CONVEZIONE NATURALE

1

CONVEZIONE NATURALESi origina quando il moto del fluido è causato da gradienti di densità.

Le velocità sono di norma minori rispetto alla convezione forzata.

I moti atmosferici, oceanici e quelli interni alla crosta terrestre sono fenomeni di convezione naturale.

L’approccio sperimentale è preponderante rispetto a quello teorico.

2

CONVEZIONE NATURALE

Hp: proprietà fisiche del fluido costanti ad eccezione della densità (BOUSSINESQUE)

approssimazione di strato limite:

EQUAZIONI FONDAMENTALI

2

2

y

ug

x

p1

y

uv

x

uu

quantità di moto lungo x

0y

p quantità di moto lungo y

ne consegue che il gradiente di pressione lungo y è indipendente da y e quindi è uguale fuori e dentro lo strato limite;

Nella zona in cui la velocità è nulla (u = v = 0) si ha:

gx

p

3

CONVEZIONE NATURALE

Sostituendo nell’equazione della q.d.m. :

EQUAZIONI FONDAMENTALI

Le altre equazioni dello strato limite sono:

2

2

y

ug

y

uv

x

uu

Definendo poi il coefficiente volumetrico di dilatazione termica:pT

1

ed approssimandolo a:p

TT

1

si ottiene:

2

2

y

uTTg

y

uv

x

uu

0y

v

x

u

(continuità)2

2

y

Ta

y

Tv

x

Tu

(energia)

Le equazioni non sono più disaccoppiate 4

CONVEZIONE NATURALE

Definendo:

ADIMENSIONALIZZAZIONE

si ottiene:

L

xx*

L

yy*

0

*

u

vv

TT

TTT

p

*

0y

v

x

u*

*

*

*

2*

*2

20

*p

*

**

*

**

y

u

Re

1

u

LT)TT(g

y

vv

x

uu

2*

*2

*

**

*

**

y

T

PrRe

1

y

Tv

x

Tu

con

Lu

Re 0

Dove il numero di Grashof Gr è il rapporto tra le forze di galleggiamento e le forze viscose ed è definito dalla:

Il gruppo si può scrivere come:

22

0

2

p3

Re

Gr

Lu

TTgL

20

p

u

L)TT(g

2p

3 TTLgGr

5

CONVEZIONE NATURALE

Ipotizzando la lastra riscaldata, applicando il teorema di Bernoulli tra il bordo inferiore ed un punto x:

ADIMENSIONALIZZAZIONE

E, tenendo conto della relazione approssimata tra r e T, si può definire la velocità caratteristica della convezione naturale:

gx2

u2x

TTgLu pc

Ed introducendola nell’espressione del numero di Grashof si ottiene:

2

cLuGr

Assumendo u0 = uc , le equazioni diventano: 2*

*2*

*

**

*

**

y

u

Gr

1T

y

uv

x

uu

2*

*2

*

**

*

**

y

T

GrPr

1

y

Tv

u

Tu

con Nu funzione sia di Gr che di Pr6

CONVEZIONE NATURALEADIMENSIONALIZZAZIONE

Si definisce il numero di Rayleigh come:

a

TTgLPrGrRa p

3

Quando, oltre alla convezione naturale, è imposta anche una convezione forzata,

l’importanza relativa è espressa dal rapporto:

2Re

Gr

se Gr >> Re2 è prevalente la convezione naturale

se Gr Re2 si ha convezione mista

se Gr << Re2 si ha convezione forzata 7

CONVEZIONE NATURALELASTRA PIANA VERTICALE

Si utilizzano le equazioni dello strato limite, con le condizioni al contorno seguenti:

per y = 0: u = 0, v = 0, T = Tp

x

u(x, y)

T (x, y)

t

T

y

per y = : 0y

T ,0

y

u ,TT ,0u

L’equazione della quantità di moto, integrata sullo strato limite, è:

02

2

0 00

2

dyy

udyTTgdy

y

uvdy

x

u

che, con le condizioni al contorno, diventa:

000

2

y

y

udyTTgdyu

x

8

CONVEZIONE NATURALELASTRA PIANA VERTICALE

Integrando l’equazione dell’energia sullo strato limite termico:

Per poter procedere con l’integrazione delle equazioni, si introduce un’ulteriore ipotesi sull’andamento dei profili di velocità e temperatura:

02

2

00

dyy

Tady

y

vTdy

x

uT

che, con le condizioni al contorno, diventa: 0y0 y

TadyTTu

x

2

0

y1

y

u

u

2

p

y1

TT

TT

Sostituendo queste espressioni nelle equazioni del moto si ottiene:

0

p20

uTTg

3

1u

dx

d

105

1

a60u

dx

d0 9

CONVEZIONE NATURALELASTRA PIANA VERTICALE

Ipotizzando che u0 e d dipendano da x secondo le relazioni seguenti:

Affinchè le due equazioni siano indipendenti da x, gli esponenti devono essere uguali:

m10 xCxu n

2xCx

si ha: nm

2

1n2p

1nm2221 x

C

CxCTTg

3

1x

105

CCnm2

n

2

1nm21 xC

a2x

30

CCnm

2

1m

4

1n quindi si possono ricavare le costanti C1 e C2:

2

1

2

p2

1

1

TTga

21

2017,5C

2

14

1

2p4

1

2 a

TTg

a21

2093,3C

10

CONVEZIONE NATURALELASTRA PIANA VERTICALE

Lo spessore dello strato limite diventa dunque:

Si ricava così la velocità di riferimento:

Noto d, si può ricavare T dalla definizione del profilo e, conseguentemente, anche Nu:

4

1

2

14

1

2

p4

1

xPrTTg

Pr952,093,3x

21p

2

10 xTTg

9

5Pr336

112u

0ypp

x

y

T

TT

x

k

x

TT

q

k

xhNu

con

TT2

y

T p

0y

Pertanto: 4

1

4

12

1

x GrPr952,0Pr508,0x2

Nu

11

CONVEZIONE NATURALELASTRA PIANA VERTICALE

Integrando sulla lunghezza, si ottiene il valore medio del coefficiente di scambio:

Allo stesso modo si ottiene il valore medio del numero di Nusselt:

La maggior parte dei problemi pratici è costituita da geometrie di un grado di complessità tale da essere necessario il ricorso a correlazioni sperimentali, espresse nella forma:

L

0Lxxx h

3

4dxh

L

1h

4

1

L

4

1

2

1

L Gr

9

5Pr336

Pr3

8

k

LhNu

nXX Ra C

k

XhNu con

PrGrRa XX

C ed n che dipendono dalla geometria e dalle condizioni di moto

12

CONVEZIONE NATURALEESEMPIO

CILINDRO RISCALDATO

4

1

)Ra(43,02Nu Per94 10Ra10

13

CONVEZIONE NATURALESPAZI CONFINATI

CAVITA’ RETTANGOLARI

T1 > T2

In assenza di convezione (Ra < 103) si ha:

L

TTkq 21

In presenza di convezione vale la:

21 TThq

Il coefficiente h viene determinato attraverso correlazioni sperimentali.

Per cavità anulari e canali verticali non limitati superiormente valgono le stesse considerazioni 14