CONTROLLO IN RETROAZIONE - Unimore...statiche e dinamiche in condizioni perturbate (prestazioni...

Ing. Luigi BiagiottiTel. 051 20939903

e-mail: [email protected]://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti

CONTROLLI AUTOMATICIIngegneria Meccatronica

http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/Automazione%20Industriale.htm

CONTROLLO IN RETROAZIONECONTROLLO IN RETROAZIONE

Luigi Biagiotti Retroazione -- 2Controlli Automatici

Obiettivo del progetto del sistema di controllo:• garantire che l'errore di controllo l'errore di controllo (e)(e) sia il pisia il piùù piccolo possibilepiccolo possibile e cioè•• yy segua il più fedelmente possibile yyrefref

•• in presenza di disturbi in presenza di disturbi (d)(d) non misurabilinon misurabili•• in presenza di incertezze sui parametri del modelloin presenza di incertezze sui parametri del modello•• con azioni di controllo con azioni di controllo (u)(u) limitatelimitate

comandodi riferimento

yref

d

disturboagente sulsistema

Considerazioni generali sul controlloConsiderazioni generali sul controllo

• Elementi di un sistema di controllo

e = y - yref

errore di controllo

controllore attuatore impianto(modello)

u

ingressodi controllo

y

uscitadel sistema

ua

variabileattuata



• Requisiti di un sistema di controllo

• stabilità⎟ e⎟ limitato ∀ t

• prestazioni statichevalore dell'errore (modulo) a regime (esaurito il transitorio)

con segnale di riferimento e/o di disturbo standard gradino, rampa,…

• prestazioni dinamichecaratteristiche del transitorio

segnali di riferimento standard


t

yref

risposta al riferimento risposta al disturbo


• Requisiti di un sistema di controllo• regione di ammissibilità della risposta al gradino


Controllo ad azione direttaControllo ad azione diretta

• Prestazione dinamica:• scelta di Geq(s)

• Prestazione statica:• .

diversi problemi realizzativi, utile come concettodiversi problemi realizzativi, utile come concetto

sintesi diretta

controllore attuatore impianto


SintesiSintesi direttadiretta

• Tuttavia il controllore opera senza possedere informazioni circa ilrealereale andamento dell’uscita y(t), diverso da quello idealeideale per effetto di

•• disturbidisturbi•• errorierrori del del modellomodello G(s)G(s)•• variazionivariazioni parametricheparametriche

idealmente:

sintesi diretta


AzioneAzione direttadiretta e e disturbidisturbi

sovrapposizione degli effetti

sintesi diretta

Effetto dei disturbi sull’uscita:

ErroreErrore sullsull’’uscitauscita: : ililcontrollorecontrollore non non agisceagisce sulsul

disturbodisturbo cheche restaresta invariatoinvariato


AzioneAzione direttadiretta e e variazionivariazioni parametricheparametriche

Nella sintesi si assume:

sintesi diretta

Variazione del plant per effetto della variazione di un parametro:

ErroreErrore sullsull’’uscitauscita


AzioneAzione direttadiretta ed ed errorierrori di di modellomodello

Errore di modello:

Nella sintesi siassume:

ErroreErrore sullsull’’uscitauscita

sintesi diretta


0

1

2

3

0 2 4 6 8 t

yref

10s10

21s

++

Esempi di controllo ad azione direttaEsempi di controllo ad azione diretta

0

1

2

3

0 2 4 6 8 t

u y1s

2+

Caso idealeCaso ideale

yyref

10s10+

Sistema dacontrollare

Dinamicadesiderata

sintesi diretta


0

1

2

3

0 2 4 6 8 t

0

1

2

3

0 2 4 6 8 t

u yyref

1.1s2+10s

102

1s+

+

variazione dei parametrivariazione dei parametricancellazione imperfetta polo/zero

G < 1

u yyref

3.1s2+10s

102

1s+

+

variazione dei parametrivariazione dei parametri

G < 1

la dinamicadello zeroprevale

Esempi di controllo ad azione direttaEsempi di controllo ad azione diretta


Sintesi direttaSintesi diretta

Il progetto per sintesi diretta non è sempre possibile:

• Sistemi non a fase minima

Poli e/o zeri non stabili

• Sistemi con ritardo

• Sistemi (non strettamente) propri


Controllo in retroazioneControllo in retroazione

• Per limitare i problemi dei controllori in azione diretta, ricorriamo allaretroazione

• Consente di fornire al controllore informazioni circa l’andamentoandamentoeffettivoeffettivo delldell’’uscitauscita y(t)y(t)

• Costi maggiori per la presenza del trasduttore di misura

•• SonoSono retroazionabiliretroazionabili solo le solo le variabilivariabili accessibiliaccessibili allaallamisuramisura

controlloreyref impianto

(modello)ua y

trasduttore

attuatoreu

SistemaSistema di di controllocontrollo


Schema di Schema di controllocontrollo in in retroazioneretroazione

-+

• Schema equivalente in retroazioneretroazione unitariaunitaria

-+

: trasduttore di misura e di acquisizione del riferimento

: attuatore

: regolatore: impianto da controllare


Schema di Schema di controllocontrollo in in retroazioneretroazione

• Utilizzando il guadagno di anello L(s) otteniamo le seguenti fdt:

-+

fdtfdt di anello L(s)di anello L(s)


RRetroazioneetroazione e e disturbidisturbi

•• Se Se ilil guadagnoguadagno di di anelloanello L(s) L(s) èè sufficientementesufficientemente elevatoelevato•• ll’’uscitauscita y segue y segue fedelmentefedelmente ll’’ingressoingresso yyrefref

•• ilil disturbodisturbo d d risultarisulta attenuatoattenuato

+

-


RRetroazioneetroazione e e variazionivariazioni parametricheparametriche

•• Se Se ilil guadagnoguadagno di di anelloanello L(s) L(s) èè sufficientementesufficientemente elevatoelevato•• VariazioniVariazioni delladella fdtfdt di di anelloanello vengonovengono attenuate attenuate nellanella fdtfdt

del del sistemasistema retroazionatoretroazionato

-+

Variazione del plant per effetto della variazione di un parametro:


Sistemi di controllo in retroazioneSistemi di controllo in retroazione

• Requisiti• Stabilità

in condizioni nominaliin condizioni perturbate (stabilità robusta)

• Prestazionistatiche in condizioni nominali

per diverse tipologie di segnali di ingresso (ysp, d, n)valori a regime

dinamiche in condizioni nominaliper variazioni a gradino dei segnali di ingresso (ysp, d, n)

tempo di assestamento, massimo sorpassobanda passante, picchi di risonanzamoderazione dell'azione di controllo

statiche e dinamiche in condizioni perturbate (prestazioni robuste)

errori di modello, variazione dei parametri


Sistema del 1Sistema del 1°° ordineordine

al crescere di k:il guadagno tende ad 1il polo (reale) si sposta a sinistra

Esempi di controllo in retroazioneEsempi di controllo in retroazione

• Controllo proporzionale - calcolo della fdt

+ -

+ -

nuovo polonuovo polo


0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 100

0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 10

0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 1


• Sistema del 1° ordine con controllo proporzionale•• condizioni nominalcondizioni nominalii

• Risposte al gradino

+ -


0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 100

0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 10

0

1

0 1 2 3 4 t

yref = 1k = 1


• Sistema del 1° ordine con controllo proporzionale•• variazionevariazione deidei parametriparametri

• Risposte al gradino+ -

nominale


CalcoloCalcolo delladella fdtfdt

al crescere di k:il guadagno tende ad 1


• Controllo proporzionale – sistema del 2° ordine

+ -


k = 1

3

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

k = 100 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k = 1000 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


• Sistema del 2° ordine in retroazione unitaria•• condizioni nominalcondizioni nominalii


+ -


k = 1

3

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

k = 100 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

k = 1000 2 4 6 8 10

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


• Sistema del 2° ordine in retroazione unitaria•• variazionevariazione deidei parametriparametri


+ -


u( )

11s + ( )

22s +

y

d+

+

ImpiantoImpianto

Sistema di controllo in retroazioneSistema di controllo in retroazione

d

yref u( )

11s + ( )

22s +

y+

+ke

-


• Sensitività ai disturbi


valore del disturbo senza

controllo


• Sensitività ai disturbi

yref u( )

11s + ( )

22s +

y+

+ke

-

d

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1Step Response

0 1 2 3 4 s

yref = 0, d = 1k = 1

yref = 0, d = 1k = 10

yref = 0, d = 1k = 100

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1Step Response

0 1 2 3 4 s0

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1Step Response

0 1 2 3 4 s


Sistemi di controllo in retroazioneSistemi di controllo in retroazione

• Schema di riferimento

R(s)ysp e u

-+ G(s)y

d

++

+-n

Matrice delle funzioni di trasferimento Matrice delle funzioni di trasferimento tra le diverse tra le diverse usciteuscite di interesse di interesse

e gli e gli ingressiingressi


ErroreErrore a regime e a regime e tipotipo di di sistemasistema

• Consideriamo il sistema in retroazione unitaria:

Errore a regime nella risposta ad un segnale X(s):

Teorema del valore finale:


ErroreErrore nellanella rispostarisposta al al gradinogradino

• La L-trasformata del gradino di ampiezza A vale:

L’errore rispetto al gradino è detto anche erroreerrore di di posizioneposizione eepp

Se G(s) è di TIPO ≥1 (ha 1 o più poli nell’origine) ⇒ eepp=0=0

Il Il numeronumero (h) di (h) di polipoli nellnell’’origineorigine di G(s) di G(s) determinadetermina ilil TIPO del TIPO del sistemasistema

CostanteCostante di di posizioneposizione (o di guadagno):


ErroreErrore di di posizioneposizione e tipo die tipo di sistemasistema


0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

sistema di tipo 1sistema di tipo 1

errore a regimeerrore a regimenullonullo

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5




0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

errore a regimeerrore a regimecostantecostante


ErroreErrore nellanella rispostarisposta allaalla ramparampa

• La L-trasformata della rampa di pendenza A vale:

L’errore rispetto alla rampa è detto anche erroreerrore di di velocitvelocitàà eevv

In funzione del tipo del sistema avremo:tipotipo 0: 0: eevv==∞∞tipotipo 1: 1: eevv=A/K=A/Ktipotipo ≥≥2: 2: eevv == 00

CostanteCostante di di velocitvelocitàà:

Se G(s) è di TIPO ≥2 (ha 2 o più poli nell’origine) ⇒

eevv=0=0


ErrorErrore di e di velocitvelocitàà e tipo di sistemae tipo di sistema

• Risposte alla rampa


0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

errore a regimeerrore a regimecrescentecrescente

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5


errore a regimeerrore a regimecostantecostante


0 5 10 15 200

0.5

1

1.5



ErroreErrore di di accelerazioneaccelerazione

• Analogamente, considerando il segnale:

L’ erroreerrore di di accelerazioneaccelerazione eea a risulta:

In funzione del tipo del sistema avremo:tipotipo 0,1: 0,1: eeaa==∞∞tipotipo 2: 2: eeaa=A/K=A/Ktipotipo ≥≥3: 3: eeaa=0=0

Se G(s) è di TIPO ≥3 (ha 3 o più poli nell’origine) ⇒

eeaa=0=0

CostanteCostante di di accelerazioneaccelerazione:


CasoCaso generalegenerale

• Per segnali, in generale del tipo:

ea

∞

∞

Κ

Kp

∞

Κ

0

Kv

Κ

0

0

Ka

Tipo 0

Tipo 1

Tipo 2

G(s) evep

Si ha, indicando con h il tipo del sistema:


RetroazioneRetroazione non non unitariaunitaria

• Nel caso in cui il sistema in esamepresenti una dinamica H(s) non unitaria sul ramo di retroazione:

• Ci si riconduce alla retroazioneunitaria considerando, per ilcalcolo dell’errore a regime, lo schema equivalente:


EsempioEsempio

• Determinare l’errore a regime del sistema in retroazione con ingresso:

• a gradino X(s) = 5/s• a rampa X(s) = 5/s2

+ -

Per i valori di k = 1, 100

Verificare con Matlab/Simulink la correttezza dei risultati


EsempioEsempio

• Determinare gli errori a regime diposizione, velocita` ed accelerazione (ep , ev , ea) del sistema in retroazione con ingresso il gradino X(s) = 2/s



EsempioEsempio

• Determinare il valore di K per avere errore a regime < 0.1 con ingresso a gradino unitario.

• Il sistema in retroazione, per tale valore di K, e` stabile?

+ -


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CONTROLLO IN RETROAZIONE CONTROLLO IN RETROAZIONE FINEFINE

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