quello in cui : A)k = 0 B)k = 1 C)k = 5 D)k = 0,1 E)k = -1 per avere y = 0 esponente = infinito Più k è grande, più a parità di x il valore finale sarà piccolo risposta C

Se x e y sono due numeri reali tali che x2 > y2, allora posso concludere che A)x > y B)x > 0 C)y > 0 D)nessuna delle risposte precedenti è corretta ATTENZIONE, la disequazione collega i valori al quadrato di x e y. X2 > y2 = x2 – y2 >0 = (x+y)(x-y)>0 x + y > 0 se x > -y , mentre x – y > 0 se x > y segno positivo totale se entrambe le parentesi sono positive (x > y) o negative (x > -y) nessuna delle risposte a b e c è corretta risposta D

LIMITI

Il limite di 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥 per x che tende a 0, ha come soluzione:

a)1 b)indeterminato c) ∞ d)0 Limite notevole quando x tende a zero, x e senx si eguagliano Il limite del rapporto è uguale a 1 risposta A

Il limite di 𝑠𝑒𝑛4𝑥

(1−cos 𝑥)2 con x che tende a zero è:

A)4 B)impossibile C)0 D)2 Due limiti notevoli da tenere in mente:

Il primo è 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥= 1 con x che tende a zero

Il secondo è 1−cos 𝑥

𝑥2 = 1

2 con x che tende a zero

Quindi: 𝑠𝑒𝑛4𝑥

(1−cos 𝑥)2 =

𝑠𝑒𝑛4𝑥

(1−cos 𝑥)2 ∙

𝑥4

𝑥4 = = 𝑠𝑒𝑛4𝑥

𝑥4 ∙ x4

1−cosx 2 = (𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑥 )4∙ (

x2

1−cosx)2 = 1 ∙(2)2 = 4 risposta A

Il limite di 1 −𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥2 per x che tende a 0, ha come soluzione:

A)½ B)Impossibile C)Infinito D)2 Limite notevole quando x tende a zero, questo rapporto vale 1/2 risposta A

Consiglio : riguardare i limiti notevoli su un qualsiasi testo di analisi matematica

GEOMETRIA ANALITICA

Coordinate di un punto P nel piano cartesiano (xP,yP) Distanza d tra due punti A e B:

d = 𝑥𝑎 − 𝑥𝑏 2 + 𝑦𝑎 − 𝑦𝑏 2

A (0,0)

B (0,1)

C (13,12)

H

J

Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: A) 13/2 B) 6 C) 78 D) 12 E) 13

Area triangolo : base * altezza / 2 l’altezza è uno dei lati solo in un triangolo rettangolo Area del triangolo ABC = Area rettangolo AHCJ – Area triangolo BJC – Area triangolo AHC

Area triangolo : base * altezza / 2 l’altezza è uno dei lati solo in un triangolo rettangolo Area del triangolo ABC = Area rettangolo AHCJ – Area triangolo BJC – Area triangolo AHC

Punto J stessa ordinata di C, ascissa 0 (0, 12) Punto H stessa ascissa di C , ordinata 0 (13,0)

AJ = 𝑥𝑎 − 𝑥𝑗 2 + 𝑦𝑎 − 𝑦𝑏 2 = radq [(0-0)2 + (12-0)2 ] = 12 JC = radq [(0-13)2 + (12-12)2 ] = 13 Area rettangolo AHCJ = AJ*JC = 12*13 = 156 BJ = radq [(0-0)2 + (12-1)2 ] = 11 Area triangolo BJC = BJ*JC/2= 11*13/2= 71,5 Area triangolo AHC = AH* HC /2 = CJ*AJ /2= 12*13/2 = 78 Area triangolo ABC = 156 – 71,5 – 78 = 6,5 = 13/2 risposta A

A (0,0)

B (0,1)

C (13,12)

H

J

Forma implicita Ax + by + c = 0 dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non contemporaneamente nulli. Forma esplicita La retta può anche essere descritta esplicitando y: y=mx + q con m = - a/b e q = - c/b m è chiamato coefficiente angolare, q è il termine noto ( ed è il punto in cui la retta incrocia l’asse y)

RETTA

Equazione di una generica circonferenza in un piano cartesiano

L’equazione y = ax2+ c rappresenta: a) una retta b) una parabola c) un cerchio d) nessuna delle tre

CIRCONFERENZA

Se la circonferenza ha centro nell’origine l’equazione si semplifica in

PARABOLA

Il parametro a in dica la curvatura della parabola a > 0 , curva verso l’alto , a < 0, curva verso il basso

Equazione di una ellisse centrata nell’origine a semiasse maggiore b semiasse minore F1 ed F2 fuochi

ELLISSE

IPERBOLE

L'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano che soddisfano l'equazione y2= x2-1 è A) una circonferenza B) una retta C) un'iperbole D) una parabola L’equazione è equivalente a y2-x2 =-1 iperbole con a=1 e b=1 che interseca le ordinate risposta C

L’equazione y = ax2+ c rappresenta: a)una retta b)una parabola c)un cerchio d)nessuna delle tre Abbiamo una dipendenza quadratica di y da x: di sicuro non è una retta Non compare un y2, ma y non è una circonferenza, un’ellisse o un’iperbole parabola, risposta B L’equazione log(1 + x2) = x – 1 –x2 non può avere soluzioni. Quale, tra le seguenti, ne è la motivazione? A) Il primo membro è sempre positivo o nullo mentre il secondo membro è sempre negativo B) Una funzione logaritmica non può avere intersezioni con una parabola C) Il secondo membro non si annulla mai D) Né il primo membro né il secondo si annullano mai E) La funzione logaritmica è sempre positiva

y= -x2 + x -1

Osserviamo il secondo membro è l’equazione di una parabola y= x – 1 –x2 con curvatura verso il basso

Per vedere dove interseca l’asse x (y=0) calcoliamo le radici x 1,2= −1 ± 1−4

−2 =

abbiamo un Δ<0, non ci sono soluzioni l’intersezioni non ci sono , la parabola è sempre sotto l’asse x Osserviamo il primo membro 1+ x2 avrà valori sempre maggiori o uguali a 1 Se eleviamo un numero intero (in questo caso e, la base del log) e otteniamo un numero sempre ≥ 0 (l’argomento 1+ x2), la potenza per cui eleviamo (il logaritmo) è sempre ≥ 0 Primo membro positivo, secondo negativo risposta A

In un triangolo rettangolo se il cateto a è opposto all’angolo α ed il cateto b è opposto all’angolo β e c è l’ipotenusa abbiamo che: a) sin α = a/b b) cos α = b/c c) cos α = a/c d) sin 2α + cos 2 β = 1/c Osservando il triangolo rettangolo : risposta B

TRIGONOMETRIA

Circonferenza goniometrica: x2+y2=1 raggio = 1 Punto P di coordinate (xp, yp) sulla circonferenza Senθ = yp valori sempre compresi tra -1 e 1 Cosθ = xp

valori sempre compresi tra -1 e 1 Siccome P è sulla circonferenza: Sen2θ + Cos2θ = 1

Tan θ = sen θ/ cos θ valori tra – ∞ e +∞ Triangolo rettangolo qualsiasi: Ipotenusa ≠ 1 Senθ = a/c Cosθ = b/c

P

θ )

cos2x-sin2x è uguale: A) 2cos2x+1 B) 1 C) 1- 2sin2x D) 0 Sappiamo che cos2x + sen2x =1 , quindi cos2x= 1- sen2x 1 - sen2x - sen 2x = 1- 2sen2x risposta C

Determinare quale delle seguenti funzioni soddisfa la relazione f(−x)= − f(x), per ogni numero reale x. A) sen3(x) B) Cos3(x) C) Cos(x3) D) sen2(x) E) sen(x2) A) Sen3(x)= senx*senx*senx Sen3(-x)=sen(-x)*sen(-x)*sen(-x) = (-senx)*(-senx)*(-senx)= - sen3x B) Cos3(x)= cosx*cosx*cosx cos3(-x)=cos(-x)*cos(-x)*cos(-x) = (cosx)*(cosx)*(cosx)= cos3x C) Cos ((-x)3)= cos(-(x3)) = cos (x3) D) sen2x= sen x * sen x Sen 2(-x) = sen (-x)*sen(-x)= -sen (x)*-sen(x)=sen2x E) Sen(x2)= sen (x*x) Se x diventa –x sen (-x*-x)=sen (x2) Risposta A

Sen (-x) = - sen (x) FUNZIONE DISPARI Cos (-x) = cos (x) FUNZIONE PARI α

-α

VETTORI

Un vettore può sempre essere rappresentato per componenti: a = ax i + ay j Modulo di un vettore |a| = 𝒂𝟐

𝒙 + 𝒂𝟐𝒚

Vettore somma c = a+b = (ax+bx)i + (ay+by)j

prodotto scalare a∙b da come risultato uno SCALARE di valore abcos𝜃 nullo per vettori perpendicolari

prodotto vettoriale a x b da come risultato un VETTORE di modulo absen𝜃, direzione

perpendicolare ad entrambi i vettori e verso dato dalla regola della mano destra

nullo per vettori paralleli F = I x B

Posizione vettore r Differenza di posizione vettore Δr

Velocità vettore v = ∆𝐫

∆t

Accelerazione vettore a = ∆𝐯

∆t

MECCANICA

La velocità e l’energia sono rispettivamente: A) un vettore e uno scalare B) uno scalare ed un vettore C) tutti e due vettori D) tutti e due scalari La velocità è un vettore, l’energia invece ha una intensità, ma non una particolare direzione è uno scalare Risposta A

Determinare il modulo della velocità di una persona che corre, su un piano orizzontale, ad una velocità:v = (4 m/s)i - (2 m/s)j dove i e j sono i versori associati ad una coppia di assi ortogonali A)6,0 m/s B)2,0 m/s C)4,5 m/s D)per poter rispondere bisogna conoscere il suo peso E)8,0 m/s

Modulo di un vettore = |v| = 𝒗𝟐𝒙 + 𝒗𝟐

𝒚 = 42 + 22= 16 + 4= 4,5 m/s Risposta C

Nel caso unidimensionale r x Moto rettiline uniforme velocità costante La posizione del corpo al tempo t è x = x0 + vt con x0 posizione iniziale del corpo Moto uniformemente accelerato accelerazione costante La posizione del corpo al tempo t è x = x0 + v0t + ½ at2 con x0 posizione iniziale del corpo e v0 velocità iniziale La variazione della velocità nel tempo è v = v0 + at

Una particella si muove lungo una linea retta ad una velocità di 5,0 m/s. Essa viene accelerata di 3,0 m/s2 nella direzione e nel verso del suo moto. Quale sarà la sua velocità 4,0 secondi dopo l’inizio di questa accelerazione? A) 17,0 m/s B) 12,0 m/s C) 11,0 m/s D) 8,0 m/s E) 19,0 m/s Moto uniformemente accelerato v= v0 + at = 5,0 m/s + 3,0 m/s2

* 4,0 s = 17 m/s risposta A

Un sasso viene lanciato in direzione verticale verso l’alto. Nel punto più alto della sua traiettoria, quale delle seguenti combinazioni dell’accelerazione e della velocità è correttamente attribuibile all’oggetto? a) accelerazione nulla, velocità nulla b) accelerazione nulla, velocità circa 9.8 m/s c) accelerazione circa 9.8 m/s2 , velocità nulla d) accelerazione circa 9.8 m/s2 , velocità 9.8 m/s Un oggetto lanciato è sempre sottoposto all’accelerazione g dovuta alla forza peso. Nel punto più alto il corpo è fermo prima di ricominciare a ricadere accelerazione g = 9.8 m/s2 , velocità nulla risposta C

Una pallina viene lanciata verticalmente in alto ad una velocità di 19,6 m/s. Quale distanza ha percorso in 2 secondi? *Ignorare gli effetti dell’aria e considerare che g = 9,8 m/s2 ] A) 19,6 m B) 39,2 m C) 9,8 m D) 14,7 m E) 0 m Accelerazione g verso il basso dovuta alla forza peso moto uniformemente decelerato X = x0 + v0t + 1/2 at2 con a = - g x= 0 + v0t -1/2 gt2

In t = 2 secondi x = 19,6 m/s*2s -1/2*9,8m/s2*4s2= 19.6 m risposta A

DINAMICA Prima principio Un corpo mantiene il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, finché una forza non agisce su di esso

Secondo principio ΣF= ma cioè la somma delle forze esterne (ATTENZIONE: somma vettoriale) è uguale alla massa per l’accelerazione dell’oggetto Se non ci sono forze esterne o la loro SOMMA è zero: accelerazione nulla moto rettilineo uniforme Unità di misura della forza : Newton ( 1Kg * 1m/s2)

Terzo principio (azione e reazione) Per ogni forza che un corpo esercita su di un secondo corpo , ne esiste istantaneamente un'altra uguale in modulo e direzione, ma opposta in verso, causata dalla reazione del secondo corpo . Si narra che Galileo fosse salito sulla torre di Pisa per lasciar cadere da un’altezza di 55m due corpi sferici di stessa dimensione ma di materiale diverso: uno di ferro e uno di legno. Quale dei due corpi ha toccato terra per primo (trascurando l’attrito dell’aria)? a) quello di ferro b) quello di legno c) hanno toccato terra contemporaneamente d) non hanno toccato terra

F= ma, trascurando l’attrito dell’aria abbiamo solo la forza peso per entrambi i corpi, quindi F = mg Mg = ma , dividendo per m a= g per tutti e due i corpi I due corpi hanno stessa accelerazione, velocità iniziale nulla e partono da 55m entrambi cadono insieme risposta C

Un corpo è sottoposto ad una forza di modulo F costante e parallela al piano di appoggio; si verifica che il moto risultante è rettilineo ed uniforme con velocità V. Se ne conclude che la forza d’attrito: A)è uguale ed opposta alla forza di modulo F B)è nulla C)è ortogonale al piano di appoggio D)è metà della forza F ed ha la stessa direzione e verso opposto Moto rettilineo uniforme accelerazione nulla ∑F=ma, quindi anche la somma VETTORIALE delle forze agenti sul corpo è nulla li forza F deve essere annullata da una forza di modulo identico, identica direzione ma VERSO OPPOSTO risposta A

Quale delle seguenti curve può rappresentare l’andamento dell’accelerazione di un corpo in funzione della forza applicata? a)una retta orizzontale passante per il punto a = 1m/s2

b)una retta passante per l’origine e con pendenza negativa c)una retta passante per l’origine e con pendenza positiva d)una parabola passante per l’origine

F= ma quindi a=F/m, lo possiamo vedere come a=1

𝑚𝐹 , che è l’espressione esplicita di una retta

La pendenza è 1/m, quindi è positiva, e se la forza è zero anche a è zero retta passante per l’origine risposta C

Un satellite impiega 100 giorni per descrivere un’orbita circolare attorno ad un pianeta. Quale/i delle seguenti affermazioni relative al suo moto è corretta? 1) Mantiene una velocità scalare costante 2) Accelera in direzione del pianeta 3) Nell’arco temporale di 100 giorni la sua velocità vettoriale media è pari a zero A) Tutte B) 2 C) 1 e 2 D) 1 e 3 E) 2 e 3 Moto circolare uniforme velocità in modulo costante velocità scalare costante Accelerazione in direzione del centro della circonferenza in direzione del pianeta Velocità vettoriale differenza tra il vettore spostamento alla fine e il vettore spostamento all’inizio stesso punto differenza spostamenti nulla velocità nulla Risposta A

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

Nel moto circolare uniforme il corpo percorre una circonferenza con velocità in MODULO costante se si considera il tratto di circonferenza percorsa diviso per l’intervallo di tempo (velocità scalare) questa è costante La direzione della velocità continua a variare l’accelerazione è presente, ma invece che far variare l’intensità di v, ne varia solo la direzione Accelerazione verso il centro della circonferenza

Una fionda è costituita da un sasso vincolato a percorrere 5 giri al secondo lungo una circonferenza di raggio L = 1 m per mezzo di una corda rigida. Quando il sasso si stacca dalla corda la sua velocità è: A) di circa 30 m/s B) di 5/s C) di circa 300 m/s D) diversa per sassi di massa diversa E) pari alla velocità del suono Moto circolare uniforme: la sua velocità scalare è di 5 giri al secondo Un giro ha una lunghezza di 2πr = 2*3,14* 1m = 6,28 m La velocità è 5 * 6,28 m / 1s = 31.4 m/s La corda forniva l’accelerazione che manteneva il sasso su una circonferenza facendo cambiare la direzione della velocità senza corda, non abbiamo accelerazione la velocità rimane costante, non cambia neanche più direzione Risposta A

Una forza costante di 7,00 N viene applicata lungo una linea retta ad un corpo, per spostarlo di 13 m, parallelamente alla direzione della forza, in 5 secondi. Qual è la potenza sviluppata dalla forza per spostare il corpo? A) 18,2 W B) 1,82 W C) 9,10 W D) 91,0 W E) 455 W Lavoro : 7,00 N * 13 m = 91 Joule Potenza = 91 Joule / 5 s = 18,2 Watt risposta A

LAVORO DI UNA FORZA Prodotto scalare del vettore Forza (F) per il vettore Spostamento (s)= Fscosθ Si può vedere anche come il prodotto della componente di F parallela allo spostamento per s Unità di misura Joule POTENZA

Definita come 𝑙𝑎𝑣𝑜𝑟𝑜

𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜

Unità di misura Watt

ll lavoro svolto nell'unità di tempo si misura in: A)Joule B)Watt/secondo C)Joule * secondo D)Watt*secondo E)Watt Il lavoro nell’unità di tempo è la potenza unità di misura Watt risposta E

L’accelerazione di gravità sulla luna vale 1/6 di quella sulla terra. Se un solido cubico di massa 6000 kg e 1 m di lato venisse appoggiato sulla superficie lunare che pressione eserciterebbe sul suolo? A) 1000 Pa B) 9800 Pa C) 58800 Pa D) 1000 atm Forza agente : gravità Sulla terra è uguale a mg = 6000 Kg * 9,8 m/s2 = 58800 N Sulla luna è 1/6 = 612 N / 6 = 9800 N Area su cui agisce : cubo di lato 1m area 1m*1m = 1 m2 Pressione = 9800 N / 1 m2 = 9800 Pa risposta B

PRESSIONE E FLUIDI

La pressione è una grandezza fisica intensiva definita come il rapporto tra il modulo della forza agente ortogonalmente su una superficie e la sua area Unità di misura : Pascal (Pa) 1 Pa = 1 N / 1 m2

Qual è il valore della pressione esercitata dall’olio di vaselina sul fondo di un tubicino che lo contiene fino all’altezza di 102cm? (La densità dell’olio di vaselina è 0.9g/cm3) A) 8.82 mbar B) 0.9*103Pa C) 8.82*103Pa D) non ci sono dati sufficienti per rispondere.

102 cm = 1,02 m 0,9 g/cm3 = (0,9 *10-3 Kg )/1*10-6 m3) = 0,9 * 103 Kg / m3

Forza esercitata peso dell’olio = massa * g = volume * densità * g = altezza * area superficiale * densità * g = 1,0 m * area superficiale * 0,9 * 103 Kg / m3 * 9,8 m/s2 = 8,82* 103 * area superficiale

Pressione = Forza / area superficiale = 8,82*103 Pa risposta C

Il peso di un’automobile, la cui massa è di 1200 Kg, è distribuito ugualmente sui quattro pneumatici, che sono stati gonfiati alla stessa pressione relativa. Quale deve essere questa pressione, affinchè la superficie totale tra pneumatici e strada sia di 100 cm2? A)11.76x105 Pa B)11,6x104 Pa C)2,90x105 Pa D)2,90x104 Pa E)117,7 Pa Gli pneumatici scaricano il peso dell’auto a terra, e per essere in equilibrio la loro pressione interna deve essere uguale alla pressione esterna causata dalla forza di reazione della strada Calcoliamo la forza con cui l’automobile preme sulla strada: F = mg = 1200 Kg * 9,8 m/s2 = 11760 N Pressione = forza / area = 11760 N / 100 cm2 = 11,76 * 103 N / 102 cm2 = 11760 / (102 * 10-4 m2) = 11,76 * 105 Pa Risposta A

LEGGE DI ARCHIMEDE galleggiamento La spinta verso l’alto che riceve un solido immerso in un liquido è pari al peso del liquido spostato

Teniamo immerso completamente in un certo fluido un blocco di forma irregolare e con una massa di 3kg. La massa del fluido spostato equivale a 2kg. Lasciamo andare il blocco. Quale eventualità può accadere? a) il blocco si muoverà verso l’alto b) il blocco si muoverà verso il basso c) il blocco si muoverà lateralmente d) il blocco rimarrà nella stessa posizione Peso dell’oggetto (spinta verso il basso) : m*g = 3 Kg * 9.8 m/s2 = 30 N Spinta verso l’alto uguale al peso del liquido spostato = massa liquido spostato * g = 2Kg * 9.8 m/s2 = 20 N Spinta verso il basso più grande l’oggetto affonda, risposta B

TERMODINAMICA Unità di misura della temperatura: grado Kelvin (K) Per passare al grado centigrado : T in Kelvin - 273

In quale delle seguenti affermazioni i valori numerici non cambiano se si esprimono le temperature in gradi Kelvin anziché gradi °C? A)la temperatura corporea è di circa 37 °C. B)la temperatura della stanza è aumentata di 10°C. C)la temperatura di ebollizione dell’acqua è di 100 °C. D)la temperatura di questo corpo era di 58 °C. La scala è spostata, quindi la temperatura corporea, di ebolizione dell’acqua e del corpo a 58°C misurate in Kelvin devono essere alzate di 273 il valore numerico non rimane uguale. La VARIAZIONE di temperatura però rimane la stessa risposta B

Ad 1 g di acqua viene fornita 4,186 J di energia sotto forma di calore. Assumendo che non ci siano perdite di energia, a quanto ammonta l’aumento di temperatura dell’acqua: A)10 °C B)4 °C C)1 °C D)0,1 °C Per innalzare la temperatura di 1g di acqua di un grado (Kelvin o centigrado è uguale) serve una energia di : 4186 J/(Kg*K) * 0,001 Kg * 1K = 4,186 J risposta C

Il calore specifico di una sostanza è definito come la quantità di calore necessaria per innalzare (o diminuire) la temperatura di una unità di massa di 1 Kelvin (o di 1 °C) Per l’acqua 4186 J/(Kg*K)

Un blocco di ghiaccio della massa di 0,5 kg alla temperatura di 0°C viene trasformato a pressione atmosferica in acqua alla temperatura finale di +10 °C. Il blocco richiede un dispendio energetico di 188 kJ per apportare tale trasformazione. Calcolare il calore latente specifico di fusione del ghiaccio. [capacità termica specifica espressa in kJ/(kg·K): ghiaccio 2,12; acqua 4,18] A) 334 B) 167 C) 376 D) 355 E) 372 Calcoliamo innanzitutto il calore necessario per scaldare l’acqua da 0°C a 10°C Calore necessario = 0,5 Kg *10°C * 4,18 kJ/(kg·K) = 21 KJ Differenza di calore = 188 KJ – 21 KJ = 167 KJ per trasformare il ghiaccio in acqua Calore latente specifico è il calore necessario per il passaggio di stato diviso la massa = 167 KJ/ 0,5 Kg = 334 KJ / Kg

In presenza di passaggi di stato, continuamo a somministrare calore ( o a toglierne) senza una variazione di temperatura CALORE LATENTE

GAS PERFETTI Pressione, volume e temperatura di un gas perfetto sono collegati dalla legge

PV= nRT, dove n è il numero di moli e R una costante che vale 8,31 𝐽

𝑚𝑜𝑙 ∗ 𝐾

Una data quantità di gas perfetto, a partire da uno stato di equilibrio, subisce una trasformazione sino a raggiungere un nuovo stato di equilibrio in cui sia il volume che la temperatura sono il doppio di quelli iniziali. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? A) Dato che la temperatura del gas è aumentata, la pressione finale è aumentata, ma sono necessari ulteriori dati sulla trasformazione per quantificare l'aumento B) Dato che il volume è raddoppiato, la pressione finale è la metà di quella iniziale C) Dato che la temperatura del gas è raddoppiata, la pressione finale è il doppio di quella iniziale D) Dato che il volume del gas è aumentato, la pressione finale è diminuita, ma sono necessari ulteriori dati sulla trasformazione per quantificare la diminuzione E) Nessuna delle altre affermazioni è corretta V finale = 2V0

T finale = 2T0

Dalla legge dei gas ho per i dati iniziali P0 = nRT0 / V0

Per i dati finali P = nRT/V = 2nRT0/2V0 = nRT0/V0 =P0, quindi la pressione rimane uguale Risposta E

Quando due volumi uguali di gas perfetti diversi possono contenere lo stesso numero di molecole? A)Quando hanno uguale pressione e temperatura diversa B)Quando hanno uguale temperatura e pressione diversa C)Sempre alla pressione di 1 bar D)Sempre alla temperatura di zero gradi celsius E)Quando hanno uguale pressione e uguale temperatura La legge dei gas perfetti vale per OGNI gas perfetto Uguale numero di molecole = uguale numero di moli Se temperatura, volume e pressione sono uguali n ha lo stesso valore risposta E

ELETTROMAGNETISMO

ε 0 = costante dielettrica nel vuoto = 8.854 × 10-12C2/(Nm2)

Due cariche elettriche Q1 = 20 μC e Q2 = -8 μC, sono poste ad una distanza di 20 cm l’una dall’altra. Ponendo nel punto di mezzo tra Q1 e Q2, una terza carica Q3 = 7 μC, quale sarà la forza risultante su di essa ? A)176,2 N verso Q2 B)176,2 N verso Q1 C)17,6 N verso Q2 D)17,6 N verso Q1 E)75,5 N verso Q2 Forza sentita dalla carica = campo elettrico * carica Campo elettrico con due cariche presenti somma dei campi elettrici con carica singole puntiformi La forza totale è la somma delle forze duvute ai due campi

Campo E1 causato da Q1 a distanza 10 cm Q1/(4𝜋𝜀0𝑟2) = 20μC

4𝜋𝜀0(0,1 𝑚)2=

2,0 ∗ 10−5 C

4∗3,14∗0,01m2∗8.85∗10−12C2/(Nm2)) =

2,0 ∗ 10−5 C

1,11 ∗ 10−12 C2/N

= 1,8 * 1012 * 10-5 N/C = 1,80 * 107 N/C

Forza 1 = Q3 * E1= 7 * 10-6 C *1,8 * 107 N/C = 12,6 * 101 N = 126 N Direzione congiungente Q1 e Q3 Entrambe le cariche hanno lo stesso segno la forza è repulsiva

Campo E causato da Q2 a distanza 10 cm Q2/(4𝜋𝜀0𝑟2) = 8μC

4𝜋𝜀0(0,1 𝑚)2=

8,0 ∗ 10−6 C

4∗3,14∗0,01m2∗8.85∗10−12C2/(Nm2)) =

8 ∗ 10−6 C

1,11 ∗ 10−12 C2/N

= 7,2 * 1012 * 10-6 N/C = 7,20 * 106 N/C

Forza 1 = Q3 * E2= 7 * 10-6 C *7,20 * 106 N/C = 50,2 N Direzione congiungente Q2 e Q3 le cariche hanno segno opposto la forza è attrattiva Ftot = F1 + F2 stessa direzione e stesso verso = 50,2 N + 126 N = 176,2 N Verso la carica Q2 risposta A

Q1 Q2 Q3

+ + -

CIRCUITI ELETTRICI Corrente elettrica (I): unità di misura, Ampère, A 1 Ampère corrisponde al passaggio di 1 Coulomb (C) di carica al secondo Legge di Ohm V = RI cioè la differenza di potenziale ai capi di un filo è uguale alla corrente elettrica I che circola moltiplicata per la resistenza R del filo Resistenza Ohm (Ω)

Resistenze in serie

Resistenze in parallelo :

Se abbiamo più di una resistenza, possiamo ricondurre il circuito ad uno semplificato con una resistenza EQUIVALENTE

Differenza di potenziale Volt (V) : una differenza di 1 Volt tra due punti significa che per portare 1 C da un punto all’altro bisogna fare un lavoro di 1 Joule Lavoro elettrico = carica * differenza di potenziale

Con solo 2 resistenze: Req = 𝑅1∗𝑅2

𝑅1+𝑅2

Quando due resistenze elettriche (rispettivamente uguali a R e 4R) sono collegate in serie, la resistenza equivalente della combinazione è pari a 50 Ω. Se le medesime resistenze fossero collegate in parallelo, quale sarebbe la resistenza equivalente? A) 8 Ω B) 10 Ω C) 12 Ω D) 32 Ω E) 50 Ω Resistenze in serie R totale = R1 + R2 = R + 4R = 5R R = 10 Ω , 4R = 40 Ω Resistenze in parallelo 1/Rtotale = 1/R +1/4R = 0,1 + 0,025 R totale = 1 / 0,125 = 8 Ω risposta A

Agli estremi di un conduttore d’argento, resistività 0,0159 × 10-6 Ω*m è applicata una differenza di potenziale di 40 V. Se la corrente che passa è di 12 A, quanto lavoro è compiuto dalla forza di Coulomb in 20 s ? A)10-6J B)66,7 W C)9600 J D)66,7 J E)800 J Lavoro elettrico = carica * differenza di potenziale Qui abbiamo 40 V , ma non sappiamo ancora la carica Un ampere è 1 Coulomb al secondo, quindi 12 A sono 12 C al secondo. Moltiplicando per 20 s otteniamo la carica totale spostata: 20s * 12 A = 240 C 40 V * 240 C = 9600 Joule risposta C

Se un circuito, formato da due resistenze R1 e R2, viene collegato a un generatore di tensione continua a 10 V, dissipa 20 W. Qual è una possibile configurazione del circuito? A) R1= 6 Ω, R2= 30 Ω, in parallelo B) R1= 3 Ω, R2= 2 Ω, in parallelo C) R1= 2 Ω, R2= 2 Ω, in parallelo D) R1= 10 Ω, R2= 10 Ω, in serie E) R1 molto grande, R2 circa 5 Ω, in serie Generatore la tensione ai capi del circuito è FISSATA a 10 V Ricaviamo la resistenza equivalente del circuito :

Potenza dissipata = 20 Watt = RI2 Dalla legge di Ohm V=RI I= 𝑉

𝑅

Quindi P= RI2 = R 𝑉2

𝑅2 = 𝑉2

𝑅 R =

𝑉2

𝑝 = 102 V2 / 20 Watt = 100/20 = 5 Ω

Ora conosciamo la resistenza equivalente del circuito 5 Ω Vediamo che resistenza equivalente danno i 5 casi nelle risposte: A) 1/R = 1/R1 + 1/R2 1/R = 1/6 + 1/30 R = 5 Ω B) 1/R = 1/R1 + 1/R2 1/R = 1/3 + 1/2 R = 1,2 Ω C) 1/R = 1/R1 + 1/R2 1/R = 1/2 + 1/2 R = 1 Ω D) R = R1 + R2 = 10 + 10 = 20 Ω E) R = R1 + R2 = molto grande + 5 = resistenza molto grande risposta A

Potenza dissipata nel circuito p= RI2 (Watt) Vale sempre la relazione potenza = lavoro / tempo, come in meccanica

La differenza di potenziale elettrico ai capi di una lampadina è costante e pari a 100 V. Per un periodo di tempo pari a 1000 s la lampadina assorbe una potenza elettrica di 160 W. Sapendo che la carica dell’elettrone è 1,60 * 10-19 C, quanti elettroni si può ritenere abbiano attraversato una sezione trasversale del filo che alimenta la lampadina nell’intervallo di tempo considerato? A) 10-16

B) 6,02 . 1023 C) 1023 D) 1,60 . 1022

E) 1022 Potenza = lavoro / tempo Lavoro = potenza * tempo = 160 W *1000 s = 160000 J Abbiamo già visto che il lavoro è anche carica * differenza di potenziale carica = lavoro / differenza di potenziale = 160000 J / 100 V = 1600 C Il numero di elettroni è carica/carica elettrone = 1,6 * 103 C / 1,60 * 10-19 C = 1 * 10 (3+19) = 1022

Risposta E

Una lampadina da 200 W e un ferro da stiro da 1 kW possono consumare la stessa energia? A)Sì, quando sono alimentati in serie B)Sì, se funzionano per tempi uguali C)Sì, se funzionano per tempi inversamente proporzionali alle rispettive potenze D)No, in nessun caso E)Non si conoscono sufficienti dati per rispondere Potenza = lavoro / tempo Il lavoro è uguale all’energia dissipata in calore in questo caso lavoro = potenza * tempo Basta tenere accesa la lampadina per cinque volte più tempo del ferro da stiro e i consumi sono gli stessi

Due lampadine identiche sono collegate ad una stessa batteria, prima in serie e poi in parallelo. In quale collegamento verrà sviluppata una maggiore potenza ? A)uguale B)in serie C)in parallelo D)non si può rispondere se non si conoscono le due resistenze E)non si può rispondere se non si conosce la tensione applicata Potenza dissipata = Requivalente * I2

Collegamento in serie Circuito equivalente: I = V / Requivalente = V / (R1 + R2)

Potenza = Requivalente * I2 = (R1 + R2)∗V

2

(R1 + R2)2 = V2 / (R1 + R2) lampadine identiche p = V2 / 2R

Collegamento in parallelo

Circuito equivalente I= V / Requivalente = (R1 + R2 )∗ V

R2∗R1

Potenza = Requivalente * I2 = (R1 ∗ R2 )

R2 + R1∗

(R1 + R2 )2∗ V2

(R2∗R1)2 =

(R1 + R2 )∗ V2

(R2∗R1) lampadine identiche p =

2R ∗ V2

R2 = 2V2/R

In parallelo la potenza è maggiore risposta C

IMPORTANTE : se abbiamo un generatore, la tensione V totale ai suoi capi è fissata. Ogni resistenza nel circuito contribuirà ad una diminuzione di tensione secondo la legge di Ohm V=RI fino ad arrivare ad una ΔV totale pari a quella ai capi del generatore.

Un addobbo natalizio è costituito da 12 lampadine a incandescenza uguali, tra loro in serie, collegate alla rete di alimentazione domestica. Una delle lampadine si rompe: per utilizzare l'addobbo, togliamo la lampadina rotta e ricolleghiamo i due spezzoni di filo, in modo che le 11 lampadine rimaste siano ancora in serie. Il risultato sarà: A) si produce circa 1/11 di intensità luminosa in più, dato che la resistenza elettrica totale è diminuita B) si produce circa 1/12 di intensità luminosa in meno, visto che abbiamo tolto una lampadina C) si produce la stessa intensità luminosa, visto che abbiamo rimosso una lampadina ma la corrente che scorre nell'addobbo aumenta D) non possiamo dire nulla a priori, il risultato dipende dalla resistenza elettrica delle lampadine, che non è nota E) si produce meno intensità luminosa a causa dell'interferenza, dato che nel punto in cui il filo è stato tagliato la distanza tra le lampadine è cambiata La tensione ai capi del filo rimane costante perché è data dalla presa di corrente La luce prodotta da una lampadina è proporzionale alla potenza dissipata p= RI2 (calore dissipato) Nel caso delle 12 lampadine in serie: R = 12R0

I= V/R = V / 12R0

Potenza = 12R0 * (V/ 12R0)2 = V2/ 12R0

Se le lampadine sono 11: R = 11R0

I= V/R = V / 11R0

Potenza = 11R0 * (V/ 11R0)2 = V2/ 11R0

Quindi nel secondo caso la potenza è maggiore di circa 1/11 risposta A

Tre lampade di 50 Watt, 50 Watt e 100 Watt, rispettivamente, sono connesse in parallelo ed alimentate in corrente continua da una batteria che fornisce una tensione costante di 25 Volt. Quanto vale la corrente erogata dalla batteria? A) Dipende dalle dimensioni della batteria B) 8 coulomb C) 4 ampere D) 8 ampere E) 5 coulomb al secondo Lampadine resistenze Potenza = RI2 = (Ohm) V2/R R = V2/p Se il circuito è in parallelo, tutte le resistenze hanno la stessa differenza di potenziale ai capi, quindi la resistenza è: R = 252/ 50 W = 12,5 Ohm R = 252/ 100 W = 6,25 Ohm Otteniamo ora la resistenza equivalente : 1/R = 2/12,5 + 1/6,25 = 0.16 + 0,16 = 0,32 R = 1/0,32 = 3,125 Ohm Corrente = V / R = 25 V / 3,125 = 8 Ampere Risposta D

Un cavo percorso da corrente in un campo magnetico può subire una forza dovuta al campo. Perché tale forza non sia nulla quale condizione ulteriore deve essere soddisfatta? A) L’angolo tra il cavo e il campo magnetico non deve essere zero B) L’angolo tra il cavo e il campo magnetico deve essere di 90 gradi C) Il campo magnetico non deve cambiare D) Il cavo deve essere dritto E) La corrente deve alternarsi Corrente elettrica cariche in movimento lungo il filo Perché la forza non sia zero, la direzione del movimento non deve essere parallela al campo B filo NON parallelo al campo magnetico B risposta A

Una carica in movimento immersa in un campo magnetico B sente una forza F , chiamata forza di Lorentz, tale che F = qv x B Siccome è un prodotto vettoriale, il vettore F risultante è perpendicolare sia a v che a B, è la sua intensità vale qvBsenθ Se la velocità è parallela al campo magnetico Forza nulla

CARICHE IN UN CAMPO MAGNETICO