Corso di Elettrotecnica(Allievi aerospaziali)

Reti Elettriche Parte II

Revisione aggiornata al 14 aprile 2011

(www.elettrotecnica.unina.it)

Corso di Elettrotecnica

Lezione del giorno 11 aprile 2011

Circuiti in regime lentamente variabile

Bipoli elementari lineari

Bipoli resistenza e induttanza

Riv Riv

dt

diLv

dt

diLv

In regime stazionarioequivale ad un cortocircuito ideale

Bipoli capacità e generatori ideali di tensione e di corrente

dt

dvCi

dt

dvCi

)(tev )(tji

Flusso di autoinduzuine

La corrente i crea B(t) e il flusso di autoinduzione γ concatenato con la spira orientata γ. Se γ è immersa in un mezzo lineare:

γ=f(i)=Li L è il coefficiente di

autoinduzione [Henry].Se il verso di γ è concorde con il verso di i, per i>0 γ>0 e per i<0 γ<0 →

L= γ/i>0

)(ifdSnBS

i>0

0nB

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza

Nella spira attraversata da i(t) insorge la f.e.m. e(t):

in cui φγ è il flusso d’autoinduzione Li.

LKT fornisce: v+e=Ri Trascurando R:

dtde /

0/ dtdv

dt

diLv

Esempi di realizzazione del bipolo induttanza

dt

diLv

S

Esempio di realizzazione del bipolo capacità

Dato il condensatore piano C la LKT fornisce:

v-vC=Ri≈0

q=cvC

v=vC

dt

dvC

dt

dqi C

dt

dvCi

v(t)

C

Realizzazione di generatori di tensione sinusoidale

t

S

tBSSBdSnB cos)cos(

tBSdt

de

sin

Richiami sulle funzioni periodiche

Si dice periodica una funzione del tempo y=f(t) che assume valori che si ripetono a "intervalli" regolari T. Si ha:

Si dice periodo il valore minimo di T (se esiste) che soddisfa tale relazione.

)()( kTtftf

%

Richiami sulle funzioni periodiche

La frequenza è il numero di cicli in un secondo:

f=1/T [Hertz]

La pulsazione è la quantità:

ω=2πf=2π/T [Rad/sec]

Si dice valore medio di f(t) nel periodo T la quantità:

indipendente da t0. Se Fm=0, f(t) si dice alternata o alternativa. Si dice valore efficace di f:

Tt

t

dttfT

F0

0

)(1 2 (valore quadratico medio)

Tt

t

m

o

dttfT

F0

)(1

Funzioni periodiche: significato fisico del valore efficace

Regime periodico Regime stazionario

p=vi=Ri2 P=VI=RI2

Energia assorbita nell’intervallo T

T

P dttRiW0

2 )( T

S TRIdtRIW0

22

I 2 regimi sono equivalenti se WP=WS

Tt

t

dttiT

I0

0

)(1 2

Circuiti in regime lentamente variabile

Analisi dei circuiti in regime sinusoidale

Grandezze sinusoidali

/

/

AM ampiezza

α fase

Valore efficace:

2)(sin

1 0

0

22 MTt

t

M

AdttA

TA

Se f=50 Hz, T=20 ms, ω=100π rad/s

)sin(2)( tAta

)sin()( tAta M

Richiami sui numeri complessi

Rappresentazione algebrica

z=x+jy

dove j è l’unità immaginaria definita da j2=-1.

x è la parte reale di z

y la parte immaginaria

z è indicato anche come (x ,y). P è l’immagine di z. Gli assi x (asse reale) e y (asse immaginario) contengono le immagini di tutti i numeri reali e puramente immaginari.

Rappresentazione geometrica nel piano complesso

z è l’affissa complessa di P

%

Richiami sui numeri complessi Complesso coniugato di z=x+jy:

z*=x-jy

Modulo di z:

Argomento di z (anomalia del vettore OP)

ρ e θ sono le coordinate polari di z che si può indicare anche come

z=[ρ, θ]

Rappresentazione vettoriale di z sul piano complesso

)( 22 yxOPz

)/()arg( xyarctgz

%

Richiami sui numeri complessi

Rappresentazione trigonometrica di z=x+jy:

z=ρ(cosθ+jsin θ)

Per la formula di Eulero

ejθ=cosθ+jsinθ

si ha la formulazione esponenziale complessa di z:

z=[ρ, θ]= ρ ejθ

cosx

siny

Operazioni sui numeri complessi

21 zzz

SOMMA

111 jyxz

222 jyxz

jyxyyjxxzzz )()( 212121

21 xxx

21 yyy

Prodotto di numeri complessi

Rappresentazione algebrica

111 jyxz

222 jyxz

)()( 1221212121 yxyxjyyxxzzz

Rappresentazione polare

11111 ],[ jez 2

2222 ],[ jez

],[)( )(2121

21 jj eezzz 21 21

21zzz

Divisione di numeri complessi

Rappresentazione algebrica

111 jyxz 222 jyxz

22

22

2121

yx

yyxxx

22

22

2112

yx

yxyxy

Rappresentazione polare

jyxyx

yxyxjyyxx

jyxjyx

jyxjyx

jyx

jyx

z

zz

22

22

21122121

2222

2211

22

11

2

1 )()(

))((

))((

11111 ],[ jez 2

2222 ],[ jez

],[)/(/ )(2121

21 jj eezzz 21 / 21

I vettori rotanti

La grandezza sinusoid.

è compiutamente identificata da A, α e ω, come la grandezza:

Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) e le . Si ha:

)sin(2)( tAta

)()( tjAeta

)](Im[2)( tata

)(ta

)(ta

2

)(ta

I fasori Fissata ω,

è compiutamente identificata da A e α, come il fasore definito da:

Si ha quindi una corrispondenza biunivoca tra le a(t) nel dominio del tempo ed i fasori nel campo complesso.

)sin(2)( tAta

jAeA

A

A

α

0)]([ ttaA AA

)sin(2)( tAta

]Im[2]Im[2 )( tjtj eAAe

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali

)sin(2)( tAta

)sin(2)( tBtb

0

b(t) è sfasata in ritardo rispetto ad a(t) dell’angolo φ

)sin(2)( tBtb

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali

)sin(2)( tAta

)sin(2)( tBtb

0

a(t) è sfasata in anticipo rispetto a b(t) dell’angolo φ

0

)sin(2)( tBtb

Relazioni di fase tra grandezze sinusoidali

)sin(2)( tAta

)sin(2)( tBtba(t) e b(t) sono in fase

Le operazioni sulle grandezze sinusoidali

Date)sin(2)( tAta

)sin(2)( tBtb

A

B

C

]Im[2]Im[2)()()( tjtj eBeAtbtatc

]Im[2])Im[(2 tjtj eCeBA

O

jAeA jBeB

dove:jCeBAC

)sin(2)( tCtc

BACtbtatc

Btb

Ata

)()()(

)(

)(

Applicazione dei fasori nello studio delle reti in regime sinusoidale

Date i1(t), i2(t) e i3(t) calcolare i(t).

)45sin(12)(1 tti )cos(82)(2 tti

)27cos(5,42)(3 tti

)45sin()62(2)45sin(12)(1 ttti 6662 45

1 jeI j

)90sin(82)cos(82)(2 ttti 88 902 jeI J

)63sin(5,42)27cos(5,42)(3 ttti

425,4 633 jeI j )()()()( 321 titititi

37321 1068 jejIIII

)37sin(102)( tti

jFeFtFtf )sin(2)(

Prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante

Date:

ed una costante reale k>0,

)sin(2)( tAta jAeA

)sin(2)()( tkAtkatc

AkkAeCtc j )(

A

C

α

AkCtkatc

Ata

)()(

)(

Derivata temporale di una grandezza sinusoidale

Data

)sin(2)( tAta jAeA

]Im[2)( tjeAdt

d

dt

datc

)cos(2]Im[2 tAeAj tj

AjCtc )(

AC

α

AjCdt

datc

Ata

)(

)(

Prodotto di un fasore per un numero complesso

jAeA )sin(2)( tAta

jDeD dove DD

ji CeCAeDAD )(

jCeC )sin(2)( tCtc

ADC

)(

)(

tcAD

taA

Prodotto di grandezze sinusoidali

)sin(2)( tAta

)sin(2)( tBtb

)sin(2)sin(2)()()( tBtAtbtatc

)cos()cos(2

1sinsin yxyxyx

tABtc 2cos()cos()(

Bipolo resistenza inregime sinusoidale

Dominio del tempo

Riv

)sin(2)( tVtv

Dominio dei fasori

jVeV )( jIeI

IRV je

R

V

R

VI

R

VI 0

RI

Vz

)sin(2)( tIti impedenza

Bipolo induttanza inregime sinusoidale

dt

diLv

Dominio dei fasori

jVeV ILjV

)( jIeI)2

(

je

L

V

Lj

VI

21j

ej

X

V

L

VI

2

Dominio del tempo

)sin(2)( tVtv )2

sin(2)( tIti Lj

I

Vz

impedenza

LX Reattanza

Bipolo capacità inregime sinusoidale

dt

dvCi

Dominio dei fasorijVeV VCjI 21

j

ej

)( jIeI)2

(

/1

je

C

VI

X

V

C

VI

/1 2

Dominio del tempo

)sin(2)( tVtv )2

sin(2)( tIti

Cj

I

Vz

1

Impedenza

CX

1

Reattanza

Bipolo R-Lin regime sinusoidale

)sin(2)( tVtv

0 LR vvvLKT RivR Dominio del tempo

dt

diLvL

idt

dLR

dt

diLRiv

Dominio dei fasori

jVeVtv )( LjRdt

dLR

)()( jIeIti

ILjRV )(

)sin(2)( tIti

jzez 22 )( LRzz

R

Larctgz

)arg(

%

)( jez

V

z

VI

jXRLjRI

Vz

z

VI

Bipolo R-Lin regime sinusoidale

)(zP

Dominio del tempo

i(t) costituisce un integrale particolaredell’equazione differenziale

dt

diLRiv

φ=arctg(ωL/R)

z

)/(sin)(

2)(22

RLarctgtLR

Vti

Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)

L’integrale generale dell’equazione differenziale:

dt

diLRiv

è )()( tiketi pt dove ip(t) è un integrale particolare e λ è la

radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata R+λL=0

TL

R 1 (T=L/R costante di tempo)

Ttke /

%

0lim /

Ttt ke (trascurabile per t>5T)

)/(sin)(

2)(22

/ RLarctgtLR

Vketi Tt

Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)

Se ad es. R=10 Ω, X=ωL=10 Ω, per f=50 Hz ω=100π rad/s, L=0,1/π Henry, T=L/R=0,01/π=3,18 ms e dopo circa 16 ms il termine transitorio ke-t/T è trascurabile.

Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ . La corrente i nell’induttanza è una variabile di stato, per cui i(0+)=i(0-). Se I0=[i(t)]t=0- imponendo i(0+)=I0 si ha:

Se il circuito è inizialmente a riposo I0=0

)/(sin)(

2220 RLarctg

LR

VIk

%

Bipolo R-L in regime transitorio (v(t) sinusoidale)

Bipolo R-Cin regime sinusoidale

Dominio del tempo

LKT 0 CR vvv RivR dt

dvCi C

CC v

dt

dvRCv

)sin(2)( tVtv )sin(2)( tItiDominio dei fasori

jVeVtv )()()( jIeIti

CvRiv

CVIRV CVCjI

IC

jV C1

IC

jRV

1

jXRC

jRI

Vz

1

jzez 22 )/(1 CRzz

RCarctgz

1

)arg(

%

Bipolo R-Cin regime sinusoidale

C1

z

Dominio del tempo

)]/1(sin[)/(1

2)(22

RCarctgtCR

Vti

]2/)/1(sin[2)(

RCarctgtCz

VtvC

Bipolo R-C in regimetransitorio (v(t) sinusoidale)

)sin(2)( tVtv

CvRiv CC v

dt

dvRCv

L’integrale generale dell’equazione differenziale è:

)()( tvketv cpt

c dove vcp(t) è un integrale particolare e λ è la

radice dell’equaz. caratteristica dell’equaz. omogenea associata RCλ+1=0

TRC

11 (T=RC costante di tempo)

%

Bipolo R-C in regimetransitorio (v(t) sinusoidale)

Per il calcolo di k occorre imporre la condizione iniziale per t=0+ . La tensione vC è una variabile di stato, per cui vC(0+)=vC (0-). Se V0=[vC(t)]t=0- imponendo vC(0+)=V0 si ha:

Se la capacità è inizialmente scarica V0=0.

]2/)/1(sin[2)( /

RCarctgtCz

Vketv Tt

C

]2/)/1(sin[20

RCarctgCz

VVk

La i è data da:

TtC eT

kCRCarctgt

z

V

dt

dvCti /)]/1(sin[2)(

%

Bipolo R-C in regime transitorio (v(t) sinusoidale)

%

Bipoli R-L e R-C in regime stazionario

v(t)=V (costante)

vR=V vL=0

i=V/R

v(t)=V (costante)

vR=0 vC=V

i=0

Risposta del bipolo R-Lad un gradino di tensione

dt

diLRiv

L’integrale generale dell’equazione è:

R

Vketiketi Tt

pTt // )()(

Imponendo i(0+)=i(0-)=0:

R

Vk Tte

R

Vti /1)(

T=L/R

Risposta del bipolo R-Cad un gradino di tensione

CvRiv

CC v

dt

dvRCv

L’integrale generale dell’equazione è:

Vketvketv Ttcp

Ttc // )()(

Imponendo vc(0+)=vc(0-)=0 si ha k=-V.

TtC eVtv /1)( TtC e

R

V

dt

dvCti /)(

T=RC

Bipoli R,L,C in regime sinusoidale

jBAI

Vz

B=0

R=A

B>0

BL

B<0

BC

1

0

0 0

R=AR=A

Ammettenza di un bipolo

z zV

Iy

1

Ammettenza [Ω-1]

jSRz

jBGSR

Sj

SR

R

jSRy

2222

1

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale

Regime stazionario Regime sinusoidale

IRV

z

IzV GVI VyI

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale

Regime stazionario Regime sinusoidale

m m

kkk IRE1 1

)()(

m r

kk JI1 1

)()(

LKT

LKC m r

kk JI1 1

)()(

m m

kkk IzE1 1

)()( LKT

LKC

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale

Regime stazionario Regime sinusoidale

Millmann

n

i

n

ii

AB

y

yEV

1

1

n

i

n

ii

AB

G

GEV

1

1 Millmann

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidaleBipolo di Thévenin in

regime stazionarioBipolo di Thévenin in

regime sinusoidale

z

RIEV IzEV

Corrispondenza tra regime stazionario e regime sinusoidale

Bipolo di Norton in regime stazionario

Bipolo di Norton in regime sinusoidale

)( IJRV

z

)( IJzV

Impedenze in serie

1z 2z nzn

kVV1

IzV kk

IzzIV eq

n

k 1

n

keq zz1

eqz

Impedenze in parallelo

1z

2z

nz

n

kII1

Vyz

VI k

k

k

VyyVI eq

n

k 1

IzV eq

n

keq

eq

yy

z

1

11

eqz

n

k

eq

z

z

1

1

1

Bipolo R-L-C e risonanzaImpedenza

L’impedenza del bipolo è:

il bipolo è in risonanza se:

ω0 pulsazione di risonanza.

CLjRz

1

LCCL

10

10

22 1

CLRzz

Bipolo R-L-C e risonanzaCorrente

Se jVeV

)( jIez

VI

22 1

CLR

V

z

VI

Valore efficace della corrente

Il valore massimo di I si ha per ω=ω0 ed è pari a V/R

Bipolo R-L-C e risonanza. Fase

Lo sfasamento φ:

RC

Larctgz

1

)arg(

φ<0 per ω<ω0 il bipolo è equivalente a un bipolo R-C

φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente al bipolo R

φ=0 per ω=ω0 il bipolo è equivalente al bipolo R

Bipolo R-L-C e risonanza Fattore di merito

Per ω=ω0 si ha:

ω=ω0

R

VI

ILjV L 0 IC

jV C

0

1

VR

LVL

0 V

CRVC

0

1

CL VV CRR

LQ

0

0 1

Q fattore di merito

V

V

V

VQ CL

Bipolo R-L-C e risonanza Selettività

La potenza massima assorbita dal bipolo si ha in ω=ω0:

Pmax=RI2

In A e B la potenza P=Pmax/2. Δω è la larghezza di banda.

Quanto più stretta è la banda tanto più selettivo è il bipolo. Al diminuire di R cresce Q=ω0L/R e Δω diminuisce.

Bipolo R-L-C e risonanza Influenza di R