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Laboratorio I Ia parte

corso di laurea in ottica e optometria A.A.2013/2014

Per contattarmi tel 0498275910 oppure via e-mail Montagnoli@pd.infn.it

Materiale didattico e informazioni nella pagina web http://www.pd.infn.it/~montag/

Testi Consigliati: L.Secco “Gli errori nelle Misure Fisiche” ed.Diade/Universitaria

J.R.Taylor “ Introduzione all’analisi degli errori” ed. Zanichelli

M.Loreti “ Teoria degli errori” e Fondamenti di Statistica”

http://wwwcdf.pd.infn.it/labo/INDEX.html

Scopo ed obbiettivi del corso

•  Imparare a misurare grandezze fisiche con metodi diretti e indiretti •  Verificare alcune leggi fisiche argomento del corso di Fisica •  Comprendere il funzionamento degli strumenti che si usano in modo da

conoscerne i limiti e le possibilita` •  Saper analizzare l’insieme dei valori ottenuti nella misura ed ottenere

un risultato finale. •  stendere una relazione scientifica

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I risultati ottenuti devono essere riproducibili nel tempo, è necessario eseguire la misura nel modo piu` accurato possibile: 1)  Controllare il corretto funzionamento degli strumenti e le condizioni ambientali in cui si svolge l’esperimento

2)  Le misure effettuate in laboratorio devono essere conservate per poter ricostruire in ogni momento, a partire dai dati primari, l’elaborazione e i risultati ottenuti (procurarsi un quaderno dedicato e/o un pc portatile)

3)  Al termine del lavoro sperimentale si deve elaborare una relazione scritta

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Come si fa l’esame? •  Per ogni esercitazione dovra` essere preparata una relazione che

contenga: a) scopo della misura e teoria usata b) breve descrizione dell’apparato sperimentale con i passaggi

sperimentali principali, c) valori delle misure (Tabelle) d) analisi dei dati e risultati finali (formule usate, grafici, tabelle etc.) e) i risultati ottenuti quotati con il corretto numero di cifre significative

e relative unita` di misura devono essere riportati con il loro errore f) breve discussione che spieghi il significato dei risultati ottenuti e

conclusioni che da essi si possono trarre •  L’analisi e interpretazione dei dati sperimentali avra` l’aiuto e

l’assistenza necessaria , verranno illustrati alcuni strumenti informatici come ad esempio excel etc.

•  Prima della consegna definitiva i risultati verranno discussi insieme e in alcuni casi sara` richiesto di ripetere qualche operazione e qualche misura

•  Il voto sara` unico Ia e IIa parte

NB: la relazione è il documento ufficiale con cui si trasmette il risultato della misura ed è tutto quello (o quasi) di cui si dispone per giudicare il vostro lavoro

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Ia Parte

•  Elementi di informatica (uso di Excel per analisi dati) •  Elementi di Teoria degli Errori •  Analisi statistica di una serie di dati •  Misura diretta di resistenze •  Misura indiretta di una resistenza: metodo Volt-

Amperometrico •  Uso dell’oscilloscopio •  Carica e scarica di un condensatore in un circuito RC

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fenomeno

grandezze

ipotesi

esperimento

Ipotesi giusta? LEGGE FISICA

NO

SI

La fisica tratta “cose” che si possono misurare

si schematizza il fenomeno naturale

Metodo scientifico

si individuano le grandezze fisiche essenziali definite in modo operativo

i risultati delle osservazioni vengono trascritti in relazioni matematiche

verifica sperimentale delle ipotesi

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Che cosa si intende per Grandezza Fisica

•  Definizione operativa di una grandezza fisica (GF) Una GF e` definita dall’insieme di operazioni che devono

essere eseguite per ottenere la sua misura. •  Nessuna misura puo` essere libera da incertezze e` fondamentale saper stimare tali incertezze e ridurle al minimo •  La misura e` possibile se

–  Confrontando due grandezze omogenee sappiamo indicare quale e` maggiore minore o uguale all’altra

–  Sappiamo sommare grandezze omogenee (la somma non e` necessariamente una somma algebrica)

–  Abbiamo scelto una grandezza omogenea da usare come unita` di misura con i suoi multipli e sottomultipli

•  Dal confronto tra la grandezza misurabile G e l’unita` di misura scelta u si ottiene un numero n=G/u

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Grandezza fisica → Proprietà misurabile

Misura di una grandezza: •  mediante un dispositivo sperimentale •  in confronto con un’altra grandezza omogenea di riferimento

costante e riproducibile

numero + unità di misura

Stabilire un sistema di unità di misura = fissare le grandezze fondamentali e il valore dei loro campioni unitari

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Grandezza fisica Simbolo Unita` nel SI Simbolo dell'unità SI

Lunghezza L,l metro m

massa m chilogrammo kg

intervallo di tempo t secondo s

Intensità di corrente I,i Ampere A

temperatura T Kelvin K

quantità di sostanza n mole mol

intensità luminosa Iv candela cd

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Metodi di misura di una GF

•  Diretto - confronto diretto con l’unita` di misura scelta (misura di una lunghezza con un metro, misura di una massa con una bilancia a

bracci uguali..) •  Con strumenti tarati

-  viene posta una corrispondenza biunivoca fra gli spostamenti dell’indice su una scala graduata dello strumento ed i valori della grandezza che hanno determinato gli spostamenti (misura di una massa con una bilancia automatica, misura di una corrente con un amperometro etc.)

•  Indiretto -  Utilizzare leggi fisiche che legano le grandezze da misurare con altre di cui

sappiamo farne le misura (misurare la velocita` attraverso una misura di tempo e spazio etc.)

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Esperimento

a) dati relativi a misure precise ma poco accurate

b) dati relativi a misure accurate ma poco precise

Precisione :indica quanto il valore della misura sia ripetibile Accuratezza: indica quanto il valore della misura è vicino al valore adottato o valore previsto (m)

€

Δxi = xi −m

Precisione e accuratezza

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Esempio: Quanto piu` gli eventi sono raggruppati quanto piu` la serie è precisa non importa quanto il centro del gruppo si avvicini al centro del cerchio , questo fattore è determinato dall'accuratezza.

Serie di lanci precisa e accurata

Serie di lanci precisa ma non accurata

Serie di lanci accurata ma non precisa

Serie di lanci non accurata e non precisa

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Ogni strumento ha una SENSIBILITA’, legata alla più piccola variazione della grandezza che è possibile misurare con lo strumento stesso

Chi è più sensibile?

Esperimento

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Ogni strumento ha una SENSIBILITA’, legata alla più piccola variazione della grandezza che è possibile misurare con lo strumento stesso

Chi è più sensibile?

Esperimento

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Che cosa limita la misura di una GF •  Il limite al numero di decimali con cui si indica il risultato di una misura

e` dato dalla possibilita` di confrontare i sottomultipli della unita` di misura scelta con la grandezza in esame

•  Sensibilita` di uno strumento o del metodo di misura: e` l’inverso del minimo valore Δx della grandezza da misurare che puo` essere apprezzato con quello strumento o quel metodo

€

S =1Δx

Se Δx=1mm o 0.5µA o 2g allora S=[1mm]-1, [2(µA) -1], [0.5g-1] Per gli strumenti tarati con una scala graduata si definisce un parametro caratteristico: costante di merito dello strumento o classe dello strumento

€

K =ΔxΔy

Dove Δx e` la variazione della GF da misurare e Δy lo spostamento corrispondente dell’indice sulla scala graduata

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Come migliorare la sensibilita` di uno strumento: Il nonio

•  Come funziona il nonio Per misurare con una precisione di 1/10 mm con una riga graduata

che ha una sensibilita` S=1mm-1

riga

nonio

mm

Si considera una lunghezza pari a 9 tacche di una riga (9mm)..

..e si divide questa lunghezza in 10 parti

9/10

1/10 2/10 3/10 4/10 5/10 6/10 7/10 8/10 9/10

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Quindi se l’estremita` della lunghezza l da misurare cade all’interno di una divisione della riga si va a cercare la prima divisione del nonio che coincide con una della riga pricipale ad esempio:

0 1

x

X=0.1mm

0 1

x

2

11 12 13

L=11.2mm

In generale si considerano N-1 divisioni della scala principale ognuna di ampiezza d (es d=1mm) e si divide la lunghezza D =(N-1) d del nonio in N parti. Qualora la n-esima divisione del nonio coincide con una divisione della scala principale si ha:

€

x = h − h'= nd − n (N −1)dN

=ndN

d h

h’

x

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Nel caso del nonio circolare che si usera` nell’esperienza del reticolo di diffrazione…

•  N=30, d=1o •  N-1=29 E quindi si puo` apprezzare una frazione di grado pari a 2’ infatti

€

ndN

=n1o

30=n60'30

= n2'

In altri casi anziche` N-1 divisioni della scala principale se ne considerano 2N-1. Ad esempio nel calibro ventesimale si considerano 39 divisioni della scala principale (d=1mm) come lunghezza del nonio e questa viene divisa in 20 parti allora ogni divisione del nonio vale

€

(2N −1)dN

=2N −1N

mm

N = 20 e 2N −1= 39

x = h − h'= 2nd − 2N −1N

nd = n 120mm

NB: in generale la frazione minima apprezzata e` data da d/N, il nonio si dira` decimale, ventesimale etc. a seconda che N=10, 20 ..rispettivamente

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Errori di misura

La misura della stessa grandezza fisica ripetuta piu` volte puo` dare risultati diversi questo succede quando lo strumento o il metodo di misura ha una sensibilita` molto elevata.

Dobbiamo quindi capire quale risultato finale della misura quotare e a quante cifre decimali ci si deve limitare

Gli errori che intervengono nella misura di una grandezza fisica possiamo distinguerli in

•  sistematici: confronto con un campione non corretto, uso di strumenti non tarati. Possono essere eliminati cambiando strumento o metodo

•  casuali: condizioni sperimentali fluttuanti, soggettivita` dell’osservatore, grandezza fisica non ben definita

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o o

t=0

t=tf

Considero come tempo di caduta T il valore tf che si ottiene facendo partire il cronometro al momento del rilascio di un sasso e fermandolo quando sento il tonfo prodotto dal sasso quando arriva sul fondo. Cosi` facendo compio due errori: • trascuro il tempo di reazione del cronometrista: T= tf - treaz

• trascuro il tempo di ritorno dell’eco: T= tf - L/v

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Esiste però anche un secondo tipo di errore, detto ERRORE ACCIDENTALE o CASUALE che: ° non può essere ‘corretto’ ° dipende dalla sensibilità dello strumento ed è responsabile della VARIABILITA’ delle misure!

Se faccio un’unica misura, il suo ‘errore’ sarà dato dalla sensibilità dello strumento, se ne faccio tante otterrò in generale valori (lievemente) diversi. Tra i tanti valori trovati come scelgo quello ‘giusto’ o ‘vero’?

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Gli errori casuali falsano il risultato ora in un senso ora nell’altro e non sono eliminabili

In una misura sono presenti entrambi i tipi di errori casuali e sistematici, ripetendo piu` volte una misura se gli errori sono soprattutto di tipo casuale si possono compensare almeno in parte.

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Misuro 10 volte la lunghezza d della diagonale di un foglio A4 con un doppio decimetro (sens = 1 mm) 36.6 36.3 36.4 36.3 36.4 36.5 36.4 36.5 36.3 36.4 (misure in cm)

d

3 4

2 1

36.3 36.4 36.5 36.6

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Come stimo il valore ‘vero’? Si può fare in molti modi: ° con la MODA, che è il valore più frequente (36.4 cm) ° con la MEDIANA, che è il valore intermedio (36.4 cm) ° con la MEDIA, che è il baricentro della distribuzione X=(3 x 36.3 + 4 x 36.4 + 2 x 36.5 + 1 x 36.6) /N= 36.41cm N=10

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Come stimo la variabilità della misura? Posso calcolare gli scarti delle singole misure rispetto alla media di=(xi-X) e quindi sommare gli scarti: Σdi= (3 x (36.3 - X) + 4x (36.4 - X) + 2 x (36.5 - X) + 36.6 - X) /9 = 0 (assurdo….i valori sono distribuiti! )

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Oppure posso considerare i quadrati degli scarti e farne la radice quadrata: (σ: standard deviation o scarto quadratico medio)

σ =3d1

2+4d22+2d3

2+d42

9d1 = 36.3− Xd2 = 36.4− Xd3 = 36.5− Xd4 = 36.6− X

σ = 0.1 cm

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σ: standard deviation o scarto quadratico medio Caratterizza l’incertezza da associare alla singola misura σ2 si indica con il termine varianza

σ =1

N −1di2

i∑

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l’errore da assegnare al valore medio : σx= σ / √N (σx: standard error of mean o deviazione standard della media) e la precisione della misura con ε = σx / X Il risultato della nostra misura si riporta come: (X ± σx) unità di misura dunque, nel caso specifico d = ( 36.41 ± 0.01 ) cm (N.B. l’errore è 10 volte più piccolo della sensibilità dello strumento!) ε = 0.03 %

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Questo risultato è del tutto generale: normalmente i risultati di una misura si possono descrivere tramite una curva che si chiama curva ‘gaussiana’ o ‘normale’ o degli errori, il cui massimo si trova in X e la cui larghezza a metà altezza FWHM =2.35 σ con σ=SD.

3 4

2 1

36.3 36.4 36.5 36.6

Ae− (x−X )2 / 2σ 2

Distanza interquartile un altro modo di indicare la variabilità della misura

•  Per individuare la Mediana si ordinano per valori crescenti gli n valori xi e la Mediana è definita come quel valore che suddivide questo insieme in 2 parti ugualmente numerose.

•  Nulla vieta di suddividere l’insieme degli n valori xi in 4 parti ugualmente numerose

•  Individuata la mediana (Me=q2) si considera l’insieme dei valori di x<Me (x>Me) e in questo sottoinsieme si individua la sua mediana q1 (q3)

•  I tre valori così ottenuti q1, q2, q3 vengono detti quartili Questo procedimento si applica ad un insieme ordinato costituito da un numero qualsiasi n di valori xi Si definisce distanza interquartile Δ=q3-q1 che per definizione elimina il 25% dei valori più bassi e il 25% di quelli più alti. 30

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Studio degli errori casuali e probabilita`

•  Trattazione degli errori casuali o accidentali Definiamo frequenza relativa di un evento f il rapporto tra il numero dei casi

in cui l’evento si e` verificato e il numero totale di prove fatte (esempio del lancio della moneta )

Si definisce invece la probabilita` di un certo evento p il rapporto del numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili purche` tutti i casi considerati siano ugualmente possibili (grandezza nota a priori)

Nel caso del lancio di una moneta la probabilita` di avere l’evento testa T e`

€

p(T) =12

= 0.5

Per il T. di Bernoulli si puo` affermare che per un numero di prove molto elevato f→p

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Eventi composti

Esempio: se lancio due volte una moneta qual’e` la probabilita` di avere in entrambi i casi testa

Casi possibili : TT, TC, CT, CC Casi favorevoli : TT Probabilita` p(TT)=1/4 Possiamo considerare invece il verificarsi di TT come un evento

composto E che risulta dal concorso di due eventi in tal caso piu` in generale possiamo distinguere i casi in cui gli eventi siano

•  Compatibili (il verificarsi di uno non esclude l’altro) e possono essere

1)  Indipendenti: il verificarsi di uno non altera la probabilita` che si verifichi l’altro

2)  Dipendenti •  Incompatibili (il verificrsi di uno esclude il verificarsi dell’altro)

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•  Eventi compatibili e indipendenti (AND) •  Eventi compatibili e dipendenti Dove p(E2/E1) e` la probabilita` che si verifichi ` E2 quando si e` gia` verificato E1 Esempio estrazione dei primi due numeri del lotto qualsiasi essi siano •  Eventi incompatibili (OR)

€

p(E) = p(E1) ⋅ p(E2) ⋅ ....

Nel caso dei due lanci p(TT)=p(T)•p(T)=1/4

Esempio del lancio di due dadi identici ect.

€

p(E) = p(E1) ⋅ p(E2 /E1)

€

p =190

⋅189

€

p(E) = p(E1 oppure E2 ....) = p(E1) + p(E2) + ..

Esempi: lancio di una moneta la probabilita` di avere T o C p=1/2+1/2=1

Un’urna che contiene a sfere bianche, b nere e c di altri colori

La probabilita di estrarre una sfera bianca o nera p=a/(a+b+c) +b/(a+b+c)

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Distribuzione Binomiale Supponiamo di voler saper in un gioco di testa (T) e croce (C) la probabilita in n lanci di avere a teste

Per fissare le idee consideriamo n=5 e a=2

Supponiamo che nei 5 lanci si verifichi TCTCC

Evento composto formato da eventi compatibili e indipendenti

(T e C sono Comp. e indip. in lanci distinti ma incompatibili nello stesso lancio)

€

p(T e C e T e C e C) = p(T) ⋅ p(C) ⋅ p(T) ⋅ p(C) ⋅ p(C)sappiamo che p(T o C) = p(T) +p(C) =1 e quindi posto p(T) = p si ottienep(T e C e T e C e C) = pa (1− p)n−a

Non abbiamo richiesto in quale ordine devono uscire i due eventi T quindi dobbiamo considerare tutte le possibili combinazioni in cui si possono avere due T in 5 lanci ossia

TCTCC, TTCCC, TCCTC, TCCCT etc e quindi sommare le probabilita` che competono a tutti i possibili diversi modi

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Gli addendi saranno quanti sono i modi diversi con cui n posti si possono occupare con a elementi di un tipo e n-a di tipo diverso

Combinazioni di n oggetti distinti di classe a In generale si avra` Che nel caso dell’esempio specifico da come risultato P(2)=10•(1/2)2•(1-1/2)3=5/16

€

na"

# $ %

& ' =

n!a!(n − a)!

€

p(a) =na"

# $ %

& ' pa (1− p)n−a

Distribuzione Binomiale

Un problema risolvibile con una binomiale e` del tipo : in n eventi qual’e` la probabilita` che si verifichi un certo risultato A e non il suo contrario B

A puo` essere un certo valore di una misura e B tutti i valori diversi da questo

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•  La distribuzione Binomiale Bn,p(ν) da la probabilita` di ottenere ν successi in n prove, quando p e` la probabilita` di successo di una singola prova

Esempio: 4 lanci di una moneta.

Determinare il numero di teste con maggiore probabilita`.

la probabilita` di ottenere 0 testa, 1 testa, 2,3,4 e fare un grafico di P(ν) vs. ν

€

P(ν teste in 4 lanci) =4ν

#

$ % &

' (

12#

$ % &

' (

4

€

P(0) =40"

# $ %

& '

12"

# $ %

& '

4

, P(1) =41"

# $ %

& '

12"

# $ %

& '

4

,.... P(ν)

ν