Controllo dei Processi Modellistica - Parte 3 · 2008. 10. 16. · In conclusione si ha un sistema...

Università di Roma “La Sapienza” – A.A. 2004/05

Controllo dei Processi

Modellistica - Parte 3

Prof. Leonardo Lanari

DIS, Università di Roma “La Sapienza”

Sistema non interagente: 3 serbatoi in serie

Sia il processo composto da tre serbatoi nella configurazione in cascata rappresentata infigura. La temperatura di ogni serbatoio è costante e la superficie si trova a pressioneatmosferica. Si desidera studiare l’effetto del flusso fi(t) in ingresso al primo serbatoio edel flusso fo(t) della pompa sul livello del liquido nel terzo serbatoio h3(t).

fo f

1

f2

f3

fi

h1

h2

h3

Le valvole hanno un’apertura costante e il flusso attraverso di esse è dato dalla formula

f(t) = Cv

√∆P (t)

Gf

con Cv coefficiente della valvola, ∆P (t) caduta di pressione e Gf costante.

L. Lanari Controllo dei Processi (Università di Roma “La Sapienza”) – Modellistica - parte 3 2


La valvola scarica a pressione atmosferica e pertanto per la generica valvola

∆P (t) = Pu(t)− Pd = Pa + ρgh(t)− Pa = ρgh(t)con Pu(t) pressione a monte e Pd(t) pressione a valle della valvola, Pa pressione atmosferica,ρ densità del liquido, g accelerazione di gravità e h(t) livello del liquido nel serbatoio. Ilflusso attraverso la generica valvola è dato da

f(t) = Cv

√∆P (t)

Gf= Cv

√ρgh(t)

Gf= C ′v

√h(t)

Essendo la massa di liquido contenuta nel primo serbatoio (serbatoi cilindrici con area baseAi) pari a m1(t) = ρA1h1(t), la conservazione della massa porta all’equazione

dm1(t)

dt= ρA1

dh1(t)

dt= ρfi(t)− ρf1(t)− ρfo(t)

Per il secondo e il terzo serbatoio si ha

ρA2dh2(t)

dt= ρf1(t)− ρf2(t)

ρA3dh3(t)

dt= ρf2(t)− ρf3(t)



mentre le equazioni per le valvole sono

f1(t) = C′v1

√h1(t), f2(t) = C

′v2

√h2(t), f3(t) = C

′v3

√h3(t)

Si linearizzano le equazioni precedenti

fk(t) ≈ f̄k + Ck[hk(t)− h̄k

], Ck =

∂fk(t)

∂hk(t)

∣∣∣ss

=1

2C ′vk(h̄k)

−1/2, k = 1, ...,3

avendo definito le variazioni rispetto al punto di lavoro

Hk(t) = hk(t)− h̄k, Fk(t) = fk(t)− f̄k, k = 1, ...,3, Fi(t) = fi(t)− f̄i, Fo(t) = fo(t)− f̄o

La matrice dinamica del sistema è data da

A =

−C1

A10 0

C1A2

−C1A1

0

0 −C2A3

−C3A3

, τi = Ai

Ci, i = 1, ...,3 K1 =

1

C1, Kk =

Ck−1Ck

, k = 2,3

con autovalori λi = −1/τi.



Si ottengono, trasformando secondo Laplace, le seguenti relazioni

H1(s) =K1

1 + τ1sFi(s)− K1

1 + τ1sFo(s)

Hk(s) =Kk

1 + τksHk−1(s), k = 2,3

e cioè

H3(s) =

(3∏

k=1

Kk

(1 + τks)

)[Fi(s)− Fo(s)]

serie di tre sistemi caratterizzati ognuno da un guadagno Kk e una costante di tempo τk.In molti testi di controllo dei processi una situazione rappresentata dalla relazione (sistemiin serie)

G(s) =n∏

i=1

Gi(s)

viene definita come sistema non-interagente. In ambito controllistico si usa questa dizionesolo per sistemi MIMO.


Sistema non interagente: processi termici in serie

Siano i due processi termici rappresentati in figura. Nel primo serbatoio entra solo il liquido Amentre nel secondo entra anche il liquido B. Si desidera studiare l’effetto della temperaturadei due flussi in ingresso T1(t) e T3(t) sulla temperatura in uscita dal secondo serbatoioT4(t).

fA

½

fB

T1

T2

T3

T4

fB

fA+

V2V1

½

Hyp. flussi volumetrici fA e fB costanti, densità e calori specifici uguali nei due serbatoi ecostanti ρ, Cp, serbatoi vicini e perdite di calore trascurabili.

Per i due serbatoi, h1 e h2 sono le entalpie specifiche, mentre u1 e u2 le energie interne. Siricorda che sia l’entalpia che l’energia interna assumono valori rispetto a una situazione diriferimento. In tutti gli esempi fin qui riportati si è preso idealmente 0◦K come temperaturadi riferimento.

Le due equazioni di conservazione della massa portano a V1 e V2 costanti.


Sistema non interagente: processi termici in serie

Le equazioni di conservazione dell’energia, per ogni serbatoio, sono

V1ρCpdT2(t)

dt= fAρCpT1(t)− fAρCpT2(t)

V2ρCpdT4(t)

dt= fAρCpT2(t) + fAρCpT3(t)− (fA + fB)ρCpT4(t)

Il sistema è già lineare ed è caratterizzato dalla matrice dinamica

A =

(−fA

V10

fAV2

−fA+fBV2

)

Trasformando le relazioni precedenti si ottiene

T4(s) =K1

(1 + τ1s)(1 + τ2s)T1(s) +

K2

1 + τ2sT3(s)

con

K1 =fA

fA + fB, K2 =

fB

fA + fB, τ1 =

V1

fA, τ2 =

V2

fA + fB

In conclusione si ha un sistema non interagente quando interconnettendo più sistemi la di-namica del sistema interconnesso è data dall’unione delle dinamiche dei singoli sottosistemi.


Sistema interagente: serbatoi in serie con valvola

Sia il processo costituito da due serbatoi interconnessi come in figura.

fo f

1

fi

h1

h2

f2

In questo caso la caduta di pressione sulla prima valvola è data da

∆P (t) = Pu(t)− Pd(t) = [Pa + ρgh1(t)]− [Pa + ρgh2(t)] = ρg [h1(t)− h2(t)]

e dipende sia dall’altezza del liquido nel primo serbatoio h1 che dall’altezza h2. I flussi f1 ef2 assumono quindi l’espressione

f1(t) = Cv1

√∆P (t)

Gf= Cv1

√ρg [h1(t)− h2(t)]

Gf= C ′v1

√h1(t)− h2(t)

f2(t) = C′v2

√h2(t)



La funzione f1(t) è una funzione non lineare sia di h1(t) che di h2(t). Rispetto al punto dilavoro la linearizzazione porta a

f1(t) ≈ f̄1 + C4[h1(t)− h̄1

]− C4[h2(t)− h̄2

]

con

C4 =∂f1(t)

∂h1(t)

∣∣∣ss

= −∂f1(t)∂h2(t)

∣∣∣ss

=1

2C ′v1(h̄1 − h̄2)−1/2

mentre per f2(t) si ha

f2(t) ≈ f̄2 + C2[h2(t)− h̄2

], C2 =

∂f2(t)

∂h2(t)

∣∣∣ss

=1

2C ′v2(h̄2)

−1/2,

Le equazioni di conservazione della massa sono identiche al caso considerato precedente-mente. Il sistema lineare finale è dato da

Ḣ1(t) = −C4A1

H1(t) +C4

A1H2(t) +

1

A1[Fi(t)− Fo(t)]

Ḣ2(t) =C4

A2H1(t)− C2 + C4

A2H2(t)



Definendo le seguenti grandezze

K4 =1

C4, K5 =

C4

C4 + C2, τ1 =

A1

C4, τ2 =

A2

C2 + C4

si può ottenere la seguente relazione in s

H2(s) =K4K5

(1 + τ4s)(1 + τ5s)[Fi(s)− Fo(s)] + K5

(1 + τ4s)(1 + τ5s)H2(s)

a cui corrisponde lo schema a blocchi

K4K5

¿41 +1

s ¿51 + s+ ++

- Fi(s)

Fo(s)

H1(s) H2(s)

La funzione di trasferimento di interesse è infine data dalla

H2(s) =K4K51−K5

τ4τ51−K5s

2 + τ4+τ51−K5s + 1

[Fi(s)− Fo(s)]

Si noti come, anche se apparentemente il sistema fisico è connesso in serie, il sistemarisultante non lo è.


Sistema interagente: processi termici con ricircolo

Si consideri lo stesso esempio precedente dei due processi termici in serie con in più unritorno α nel primo serbatoio, attraverso una pompa, di una quota del flusso in uscitafA + fB a temperatura T4. Si noti che 0 ≤ α ≤ 1.

fA

½

fB

T1

T2

T3

T4

fB

fA+V2V1

½

Le equazioni di conservazione della massa per ogni serbatoio portano, come nel caso prece-dente, a concludere che i volumi rimangono costanti. In particolare per il primo serbatoiosi ha un flusso entrante pari

flusso entrante = fA + α(fA + fB)

e deve coincidere con il flusso uscente dal primo serbatoio ed entrante nel secondo.



Le equazioni di conservazione dell’energia sono invece date dalle

V1ρCpdT2(t)

dt= fAρCpT1(t) + α(fA + fB)ρCpT4 − [fA + α(fA + fB)] ρCpT2(t)

V2ρCpdT4(t)

dt= [fA + α(fA + fB)] ρCpT2(t) + fBρCpT3(t)− (1 + α)(fA + fB)ρCpT4(t)

La matrice dinamica è pari a

A =

(−fA+α(fA+fB)

V1

α(fA+fB)V1

fA+α(fA+fB)V2

−(1+α)(fA+fB)V2

)

Nel dominio della variabile complessa s, definendo le seguenti grandezze

K1 =fA

fA + α(fA + fB), K2 =

α(fA + fB)

fA + α(fA + fB),

K3 =fA + α(fA + fB)

(1 + α)(fA + fB), K4 =

fB

(1 + α)(fA + fB),

τ1 =V1

fA + α(fA + fB), τ2 =

V2

(1 + α)(fA + fB)



si ha la seguente relazione

T4(s) =K3K1

(1 + τ1s)(1 + τ2s)−K2K3T1(s) +

K4(1 + τ1s)

(1 + τ1s)(1 + τ2s)−K2K3T3(s)

a cui corrisponde lo schema a blocchi

¿21 +1

s+

+

+

T1(s)

¿11 + s1

K2

K3K1

K4

+ T2(s)

T3(s)

T4(s)

Si noti che i legami T1–T4 e T3–T4 hanno apparentemente la stessa dinamica. In effettile due funzioni di trasferimento corrispondenti hanno lo stesso denominatore ma il legameT3–T4 è inoltre caratterizzato dalla presenza di uno zero (1 + τ1s). T4 risponderà, per lapresenza di tale zero, più prontamente ad una variazione di T3 che ad una variazione diT1. Fisicamente, una variazione di T1 influenzerà prima la temperatura T2 e, attraverso T2,successivamente T4; una variazione di T3, invece, influenza direttamente T4.


CSTR con capacità termica delle pareti

Un modello più realistico del CSTR tiene in conto anche della capacità termica delle paretidel serbatoio. In effetti, si è implicitamente finora ipotizzato che una variazione dellatemperatura del liquido di raffreddamento si traducesse in un trasferimento istantaneo dicalore tra il serbatoio e il jacket.

T(t)

Ti(t)

f

f

A Bk

Tai(t)

fa

Ta(t)fa

i

Tm(t)

Tm(t) temperatura parete, ◦C

Tai(t), Ta(t) temperatura in ingresso e in uscita jacket, ◦C

ρa densità acqua raffreddamento nel jacket, kg/m3

Va volume acqua nella camicia di raffreddamento

Hai, Ha entalpie acqua in ingresso/uscita jacket, J/kg

fi, f flusso volumetrico in ingresso/uscita reattore m3/s

L’equazione di bilanciamento del componente A rimane inalterata. Il contributo dellepareti a temperatura uniforme Tm porta a dover modificare l’equazione di conservazionedell’energia del serbatoio in

ρV CpdT (t)

dt= ρCp(fiTi(t)− fT (t))− λV (CA(t))2k0e−E/RT − hiAi(T (t)− Tm(t))

con hi coefficiente di trasferimento del calore e Ai area dello scambio per la parete interna.


CSTR con capacità termica delle pareti

Per le pareti la conservazione dell’energia si esprime con

ρmVmCvmdTm(t)

dt= hiAi(T (t)− Tm(t))− hoAo(Tm(t)− Ta(t))

dove ho e Ao indicano rispettivamente il coefficiente di trasferimento del calore e area delloscambio per la parete esterna, Vm volume parete, ρm densità parete e Cvm calore specificoa volume costante della parete. Infine per l’acqua di raffreddamento si ha la seguenteespressione della conservazione dell’energia

ρaVaCpadTa(t)

dt= faρaCpa(Tai(t)− Ta(t)) + hoAo(Tm(t)− Ta(t))

Linearizzando e definendo le opportune costanti, si ottengono le seguenti relazioni in s

CA(s) =1

1 + τ1s(K1CAi(s) + K2f(s)−K3T (s))

T (s) =1

1 + τ4s(K11f(s) + K12Ti(s)−K13CA(s) + K14Tm(s))

Tm(s) =1

1 + τ5s(K15T (s) + K16Ta(s))

Ta(s) =1

1 + τ6s(K17fa(s) + K18Tai(s) + K19Tm(s))


CSTR instabile

Si desidera vedere nel dettaglio il comportamento di un CSTR sotto ipotesi semplificative.

Hyp. Mescolamento perfetto sia nel reattore che nel jacket, reazione irreversibile Ak−→ B del

primo ordine, Ta direttamente manipolata (non è necessaria un’equazione di conservazionedell’energia per il jacket), volume e concentrazione costanti (quindi fi = f), capacità termicadella parete del reattore trascurabile.

Le uniche equazioni necessarie derivano dal bilanciamento del componente A e dalla con-servazione dell’energia nel reattore

dCA(t)

dt=

f

V(CAi(t)− CA(t))− k0e−∆E/RTCA(t)

dT (t)

dt=

f

V

(Ti(t)− Tref

)+−∆HρCp

k0e−∆E/RTCA(t)− CeA

V ρCp(T (t)− Ta(t))

Gli stati di equilibrio sono determinati dalle equazioni

0 =f

V(CAi(t)− CA(t))− k0e−∆E/RTCA(t)

0 =f

V

(Ti(t)− Tref

)+−∆HρCp

k0e−∆E/RTCA(t)− CeA

V ρCp(T (t)− Ta(t))


CSTR instabile

Si possono considerare i seguenti insiemi di parametri

Parametro Unità Caso 1 Caso 2 Caso 2F/V hr−1 1 1 1k0 hr−1 14825 * 3600 9703 * 3600 18194 * 3600

(−∆H) kcal/kgmol 5215 5960 8195∆E kcal/kgmol 11843 11843 11843ρCp kcal/(m3◦C) 500 500 500Ti ◦C 25 25 25

CAi kgmol/m3 10 10 10CeA/V kcal/(m3◦C hr) 250 150 750

Ta ◦C 25 25 25

Si consideri solo il Caso 2. Gli stati di equilibrio, trovati numericamente, sono pari a

Stato 1 Stato 2 Stato 3CAe 8.564 5.518 2.359Te 311.2 339.1 368.1


CSTR instabile

Definendo i seguenti parametri

k1e = k0e−∆E/RTe, k2e = k0e−∆E/RTe

∆E

RT 2e

si ottiene la seguente matrice dinamica per il sistema linearizzato intorno al generico statodi equilibrio xTe = (CAe, Te)

Ae =

(−F

V− k1e −CAek2e

(−∆H)ρCp

k1e −FV − CeAV ρCp(−∆H)

ρCpCeAk2e

)

la quale porta alle seguenti conclusioni:

• Stato di equilibrio 1: stabile asintoticamente;

• Stato di equilibrio 2: instabile (autov. a parte reale positiva);

• Stato di equilibrio 3: stabile asintoticamente.


CSTR instabile

Dalle equazioni di equilibrio (aggiungendo il pedice e alle variabili) si possono ricavare leseguenti relazioni

CAe =FV

CAieFV

+ k0e−∆E/RTe

e

FρCp (Te − Tie) + CeA (Te − Tae) = −∆HV k0e−∆E/RTeCAeQrim = Qgen

nella quale si è indicato con Qrim l’energia rimossa e con Qgen quella generata dalla reazione.All’equilibrio, avendo ipotizzato l’assenza di altre perdite, si ha l’uguaglianza tra le dueenergie.

Si noti che l’energia rimossa ha un’espressione lineare in Te

Qrim = [−CeATae − FρCpTie] + [CeA + FρCp]TeLa retta individuata da tale equazione ha una pendenza indipendente dalla temperatura siadi alimentazione Tie che del jacket Tae; pertanto variazioni di tali temperature porterannoad una traslazione della retta.


CSTR instabile

Sostituendo CAe ricavata precedentemente nell’espressione di Qgen si ottiene

Qgen = −∆HVk0e−∆E/RTe FV CAieFV

+ k0e−∆E/RTe

Tale funzione di Te ha un tipico andamento ad S. Il generico stato di equilibrio è datodall’intersezione della retta con la curva Qgen e si possono avere diverse situazioni comequelle rappresentate in figura: un solo stato di equilibrio (grafico a sinistra) o più stati diequilibrio (grafico di destra).

Qgen

Qrim

Qgen

Qrim

xe1

xe2

xe3

xe

Te Te


CSTR instabile

Dall’andamento dei grafici dell’energia rimossa e dell’energia generata, si possono dare leseguenti interpretazioni fisiche riguardo la stabilità asintotica o meno degli stati di equilibrio.

Qgen

Qrim

xe1

xe2

xe3

Te

Si consideri una perturbazione positiva di T in xe3, in

corrispondenza si avrà una quantità maggiore di energia

rimossa rispetto all’energia generata, riportandoci in xe3.

Per una perturbazione negativa la quantità di energia

generata è maggiore di quella rimossa, riportandoci in xe3.

Lo stesso vale per lo stato di equilibrio xe1 mentre si ha

esattamente il comportamento contrario per xe2.

Per far funzionare il reattore nell’intorno dello stato di equilibrio x2e si devono modificarealcuni parametri del sistema (o condizioni operative) in modo tale da ottenere un’unicaintersezione in x2e con caratteristiche simili a quelle in x1e o x3e. Ovviamente si può pensaredi ottenere lo stesso risultato attraverso il controllo a controreazione.


CSTR instabile

Altre interessanti considerazioni possono essere effettuate a partire dai grafici di Qgen e Qrim.Per diversi valori della temperatura del liquido di raffreddamento Ta si ottengono diverserette per l’energia rimossa, tutte con stessa pendenza. Indicando con A, B, C, D e E talirette, si ottengono diversi punti di equilibrio numerati da 1 a 9. Si può generare un nuovografico avente in ascissa Tae e sulle ordinate Te.

Qgen

Qrim

12

34

5

67

8 9

A B C D EQ

gen

1 23

4

5

6

78 9

A B C D E

Ta

TaeTe

Te

La curva risultante mette in luce un comportamento simile ad una isteresi.


CSTR instabile

Il termine isteresi viene usato in questo contesto per evidenziare un diverso comportamentoa seconda del verso di percorrenza. Partendo dal punto indicato con 1 a basse temperaturedel liquido di raffreddamento, all’aumentare di Ta, ci si sposta verso destra passando per ipunti 2 e 3. Arrivati nel punto 4, un lieve aumento di Ta provoca un brusco aumento dellatemperatura del reattore che passa direttamente al punto 8. Tale fenomeno viene chiamatoignition. Piccoli aumenti successivi di Ta si traducono in lievi aumenti di T .

Qgen

1 23

4

5

6

78 9

A B C D E

Tae

IgnitionExtinction

Te Partendo dal punto 9, lievi diminuzioni di Ta

portano a piccole diminuzioni di T fino

al punto 6. Al diminuire di Ta si ha una

brusca diminuzione di T con un salto

direttamente in 2. Successive diminuzioni

non provocano variazioni brusche di T .

Il fenomeno viene detto extinction.

Si noti che la regione di possibili punti di equilibrio compresa tra i punti 4 e 6 non verràmai percorsa. Tale insieme di punti di equilibrio rappresenta, al variare di Ta, un insieme dipunti instabili.


Controllo dei Processi Modellistica - Parte 3 · 2008. 10. 16. · In conclusione si ha un sistema...

Documents

Transcript of Controllo dei Processi Modellistica - Parte 3 · 2008. 10. 16. · In conclusione si ha un sistema...