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Corso di laurea triennale in Fisica - Analisi Matematica A (c.l.t. in Fisica)Prova parziale del 16 Dicembre 2016

Svolgere gli esercizi seguenti

1. Studiare, al variare di x ∈ R \ {0} il comportamento della serie

∞∑n=2

n arctann

log n

(x2 + 4

1− ex

)n3+2

.

2. Un gioco televisivo a squadre e organizzato attorno ad una vasca triangolare. Al via il concorrentedi turno, che si trova nella posizione Q, fornito di un contenitore, deve raggiungere la vasca,riempirlo di acqua, e scaricarne il contenuto nella postazione R per liberare al compagno disquadra e permettergli di raggiungere il traguardo. Naturalmente vince la squadra che impiegail tempo minore. Se il concorrente in Q puo percorrere con velocita v il percorso quando e scarico

e con velocitav

2quando trasporta il carico di acqua, qual e la posizione P migliore per riempire

il recipiente?

Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome ecorso di laurea tutti i fogli consegnati (non piu di due).Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.Non riconsegnare la traccia del compito.

E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!

1

Svolgimento.

Esercizio 1 La serie e

- a termini positivi in A = (−∞, 0[

- a termini positivi in B =]0,+∞)

in quanto n3 + 2 ha la medesima parita di n.

Per lo studio della convergenza assoluta si ha

|an| =n arctann

log n

(x2 + 4

|1− ex|

)n3+2

e quindi

|an+1||an|

=n+ 1

n· log n

log(n+ 1)· arctann

arctan(n+ 1)

(x2 + 4

|1− ex|

)3n2+3n+1

.

Il primo ed il terzo fattore convergono immediatamente ad 1, il primo per immediato confronto

tra l’ordine dei due infiniti, il terzo perche sia il numeratore che il denominatore convergono aπ

2.

Per calolare il limite del secondo fattore, osserviamo che con semplice applicazione del Teoremadell’Hospital, si ha

limx→+∞

log x

log(x+ 1)= lim

x→+∞

1

x1

x+ 1

= limx→+∞

x+ 1

x= 1

e quindi, per il I Teorema delle Restrizioni,

limn→+∞

log n

log(n+ 1)= 1.

In conclusione si ha

limn→+∞

|an+1||an|

= limn→+∞

(x2 + 4

|1− ex|

)3n2+3n+1

=

0 sex2 + 4

|1− ex|< 1

1 sex2 + 4

|1− ex|= 1

+∞ sex2 + 4

|1− ex|> 1.

2

Confrontando i grafici elementari di g(x) = x2 + 4 e di h(x) = |1− ex| si trova che g(x) = h(x)in un unico punto ξ > 0, e che h(x) > g(x) in ]ξ,+∞); per il Criterio del Rapporto asintotico laserie converge assolutamente in X =]ξ,+∞) e diverge assolutamente in Y = (−∞, ξ[) mentre ilCriterio non fornisce informazioni in Z = {ξ}.Pertanto in Y ∩A = (−∞, 0[ la serie e a termini positivi, e diverge assolutamente, quindi diverge.

In Y ∩B =]0, ξ[ la serie e in Y a segni alterni; d’altra parte, il fatto che in Y risulti limn→+∞

|an+1||an|

> 1

ci permette di dire che n 7→ |an| e definitivamente crescente in Y . Quindi per il II Criterio diindeterminatezza la serie e indeterminata in ]0, ξ[.

Rimane da studiare il comportamento della serie in x = ξ. In questo punto risultax2 + 4

1− ex= −1

e quindi la serie si riduce a∞∑n=1

(−1)nn arctann

log nsempre grazie all’osservazione che n3 + 2 ha la

stessa parita di n. Chiaramente

limn→+∞

n arctann

log n= +∞

per facili considerazioni sull’ordine di infinito del numeratore e del denominatore. Pertanto laserie in ξ non puo convergere.

Per stabilire se e indeterminata, occorre valutare se n 7→ |an| e non decrescente. A questo scopo

si considera la funzione g(x) =x arctanx

log xe se ne calcola la derivata

g′(x) =arctanx[(log x)− 1] +

x log x

1 + x2

log2 x.

Poiche ci serve solo di stabilirne il segno, e a denominatore vi e una quantita positiva, calcoliamo

limx→+∞

arctanx[(log x)− 1] +x log x

1 + x2= +∞;

infatti il primo addendo diverge a +∞, mentre il secondo e il rapporto tra due infiniti simulta-nei, di cui il numeratore di ordine superiore al denominatore; dunque il secondo addendo e uninfinitesimo.

Per il Teorema della Permanenza del Segno, deve allora esistere M > 0 tale che in ]M,+∞)

risulti arctanx[(log x)− 1] +x log x

1 + x2> 0 e di conseguenza g′(x) > 0 in ]M,+∞). Ma allora per il

Teorema di Lagrange g e crescente in [M,+∞) e di conseguenza n 7→ |an| e pure definitivamentecrescente.

3

Esercizio 2 Il tempo totale e la somma dei due tempi, quello impiegato a percorrere il tratto QP e quellonecessario a coprire il tratto PR.

Ciascuno dei due tempi si ottiene come rapporto della lunghezza del tratto percorso e la velocitaimpiegata a percorrerlo, per cui si ha

T =QP

v+PRv2

=QP + 2PR

v.

Il punto P si deve trovare sulla retta che rappresenta il bordo della vasca, di equazione y = 1−xe quindi per le due lunghezze si hanno le relazioni

QP =√x2 + (2− y)2 =

√x2 + (x+ 1)2 =

√2x2 + 2x+ 1,

PR =√

(2− x)2 + (1− y)2 =√

(2− x)2 + x2 =√

2x2 − 4x+ 4.

In conclusione si tratta di minimizzare la funzione

t(x) =

√2x2 + 2x+ 1 + 2

√2x2 − 4x+ 4

v

per x ∈ [0, 1]. Naturalmente si tratta di una funzione continua, e quindi per il teorema diWeierstrass, ammette certamente minimo in [0, 1].

Tale minimo, secondo il Teorema di Fermat, si trova o tra i punti estremi, cioe {0, 1} o tra ipunti interni in cui la t non e derivabile, o infine tra gli zeri della derivata di t.

Poiche i radicandi vengono da somme di quadrati, non entrambi nulli, essi non si annullano mai,quindi non vi sono punti di non derivabilita.

Per determinare gli zeri della derivata cominciamo a calcolarla.

t′(x) =1

v

[4x+ 2

2√

2x2 + 2x+ 1+

6 2(4x− 4)

6 2√

2x2 − 4x+ 4

]=

1

v

[2x+ 1√

2x2 + 2x+ 1+

4(x− 1)√2x2 − 4x+ 4

].

Per avere t′(x) = 0 si puo intanto osservare che t′(0) = −1

v, mentre t′(1) =

3

v√

5, e quindi, per il

Teorema degli zeri, esiste certamente almeno un valore critico di t in [0, 1].

Per determinare quanti sono i possibili punti critici di t nell’intervallo considerato, tuttavia,occorre verificare quante volte sussiste l’uguaglianza

2x+ 1√2x2 + 2x+ 1

=4(1− x)√

2x2 − 4x+ 4

e poiche si tratta di termini tutti non negativi, cio equivale ad eguagliare i quadrati, cioe

4x2 + 4x+ 1

2x2 + 2x+ 1=

16(x2 − 2x+ 1)

2x2 − 4x+ 4=

8(x2 − 2x+ 1)

x2 − 2x+ 2.

Pertanto si deve risolvere l’equazione

(4x2 + 4x+ 1)(x2 − 2x+ 2) = 8(x2 − 2x+ 1)(2x2 + 2x+ 1).

Svolgendo i calcoli e semplificando si perviene all’equazione di quarto grado

12x4 − 12x3 − 9x2 − 6x+ 6 = 0,

che non e risolubile con metodi algebrici elementari.

Si tratta quindi di stabilire il segno della funzione f(x) = 12x4 − 12x3 − 9x2 − 6x+ 6 = 3(4x4 −4x3− 3x2− 2x+ 2) nell’intervallo [0, 1]; osservato che f(0) = 6 e che f(1) = −9, si puo ricorrereal Teorema degli zeri, e stabilire che vi e almeno un punto critico nell’intervallo ]0, 1[.

4

Per determinare quanti sono i punti critici, andiamo a studiare l’andamento della f , di nuovoricorrendo alle sua derivata prima f ′(x) = 48x3− 36x2− 18x− 6 = 6(8x3− 6x2− 3x− 1); anchein questo caso lo studio del segno richiede di ricorrere allo studio dell’ulteriore derivata

f ′′(x) = 18(8x2 − 4x− 1).

Finalmente, visto che ∆ = 12, si trovano le soluzioni x1, x2 =2±√

12

8=

1±√

3

4; di queste solo

quella positiva x2 ricade nell’intervallo in considerazione; allora f ′′ e negativa tra 0 e x2, e positivatra x2 e 1. Pertanto f ′ e decrescente in [0, x2] e crescente in [x2, 1]. Ma f ′(1) = −12, f ′(0) = −6per cui f ′ e negativa in tutto [0, 1]. Finalmente cio implica che f e a sua volta decrescente in[0, 1] e quindi che lo zero determinato dal Teorema degli zeri e unico.

Dunque f si annulla una sola volta in [0, 1] e come osservato, questo comporta che anche t′ siannulli una sola volta. Poiche t′(0) < 0, e t′(1) > 0, significa necessariamente che t′ e negativaprima di tale 0, e positiva alla sua destra, ovvero che t decresce tra 0 e lo zero determinato dalTeorema degli zeri, e cresce alla sua destra. In conclusione l’unico punto critico di t e il valoredel minimo assoluto.

5

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova scritta del 16 Gennaio 2017


1. Studiare, al variare di x 6= 0 il comportamento della serie

∞∑n=1

n arctan1

n!

n+ log1

n

(x2 + 2x− 4

x

)n!. (8)

2. Protezione civile. Una squadra di soccorso alpino, di stanza nella postazione delle guideS, deve recarsi in soccorso di un alpinista in difficolta in B e trasferirlo al posto di ProntoSoccorso H. La strada carrozzabile corre lungo la costa della montagna, sul tratto SH. Lasquadra possiede una camionetta attrezzata per il trasporto dei feriti, che sulla carrozzabilepuo tenere una velocita v1 senza feriti a bordo, ed una velocita inferiore v2 quando trasportaun ferito. Invece a piedi sulla montagna la squadra puo tenere una velocita v3 quandoprocede liberamente, ed una velocita inferiore v4 quando invece deve trasportare un feritoin barella. Il legame fra le tre velocita e espresso dalla formula

4

(1

v2− 1

v1

)=

1

v3+

1

v4.

Stabilire la posizione del punto P in cui e piu conveniente parcheggiare la camionetta ediniziare la salita a piedi verso l’alpinista, in modo da garantirgli il tempo minimo di arrivoal Pronto Soccorso.(10)

3. Data la funzione f(x) = log(1+x) nella semiretta [0,+∞), si consideri la funzione x 7→ c(x)definita dalle condizioni c(0) = 0 e

f [c(x)] =

∫ x

0f(t)dt

x, x ∈]0,+∞)

si determinino il campo di esistenza e l’espressione della derivata prima; se ne determininopoi gli eventuali punti di massimo e di minimo. (Si osservi che in ciascun punto x > 0il valore c(x) fornisce il punto in cui f assume il valore della media integrale; poiche f einiettiva, tale punto e unico e quindi c(x) e ben definita). (12)

Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.I punteggi tra parentesi indicano il grado di difficolta, e quindi la valutazione massima, di ciascunesercizio.

Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cogno-me e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non piu di due).Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.Non riconsegnare la traccia del compito.


6

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova teorica del 16 Gennaio 2017

Nome e Cognome .....................................................................................................

Svolgere i seguenti quesiti

1. Enunciato e dimostrazione del Criterio di Leibnitz

2. Uniforme continuita e Teorema di Heine

3. (Facoltativo)

Provare la disuguaglianza

n! >(ne

)nper n ∈ N.

Rispondere inoltre ai seguenti quesiti a risposta multipla compilando la tabellain calce

1. Data f : R→ R definita da

f(x) =

{mx se x ≤ 0[m]x se x > 0

qual e l’affermazione giusta?

A. f e biiettiva per ogni m ∈ NB. f e biiettiva per ogni m ∈ ZC. f e biiettiva per ogni m ∈ QD. f e biiettiva per ogni m ∈ R \Q

2. Sia n 7→ an 6= 0 una succesione in R tale che limn→+∞

a2n+2

a2n> 1 mentre lim

n→+∞

a2n+1

a2n−1< 1.

Quale delle seguenti successioni e certamente monotona?

A. n 7→ an

B. n 7→ |an|C. n 7→ (−1)n|an|D. nessuna delle precedenti

3. Sia f : [a, b] → R. Quale tra le seguenti implicazioni pu essere correttamente inserita alposto dei puntini?

f e continua .... f e uniformemente continua

A. =⇒ ma 6⇐=;

B. ⇐= ma 6=⇒;

C. ⇐⇒;

D. nessuna delle precedenti.

7

4. Sia I un connesso di R e f ∈ C1(I) sia tale che esistono due connessi J,K ⊂ I tali che f |Je crescente e f |K e decrescente; quale dei seguenti teoremi si puo certamente applicare allaf in I?

A. il Teorema di Fermat

B. il Teorema di Rolle

C. il Teorema di Lagrange

D. potrebbero non essere soddisfatte le ipotesi di nessuno dei tre

5. Sia I connesso, f : I → R e xo ∈ I un punto di flesso. Detti C1 = {x ∈ I :6 ∃f ′(x)}, C2 ={x ∈ I :6 ∃f ′′(x)}, C3 = {x ∈ I : f ′(x) = 0}, C4 = {x ∈ I : f ′′(x) = 0} qual e l’unicaaffermazione possibile?

A. xo ∈ C1 ∩ C2

B. xo ∈ C1 ∩ C4

C. xo ∈ C2 ∩ C4

D. xo ∈ C1 ∩ C3

6. L’uguaglianza∞∑

n=[f(x)]

(f(x))n = f(x)

e

A. possibile solo se f(x) > 0

B. possibile solo se |f(x)| < 1

C. possibile per ogni valore di x ∈ Domf

D. impossibile

7. Se f : [a, b]→ R e una funzione continua, e

H = {S(f,D), D ∈ D([a, b])}

e l’insieme delle somme integrali superiori, quale tra i seguenti numeri limita superiormenteH?

A. M(b− a)

B.

∫ b

af(x)dx

C. m(b− a)

D. F (b)− F (a) dove F e la funzione integrale

8. Sia f : [a, b]→ R una funzione continua; quale delle seguenti affermazioni e impossibile?

(I) la funzione del grafico e la derivata prima di f

(II) la funzione del grafico e la funzione integrale di f

A. la (I)

B. la (II)

8

C. entrambe

D. nessuna delle due

9. Sia A un sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico, e sia xo ∈ IsA; quale tra le seguentialternative e vera

(I) xo ∈ A ∩ ∂A(II) xo ∈ A ∩AA. la (I)

B. la (II)

C. entrambe


10. Sia A un sottoinsieme stellato di uno spazio normato, xo ∈ A e r > 0; sia inoltre B =A ∪B(x, r). Allora

A. B e stellato

B. B e connesso per poligonali

C. B e stellato per poligonali

D. B e convesso

Questa tabella puoi compilarla per avere un raffronto con la correzione che compare in rete altermine della prova

9

Svolgimento della prova del 16 Gennaio 2017

Esercizio 1 Poiche n! e pari per n ≥ 2 la serie e definitivamente a termini positivi per ognivalore di x 6= 0.

Risulta an = 0 per x = −1 ±√

5 e quindi in questi due valori la serie e banalmenteconvergente.

Per gli altri valori di x calcoliamo il rapporto

an+1

an=

(n+ 1) arctan1

(n+ 1)!

n arctan1

n!

·n+ log

1

n

n+ 1 + log1

n+ 1

·(x2 + 2x− 4

x

)(n+1)!−n!=

=n+ log

1

n

n+ 1 + log1

n+ 1

·arctan

1

(n+ 1)!1

(n+ 1)!

·

1

(n+ 1)!1

n!

·

1

n!

arctan1

n!

·(x2 + 2x− 4

x

)n!·n.

Per valutare il limite del rapporto ( e applicare quindi il Criterio del rapporto asintotico)ricordiamo che

limn→+∞

log1

n1

n

= 0

in quanto il logaritmo, quando l’argomento tende a 0, e piu lento del reciproco dell’argomen-to; quindi il limite del primo fattore puo semplificarsi attraverso il Principio di sostituzionedegli infiniti, ovvero

limn→+∞

n+ log1

n

n+ 1 + log1

n+ 1

= limn→+∞

n

n+ 1= 1.

Inoltre, come conseguenza del limite notevole limx→0

sinx

x= 1 si dimostra che anche lim

x→0

arctanx

x= 1

e quindi il secondo ed il quarto fattore del prodotto convergono entrambe ad 1.

Rimane da valutare

limn→+∞

(x2 + 2x− 4

x

)n!·nn+ 1

.

E’ evidente che tale limite tende a 0 se

∣∣∣∣x2 + 2x− 4

x

∣∣∣∣ ≤ 1 in quanto prodotto di due infi-

nitesimi, mentre per i valori di x per cui

∣∣∣∣x2 + 2x− 4

x

∣∣∣∣ > 1 a numeratore c’e un infinito di

ordine superiore a n · n! e quindi, a maggior ragione di n+ 1.

In conclusione la serie converge in X =

{x 6= 0t.c.

∣∣∣∣x2 + 2x− 4

x

∣∣∣∣ ≤ 1

}e diverge in

Y =

{x 6= 0t.c.

∣∣∣∣x2 + 2x− 4

x

∣∣∣∣ > 1

}.

Infine la soluzione delle elementari disequazioni di tipo algebrico fornisce

X =

[−4,−1−

√17

2

]∪

[1,−1 +

√17

2

],

Y = (−∞,−4[∪

]−1−

√17

2, 0

[∪]0, 1[∪

]−1 +

√17

2,+∞

).

10

Esercizio 2 Cio che si vuole minimizzare e il tempo complessivo di percorrenza che e dato dallasomma dei tempi t = t1 + t2 + t3 + t4 relativi ai singoli tratti SP = t1v1, PB = t2v2, BP =t3v3, PH = t4v4. Intanto il tratto di strada carrozzabile SH coincide col grafico della rettadi equazione y = 2 − x; quindi, posto P = (x, 2 − x), le lunghezze dei tre tratti sono dateda

SP =√

2x, PH = SH − SP = 2√

2− x√

2

PB =√

(2− x)2 + [2− (2− x)]2 =√

2x2 − 2x+ 2.

Dunque il tempo complessivo di percorrenza, in funzione dell’ascissa di P e

t(x) =x√

2

v1+

√2(2− x)

v2+√

2√x2 − 2x+ 2

(1

v3+

1

v4

)=

2√

2

v2+ x√

2

(1

v1− 1

v2

)+√

2√x2 − 2x+ 2

(1

v3+

1

v4

).

con 0 ≤ x ≤ 2. Posto α =1

v1− 1

v2si puo allora scrivere

t(x) =2√

2

v2+ x√

2α− 4√

2α√x2 − 2x+ 2;

si tratta di una funzione continua in un intervallo chiuso, quindi ammette certamente mini-mo assoluto; per il Teorema di Fermat esso puo essere assunto in uno di questi tre insiemi:gli zeri della derivata prima C1, gli estremi dell’intervallo C3 e gli eventuali punti di non de-rivabilita C2. Intanto C3 = {0, 2} mentre, dato che il polinomio x2−2x+2 ha determinantenegativo, non vi sono punti di non derivabilita, cioe C2 =Ø.

Per determinare C1 calcoliamo la derivata prima

t′(x) =√

2α

(1− 4

x− 1√x2 − 2x+ 2

)Per determinare le soluzioni dell’equazione t′(x) = 0 ricorriamo allora al metodo gra-

fico, effettuando uno studio qualitativo del grafico della funzione g(x) =x− 1√

x2 + 2x+ 2nell’intervallo [0, 2].

Il calcolo della derivata prima fornisce

g′(x) =1

(x2 − 2x+ 2)√x2 − 2x+ 2

Pertanto g′(x) > 0 in [0, 2] e dunque g e crescente nello stesso intervallo; inoltre g(1) = 0

e g(2) =1√2>

1

4; dunque l’equazione t′(x) = 0 ammette una sola soluzione xo ∈]1, 2], e

C1 = {xo}.

Inoltre g(x) ≤ 1

4per x ∈ [0, xo], e quindi in questo stesso intervallo 1− 4g(x) ≥ 0 e dunque

t′(x) ≤ 0 in quanto α < 0; dunque t(x) e per il Teorema di Lagrange decrescente in [0, xo]e crescente in [xo, 2]. Quindi il tempo minimo lo si realizza parcheggiando nel punto xo.

Esercizio 3 Intanto l’equazione si puo riscrivere come

F (x)

x= log[1 + c(x)]

per x > 0 (dove F e la funzione integrale) e quindi si puo ricavare

c(x) = eF (x)x − 1

11

per x > 0, il che mostra intanto che c e continua in ]0,+∞); la continuita in 0 e invececonseguenza del Teorema dei Carabinieri, perche in virtu dell’interpretazione di c(x) siottiene immediatamente che 0 ≤ c(x) ≤ x per ogni x > 0.

Per x > 0 si ha intanto, applicando le regole di derivazione e il teorema di Torricelli-Barrow

c′(x) = eF (x)x

[x log(1 + x)− F (x)

x

]= [1 + c(x)]

x log(1 + x)−∫ x

0log(1 + t)dt

x2

. (1)

Cominciamo a computare l’integrale indefinito, utilizzando la Formula di Integrazione perparti: ∫

log(1 + t)dt = t log(1 + t)−∫

t

1 + tdt = t log(1 + t)− t+

∫1

1 + tdt =

= {t log(1 + t)− t+ log(1 + t) + c, c ∈ R}.

Dunque F (x) = x log(1 + x)− x+ log(1 + x), che sostituita nella (1) fornisce l’espressione

c′(x) = [1 + c(x)] · x− log(1 + x)

x2

per x > 0. Poiche come osservato c e continua, risulta limx→0+

[1 + c(x)] = 1

Calcoliamo ora

limx→0+

x− log(1 + x)

x2

che e il limite di due infinitesimi simultanei; purtroppo a numeratore gli addendi sonodello stesso ordine, e il rapporto tende a -1, quindi non si puo applicare il Principio diSostituzione. Possiamo pero applicare il teorema dell’Hospital, perche in ]0,+∞) tanto ilnumeratore che il denominatore sono funzioni derivabili, e

limx→0+

1− 1

1 + x2x

= limx→0+

1 + x− 1

2x(1 + x)=

1

2.

Quindi complessivamente

limx→0+

c′(x) =1

2

e per le conseguenze del Teorema di Lagrange questo e il valore di c′ in x = 0. In conclusionec′ e definita in tutto [0,+∞) e

c′(x) =

1

2in x = 0

[1 + c(x)]x− log(1 + x)

x2se x > 0.

Per la ricerca dei massimi e dei minimi si puo applicare il Teorema di Fermat; poiche come sie osservato non ci sono punti di non derivabilita, gli eventuali massimi e minimi si debbonocercare tra gli zeri della derivata prima, e tra gli estremi del campo di esistenza (che siriduce al solo punto 0).

Dall’espressione precedente, risulta c′(x) = 0 se e solo se c(x) = −1 oppure x−log(1+x) = 0;la prima condizione e impossibile , perche come si e gia osservato, 0 ≤ c(x) ≤ x. Per studiarela seconda condizione si ricorre al metodo grafico. Confrontando i grafici di g(x) = x e dih(x) = log(1 +x) ci si convince immediatamente che una soluzione e data da x = 0; questopunto viene gia preso in considerazione come estremo del campo di esistenza, e tuttavianon e uno zero della derivata prima.

12

Per verificare che non vi sono altre soluzioni basta osservare che h′(0) = 1 e quindi g(x)e proprio l’equazione della retta tangente al grafico di h in x = 0 Dalla concavita dellafunzione h non vi sono altre soluzioni. Dunque non vi sono zeri della derivata prima, e siosserva immediatamente, sempre tramite metodo grafico che c′(x) > 0 in ]0,+∞); quindi ce crescente in [0,+∞) (per il Teorema di Lagrange), e dunque x = 0 e un minimo.

Infine la tabella delle risposte corrette per il test a risposta multipla e la seguente

13

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova scritta del 30 Gennaio 2017


1. Studiare, al variare di x ∈]0, 1[∪]1,+∞) il comportamento della serie

∞∑n=2

1

n2 log n

(x2 − 2

log x

)n2+2n

. (10)

2. Data la funzione f(x) = x− 3ex stabilire se esiste almeno un valore xo nel suo dominio taleche

∞∑n=1

[f(xo)]n = −2. (10)

3. Un misurino farmaceutico e ottenuto dal taglio longitudinale del solido generato dalla ro-tazione attorno all’asse delle x del grafico di una funzione f definita nel modo seguente:f(x) = xex per x ∈ [−2, 0] e prolungata a sinistra di −2 tramite la tangente al grafico, finoad intersecare l’asse x.

Il misurino pieno di olio di ricino (peso specifico 0,97) pesa 1g. Quanto pesa da vuoto? (siconsideri trascurabile lo spessore del misurino nel calcolo del volume) (10).




14

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova teorica del 30 Gennaio 2017

Nome e Cognome .....................................................................................................


1. Enunciato e dimostrazione del Teorema di Torricelli-Barrow

2. Enunciato e dimostrazione dei Teoremi di continuita globale

3. (Facoltativo) Una funzione f e lipschitziana, con costante di Lipschitz L > 0 se per ogni x, ynel suo dominio risulta

|f(x)− f(y)| ≤ L|x− y|.

Sia f : R→ R una funzione continua, e sia

g(x) = f(x) +

∫ x

bf(t)dt.

Provare che

i) se f e lipschitziana, allora g e lipschitziana;

ii) se f e derivabile, allora g e derivabile;

iii) se f ∈ Cn([a, b]) , allora g ∈ Cn([a, b]), n ∈ IN.


1. Dati due insiemi non vuoti A e B, se xo ∈ A′ ∩ B′ quale tra le seguenti affermazioni puoessere falsa?

A. xo ∈ A′

B. xo ∈ B′

C. xo ∈ (A ∪B)′

D. xo ∈ (A ∩B)′

2. Sia n 7→ an una successione illimitata superiormente. Quale tra le seguenti affermazioni ecertamente falsa?

A. la successione ammette sottosuccessioni divergenti

B. la successione ammette sottosuccessioni limitate

C. la successione ammette sottosuccessioni convergenti

D. nessuna delle precedenti, sono vere tutte e tre

3. Quale condizione nella proprieta dei valori intermedi non e soddisfatta dalla funzione

f(x) =|x− 1|−1 +

√x

?

A. f e continua

B. f e definita in un connesso

C. f e invertibile

D. sono soddisfatte tutte le ipotesi perche e soddisfatta la tesi

4. Se n 7→ an e una successione in ]0,+∞) tale che limn→+∞

1√an

= 0, allora la serie

∞∑n=1

an

A. converge

B. diverge

15

C. e indeterminata

D. si puo dire solo che non converge

5. Siano n 7→ an e n 7→ bn due successioni con bn > 0 per ogni n ∈ N e tali che limanbn

= 0.

Qual e l’affermazione corretta?

A. se∞∑n=1

bn diverge, anche∞∑n=1

an diverge

B. se

∞∑n=1

an diverge, anche

∞∑n=1

bn diverge

C. se

∞∑n=1

bn converge, anche

∞∑n=1

an converge

D. se

∞∑n=1

an converge, anche

∞∑n=1

bn converge

6. Quale tra le seguenti funzioni puo essere utilizzata come funzione ausiliaria nella dimostra-zione del Teorema del Valor Medio?

A. ϕ(x) = f(x)(b− a)− x[f(b)− f(a)]

B. ϕ(x) = f(x)− f(b)− f(a)

b− a(x− a) + f(a)

C. ϕ(x) = f(x)− f(b)− f(a)

(b− a)x

D. ϕ(x) = f(x)− f(b)− f(a)

x− ax− f(b)− f(a)

b− aa

7. Date le proprieta P1 = la derivata e > 0 e P2 = la funzione e crescente quale implicazionevale?

A. P1 =⇒ P2 ma P2 6=⇒ P1

B. P2 =⇒ P1 ma P1 6=⇒ P2

C. P1 ⇐⇒ P2

D. nessuna delle precedenti

8. Se f, g, h : [1,+∞) → R sono definite da f(x) = log1

x, g(x) = sin

1

x, h(x) = cos

1

xa essere

integrabile in senso generalizzato e

A. solo la f

B. solo la g

C. solo la h

D. nessuna delle tre e integrabile in senso generalizzato

16

9. Quale tra questi teoremi interviene nella dimostrazione della Formula di Newton-Leibnitz?

A. il Teorema di additivita dell’integrale

B. il Teorema di monotonia dell’integrale

C. il Teorema di linearita dell’integrale

D. nessuno dei tre teoremi precedenti

10. Sia A un sottoinsieme di uno spazio normato di dimensione finita. Quale tra le seguentiimplicazioni pu essere correttamente inserita al posto dei puntini?

A compatto ..... A compatto

A. =⇒ ma 6⇐=;

B. ⇐= ma 6=⇒;

C. ⇐⇒;


Questa tabella puoi compilarla per avere un raffronto con la correzione che compare in rete altermine della prova

17

Svolgimento della prova del 30 Gennaio 2017

Esercizio 1 Poiche n2+2n ha la stessa parita di n, la serie e a termini positivi dovex2 − 2

logx> 0,

cioe nell’unione delle soluzioni dei due sistemi{x2 − 2 > 0log x > 0

{x2 − 2 < 0log x < 0.

Il primo sistema fornisce S1 =]√

2,+∞)∩]1,+∞) =]√

2,+∞), il secondo S2 =]0, 1[∩]0,√

2[=]0, 1[ per cui la serie risulta a termini positivi in A =]0, 1[∪]

√2,+∞). Di conseguenza la

serie e a segni alterni in B =]1,√

2[ e a termini nulli, e quindi banalmente convergente inx =√

2.

Il rapporto tra valori assoluti e dato da

|an+1||an|

=n2 log n

(n+ 1)2 log(n+ 1)

∣∣∣∣x2 − 2

log x

∣∣∣∣(n+1)2+2n+2−n2−2n=

n2 log n

(n+ 1)2 log(n+ 1)

∣∣∣∣x2 − 2

log x

∣∣∣∣(2n+3)

.

Il primo fattore converge ad 1 per facili considerazioni sull’ ordine degli infiniti, mentre illimite del fattore geometrico dipende dal valore di x; infatti

limn→+∞

|an+1||an|

= limn→+∞

∣∣∣∣x2 − 2

log x

∣∣∣∣(2n+3)

=

0 se

∣∣∣∣x2 − 2

log x

∣∣∣∣ < 1

1 se

∣∣∣∣x2 − 2

log x

∣∣∣∣ = 1

+∞ se

∣∣∣∣x2 − 2

log x

∣∣∣∣ > 1.

Si tratta quindi di stabilire dove |x2 − 2| < | log x|, e questa e una disequazione che si puorisolvere attraverso il metodo grafico;

i grafici delle due funzioni sono elementari, e si intersecano necessariamente nei tre puntiξ1 ∈]0, 1[, ξ2 ∈]1,

√2[, ξ3 ∈]

√2,+∞).

Pertanto la zona di convergenza assoluta e X =]0, ξ1[∪]ξ2, ξ3[ (dove il grafico nero sta sottoquello rosso), mentre quella di divergenza assoluta e Y =]ξ1, ξ2[∪]ξ3,+∞).

Dunque la serie in Y ∩ A =]ξ1, 1[∪]ξ3,+∞) diverge, in quanto diverge assolutamente ed ea termini positivi.

In Y ∩B =]1, ξ2[ la serie e a termini di segno alterno e assolutamente divergente; poiche

limn→+∞

|an+1||an|

> 1

18

la successione n 7→ |an| e definitivamente crescente, e quindi la serie ricade nelle ipotesi delII Criterio di indeterminatezza; dunque e indeterminata.

Rimane da stabilire il comportamento nei punti ξi dove |ξ2i − 2| = | log ξi|. Di questi ξ1 e ξ3

si trovano in A, e quindix2 − 2

log x= 1, mentre ξ2 ∈ B per cui

x2 − 2

log x= −1.Nel caso di ξ1 e

ξ3 e quindi la serie si riduce a∞∑n=1

1

n2 log n

che rappresenta una serie convergente come conseguenza del Criterio del Confronto, inquanto

1

n2 log n<

1

n2.

Per lo stesso motivo, anche in ξ2 la serie converge, perche si riduce a

∞∑n=1

(−1)n

n2 log n

che per lo stesso motivo risulta assolutamente convergente.

Esercizio 2 Si tratta di una serie geometrica di ragione f(x) e indice di partenza 1. Tale serieconverge solo se la ragione f(x) ∈] − 1, 1[; studiamo quindi intanto dove cio accade. Perquesto si deve studiare qualitativamente il grafico di f(x) = x−3ex; si tratta di una funzionecontinua e definita in tutto R, per la quale si ha

limx→−∞

f(x) = −∞

in quanto l’addendo esponenziale tende a 0, mentre

limx→+∞

x− 3ex = limx→+∞

x

(1− 3ex

x

)= −∞

perche scritto nel secondo modo, diviene il prodotto di due infiniti (il fattore3ex

xe un

infinito per note considerazione sull’ordine dei due infiniti) divergenti con segni discordi.

Calcoliamo la derivata prima: f ′(x) = 1−3ex; questa facilmente si annulla in x = − log 3 ede < 0 per x > − log 3, dunque f e decrescente in [− log 3,+∞) e crescente in (−∞,− log 3].Percio − log 3 e un punto di massimo assoluto; poiche

f(− log 3) = − log 3− 31

3= − log 3− 1 < 0

il codominio di f e dato da (−∞,−1− log 3].

Dunque f(x) non appartiene mai all’intervallo ]−1, 1[, ovvero la serie assegnata nonconvergemai. Dunque non vi e alcun punto xo per il quale la relazione e soddisfatta.

Si osservi che l’impossibilita di determinare una soluzione per l’equazione assegnata potevaessere desunta immediatamente dal fatto che la somma di una serie geometrica di ragioneq ∈]− 1, 1[ e di indice iniziale 1 e data da

S =1

1− q− 1 =

q

1− q

Dunque l’equazione S = −2 conduce facilmente a q = 2, che contraddice tuttavia lacondizione di convergenza della serie.

Esercizio 3 Poiche la derivata di xee e (x+1)ex, il coefficiente angolare della tangente in x = −2e −e−2 e quindi l’espressione della tangente al grafico e data da

t(x) = −e−2(x+ 2)− 2e−2 = −e−2(x+ 4).

19

Essa quindi interseca la tangente nel punto x = −4; in definitiva il solido da cui vienericavato il misurino e ottenuto dalla rotazione del grafico della funzione f : [−4, 0] → Rdefinita da

f(x) =

{−e−2(x+ 4) se −4 ≤ x ≤ −2xex se −2 ≤ x ≤ 0.

Notoriamente il volume del solido e dato dalla formula

V =π

2

∫ 0

−4f2(x)dx

e quindi nel nostro caso sara

V =π

2

[∫ −2−4

e−4(x+ 4)2dx+

∫ 0

−2x2e2xdx

].

Andiamo a calcolare separatamente il valore del secondo addendo in parentesi, attraverso ilcalcolo preliminare dell’integrale indefinito: applicando due volte la Regola di Integrazioneper Parti si ha∫x2e2xdx =

x2e2x

2−∫e2x

2·2xdx =

x2e2x

2−xe

2x

2+

∫e2x

2dx =

{x2e2x

2− xe2x

2+e2x

4+ c, c ∈ R

}.

Dunque

V =π

2

(∫ −2−4

e−4(x2 + 8x+ 16)dx+

[e2x

2

(x2 − x+

1

2

)]0−2

)=

=π

2

{e−4

[x3

3+ 4x2 + 16x

]−2−4

+

[1

4− e−4

2

(4 + 2 +

1

2

)]}=π(−7e−4 + 3)

24∼= 0, 375cc.

Poiche il misurino e ottenuto dal taglio longitudinale di questo solido, il suo volume sara

pari aV

2cioe circa 0,1875 cc.

Il peso dell’olio e dato dal prodotto di questo volume per il peso specifico, cioe Polio = 0, 750 · 0, 1875 ∼= 0, 1406e dunque il peso del misurino e di circa 0,806 grammi.

Infine la tabella delle risposte corrette per i test a risposta multipla e la seguente

20

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova scritta del 17 Febbraio 2017


1. Studiare, al variare di x > 0 il comportamento della serie

∞∑n=1

n+ log n

arctann

(x+ log x

arctanx

)n.

(10)

2. Le palestre. Paola e una giovane neolaureata in Scienze Motorie, che ha trovato lavoro atempo pieno presso una catena di centri fitness. Il suo contratto prevede che Paola si rechi3 volte alla settimana nella palestra di A, dove guadagna giornalmente 40 euro, e 2 voltealla settimana nella palestra di B, dove guadagna 20 euro. Lo schema in figura rappresentala viabilita della zona, ed i costi di trasporto sui vari tratti sono di c1 euro a choilometrosulla tratta AH, c2 sul tratto HB, con c1 > c2.

Ora Paola deve trovare un alloggio P lungo il percorso AHB:

1. esprimere il guadagno netto settimanale in funzione dell’ ascissa di P ;

2. stabilire la location ottimale lungo il percorso.

(12)

3. E noto che ∫ ∞−∞

e−x2dx =

π

2

(anche se la tecnica di dimostrazione e estremamente sofisticata, e fa ricorso a nozionisuccessive al corso di Analisi Matematica I....). Quanto vale allora∫ ∞

−∞e−αx

2dx, α > 0?

E come si comporta la serie∞∑n=1

∫ ∞−∞

e−nαx2dx?

al variare di α ∈]0,+∞). (8)



21


22

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova teorica del 17 Febbraio 2017

Nome e Cognome .....................................................................................................


1. Enunciato e dimostrazione del Teorema di integrabilita delle funzioni monotone;

2. Relazione tra connessione e connessione per poligonali;

3. (Facoltativo) Siano∞∑n=1

an una serie a termini positivi convergente, e f : R→ R una funzione

continua. Data la successione

bn =

∫ an

0f(x)dx

provare che la serie∞∑n=1

bn converge assolutamente.


1. Sia f : [0, 1] ∪ [2, 5]→ R continua ed iniettiva. Qual e l’affermazione impossibile?

A. f e monotona

B. f non e monotona

C. il codominio e convesso

D. nessuna delle precedenti, sono tutte possibili

2. Sia a, b ∈ N+. Perche la somma dei primi an2 + b numeri naturali sia un polinomio in n acoefficienti interi, la condizione a e pari e

A. necessaria ma non sufficiente

B. sufficiente ma non necessaria

C. necessaria e sufficiente

D. ne necessaria ne sufficiente

3. Se n 7→ an e una successione monotona, con 2 ≤ an ≤ 3 definitivamente, e se inf{an, n ∈N} < 2 la successione e per forza

A. crescente o non decrescente

B. decrescente o non crescente

C. costante

D. divergente

4. Sia an ≥ 0 una successione decrescente, e sia

∞∑n=1

an = (sn)n; quale di queste serie e

indeterminata?

A.∞∑n=1

an

B.

∞∑n=1

(−1)nan

C.

∞∑n=1

sn

23

D.∞∑n=1

(−1)nsn

5. Sia n 7→ an e una successione tale che limnαan = 0; quale tra le seguenti affermazioni ecorretta?

A. la serie∞∑n=1

an converge assolutamente solo se α > 1

B. se α > 1 la serie

∞∑n=1

an converge assolutamente

C. se la serie∞∑n=1

an converge assolutamente allora α > 1

D. nessuna delle precedenti affermazioni e corretta

6. Sia I un connesso di R e f : I → R una funzione derivabile in I. Quale tra le seguentiimplicazioni puo essere correttamente inserita al posto dei puntini?

f e crescente in I ..... f ′(x) > 0, per ogni x ∈ Io

A. =⇒ ma 6⇐=;

B. ⇐= ma 6=⇒;

C. ⇐⇒;


7. Se quello rappresentato in figura e il grafico di f , quale tra le seguenti affermazioni ecorretta?

A. La funzione integrale di f e monotona crescente

B. La funzione integrale di f e convessa

C. La funzione integrale di f e una primitiva di f

D. nessuna delle precedenti lo e in quanto f non ha funzione integrale perche non econtinua.

8. Quale tra le seguenti implicazioni puo essere correttamente inserita al posto dei puntini?∫ a

−af(x) = 0 . . . f dispari

A. =⇒ ma 6⇐=;

B. ⇐= ma 6=⇒;

C. ⇐⇒;


9. Se l’ovale rappresenta la famiglia dei sottoinsiemi connessi per poligonali di uno spazionormato, il rettangolo cosa puo rappresentare?

A. la classe dei sottoinsiemi connessi dello spazio

B. la classe dei sottoinsiemi compatti dello spazio

24

C. la classe dei sottoinsiemi stellati dello spazio

D. la classe dei sottoinsiemi convessi dello spazio

10. Data f : [a, b]→ R continua, quale tra le condizioni (I) e (II) non e sufficiente a garantirel’esistenza di una soluzione per l’equazione

f(x) = 0?

(I)

∞∑n=1

(n− 1)f(a) + f(b)

nconverge

(II)

∫ b

af(x)dx = 0

A. la (I)

B. la (II)

C. entrambe


25

Svolgimento della prova del 17 Febbraio 2017

Esercizio 1 Poiche x > 0, il denominatore del fattore geometrico e certamente positivo; anche

il fattoren+ log n

arctann> 0 per ogni n ∈ N+; il segno del termine generale e quindi dato dal

segno del numeratore del fattore geometrico dato dal segno di x + log x; la disequazionex + log x > 0 ovvero log x > −x si puo studiare con l’uso del metodo grafico, e conducefacilmente alla determinazione di un solo punto xo ∈]0.1[ in cui i due grafici si intersecano.Pertanto la serie e

a termini positivi in A =]xo,+∞);

a termini di segno alterno in B =]0, xo[;

a termini tutti nulli ( e quindi banalmente convergente) in C + {xo}.Studiamo la convergenza assoluta attraverso il Criterio del Rapporto Asintotico.

|an+1||an|

=

∣∣∣∣x+ log x

arctanx

∣∣∣∣ · (n+ 1) + log(n+ 1)

n+ log n· arctann

arctan(n+ 1).

L’ultimo fattore converge immediatamente a 1, in quanto numeratore e denominatore

convegono entrambe aπ

2. Per il Principio di Sostituzione degli infiniti si ha

limn→+∞

(n+ 1) + log(n+ 1)

n+ log n= lim

n→+∞

(n+ 1)

n= 1.

In conclusione limn→+∞

|an+1||an|

=


arctanx

∣∣∣∣ e dunque la serie converge assolutamente in

X =

{x > 0 :


arctanx

∣∣∣∣ < 1

}. Per determinare l’insieme X occorre risolvere quindi la

disequazione|x+ log x| < arctanx.

A tale scopo adottiamo nuovamente il metodo grafico; studiamo quindi brevemente la

funzione g(x) = x + log x; poiche g′(x) = 1 +1

xe positiva nel dominio di g, tale fun-

zione e crescente; inoltre limx→0+

g(x) = −∞, mentre limx→+∞

g(x) = +∞. Finalmente si ha

g′′(x) = − 1

x2< 0 e quindi g e concava ed ha un grafico approssimativo di questo tipo

e quindi i due grafici che ci interessano sono rappresentati dalla figura seguente

26

dalla quale si desume immediatamente l’esistenza di due punti di intersezione.

Dunque in X =]x1, x2[ la serie converge assolutamente. In Y =]0, x1[∪]x2,+∞) la seriediverge assolutamente; d’altra parte in Y ∩A =]x2,+∞) essa e anche a termini positivi, equindi semplicemente divergente.

In Y ∩ B =]0, x1[ la serie e a segni alterni, e limn→+∞

|an+1||an|

> 1; quindi n 7→ |an| e de-

finitivamente crescente, e quindi in ]0, x1[ la serie e indeterminata per il II Criterio diindeterminatezza.

Rimane da stabilirne il comportamento nei punti x1 e x2; in x2 ∈ A risultax2 + log x2arctanx2

= 1

e quindi la serie si riduce a

∞∑n=1

n+ log n

arctannche diverge, in quanto il termine generale tende a

+∞.

Infine in x1 risultax1 + log x1arctanx1

= −1 e quindi si tratta di studiare la serie a segni alterni

∞∑n=1

(−1)nn+ log n

arctann; poiche di nuovo lim

n→+∞

n+ log n

arctann= +∞ proviamo a vedere se tale suc-

cessione e almeno definitivamente crescente per poter applicare anche in questo caso il IICriterio di indeterminatezza.

La funzione h(x) =x+ log x

arctanxe derivabile e

h′(x) =

(1 +

1

x

)arctanx− x+ log x

1 + x2

arctan2 x=

x+ 1

xarctanx− x+ log x

1 + x2

arctan2 x

Se ne andiamo a considerare il limite per x → +∞ troviamo che il primo addendo a

numeratore converge aπ

2, mentre il secondo e un infinitesimo, perche per il Principio di

sostituzione, puo essere trattato come il quozientex

1 + x2; infine il denominatore converge

aπ2

4.

In conclusione limx→+∞

h′(x) =2

π. Da questo deduciamo che h′(x) > 0 in una semiretta

destra, e dunque in questa semiretta la funzione h(x) e crescente in conseguenza del Teorema

di Lagrange; allora anche la successione n 7→ 3n+ log n

arctannche e la sua restrizione a N+ e

definitivamente crescente; in conclusione la serie e indeterminata in x1.

Esercizio 2 Il guadagno settimanale e ovviamente dato dalla differenza dal ricavo fisso setti-manale di 160 euro settimanali, meno i costi sostenuti c(x), che sono funzione dell’ ascissadel punto P , per il quale si ha

P = (x, y) =

{(x, 3(1− x)) se x ≤ 1(x, 2(x− 1)) se 1 ≤ x ≤ 2.

27

Intanto facilmente si ottiene AH =√

10, HB =√

5.

Inoltre, se x ≤ 1 cioe se P si trova sul tratto AH si ha

AP =√x2 + ( 6 3− 6 3 + 3x)2 = x

√10

mentre se x > 1, cioe P giace sul tratto HB si ha

PB =√

(2− x)2 + [2− (2x− 2)]2 = (2− x)√

5.

Ora, il calcolo dei costi settimanali sostenuti e dato da

c(x) =

{6c1AP + 4c1PH + 4c2HB se P si trova in AH

6c1AH + 6c2PH + 4c2PB se P si trova in HB

e poiche PH = HB − PH

c(x) =

{6c1√

10x+ 4c1√

10(1− x) + 4c2√

5 se 0 ≤ x ≤ 1

6c1√

10 + 6c2[√

5−√

5(2− x)] + 4c2√

5(2− x) se 1 ≤ x ≤ 2

cioe, dopo le opportune messe in evidenza parziale e semplificazioni

c(x) =

{2c1√

10x+ τ1 se 0 ≤ x ≤ 1

2c2√

5x+ τ2 se 1 ≤ x ≤ 2

dove τ1 e τ2 sono due costanti. Ora il guadagno settimanale e dato da g(x) = 160 − c(x)per cui si trova

g′(x) =

{−2c1

√10 se 0 ≤ x < 1

−2c2√

5 se 1 < x ≤ 2

e poiche per ipotesi c1 > c2, g non puo essere derivabile in x = 1.

Pertanto, dovendo trovare la posizione che massimizza il valore di g, in accordo con ilTeorema di Fermat, si determinano le tre classi di possibili candidati:

C1 = {x|g′(x) = o} =Ø, C2 = {x| 6 ∃g′(x)} = {1}, C3 = {0, 2}.D’altra parte il segno della derivata prima permette di dire, attraverso il Teorema di La-grange, che g e decrescente in [0, 1] ed in [1, 2]. Ed essendo g continua questo implicache g e decrescente in [0, 2], dunque il massimo si trova nel punto A.

Esercizio 3 Con la sostituzione t =√αx si ha dt =

√αdx e quindi∫

e−αx2dx =

∫e−t

2 dt√α

=1√α

∫e−t

2dt.

Quindi ∫ y

0e−αx

2dx =

1√α

∫ √αy0

e−t2dt

per ogni y > 0; cosı∫ ∞0

e−αx2dx = lim

y→+∞

∫ y

0e−αx

2dx = lim

y→+∞

1√α

∫ √αy0

e−t2dt =

1√α· π

4

per simmetria; quindi, ancora per simmetria∫ ∞−∞

e−αx2dx =

π

2√α.

Di conseguenza la serie diviene∞∑n=1

π

2nα2

.

Per linearita questa ha lo stesso comportamento delle serie armoniche generalizzate, ovvero

converge seα

2> 1 cioe α > 2 e diverge per α ≤ 2.

28


29

Corso di laurea triennale in Fisica - Analisi Matematica A (c.l.t. in Fisica)Prova parziale di recupero del 28 Aprile 2017

Svolgere l’esercizio seguente

1. Studiare il campo di esistenza e il comportamento della serie

∞∑n=1

[f(x)]n logn

n+ log n

dove f(x) =2x2 + x

x+ log x.

Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cogno-me e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non piu di due).Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.Non riconsegnare la traccia del compito.


30

Svolgimento.

Esercizio 1 Poiche l’esponente del termine f(x) non e naturale, il termine generale della serie e definitosolo per valori di x per i quali f(x) ≥ 0.Poiche in f(x) compare il termine log x necessariamente deve aversi x > 0, e dunque ilpolinomio a numeratore e per forza positivo.Pertanto f(x) > 0 se e positivo il denominatore, ovvero se x > − log x. Questa disequazionepuo essere facilmente risolta a livello qualitativo attraverso il metodo grafico. Pertanto la

serie e definita per x ∈]ξ,+∞).

Per questi valori f(x) non e mai nulla, e quindi non lo e il termine generale della serie, equesto ci permette di applicare in tutta la semiretta il Criterio del rapporto.

Risultaan+1

an= [f(x)](n+1) log(n+1)−n logn n+ log n

(n+ 1) + log(n+ 1).

L’esponente puo ulteriormente scriversi come

(n+ 1) log(n+ 1)− n log n = n log

(n+ 1

n

)+ log(n+ 1) = log

[(1 +

1

n

)n]+ log(n+ 1).

Ora il primo addendo tende ad 1, in quanto l’argomento del logaritmo e proprio la suc-cessione che definisce il numero di Nepero e, mentre il secondo addendo diverge a +∞.Dunque complessivamente l’esponente diverge a +∞. Invece il secondo fattore convergead 1, perche, applicando il Principio di sostituzione degli infiniti, si possono trascurare anumeratore e a denominatore gli addendi logaritmici, che sono piu lenti rispetto ai propriargomenti.

Il limite che ne risulta e allora un rapporto tra polinomi dello stesso grado e con coefficientedominante pari ad 1; pertanto il limite di questo secondo fattore e 1.In conclusione, ricordando il comportamente delle progressioni geometriche, si perviene a

limn→+∞

an+1

an=

+∞ se f(x) > 11 se f(x) = 10 se f(x) < 1.

Si tratta a questo punto di risolvere l’equazione f(x) = 1 ovvero 2x2+ 6 x =6 x+ log x.

Dovendo di nuovo fare ricorso al metodo grafico, si tratta di capire quale tra le tre situazioniillustrate nella figura e quella che si verifica.

31

La situazione rappresentata dal terzo grafico non puo presentarsi, in quanto se esistesseroi due punti di intersezione x1, x2, in essi sarebbe soddisfatta la condizione ϕ(x) = 0 conϕ(x) = 2x2 − log x.

Potremmo allora applicare a ϕ il Teorema di Rolle in [x1, x2]. Ovvero dovremmo individuarein tale intervallo almeno un punto in cui ϕ′(x) = 0 , cioe

4x− 1

x=

4x2 − 1

x= 0.

L’unica soluzione di questa equazione in ]0,+∞) e tuttavia x =1

2che non e accettabile,

perche il metodo grafico prova che x1 > 1.

Considerazioni analoghe valgono per il secondo grafico, in quanto i due grafici dovrebberointersecarsi in un punto di tangenza comune, che di nuovo risulterebbe algebricamente

determinato come xo =1

2, mentre anche in questo caso e evidente dal grafico che xo > 1.

Pertanto delle tre alternative, l’unica corretta e la prima, ovvero si ha sempre 22 > log x, equindi f(x) > 1 in tutto ]ξ,+∞).

In conclusione la serie diverge ovunque e definita.

32

Corso di laurea triennale in Fisica - Analisi Matematica A (c.l.t. in Fisica)Prova parziale di recupero del 27 Maggio 2017

Svolgere l’esercizio seguente

1. Si consideri la classe delle parabole passanti per il punto (0, 2)

y(x) = ax2 + bx+ 2.

Tra di esse si considerino solo quelle per le quali il punto P ove e minima la somma dellecoordinate xP + yP ha ascissa pari a 1.

Si determini se esiste quella con la massima distanza tra le intersezioni con l’asse delleascisse.

Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate.Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cogno-me e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non piu di due).Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti.Non riconsegnare la traccia del compito.


33

Svolgimento.

– La somma delle coordinate di un qualsiasi punto giacente su una delle parabole consideratee la funzione g(x) = x+ y(x) = x+ ax2 + bx+ 1 = ax2 + (b+ 1)x+ 2.

Quelle per le quali tale funzione ha minimo in un punto di ascissa 1 sono quelle in cuiintanto in 1 si annulla la derivata di g, cioe quelle per cui

g′(1) = 2a+ (b+ 1) = 0

e quindi b = −(1 + 2a). Perche pero in 1 si abbia un minimo, deve ancora accadere che in1 vi sia un cambio di segno, e che la derivata passi da negativa a sinistra di 1 a positiva adestra di 1; dunque occorre che la retta g′(x) = 2ax + (b + 1) abbia coefficiente angolarepositivo.

Ora si tratta di determinare il coefficiente a in modo che la parabola y(x) = ax2−(1+2a)x+2abbia distanza massima tra le intersezioni x1, x2 con l’asse delle x.

Osserviamo che il radicando nella formula che fornisce i valori di x1, x2 e dato da ∆ =(1 + 2a)2 − 8a = 4a2 − 4a+ 1 = (1− 2a)2 ≥ 0.

Cosı la distanza tra le due intersezioni e data da

ϕ(a) = |x1 − x2| =√

∆

2a

(dato che a > 0), e l’esercizio chiede di stabilire se esiste a in modo che sia massimo il valoredi ϕ.

La derivata prima di ϕ e data da

ϕ′(a) =1

2a2

[1

2√

∆(8a− 4)a−

√∆

]=

(8a− 4)a− 2|∆|4a2√

∆=

4a(2a− 1)− 2|2a− 1|4a2√

∆=

=

6 2(2a− 1)2

6 42a2√

∆se a >

1

2

4a(2a− 1) + 2(2a− 1)

4a2√

∆=6 2(2a+ 1)(2a− 1)

6 42a2√

∆]=

4a2 − 1

2a2√

∆se a <

1

2

e pertanto si annulla per a =1

2passando da negativa a positiva. Dunque in a =

1

2la

funzione ϕ presenta un minimo, come d’altronde e ovvio, dato che per tale scelta di arisulta ∆ = 0 e quindi si ha una sola intersezione con l’asse delle x. Inoltre, uno studioqualitativo della funzione ϕ fornisce la presenza di un asintoto verticale per x → 0+ e diun asintoto orizzontale y = 2 per x→ +∞; quindi la funzione ϕ non assume massimo.

Dunque nessuna scelta di a > 0 fornisce una parabola come richiesto.

34

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova scritta del 14 Giugno 2017


1. Studiare il comportamento della serie

∞∑n=2

(√x− e−x2)n

2

3n2 log n

al variare di x ≥ 0.

2. Studiare qualitativamente il grafico della funzione

f(x) =

√log2 x− 2 log x− 3

x2.

(Non e richiesto lo studio della derivata seconda)

3. Mbuti! Vogliamo adattare una sede cilindrica di raggio base pari a ` e altezza L per farneuno stampo per imbuti di plastica: stabilire tra gli imbuti a sezione parabolica, e tra quellia sezione triangolare, quelli di volume massimo, e stabilire quale tra le due forme e quelladi maggior volume.




35

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova teorica del 14 Giugno 2017

Nome e Cognome .....................................................................................................


1. Enunciato e dimostrazione del Teorema dei Valori Intermedi

2. Confronto tra insiemi stellati ed insiemi convessi

3. (Facoltativo) Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di uno spazio normato; si provi che

1. Se A e aperto, anche A+B e aperto;

2. Se A e B sono entrambe chiusi, e B e compatto, allora A+B e certamente chiuso, manon necessariamente compatto;

3. Si fornisca un esempio in cui A e B sono entrambe chiusi, ma A+B non e chiuso.


1. La coppia p = 16, q = 7 e un controesempio a quale delle seguenti affermazioni?

A. Se p e q sono primi, allora sono primi tra di loro

B. Se p e q sono primi tra di loro, allora sono entrambe primi

C. Se p e q sono primi tra di loro, allora almeno uno dei due e primo

D. A nessuna delle precedenti, perche sono vere tutte e tre.

2. Se n 7→ an, n 7→ bn sono due successioni infinitesime e an > 0 quale tra le seguenti successioninon e una forma indeterminata?

A. aan+bn

2n

B.an + bnan − bn

C.1− eanan + bn

D. lo sono tutte e tre

3. Sia f : [a, b] → R una funzione continua con f(a)f(b) < 0. Quale tra le seguenti funzionipuo essere definita in tutto [a, b]?

A. log |f(x)|B.

√|f(x)|

C. nessuna delle due precedenti

D. entrambe le due funzioni in A. ed in B.

36

4. Se I ⊂ R quale tra le seguenti implicazioni puo essere correttamente inserita al posto deipuntini?

I e connesso .... I e convesso

A. =⇒ ma 6⇐=;

B. ⇐= ma 6=⇒;

C. ⇐⇒;


5. Posto C1 = { estremi del dominio di f}, C2 = { punti in cui non esiste f ′}, C3 = { puntiin cui f ′ = 0}, per quale delle funzioni i cui grafici sono rappresentati in figura, risultasoddisfatta l’affermazione Ck ha k punti, per k = 1, 2, 3?

6. Se la serie

∞∑n=1

an converge, la serie

∞∑n=1

xan , x ∈]0,+∞)

A. puo solo convergere

B. puo solo divergere

C. si puo solo dire che non e indeterminata

D. puo avere qualsiasi comportamento

7. Se n 7→ an e una successione in ]0,+∞) tale che limn→+∞

n2an = 1 la serie∞∑n=1

(−1)3n2+2an

A. converge semplicemente ma non assolutamente

B. converge assolutamente (e quindi semplicemente)

C. diverge

D. e indeterminata

8. Se F1 e la funzione integrale di f+ e F2 la funzione integrale di f− quale relazione potrebbeessere falsa?

A. F ′1 + F ′2 = |f |B. F1(a) = F2(a)

C.

∫ b

a|f(x)|dx = F1(b) + F2(b)

D.

∣∣∣∣∫ b

af(x)dx

∣∣∣∣ = F1(b) + F2(b)

9. Sia A un sottoinsieme di uno spazio normato. Quale tra le seguenti inclusioni potrebbeessere falsa?

A. ∂A ⊂ A

37

B. IsA ⊂ ∂AC. ∂A ⊂ A′

D. A′ ⊂ A10. Nella dimostrazione di quale di questi teoremi si fa ricorso al Teorema di Weierstrass?

A. Teorema di Fermat

B. Teorema di Rolle

C. Teorema di Lagrange

D. Teorema di Cauchy

38

Svolgimento della prova del 14 Giugno 2017

Esercizio 1 La serie e a termini positivi se√x > e−x

2e analogamente a termini nulli o negativi

se valgono l’uguaglianza o la disuguaglianza inversa.

Per determinare le zone dove le disuguaglianze sono verificate si fa ricorso al metodo grafico;la funzione x 7→ e−x

2rappresenta la famosa campana di Gauss, mentre il grafico di x 7→

√x

e elementare.

Si ha quindi la situazione grafica illustrata in figura, e quindi la serie risulta

- a termini positivi in A =]xo,+∞);

- a segni alterni (perche n2 ha la stessa parita di n) in B = [0, xo[;

- a termini nulli e quindi banalmente convergente in C = {xo}.Studiamo la convergenza assoluta tramite il Criterio del Rapporto; risulta

|an+1||an|

=3n2 log n

3(n+ 1)2 log(n+ 1)

∣∣∣√x− e−x2∣∣∣2n+1;

il primo fattore converge ad 1, come si puo facilmente verificare, ad esempio applicando

il Teorema dell’Hospital alla frazionelog x

log(x+ 1)e le note considerazioni sul rapporto tra

polinomi; quindi

lim→+∞

|an+1||an|

=

0 se

∣∣∣√x− e−x2∣∣∣ < 1

1 se∣∣∣√x− e−x2∣∣∣ = 1

+∞ se∣∣∣√x− e−x2∣∣∣ > 1

Denotiamo conX = {x ≥ 0|∣∣∣√x− e−x2∣∣∣ < 1}, Y = {x ≥ 0|

∣∣∣√x− e−x2∣∣∣ > 1}, Z = {x ≥ 0|∣∣∣√x− e−x2∣∣∣ = 1}.

Per determinare l’insieme X occorre risolvere il sistema{ √x− e−x2 < 1√x− e−x2 > −1,

ovvero e−x2 − 1 ≤

√x ≤ e−x

2+ 1; di nuovo ricorriamo all’approccio grafico, andando a

stimare l’insieme in cui il grafico di√x si trova compreso tra le due traslate della gaussiana

Dunque la serie converge assolutamente in X = [0, x1[ (che contiene il punto xo nel qualegia sapevamo che la serie converge, perche e tutta nulla), mentre diverge assolutamente inY =]x1,+∞) dove risulta essere anche a termini positivi (perche, come mostra la figura,Y ⊂ B). Quindi in Y la serie diverge.

Infine in x = x1 la serie e a termini positivi, ed il fattore geometrico ha la ragione pari a 1;

dunque la serie si riduce a∞∑n=1

1

3n2 log nche e chiaramente una serie convergente, in quanto

definitivamente3n2 log n > n2

e dunque la serie si puo confrontare con la serie armonica generalizzata, che converge.

39

Esercizio 2 Per determinare il dominio si deve intanto richiedere che x > 0; inoltre occorre che

log2 x− 2 log x− 3 ≥ 0.

Risolviamo la disequazione t2 − 2t − 3 ≥ 0; facilmente si vede che e soddisfatta pert ∈ (−∞,−1[∪]3,+∞). Dunque si richiede che log x ≤ −1 oppure log x ≥ 3, e questo a

sua volta significa x ≤ 1

eoppure x ≥ e3; in conclusione abbiamo trovato

D =

]0,

1

e

]∪ [e3,+∞).

Occorre ora determinare il comportamento de limiti per x → 0+ e per x → +∞ (gli altriestremi sono punti di continuita per f). Si ha

limx→0+


x2= +∞

perche il numeratore tende a +∞ ed il denominatore a 0; quindi l’asse delle y rappresentaun asintoto verticale per il grafico della funzione.

limx→+∞

√(log x

x2

)2

− log x2

x4− 3

x4= 0,

e quindi il grafico presenta anche un asintoto orizzontale (l’asse delle ascisse).

Passando allo studio della derivata prima si ha

f ′(x) =

1

6 2√

log2 x− 2 log x− 3

(6 2 log x

6 x− 6 26 x

)x 62 − 2x


x4=

=−2 log2 x+ 5 log x+ 5

x3√

log2 x− 2 log x− 3.

Per la ricerca dei punti di massimo e di minimo relativo si ha C3 =

{1

e, e3}

e questi sono

anche gli unici punti nei quali potrebbe non esistere la derivata; risulta quindi inutile

40

verificare la derivabilita in essi, perche verranno comunque presi in considerazione comeeventuali punti di massimo o di minimo.

Determiniamo gli zeri della derivata prima. L’equazione f ′(x) = 0 equivale all’equa-zione −2 log2 x + 5 log x + 5 = 0; l’equazione −2t2 + 5t + 5 = 0 ammette le soluzioni

t1, t2 =−5±

√65

−4=

5±√

65

4.

A loro volta le equazioni

log x =5 +√

65

4, log x =

5−√

65

4

forniscono due soluzioni x1 = e5−√65

4 e x2 = e5+√65

4 ; ora5−√

65

4∼= −0, 75 > −1; quindi

x1 >1

e; d’altra parte questo esponente e negativo, quindi x1 < e3. L’esponente

5 +√

65

4> 3

fa sı che x2 > e3.

Per avere f ′(x) > 0 si deve avere−2 log2 x+5 log x+5 > 0, e cio accade per5−√

65

4< log x <

5 +√

65

4.

Dunque si ha

f ′ < 0 se 0 < x < x1 e se x ≥ x2, quindi f e decrescente in

]0,

1

e

]ed in [x2,+∞), e crescente

in [e3, x2]. Dunque e3 ed1

esono punti di minimo e x2 di massimo, ed il grafico qualitativo

ha un andamento del tipo

Esercizio 3 Si tratta in entrambe i casi del volume di solidi ottenuti dalla rotazione attornoall’asse y di un grafico; nel primo caso si fara ruotare il grafico della funzione f(x) = αx2

per 0 ≤ x ≤ `, ma con il vincolo, per il parametro α che α ≥ 0 e che α`2 ≤ L, cioe con

0 ≤ α ≤ L

`2.

Notoriamente tale volume e dato dalla formula

Vpar(α) = 2π

∫ `

0xf(x)dx = 2π

∫ `

0αx3dx =

πα`4

2.

Questa e una funzione lineare di α, con coefficienteπ`4

2> 0 e quindi il volume massimo si

ha in corrispondenza di α =L

`2ed e dato da

V maxpar =

π

2L`2.

41

Nel caso degli imbuti a sezione triangolare, il solido e un cono circolare con raggio base ` ealtezza h variabile in [0, L]. Senza necessita di ricorrere al calcolo integrale, e noto che (V.G.C. Barozzi pag. 334) il volume e dato da

Vtriang(h) =π`2h

3.

Anche in questo caso il volume e una funzione lineare di h e quindi il suo massimo e ottenutoin corrispondenza di h = L e vale

V maxtriang =

π`2L

3<π`2L

2= V max

par .

Quindi l’imbuto piu capiente che si puo costruire utlizzando la sede assegnata e quello a

profilo parabolico ottenuto dalla rotazione del grafico di f(x) =L

`2x2, 0 ≤ x ≤ `.


42

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova scritta del 12 Luglio 2017


1. Studiare, al variare di x ∈]0,+∞) il comportamento della serie

∞∑n=1

n+ en

2n· (x+ log x)n

2. (10)

2. Una casa per Irina. Irina, una giovane immigrata ucraina, e molto contenta perche e stataassunta a tempo indeterminato da una cooperativa di assistenza e sostegno domiciliare. Ilsuo contratto prevede un impegno giornaliero per 2 giorni alla settimana nella localita Adove guadagnera 70 euro al giorno, e per gli altri 3 giorni nella localita B, con un guadagnostavolta di 140 euro al giorno.

La viabilita della zona e quella rappresentata in figura: il tratto AH e tuttavia molto piuagevole del tratto BH; infatti Irina ha calcolato un costo di 0,1025 euro/Km su AH e di0,1132 euro/Km su BH.

Adesso che e tranquilla, Irina cerca casa; supponiamo che possa scegliere liberamente unpunto P = (x, y) sulla spezzata AHB:

i. determinare il guadagno settimanale di Irina in funzione dell’ascissa di P ;

ii. determinare la collocazione ottimale dell’abitazione.

(10)

3. Determinare il codominio della funzione G : [0,+∞)→ R definita da

G(x) =

∫ +∞

√x+1

t− 2

t2(t+ 3)dt. (10)




43

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova teorica del 12 Luglio 2017

Nome e Cognome .....................................................................................................


1. Teorema di regolarita delle successioni monoitone

2. Teoremi di conservazione

3. (Facoltativo) dati A e B aperti e convessi di uno spazio normato, e tali che A ∩ B e unsingoletto. Provare che A ∪ B e connesso per poligonali.

Provare che invece A ∪ B potrebbe non risultare convesso.


1. Siano A e B due sottoinsiemi limitati ed infiniti di R, e sia x = sup(A+B). Nella relazione

x1 + x2 ≤ x

qual e l’unica alternativa sempre possibile?

A. x1 = inf A, x2 = inf B

B. x1 = inf A, x2 = supB

C. x1 = supA, x2 = inf B

D. x1 = supA, x2 = supB

2. Sia n 7→ an una successione reale. Quale implicazione si puo inserire al posto dei puntinitra le affermazioni seguenti?

la successione n 7→ inf{ak, k ≥ n} e definitivamente costante ...... n 7→ an e non crescente

A. =⇒ ma 6⇐=;

B. ⇐= ma 6=⇒;

C. ⇐⇒;


3. Se an > 0 per ogni n ∈ N e se

∞∑n=1

an converge e limn→+∞

bn = b > 0 la serie

∞∑n=1

(−1)nanbn

A. converge semplicemente ma non assolutamente

B. converge assolutamente

C. diverge

D. e indeterminata

4. Se f : [0, 2] → [0, 1] e una funzione continua e iniettiva, con f(0) = 0, qual e la relazionefalsa?

A. 0 e di minimo

B. 1 e di massimo

C. f ammette massimo e minimo


5. Quale di queste funzioni rappresenta un controesempio che prova che non vale l’affermazione

f ′(x) ≤ 0 =⇒ f non crescente?

A. f(x) =1

xper x ∈]0,+∞)

44

B. f(x) =1

xper x ∈ R \ {0}

C. f(x) = |x| − xD. nessuna perche l’affermazione e sempre vera

6. Se f : R → R ammette un minimo in xo, e se g(x) = arctan f(x) quale tra le seguentiaffermazioni e certamente vera?

I. g′(xo) = 0;

II. xo e di minimo per g.

A. la (I)

B. la (II)

C. entrambe


7. Sia f : [0, 1]→ [0, 1] una funzione continua. Qual e l’affermazione falsa?

A. ogni primitiva di f e positiva

B. ogni primitiva di f e monotona non decrescente

C. ogni primitiva di f e derivabile


8. Nella dimostrazione di quale di questi Teoremi non interviene il Teorema di Continuitadella funzione composta?

A. nella Regola della Catena (derivazione della funzione composta)

B. nel Teorema di Continuita della funzione inversa

C. nella Formula di integrazione per sostituzione

D. interviene in tutti e tre

9. Data f : R→ R convessa, quale tra le seguenti implicazioni puo essere inserita al posto deipuntini?

f e convessa ... ... Epif e convesso

A. =⇒ ma 6⇐=;

B. ⇐= ma 6=⇒;

C. ⇐⇒;


10. In uno spazio normato E siano C la classe dei sottoinsiemi chiusi, L quella dei sottoinsiemilimitati. Quale tra le seguenti affermazioni e falsa?

I. C ∩ L e la classe dei sottoinsiemi compatti di E

II. C ∩ L e la classe dei sottoinsiemi sequenzialmente compatti di E

A. la (I)

B. la (II)

C. entrambe


45

Appello del 12 Luglio 2017

Nome e cognome ................................................................................................................................................................................................................................................................

47

Svolgimento della prova del 12 Luglio 2017

Esercizio 1 Poiche n2 ha la stessa parita di n, en+ en

2n> 0 per ogni n ∈ N+, la serie e a termini

positivi in A = {x > 0|x+log x > 0}, a termini di segno alterno in B = {x > 0|x+log x < 0}e a termini nulli, e quindi banalmente convergente, in C = {x > 0|x+ log x = 0}.La funzione f(x) = x + log x si annulla in un solo punto xo ∈]0, 1[ come si puo facilmente

verificare graficamente, ed ha come derivata f ′(x) =x+ 1

xche e positiva nella semiretta

]0,+∞); essa e pertanto crescente, in conseguenza del Teorema di Lagrange.

Cosı si ha f(x) < 0 in ]0, xo[ e f(x) > 0 in ]xo,+∞), cioe A =]xo,+∞) e B =]0, xo[.

Passiamo allo studio della convergenza assoluta: utilizzando il Criterio del Rapporto Asin-totico, occorre calcolare il limite

limn→+∞

|an+1||an|

= limn→+∞

|x+log x|(n+1)2−n2 ·n+ 1 + en+1

2n+1· 2n

n+ en= lim

n→+∞

|x+ log x|2n+1

2·n+ 1 + en+1

n+ en.

Il secondo fattore e un rapporto tra infiniti simultanei, che per il Principio di sostituzionesi riduce a

limn→+∞

n+ 1 + en+1

n+ en= lim

n→+∞

en+1

en= e

e quindi, ricordando il comportamento asintotico delle progressioni geometriche si trova

limn→+∞

|an+1||an|

=

0 se |x+ log x| < 1e

2se |x+ log x| = 1

+∞ se |x+ log x| > 1

Dunque la serie converge assolutamente nell’insieme X = {x > 0 tali che |x + log x| < 1};per determinare tale insieme, completiamo lo studio qualitativo del grafico di f ; si ha

limx→0+

f(x) = −∞, limx→+∞

f(x) = +∞.

Quindi i grafici di f e di |f | sono dati da

Percio e chiaro che esistono x1 < xo e x2 > xo tali che |x+ log x| < 1 in X =]x1, x2[.

L’insieme in cui si ha divergenza assoluta e invece l’unione Y =]0, x1]∪ [x2,+∞) in quantoe

2> 1; dunque in Y ∩A = [x2,+∞) la serie e a termini positivi ed assolutamente divergente,

e quindi divergente. Invece in Y ∩ B =]0, x1] la serie e a segni alterni, ma dal calcolo del

limite del rapporto si deduce immediatamente che definitivamente|an+1||an|

> 1 e quindi che

48

n 7→ |an| e definitivamente crescente; ricordando che il comportamento di una serie nondipende dai primi termini, si puo applicare il II Criterio di Indeterminatezza, e dedurre chein ]0, x1] la serie e indeterminata.

In conclusione la serie e indeterminata in ]0, x1], convergente in ]x1, x2[ e divergente in[x2,+∞).

Esercizio 2 Osserviamo innanzitutto che il guadagno settimanale e ottenuto dalla differenzadella paga settimanale e dei costi settimanali di spostamento. Di queste due quantita laprima non dipende dalla posizione dell’abitazione di Irina, ovvero e data dalla costante G= 560 euro.

Quello che varia in funzione di P invece sono i costi settimanali; denotati per semplicitacon c1, c2 i costi unitari di trasporto sul tratto AH e sul tratto HB, la spesa settimanale edata da

s(P ) =

{4c1AP + 6c1PH + 6c2HB se P si trova sul tratto AH

4c1AH + 4c2HP + 6c1PB se P si trova sul tratto HB

Risulta intanto AH =√

26 e HB =√

2.

Se P si trova su AH si avra

AP = x√

26, PH = (1− x)√

26

mentre se P appartiene al segmento HB e

HP = (x− 1)√

2, PB = (2− x)√

2.

sostituendo queste quantita nella funzione s ed esprimendola in funzione dell’ascissa x sitrova

s(x) =

{2c1√

26(3− x) + 6c2√

2 se 0 ≤ x ≤ 1

4c1√

26 + 2c2√

2(4− x) se 1 < x ≤ 2

mentre la funzione da massimizzare e g(x) = G− s(x). Tale funzione ammette necessaria-mente massimo assoluto in [0, 2] perche e una funzione continua (Teorema di Weierstrass),ed in accordo col Teorema di Fermat, tale massimo assoluto puo appartenere ad uno solodei tre insiemi

C1 = {x ∈ [0, 2] : g′(x) = 0}, C2 = {x ∈ [0, 2] tali che 6 ∃g′(x)}, C3 = {0, 2}.

Poiche la g ristretta ai due intervalli [0, 1] e [1, 2] e lineare e non costante, e immediatoconvincersi che non vi possono essere zeri della derivata prima; infatti

g′(x) =

{2c1√

26 se 0 ≤ x < 1

2c2√

2 se 1 < x ≤ 2

e quindi in x = 1 la derivata destra e la derivata sinistra sono diverse; infatti, non puoaversi c1

√26 = c2

√2 ovvero c1

√13 = c2 perche c1, c2 ∈ Q, mentre

√13 6∈ Q. Cosı

C1 = Ø, C2 = {1}, C3 = {0, 2}.

Per determinare quale tra le localita A, B e H e la piu favorevole basta calcolare il valore dig in corrispondenza dei tre punti 0, 1, 2; risulta s(0) = 2c1

√26 + 6c2

√2 e s(1) = 4c1

√26 +

6c2√

2 > s(0) il che permette gia di scartare la localita A. Infine s(2) = 4c1√

26 + 4c2√

2che risulta essere minore di s(1) quindi la scelta piu conveniente e la localita B.

Esercizio 3 Per x ∈ [0,+∞) la funzione√x+ 1 varia in [1,+∞) dove la funzione integranda

f(t) =t− 2

t2(t+ 3)e definita e integrabile in senso generalizzato (perche e un infinitesimo dle

secondo ordine), pertanto G e definita in [0,+∞).

49

Possiamo scrivere G come

G(x) =

∫ +∞

1f(t)dt− F (

√x+ 1)

dove F e la funzione integrale di f . Cio prova che G e continua, anzi derivabile, su [0,+∞)e quindi il codominio e un sottoinsieme connesso di R.

Per il Teorema di Torricelli-Barrow e la Regola della Catena

G′(x) = −f(√x+ 1)

2√x+ 1

= −√x+ 1− 2

2√x+ 1(x+ 1)(

√x+ 1 + 3)

.

Pertanto G′(x) = 0 se√x+ 1 = 2, cioe se x = 3, che e l’unico punto critico.

Inoltre G′(x) > 0 se√x+ 1 − 2 < 0 cioe se x ∈ [0, 3[ e per il Teorema di Lagrange cio

comporta che G cresce in [0, 3], mentre decresce in [3,+∞). Quindi x = 3 e un punto dimassimo.

Resta da stabilire quanto valgono G(0) e limx→+∞

G(x).

CalcolareG(0) significa calcolare l’integrale s.g.

∫ +∞

1f(t)dt ovvero calcolare lim

b→+∞

∫ b

1f(t)dt.

Cominciamo col calcolare l’integrale indefinito di f . Poiche f e una funzione razionale fatta,occorre deyerminare le costanti A,B,C in modo che

f(t) =A

t+ 3+Bt+ C

t2.

Facilmente si perviene a A = −5

9, B =

5

9, C = −2

3. Dunque per linearita

∫f(t)dt = −5

9

∫dt

t+ 3+

5

9

∫1

tdt− 2

3

∫1

t2dt =

{5

9log

t

t+ 3− 2

3t+ c, c ∈ R

}.

Dunque ∫ +∞

1f(t)dt = lim

b→+∞

5

9log

b

b+ 3− 2

3b+

5

9log 3 +

2

3=

2

3+

5

9log 3 > 0.

Inoltre

G(x) =5

9− log

( √x+ 1

3 +√x+ 1

)− 2

3√x+ 1

+5

9log 3 +

2

3

e quindilim

x→+∞G(x) = 0.

Cosı il grafico approssimativo di G e

50

e quindi il codominio e ]0, G(3)], ovvero

G(3) =

∫ +∞

2f(t)dt =

5

9log

6

5+

1

6.


51

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova scritta del 13 Settembre 2017


1. Studiare, per x > 0 il comportamento della serie∞∑n=1

(√x+ log x)n

n(2n3 + n)!.

2. Si considerino nel piano xy i punti Q = (0, 2) e R = (2, 1), e sia C la curva che rappresental’intersezione della circonferenza centrata in C = (1,0) e di raggio 1 con il primo quadrantedel piano. Determinare le coordinate del punto P ∈ C in modo tale che un triangolorettangolo i cui cateti abbiano le misure di PQ e di PR abbia l’ipotenusa di lunghezzaminima.

3. Data la funzione di Dirichlet f : [0, 1]→ R definita da

f(x) =

{log(1 + x2) se x ∈ Qex(x+ 3) se x ∈ R \Q

i. provare che per ogni x, y ∈ [0, 1] con x ∈ Q e y ∈ R \Q risulta f(x) < f(y);

ii. dedurne che

∗

∫ 1

0f(x)dx =

∫ 1

0log(1 + x2)dx,

∗∫ 1

0f(x)dx =

∫ 1

0ex(x+ 3)dx.

iii. determinare il valore della differenza∗∫ 1

0f(x)dx−

∗

∫ 1

0f(x)dx.




52

Dipartimento di Fisica e Geologia - Analisi Matematica 1 (LT in Fisica)Prova teorica del 13 Settembre 2017

Nome e Cognome .....................................................................................................


1. Teorema di esistenza dell’estremo superiore

2. Insiemi stellati, convessi e connessi: Confronto tra i vari concetti.

3. (Facoltativo) Siano d1, d2 metriche equivalenti su uno stesso insieme X; provare che

i. (X, d1) e (X, d2) hanno gli stessi compatti;

ii. (X, d1) e (X, d2) hanno gli stessi convessi;


1. Con quale dei termini sottoelencati la relazione A e .... di ‘e transitiva?

A. fratello

B. consanguineo

C. gemello

D. genitore

2. La relazione

limn→+∞

pn+ 4

np + cos p= p

A. e vera per p = 0

B. e vera per p = 1

C. e vera per qualsiasi p ∈ ND. e vera per qualche valore di n

3. Sia A ⊂ R connesso, f : A→ R. Date le affermazioni

(I) f e continua

(II) f e iniettiva

(III) f e strettamente monotona

quale tra le affermazioni seguenti e falsa?

A. Se f soddisfa (I) e (II) =⇒ f soddisfa (III)

B. Se f soddisfa (I) e (III) =⇒ f soddisfa (II)

C. Se f soddisfa (II) e (III) =⇒ f soddisfa (I)


4. Sia f : R→ R. Quale di queste affermazioni non e corretta?

A. Se

∞∑n=1

|f(n+ x)| converge, allora

∞∑n=1

f(n+ x) converge;

B. se

∞∑n=1

f(|n+ x|) converge, allora

∞∑n=1

f(n+ x) converge;

C. se

∞∑n=1

f(n+ |x|) converge, allora

∞∑n=1

f(n+ x) converge;

D. sono corrette tutte e tre.

5. Quale tra le seguenti affermazioni e falsa?

53

A. f ′+ ammette punti di discontinuita

B. f ′− ammette punti di discontinuita

C. f ′ ammette punti di discontinuita

D. f ′+ e r′− ammettono lo stesso numero di punti di discontinuita

6. Siano f, g : A → R due funzioni derivabili. Quale implicazion epuo esser inserita al postodei puntini

f ≤ g........f ′ ≤ g′?

A. =⇒ ma 6⇐=;

B. ⇐= ma 6=⇒;

C. ⇐⇒;


7. Sia F la funzione integrale della funzione f : [0, 2]→ R definita da

f(x) =

{1 se x ∈ [0, 1]4 se x ∈]1, 2].

Quale relazione e corretta?

A. F′+(x) = f(x) per ogni x ∈ [0, 2]

B. F′−(x) = f(x) per ogni x ∈ [0, 2]

C. F′(x) = f(x) per ogni x ∈ [0, 2] perche ci sono solo un numero finito di punti di

discontinuita

D. nessuna delle precedenti, perche f non essendo continua non ammette primitive

8. L’insieme dei valori x ∈ R+ nei quali la serie∞∑n=1

(x2 + 2

log x

)nconverge non e

A. connesso

B. aperto

C. limitato

D. nessuna delle precedenti alternative e accettabile perche e un intervallo aperto

9. In uno spazio metricoX, quale tra i termini elencati non puo essree messo al posto dei punti-noi nell’implicazione C compatto =⇒ C...... ?

A. connesso

B. limitato

C. sequenzialmente compatto

D. chiuso

10. Dato un sottoinsieme A di uno spazio topologico, se xo ∈ ∂A quale tra le seguenti relazionie vera?

54

A. xo ∈ AB. xo ∈ A′

C. xo e interno a Ac

D. xo ∈ A

55

Svolgimento della prova del 13 Settembre 2017

Esercizio 1

Esercizio 2 Naturalmente minimizzare la lunghezza dell’ipotenusa, o il suo quadrato e la stessa

cosa: quindi si tratta di cercare il minimo valore, al variare di P ∈ C per QP2

+ PR2.

L’equazione della curva assegnata e data da y(x) =√

2x− x2 (la si ricava dall’equazionedella circonferenza, e dal fatto che per appartenere al primo quadrante deve essere y ≥ 0).

Ora si ha

QP2

= x2 +(√

2x− x2 − 2)2, PR

2= (x− 2)2 +

(√2x− x2 − 1

)2.

Svolgendo i calcoli si determina l’espressione della funzione da minimizzare

f(x) = 9− 6√

2x− x2

ed il minimo va cercato fra le possibili ascisse del punto P e quindi per x ∈ [0, 2].

La funzione e derivabile in tutti i punti interni dell’intervallo, quindi il suo minimo assolutoo e assunto in uno dei due estremi, oppure, in accordo con il Teorema di Fermat, e un puntocritico. Determiniamo quindi i punti critici di f : si ha

f ′(x) =−6(1− x)√

2x− x2.

56

Quindi l’unico punto critico e x = 1; a destra di tale punto la derivata prima e negativa,e quindi f e decrescente in [0, 1] in virtu del Teorema di Lagrange, mentre e crescente in[1, 2]. Di conseguenza x = 1 e un punto di minimo, ed in esso la funzione f assume il suominimo assoluto.

Quindi il punto P richiesto e P = (1, 1) ed il valore minimo per l’ipotenusa e dato da√f(1) =

√3.

Esercizio 3 La funzione x 7→ log(1 + x2) e crescente in [0,1], in quanto la sua derivata vale2x

1 + x2ed e dunque positiva in [0,1]; anche la funzione x 7→ ex(x+ 3) e crescente, perche e

il prodotto di due funzioni crescenti. Di conseguenza il massimo valore assunto dalla primalegge e log 2, mentre in tutti gli irrazionali la f assume valore superiore a 3. Dunque, perogni scelta di x ∈ Q ∩ [0, 1] e di y ∈ (R \Q) ∩ [0, 1] si trova

f(x) ≤ f(1) = log 2 < 3 ≤ f(y)

il che prova la i.

Per provare la ii., cominciamo con l’osservare che dal punto precedente i grafici delleleggi x 7→ log(1 + x2) e x 7→ ex(x + 3) non presentano intersezioni nell’intervallo [0,1];quindi per ogni divisione D dell’intervallo, ed in ciascun intervallo associato a D si halog(1 +x2) ≤ f(x) ≤ ex(x+ 3); quindi in ciascunn intervallo ]xi−1, xi[ associato a D risultanecessariamente

infx∈]xi−1,xi[

f(x) = log(1 + x2i−1) supx∈]xi−1,xi[

f(x) = exi(xi + 3).

Quindi la somma integrale inferiore s(f,D) diviene di fatto una somma integrale inferiore diϕ1(x) = log(1+x2), mentre la somma integrale superiore S(f,D) quella di ϕ2(x) = ex(x+3).Dunque

∗

∫ 1

0f(x)dx = sup

Ds(f,D) = sup

Ds(ϕ1, D) =

∗

∫ 1

0ϕ1(x)dx =

∫ 1

0log(1 + x2)dx

e analogamente∗∫ 1

0f(x)dx =

∗∫ 1

0ϕ2(x)dx =

∫ 1

0ex(x+ 3)dx.

La ii. e quindi provata.

Per determinare la differenza richiesta in iii., alla luce di quanto ottenuto in ii. occorrecalcolare separatamente i due integrali definiti.

Cominciamo con il calcolare l’integrale indefinito

∫log(1 + x2)dx. Utilizzando la formula

di integrazione per parti si ha∫log(1 + x2)dx = x log(1 + x2)−

∫2x2

1 + x2dx = x log(1 + x2)− 2x+ 2

∫1

1 + x2dx =

= x log(1 + x2)− 2x+ 2 arctanx+ c

ed utilizzando la formula di Newton-Leibnitz∫ 1

0log(1 + x2)dx = log 2− 2 +

π

2.

Passiamo all’integrale indefinito

∫ex(x+ 3)dx che e ancora di immediata risoluzione ap-

plicando la formula di integrazione per parti∫ex(x+ 3)dx = ex(x+ 3)−

∫exdx = ex(x+ 3− 1) + c = ex(x+ 2) + c

57

e quindi ancora grazie alla formula di Newton-Leibnitz∫ 1

0ex(x+ 3)dx = 3e− 2.

Infine la differenza tra i due numeri ottenuti fornisce

∗∫ 1

0f(x)dx−

∗

∫ 1

0f(x)dx = 3e− log 2− π

4.


58

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