Corso di GEOTECNICA PIANI E TENSIONI PRINCIPALI Docente:...
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PIANI E TENSIONI PRINCIPALIPIANI E TENSIONI PRINCIPALI
Preso un punto P all’interno di un corpo continuo,
le tensioni sui possibili elementi superficiali infinitesimi passanti per P (tensione risultante e
relative componenti normale e tangenziale sull’elemento superficiale considerato) variano in
generale da elemento a elemento.
Si può dimostrare che nella stella di piani
passanti per P esistono almeno 3 piani, ortogonali fra loro, su cui agiscono
esclusivamente tensioni normali. Questi 3 piani sono detti principali; le tensioni che agiscono su di essi sono dette tensioni principali
1
= tensione principale maggiore (agisce sul piano principale maggiore 1
)
2
= tensione principale intermedia (agisce sul piano principale intermedio 2
)
3
= tensione principale minore (agisce sul piano principale minore 3
)
P
1
1
1
2
2
2
3
3
3
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Piani
e tensioni principali1
-
STATI TENSIONALISTATI TENSIONALI
1
= 2
= 3
STATO TENSIONALE ISOTROPO
tutti i piani della stella sono principali e la tensione (isotropa)
è eguale in tutte le direzioni. (tensione isotropa)
i
= j
k
STATO TENSIONALE ASSIAL‐SIMMETRICO
esiste un fascio di piani principali (che ha per asse la
k
) sui quali agiscono tensioni uguali (i
= j
) e un piano principale ad essi ortogonale (sul quale agisce la
k
)
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Stati
tensionali2
-
Poiché
gli
stati
tensionali
critici
per
i
terreni
interessano,
nella
maggior
parte
dei
problemi pratici, piani ortogonali
al
piano
principale intermedio,
ovvero
appartenenti
al
fascio
avente
per
asse
la
direzione
della
tensione
principale
intermedia
2
,
è
possibile
ignorare
il
valore
e
gli
effetti
della
tensione
principale
intermedia
e
riferirsi
ad un sistema piano di tensioni
STATO TENSIONALE PIANO
CONVENZIONE SEGNI:
positiva se di
compressione;
positiva
se produce rotazione anti orariarispetto ad un punto mediatamente esterno al piano di giacitura
positivo in senso antiorario
Piano principale maggiore,
Piano principale minore
Piano
P3
3
11
1
3
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Stato
tensionale piano 3
-
Piano principale maggiore,
Piano principale minore
Piano
P3
3
11
1
3
Si
consideri,
nell’intorno
del
punto
P,
un
elemento
prismatico
triangolare
di spessore
unitario
e
lati
di
dimensioni
infinitesime,
disposti
parallelamente
ai
due piani principali, 1
e 3
, e ad un generico piano
passante per P inclinato di
rispetto a 1
.
CERCHIO DI MOHRCorso di GEOTECNICA
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Cerchio
di Mohr 4
-
re,
3
1
1
2313
31 22
cos
sin
Dall’equilibrio alla traslazione
dell’elemento prismatico nelle direzioni di 1
e 3
:
Equazione di un cerchio nel piano (, )
0sindlcosdlcosdl0cosdlsindlsindl
1
3
Riportando in un sistema di assi cartesiani ortogonali
(piano di Mohr) le tensioni normali, , lungo l’asse X e le tensioni tangenziali, , lungo l’asse Y, al variare di , si
ottiene un cerchio (cerchio
di Mohr) con:
RAGGIO: CENTRO :R = (1
–
3
)/2 C
[(1
+ 3
)/2; 0]
che rappresenta il luogo geometrico delle condizioni di tensione su tutti i piani del
fascio.
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5Cerchio
di Mohr
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O C
3
1
A B
D
E
Y
X
Se si assume il piano principale maggiore 1
come
riferimento per individuare l’orientazione dei piani del fascio (la cui traccia è
l’asse X)
A (3
,0)
rappresenta il polo
Se si assume il piano principale minore 3
come
riferimento per individuare l’orientazione dei piani del fascio (e la cui traccia coincide con l’asse X), il
polo coincide con B (1
,0)
Def. Si definisce polo
o origine dei piani il punto tale che qualunque retta uscente da
esso interseca il cerchio in un punto le cui coordinate rappresentano lo stato tensionale agente sul piano che ha per traccia la retta considerata.
OSS. L’angolo di inclinazione
tra due piani (BÂD) è
metà
dell’angolo al centro del
cerchio di Mohr
che sottende i punti rappresentativi delle tensioni agenti sui due piani
(BĈD).
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6Cerchio
di Mohr
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RESISTENZA AL TAGLIORESISTENZA AL TAGLIO
Per le verifiche di resistenza
delle opere geotecniche è
necessario valutare quali sono gli
stati di tensione massimi sopportabili dal terreno in condizioni di incipiente rottura.
Nella Meccanica dei Terreni
si parla di resistenza al taglio, perché
nei terreni, essendo
di natura particellare, le deformazioni (e la rottura) avvengono principalmente per scorrimento relativo fra i grani.
La resistenza al taglio di un terreno in una direzione
è la massima tensione tangenziale,
f
, che può essere applicata al terreno, in quella direzione, prima che si verifichi la
“rottura”.
La rottura
(ovvero quella condizione cui corrispondono deformazioni inaccettabilmente
elevate):
può essere improvvisa e definitiva, con perdita totale di resistenza (come avviene generalmente per gli ammassi rocciosi)
oppure può avere luogo dopo grandi deformazioni plastiche, senza completa perdita di resistenza (come si verifica spesso nei terreni)
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Resistenza al taglio 7
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In linea teorica
se si utilizzasse per l’analisi delle condizioni di equilibrio e di rottura dei terreni un modello discreto, costituito da un insieme di particelle a
contatto, si dovrebbero valutare le azioni mutue intergranulari (normali e tangenziali alle superfici di contatto) e confrontarle con i valori limite di
equilibrio. Tale approccio, allo stato attuale e per i terreni reali, non è applicabile.
In pratica
si utilizza un modello continuo, costituito, nell’ipotesi di terreno saturo, dalla sovrapposizione nello stesso spazio di un continuo
solido
corrispondente alle particelle di terreno, ed un continuo fluido, corrispondente all’acqua che occupa i vuoti interparticellari.
OSS: l’hp di mezzo continuo è
accettabile anche perché
la dimensione caratteristica dei fenomeni di interesse pratico è molto maggiore di quella
della microstruttura, ovvero dei grani e dei pori.
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Resistenza al taglio 8
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Le tensioni che interessano il continuo solido sono le tensioni efficaci, definite dalla differenza tra le tensioni totali e le pressioni interstiziali (I parte del principio delle tensioni efficaci):
’ =
‐
u
La resistenza al taglio dei terreni è legata alle tensioni efficaci (II parte del principio delle tensioni efficaci):
f
= f (’ )
“Ogni effetto misurabile di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio
è
attribuibile esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci”
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Resistenza al taglio 9
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CRITERIO DI MOHRCRITERIO DI MOHR‐‐COULOMBCOULOMB
Il più
semplice ed utilizzato criterio di rottura per i terreni, è il criterio di Mohr‐Coulomb
(‐Terzaghi):
ʹtanʹʹcʹtanuʹc f,nf
la tensione tangenziale limite di rottura in un generico punto P su una superficie di scorrimento potenziale interna al terreno è data dalla somma
di due termini:
il primo, detto coesione
(c’), è
indipendente dalla tensione efficace (’) agente nel punto P in direzione normale alla superficie
il secondo è
proporzionale a ’ mediante un coefficiente d’attrito tan’. L’angolo
’
è
detto angolo di resistenza al taglio.
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Criterio
di Mohr‐Coulomb 10
-
Nel
piano
di
Mohr
il
criterio
di
rottura
di
Mohr‐Coulomb
è
descritto
da
una retta,
detta
retta
inviluppo
di
rottura,
che
separa
gli
stati
tensionali
possibili
da quelli privi di significato fisico in quanto incompatibili con la resistenza del materiale.
ʹtanʹʹc f,nf
’
c’
’STATI TENSIONALI
IMPOSSIBILI
STATI TENSIONALI POSSIBILI
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11Criterio
di Mohr‐Coulomb
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Un cerchio di Mohr
tutto al di sotto
della retta inviluppo di rottura indica che la condizione di
rottura non è
raggiunta
su nessuno dei piani passanti per il punto considerato, mentre non sono
fisicamente possibili
le situazioni in cui il cerchio di Mohr
interseca
l’inviluppo di rottura.
c’f
’
’
inviluppo di rottura
rottura
no rottura
Impossibile
1,f’
O3,f
n,f
’’
Se
nel
punto
P
si
verifica
la
rottura,
lo
stato
di
tensione
corrispondente (supposto
per
semplicità
piano)
sarà
rappresentato
nel
piano
’
da
un
cerchio di Mohr
tangente
all’inviluppo di rottura
stato tensionale relativo al punto P in cui si verifica la rottura
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12Criterio
di Mohr‐Coulomb
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(Nel punto P) l’inclinazione del piano di rottura
(sul quale agiscono la tensione efficace normale ’n,f
e la tensione tangenziale f
) rispetto al piano principale maggiore (sul quale agisce ’1,f
) è pari a: f
= /4 + ’/2
Oc’
D
3,f
n,f
ff
f
’’’
’
’/2
A
inviluppo di rotturatraccia del pianodi rottura
F C B
1,f’
f f1
3‘f
‘,f
‘n,,ff
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13Criterio
di Mohr‐Coulomb
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OSSERVAZIONI
I. Il criterio di rottura di Mohr‐Coulomb
non dipende dalla tensione principale intermedia, ’2,f
c’3,f
2,f
’’
’
C B
’’
1,f
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14Criterio
di Mohr‐Coulomb
-
Oc’
D E
3,f
fmax
f
’’’
’
’/2
A
inviluppo di rotturatraccia del pianodi rottura
F C B
1,f’n,f
II.
La
tensione f
non
è il
valore
massimo
della
tensione
tangenziale,
che
è invece pari al raggio del cerchio di Mohr:
'3'1max 21
ed agisce (E) su un piano ruotato di /4 rispetto al piano principale maggiore (e quindi di ’/2
rispetto al piano di rottura)
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15Criterio
di Mohr‐Coulomb
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III. I parametri di resistenza al taglio c’
e tan’
non sono caratteristiche fisiche del terreno, ma sono funzione di molti fattori (storia tensionale,
indice dei vuoti, tipo di struttura, composizione granulometrica, etc.).
IV. L’inviluppo a rottura può presentare c’
= 0.
V. L’inviluppo di rottura reale non è
necessariamente una retta
(anzi, è marcatamente curvilineo in prossimità
dell’origine degli assi); spesso
tale approssimazione è
accettabile solo in un campo limitato di tensioni.
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16Criterio
di Mohr‐Coulomb
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17
VI. Come conseguenza del principio delle tensioni efficaci:
‐
per i terreni a grana fine
(consolidazione):
‐
per i terreni a grana grossa
(nei quali a variazioni di tensione totale corrispondono immediatamente analoghe variazioni di tensione efficace)
la
resistenza al taglio, e quindi le condizioni di stabilità, non variano nel tempo dopo l’applicazione del carico.
a. se le tensioni efficaci crescono (es. rilevato), anche la resistenza al taglio cresce e le condizioni di stabilità
più
critiche sono a breve termine,
b. se le tensioni efficaci decrescono (es. scavo) anche la resistenza al taglio decresce e le condizioni di stabilità
più
critiche sono a lungo termine
Criterio
di Mohr‐Coulomb
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18Resistenza al taglio
Si Si
Si supponga di deformare progressivamente a taglio semplice con tensione normale (verticale) costante z
un campione A di sabbia sciolta o di argilla normalmente consolidata o debolmente sovraconsolidata (OCR ≤
2), ed un
campione B della stessa sabbia ma addensata o della stessa argilla ma fortemente sovraconsolidata (OCR > 2)
H0
X
Z
x
z
x
z
Compressione
X
Z
xz
x
z
Espansione
Campione A Campione B
Poiché
in condizioni di deformazione di taglio semplice le deformazioni orizzontali sono nulle (x
= y
= 0), la deformazione volumetrica coincide con la deformazione verticale. (v
= z
= z/H0
). La deformazione di taglio è la distorsione angolare
zx
= x/H0
.
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19Resistenza al taglio
zx
cs
p picco
stato critico
Campione A
Campione B
zx
v
Campione A
Campione Bvzx
co
mpr
essio
nees
pans
ione
zx
v
zx
v
dd
tan
a)
b)
zx
e
Campione A
Campione B
c)
indice dei vuoti criticoecs
Per un assegnato valore della tensione normale z
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20Resistenza al taglio
Il campione A
(sabbia sciolta o argilla normalmente consolidata o debolmente
sovraconsolidata (OCR ≤
2)) al crescere della deformazione di taglio mostra un
graduale incremento della tensione di taglio fino a stabilizzarsi su un valore cs
, detto
di stato critico, e una progressiva riduzione di volume (le deformazioni v
sono positive
in compressione) fino a stabilizzarsi su un valore costante per grandi deformazioni. Conseguentemente l’indice dei vuoti, ovvero lo stato di addensamento, si riduce
progressivamente dal valore iniziale fino a stabilizzarsi per grandi deformazioni su un valore costante ecs
detto di stato critico.
Il campione B
(sabbia addensata o argilla fortemente sovraconsolidata (OCR > 2)) al
crescere della deformazione di taglio mostra inizialmente un rapido incremento della tensione di taglio fino a raggiungere un valore di picco, p
, per deformazioni ancora
relativamente piccole, poi un decremento progressivo fino a stabilizzarsi sul valore critico cs
, poco superiore o eguale al corrispondente valore critico del campione A. La
deformazione volumetrica al crescere della deformazione di taglio è
inizialmente di
compressione (riduzione di volume) ma poi si inverte di segno e diviene negativa, ovvero di espansione, con aumento di volume e di indice dei vuoti fino al valore critico
ecs
.
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21Resistenza al taglio
La condizione di stato critico
(cs
, ecs
), caratterizzata da tensione di taglio e volume costanti al crescere della deformazione di taglio, è
comune ai due
campioni A e B, ovvero è
indipendente dallo stato iniziale.
Al crescere della tensione z
i campioni di tipo A (sabbia sciolta o argilla normalmente consolidata o debolmente sovraconsolidata (OCR ≤
2)
mostrano un progressivo incremento della tensione massima di stato critico e della deformazione volumetrica di compressione.
Al crescere della tensione z
i campioni di tipo B (sabbia addensata o argilla fortemente sovraconsolidata (OCR > 2) mostrano un picco di resistenza
sempre meno accentuato, fino a scomparire per sufficientemente elevati valori di z
, un incremento della tensione di stato critico e una riduzione del comportamento dilatante
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22Resistenza al taglio
incremento della tensione normale efficace z
zx
incremento della tensione normale efficace z
tipi campione A
tipi campione B
zx
v
co
mpr
essio
nees
pans
ione
b)
zx
e
d)
(ecs)1
a)
123
4
5
6
7
89
tipi campione A
incremento della tensione normale efficace z
tipi campione B
(ecs)2
tipi campione B
tipi campione A
z
tipi campione A
tipi campione Bc)
1 23
4
5
6
7
8
9
'cs
Riportando in grafico nel piano di Mohr
i punti corrispondenti allo stato critico dei
campioni di tipo A e B ed ai picchi di resistenza dei campioni di tipo B si osserva che i punti corrispondenti allo stato critico sono ben allineati su un’unica retta passante per
l’origine, mentre i punti corrispondenti alla resistenza di picco definiscono una linea curva con concavità
verso il basso che termina sulla linea retta precedentemente
individuata.
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23Resistenza al taglio
Per i campioni di tipo B, al crescere del rapporto di
sovraconsolidazione OCR, a parità
di tensione normale z
, il picco di resistenza e il
fenomeno della dilatanza sono più
accentuati.
zx
(OCR)2
zx
v
co
mpr
essio
nees
pans
ione
b)
a)
(OCR)1(OCR)2 > (OCR)1
(OCR)1
(OCR)2
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24Resistenza al taglio
I risultati ottenuti sono interpretabili alla luce della legge dell’attrito di Coulomb, opportunamente adattata.
Si consideri un blocco (ad es. un mattone) appoggiato su un piano orizzontale e soggetto al peso proprio W e ad una forza orizzontale,
progressivamente crescente.
W
H
RN = W
T = H
'
A
Per la legge dell’attrito di Coulomb, la forza H per la quale il blocco inizia a
muoversi è:
H =
W
f
= H/A
(’n
)f
= W/A
= tan’
ff
= (= (’’
nn
))
ff
tantan’’
La legge dell’attrito di Coulomb richiede che sia definito il piano di scorrimento, che
nell’esempio coincide con il piano
orizzontale di appoggio del blocco.
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25Resistenza al taglio
La legge dell’attrito di Coulomb può essere estesa al comportamento dei terreni, che sono mezzi particellari con resistenza di tipo attritivo, ma per i
terreni la superficie di scorrimento non è
definita.
a a
Fila 2
Fila 1
Fila 2
Fila 1
T
T
- V/V
N
N
Aumento di volume (dilatanza) in un mezzo
particellare ideale
Piano di scorrimento incipiente: a) orizzontale b) inclinato
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26Resistenza al taglio
Per il caso delle sfere nello stato addensato (piano di scorrimento incipiente inclinato) vi è
analogia con il blocco spinto su un piano inclinato.
Fx
= 0 H – N sen
–
N cos
= 0
Fz
= 0 N cos
–
N sen
‐
W = 0
e risolvendo per H e W si ottiene:
H = N (sen
+
cos)
W = N (cos
‐
sena)
tanʹtan1tanʹtan
tan1tan
sencoscossen
WH
' R
W
TN
H
-
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27Resistenza al taglio
Per analogia, nel caso delle sfere e passando dalle forze alle tensioni, si ha:
ʹtantanʹtan1tanʹtan ʹ
nʹnf
' n
'
O
B
C
2 1
A
p )1
p )2
inviluppo a rottura di Coulomb lineare
inviluppo a rottura di Coulomb curvilineo per la dilatanza
Il rigonfiamento è
ostacolato dalla tensione normale ’n
e si riduce al crescere di essa. A
parità
di stato di addensamento iniziale, il valore dell’angolo di
dilatanza
diminuisce al crescere della tensione normale
’n
. Ciò spiega la curvatura dell’inviluppo di resistenza di
picco per terreni addensati (sabbie) o fortemente
sovraconsolidati (argille).
-
CRITERIO DI TRESCACRITERIO DI TRESCA
Qualora il terreno pervenga a rottura in condizioni non drenate
(in genere nei terreni
coesivi e quando la velocità
di applicazione del carico è tale da impedire lo
smaltimento delle sovrappressioni interstiziali) e quando non è nota l’entità
delle
sovrappressioni u, la resistenza al taglio
può essere determinata ed espressa solo in
termini di tensioni totali, secondo il criterio di Tresca:
uf c
Nel piano di Mohr
il criterio di Tresca è descritto da una retta orizzontale (u
= 0), che
inviluppa i cerchi di rottura espressi in termini di tensioni totali:
)0(c uuf
cu
dove cu
è la resistenza al taglio non drenata.
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Criterio
di Tresca 28
-
COEFFICIENTI DI SKEMPTONCOEFFICIENTI DI SKEMPTON
IPOTESI: Elemento di terreno poco permeabile, saturo e sotto falda all’interno di un deposito omogeneo con superficie del piano campagna
orizzontale
u/w
STATO TENSIONALE: assial‐simmetrico (le tensioni geostatiche verticale e orizzontali sono tensioni principali e le tensioni principali orizzontali sono tra
loro uguali; cioè
1
= v
e 2
= 3
= h
, con v
> h
).
CONDIZIONI DI
CARICO E DI
FALDA: nessun carico applicato e condizioni idrostatiche
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Coefficienti
di Skempton 29
-
Coefficienti di Skempton
Si applica, in modo istantaneo
in superficie, un carico (infinitamente esteso in direzione
orizzontale),
che
produce
istantaneamente,
nell’elemento
di
terreno
considerato,
un
incremento
assial‐simmetrico
dello
stato
tensionale
totale
(1
e
2
=
3
)
e
un
incremento
della
pressione
interstiziale
(u),
che
possono
essere
scomposti
(nell’hp
1
> 3
) in:
=
u/ w
u /b w
+ u /a w
incremento
delle
tensioni
isotropo,
cioè
eguale
in
tutte
le
direzioni,
di intensità
3
(con incremento di pressione interstiziale ub
)
incremento
deviatorico,
agente
solo
in
direzione
verticale,
di
intensità
(1
–
3
)
(con incremento di pressione interstiziale ua
)
u = ua
+ ub
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30Coefficienti
di Skempton
-
Si definiscono coefficienti di Skempton
i rapporti:
3
bu
B)( 31
a
uA
BAA
e complessivamente l’incremento di pressione interstiziale
conseguente all’applicazione del carico risulta:
313 ABu
313 ABu oppure:
Tali coefficienti possono essere determinati in laboratorio
con prove triassiali consolidate non drenate.
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31Coefficienti
di Skempton
-
Il coefficiente B dipende dal grado di saturazione
del terreno
a) terreno saturo
(Sr
= 1): un incremento di tensione totale isotropa in condizioni non drenate non produce alcuna deformazione in base al principio delle tensioni efficaci, non produce neppure variazioni di
tensione efficace (’ = 0)
0Grado di saturazione, Sr
Coe
ffici
ente
B d
i Ske
mpt
on
00.2
0.2
0.4 0.6 0.8 1.0
0.4
0.6
0.8
1.0
= ’ + u = u 1
uB
b) terreno asciutto
(Sr
= 0): un incremento di tensione totale isotropa non produce
variazioni delle pressioni interstiziali (u = 0):
= ’ + u = ’ 0
uB
c) terreno insaturo
(0
-
COEFFICIENTE A DI
SKEMPTON:
Nell’ipotesi di terreno saturo, in condizioni non drenate, il coefficiente A non è
unico per lo stesso terreno, ma dipende (a differenza di B, sempre
uguale a 1) dall’incremento di tensione deviatorica
(1
–
3
) e dallo stato tensionale iniziale.
f31
fff )(
uAA
1Grado di sovraconsolidazione, OCR
Coe
ffici
ente
A
di S
kem
pton
-0.52 3 8 10 20
0
0.5
1.0
4 6
f
Af
dipende da numerosi fattori tra cui OCR;
‐
per argille NC varia di norma tra 0.5 e 1‐
per argille fortemente OC è negativo.
valore a rottura:
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33Coefficienti
di Skempton
-
TIPO DI
TERRENO:
campioni ricostituiti di materiali sabbiosi;
campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine.
La dimensione massima dei grani di terreno deve essere almeno 6 volte inferiore all’altezza del provino.
PROVA DI TAGLIO DIRETTOPROVA DI TAGLIO DIRETTO
SCOPO DELLA PROVA: determinare le caratteristiche di
resistenza al taglio
del terreno
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Prova di taglio diretto 34
-
Il provino è inserito in un telaio metallico
diviso orizzontalmente in 2 parti uguali; è racchiuso tra due piastre metalliche forate
e nervate, carta filtro e pietre porose.
Telaio
Pietreporose
Capitello
Il tutto è posto in una scatola metallica
piena d’acqua
che può scorrere a velocità
prefissata
su un binario trascinando la
parte inferiore del telaio; la parte superiore è bloccata da un contrasto
collegato ad un dinamometro per la misura delle forze orizzontali.
Sulla testa del provino si trova un
capitello che consente di trasformare un carico verticale in pressione uniforme.
Provino
ATTREZZATURA: il provino è un prisma a sezione quadrata (lato = 60100 mm >> altezza = 2040 mm per velocizzare il processo di consolidazione e ridurre l’attrito laterale)
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35Prova di taglio diretto
-
PROCEDURA DI
PROVA
(la prova è eseguita su almeno 3 provini):
I. fase di consolidazione
È
applicata in modo istantaneo e mantenuta costante nel tempo (in
genere 24h) una forza
verticale N
che dà
inizio ad un processo di consolidazione edometrica
(essendo il provino
saturo confinato lateralmente)
Si misurano gli abbassamenti del provino
, H, nel tempo, controllando in tal modo il
processo di consolidazione e quindi il raggiungimento della pressione verticale efficace media:
(A = area trasversale del provino)AN
n '
II. fase di taglio
Si fa avvenire lo scorrimento orizzontale
(prova a deformazione controllata) della parte
inferiore della scatola a velocità
costante
(2∙10‐2mm/s per sabbie; 10‐4
mm/s per argille)
molto bassa
(per evitare l’insorgere di sovrappressioni interstiziali non misurabili)
producendo quindi il taglio del provino nel piano orizzontale medio (in condizioni drenate).
Si controlla lo spostamento orizzontale relativo d
e si misurano la forza orizzontale T(t), che si sviluppa per contrastare lo scorrimento, e le variazioni di altezza del provino.
Corso di GEOTECNICA
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36Prova di taglio diretto
-
T
Tf
rf
Tf
INTERPRETAZIONE DELLA PROVA:
a) I parametri di consolidazione
(es. cV
) del terreno, limitatamente al carico N applicato
(e alla pressione di consolidazione raggiunta, ’), sulla base dei quali può essere tarata la velocità
di scorrimento nella fase successiva.
A partire dalle misure effettuate, durante la prova, di:
H (t) durante la fase di consolidazione edometrica
(t), T(t) e H(t) durante la fase di taglio
si possono ricavare:
b) Si determina la forza resistente di
picco
Tf
oppure, quando non si possa
individuare chiaramente un valore di picco della resistenza, la forza T
corrispondente ad un prefissato spostamento, r
(pari al 20% del lato
del provino) a partire dalle misure di T(t) diagrammate rispetto allo
scorrimento
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37Prova di taglio diretto
-
c) La tensione normale e di taglio che agiscono sul piano di rottura (orizzontale) sono
rispettivamente:
AN'
n'
f,n A
T ff
(coordinate di un punto del piano di Mohr
appartenente alla linea di inviluppo a rottura)
Ripetendo la prova con differenti valori di N
(almeno 3, scelti tenendo conto della
tensione verticale efficace geostatica) si ottengono i punti sperimentali che sul piano di Mohr
permettono di tracciare la linea di inviluppo a rottura:
'tan'' cf e determinare c’
e ’
3f
'3n
'2n
'1n
2f
1f
Spostamento,
'
'
'3n '2n'1n
c'
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38Prova di taglio diretto
-
All’inizio della fase di taglio (fine consolidazione) lo stato tensionale è di tipo geostatico (assial‐simmetrico con piani orizzontale e verticale principali);
a rottura il piano orizzontale e verticale non sono più
piani principali.
STATO TENSIONALE:
a
e b
= inclinazione dei p.p. minore e maggiore
rispetto all’orizzontale
Spostamento,
f
1,03,0
’n c’
’’’ ’K n0 == ’’ ’
n3f
1f
POLO
Stato tensionale iniziale
Tensione sul piano
di rottura
Stato tensionale a rottura
‘
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39Prova di taglio diretto
-
1. l’area A del provino varia
(diminuisce) durante la fase di taglio (per cui bisogna tenerne conto nel calcolo delle tensioni a rottura, ’n,f
e f
)
2. la pressione interstiziale non può essere controllata
(se si generano sovrappressioni non possono essere quantificate)
3. non sono determinabili i parametri di deformabilità
4. la superficie di taglio è
predeterminata
e, se il provino non è omogeneo, può non essere la superficie di resistenza minima
LIMITI DELLA PROVA DI
TAGLIO DIRETTO :
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40Prova di taglio diretto
-
TIPO DI
TERRENO: può essere eseguita su campioni ricostituiti di materiali sabbiosi
e su
campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine.
SCOPO DELLA PROVA: determinare le caratteristiche di resistenza al taglio
e di rigidezza
del terreno.
MODALITÀ
DI
PROVA:
la prova in modalità
standard
si esegue a
compressione su provini saturi, consolidati o meno,
in condizioni drenate o non drenate, a deformazione
controllata (altre modalità di prova prevedono, ad
esempio, differenti percorsi di carico o provini non
saturi).
PROVE TRIASSIALI STANDARDPROVE TRIASSIALI STANDARDCorso di GEOTECNICA
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Prove triassiali 41
-
FORMA E DIMENSIONE DEI PROVINI: i provini di terreno hanno forma cilindrica
con rapporto
altezza/diametro generalmente compreso tra 2 e 2.5. Il diametro è di norma 38 o 50mm
(e
deve essere almeno 10
volte maggiore della dimensione massima dei grani).
STATO TENSIONALE: è di tipo assial‐ simmetrico e rimane tale durante tutte
le fasi della prova, quindi le tensioni principali agiscono sempre lungo le
direzioni assiale e radiali del provino
1
= a
2
= 3
= r
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42Prove triassiali
-
Carico assiale
Misuratore delcarico assiale
Misuratore deglispostamenti verticali
Misuratore delVolume d’acqua
scambiato
Provino
Misuratore dellaPressione di cella
Misuratore dellapressione interstiziale
APPARECCHIATURA: si compone di una cella,
interamente riempita d’acqua, messa in pressione,
che consente di trasmettere al provino, contenuto al suo interno, una pressione
isotropa
(misurabile).
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Docente: Giovanni Vannucchi
43Prove triassiali
-
Carico assiale
Misuratore delcarico assiale
Misuratore deglispostamenti verticali
Misuratore delVolume d’acqua
scambiato
Provino
Misuratore dellaPressione di cella
Misuratore dellapressione interstiziale
Il provino, appoggiato su un piedistallo rigido, riceve il
carico assiale (misurabile) tramite una piastra di carico
di
contrasto ed è isolato dall’acqua contenuta nel
cilindro tramite una membrana che lo avvolge
lateralmente, mentre un circuito di drenaggio
regola il
flusso d’acqua (in entrata o in uscita) nella sola direzione
verticale e consente di misurare, quando è aperto, il
volume d’acqua in uscita, quando è
chiuso, la pressione
interstiziale interna.
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44Prove triassiali
-
Carico assiale
Misuratore delcarico assiale
Misuratore deglispostamenti verticali
Misuratore delVolume d’acqua
scambiato
Provino
Misuratore dellaPressione di cella
Misuratore dellapressione interstiziale
Il piedistallo su cui appoggia il provino, avanza, mediante
una pressa, con una velocità costante (con la possibilità
di
misurare gli abbassamenti).
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45Prove triassiali
-
Particolare della cella triassialeCorso di GEOTECNICA
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46Prove triassiali
-
Con l’apparecchio triassiale standard è
quindi possibile:
esercitare una pressione totale isotropa
sul provino tramite l’acqua di cella;
fare avvenire e controllare la consolidazione isotropa del provino misurandone le
variazioni di volume
(= quantità
di acqua espulsa dai tubi di drenaggio);
deformare assialmente il provino a velocità
costante
fino ed oltre la rottura
misurando la forza assiale di reazione corrispondente;
controllare (e misurare) le deformazioni assiali del provino
(tramite la velocità
di
avanzamento della pressa) durante la compressione assiale;
misurare il volume di acqua espulso o assorbito dal provino
durante la
compressione assiale a drenaggi aperti;
misurare la pressione dell’acqua nei condotti di drenaggio
(assunta uguale alla
pressione interstiziale, supposta uniforme, nei pori del provino) durante la compressione a
drenaggi chiusi;
mettere in pressione l’acqua nei condotti di drenaggio, creando una egualepressione interstiziale nel provino (contropressione o back pressure)
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47Prove triassiali
-
TIPI DI
PROVA:
Le prove triassiali
standard
sono condotte secondo tre modalità
:
prova triassiale consolidata isotropicamente
drenata
(TxCID),
prova triassiale consolidata isotropicamente
non drenata
(TxCIU),
prova triassiale non consolidata non drenata
(TxUU).
e i risultati vengono interpretati ipotizzando un comportamento deformativo isotropo del terreno.
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48Prove triassiali
-
Per tutti e tre i tipi di prova, il provino è saturato mediante l’applicazione (per un
certo tempo) di una tensione isotropa di cella c,s
e di una poco minore contropressione (back‐pressure, b.p.)
dell’acqua interstiziale u0
(per non avere consolidazione e variazione di tensione
efficace).
FASE DI
SATURAZIONE
(fase 0)
Per verificare l’avvenuta saturazione:1. a drenaggi chiusi si incrementa la pressione di
cella di una quantità
e si misura il conseguente aumento di pressione interstiziale, u
2. se B = u/ > 0,95 si considera
il provino saturo3. se invece risulta B
-
La prova si svolge in due fasi.
I. FASE DI
CONSOLIDAZIONE
Il provino, precedentemente saturato, è
sottoposto a compressione isotropa mediante un incremento della pressione
di cella, a drenaggi aperti fino a completa consolidazione.
La pressione di consolidazione, ’c
, è pari
alla differenza fra la pressione di cella (totale), c
, e la contropressione
interstiziale, u0
:
’c
= sc
– u0
Il processo di consolidazione è controllato
attraverso la misura nel tempo del volume di acqua espulso (= V)
cc
c
c
u0
drenaggio aperto volume H2
0 espulso = V
PROVA TxCID
pressione di cella
pressione interstiziale a
fine consolidazione
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50Prova TxCID
-
II. COMPRESSIONE ASSIALE
Ancora a drenaggi aperti, si fa avanzare il pistone a velocità
costante e
sufficientemente bassa
da non produrre sovrappressioni interstiziali all’interno del
provino (ad es. inversamente proporzionale al tempo di consolidazione).
Durante la fase di compressione assiale:•
si controlla la variazione nel tempo
dell’altezza del provino, H•
si misurano:
la forza assiale
N esercitata dal pistone sul provino il volume d’acqua espulso o assorbito dal provino
V (corrispondente
alla sua variazione di volume nell’ipotesi di provino saturo)
r
= cr
a
= c
+ N/A
c
u0
drenaggio aperto volume H2
0 scambiato = V
N/A
c
u
= pressione
interstiziale, costante
c
= pressione di cella, costante
N/A = Pressione
trasmessa dal pistone
A
= area della sezione
orizzontale
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51Prova TxCID
-
Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino:
INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI:
la deformazione assiale media,a
= ‐
H/H0 la deformazione volumetrica media, V
= ‐
V/V0 la deformazione radiale media,r
= (V
– a
) / 2
(essendo
V
= a
+ 2∙r
)
la tensione assiale media, a
= N/A + c
(totale)
a
’ = a
– u0
(efficace) la tensione radiale,r
= c
(totale)’r
= c
– u0
= ’c
(efficace) la tensione deviatorica
media,
q = a
– r
= ’a
– s’r
= N/A, la pressione media,
p = (sa
+2 r
)/3 (totale)p’
= p – u0
(efficace)
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52Prova TxCID
-
La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno consolidati con 3 diversi valori di ’c
=
c
– u0
a
v
3f
’ ‐ ’ = ( ‐ )a r a ra r ’ ’ ) ’c (3)
’c (2)
’c (1)
2fa r ’ ’ )
1fa r ’ ’ )
1)
Dalla curva (a
‐
r
) ‐
a
si determina la tensione deviatorica
a rottura
(a
‐r
)f
come valore di picco o come valore corrispondente ad un
prefissato livello della deformazione assiale media, a
.
2) Durante la fase di compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione
principale minore, 3
) rimane costante (uguale alla pressione di cella c
, costante) e quindi:
3f
(a rottura) = rf
== rc
(a fine consolidazione) = c
(di cella)’c(3)
> ’c(2)
> ’c(2)
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53Prova TxCID
-
3) Poiché
durante la fase di compressione assiale non si sviluppano sovrappressioni
(prova drenata), cioè
u0
= cost, anche la pressione radiale efficace rimane costante:
’3f
(a rottura)
= ’rf
= rf
‐
u0
= rc
– u0
(= ’rc
, a fine consolidazione) = c
– u0
= ’c
(pressione di consolidazione)
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54
4) Invece varia progressivamente la pressione assiale
(= tensione principale maggiore, 1
) , sia totale
(1
= a
) sia efficace
(’1
= ’a
)
1f
(a rottura)
= 3f
+ (a
‐
r
)f
= c
+ (a
– r
)f
≠
1c
Prova TxCID
-
Una volta note le tensioni principali efficaci (assiali e radiali), a fine consolidazione e a rottura:
si
possono
costruire
i
cerchi
di
Mohr
corrispondenti
in
termini
di
tensioni efficaci
che
rappresentano
l’evoluzione
degli
stati
tensionali
durante
la
compressione assiale, fino (ed oltre) la rottura (percorso tensionale).
’1c
= ’3c
= ’c
’3f
= ’c
’1f
= ‘c
+ (a
–
r
)f
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55Prova TxCID
-
O
’’f
’
Stato tensionale efficacea rottura
Stato tensionale efficace a fine
consolidazione
(inizio fase di
compressione)
’1f
= ’af’1c
= ’3c
= ’3f
= ’rf
I) Il cerchio di Mohr
che rappresenta lo stato tensionale efficace iniziale
della fase di compressione (= fine consolidazione isotropa) è
rappresentato da un
punto
di coordinate [’c, 0]
II) I cerchi di Mohr
che rappresentano lo stato tensionale efficace durante l’applicazione del carico assiale
e fino a rottura passano tutti per questo
stesso punto.III) Il cerchio di Mohr
che rappresenta lo stato tensionale efficace a rottura
ha un diametro pari a (’a
‐’r
)f
= (a
‐
r
)f
, passa per i punti di coordinate [’3f
, 0] e [’1f
, 0] ed è tangente alla retta di equazione:
'tan'''tan' cucf
STATO TENSIONALE:
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56Prova TxCID
-
Per determinare l’equazione
dell’inviluppo a rottura, e quindi i parametri di resistenza al taglio ’ e
c’, per il campo di tensioni indagato, bisogna ripetere la prova su almeno tre provini
dello stesso terreno, a
differenti valori della pressione efficace di consolidazione
(scelti
tenendo conto della tensione efficace geostatica)
CAMPO D’APPLICAZIONE:
L’esecuzione della prova TxCID
richiede un tempo tanto maggiore quanto minore è la
permeabilità
del
terreno,
ed
è
pertanto
generalmente
riservata
a
terreni
sabbiosi
o
comunque abbastanza permeabili
O
’’f
’
c’’rf(1)’rf(2)’rf(3) ’af(1) ’af(2) ’a(f3)
N.B. Se il terreno è normal‐consolidato
c’
= 0
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI
c’
E ’:
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57Prova TxCID
-
PROVA PROVA TxCIUTxCIULa prova si svolge in due fasi.
I. FASE DI
CONSOLIDAZIONE
II. COMPRESSIONE ASSIALEA drenaggi chiusi
e collegati a trasduttori che
misurano la pressione dell’acqua u
nei condotti di
drenaggio e quindi nei pori del provino, si fa avanzare il pistone a velocità
costante, anche relativamente
elevata. Il provino, essendo saturo, non subirà
variazioni di
volume.
la forza assiale
N esercitata dal pistone sul provino
la pressione interstiziale
u all’interno del provino
Durante la fase di compressione assiale:
•
si controlla la variazione nel tempo dell’altezza del
provino, H•
si misurano:
r
= cr
c
u
drenaggio chiuso(misura di u )
u
= pressione
interstiziale, variabile
c
= pressione di cella, costante
N/A = Pressione
trasmessa dal
pistone
Il provino, precedentemente saturato, è
sottoposto ad una fase di consolidazione
a drenaggi aperti, identica a quella della prova TxCID.
a
= c
+ N/AN/A
cA
= area della
sezione orizzontale
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58Prova TxCIU
-
Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di
calcolare, fino ed oltre la rottura del provino:
INTERPRETAZIONE DEI RISULTATIINTERPRETAZIONE DEI RISULTATI
la deformazione assiale media,a
= ‐
H/H0 la deformazione radiale media,r
= (–
a
) / 2 (v
= a
+ 2r
= 0) la
pressione
(o la sovrappressione)
interstiziale, u (u)
la tensione totale radiale media, r
= c
(costante durante la prova)
la tensione deviatorica
media, q = a
– r
= ’a
– ’r
= N/A la tensione totale assiale media,
a
= N/A + r le tensioni efficaci medie assiali
e radiali,’a
= a
– u; ’r
= r
– u le pressione medie efficaci e
totalip =
(a
+2 r
)/3; p’
= p – u il coefficiente A di Skempton,
A = A = u/(a
– r
)
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59Prova TxCIU
-
La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno consolidati con 3 diversi
valori di ’c
=
c
– u0
.
1) Dalla curva (a
‐r
)‐a
si determina
la tensione deviatorica
a rottura
(a
‐r
)f
come valore di picco o
come valore corrispondente ad un prefissato livello della
deformazione assiale media, a
.
2) Durante la fase di compressione assiale
la pressione radiale totale (= tensione principale minore, 3
) rimane costante
(uguale alla pressione di cella c
,
costante) e quindi:
3f
(a rottura) = rf
= rc
(a fine consolidazione) = c
(di cella)
’c(3)
> ’c(2)
> ’c(1)
’
’ ’
u
b)
a
a
r
3f 3c
2c
1c
’
’
’ ’a ra r ’ ’ )
2fa r ’ ’ )
1fa r ’ ’ )
’ ’ ’ 3c
2c1c
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60Prova TxCIU
-
3) Poiché
durante la fase di compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova
non drenata), la pressione interstiziale u varia rispetto al valore iniziale u0
, e così
anche la pressione radiale efficace varia:
’3f
(a rottura) = ’rf
= rf
‐
uf
= c
– uf
(≠
’rc
, a fine consolidazione, = c
– u0
)≠
’c
(pressione di consolidazione)
4) La pressione assiale (= tensione principale maggiore, 1
) , sia totale (1
= a
) sia
efficace (’1
= ’a
) variano:’1f
(a rottura) = ’3f
+ (a
‐
r
)f
5) Una volta calcolate le tensioni principali efficaci (assiali e radiali), a fine
consolidazione e a rottura:
1f
(a rottura) = 3f
+ (a
‐
r
)f
= c
+ (a
–
r
)f
si possono costruire i cerchi di Mohr
corrispondenti in termini di pressioni efficaci.
’1c
= ’3c
= ’c ’3f
= c
– uf ’1f
= ’3f
+ (a
‐
r
)f
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61Prova TxCIU
-
II. I cerchi di Mohr
che rappresentano lo stato tensionale efficace durante
l’applicazione del carico assiale fino a rottura (percorso tensionale) non passano per uno stesso punto.
I. Il cerchio di Mohr
che rappresenta lo stato tensionale efficace iniziale della fase di
compressione (= fine consolidazione isotropa) è
rappresentato da un punto
di
coordinate [’c, 0].
Stato tensionale efficacea rottura
’1c =’3c’3f =’rf ’1f =’afO ’
Stato tensionale efficacea fine consolidazione
Stati tensionali efficaci intermedi
III. Il cerchio di Mohr
che rappresenta lo stato tensionale efficace a rottura ha un
diametro pari a (’a
‐
’r
)f
= (a
‐
r
)f
, passa per i punti di coordinate [’3f
,0] e [’1f
,0]
ed è
tangente alla retta di equazione: ʹtanʹʹcʹtanuʹcf
STATO TENSIONALE EFFICACE
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62Prova TxCIU
-
Per determinare l’equazione dell’inviluppo a rottura, e quindi i parametri di resistenza al
taglio ’ e c’, per il campo di tensioni indagato, bisogna ripetere la prova su almeno tre provini
dello stesso terreno, a differenti valori della pressione efficace di consolidazione
(scelti tenendo conto della tensione efficace geostatica)
O
’’f
’
c’’rf(1)’rf(2)’rf(3) ’af(1) ’af(2) ’a(f3)
N.B. Se il terreno è normal‐consolidato, c’
= 0
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI
c’
E ’
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63Prova TxCIU
-
I cerchi di Mohr
che rappresentano lo stato tensionale totale iniziale della fase di
compressione (= fine consolidazione isotropa) e fino a rottura sono rappresentati da cerchi traslati di u0
rispetto ai corrispondenti cerchi espressi in termini di tensioni
efficaci (essendo la pressione interstiziale isotropa, e quindi
uguale sia in direzione
assiale che radiale):
u0uf
1c =3c 1f = af ’(‐‐),
(‐)
Poiché
il terreno perviene a rottura in condizioni non drenate, è
possibile interpretare
i risultati della prova anche in termini di tensioni totali.
STATO TENSIONALE TOTALE
Stato tensionale efficacea rottura
’1c =’3c’3f =’rf ’1f =’af
O
Stati tensionali efficaciintermedi
Stato tensionale totalea rottura
Stati tensionali totaliintermedi
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64Prova TxCIU
-
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI
cu
’,’f ’ ’
u
c
Cerchio di Mohr in tensioni efficaci
u
3f 3f 1f 1f
f
Cerchio di Mohr in tensioni totali
Per determinare la coesione non drenata, cu
,
si calcola il raggio del cerchio di Mohr
a rottura
N.B. La cu
è
diversa per ciascuno dei 3 provini, essendo diversa la pressione efficace di
consolidazione (e quindi il diametro del cerchio). Se il terreno
è
NC il rapporto
cu
/’c
è
costante, altrimenti è
funzione del grado di sovraconsolidazione OCR
CAMPO D’APPLICAZIONE
L’esecuzione della prova TxCIU
è
generalmente riservata a terreni argillosi o comunque
poco permeabili, per i quali l’esecuzione di prove TxCID
richiederebbe tempi molto lunghi
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65Prova TxCIU
-
PROVA TxUU
La prova si svolge in due fasi.
I. FASE DI
COMPRESSIONE ISOTROPA
cc
c
u1
drenaggio chiuso
pressione interstiziale (u1
= u0
+ u)
c
= pressione di cella
c
A
differenza
delle
prove
TxCID
e
TxCIU,
non
è
prevista
una
fase
di
consolidazione
isotropa (e in taluni casi neanche di saturazione).
La
pressione
di
consolidazione
del
provino,
’c
,
è
quella
che
possiede
il
provino
in
conseguenza dello scarico tensionale conseguente al suo prelievo
ed estrazione.
Durante tale fase si può controllare l’incremento u di pressione interstiziale.
Il provino, a drenaggi chiusi, è
sottoposto a
compressione isotropa portando in pressione il fluido di cella ad un valore assegnato di pressione totale sc
Se il provino è
saturo
(B=1) il volume del provino non
varia e l’incremento della pressione isotropa di cella comporta un uguale aumento della pressione
interstiziale mentre le tensioni efficaci non subiscono variazioni
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66Prova TxUU
-
II. COMPRESSIONE ASSIALE
r
= cr
c
u
drenaggio chiuso
u
= pressione
interstiziale, variabile
sc
= pressione di cella, costante
N/A = Pressione
trasmessa dal
pistone
a
= c
+ N/AN/A
cA
= area della
sezione orizzontale
A drenaggi ancora chiusi, si fa avanzare la pressa
su cui si trova la cella triassiale a velocità costante, anche piuttosto elevata.
Il provino, essendo saturo, continua a non subire
variazioni di volume.
la forza assiale
N esercitata dal pistone sul provino
Durante la fase di compressione:• si controlla la variazione nel tempo dell’altezzadel provino, H
• si misura:
N.B. la variazione di pressione interstiziale
all’interno del provino in genere non
viene misurata
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67Prova TxUU
-
Le misure effettuate durante la fase di compressione permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino:
INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI
la deformazione assiale media,a
= ‐
H/H0 la deformazione radiale media,r
= (–
a
) / 2
la tensione deviatorica
media, q = a
– r
= ’a
– ’r
= N/Ala tensione totale radiale media, (costante r
= c
)la tensione totale assiale media,a
= N/A + rla
pressione media totale,
p = (a
+ 2 sr
) / 3
(essendo
V
= a
+ 2∙r
= 0)
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
68Prova TxUU
-
La prova viene eseguita su 3 provini dello stesso terreno sottoposti a 3 diversi valori di c
(ma con uguale ’c
)
1) Dalla curva (a
‐r
) ‐
a
si determina la tensione
deviatorica
a rottura (a
‐r
)f
come valore di picco o come valore corrispondente ad un prefissato livello della
deformazione assiale media, a
.
2) Durante la fase di compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione
principale minore, 3
) rimane costante (uguale alla pressione di cella c
, costante) e quindi:
3f
(a rottura)
= rf
= rc
(a fine compressione isotropa) = c
(di cella)
a -r
a
’c(a -r )f
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69Prova TxUU
-
3) Durante la fase di compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non
drenata), che in genere non vengono misurate, quindi la pressione efficace radiale varia, ma non è nota.
4) La pressione assiale
(= tensione principale maggiore, 1
)
totale
(1
= a
) varia ed è
determinabile:
1f
(a rottura)
= 3f
+ (a
–
r
)f
= c
+ (a
–
r
)f
5) Una volta calcolate le tensioni principali totali (assiali e radiali), a fine
consolidazione e a rottura:
’3f
(valore a rottura) = ’rf
’rc
= ’3c
(valore a fine compressione isotropa)
anche la pressione assiale efficace
(‘1
= ‘a
) varia, ma non è
determinabile:
si possono costruire i cerchi di Mohr
corrispondenti in termini di pressioni totali (i
cerchi di Mohr
espressi in tensioni efficaci non sono determinabili, non essendo
misurate le pressioni interstiziali durante la fase di compressione assiale e a rottura).
3f
= c 1f
= c
+ (a
–
r
)f
Corso di GEOTECNICA
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70Prova TxUU
-
STATO TENSIONALE TOTALE
II. I cerchi di Mohr
che rappresentano lo stato tensionale totale durante l’applicazione
del carico assiale
e fino a rottura (percorso tensionale) passano per lo stesso punto
di coordinate [c
, 0] (essendo la tensione totale radiale media costante durante la
fase di compressione assiale).
I. Il cerchio di Mohr
che rappresenta lo stato tensionale totale
iniziale
della fase di
compressione (= fine compressione isotropa) è
rappresentato da un punto
di
coordinate [c, 0].
III. Il cerchio di Mohr
che rappresenta lo stato tensionale totale a rottura
ha un
diametro pari a (’a
‐’r
)f
= (a
‐
r
)f
, passa per i punti di coordinate [3f
,0] e [1f
,0],
il suo raggio individua la coesione non drenata:
f
31u 2
c
cu
uf
1f =af3c
c
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI
cu
Per determinare la coesione non drenata,
cu
,
si calcola il raggio del cerchio di Mohr
a
rottura.
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71Prova TxUU
-
La prova viene eseguita su almeno 3 provini
estratti alla stessa profondità
(stessa
pressione di consolidazione ’c
), a differenti pressioni totali di cella c
e alle stesse
condizioni di saturazione. Il carico assiale che porta a rottura i tre provini (diametro del cerchio di Mohr
a rottura)
è
sempre lo stesso ed indipendente dalla pressione isotropa
di cella c
imposta, quindi la coesione non drenata viene calcolata come media dei
valori ottenuti per i tre provini.
I cerchi di Mohr
a rottura dei tre provini in termini di tensioni totali hanno lo stesso
diametro e i cerchi di Mohr
in termini di tensioni efficaci sono coincidenti.
cu
’3f =’rf ’1f =’af c(1) c(2) c(3)
u0
uf(1)uf(2)uf(3)
’(--), (-)’c (1,2,3)
1f(1) 1f(2) 1f(3)
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72Prova TxUU
-
La prova TxUU
può anche essere eseguita su provini di terreno non saturi; in tal caso la
pressione efficace non è più la stessa e quindi l’inviluppo dei cerchi di rottura in termini di tensioni totali risulterà
curvilineo
per basse pressioni di confinamento e orizzontale
per le pressioni più
elevate (per le quali il terreno ha raggiunto la saturazione).
Inoltre la resistenza al taglio in
condizione non drenate, cu
,
che si
ricava dalle prove è dipendente, a parità
di terreno, dalla pressione
efficace di consolidazione
in sito e
quindi, su provini estratti a profondità
differenti, gli inviluppi a
rottura sono differenti.
CAMPO D’APPLICAZIONE
La prova TxUU
è
generalmente eseguita su provini ricavati da campioni “indisturbati”
di terreno a grana fine.
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73Prova TxUU
-
PROVA ELL
COMPRESSIONE ASSIALE
u
drenaggio impedito dalla velocità
di
deformazione e della permeabilità
u
= pressione
interstiziale, variabile
N/A =
Pressione
trasmessa dal
pistone
a
= N/AN/A
A
= area della
sezione orizzontale
Si fa avanzare la pressa su cui si trova il provino
a velocità
costante, anche piuttosto elevata. Il provino potrebbe non essere saturo
(non è
possibile controllare la saturazione), in tal caso potrebbe subire variazioni di volume.
la forza assiale
N esercitata dal
pistone sul provino
Durante la fase di compressione:• si controlla la variazione nel tempo dell’altezzadel provino, H
• si misura:
N.B. È
una prova semplice, rapida e a basso costo, ma può essere eseguita solo su
terreni a grana fine
La prova ad espansione laterale libera
(ELL), o di compressione semplice, si svolge in
una sola fase. È
una prova triassiale a tutti gli effetti, ma non è
prevista una fase di
saturazione e consolidazione isotropa, né
la misura delle pressioni interne.
r
= 0 r
= 0
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Prova ELL 74
-
APPARECCHIATURA
A differenza dell’apparecchio triassiale, il provino
non è
avvolto da una membrana, non è posto
all’interno di una cella circondato da acqua e quindi non è
compresso in direzione radiale (r
= 0).
Il provino, appoggiato su un piedistallo rigido,
riceve il carico assiale (misurabile) tramite una piastra di carico
di contrasto per l’avanzamento di
una pressa a velocità
costante (elevata), con la
possibilità
di controllare gli abbassamenti. Non è
previsto un circuito di drenaggio
che consenta di
regolare il flusso d’acqua (in entrata o in uscita) o di misurare la pressione interstiziale interna.
Sebbene vi sia possibilità
di drenaggio, l’elevata
velocità
di deformazione e la ridotta permeabilità
del terreno
fanno sì
che le condizioni di prova
siano praticamente non drenate.
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75Prova ELL
-
I risultati possono essere interpretati solo in termini
di tensioni totali
e può essere determinata la sola
coesione non drenata, cu
Le misure effettuate durante la prova permettono di calcolare, fino ed oltre la
rottura del provino:
INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI
la deformazione assiale media, a
= ‐
H/H0
la tensione totale assiale media
(o il deviatore medio), a
= N/A + r
= N/A = q
(essendo r
= 0)a
–
r
= a
= q (deviatore)
prova TxUU
(con c
= 0)
Dalla curva (q) ‐
a
si determina la
tensione deviatorica
a rottura qu
come
valore di picco o come valore corrispondente ad un prefissato livello
della deformazione assiale media, a
.
q
a
qu
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76Prova ELL
-
Durante la compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non drenata),
che non possono essere misurate, quindi la pressione efficace radiale
varia, ma non è
nota.
’3f
(valore a rottura) = ’rf
’r0
= ’30
(valore a inizio prova)
Durante la compressione assiale la pressione radiale totale
(= tensione principale
minore, 3
) rimane costante
ed uguale 0 (pressione atmosferica) e quindi:
3f
(a rottura) = rf
= r0
(inizio prova) = 0
(pressione atmosferica)
La pressione assiale
(= tensione principale maggiore, 1
)
totale
(1
= a
) varia ed è
determinabile:
1f
(a rottura) = 3f
+ (a
–
r
)f
= c
+ (a
–
r
)f
= qu
’1f
(valore a rottura) = ’af
’a0
= ’10
(valore a inizio prova)
anche la pressione assiale efficace
(‘1
= ‘a
) varia, ma non è
determinabile:
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77Prova ELL
-
Una
volta
calcolate
le
tensioni
principali
totali
(assiali
e
radiali),
a
inizio
prova
e
a
rottura:
si
possono
costruire
i
cerchi
di
Mohr
corrispondenti
in
termini
di
pressioni
totali
(i
cerchi
di
Mohr
espressi
in
tensioni
efficaci
non
sono
determinabili,
non
essendo
misurate le pressioni interstiziali durante la fase di compressione assiale e a rottura).
3f
(a rottura) = 0 1f
(a rottura) = qu
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78Prova ELL
-
STATO TENSIONALE TOTALE
II. I cerchi di Mohr
che rappresentano lo stato tensionale totale durante l’applicazione
del carico assiale
e fino a rottura (percorso tensionale) passano tutti per l’origine
(essendo la tensione totale radiale media nulla durante la prova).
I. Il cerchio di Mohr
che rappresenta lo stato tensionale totale iniziale
(= inizio della
prova) è
rappresentato da un punto coincidente con l’origine
[0,
0].
III. Il cerchio di Mohr
che rappresenta lo stato tensionale totale a rottura
ha un
diametro pari a qu
e passa per i punti di coordinate [0,0] e [qu
,0], il suo raggio
individua la coesione non drenata:
DETERMINAZIONE SPERIMENTALE DI
cu
Per determinare la coesione non
drenata, cu
,
si calcola il raggio del
cerchio di Mohr
a rottura.
2/uu qc
O
qu
cu
=qu
/2
Corso di GEOTECNICA
Docente: Giovanni Vannucchi
79Prova ELL
-
O
’f
c = q /2
q
u u
u
1) Se si conoscessero le pressioni interstiziali a rottura, e quindi le tensioni efficaci, il
cerchio di Mohr
a rottura corrispondente sarebbe spostato a destra rispetto a quelle
in termini di tensioni totali (pressioni interstiziali negative), non potendo sostenere il terreno tensioni di trazione.
TENSIONI TOTALITENSIONI EFFICACI
2) Se la prova fosse ripetuta su provini dello stesso terreno estratti alla stessa
profondità, il cerchio di Mohr
a rottura che si otterrebbe sarebbe lo stesso
(nell’ipotesi di terreno saturo), non potendo modificare la pressione di cella.
uf
-
RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA GROSSARESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA GROSSA
I terreni a grana grossa
(ghiaie e sabbie) possono essere:
privi di coesione
(sabbie e ghiaie sature non cementate)
La resistenza al taglio
dei terreni a grana grossa
dovrebbe essere determinata su
campioni indisturbati e rappresentativi
delle reali condizioni in sito.
dotati di coesione apparente
(sabbie parzialmente sature)
dotati di coesione
(sabbie e ghiaie cementate)
In genere non è
possibile
prelevare campioni indisturbati
di terreno a grana grossa non
cementati.Le prove di laboratorio condotte su provini
di sabbia ricostituiti
alla densità
del terreno
in sito, sono scarsamente rappresentativi del comportamento meccanico del terreno naturale in sito.
Si ritiene più
affidabile stimare la resistenza al taglio di sabbie e ghiaie sulla base dei
risultati di prove in sito; le prove di laboratorio
su terreni a grana grossa vengono
effettuate per determinare la resistenza di terreni da impiegare
come materiali da
costruzione, o per lo studio di leggi costitutive.
Corso di GEOTECNICA
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Resistenza al taglio dei terreni a grana
grossa 81
-
COMPORTAMENTO DILATANTE E CONTRATTIVOCOMPORTAMENTO DILATANTE E CONTRATTIVO
Durante una prova di resistenza meccanica di laboratorio (ad es.
prova di taglio diretto o prova triassiale drenata), il comportamento di due provini della stessa sabbia aventi differente indice dei vuoti
(ovvero con differente
densità
relativa) e sottoposti alla stessa pressione di confinamento
può essere molto diverso:
’ ’
Sabbia densa1 3
a
Sabbia sciolta
e
e
Sabbia densa
crit
a
a
Sabbia sciolta
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Docente: Giovanni Vannucchi
82Resistenza al taglio dei terreni a grana
grossa
-
1.
curva di resistenza con un massimo accentuato
(corrispondente alla condizione
di rottura) e un valore residuo, per grandi deformazioni, pressoché
eguale al
valore di resistenza mostrato dal provino di sabbia sciolta (a parità
di pressione
di confinamento); 2.
piccola diminuzione di volume iniziale, (e quindi di e), seguita da un’inversione
di tendenza (per cui e
supera il valore iniziale e tende allo stesso indice dei vuoti
critico, ecrit
, sempre a parità
di pressione di confinamento).
COMPORTAMENTO DILATANTE
1.
graduale aumento della resistenza mobilizzata (’1c
‐
’3
) tendente a
stabilizzarsi su un valore massimo, anche per grandi deformazioni;2.
progressiva e graduale diminuzione del volume (e quindi dell’indice dei vuoti) con
tendenza a stabilizzarsi su un valore minimo (corrispondente a un indice dei vuoti critico, ecrit
), anche per grandi deformazioni.
COMPORTAMENTO CONTRATTIVO
All’aumentare di a
:
PROVINO PROVINO DIDI
SABBIA SCIOLTASABBIA SCIOLTA
PROVINO PROVINO DIDI
SABBIA DENSASABBIA DENSA
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83Resistenza al taglio dei terreni a grana
grossa
-
ANGOLO DI
RESISTENZA AL TAGLIO DI
PICCO E RESIDUO
Per una sabbia che presenta un massimo nelle curve tensioni – deformazioni si
possono definire due diverse rette di inviluppo della resistenza, ovvero due angoli di resistenza al taglio: l’angolo di resistenza al taglio di picco
(a rottura), ’P
, e l’angolo
di resistenza al taglio residuo
(per grandi deformazioni), ’R
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84Resistenza al taglio dei terreni a grana
grossa
-
I principali fattori che influenzano, in misura quantitativamente diversa, l’angolo di
resistenza al taglio di picco dei terreni sabbiosi
sono:
la densità, la forma e la rugosità
dei grani,
la dimensione media dei grani, la distribuzione granulometrica
’ = 36° + ’1’2’3’4 Densità ’1 sciolta
media densa
- 6° 0°
+ 6° Forma e rugosità dei grani ’2 spigolo vivi
media arrotondati molto arrotondati
+ 1° 0°
- 3° - 5°
Dimensione dei grani ’3 sabbia ghiaia fine ghiaia grossa
0° + 1° + 2°
Distribuzione granulometrica ’4 uniforme media distesa
- 3° 0°
+ 3°
’ = 36° + ’1’2’3’4 Densità ’1 sciolta
media densa
- 6° 0°
+ 6° Forma e rugosità dei grani ’2 spigolo vivi
media arrotondati molto arrotondati
+ 1° 0°
- 3° - 5°
Dimensione dei grani ’3 sabbia ghiaia fine ghiaia grossa
0° + 1° + 2°
Distribuzione granulometrica ’4 uniforme media distesa
- 3° 0°
+ 3°
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85Resistenza al taglio dei terreni a grana
grossa
-
’ = 36° + ’1’2’3’4 Densità ’1 sciolta
media densa
- 6° 0°
+ 6° Forma e rugosità dei grani ’2 spigolo vivi
media arrotondati molto arrotondati
+ 1° 0°
- 3° - 5°
Dimensione dei grani ’3 sabbia ghiaia fine ghiaia grossa
0° + 1° + 2°
Distribuzione granulometrica ’4 uniforme media distesa
- 3° 0°
+ 3°
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86Resistenza al taglio dei terreni a grana
grossa
Tipo di terreno ’cs
( °
) ’P
( °
)
Ghiaie 30‐35 35‐50
Miscele di ghiaie e sabbie in matrice limo‐argillosa 28‐33 30‐40
Sabbie 27‐37* 32‐50
Limi e sabbie limose 24‐32 27‐35
*
I
valori
più
alti
(32‐37°)
sono
per
le
sabbie
con
percentuale
significativa
di feldspati, i valori più
bassi (27‐32°) per le sabbie quarzose.
-
RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA FINE RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA FINE
I terreni a grana fine (limi e argille) saturi e normalmente consolidati, alle profondità
di interesse per le opere di ingegneria geotecnica, presentano di norma indice di consistenza, Ic
’c(2)
> ’c(3)
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87Resistenza al taglio dei terreni a grana
fine
-
L’angolo
di
resistenza
al
taglio
’
è inferiore
a
quello
dei
terreni
a
grana grossa
e
dipende
dai
minerali
argillosi
costituenti
e
quindi
dal
contenuto
in
argilla, CF, e dall’indice di plasticità, IP
.
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Docente: Giovanni Vannucchi
88Resistenza al taglio dei terreni a grana
fine
’
arcsen(0.843 –
0.1045 lnIP
)
-
I terreni a grana fine sovraconsolidati presentano di norma indice di consistenza, Ic
> 0.5, coesione efficace c’
> 0.
La