conservaz-energia

5/16/2018 conservaz-energia - slidepdf.com

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C O N S E R V A Z I O N E D E L L ' E N E R G I A

E s e r c i z i s v o l t i e d i s c u s s i d a l p r o f . G i a n l u i g i T r i v i a

( s c r i t t o c o n L y x - w w w . l y x . o r g )

1 . E N E R G I A P O T E N Z I A L E

E x e r c i s e 1 . S u d i u n a p a r t i c e l l a a g i s c e s o l o l a f o r z a c o n s e r v a t i v a F. S e l a p a r t i c e l l a s i t r o v a n e l p u n t o A

,

l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l s i s t e m a è d i 40 J . S e l a p a r t i c e l l a s i m u o v e d a l p u n t o A a l p u n t o B , i l l a v o r o s v o l t o s u l l a

p a r t i c e l l a d a F è p a r i +25 J

. T r o v a r e l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l s i s t e m a q u a n d o l a p a r t i c e l l a è i n B

.

S o l u z i o n e : S e l a f o r z a i n q u e s t i o n e è c o n s e r v a t i v a , a l l o r a i l l a v o r o c o m p i u t o p e r a n d a r e d a A a B è

i n d i p e n d e n t e d a l l a t r a i e t t o r i a s e g u i t a , m a d i p e n d e s o l o d a l l a d i e r e n z a d i p o t e n z i a l e t r a i d u e p u n t i .

T r a i d u e p u n t i , s i h a U = −L = −25

, e i n B

, l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e s a r à

U B = 40− 25 = 15 J

E x e r c i s e 2 . D e t e r m i n a r e l a c o s t a n t e d i u n a m o l l a c h e i m m a g a z z i n a 25 J

d i e n e r g i a p o t e n z i a l e e l a s t i c a q u a n d o

v i e n e c o m p r e s s a d i 7.5 cm r i s p e t t o a l l a s u a p o s i z i o n e d i e q u i l i b r i o .

S o l u z i o n e : N e l m o m e n t o i n c u i l a m o l l a v i e n e r i l a s c i a t a , l a s u a e n e r g i a p o t e n z i a l e s i t r a s f o r m a i n c i n e t i c a

d e l c o r p o e v e n t u a l m e n t e a d e s s a a t t a c c a t o . L ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d i u n a m o l l a s i e s p r i m e c o m e

U =1

2k

x2

f − x2

i

se

a s s u m i n a m o c o m e z e r o , i l p o t e n z i a l e n e l l a p o s i z i o n e d i e q u i l i b r i o , s i h a

U =1

2kx2

d a c u i

k = 2U x2

= 2 · 25 J (0.075 m)

2= 8889 N

m

E x e r c i s e 3 . S i l a s c i c a d e r e u n l i b r o d i m a s s a 2.0 kg f r a l e b r a c c i a d i u n a p e r s o n a c h e s i t r o v a 10 m p i ù i n b a s s o .

P o n e n d o u g u a l e a z e r o l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e a l i v e l l o d e l s u o l o , t r o v a r e 1 ) l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l l i b r o a l l ' i s t a n t e

i n c u i i n i z i a l a p r o p r i a c a d u t a ; 2 ) l ' e n e r g i a c i n e t i c a d e l l i b r o a p p e n a p r i m a c h e l a p e r s o n a l o a e r r i c o n l e m a n i

t e s e p o s t e a 1.5 m

d a l s u o l o ; 3 ) l a v e l o c i t à d i c a d u t a d e l l i b r o i n q u e l m o m e n t o .

S o l u z i o n e : A s s u m e n d o c o m e n u l l a l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e a l s u o l o , s i p u ò d i r e l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e s o l l e v a t o

d a t e r r a è d a t a d a

U = mgh

d o v e mg

è l a f o r z a p e s o c h e l o t r a s c i n a v e r s o i l b a s s o . N e l l ' i s t a n t e d ' i n i z i o d e l l a c a d u t a l a d i s t a n z a d a l

s u o l o è p a r i a 10 m, p e r c u i

U 10 = 2.0 kg · 9.8m

s2· 10 m = 196 J

S e i l l i b r o v i e n e a e r r a t o a 1.5 m

l ' e n e r g i a p o s s e d u t a i n q u e s t o p u n t o s a r à

U 1.5 = 2.0 kg · 9.8m

s2· 1.5 m = 29.4 J

L a d i e r e n z a d i p o t e n z i a l e e s p r i m e r à l ' e n e r g i a c i n e t i c a a c q u i s i s t a d a l l i b r o d u r a n t e l a c a d u t a s o t t o

l ' a z i o n e d e l p e s o

K = U = (196− 29.4) J = 166.6 J

P o i c h é l ' e n e r g i a c i n e t i c a è e s p r e s s a d a K = 1

2mv2 , i n q u e s t a p o s i z i o n e a v r à u n a v e l o c i t à

v =

2K m =

2 · 166.6 J 2.0 kg = 12.9 ms

E x e r c i s e 4 . U n a s c h e g g i a d i g h i a c c i o è l a s c i a t a s c i v o l a r e d a l b o r d o i n u n a c o p p a s e m i s f e r i c a d i r a g g i o 22 cm,

p r i v a d i a t t r i t o . D e t e r m i n a r e l a v e l o c i t à c h e p o s s i e d e l a s c h e g g i a q u a n d o a r r i v a i n f o n d o a l l a c o p p a .

1



C O N S E R V A Z I O N E D E L L ' E N E R G I A 2

S o l u z i o n e : S e s i t r a s c u r a l ' a t t r i t o , l a f o r z a a g e n t e è c o n s e r v a t i v a è q u i n d i i l l a v o r o d a e s s a c o m p i u t o

d i p e n d e s o l o d a l l a p o s i z i o n e i n i z i a l e e n a l e . I n q u e s t o c a s o , r i s p e t t o a l l a p o s i z i o n e p i ù b a s s a a p o t e n z i a l e

n u l l o , i l d i s l i v e l l o è p a r i a l r a g g i o ; t u t t a l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e s i t r a s f o r m a i n e n e r g i a c i n e t i c a , c i o è

1

2mv2 = mgh

r i s o l v e n d o r i s p e t t o a v , s i o t t i e n e

v =

2gh =

2 · 9.8 ms2· 0.22 m = 2.1 m

s

E x e r c i s e 5 . I l c a r r e l l o d i m a s s a m d i u n o t t o v o l a n t e , p r i v o d i a t t r i t o , a r r i v a i n c i m a a l l a p r i m a g o b b a i n g u r a

a l l a v e l o c i t à v0 . T r o v a r e l a s u a v e l o c i t à n e l p u n t o A, n e l p u n t o B e n e l p u n t o C . D e t e r m i n a r e i n n e l ' a l t e z z a

s u l l a s a l i t a p e r l ' u t l i m a g o b b a , c h e è t r o p p o a l t a p e r e s s e r e s u p e r a t a .

S o l u z i o n e : I l p u n t o A

s i t r o v a a l l a s t e s s a d a l s u o l o e q u i n d i i l c a r r e l l o p o s s i e d e r à l a s t e s s a v e l o c i t à v0 ; n e l

p u n t o B , s i t r o v a a d u n ' a l t e z z a p a r i a l l a m e t à d i q u e l l a i n i z i a l e ; i n t a l c a s o l a s u a e n e r g i a p o t e n z i a l e

s i è i n p a r t e t r a s f o r m a t a i n e n e r g i a c i n e t i c a a u m e n t a n d o q u i n d i l a p r o p r i a l a v e l o c i t à . C a l c o l i a m o t a l e

v e l o c i t à vB . L ' e n e r g i a p o t e n z i a l e ( d i s t a n z a d a l s u o l o

h/2) s a r à

U =1

2 mgh

q u i n d i

U = mgh − 1

2mgh =

1

2mgh

L a v e l o c i t à i n A

h a s o l o c o m p o n e n t e o r i z z o n t a l e , c i o è vAy = 0

. L a c o m p o n e n t e v e r t i c a l e c r e s c e d u r a n t e

l a c a d u t a

vBy =

2

h

2g =

hg

L a v e l o c i t à i n B

s a r à l a s o m m a d e l l e d u e c o m p o n e n t i

vB =

v20

+ hg

N e l p u n t o

C l a s u a v e l o c i t à a v r à m a s s i m a c o m p o n e n t e v e r t i c a l e e i n v a r i a t a c o m p o n e n t e o r i z z o n t a l e

vC =

v20

+ 2hg

Q u e s t a v e l o c i t à s i r i d u c e d u r a n t e l a s a l i t a n a l e n o a d a n n u l l a r s i n e l p u n t o d i m a s s i m a a l t e z z a . N e l

p u n t o C

i l c a r r e l l o p o s s i e d e u n a e n e r g i a c i n e t i c a

K =1

2mv2C

t a l e e n e r g i a s i t r a s f o r m a c o m p l e t a m e n t e , i n a s s e n z a d i a t t r i t o , i n e n e r g i a p o t e n z i a l e U = mgh

. U g u a g l i a n -

d o l e d u e q u a n t i t à è p o s s i b i l e d e t e r m i n a r e l ' a l t e z z a m a s s i m a r a g g i u n g i b i l e

1

2mv2C = mghmax

d a c u i

hmax =v2C 2g

=v20 + 2hg

2g=

v202g

+ h




E x e r c i s e 6 . U n a p a l l a d i m a s s a m è a t t a c c a t a a l l ' e s t r e m i t à d i u n ' a s t i c e l l a l e g g e r i s s i m a d i l u n g h e z z a L e

m a s s a t r a s c u r a b i l e . L ' a l t r o e s t r e m o d e l l ' a s t i c e l l a è s s a t a a u n p e r n o c h e c o n s e n t e a l l a p a l l a d i d e s c r i v e r e u n a

c i r c o n f e r e n z a i n u n p i a n o v e r t i c a l e . L ' a s t i c e l l a t e n u t a i n p o s i z i o n e o r i z z o n t a l e r i c e v e u n a s p i n t a v e r s o i l b a s s o

s u c i e n t e a f a r r u o t a r e l a p a l l a n o a r a g g i u n g e r e l a p o s i z i o n e p i ù a l t a s u l l a v e r t i c a l e , d o v e l a s u a v e l o c i t à s i

a n n u l l a . T r o v a r e l a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l l a p a l l a e l a v e l o c i t à i n i z i a l e i m p r e s s a l e .

S o l u z i o n e : L a r o t a z i o n e a v v i e n e s u u n p i a n o v e r t i c a l e . I n t a l i c o n d i z i o n i l a f o r z a p e s o n o n è c o n t r o b i -

l a n c i a t a e c o m p i e l a v o r o f a c e n d o c a d e r e l a p a l l a l u n g o u n a t r a i e t t o r i a d i u n q u a r t o d i c i r c o n f e r e n z a , a

c a u s a d e l v i n c o l o . E s s a p e r ò n o n è i n g r a d i d i f a r r i s a l i r e l a p a l l a v e r s o l a p o s i z i o n e p i ù a l t a ; è n e c e s s a r i a

q u i n d i u n a f o r z a a g g i u n t i v a . A s s u m i a m o c h e i l v a l o r e d e l l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e s i a n u l l o n e l p u n t o p i ù

b a s s o d e l l a t r a i e t t o r i a . L a p a l l a s u p e r a , c a d e n d o , u n d i s l i v e l l o L . L ' e n e r g i a p o t e n z i a l e n e l p u n t o d i

p a r t e n z a , i n p o s i z i o n e o r i z z o n t a l e , c o n l a s c e l t a f a t t a , è

U oriz = mgL

Q u a n d o s i t r o v a n e l l a p o s i z i o n e p i ù a l t a , s a r à a d u n a d i s t a n z a 2L

d a l l a p o s i z i o n e p i ù b a s s a , e l ' e n e r g i a

p o t e n z i a l e s a r à

U max = 2mgL

L a v a r i a z i o n e s a r à

U = mgL

L a s o l a f o r z a p e s o c o n s e n t i r e b b e d i r a g g i u n g e r e u n a a l t e z z a

L, n e l v e r s o o p p o s t o a q u e l l o i n i z i a l e ;

p e r t a n t o l a f o r z a a g g i u n t i v a è t a l e d a c o m p i e r e u n l a v o r o p a r i a mgL f o r n e n d o c o s ì u n ' e n e r g i a c i n e t i c a

1

2mv2 = mgL

d a c u i l a v e l o c i t à

v =

2gL

E x e r c i s e 7 . U n ' a s t i c e l l a l e g g e r i s s i m a d i l u n g h e z z a L = 2.00 m

e m a s s a t r a s c u r a b i l e è s s a t a a u n p e r n o c h e

l e c o n s e n t e d i d e s c r i v e r e u n c e r c h i o i n u n p i a n o v e r t i c a l e . U n a p a l l a p e s a n t e d i m a s s a m è s s a t a a l l ' e s t r e m i t à

i n f e r i o r e . L ' a s t i c e l l a è s p o s t a t a l a t e r a l m e n t e d i u n a n g o l o θ = 30° , v e d i g u r a , e q u i l a s c i a t a l i b e r a . T r o v a r e l a

v e l o c i t à c o n l a q u a l e s i m u o v e r à l a p a l l a p a s s a n d o p e r i l p u n t o p i ù b a s s o .

S o l u z i o n e : L a m a s s a

mn e l l a p o s i z i o n e p i ù b a s s a s i t r o v e r à a

2.00 md a l p e r n o d e l l ' a s t a . S e l a p a l l a v i e n e

s p o s t a t a i n a v a n t i , d e s c r i v e n d o u n a r c o d i c i r c o n f e r e n z a , s i t r o v e r à a d u n a a l t e z z a s u p e r i o r e r i s p e t t o a l

l i v e l l o d e l p u n t o p i ù b a s s o . C a l c o l i a m o d i q u a n t o s i a l z a l a p a l l a ( l ' a n g o l o d i 30

° c o n s e n t e d i u t i l i z z a r e

l a g e o m e t r i a d i u n t r i a n g o l o e q u i l a t e r o , n e l q u a l e l a l u n g h e z z a d e l l ' a s t a r a p p r e s e n t a i l l a t o e l a p o s i z i o n e

d e l v e r t i c e o c c u p a t o d a l l a p a l l a r i s p e t t o a l p u n t o i n f e r i o r e è i n d i c a t a d a l l ' a l t e z z a ; l a r e l a z i o n e c h e l e g a

a l t e z z a e l a t o d i u n t r i a n g o l o e q u i l a t e r a è h = l√ 3

2) :

d = L− L√

3

2= 2.00

2−√3

2

m = 0.27 m

L a p a l l a a c q u i s t e r à q u i n d i u n a e n e r g i a p o t e n z i a l e , r i s p e t t o a l p u n t o p i ù b a s s o a s s u n t o c o n e n . p o t r e n z i a l e

n u l l a ,

U = mgd = m

·9.8

m

s2

·0.27 m = 2.6 m (J )

I n t a l e p o s i z i o n e , s e l a p a l l a v i e n e l a s c i a t a r i c a d e r e a c q u i s t e r à , n e l p u n t o p i ù b a s s o , u n a e n e r g i a c i n e t i c a

p a r i a q u e l l a p o t e n z i a l e , c i o è

1

2mv2 = mgd = 2.6 m




s e m p l i c a n d o m e r i s o l v e n d o r i s p e t t o a v , s i h a

v =

5.2

m2

s2= 2.3

m

s

E x e r c i s e 8 . U n b l o c c h e t t o d i m a s s a m s c i v o l a s e n z a a t t r i t o l u n g o u n a g u i d a r i p i e g a t a a d a n e l l o c o m e i n g u r a .

S e p a r t e d a f e r m o i n

P , t r o v a r e l a f o r z a r i s u l t a n t e c h e a g i s c e s u d i e s s o n e l p u n t o

Q( s u p p o r r e

h = 5R) . T r o v a r e

p o i d a q u a l e a l t e z z a r i s p e t t o a l f o n d o d e l l ' a n e l l o d e v e s c e n d e r e i l b l o c c h e t t o p e r c h é l a f o r z a e s e r c i t a t a c o n t r o l a

g u i d a n e l v e r t i c e d e l l ' a n e l l o s i a u g u a l e a l s u o p e s o .

S o l u z i o n e : I l b l o c c h e t t o i n f a s e d i c a d u t a s u p e r a u n d i s l i v e l l o u g u a l e a d h

. S e s u p p o n i a m o c h e l ' a t t r i t o

s i a t r a s c u r a b i l e , i l c o r p o a c q u i s t a u n a e n e r g i a c i n e t i c a

K =1

2mv2 = mgh

( S i n o t i c h e l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l b l o c c o i n P

, v i e n e t r a s f o r m a t a , i n f a s e d i d i s c e s a , i n e n e r g i a c i n e t i c a ) .

G i u n t o n e l p u n t o p i ù b a s s o , i l b l o c c o r i s a l e t r a s f o r m a n d o l a s u a e n e r g i a c i n e t i c a , d i n u o v o , i n e n e r g i a

p o t e n z i a l e . N e l p u n t o Q

, l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e v a l e

U = mgR

i n q u e s t o p u n t o i l b l o c c o a v r à u n a e n e r g i a c i n e t i c a

K =1

2mv2Q

L ' e n e r g i a t o t a l e , n e l l ' i p o t e s i n o n d i s p e r s i v a , è p a r i a l l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l b l o c c o i n P , p a r t e n d o e s s o

d a f e r m o ,

E = mgh = 5mgR

q u i n d i i n Q

s i h a

1

2mv2Q + mgR = 5mgR

e l i m i n a n d o m, e r i s o l v e n d o r i s p e t t o a v , s i r i c a v a

v2Q = 8gR

L e f o r z e c h e a g i s c o n o i n Q

s o n o l a f o r z a c e n t r i p e t a e l a f o r z a p e s o

F c =mv2

R= 8mg P = mg

s o m m a n d o v e t t o r i a l m e n t e , s i h a

F = mg√

64 + 1 = 8.06mg

e l a d i r e z i o n e è c a r a t t e r i z z a t a d a l l ' a n g o l o

α = arctan

8mg

mg

= 82.9°

S e c o n d o p u n t o : A n a l i z z i a m o i l q u e s i t o d a l p u n t o d i v i s t a e n e r g e t i c o , t e n e n d o c o n t o c h e l ' e n e r g i a t o t a l e

s i c o n s e r v a .

·n e l p u n t o P : E n . p o t e n z i a l e U P = mg e E n . c i n e t i c a K p = 0

·n e l p u n t o p i ù b a s s o A: E n . p o t . U A = 0 e E n . c i n . K A = 1

2mv2A




·n e l p u n t o p i ù a l t o d e l r i c c i o l o B : U B = 2mgR e K B = 1

2mv2B . O r a , a p p l i c a n d o l a c o n s e r v a z i o n e

d e l l ' e n e r g i a t o t a l e

2mgR + K = mgh

d a c u i

K = mg (h− 2R) =1

2v2B

d a c u i s i r i c a v a

v2

B = 2g (h− 2R)N e l p u n t o

B, p e r t a n t o , a n c h é i l b l o c c o s t i a p e r p e r d e r e c o n t a t t o è n e c e s s a r i o c h e l a f o r z a v i n c o l a r e

e s e r c i t a t a d a l l a g u i d a s i a u g u a l e a l p e s o ; m a l a f o r z a v i n c o l a r e è l a f o r z a c e n t r i p e t a , p e r c u i

mg =mv2B

R

s o s t i t u e n d o v2B o t t e n u t o p r i m a , s i h a

g =2g (h− 2R)

R

c i o è , e l i m i n a n d o g

R = 2h− 4R

d a c u i s i o t t i e n e

h = 52

R

2 . C o n s e r v a z i o n e d e l l ' E n e r g i a M e c c a n i c a

E x e r c i s e 9 . U n u o m o d i 70.0 kg s a l t a d a u n a n e s t r a n e l l a r e t e d e i v i g i l i d e l f u o c o t e s a 11.0 m p i ù i n b a s s o . L a

r e t e , c e d e n d o d i 1.5 m, r i e s c e a d a r r e s t a r l o , p e r r i l a n c i a r l o s u b i t o d o p o v e r s o l ' a l t o . C a l c o l a r e l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e

d e l l e r e t e t e s a a l m a s s i m o s e l ' e n e r g i a m e c c a n i c a è c o n s e r v a t a .

S o l u z i o n e : l a c o n s e r v a z i o n e d e l l ' e n e r g i a m e c c a n i c a p r e s u p p o n e c h e l ' u o m o r i t o r n i i n d i e t r o c o n l a s t e s s a

v e l o c i t à c o n l a q u a l e a v e v a c o l p i t o l a r e t e , c i o è c h e l ' e n e r g i a c i n e t i c a a c q u i s i t a n e l l a c a d u t a v e n g a s p e s a

p e r e s t e n d e r e l a r e t e . L a f o r z a e l a s t i c a d e l l a r e t e c o m p i e u n l a v o r o d i r i c h i a m o c h e r i p o r t a l ' u o m o n e l l a

p o s i z i o n e i n z i a l e ( c o n s e r v a z i o n e e n e r g i a m e c c a n i c a )

∆U = mg (hi − hf ) = 70.0 kg · 9.8m

s2· (11.0 + 1.5) m = 8575 J

E x e r c i s e 1 0 . U n ' a u t o c i s t e r n a f u o r i c o n t r o l l o p e r u n g u a s t o a i f r e n i s t a s c e n d e n d o a p r e c i p i z i o a 130 km/h.

V i c i n o a l t e r m i n e d e l l a d i s c e s a s i t r o v a p e r ò u n a r a m p a d i e m e r g e n z a i n c o n t r o p e n d e n z a d i 15

° . T r o v a r e l a

l u n g h e z z a m i n i m a a n c h é l a c i s t e r n a s i p o s s a f e r m a r e a l m e n o p e r u n m o m e n t o .

S o l u z i o n e : D a l t e s t o a p p a r e c h e l a v e l o c i t à d e l l a c i s t e r n a è c o s t a n t e . É n e c e s s a r i o , p e r t a n t o , c a l c o l a r e i l

t r a t t o d i s t r a d a p e r c o r s a l u n g o u n p i a n o i n c l i n a t o d i 15

° , a n c h é t a l e v e l o c i t à s i a n n u l l i . C o n u n t a l e

a n g o l o , s i h a

tan 15°

=

h

Ld o v e

he

Ls o n o r i s p e t t i v a m e n t e l ' a l t e z z a e l a l u n g h e z z a d e l n o s t r o p i a n o i n c l i n a t o . I l p u n t o i n c u i l a

c i s t e r n a s i f e r m a è q u e l l o n e l q u a l e t u t t a l ' e n e r g i a c i n e t i c a s i t r a s f o r m a i n e n e r g i a p o t e n z i a l e , c i o è

1

2mv2 = mgh

d a c u i

h =v2

2g=

130

3.6ms

22 · 9.8 m

s2= 66.5 m

N e d e r i v a c h e

L =h

tan15°

=66.5 m

tan15°

= 248 m

E x e r c i s e 1 1 . U n a p i e t r a d i m a s s a 8 kg

c o m p r i m e u n a m o l l a s i 10.0 cm

. T r o v a r e l a c o s t a n t e d e l l a m o l l a . L a

p i e t r a v i e n e p o i s p i n t a i n g i ù d i a l t r i 30.0 cm e p o i r i l a s c i a t a . T r o v a r e l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l l a m o l l a s u b i t o

p r i m a d e l r i l a s c i o . D e t e r m i n a r e l ' a l t e z z a o l t r e l a p o s i z i o n e d i r i l a s c i o a l l a q u a l e l a p i e t r a p u ò a r r i v a r e .




S o l u z i o n e : I l p e s o d e l l a p i e t r a c o m p r i m e l a m o l l a . C a l c o l o i l p e s o d e l l a p i e t r a

P = mg = 8 kg · 9.8m

s2= 78.4 N

S e l a m o l l a è c o m p r e s s a d i 10.0 cm, l a c o s t a n t e s i o t t i e n e d a F = −k∆x,

k =78.4 N

0, 10 m= 784

N

m

L ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d i u n a m o l l a è p a r i a

U =1

2kx2

, p e r t a n t o , l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e p r i m a d e l r i l a s c i o ,

t e n e n d o c o n t o d i u n a c o m p r e s s i o n e t o t a l e d i 30.0 + 10.0 = 40.0 cm è

U =1

2· 784

N

m· (0.40)

2m2 = 62.7 J

l a m o l l a , s e r i l a s c i a t a , r i l a n c i a l a p i e t r a i n a l t o . L ' e n e r g i a d i s p o n i b i l e è p a r i a l l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e

a c c u m u l a t a . S u p p o n i a m o c h e t a l e e n e r g i a s i t r a s f o r m i i n t e r a m e n t e i n e n e r g i a c i n e t i c a K = 1

2mv2 ; l a

p i e t r a a c q u i s t e r à u n a v e l o c i t à

v =

2K

m=

2 · 62.7 J

8 kg= 4

m

s

p o i c h é v =√

2gh , l ' a l t e z z a r a g g i u n g i b i l e s a r à

h =v2

2g =16 m2

s2

2 · 9.8 ms2

= 0.82 m

E x e r c i s e 1 2 . U n a b i g l i a d i 5.0 g

v i e n e l a n c i a t a v e r t i c a l m e n t e v e r s o l ' a l t o c o n u n a m o l l a . A n c h é l a b i g l i a

c o l p i s c a u n b e r s a g l i o p o s t o a 20 m, l a m o l l a d e v e e s s e r e c o m p r e s s a d i 8.0 cm. C a l c o l a r e l a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a

p o t e n z i a l e g r a v i t a z i o n a l e d e l l a b i g l i a d u r a n t e l a f a s e a s c e n s i o n a l e ; t r o v a r e i n n e l a c o s t a n t e d e l l a m o l l a .

S o l u z i o n e : L ' e n e r g i a p o t e n z i a l e g r a v i t a z i o n a l e è e s p r e s s a d a l l a r e l a z i o n e U = mgh

. A d u n ' a l t e z z a d i 20 m

r i s p e t t o a l r i f e r i m e n t o ( U = 0) i l s u o v a l o r e è

U = 0.005 kg · 9.8m

s2· 20 m = 0.98 J

I n t a l c a s o , e s s e n d o l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e e l a s t i c a e s p r e s s a d a U = 1

2kx2

, l a c o s t a n t e d e l l a m o l l a s a r à

k =2U

x2=

2 · 0.98 J

0.082 m2= 306

N

m

E x e r c i s e 1 3 . L a f o r z a d e l l a m o l l a d i u n f u c i l e c a r i c a t o a t a p p o è e s p r e s s a d a l l a r e l a z i o n e F = −10∆x

, d o v e

[F ] = N e

[∆x] = m. L a m o l l a è c o m p r e s s a d i

5.5 cme d è u s a t a p e r s p a r a r e u n t a p p o d i

3.8 g. T r o v a r e l a

v e l o c i t à d e l t a p p o s e è l a s c i a t o l i b e r o q u a n d o l a m o l l a p a s s a p e r l a s u a p o s i z i o n e d i r i p o s o ; s u p p o n i a m o i n v e c e

c h e i l t a p p o r i m a n g a a t t a c c a t o a l l a m o l l a , e l ' a b b a n d o n i s o l o d o p o a v e r l a a l l u n g a t a d i 1.5 cm

. T r o v a r e i n q u e s t o

c a s o l a v e l o c i t à d e l t a p p o a l m o m e n t o d e l r i l a s c i o .

S o l u z i o n e : C o m p r i m e n d o l a m o l l a d i 0.055 m

. l a m o l l a a c q u i s t a u n a e n e r g i a p o t e n z i a l e

U =1

2 ·10

·(0.055)

2= 0.015 J

s e t u t t a l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e s i t r a s f o r m a i n e n e r g i a c i n e t i c a d e l t a p p o , s i p u ò c a l c o l a r e l a v e l o c i t à d i

q u e s t ' u l t i m o

v =

2K

m=

2 · 0.015 J

3.8 · 10−3 kg= 2.8

m

s

N e l s e c o n d o c a s o p a r t e d e l l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l l a m o l l a v i e n e s p e s a p e r a l l u n g a r e l a m o l l a ; e s s a v a l e

U =1

2· 10 · (0.015)

2= 0.011 J

e l a v e l o c i t à

v =

2 · 0.011 J

3.8 · 10−3 kg= 2.7

m

s

E x e r c i s e 1 4 . U n b l o c c o d i 2.00 kg

è a p p o g g i a t o c o n t r o u n a m o l l a s u d i u n p i a n o i n c l i n a t o c o n u n a p e n d e n z a

d i 30° , p r i v o d i a t t r i t o . L a m o l l a , a v e n t e c o s t a n t e k = 19.6 N/cm , è c o m p r e s s a d i 20 cm e p o i l a s c i a t a l i b e r a .

D e t e r m i n a r e d i q u a n t o i l b l o c c o r i s a l e l u n g o i l p i a n o i n c l i n a t o .




S o l u z i o n e : I l b l o c c o , i n a s s e n z a d e l l a m o l l a , t e n d e a s c e n d e r e l u n g o i l p i a n o i n c l i n a t o , s p i n t o d a u n a f o r z a

P par = hl P ; n e l n o s t r o c a s o , c o n l ' a n g o l o d i i n c l i n a z i o n e d i

30° , s i h a

hl

= 1

2, p e r l e p r o p r i e t à d e l t r i a n g o l o

e q u i l a t e r o :

P par = 0.5 · 2.00 kg · 9.8m

s2= 9.8 N

T a l e f o r z a , F = k∆x

c o m p r i m e l a m o l l a d i

∆x =

9.8 N

1960 N m = 5.0 · 10−

3

m = 0.5 cm

T a l e c o m p r e s s i o n e s e r v e q u i n d i a m a n t e n e r e i n e q u i l i b r i o i l b l o c c o s u l p i a n o i n c l i n a t o . L a c o m p r e s s i o n e

c h e c o n s e n t e a l b l o c c o d i r i s a l i r e s a r à q u i n d i p a r i a 19.5 cm

. A t a l e c o m p r e s s i o n e c o r r i s p o n d e u n ' e n e r g i a

p o t e n z i a l e

U =1

2kx2 = 0.5 · 1960

N

m· (0.195)

2m2 = 37.3 J

Q u a n d o i l b l o c c o v i e n e r i l a s c i a t o l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e e l a s t i c a d i v i e n e e n e r g i a c i n e t i c a , c i o è K = 1

2kx2

;

l ' e n e r g i a t o t a l e d e l b l o c c o , i n d i c a n d o c o n U G l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e g r a v i t a z i o n a l e d o v u t a a l l ' a l t e z z a d e l

b l o c c o s u l p i a n o i n c l i n a t o , è

E i =1

2kx2 + U G

m e n t r e l ' e n e r g i a t o t a l e n a l e , c i o è q u a n d o i l b l o c c o e s a u r i s c e l a p r o p r i a s p i n t a ,

E f = 0 + U 1G

L ' e n e r g i a t o t a l e s i c o n s e r v a e q u i n d i

∆U G = 37.3 J

M a ∆U G = mgh

, d o v e h

è m i s u r a t o i n d i r e z i o n e v e r t i c a l e , p e r c u i

h =37.3 J

2 kg · 9.8 ms2

= 2 m

L o s p o s t a m e n t o l u n g o i l p i a n o i n c l i n a t o d i 30° , c h e c o r r i s p o n d e a d u n t a l e i n n a l z a m e n t o v e r t i c a l e è d i

4 m.

E x e r c i s e 1 5 . U n a m o l l a p u ò e s s e r e c o m p r e s s a d i 2.0 cm d a u n a f o r z a d i 270 N . U n b l o c c o d i m a s s a 12 kg ,

i n i z i a l m e n t e f e r m o i n c i m a a l p i a n o i n c l i n a t o p r i v o d i a t t r i t o i n c l i n a t o d i 30

° r i s p e t t o a l l ' o r i z z o n t a l e , v i e n e

l a s c i a t o a n d a r e . I l b l o c c o s i a r r e s t a m o m e n t a n e a m e n t e d o p o a v e r c o m p r e s s o l a m o l l a s i 5.5 cm. T r o v a r e d i

q u a n t o s i è s p o s t a t o l u n g o i l p i a n o i n c l i n a t o i n q u e s t o m o m e n t o e l a v e l o c i t à d e l b l o c c o q u a n d o a r r i v a a t o c c a r e

l a m o l l a .

S o l u z i o n e : D e t e r m i n i a m o i l c o e c i e n t e d i e l a s t i c i t à d e l l a m o l l a d a i d a t i c h e f a n n o r i f e r i m e n t o a d e s s a ,

c i o è u n a c o m p r e s s i o n e d i 2.0 cm c o n u n a f o r z a d i 270 N .

k =F

∆x=

270 N

2 cm= 135

N

cm

Q u a n d o i l b l o c c o è f e r m o a d u n ' a l t e z z a h

, l a s u a U = mgh

e l a s u a K = 0

. N e l l ' i s t a n t e p r i m a d i u r t a r e

l a m o l l a , l a s u a U = mgh( c o n h > h ) e l a s u a K = 1

2mv2 . L a m o l l a v i e n e c o m p r e s s a d i 5.5 cm,

a c q u i s t a n d o u n a e n e r g i a p o t e n z i a l e e l a s t i c a U = 12k∆x2 a s c a p i t o d e l l ' e n e r g i a c i n e t i c a 1

2mv2 a c q u i s i t a

d a l b l o c c o l u n g o l a c a d u t a . P e r t a n t o :

1

2k∆x2 = mg (h− h)

d a c u i

h− h =k

2gm∆x2 =

135 N cm

2 · 9.8 ms2· 12 kg

(5.5)2

cm2 = 17.4 cm

I l v a l o r e t r o v a t o i n d i c a i l d i s l i v e l l o , m a i n u n p i a n o i n c l i n a t o d i 30

° l a l u n g h e z z a p e r c o r s a è d o p p i a d e l

d i s l i v e l l o , p e r c u i

∆l = 35 cm

L a v e l o c i t à s i d e s u m e d a l l ' e n e r g i a c i n e t i c a a c q u i s t a t a l u n g o l a d i s c e s a

v2 =

2g (h− h) =

2 · 9.8

m

s2· 0.174 m = 1.85

m

s




E x e r c i s e 1 6 . U n p r o i e t t i l e d i 0.55 kg , l a n c i a t o d a l l a c r e s t a d i u n a c o l l i n a c o n e n e r g i a c i n e t i c a i n i z i a l e d i 1550 J ,

r a g g i u n g e l a q u o t a m a s s i m a d i 140 m s o p r a i l p u n t o d i l a n c i o . T r o v a r e l a c o m p o n e n t e o r i z z o n t a l e d e l l a s u a

v e l o c i t à ; l a c o m p o n e n t e v e r t i c a l e s u b i t o d o p o i l l a n c i o . A u n c e r t o i s t a n t e d u r a n t e i l v o l o l a c o m p o n e n t e

v e r t i c a l e d e l l a v e l o c i t à è 65 m/s. I n q u e l l ' i s t a n t e q u a n t o è p i ù a l t o , o p i ù b a s s o , d e l p u n t o d i l a n c i o ?

S o l u z i o n e : N o t a l ' e n e r g i a c i n e t i c a e l a m a s s a d e l p r o i e t t i l e , è p o s s i b i l e c a l c o l a r e l a s u a v e l o c i t à d i l a n c i o

v = 2E

m = 2 ·

1550 J

0.55 kg = 75

m

s

I l p r o i e t t i l e s a l e v e r s o l ' a l t o n o a 140 m

a l d i s o p r a d e l p u n t o d i l a n c i o , a c q u i s t a n d o i n t a l m o d o e n e r g i a

p o t e n z i a l e a s c a p i t o d e l l a c i n e t i c a

U = mgh = 0.55 kg · 9.8m

s· 140 m = 755 J

P e r l a c o n s e r v a z i o n e d e l l ' e n e r g i a m e c c a n i c a , i l p r o i e t t i l e d i s p o r r à d i u n a

K = 1550− 755 = 795 J

T a l e e n e r g i a è l e g a t a a l l a s o l a c o m p o n e n t e o r i z z o n t a l e d e l l a v e l o c i t à , e s s e n d o i l p r o i e t t i l e n e l s u o p u n t o

d i m a s s i m a a l t e z z a , d o v e l a vy = 0 . P e r t a n t o l a c o m p o n e n t e o r i z z o n t a l e v a r r à

vx = 2 · 795 J

0.55 kg

= 54m

sL a c o m p o n e n t e o r i z z o n t a l e d e l m o t o d i u n p r o i e t t i l e , e s c l u d e n d o o g n i e l e m e n t o d i s p e r s i v o , r i m a n e

c o s t a n t e , c i o è i l p r o i e t t i l e s i m u o v e o r i z z o n t a l m e n t e s e c o n d o u n a l e g g e d i m o t o r e t t i l i n e o u n i f o r m e . P e r -

t a n t o è p o s s i b i l e c a l c o l a r e l a c o m p o n e n t e v e r t i c a l e i n i z i a l e , n o t a l a v e l o c i t à i n i z i a l e d i 75 m/s

, a p p l i c a n d o

i l t h . d i P i t a g o r a a l t r i a n g o l o f o r m a t o d a q u e s t i v e t t o r i

v0y =

752 − 542 = 52m

sL a v a r i a z i o n e d e l l a c o m p o n e n t e v e r t i c a l e d e l l a v e l o c i t à è d e s c r i t t a d a l l e r e l a z i o n i d e l m o t o u n i f o r m e m e n t e

a c c e l e r a t o

v2y = v20y − 2gy

s o s t i u e n d o i n o s t r i v a l o r i e r i s o l v e n d o r i s p e t t o a y

, s i h a

y =v20y

−v2y

2g =522

−652

2 · 9.8 = −77 m

c i o è s i t r o v a 77 m

a l d i s o t t o .

E x e r c i s e 1 7 . U n a p a l l a d i 50 g

è s c a g l i a t a d a u n a n e s t r a c o n v e l o c i t à i n i z i a l e d i 8.0 m/s

a u n a n g o l o d i

30° s o p r a i l p i a n o o r i z z o n t a l e . D e t e r m i n a r e , c o n l e l e g g i r e l a t i v e a l l ' e n e r g i a , l ' e n e r g i a c i n e t i c a d e l l a p a l l a n e l

p u n t o p i ù a l t o d e l l a s u a t r a i e t t o r i a ; l a s u a v e l o c i t à q u a n d o p a s s a 3.0 m s o t t o l a n e s t r a .

S o l u z i o n e : N e l p u n t o p i ù a l t o d e l l a t r a i e t t o r i a , l a c o m p o n e n t e v e r t i c a l e d e l l a v e l o c i t à s i r i d u c e a z e r o , e

l a p a l l a è d o t a t a d e l l a s o l a c o m p o n e n t e o r i z z o n t a l e , i l c u i v a l o r e è

vx = v0 cos θ0 = 8m

s·√

3

2= 7

m

sl a s u a e n e r g i a c i n e t i c a s a r à p e r t a n t o

K =1

2mv2x =

1

2· 0.05 kg · 49

m2

s2= 1.2 J

Q u a n d o l a p a l l a s i t r o v a 3 m

a l d i s o t t o d e l p u n t o d i p a r t e n z a , l a s u a e n e r g i a c i n e t i c a è a u m e n t a t a a

s c a p i t o d e l l a r i d u z i o n e d e l l a s u a e n e r g i a p o t e n z i a l e . C a l c o l i a m o l ' a l t e z z a m a s s i m a a l l a q u a l e a r r i v a l a

p a l l i n a , a s s u m e n d o c o m e r i f e r i m e n t o i l p u n t o d i l a n c i o

hmax =v20 sin2 θ0

2g=

64 m2

s2· 14

2 · 9.8 ms2

= 0.82 m

p e r t a n t o l a v a r i a z i o n e d e l l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l l a p a l l a v a l e

∆U = U max − U = mg (hmax − h) = 0.05 kg · 9.8m

s2· 3.82 m = 1.86 J

L ' e n e r g i a c i n e t i c a d e l l a p a l l a a u m e n t a q u i n d i d i

1.86 J , r a g g i u n g e n d o i l v a l o r e d i

K = 1.2 + 1.86 = 3.1 J .

L a v e l o c i t à i n t a l e p o s i z i o n e v a l e

v =

2K

m=

2 · 3.1 J

0.05 kg= 11

m

s




E x e r c i s e 1 8 . L a m o l l a d i u n f u c i l e h a u n a c o s t a n t e k = 7.0 N/cm . P u n t a n d o 30° s o p r a l ' o r i z z o n t a l e , s p a r a u n

p r o i e t t i l e d i 60 g

a u n ' a l t e z z a d i 1.8 m

s o p r a l ' e s t r e m i t à d e l l a c a n n a . T r o v a r e l a v e l o c i t à d e l p r o i e t t i l e a l l ' u s c i t a

d e l l a c a n n a e l a c o m p r e s s i o n e i n i z i a l e d e l l a m o l l a .

S o l u z i o n e : L ' a l t e z z a m a s s i m a d e l p r o i e t t i l e è r a g g i u n t a q u a n d o l a c o m p o n e n t e v e r t i c a l e d e l l a v e l o c i t à è

n u l l a . D a l l e r e l a z i o n i d e l m o t o p a r a b o l i c o , s i o t t i e n e

hmax =v20 sin2 θ0

2g

d a c u i

v0 =

2ghmax

sin2 θ0=

2 · 9.8 m

s2· 1.8 m

sin2 30°

= 12m

s

I l p r o i e t t i l e e s c e q u i n d i d o t a t o d i u n a e n e r g i a c i n e t i c a

K =1

2mv20 =

1

2· 0.060 kg · 144

m2

s2= 4.32 J

T a l e e n e r g i a è s t a t a o t t e n u t a a s c a p i t o d e l l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e e l a s t i c a d e l l a m o l l a , q u i n d i

4.32 J =1

2 · 700N

m ·∆x2

d a c u i

∆x =

4.32 J

350 N m2

= 0.11 m = 11 cm

E x e r c i s e 1 9 . S u u n p i a n o i n c l i n a t o d i 30° r i s p e t t o a l l ' o r i z z o n t a l e e s e n z a a t t r i t o , è p o s t o u n c o r p o d i m a s s a

1.0 kg. C o l l e g a t o t r a m i t e u n a c o r d a c h e s c o r r e i n u n a c a r r u c o l a p r i v a d i m a s s a è s o s p e s o u n s e c o n d o c o r p o d i

m a s s s a 2.0 kg . S e i l s i s t e m a d a f e r m o è l a s c i a t o l i b e r o , t r o v a r e l ' e n e r g i a c o m b i n a t a d e l l e d u e m a s s e d o p o c h e i l

c o r p o d i m a s s a 2.0 kg

è s c e s o d i 25 cm

.

S o l u z i o n e : S e l a s c i a t i l i b e r i , i l c o r p o s u l p i a n o i n c l i n a t o a c q u i s t a l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e p e r s a d a l c o r p o i n

c a d u t a . I l c o r p o d i m a s s a 2 kg s i s p o s t a i n v e r t i c a l e , m e n t r e q u e l l o d i m a s s a 1 kg , s i m u o v e l u n g o i l

p i a n o i n c l i n a t o , p e r c o r r e n d o 25 cm

s u l p i a n o e i n n a l z a n d o s i p e r t a n t o d i

25 cm× 0.5 = 12.5

e s s e n d o i l p i a n o i n c l i n a t o d i 30° . L a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a d e l s i s t e m a d e l l e d u e m a s s e s a r à p a r i a l l a

v a r i a z i o n e d e l l a l o r o e n e r g i a p o t e n z i a l e :

∆U = mgh −m

gh

= g (mh−mh) = 9.8 (2× 0.25− 1× 0.125) = 3.7 J

E x e r c i s e 2 0 . L a l u n g h e z z a d e l l o i n g u r a è l = 120 cm, e l a d i s t a n z a d d e l p i o l o P è 75 cm. Q u a n d o l a

p a l l a , i n i z i a l m e n t e f e r m a , è l a s c i a t a l i b e r a , o s c i l l e r à l u n g o l ' a r c o t r a t t e g g i a t o . T r o v a r e l a v e l o c i t à q u a n d o l a p a l l a

r a g g i u n g e r à i l p u n t o p i ù b a s s o .

S o l u z i o n e : L a p a l l i n a c a d e l u n g o l ' a r c o d i r a g g i o l

, r a g g i u n g e n d o i l p u n t o p i ù b a s s o p o s t o a d u n a a n a l o g a

d i s t a n z a l r i s p e t t o a q u e l l a i n i z i a l e . L a f o r z a p e s o è u n a f o r z a c o n s e r v a t i v a e q u i n d i l a v a r i a z i o n e d e l l a

s u a e n e r g i a p o t e n z i a l e d i p e n d e s o l o d a l l a p o s i z i o n e i n i z i a l e e n a l e e n o n d a l p e r c o r s o c o m p i u t o . L a

v e l o c i t à c o n c u i l a p a l l i n a a r r i v e r à n e l p u n t o p i ù b a s s o s a r à q u i n d i

v = 2gl = 2× 9.8m

s× 1.20 m = 4.8

m

s

E x e r c i s e 2 1 . U n b l o c c o d i 2.0 kg c a d e d a u n ' a l t e z z a d i 40 cm s u u n a m o l l a a v e n t e c o s t a n t e k = 1960 N/m .

T r o v a r e k a m a s s i m a l u n g h e z z a d i c o m p r e s s i o n e d e l l a m o l l a .



C O N S E R V A Z I O N E D E L L ' E N E R G I A 1 0

S o l u z i o n e : L ' e n e r g i a p o t e n z i a l e e l a s t i c a d i u n a m o l l a è e s p r e s s a d a U = 1

2kx2

. I l b l o c c o r i d u c e l a p r o p r i a

e n e r g i a p o t e n z i a l e d i

∆U = mgh = 2.0 kg · 9.8m

s2· 0.40 m = 7.8 J

L ' e n e r g i a c i n e t i c a a c q u i s t a t a s a r à p a r i a l l a d i m i n u z i o n e d e l l a s u a e n e r g i a p o t e n z i a l e ,

∆U = K = 7.8 J

T a l e e n e r g i a v e r r à s p e s a p e r c o m p r i m e r e l a m o l l a c h e l a a c q u i s t e r à s o t t o f o r m a d i e n r g i a p o t e n z i a l e

e l a s t i c a

7.8 J =1

2· 1960

N

m·∆x2

d a c u i

∆x =

2 · 7.8 J

1960 N m

= 0.09 m = 9 cm

E x e r c i s e 2 2 . I n u n p e n d o l o s e m p l i c e d i l u n g h e z z a L , i l p e s o a l l ' e s t r e m o i n f e r i o r e , d o v e è c o n c e n t r a t a t u t t a l a

m a s s a , h a v e l o c i t à v0 q u a n d o i l l o f o r m a u n a n g o l o θ0 c o n l a v e r t i c a l e . T r o v a r e u n a e q u a z i o n e c h e e s p r i m a l a

v e l o c i t à d e l b l o c c h e t t o a t t a c c a t o a l l o n e l l a s u a p o s i z i o n e p i ù b a s s a . T r o v a r e p o i i l m i n i m o v a l o r e d i v0 a n c h é

a n c h é i l l o d e l p e n d o l o p o s s a a r r i v a r e a l l ' e s t r e m o d e l l ' o s c i l l a z i o n e i n p o s i z i o n e o r i z z o n t a l e e i n p o s i z i o n e

v e r t i c a l e , r i m a n e n d o t e s o .

S o l u z i o n e : O s s e r v a n d o l o s c h e m a s o p r a , i l s e g m e n t o h = L− h = L− L cos θ0 = L (1− cos θ0). L ' i n c r e -

m e n t o d i v e l o c i t à o t t e n u t o c a d e n d o l u n g o l ' a r c o n o a l l a p o s i z i o n e i n b a s s o p u ò e s s e r e o t t e n u t o s i a c o n

l e r e l a z i o n i e n e r g e t i c h e , s i a c o n l e r e l a z i o n i d e l l a c i n e m a t i c a

v2 = v20 + 2gh

= v20 + 2gL (1− cos θ0)

S e o r a v o g l i a m o t r o v a r e l a v e l o c i t à m i n i m a ( q u a n d o c i o è l a p a l l i n a h a v e l o c i t à n u l l a ) n e l l a p o s i z i o n e

o r i z z o n t a l e , b a s t a s u p p o r r e c h e l ' e n e r g i a c i n e t i c a a c q u i s i t a c a d e n d o n e l l a p o s i z i o n e i n b a s s o v e n g a

c o m p l e t a m e n t e t r a s f o r m a t a i n e n e r g i a p o t e n z i a l e ; c i o è

mgL =1

2m

v20 + 2gL (1− cos θ0)

d a c u i

2gL = v20 + 2gL (1− cos θ0) = v20 + 2gL − 2gL cos θ0

d a c u i

v0 =

2gL cos θ0

S e , i n n e , l a p a l l i n a r a g g i u n g e i l p u n t o p i ù a l t o , s i g n i c a c h e p u ò c o n t i n u a r e a r u o t a r e s u l l a c i r c o n f e r e n z a

d i r a g g i o L

. I n t a l c a s o l ' e n e r g i a c i n e t i c a n e l p u n t o p i ù b a s s o d e v e e s s e r e s p e s a p e r s u p e r a r e u n d i s l i v e l l o

p a r i a

2L. D a c i ò s e g u e :

2mgL =1

2m

v20 + 2gL (1− cos θ0)

c i o è

4gL = v20 + 2gL − 2gL cos θ0

d a c u i

v20 = 2gL + +2gL cos θ0

e

v0 =

2gL (1 + cos θ0)

E x e r c i s e 2 3 . D u e b a m b i n i s t a n n o f a c e n d o u n a g a r a a c h i r i e s c e a c e n t r a r e u n a s c a t o l e t t a s u l p a v i m e n t o c o n

u n a b i g l i a s p a r a t a d a u n a p i s t o l a a m o l l a m o n t a t a s u u n t a v o l o o r i z z o n t a l e . I l b e r s a g l i o è p i a z z a t o a 2.20 m

i n

o r i z z o n t a l e d a l b o r d o d e l t a v o l o . L a m o l l a v i e n e c o m p r e s s a d i 1.10 cm, m a i l t i r o r i s u l t a t r o p p o c o r t o d i 27.0 cm.

D e t e r m i a n r e l a c o m p r e s s i o n e d e l l a m o l l a p e r c e n t r a r e i l b e r s a g l i o .




S o l u z i o n e : L a m o l l a a t t r i b u i s c e a l l a b i g l i a u n a v e l o c i t à o r i z z o n t a l e , c h e p o s s i a m o s u p p o r r e c o s t a n t e . L a

b i g l i a s e g u e u n a t r a i e t t o r i a p a r a b o l i c a s o t t o l ' e e t t o d e l l a f o r z a p e s o n e l m o m e n t o i n c u i l a b i g l i a n o n è

p i ù s o s t e n u t a d a l t a v o l o . L e l e g g i c h e d e s c r i v o n o l ' e n e r g i a f o r n i t a d a l l a m o l l a e i l m o t o d e l l a p a l l i n a s o n o

l e s t e s s e n e i d u e c a s i . P o s s i a m o p e r t a n t o o t t e n e r e l a c o m p r e s s i o n e d e l l a m o l l a a t t r a v e r s o u n a s e m p l i c e

p r o p o r z i o n e

0.011 m : 1.93 m = ∆x : 2.20 m

d a c u i

∆x = 1.25 cm

E x e r c i s e 2 4 . T a r z a n , c h e p e s a 688 N

, s a l t a d a u n a r o c c i a a p p e s o a d u n a l i a n a l u n g a 18 m

. D a l l ' a l t o d e l l a

r o c c i a a l p u n t o p i ù b a s s o d e l l a s u a o s c i l l a z i o n e c a l a d i 3.2 m. L a l i a n a è s o g g e t t a a r o m p e r s i s e l a t e n s i o n e s u d i

e s s a s u p e r a 950 N . A r r i v e r à a r o m p e r s i ?

S o l u z i o n e : L a c o r d a d e v e r e g g e r e i l p e s o d i T a r z a n e l a f o r z a c e n t r i p e t a d o v u t a a l l a r o t a z i o n e d e l l a l i a n a .

C a l c o l i a m o l ' a c c e l e r a z i o n e c e n t r i p e t a , r i c o r d a n d o c h e l a v e l o c i t à n e l l a p a r t e p i ù b a s s a d e l l a r o t a z i o n e è

c a l c o l a b i l e c o n

v2 = 2gh = 2 · 9.8m

s2· 3.2 m = 62.7

m2

s2

p e r c u i

ac =v2

r=

62.7 m2

s2

18 m= 3.5

m

s2

L a m a s s a d i T a r z a n è m = P

g = 688N 9.8 m

s2

= 70.2 kg. L a f o r z a c e n t r i p e t a è

F c = mac = 70.2 kg · 3.5m

s2= 246 N

S u l l a c o r d a s i s o m m a n o q u i n d i l e d u e f o r z e

T = 688 N + 246 N = 934 N

p e r c u i l a c o r d a , i n g r a d o d i s o s t e n e r e n o a 950 N , n o n s i r o m p e r à .

E x e r c i s e 2 5 . U n ' a s t i c e l l a r i g i d a d i l u n g h e z z a

L, p r a t i c a m e n t e p r i v a d i m a s s a , h a u n a p a l l a d i m a s s a

m s s a t a

a l l ' e s t r e m i t à , c o s ì d a c o s t i t u i r e u n p e n d o l o . C a p o v o l g i a m o i l p e n d o l o , c o n l ' a s t i c e l l a v e r t i c a l e v e r s o l ' a l t o , e

l a s c i a m o l o l i b e r o . T r o v a r e l a v e l o c i t à d e l l a p a l l a n e l p u n t o p i ù b a s s o e l a t e n s i o n e n e l l ' a s t i c e l l a i n q u e l p u n t o .

L o s t e s s o p e n d o l o è p o i m e s s o f e r m o i n p o s i z i o n e o r i z z o n t a l e e l a s c i a t o l i b e r o . T r o v a r e l ' a n g o l o d a l l a v e r t i c a l e

p e r i l q u a l e s i e q u i v a l g o n o i n m o d u l o l a t e n s i o n e n e l l ' a s t i c e l l a e i l p e s o d e l l a p a l l a .

S o l u z i o n e : L ' a s t a è v i n c o l a t a i n u n p u n t o , c h e p u ò e s s e r e p e n s a t o c o m e i l c e n t r o d e l l a c i r c o n f e r e n z a c h e i l

p e n d o l o d e s c r i v e n e l s u o m o t o d i c a d u t a e r i s a l i t a . A s s e g n a m o U = 0 a l l a p o s i z i o n e p i ù b a s s a ; p e r t a n t o

n e l l a p o s i z i o n e i n i z i a l e c o n l a p a l l a i n a l t o s i a v r à U = 2mgL

e l a v e l o c i t à n e l p u n t o p i ù b a s s o , d o v e

t u t t a l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e s i è t r a s f o r m a t a i n e n e r g i a c i n e t i c a , s a r à

2mgL =1

2mv2

d a c u i

v =

4gL = 2

gL

L ' a s t a è s u p p o s t a p r i v a d i m a s s a e , n e l p u n t o p i ù b a s s o , d o v r à e q u i l i b r a r e i l p e s o d e l l a p a l l a p i ù l a f o r z a

c e n t r i p e t a , c h e v a l e F c = mv2

r = m4gLL = 4mg

, c i o è

T = mg + 4mg = 5mg

S e l ' a s t a è m e s s a i n o r i z z o n t a l e , l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e m a s s i m a v a r r à mgL e i l p e n d o l o p e r c o r r e r à s o l o , i n

c o n d i z i o n i i d e a l i , u n a s e m i c i r c o n f e r e n z a . L a f o r z a c e n t r i p e t a è d i r e t t a l u n g o i l r a g g i o d i q u e s t a s e m i c i r -

c o n f e r e n z a , m e n t r e i l p e s o è d i r e t t o v e r s o i l b a s s o .

S e l ' a s t a p a r t e i n p o s i z i o n e o r i z z o n t a l e , i l p e n d o l o p u ò s c e n d e r e v e r s o i l b a s s o s u p e r a n d o u n d i s l i v -

e l l o p a r i a L. S e a s s e g n a m o a n c o r a a l l a p o s i z i o n e p i ù b a s s a u n p o t e n z i a l e U = 0 , a v r e m o c h e n e l p u n t o

p i ù a l t o U = mgL

e K = 0

, m e n t r e i n q u e l l o p i ù b a s s o U = 0

e K = 1

2mv2

. I n u n p u n t o i n t e r m e d i o l a

p a l l a f o r m a c o n l a v e r t i c a l e u n a n g o l o αS i a v r à

h = L cos αe

U = mg (L− L cos α)p e r c u i , i l b i l a n c i o e n e r g e t i c o è

mgL (1− cos α) +1

2mv2 = mLg




d a c u i

v2 = 2gL cos α

S i p u ò q u i n d i c a l c o l a r e l a f o r z a c e n t r i p e t a c o m e F c = 2gmL cosαL = 2mg cos α. L a t e n s i o n e c o m p l e s s i v a

d e l l o s a r à , a g g i u n g e n d o a n c h e l a c o m p o n e n t e d e l p e s o d e l l a p a l l i n a n e l l a d i r e z i o n e d e l l o s t e s s o ,

mg cos α, s i a v r à

2mg cos α + mg cos α = mg

d a c u i

cos α = 13

e q u i n d i

α = 71°


, p a r t e n d o d a f e r m o , s c i v o l a p e r u n a d i s t a n z a d

g i ù p e r u n p i a n o i n c l i n a t o d i

30.0° , n o a i m b a t t e r s i i n u n a m o l l a . I l b l o c c o c o n t i n u a a s c i v o l a r e p e r 21.0 cm p r i m a d i e s s e r e m o m e n t a n e a m e n t e

a r r e s t a t o d a l l a c o m p r e s s i o n e d e l l a m o l l a , l a c u i c o s t a n t e è 431 N/m

. T r o v a r e i l v a l o r e d i d

.

S o l u z i o n e : I l b l o c c o c o m p r i m e l a m o l l a , c h e a c q u i s t e r à u n a e n e r g i a p o t e n z i a l e e l a s t i c a

U =1

2

kx2 = 0.5

·431

N

m ·0.212m2 = 9.5 J

N e l f r a t t e m p o i l p e s o s c e n d e d i d + 0.21 m l u n g o i l p i a n o i n c l i n a t o , m a d i h + 0.105 m ( v e d i g u r a ) i n

v e r t i c a l e ( s e l ' a n g o l o è d i 30

° , d

p u ò e s s e r e c o n s i d e r a t o c o m e i l l a t o d i u n t r i a n g o l o e q u i l a t e r o e h

, q u i n d i ,

l a m e t à d i t a l e l a t o ) . L a s u a e n e r g i a p o t e n z i a l e s a r à q u i n d i r i d o t t a d i

∆U = mg (h + 0.105)

E g u a g l i a n d o l e d u e e n e r g i e , s u p p o n e n d o c h e t u t t a l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e p e r s a s i t r a s f o r m i i n e n e r g i a

e l a s t i c a d e l l a m o l l a , s i h a

9.5 = mg (h + 0.105)

d a c u i , r i s o l v e n d o r i s p e t t o a d h

h =9.5 J

3.20 kg · 9.8 ms − 0.105 = 0.198 m

d a c u i

d = 0.198 m · 2 = 0.396 m

E x e r c i s e 2 7 . U n p r o i e t t i l e c o n m a s s a d i 9.4 kg v i e n e s p a r a t o v e r t i c a l m e n t e v e r s o l ' a l t o . N e l l a f a s e d i s a l i t a è

d i s s i p a t a p e r r e s i s t e n z a d e l l ' a r i a u n ' e n e r g i a p a r i a 68kJ

. Q u a n t o p i ù i n a l t o s a r e b b e v o l a t o s e l ' a r i a f o s s e s t a t a

r e s a t r a s c u r a b i l e ?

S o l u z i o n e : C o l l e g a n d o l ' e n e r g i a p e r s a a l l ' a l t e z z a a g g i u n t i v a , c i o è c o n s i d e r a n d o l ' e n e r g i a p e r s a c o m e e n -

e r g i a p o t e n z i a l e a g g i u n t i v a , s i h a

∆h =∆U

mg=

68000 J

9.4 kg · 9.8 ms

= 738 m

E x e r c i s e 2 8 . U n u m e s c e n d e d i 15 m

s u p e r a n d o a l c u n e e r a p i d e . L a v e l o c i t à d e l l ' a c q u a è d i 3.2 m/s

a l l ' e n t r a t a

d e l l e r a p i d e e d i 13 m/s a l l ' u s c i t a . D e t e r m i n a r e l a p e r c e n t u a l e d i e n e r g i a p o t e n z i a l e p e r s a d a 10 kg d i a c q u a

a t t r a v e r s a n d o l e r a p i d e s i t r a s f o r m a i n e n e r g i a c i n e t i c a d e l l ' a c q u a .

S o l u z i o n e : L a r i d u z i o n e d e l l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e a c a u s a d e l l a c a d u t a è

∆U = mgh = 10 kg · 9.8m

s· 15 m = 1470 J

L a v a r i a z i o n e n e l l ' e n e r g i a c i n e t i c a è

∆K =1

2m

v2f − v2i

=1

2· 10 kg · 132 − 3.22

= 794 J

L a p e r c e n t u a l e è q u i n d i

794 J 1470 J · 100 = 54%

Q u e s t o c a l c o l o p o t e v a e s s e r e e s e g u i t o a n c h e s e n z a t e n e r c o n t o d e l l a m a s s a , p o i c h é l a s t e s s a m a s s a

i n t e r v i e n e i n e n t r a m b e l e r e l a z i o n e e n e l r a p p o r t o s i s e m p l i c a .




E x e r c i s e 2 9 . A l l e c a s c a t e d e l N i a g a r a c a d o n o c i r c a 5.5 · 106 kg d i a c q u a a l s e c o n d o d a u n ' a l t e z z a d i 50 m.

C a l c o l a r e l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e p e r d u t a o g n i s e c o n d o d a l l ' a c q u a n e l l a c a d u t a . T r o v a r e p o i l a p o t e n z a g e n e r a t a

d a u n a c e n t r a l e i d r o e l e t t r i c a i n g r a d o d i c o n v e r t i r e i n e n e r g i a e l e t t r i c a t u t t a l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l l ' a c q u a .

S o l u z i o n e : L ' e n e r g i a p e r s a o g n i s e c o n d o è i n d i c a t a c o n l a g r a n d e z z a p o t e n z a , d e n i t a p r o p r i o c o m e P =E/∆t

. L ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l l a m a s s a d ' a c q u a , a l l ' i n i z i o d e l l a c a d u t a è

U = mgh = 5.5

·106 kg

×9.8

m

s2

×50 m = 2.7

·109 J

I l t e m p o i m p i e g a t o d a l l ' a c q u a a c o n c l u d e r e i l s a l t o è ( c a l c o l a t o c o n l e l e g g i d e l m o t o u n i f o r m e m e n t e

a c c e l e r a t o , h = 1

2gt2

)

∆t =

2h

g=

100 m

9.8 ms2

= 3.2 s

L ' e n e r g i a c o m p l e s s i v a p e r s a è U ·∆t

, m a l ' e n e r g i a a l s e c o n d o , c i o è l a p o t e n z a è P = U

∆t , p e r c u i l ' e n e r g i a

p e r s a è q u e l l a p r i m a c a l c o l a t a .

L a p o t e n z a g e n e r a t a d a u n a i p o t e t i c a c e n t r a l e s a r à q u i n d i p a r i a

P = 2.7 · 109 W att

Joule

sec

E x e r c i s e 3 0 . D a u n a c a s c a t a a l t a 100 m

p r e c i p i t a n o o g n i s e c o n d o 1200 m3

d i a c q u a . A m m e t t e n d o c h e t r e q u a r t i

d e l l ' e n e r g i a c i n e t i c a a c q u i s i t a d a l l ' a c q u a n e l l a c a d u t a s i t r a s f o r m i n o i n e n e r g i a e l e t t r i c a , t r o v a r e l a p o t e n z a c o n

c u i v i e n e p r o d o t t a q u e s t a e n e r g i a d a l g e n e r a t o r e .

S o l u z i o n e : L ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l l ' a c q u a è ( 1 m3 → 1000 kg

)

U = mgh = 1.2 · 106 kg × 9.8m

s2× 100 m = 1.2 · 109 J

L ' e n e r g i a c i n e t i c a o t t e n u t a s a r à

K = 1.2 · 109 J × 3

4= 8.8 · 108 J

L a p o t e n z a s a r à q u i n d i P = 8.8 · 108 W = 880 MW ( m e g a w a t t )

E x e r c i s e 3 1 . L a s u p e r c i e d e l l ' I t a l i a è d i c i r c a

3 ·105

km2

, p e r u n ' a l t i t u d i n e m e d i a d i c i r c a

400 m. L a p i o v o s i t à

m e d i a a n n u a l e è d i c i r c a 80 cm

. U n a b u o n a m e t à d i q u e s t a a c q u a p i o v a n a r i t o r n a a l l ' a t m o s f e r a p e r e v a p o r a z i o n e ,

m a i l r e s t o n i s c e n e l m a r e . S e t u t t a q u e s t a p o r z i o n e p o t e s s e e s s e r e u s a t a p e r g e n e r a r e e n e r g i a i d r o e l e t t r i c a ,

q u a l e s a r e b b e l a p o t e n z a m e d i a s v i l u p p a t a ?

S o l u z i o n e : I l v o l u m e a n n u o d i a c q u a p i o v a n a è

V = 3 · 1011 m2 × 0.8 m = 2.4 · 1011 m3/anno

L a m e t à c h e s i i p o t i z z a d i u t i l i z z a r e è q u i n d i V = 1.2 · 1011 m3/anno p e r u n a m a s s a q u i n d i d i m =1.2 · 1014 kg

L ' e n e r g i a s a r e b b e

U = 1.2 · 1014 kg × 9.8m

s2× 400 m = 4.7 · 1017 J

p e r u n a p o t e n z a P = 4.7 · 1017 W

. D i s t r i b u e n d o t a l e p o t e n z a n e l l ' a r c o d i u n a n n o , s i h a

P = 4.7 · 1017 W 365.25× 24× 3600 s

= 1.5 · 1010 Wanno = 15 GWanno

E x e r c i s e 3 2 . U n p a r a c a d u t i s t a d i 68 kg

i n c a d u t a l i b e r a c a d e a l l a v e l o c i t à l i m i t e ( c o s t a n t e ) d i 59 m/s

.

D e t e r m i n a r e l a r a p i d i t à c o n c u i s i r i d u c e l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e g r a v i t a z i o n a l e d e l s i s t e m a T e r r a - p a r à .

S o l u z i o n e : I l p a r à s c e n d e a v e l o c i t à c o s t a n t e ; n e s e g u e c h e i l s u o m o t o p u ò e s s e r e d e s c r i t t o d a l l e l e g g i

d e l m o t o r e t t i l i n e o u n i f o r m e . P e r c u i l a c a d u t a h = vt

. L a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a p o t e n z i a l e è d a t a d a l l a

p o t e n z a d i s s i p a t a

∆U

∆t=

mgvt

t= mgv = 68 kg × 9.8

m

s2× 59

m

s= 39 kW

E x e r c i s e 3 3 . U n o r s e t t o d i 25 kg s i l a s c i a s c i v o l a r e , d a f e r m o , p e r 12 m l u n g o u n p a l o r a g g i u n g e n d o l a v e l o c i t à

d i 5.6 m/s

s u b i t o p r i m a d i t o c c a r e i l s u o l o . T r o v a r e l a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a p o t e n z i a l e e l ' e n e r g i a c i n e t i c a p r i m a

d e l c o n t a t t o c o n i l s u o l o . T r o v a r e i n n e l a f o r z a m e d i a d i a t t r i t o c h e a g i s c e s u l l ' o r s e t t o .




S o l u z i o n e : A s s u m i a m o i l s u o l o c o m e p o s i z i o n e p e r l a q u a l e l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e è n u l l a . P e r t a n t o l a

v a r i a z i o n e d i e n e r g i a p o t e n z i a l e è

∆U = mgh = 25 kg × 9.8m

s2× 12 m = 2940 J

P a r t e n d o d a f e r m o , vi = 0

, l ' o r s e t t o a v e v a u n a e n e r g i a c i n e t i c a i n i z i a l e n u l l a . S e l a s u a v e l o c i t à p r i m a

d e l c o n t a t t o c o n i l s u o l o è 5.6 m/s, l a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a c i n e t i c a s a r à

∆K =1

2 m

v2

f − v2

i

= 0.5× 25 kg × 5.6m

s2

= 392 J

S i o s s e r v a c h e s o l o u n a p a r t e d e l l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e s i è t r a s f o r m a t a i n c i n e t i c a , l a p a r t e r i m a n e n t e è

s t a t a s p e s a d a l l ' a t t r i t o d i s f r e g a m e n t o d u r a n t e l a c a d u t a , c i o è

∆E = 2940− 392 = 2548 J = ∆W

Q u e s t a e n e r g i a p u ò e s s e r e c o n s i d e r a t a p a r i a l l a v o r o c o m p i u t o d a l l a f o r z a d i a t t r i t o ( t a l e l a v o r o s i è

t r a s f o r m a t o i n r i s c a l d a m e n t o d e l l e s u p e r c i a c o n t a t t o ) . I n m e d i a t a l e f o r z a s a r à

F =∆W

∆l=

2548 J

12 m= 212 N

E x e r c i s e 3 4 . D u r a n t e u n a f r a n a u n m a s s a d i 520 kg p r e c i p i t a , d a u n a p o s i z i o n e d i r i p o s o , g i ù p e r u n p e n d i o

l u n g o 500 m

p e r u n d i s l i v e l l o d i 300 m

. I l c o e c i e n t e d i a t t r i t o d i n a m i c o f r a i l m a s s o e i l p e n d i o è 0.25

. T r o v a

l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e U d e l m a s s o p r i m a d e l l a f r a n a , s e U = 0 è p o s t o a i p i e d i d e l p e n d i o ; c a l c o l a l ' e n e r g i a

m e c c a n i c a d i s s i p a t a d a l l e f o r z e d i a t t r i t o d u r a n t e l a d i s c e s a e l ' e n e r g i a c i n e t i c a e l a v e l o c i t à d e l m a s s o q u a n d o

a r r i v a i n f o n d o a l p e n d i o .

S o l u z i o n e : L a v e l o c i t à i n i z i a l e d e l m a s s o è n u l l a , p e r c u i i n p o s i z i o n e d i r i p o s o i l m a s s o p o s s i e d e s o l o

e n e r g i a p o t e n z i a l e , l e g a t a a l d i s l i v e l l o , c i o è a l l ' a l t e z z a d a l s u o l o

U = mgh = 520 kg × 9.8m

s2× 300 m = 1.53 · 106 J

P o i c h é i l m a s s o r o t o l a c o n a t t r i t o , s o l o u n a p a r t e d i q u e s t a e n e r g i a p o t e n z i a l e s i t r a s f o r m a i n e n e r g i a

c i n e t i c a , m e n t r e l a r i m a n e n t e v i e n e d i s s i p a t a . L a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a p o t e n z i a l e e s p r i m e i l l a v o r o d e l l a

f o r z a p e s o l u n g o u n i p o t e t i c o s p o s t a m e n t o v e r t i c a l e d i 300 m

. I l m a s s o r o t o l a p e r ò l u n g o u n p i a n o

i n c l i n a t o d i l u n g h e z z a

l = 500 me d i s l i v e l l o r

h = 300, p e r c u i l a c o m p o n e n t e p a r a l l e l a d e l l a f o r z a p e s o

c h e a g i s c e è

P = P h

l=

3

5P =

3

5× 520 kg × 9.8

m

s2= 3058 N

A q u e s t a f o r z a s i o p p o n e l ' a t t r i t o , d a t o d a l p r o d o t t o t r a i l c o e c i e n t e d i a t t r i t o e l a c o m p o n e n t e

p e r p e n d i c o l a r e d e l l a f o r z a p e s o ; t a l e c o m p o n e n t e p u ò e s s e r e c a l c o l a t a c o n i l t e o r e m a d i P i t a g o r a

P perp =

P 2 − P 2// =

520 kg × 9.8

m

s2

2−

3

5× 520 kg × 9.8

m

s2

2

=

=

520 kg × 9.8

m

s2

21− 9

25

=

4

5

520 kg × 9.8

m

s2

= 4077 N

P e r t a n t o l a f o r z a d ' a t t r i t o v a l e

F att = 0.25× 4077 = 1019 N

L a f o r z a r i s u l t a n t e c h e d e t e r m i n a l a c a d u t a d e l m a s s o è

R = 3058− 1019 = 2039 N

I l l a v o r o c o m p i u t o l u n g o i l p i a n o l u n g o 500 m, s a r à

W = 2039 N × 500 m = 1.02 · 106 J

Q u e s t o v a l o r e e s p r i m e l ' e n e r g i a c i n e t i c a a c q u i s t a t a d a l m a s s o e l a d i e r e n z a t r a l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e e

l ' e n e r g i a c i n e t i c a , i n d i c a l a q u a n t i t à d i e n e r g i a d i s s i p a t a , c h e è p a r i a

E = 1.53 · 106 − 1.02 · 106 = 5.1 · 105 J

L a v e l o c i t à d e l m a s s o i n f o n d o a l l a f r a n a s i o t t i e n e d a l l ' e n e r g i a c i n e t i c a

v =

2K

m=

2× 1.02 · 106 J

520 kg= 63

m

s




E x e r c i s e 3 5 . U n a p a l l o t t o l a d i 30 g , c o n v e l o c i t à i n i z i a l e d i 500 m/s, p e n e t r a p e r 12 cm i n u n a p a r e t e i n

m u r a t u r a p r i m a d i f e r m a r s i . D e t e r m i n a r e l a r i d u z i o n e d e l l ' e n e r g i a m e c c a n i c a d e l l a p a l l o t t o l a , e , a m m e t t e n d o

c h e l a f o r z a e s e r c i t a t a d a l m u r o s u l l a p a l l o t t o l a s i a c o s t a n t e , c a l c o l a r n e i l v a l o r e .

S o l u z i o n e : C a l c o l i a m o l ' e n e r g i a c i n e t i c a d e l l a p a l l o t t o l a , p r i m a d e l l ' i m p a t t o c o n i l m u r o

K =1

2mv2 = 0.5× 0.030 kg ×

500

m

s

2= 3.8 · 103 J

L a r i d u z i o n e i n ' e n e r g i a s a r à a l l o r a E = E f − E i = 0 − 3.8 · 103

= −3.8 · 103

J I l m u r o c o m p i e u n

l a v o r o f r e n a n t e p a r i a 3750 J

, p e r c u i l a f o r z a s i r i c a v e r à d a l l a r e l a z i o n e

W = F ·∆s

c o n

F =W

∆s=

3.8 · 103 J

0.12 m= 3.1 · 104 N

E x e r c i s e 3 6 . U n b l o c c o d i 3.5 kg è s p i n t o v i a d a u n a m o l l a c o m p r e s s a a v e n t e u n a c o s t a n t e d i 640 N/m .

D i s t a c c a t o s i d a l l a m o l l a u n a v o l t a c h e e s s a h a r a g g i u n t o l a p o s i z i o n e d i r i p o s o , i l b l o c c o v i a g g i a s u u n a s u p e r c i e

o r i z z o n t a l e c o n c o e c i e n t e d i a t t r i t o d i n a m i c o 0.25 n o a f e r m a r s i a l l a d i s t a n z a d i 7.8 m. T r o v a r e l ' e n e r g i a

m e c c a n i c a d i s s i p a t a d a l l a f o r z a d ' a t t r i t o , l a m a s s i m a e n e r g i a c i n e t i c a d e l b l o c c o e l a c o m p r e s s i o n e i n i z i a l e d e l l a

m o l l a .

S o l u z i o n e : L a f o r z a d ' a t t r i t o f e r m a i l b l o c c o i n 7.8 m

. L a f o r z a d ' a t t r i t o è d a t a d a l p r o d o t t o d e l c o e c i e n t e

d i a t t r i t o p e r l a c o m p o n e n t e p e r p e n d i c o l a r e a l p i a n o d i s c o r r i m e n t o d e l l a f o r z a p e s o ; i n q u e s t o c a s o ,

d e l l ' i n t e r a f o r z a p e s o , m u o v e n d o s i i l b l o c c o , i n o r i z z o n t a l e . P e r t a n t o

F a = µP = 0.25× 3.5 kg × 9.8m

s2= 8.6 N

L a d e c e l e r a z i o n e , s u p p o s t a c o s t a n t e , è

a =F

m=

8.6 N

3.5 kg= 2.5

m

s2

P o s s i a m o p e r t a n t o c a l c o l a r e l a v e l o c i t à i n i z i a l e d e l b l o c c o m e d i a n t e l e l e g g i d e l l a c i n e m a t i c a

v2f = v2i

−2as

d a c u i

v2i = 0m2

s2+ 2 × 2.5

m

s2× 7.8 m = 39

m2

s2

L ' e n e r g i a c i n e t i c a p o s s e d u t a d a l b l o c c o d o p o i l d i s t a c c o d a l l a m o l l a è a n c h e l ' e n e r g i a d i s s i p a t a d a l l ' a t t r i t o

K =1

2mv2 = 0.5× 3.5 kg × 39

m2

s2= 68 J

T r o v i a m o o r a l a c o m p r e s s i o n e d e l l a m o l l a , r i c o r d a n d o c h e , p e r l ' e n e r g i a p o t e n z i a l e e l a s t i c a v a l e l a

r e l a z i o n e U elas = 1

2k∆x2

; n e l n o s t r o c a s o l ' e n e r g i a c i n e t i c a m a s s i m a p o s s e d u t a c o r r i s p o n d e a l l ' e n e r g i a

p o t e n z i a l e e l a s t i c a , p e r c h é i l p r i m o t r a t t o d i m o v i m e n t o a g g a n c i a t o a l l a m o l l a n o n p r e s e n t a d i s p e r s i o n i

1

2k∆x2 = 68 J

d a c u i

∆x =

2× 68 J

640 N m

= 0.46 m = 46 cm

E x e r c i s e 3 7 . U n b l o c c o è s p i n t o g i ù p e r u n p i a n o i n c l i n a t o d a u n p u n t o A

a u n p u n t o B

, p e r u n a d i s t a n z a d i

5.0 m, d a u n a f o r z a F = 2.0 N c h e a g i s c e p a r a l l e l a m e n t e a l p i a n o i n c l i n a t o . L ' i n t e n s i t à d e l l a f o r z a d i a t t r i t o c h e

a g i s c e s u l b l o c c o f r a A e B è d i 10 N . S e l ' e n e r g i a c i n e t i c a d e l b l o c c o a u m e n t a d i

35 J n e l p a s s a g g i o d a A a B ,

t r o v a r e i l l a v o r o s v i l u p p a t o s u l b l o c c o d a l s u o p e s o n e l l o s t e s s o t r a t t o .

S o l u z i o n e : L a f o r z a c h e s p i n g e i l c o r p o c o m p i e u n l a v o r o

W F = 2.0 N × 5.0 m = 10 J

L a f o r z a d ' a t t r i t o c o m p i e u n l a v o r o

W att = 10 N × 5.0 m = 50 J

P o i c h é l a f o r z a d ' a t t r i t o c o m p i e u n l a v o r o r e s i s t e n t e , i l l a v o r o t o t a l e s a r à

W tot = 50 J + 35 J = 85 J




S e a q u e s t o l a v o r o s o t t r a i a m o q u e l l o c o m p i u t o d a l l a f o r z a a g g i u n t i v a , o t t e n i a m o i l l a v o r o c o m p i u t o d a l

p e s o

W P = 85 J − 10 J = 75 J


m u o v e n d o s i o r i z z o n t a l m e n t e s u n p i a n o v a a u r t a r e u n a m o l l a , p u r e p o s t a

o r i z z o n t a l m e n t e , a v e n t e

k = 320 N/m, e l a c o m p r i m e p e r u n a l u n g h e z z a m a s s i m a d i

7.5 cm. I l c o e c i e n t e d i

a t t r i t o d i n a m i c o t r a i l b l o c c o e l a s u p e r c i e d i s c o r r i m e n t o è 0.25. C a l c o l a i l l a v o r o c h e s v o l g e l a m o l l a p e r

a r r e s t a r e i l b l o c c o e l ' e n e r g i a m e c c a n i c a d i s s i p a t a d a l l a f o r z a d ' a t t r i t o p r i m a c h e i l b l o c c o s i a a r r e s t a t o d a l l a

m o l l a . D e t e r m i n a i n n e l a v e l o c i t à d e l b l o c c o q u a n d o h a u r t a t o l a m o l l a .

S o l u z i o n e : I l l a v o r o c o m p i u t o d a l l a m o l l a è d a t o d a W = −1

2k∆x2

, c i o è

W = −0.5× 320N

m× 0.0752 m2 = −0.9 J

P e r o t t e n e r e l ' e n e r g i a m e c c a n i c a d i s s i p a t a d a l l a f o r z a d ' a t t r i t o è n e c e s s a r i o c a l c o l a r e p r i m a t a l e f o r z a c h e

è e s p r e s s a d a F at = µP perp ; p o i c h é i l c o r p o s i m u o v e i n o r i z z o n t a l e , l a f o r z a p e s o h a s o l o l a c o m p o n e n t e

p e r p e n d i c o l a r e , p e r c u i F at = 0.25× 2.5 kg × 9.8 m

s2 = 6 N ; n e d e r i v a c h e

∆E = 6 N × 0.075 m = 0.46 J

I l c o r p o m e n t r e è c o n t r a s t a t o d a l l a m o l l a è a n c o r a s o g g e t t o a l l a f o r z a d ' a t t r i t o l u n g o i 7.5 cm. P e r t a n t o , s i

d e v e s o m m a r e i l d e l l a m o l l a 0.9 J a l l ' e n e r g i a d i s p e r s a d a l l ' a t t r i t o i n q u e s t o t r a t t o , c i o è 0.46 J . L ' e n e r g i a

c i n e t i c a p o s s e d u t a d a l b l o c c o s a r à p a r i a K = 0.9 J + 0.46 J = 1.36 J

; p e r c u i

v =

2K

m=

2× 1.36 J

2.5 kg= 1.04

m

s

E x e r c i s e 3 9 . D u e c i m e i n n e v a t e s o v r a s t a n o d i 850 m e 750 m i l f o n d o v a l l e i n t e r m e d i o . U n a p i s t a d i s c i s c e n d e

d a l l a v e t t a p i ù a l t a e r i s a l e n o i n c i m a a l l ' a l t r a , p e r u n a l u n g h e z z a d i 3.2 km

c o n u n a p e n d e n z a m e d i a d i 30

° ,

c o m e i n g u r a . U n o s c i a t o r e p a r t e d a f e r m o d a l l a c i m a p i ù a l t a - T r o v a r e l a v e l o c i t à c o n l a q u a l e r a g g i u n g e

l ' a l t r a c i m a s e s c e n d e s e n z a l ' a i u t o d e i b a s t o n c i n i , c o n s i d e r a n d o t r a s c u r a b i l e l ' a t t r i t o . S e c o n s i d e r i a m o a n c h e

l ' a t t r i t o , t r o v a r e i l c o e c i e n t e d i n a m i c o a p p r o s s i m a t o t r a n e v e e s c i a n c h é l o s c i a t o r e s i f e r m i s u l l a c i m a p i ù

b a s s a .

S o l u z i o n e : I n a s s e n z a d i a t t r i t o , n o n c i s o n o f o r z e d i s p e r s i v e , p e r c u i l ' e n e r g i a c i n e t i c a a c q u i s i t a l u n g o l a

p r i m a d i s c e s a è s p e s a i n p a r t e p e r l a r i s a l i t a v e r s o l a s e c o n d a c i m a . I n p a r t i c o l a r e , c o n t a s o l o i l d i s l i v e l l o

t r a l e d u e v e t t e , c i o è l a d i e r e n z a d i e n e r g i a p o t e n z i a l e t r a l e d u e c i m e ; e s s a v a l e ∆h = 850 m−750 m =100 m

; p e r t a n t o l a v e l o c i t à c o n c u i l o s c i a t o r e r a g g i u n g e l a v e t t a p i ù b a s s a è

v =

2gh =

2× 9.8 ms× 100 m = 44 m

s

S e s i c o n s i d e r a a n c h e l ' a t t r i t o t r a s c i e n e v e , l a c o n d i z i o n e p r e c e d e n t e n o n v a l e a l l o s t e s s o m o d o , p e r

l a c o m p a r s a d i q u e s t a f o r z a n o n c o n s e r v a t i v a . D o b b i a m o c o n s i d e r a r e i l c a s o i n c u i l a v e l o c i t à s u l l a

s e c o n d a v e t t a s i a n u l l a . L a f o r z a d i a t t r i t o è d a t a d a l p r o d o t t o d e l c o e c i e n t e d ' a t t r i t o d i n a m i c o p e r l a

c o m p o n e n t e p e r p e n d i c o l a r e d e l l a f o r z a p e s o . E s s e n d o l ' i n c l i n a z i o n e d e i p e r c o r s i d i 30° , l a c o m p o n e n t e

p e r p e n d i c o l a r e è p a r i a P perp = P

2

√3

( s c o m p o n e n d o i l v e t t o r e p e s o n e l l e c o m p o n e n t i p e r p e n d i c o l a r e e

p a r a l l e l a , e d i s e g n a n d o l e c o n i l v e t t o r e p e s o s i h a l a m e t à d i u n t r i a n g o l o e q u i l a t e r o , l a c u i a l t e z z a è

l a c o m p o n e n t e p e r p e n d i c o l a r e ) . I l c a l c o l o p u ò e s s e r e c o s ì i m p o s t a t o : q u a n d o l o s c i a t o r e s i t r o v a s u l l a

c i m a p i ù a l t a h a u n ' e n e r g i a s o l a m e n t e p o t e n z i a l e , c h e i n d i c h i a m o c o n U 850 . Q u a n d o s i t r o v a , d o p o i l

p e r c o r s o , s u l l a c i m a p i ù b a s s a , h a e n e r g i a U 750−∆E att , d o v e ∆E att è l ' e n e r g i a d i s p e r s a . T a l e e n e r g i a è

p a r i a l l a v o r o d e l l a f o r z a d i a t t r i t o , c h e e s s e n d o r e s i s t e n t e , è ∆E att = W =

−F att∆s

. D a c i ò s i o t t i e n e

c h e

F att∆s = U 850 − U 750 = U 100

d o v e U 100 r a p p r e s e n t a l a d i e r e n z a t r a l e d u e e n e r g i e p o t e n z i a l i ( d i s l i v e l l o t r a l e d u e v e t t e ) e

∆sl a

d i s t a n z a p e r c o r s a d a l l o s c i a t o r e . L a s a l i t a e l a d i s c e s a s i p o s s o n o c o n s i d e r a r e c o m e p i a n i i n c l i n a t i d i 30° ,




p e r c u i , a l l e a l t e z z e i n d i c a t e c o r r i s p o n d o n o p e r c o r s i d i 1700 m d i d i s c e s a , e 1500 m d i r i s a l i t a , p e r u n

t o t a l e d i ∆s = 3200 m. A p p l i c a n d o l e d e n i z i o n i d e l l e g r a n d e z z e , s i h a

mg · 100 J = µ · mg

2

√3 · 3200 J

d a c u i

µ =100

1600

×

√3

= 0.036

E x e r c i s e 4 0 . U n a c a s s a d i 180 kg

s c i v o l a l u n g o u n a r a m p a l u n g a 3.60 m

c o n p e n d e n z a d i 39

° . I l c o e c i e n t e

d i a t t r i t o d i n a m i c o t r a l e v a r i e p a r t i è 0.28. T r o v a r e l a v e l o c i t à d e l l a c a s s a a l f o n d o d e l l a r a m p a ; d e t e r m i n a r e

p o i q u a l e t r a t t o o r i z z o n t a l e p e r c o r r e r à , s t r i s c i a n d o s u l p a v i m e n t o , s u p p o n e n d o c h e i l c a m b i a m e n t o d i p e n d e n z a

n o n p r o v o c h i a l c u n a p e r d i t a d i e n e r g i a c i n e t i c a .

S o l u z i o n e : I l l a v o r o r e s i s t e n t e f a t t o d a l l a f o r z a d ' a t t r i t o è d a t o d a l p r o d o t t o d e l l a f o r z a d ' a t t r i t o p e r

l a l u n g h e z z a d e l l a r a m p a . L a f o r z a d ' a t t r i t o è u g u a l e a l p r o d o t t o d e l c o e c i e n t e d ' a t t r i t o e d e l l a

c o m p o n e n t e p e r p e n d i c o l a r e d e l l a f o r z a p e s o . E s s e n d o i l p i a n o i n c l i n a t o d i 39° , t a l e c o m p o n e n t e v a l e

P perp = P cos39°

p e r c u i i l l a v o r o s a r à d a t o d a

W att = −F att · l = µP perpl = −0.28× 180 kg × 9.8m

s2× cos39

°

× 3.6 m = 1382 J

L ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l l a c a s s a d i m i n u i s c e d i

∆U = mgh = 180 kg × 9.8m

s2× 3.6sin39

°

= 3997 J

d o v e h = l sin39° . L ' e n e r g i a c i n e t i c a a c q u i s t a t a d a l l a c a s s a l u n g o l a d i s c e s a è p a r i a

K = 3997 J − 1382 J = 2615 J

l a v e l o c i t à d e l l a c a s s a a l t e r m i n e d e l l a d i s c e s a s a r à p e r t a n t o

v = 2K

m=

2× 2615 J

180 kg= 5.4

m

s

L u n g o i l t r a t t o o r i z z o n t a l e l a c o m p o n e n t e p e r p e n d i c o l a r e d e l l a f o r z a p e s o c o i n c i d e c o n i l p e s o s t e s s o

d e l l a c a s s a , e l a f o r z a d ' a t t r i t o s a r à F att = µP = 0.28× 80 kg × 9.8 ms2 = 494 N . I l l a v o r o c o m p i u t o d a

t a l e f o r z a s a r à q u i n d i W attr = −494 N × ∆s

. T r o v i a m o q u i n d i l a s p o s t a m e n t o s u p p o n e n d o c h e t u t t a

l ' e n e r g i a c i n e t i c a a c q u i s i t a d a l l a c a s s a v e n g a d i s s i p a t a d a l l ' a t t r i t o c h e f e r m a l a c a s s a :

∆s =2615 J

494 N = 5.3 m

E x e r c i s e 4 1 . U n a b a m b i n a d e l p e s o d i 267 N

s c e n d e l u n g o u n o s c i v o l o l u n g o 6.1 m

i n c l i n a t o d i 20

° . I l c o e c i e n t e

d i a t t r i t o d i n a m i c o è 0.10. T r o v a r e i l l a v o r o s v o l t o d a l p e s o s u l l a b a m b i n a , l ' e n e r g i a d i s s i p a t a d a l l a f o r z a d ' a t t r i t o

e , i n n e , l a v e l o c i t à d i a r r i v o a t e r r a s e p a r t e d a l l ' a l t o c o n u n a v e l o c i t à d i 0.457 m/s

.

S o l u z i o n e : L o s c i v o l o è i n c l i n a t o d i 20

° , p e r c u i i l d i s l i v e l l o t r a i l p u n t o p i ù a l t o e i l s u o l o è h = 6.1 m×

sin 20° = 2.1 m. È p o s s i b i l e c a l c o l a r e q u i n d i i l l a v o r o d e l p e s o , a t t r a v e r s o l a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a

p o t e n z i a l e t r a l e d u e p o s i z i o n i

W peso = ∆U = P h = 267 N × 2.1 m = 557 J

L ' e n e r g i a d i s s i p a t a d a l l a f o r z a d ' a t t r i t o è d a t a d a l l a v o r o r e s i s t e n t e d a e s s a c o m p i u t o ( a n c h e q u i l a

c o m p o n e n t e p e r p e n d i c o l a r e d e l p e s o s i o t t i e n e d a P cos20

° ; i n o l t r e i l l a v o r o d i p e n d e d a l p e r c o r s o s e g u i t o ,

p e r c h é , c o n t r a r i a m e n t e a l p e s o , l ' a t t r i t o n o n è u n a f o r z a c o n s e r v a t i v a )

W att = −µP perpl = 0.1× 267 N × cos20°

× 6.1 m = 153 J

L a b a m b i n a a c q u i s t e r à q u i n d i u n a e n e r g i a c i n e t i c a

∆K = 557−

153 = 404 J

L a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a c i n e t i c a s i p u ò e s p r i m e r e c o m e ∆K = 1

2m

v2f − v2i

, p e r c u i

1

2m

v2f − v2i

= 404 J




d a c u i , s v o l g e n d o , s i o t t i e n e ( l a m a s s a d e l l a b a m b i n a è d a t a d a m = P g = 267N

9.8 ms2

vf =

2× 404J × 9.8 m

s2

267 N + 0.457

m

s2= 5.45

m

s

E x e r c i s e 4 2 . N e l l a g u r a s i v e d e u n b l o c c o c h e s c i v o l a l u n g o u n a p i s t a d a u n c e r t o l i v e l l o a d u n a l t r o p i ù

e l e v a t o , a t t r a v e r s a n d o u n a v v a l l a m e n t o i n t e r m e d i o . L a p i s t a è p r o v a d i a t t r i t o n o a c h e s i g i u n g e a l l i v e l l o

m a g g i o r e , d o v e l a f o r z a d ' a t t r i t o a r r e s t a i l b l o c c o d o p o u n a d i s t a n z a d

. T r o v a r e d

, s a p e n d o c h e l a v e l o c i t à

i n i z i a l e v0 = 6.0 m/s, l a d i e r e n z a d i q u o t a h = 1.1 m e i l c o e c i e n t e d i a t t r i t o d i n a m i c o è µ = 0.60.

S o l u z i o n e : I l b l o c c o p e r c o r r e l a p i s t a i n a s s e n z a d i a t t r i t o , t r a n n e n e l l ' u l t i m o t r a t t o o r i z z o n t a l e ; p e r t a n t o

d o p o a v e r p e r c o r s o l ' a v v a l l a m e n t o , r i t o r n e r à a l l i v e l l o i n i z i a l e c o n l a s t e s s a v e l o c i t à i n i z i a l e . R i s a l e n d o ,

r a g g i u n g e r à i l l i v e l l o s u p e r i o r e , a u m e n t a n d o l a p r o p r i a e n e r g i a p o t e n z i a l e d i ∆U = 1.1mg = 11m J e

r i d u c e n d o l a p r o p r i a e n e r g i a c i n e t i c a d e l l o s t e s s o v a l o r e . L a s u a v e l o c i t à a l l i v e l l o h

, s a r à

∆K =1

2m

v2i − v2f

= 11m

p e r c u i

v2i − v2f = 22

e

vf =√

36− 22 = 3.7m

sN e l t r a t t o d, t a l e v e l o c i t à s i a z z e r a . L a f o r z a d i a t t r i t o è p a r i a F att = 0.60P = 5.9m N . L a f o r z a

d ' a t t r i t o c o m p i r à u n l a v o r o r e s i s t e n t e c h e a n n u l l e r à l ' e n e r g i a c i n e t i c a r i m a n e n t e p o s s e d u t a d a l b l o c c o ,

c i o è K = 1

2mv2 = 6.8m J , d a c u i

W att = F attd = K

d a c u i

d =6.8m J

5.9m N = 1.2 m

E x e r c i s e 4 3 . I n u n a t o m o d i i d r o g e n o l a f o r z a a t t r a t t i v a f r a p r o t o n e e d e l e t t r o n e è l a f o r z a e l e t t r i c a , d a t a d a l l a

r e l a z i o n e

F = ke2

r2

d o v e e è l a c a r i c a d i e l e t t r o n e e p r o t o n e e r l a d i s t a n z a t r a d i l o r o . S u p p o n e n d o c h e i l n u c l e o r e s t i f e r m o e

i m m a g i n a n d o c h e l ' e l e t t r o n e c o m p i a u n s a l t o d a u n ' o r b i t a p i ù e s t e r n a d i r a g g i o r1 a d u n a p i ù i n t e r n a , d i

r a g g i o r2 , c a l c o l a r e l a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a c i n e t i c a d e l l ' e l e t t r o n e a t t r a v e r s o l a s e c o n d a l e g g e d i N e w t o n .

S o l u z i o n e : L a f o r z a e l e t t r i c a o p e r a c o m e u n a f o r z a c e n t r i p e t a i n q u e s t a d e s c r i z i o n e c l a s s i c a d e l l ' a t o m o

d i i d r o g e n o . S u p p o n e n d o i l m o t o d e l l ' e l e t t r o n e c i r c o l a r e e u n i f o r m e , l a s u a v e l o c i t à a n g o l a r e r i m a n e

c o s t a n t e , m a n o n q u e l l a t a n g e n z i a l e , c h e d i p e n d e d a l l a d i s t a n z a d a l c e n t r o d i r o t a z i o n e ( c i o è d a l p r o t o n e ) .

L a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a c i n e t i c a d i p e n d e q u i n d i d a l l a v a r i a z i o n e d e l l a d i s t a n z a d a l p r o t o n e . L a f o r z a

c e n t r i p e t a è d e s c r i t t a d a

F c = mv2

r= k

e2

r2

d a c u i

1

2mv2 =

k

2

e2

rl a v a r i a z i o n e d i e n e r g i a c i n e t i c a s a r à

∆K =1

2m

v22 − v21

=k

2e2

1

r2− 1

r1




E x e r c i s e 4 4 . U n o s c i v o l o h a l a f o r m a d i u n a r c o d i c e r c h i o d i r a g g i o 12 m, t a n g e n t e a l t e r r e n o e d i a l t e z z a

4.00 m. U n b a m b i n o d i 25 kg p a r t e d a f e r m o d a l l ' a l t o d e l l o s c i v o l o e a r r i v a i n f o n d o a l l a v e l o c i t à d i

6.2 m/s.

T r o v a r e l a l u n g h e z z a d e l l o s c i v o l o e l a f o r z a m e d i a d i a t t r i t o l u n g o t a l e d i s t a n z a .

S o l u z i o n e : I l c a l c o l o d e l l a l u n g h e z z a d e l l o s c i v o l o v i e n e s v o l t o n e l l ' i p o t e s i d i n o n p o t e r c o n t a r e s u i t e o r e m i

d e l l a t r i g o n o m e t r i a . F a c c i a m o r i f e r i m e n t o a l l a g u r a s o t t o .

L a c u r v a AB d e s c r i v e l a f o r m a d e l l o s c i v o l o ( a r c o d i c i r c o n f e r e n z a ) , i l s e g m e n t o AB u n ' a p p r o s s i m a z i o n e

d i u n o s c i v o l o r e t t i l i n e o ( c o r d a d e l c e r c h i o ) . L o s c i v o l o è t a n g e n t e a l t e r r e n o , e p e r t a n t o i l s e g m e n t o BO

è p e r p e n d i c o l a r e a l t e r r e n o ( O è i l c e n t r o d e l c e r c h i o ) . P o s s i a m o c a l c o l a r e i l s e g m e n t o AC c o n i l t e o r e m a

d i P i t a g o r a , o t t e n e n d o

√80 m , e d a q u i t r o v a r e l a c o r d a AB = 9.8 m . S e a p p l i c a s s i m o l a t r i g o n o m e t r i a

o t t e r r e m m o p e r l ' a r c o AB = 10 m

.

L ' e n e r g i a p o t e n z i a l e d e l b a m b i n o n e l p u n t o p i ù a l t o d e l l o s c i v o l o è

U = mgh = 25 kg × 9.8m

s2× 4.00 m = 980 J

S c e n d e n d o , i n a s s e n z a d i a t t r i t o , t u t t a q u e s t a e n e r g i a s i t r a s f o r m e r e b b e i n e n e r g i a c i n e t i c a , e i l b a m b i n o

g i u n g e r e b b e a t e r r a c o n u n a v e l o c i t à d i

v =

2K

m=

1960 J

25 kg= 8.9

m

s

L a d i e r e n z a t r a l e d u e v e l o c i t à è l e g a t a a l l ' e n e r g i a d i s s i p a t a d a l l ' a t t r i t o . I l l a v o r o d a q u e s t a f a t t o è

W att = F att · l =1

2× 25 kg × 8.92 − 6.22

= 510 J

L a f o r z a m e d i a d ' a t t r i t o è q u i n d i

F att =W att

l=

510 J

9.8 m= 52 N

E x e r c i s e 4 5 . U n a p a r t i c e l l a s c i v o l a s u u n a p i s t a c o n d u e t r a t t i v e r t i c a l i c u r v i u g u a l i e u n t r a t t o c e n t r a l e p i a n o ,

d i l u n g h e z z a L . L e d u e p a r t i c u r v e s o n o p r i v e d i a t t r i t o , m e n t r e p e r l a p a r t e i n p i a n o i l c o e c i e n t e d i a t t r i t o

d i n a m i c o è µk = 0, 20

. L a p a r t i c e l l a è l a s c i a t a l i b e r a a d u n ' a l t e z z a h = L/2

r i s p e t t o a l t r a t t o p i a n o . T r o v a r e

d o v e s i f e r m a l a p a r t i c e l l a .

S o l u z i o n e : L a p a r t i c e l l a n e l p u n t o i n i z i a l e s i t r o v a a d u n ' a l t e z z a h

r i s p e t t o a l t r a t t o p i a n o , p r e s o c o m e

r i f e r i m e n t o , e p o s s i e d e q u i n d i u n a e n e r g i a p o t e n z i a l e p a r i a ( h = L2

)

U = mgh = 0.5mgLt a l e e n e r g i a v i e n e c o n v e r t i t a i n e n e r g i a c i n e t i c a l u n g o l a d i s c e s a . S u l t r a t t o p i a n o l a f o r z a d i a t t r i t o

d i s s i p a t i v a c o m p i e u n l a v o r o

W = −F attL = −0.20mgL

A l t e r m i n e d e l t r a t t o p i a n o , l a p a r t i c e l l a a r o n t a i l t r a t t o c u r v o i n s a l i t a c o n u n ' e n e r g i a c i n e t i c a

K = mgL (0.5− 0.20) = 0.30mgL

q u e s t a e n e r g i a c i n e t i c a s i t r a s f o r m a i n e n e r g i a p o t e n z i a l e

0.30mgL = mgh

d a c u i

h

= 0.30L = 0.60h

L a p a r t i c e l l a p o i r i d i s c e n d e . E s s e n d o l e c o n d i z i o n i i d e n t i c h e e c a m b i a n d o s o l o i l d i s l i v e l l o d e l p u n t o

d i p a r t e n z a , l a p a r t i c e l l a p e r d e r à , s u l t r a t t o o r i z z o n t a l e , a l t r i 0.20mgLJoule

e r i d i s c e n d e n d o p o i , s i

f e r m e r à a m e t à d e l t r a t t o p i a n o , p e r d e n d o i r e s t a n t i 0.10mgLJoule.




E x e r c i s e 4 6 . I l c a v o d i u n a s c e n s o r e d i 2000 kg s i s p e z z a q u a n d o l a c a b i n a s i t r o v a f e r m a a l p r i m o p i a n o , c o l

f o n d o a d u n a d i s t a n z a d = 4.0 m a l d i s o p r a d i u n a m o l l a a m m o r t i z z a t r i c e d i c o s t a n t e e l a s t i c a k = 1.5 ·105 N/m .

U n d i s p o s i t i v o d i s i c u r e z z a a g i s c e s u l l e g u i d e i n m o d o d a f a r l o r o s v i l u p p a r e i n c a s o d i e m e r g e n z a u n a f o r z a

d ' a t t r i t o c o s t a n t e p a r i a 4900 N c h e s i o p p o n e a l m o t o d e l l ' a s c e n s o r e . T r o v a r e l a v e l o c i t à d e l l ' a s c e n s o r e p r i m a

c h e u r t i l a m o l l a e d i q u a l e l u n g h e z z a x

v e r r à c o m p r e s s a l a m o l l a .

S o l u z i o n e L ' a s c e n s o r e , o i l s u o c e n t r o d i m a s s a , a v r à u n a e n e r g i a p o t e n z i a l e p a r i a

U = mgh = 2000 kg·

9.8m

s2 ·4.0 m = 78400 J

L a f o r z a d ' a t t r i t o c o m p i e u n l a v o r o r e s i s t e n t e p a r i a

W att = −F h = 4900 N · 4.0 m = 19600 J

L ' a s c e n s o r e a c q u i s t e r à q u i n d i u n a e n e r g i a c i n e t i c a

K = 78400− 19600 = 58800 J

l a v e l o c i t à p r i m a d e l l ' i m p a t t o c o n l a m o l l a è

v =

2K

m=

117600 J

2000 kg= 7.7

m

s

L a m o l l a s u b i r à q u i n d i u n a c o m p r e s s i o n e ( i l l a v o r o d e l l a m o l l a è q u e l l o c h e s e r v e a f e r m a r e l ' a s c e n s o r e )

x =

2K k

=

117600 J 1.5 · 105 N

m

= 0.89 m

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