Corso di POPOLAZIONE TERRITORIO E SOCIETA’ 1

AA 2013-2014LEZIONE 8f

AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE

CORRELAZIONE relazione di concordanza nella variabilità

r Pearson <0 relazione negativa >0 relazione positiva

relazione debolerelazione forte

AUTO si riferisce ai valori di una stessa variabile

SPAZIALE implica un ordinamento

Misura del grado di concordanza della variabilità tra valori “vicini” di una stessa variabile osservata su unità territoriali

Semi-varianzaDescrive la variabilità di una variabile osservata su un determinato insieme di dati spaziali

z(x)=valore della v.bile z in un dato “luogo” xz(x+h) = valore della v.bile z in un “luogo” che dista h da xn(h) = numero di coppie di valori la cui distanza è h

ORDINAMENTO

Nella forma più semplice: 0 = non contigue; 1 = contigue

CONTIGUITA’

Se si tratta di punti Una possibile strategia: poligoni di Thiessen

metodo che ad ogni dato puntuale associa un’area: lo spazio all’interno di quell’area assume i valori più simili a quello del valore puntuale che a quello di qualsiasi altro punto

1) Triangoli di Delaunay (vicino più vicino)

2) Rette perpendicolari costruite sui baricentri

3) Punti d’incontro = vertici dei poligoni

A B C D E

A 0 1 1 1 0

B 1 0 0 1 1

C 1 0 0 1 0

D 1 1 1 0 1

E 0 1 0 1 0

W

la contiguità spaziale è un fattore che interagisce con il fenomeno studiato

- attraverso la forma e la dimensione delle unità- vincoli territoriali/amministrativi che definiscono lo spazio- esistenza di altri elementi di contatto

In generale,

wij > 0 esprimono l’intensità con cui la circostanza della contiguità agisce sulle determinazioni del fenomeno nelle unità i e j Operativamente,

wij > 0 indica, ad esempio, la lunghezza di un confine in comune ecc.

Nella forma più semplice

wij = 0,1 Il valore 1 indica che le aree sono contigue, cioè ad esempio sono adiacenti

Il modello teorico

Nel mondo reale la contiguità è connessione. Ad esempio,

SI TRATTA SOLO DI IPOTESI

MISURA DELL’AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE

In presenza di autocorrelazione spaziale positiva, valori simili della variabile risultano spazialmente raggruppati, mentre in presenza di autocorrelazione spaziale negativa, risultano spazialmente raggruppati i valori dissimili della variabile; l’assenza di autocorrelazione spaziale indica una distribuzione casuale dei valori nello spazio.

ESEMPIO:Variabile caratteristica del territorio URBANO (U)/RURALE (R)

Contiguità possibili:

UU p(UU)=1/4UR p(UR)=1/4RU p(RU)=1/4RR p(RR)=1/4

Se f(UU+RR)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE POSITIVASe f(UR+RU)>2/4 AUTOCORRELAZIONE SPAZIALE NEGATIVA

Gli elementi necessari per il calcolo degli indici di autocorrelazione spaziale sono:- una misura della variabilità del fenomeno studiato (Cij) e - una matrice che rappresenti la configurazione del territorio

considerato (Wij).

Tutti gli indici di autocorrelazione spaziale fanno riferimento ad una statistica cross-product.

MATRICE DI CONTIGUITA’(connessione, ponderazione spaziale)

MATRICE DI DISTANZA

Esempio:

a b c d e f g h i

a 0 1 0 1 0 0 0 0 0

b 1 0 1 0 1 0 0 0 0

c 0 1 0 0 0 1 0 0 0

d 1 0 0 0 1 0 1 0 0

e 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f 0 0 1 0 1 0 0 0 1

g 0 0 0 1 0 0 0 1 0

h 0 0 0 0 1 0 1 0 1

i 0 0 0 0 0 1 0 1 0

Wij

  a b c d e f g h i

a 0 9 36 1 16 49 4 25 64

b 9 0 9 4 1 16 1 4 25

c 36 9 0 25 4 1 16 1 4

d 1 4 25 0 9 36 1 16 49

e 16 1 4 9 0 9 4 1 16

f 49 16 1 36 9 0 25 4 1

g 4 1 16 1 4 25 0 9 36

h 25 4 1 16 1 4 9 0 9

i 64 25 4 49 16 1 36 9 0

a b c d e f g h i

a 0 1 0 1 0 0 0 0 0

b 1 0 1 0 1 0 0 0 0

c 0 1 0 0 0 1 0 0 0

d 1 0 0 0 1 0 1 0 0

e 0 1 0 1 0 1 0 1 0

f 0 0 1 0 1 0 0 0 1

g 0 0 0 1 0 0 0 1 0

h 0 0 0 0 1 0 1 0 1

i 0 0 0 0 0 1 0 1 0

  a b c d e f g h i

a 0 9 36 1 16 49 4 25 64

b 9 0 9 4 1 16 1 4 25

c 36 9 0 25 4 1 16 1 4

d 1 4 25 0 9 36 1 16 49

e 16 1 4 9 0 9 4 1 16

f 49 16 1 36 9 0 25 4 1

g 4 1 16 1 4 25 0 9 36

h 25 4 1 16 1 4 9 0 9

i 64 25 4 49 16 1 36 9 0

a b c d e f g h i Totale

a 0 9 0 1 0 0 0 0 010

b 9 0 9 0 1 0 0 0 019

c 0 9 0 0 0 1 0 0 010

d 1 0 0 0 9 0 1 0 011

e 0 1 0 9 0 9 0 1 020

f 0 0 1 0 9 0 0 0 111

g 0 0 0 1 0 0 0 9 010

h 0 0 0 0 1 0 9 0 919

i 0 0 0 0 0 1 0 9 0 10

120

(cella x cella)

r f( r)2 88 8

10 8

G Il calcolo di G per l’osservazione (G =2) rientra nella distribuzione pertanto non vi è ragione di affermare che la sua manifestazione sia inusuale; infatti la frequenza con cui compare è uguale a quella degli altri valori

Il calcolo di G per l’osservazione (G =3) ha una bassa probabilità di essere attribuita al caso

r* f(r*)3 26 49 6

11 614 417 2

*G

ESEMPIO

0110

1001

1001

0110

d

c

b

a

W

dcba

ij

09116

9041

1409

16190

d

c

b

a

C

dcba

ij

40

10

10

10

10

0910

9001

1009

0190

d

c

b

a

CW

dcba

i jijij

8

8

8

)(

76

44

40

f

In generale non si conosce la forma della distribuzione di .G

Essa dipende dalla funzione di distanza utilizzata.

Per alcune statistiche, casi particolari della forma generica Cross Product (Join-count, Moran, Geary), è invece possibile fare riferimento ad una distribuzione teorica Normale, sempre che il numero delle unità geografiche sulle quali viene misurata l’autocorrelazione spaziale risulti abbastanza elevato. IN TAL CASO è POSSIBILE FARE IL TEST

Per la statistica cross product la media:

con:

La somma di tutti gli elementi della matrice di contiguità

La somma di tutti gli elementi della matrice di distanze

….e la varianza:

con:

v1 v2 v3 v4 2 3 2 5v5 v6 v7 v8 3 2 2 6v9 v19 v11 v12 7 6 8 4v13 v14 v15 v16 7 8 9 5

ESEMPIO:

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v16v1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0v2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0v3 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0v4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0v5 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0v6 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0v7 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0v8 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0v9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0v10 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0v11 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0v12 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1v13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0v14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0v15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1v16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

48=S0

Wij

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v16v1 0 0 0 0,1 0 0 0 0,2 0,3 0,2 0,4 0 0,3 0,4 0,5 0,1 2,364583v2 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,2 0,1 0,3 0 0,2 0,3 0,4 0 1,552083v3 0 0 0 0,1 0 0 0 0,2 0,3 0,2 0,4 0 0,3 0,4 0,5 0,1 2,364583v4 0,1 0 0,1 0 0 0,1 0,1 0 0 0 0,1 0 0 0,1 0,2 0 0,927083v5 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0,2 0,1 0,3 0 0,2 0,3 0,4 0 1,552083v6 0 0 0 0,1 0 0 0 0,2 0,3 0,2 0,4 0 0,3 0,4 0,5 0,1 2,364583v7 0 0 0 0,1 0 0 0 0,2 0,3 0,2 0,4 0 0,3 0,4 0,5 0,1 2,364583v8 0,2 0,1 0,2 0 0,1 0,2 0,2 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0 1,114583v9 0,3 0,2 0,3 0 0,2 0,3 0,3 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 1,635417v10 0,2 0,1 0,2 0 0,1 0,2 0,2 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0 1,114583v11 0,4 0,3 0,4 0,1 0,3 0,4 0,4 0 0 0 0 0,2 0 0 0 0,1 2,489583v12 0 0 0 0 0 0 0 0 0,1 0 0,2 0 0,1 0,2 0,3 0 1,072917v13 0,3 0,2 0,3 0 0,2 0,3 0,3 0 0 0 0 0,1 0 0 0 0 1,635417v14 0,4 0,3 0,4 0,1 0,3 0,4 0,4 0 0 0 0 0,2 0 0 0 0,1 2,489583v15 0,5 0,4 0,5 0,2 0,4 0,5 0,5 0,1 0 0,1 0 0,3 0 0 0 0,2 3,677083v16 0,1 0 0,1 0 0 0,1 0,1 0 0 0 0,1 0 0 0,1 0,2 0 0,927083

29,64583

Cij

=G0

Trattandosi di valori 0,1

Poiché la matrice è simmetrica

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v16v1 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02v2 0,01 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,03v3 0,00 0,01 0,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,10v4 0,00 0,00 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,10v5 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,19v6 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,19v7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,38 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,54v8 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,22v9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,18v10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,01 0,00 0,04 0,00 0,00 0,04 0,00 0,00 0,26v11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,38 0,00 0,00 0,04 0,00 0,17 0,00 0,00 0,01 0,00 0,59v12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 0,00 0,00 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,22v13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01v14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 0,00 0,00 0,01 0,00 0,01 0,00 0,06v15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,00 0,17 0,19v16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,00 0,17 0,00 0,18

3,08

Pertanto: Wij*Cij

Applichiamo il test sulla Normale a due code:l’ipotesi nulla H0=non vi è autocorrelazione spaziale, cioè i valori sono distribuiti in modo casuale. Poiché al livello di significatività al 95%, i valori limite sono –1,96 e + 1,96,il valore osservato è nella zona di rifiuto.La variabile è affetta da autocorrelazione spaziale; Osservando I dati, direi positiva.

STATISTICA JOIN-COUNT

Per variabili misurate su scala nominale, dicotomiche SUCCESSO/INSUCCESSO

n1 = Bn2 = W

BB+WW+BW(WB)=J

ESTRAZIONI INDIPENDENTI (BINOMIALE)Numero complessivo possibili coppie =n2

numero atteso di coppie di questo tipo

ESTRAZIONI NON INDIPENDENTINumero complessivo di possibili coppie

12)( 21

nn

nnJBWE

Ipotesi di Normalità

In generale, al crescere del numero delle osservazioni le precedenti distribuzioni (binomiale e ipergeometrica) tendono alla Normale, pertanto è possibile fare riferimento alle seguenti formule riconducibili alla statistica

Ad esempio, si consideri la variabile codificata nel seguente modo: B,W I legami tra le aree confinanti saranno dunque del tipo BB, BW, WB, WW. La statistica Join Count consiste nel confrontare il numero di legami osservati del tipo BB (o WW) oppure i legami del tipo BW (e WB) con quelli attesi. 

Conta il numero di legami BB=G*/2

(definizione del modello rook)

Conta il numero di legami WW=G*/2

Conta il numero di legami BW = G/2

E’ possibile applicare il test z

ESEMPIO

V1 V2 1 1

V3 V4 0 0

Si desidera verificare l’esistenza di autocorrelazione spaziale nei dati; si utilizza la statistica JOIN COUNT per il calcolo del numero di legami “discordi.Se la frequenza osservata di legami “discordi” è superiore a quella attesa, significa che valori dissimili di una stessa variabili tendono a presentarsi in unità contigue, quindi si è in presenza di autocorrelazione spaziale negativa.

pertanto il numero osservato di legami di tipo (B,W) è /2=2.

E(BW)=2*(2*2)/4=2

Il numero dei legami “discordi” (B,W) osservati è uguale a quello atteso pertanto vi è assenza di autocorrelazione spaziale

APPROCCIO GRAFICO

URBANO =ROSSORURALE=GIALLO

A B C D E

A 0 1 1 1 0

B 1 0 1 0 0

C 1 1 0 1 1

D 1 0 1 0 1

E 0 0 1 1 0

NODILEGAMI

0, 1 NON CONTIGUO/CONTIGUOGIALLO = RURALE+RURALEROSSO=URBANO+URBANOBIANCO=DISCORDI

A C B D E

A 0 1 1 1 0

C 1 0 1 1 1

B 1 1 0 0 0

D 1 1 0 0 1

E 0 1 0 1 0

Infatti, dalla matrice indicata, delle 14 celle in cui vi è connessione, si ricava: UU = 2RR = 2UR = 5RU = 5Quindi UR+RU=10>14/2, e dunque l’autocorrelazione è negativa, cioè tendono a raggrupparsi aree con valori dissimili.

INDICE DI MORAN

Applicabile a caratteri quantitativi ordinati su scala di intervallo o di rapporto

L’indice I di Moran è analogo al coefficiente di correlazione e come esso varia da +1 (forte autocorrelazione spaziale) a 0 (assoluta casualità) a –1(forte autocorrelazione negativa)

i j

ijijCW

ESEMPIO

Wij

a b c d e f g h i Totale

a 0 4 0 12 0 0 0 0 016

b 4 0 -2 0 0 0 0 0 02

c 0 -2 0 0 0 6 0 0 04

d 12 0 0 0 0 0 6 0 018

e 0 0 0 0 0 0 0 0 00

f 0 0 6 0 0 0 0 0 1218

g 0 0 0 6 0 0 0 -2 04

h 0 0 0 0 0 0 -2 0 42

i 0 0 0 0 0 12 0 4 0 16

80

Wij Cij

n

ii

ji

n

i

n

jij

n

i

n

jij xx

xxxxw

W

nI

1

2

1 1

1 1

Significatività statistica dell’Indice di Moran

Si dimostra che l’Indice di Moran ha una distribuzione Normale con

ESEMPIO: riprendendo l’esempio precedente

7111,2053125,0

)125,0(5,0

IVar

IEIz

N

N

053,0)125,0(24327294891924

1

31

1

22222

22021

222

0

IESnSSn

nSIVar NN

significativo al livello 0,05 (1/20 di probabilità che questo valore sia dovuto al caso).In altri termini rigetto l’ipotesi nulla che non vi sia autocorrelazione spaziale.

ESEMPIO

n

ii

ji

n

i

n

jij

n

i

n

jij xx

xxxxw

W

nI

1

2

1 1

1 1

58,08,16

52,15

8

5I

25,015

1

1

1

n

IEN

80 i j

ijWS

162

2

4

2 02

2

1

SW

WW

Si j

iji j

jiij

5614442 2.

2.

2..2

ii

ii

iii WWWWS

141,025,083565165158

1 22222

IVarN

206,2141,0

)25,0(58,0

IVar

IEIz

N

N Il valore è significatico al 95%.Pertanto si deve rifiutare l’ipotesi nulla di assenza di autocorrelazione spaziale; poiché I=0,58, significa che vi è una notevole autocorrelazione spaziale positiva tra i valori della variabile X