ControlliAutomaticiI LEZIONE III...

Ingegneria Elettrica

Politecnico di Torino

Luca Carlone

Controlli Automatici I

LEZIONE III

Sommario – LEZIONE III

� Trasformata di Laplace

� Proprietà e trasformate notevoli

� Funzioni di trasferimento

� Scomposizione in fratti semplici� Scomposizione in fratti semplici

� Calcolo della risposta forzata

� Calcolo della risposta libera

� Calcolo della risposta di un sistema LTI

� Esempi ed esercizi numerici…

Trasformata di Laplace

� Associa la funzione di partenza di variabile reale (solitamente il tempo) ad una funzione di variabile complessa

� È uno strumento per la risoluzione e lo studio di equazioni differenziali lineari

� Esempio:

� Permette di trasformare operazioni di derivazione e integrazione in operazioni algebriche semplificando la trattazione matematica

( ) ( ) ( )= +ɺx t Ax t Bu t


� DEFINIZIONE: Trasformata di Laplace� Sia f una funzione della variabile reale t. La trasformata di

Laplace di f è una funzione complessa di variabile complessa s=α+jω, definita come:

[ ]+∞

nell’ipotesi che tale integrale converga per qualche valore di s.� NOTAZIONE: solitamente si indica con la lettera minuscola la

funzione di variabile reale e con la maiuscola corrispondente la funzione nel dominio di Laplace

[ ]0

( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt+∞

−= = ∫L


� DEFINIZIONE: Antitrasformata di Laplace� La funzione f(t) di origine si può ottenere dalla funzione F(s)

attraverso l’antitrasformata di Laplace, definita come:

[ ] 1( ) ( ) ( )

jstf t F s F s e ds

α+ ∞

= = ∫L-1

� OSSERVAZIONE: la trasformata di Laplace è una trasformazione biunivoca, ovvero ad ogni funzione di variabile reale corrisponde una e una sola trasformata di Laplace

[ ]( ) ( ) ( )2 j

f t F s F s e dsj α− ∞

= =π ∫L-1


� Motivazioni� Per risolvere le equazioni differenziali che descrivono un

sistema lineare tempo-invariante:

1. Si applica la trasformata di Laplace trasformando il problema differenziale in problema algebricoproblema differenziale in problema algebrico

2. Si ricava una soluzione nel dominio di Laplace

3. Per ottenere la soluzione si applica la trasformazione inversa, nota come antitrasformata di Laplace

Proprietà e trasformate notevoli

� PROPRIETA’:

� Linearità

� Coniugazione

[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t f t f tα + α = α + αL L L

( *) *( )F s F s=

� Traslazione in t

� Traslazione in s

� Derivazione in t

[ ] 00( ) ( ) stf t t F s e−− =L

00( ) ( ) = −

s te f t F s sL

( ) ( ) (0)f t sF s f = − ɺ

L

Proprietà e trasformate notevoli

� PROPRIETA’:

� Derivazione in s

� Integrazione in t

[ ] ( )( )

dF st f t

ds= −L

0

1( ) ( )

tf d F s

s ξ ξ = ∫L

� Convoluzione

� Teorema valore iniziale

� Teorema valore finale

0 s ∫

[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f t f t F s F s∗ = ⋅L

(0) lim ( )s

f sF s→+∞

=

L

0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s→+∞ →

=

( )f t ( )F s

( )tδ

( )g t

1

( )−mt

g t

1

( )( 1)!

−α

−

mt t

e g tm

( )f t

sin( ) ( )α ωte t g t

cos( ) ( )α ωte t g t

( )F s

1

1

s

1

( )1

− α ms

2 2( )s

ω− α + ω

s − α( )( 1)!−

g tm

sin( ) ( )ωt g t

cos( ) ( )ωt g t

cos( ) ( )α ωte t g t

sin( ) ( )α ωtt e t g t

cos( ) ( )α ωtt e t g t

1ms

2 2s

ω+ ω

2 2

s

s + ω

2 2( )

s

s

− α− α + ω

2 2 2

2 ( )

(( ) )

ω − α− α + ω

s

s2 2

2 2 2

( )

(( ) )

− α − ω− α + ω

s

s

NOTA: g(t) è il gradino unitario e serve a limitare lo studio a t ≥ 0

Funzioni di trasferimento

� RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= + = +

ɺx t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

1 1( ) ( ) (0) [ ( ) ] ( )Y s C sI A x C sI A B D U s− −= − ⋅ + − + ⋅

Risposta libera Risposta forzata

( ) ( ) ( )= +y t Cx t Du t

L


� RAPPRESENTAZIONE INGRESSO-USCITA E FUNZIONI DI TRASFERIMENTO

11 1 1 0

11 1 0

...( )[ ( ) ]

( ) ...

m mm m

n nn

b s b s b s bY sC sI A B D n m

U s s a s a s a

−− −

−−

+ + + += − + = ≥

+ + + +

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

(fdt)

W(s)


� FORME DI RAPPRESENTAZIONE� Forma polinomiale:

11 1 0

1

...( )

...

m mm m

n n

b s b s b s bW s n m

s a s a s a

−−

−−

+ + + += ≥

+ + + +

� Forma guadagno-zeri-poli:

1 1 0...ns a s a s a−+ + + +

1

1

( )( )

( )

=

=

−=

−

∏

∏

m

iin

ii

s zW s k

s p


� FORME DI RAPPRESENTAZIONE� Forma coefficienti e poli:

1 1

( )( )= =

=−∑∑

innij

ji j

cW s

s p

� Forma costanti di tempo:

22

22

2 ' 1(1 )(1 ' )

' '( )

2 1(1 ) (1 )

ζ+ +− τω ω

=ζ− τ + +

ω ω

∏∏

∏ ∏

ii ii i

h

ii i i i

s ssk

W ss

s s s

1 1 ( )= = −∑∑i j is p

Scomposizione in fratti semplici

� Per ottenere la risposta nel tempo, antitrasformando la corrispondente trasformata di Laplace, è conveniente utilizzare la rappresentazione coefficienti e poli

� Negli esercizi numerici si parte solitamente da una rappresentazione polinomialerappresentazione polinomiale

� In particolare, è possibile esprimere la F(s) come una combinazione lineare ditermini, detti fratti semplici :

1

( )− js p


� POLI REALI DI MOLTEPLICITA’ UNITARIA:

11 1 0

11 1 0

...( )

...

−−

−−

+ + + +=

+ + + +

m mm m

n nn

b s b s b s bF s

s a s a s aCalcolo dei residui

1. [( ) ( )] == −ii i s pr s p F s

1

( )=

=−∑

ni

i i

rF s

s p

1

( ) ( )=

=∑ i

np t

ii

f t r e g t

2. Principio d’identità dei polinomi

OSSERVAZIONE: residui associati a poli reali sono reali

= ii i s p


� POLI REALI MULTIPLI1

1 1 01

1 1 0

...( )

...

−−

−−

+ + + +=

+ + + +

m mm m

n nn

b s b s b s bF s

s a s a s a ( ),

1 1

( )= =

=−

∑∑inn

i j

ji j i

rF s

s p

1

( ) ( )−

=∑∑i

i

n jnp tt

f t r e g t,1 1

( ) ( )( 1)!= =

=−∑∑ i

i ji j

f t r e g tj

Calcolo dei residui

1.

2. Principio d’identità dei polinomi

( ),

1( ) ( )

( )!

−

−=

= − −

i

i

i

i

n jn

i j in ji s p

dr s p F s

n j ds


� POLI COMPLESSI CONIUGATI� Generano una risposta oscillatoria il cui inviluppo è

determinato dalla parte reale dei poli

OSSERVAZIONE: residui associati a poli complessi coniugati sono a loro volta complessi coniugati

� Si possono calcolare utilizzando la procedura vista per I poli reali di molteplicità unitaria oppure utilizzando SCILAB

2

*( )

ms n r rF s

s p jq s p jqs as b

+= = ++ − + ++ +


� POLI COMPLESSI CONIUGATI� La risposta nel tempo corrispondente ad una coppia

di poli complessi coniugati è data dall’espressione :

*( )

r rF s

s p jq s p jq= +

+ − + +s p jq s p jq+ − + +

( )( ) cos ( )ptf t r e qt r g t= + ⋅

p = parte reale del poloq = parte immaginaria del polo|r| = modulo del residuoassociato al polo

= fase del residuoassociation al polor

Calcolo della risposta forzata

� PROBLEMA: dato il sistema

con A, B, C e D note e tempo-invarianti,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= + = +

ɺx t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

con A, B, C e D note e tempo-invarianti,

DETERMINARE

� L’espressione analitica della risposta del sistema y(t)a fronte di un ingresso u(t) polinomiale

� OSSERVAZIONE: la risposta per ingressi sinusoidali sarà trattata nella prossima lezione (LEZIONE IV)


� SOLUZIONE:

1. Trasformare la rappresentazione ingresso-stato-uscita in funzione di trasferimento

Applicare la trasformata di Laplace alla funzione u(t)2. Applicare la trasformata di Laplace alla funzione u(t)

3. Ottenere l’uscita del sistema nel dominio di Laplace

4. Scomporre in fratti semplici e antitrasformare, ottenendo la risposta forzata yf(t)


1. Trasformare la rappresentazione ingresso-stato-uscita in funzione di trasferimento

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= + = +

ɺx t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

� OSSERVAZIONE: In sede d’esame questo passaggio si può svolgere utilizzando il calcolatore (vedi [SCILAB])

( ) ( ) ( )= +y t Cx t Du t

11 1 1 0

11 1 0

...( ) [ ( ) ]

...

−− −

−−

+ + + += − + = ≥

+ + + +

m mm m

n nn

b s b s b s bW s C sI A B D n m

s a s a s a


2. Applicare la trasformata di Laplace alla funzione u(t)

1

( ) ( ) 0( 1)!

−

= ≥−

mtu t g t t

m

L

� OSSERVAZIONE: Questo passaggio si può svolgere utilizzando le tavole con le trasformate e antitrasformate di Laplace

1( ) =

mU s

s

L


3. Ottenere l’uscita del sistema nel dominio di Laplace

( )W s ( )U s

( ) ( ) ( )fY s W s U s= ⋅

Ottenuta al passo 1 Ottenuta al passo 2


4. Scomporre in fratti semplici e antitrasformare, ottenendo la risposta forzata y(t)

Forma polinomiale

Forma coefficienti e poli( )fY s

� OSSERVAZIONE: Questo passaggio si può svolgere utilizzando il calcolatore (vedi [SCILAB]) o seguendo le indicazioni contenute nelle slide precedenti (SCOMPOSIZIONE IN FRATTI SEMPLICI)

L-1

Forma coefficienti e poli(fratti semplici)

( )fy t

Calcolo della risposta libera

� La risposta libera si ottiene dal primo addendo della relazione:

1 1( ) ( ) (0) [ ( ) ] ( )Y s C sI A x C sI A B D U s− −= − ⋅ + − + ⋅

� Dopo aver ottenuto è necessario antitrasformare per ottenere la risposta libera nel tempo che rappresenta l’evoluzione naturale di un sistema senza ingressi a partire dalla condizione iniziale x(0)

Risposta libera Risposta forzata

1( ) (0)C sI A x−− ⋅

Calcolo della risposta libera

� SOLUZIONE:

1. Calcolare a partire da A, C e le condizioni iniziali x(0)

Scomporre in fratti semplici e antitrasformare, ottenendo

1( ) ( ) (0)lY s C sI A x−= − ⋅

2. Scomporre in fratti semplici e antitrasformare, ottenendo la risposta libera yl(t)

Calcolo della risposta di un sistema LTI

� Il calcolo dell’espressione analitica della risposta di un sistema lineare tempo-invariante (LTI) a fronte di un ingresso u(t) a partire dalle condizioni iniziali x(0) si ottiene, per linearità, sommando il contributo della risposta libera a quello dovuto alla risposta forzata

� SOLUZIONE:

1. Calcolare la risposta forzata yf(t) all’ingresso u(t) trascurando l’evoluzione libera

2. Calcolare la risposta libera yl(t) trascurando l’evoluzione forzata

3. La risposta del sistema si ottiene sommando I due contributi:

( ) ( ) ( )f ly t y t y t= +

� Esempi ed esercizi numerici…� Esempi ed esercizi numerici…

ControlliAutomaticiI LEZIONE III...

Documents

Transcript of ControlliAutomaticiI LEZIONE III...