comprendere logicamente - Siti Personali | Libero...

MATEMATICA PER TUTTI

Seconda edizione riveduta e corretta --------------------------------------------

La pagina si rivolge a studenti e docenti con suggerimenti per affrontare e superare alcune difficoltà incontrate dagli studenti in un certo numero di argomenti di base. I suggerimenti sono dettati dalla mia lunga esperienza d'insegnamento e tendono a razionalizzare, ma soprattutto a comprendere logicamente le procedure utilizzate. Sono infatti convinto che lo studente riuscirà ad evitare i più comuni errori che, a buon diritto, tanto fanno inorridire i docenti, se saranno in grado di giustificare, con procedimenti logici e non puramente mnemonici, le metodologie impiegate. Spero che questo mio contributo sia utile ai docenti e agli studenti e confido in una proficua collaborazione di tutti i "lettori" per suggerimenti, critiche costruttive e, perchè no?, obiezioni documentate, che saranno sempre bene accette.

Grazie

Giorgio Lironcurti

I contenuti sono navigabili e copiabili direttamente (col copia-incolla) dalle pagine del sito:

http://digilander.libero.it/giorgiolironcurti/ IIediz.pdf

da cui è comunque possibile scaricare o stampare tutto il testo o ogni singolocapitolo.

Con questa seconda edizione (del 2014) tutte le pagine sono in formato PDF e quindileggibili da tutti i computer.

Tutti i documenti sono stati redatti con la suite per l'ufficio Libre Office liberamente scaricabile da internet, del tutto gratuita e aggiornata automaticamente senza alcuna spesa aggiuntiva.

In particolare consigliamo a tutti i colleghi l'uso anche in classe dell'utility “Formula”di writer (che equivale a word di Microsoft nella suite LibreOffice) per una praticaesemplificazione di 'lettura' delle espressioni algebriche e quello di 'LibnizGraphPlotter' per i grafici delle funzioni (programma molto potente, ovviamente gratuito,da utilizzare anche per la risoluzione grafica di ogni tipo di equazione).

G. Lironcurti – Matematica per tutti – II ediz. - 1

Indice generale

Cap. I (pagg. 7 - 29) - Cap. II (pagg. 30 - 37) - Cap. III (pagg. 38 - 46) - Cap. IV (pagg. 47 - 64) - Cap. V (pagg. 65 - 73) - Cap. VI (pagg. 74 - 112) - Cap. VII (pagg. 113 - 117) - Cap. VIII (pagg. 118 - 129) - Cap. IX (pagg. 130 - 136) - Cap. X (pagg. 137 – 144)

Prefazione pag. 5

I - Leggere e trasformare un'espressione algebrica pag. 7 1) Premessa pag. 7

Le traduzioni pag. 7 Un parallelo tra l'Italiano e la matematica pag. 9

2) La semplificazione delle espressioni algebriche pag. 12 3) Regole generali per la scomposizione dei polinomi in fattori pag. 19

Riconoscimento della potenza n-sima di un binomio pag. 19 Riconoscimento della somma o della differenza di due potenze con ugual esponente pag. 20Applicabilità del teorema di Ruffini pag. 21 Scomposizione mediante la ricerca di soluzioni dell'equazione Pn(x) = 0 pag. 23

4) Procedimento ricorsivo per la scomposizione delle espressioni algebriche pag. 24 5) Esempi pag. 25

II - Equazioni algebriche pag. 30 Equazioni intere pag. 30 Equazioni fratte pag. 33 Equazioni irrazionali pag. 34 Equazioni in valore assoluto pag. 36 III - Disequazioni razionali intere e fratte pag. 38 Premessa pag. 38 Il metodo alternativo pag. 38

Esempio 1 (metodo tradizionale) pag. 42 Esempio 1 (metodo alternativo) pag. 42 Esempio 2 (metodo tradizionale) pag. 43 Esempio 2 (metodo alternativo) pag. 44 Esempio 3 (metodo tradizionale) pag. 45 Esempio 3 (metodo alternativo) pag. 46

IV - Disequazioni irrazionali ed in valore assoluto pag. 47 Disequazioni irrazionali Disequazioni irrazionali ad indice dispari pag. 47 Disequazioni irrazionali ad indice pari pag. 48 Tabella riassuntiva disequazioni irrazionali ad indice pari pag. 50Esempi

I: f (x) > √g(x) pag. 51 II: f (x) < √g(x) pag. 51 III: √f(x) > √g(x) pag. 53 IV: √f(x) < √g(x) pag. 53


Disequazioni in valore assoluto La funzione valore assoluto pag. 54 Casi |f(x)| < k e |f(x)| < k pag. 56 Casi |f(x)| < g(x) e |f(x)| > g(x) pag. 59 Tabella riassuntiva disequazioni in valore assoluto pag. 60Esempi

per |f(x)| < k e per |f(x)| > k pag. 61 per |f(x)| < g(x) e per |f(x)| > g(x) pag. 63

V - Funzioni goniometriche pag. 65 Misura degli angoli pag. 65 Corrispondenza tra angoli sessagesimali e radianti pag. 65Definizione delle funzioni goniometriche fondamentali pag. 66 Angoli associati pag. 67 Estensione delle definizioni ad angoli > 90° pag. 68 Proprietà delle funzioni goniometriche pag. 70 Relazioni fondamentali tra le funzioni della goniometria pag. 73

VI Equazioni e disequazioni goniometriche pag. 74 Funzioni periodiche pag. 74 Valori delle funzioni per alcuni angoli pag. 75 Approccio grafico per lo studio delle funzioni pag. 76 Procedura per lo studio di funzioni periodiche pag. 80 Esempi di applicazione del metodo (equazioni e disequazioni in un'unica funzione)

Risoluzione di equazioni e disequazioni in sin (f(x)) pag. 82 Risoluzione di equazioni e disequazioni in cos (f(x)) pag. 86Risoluzione di equazioni e disequazioni in tan (f(x)) pag. 90Risoluzione di alcune equazioni e disequazioni riconducibili ai casi precedenti pag. 93

Equazioni e disequazioni omogenee e non in più funzioni pag. 97omogenee in sin (f(x)) e cos(f(x))

a sin(x) + b cos(x) = 0 pag. 98 a sin2 (x) + b sin(x)cos(x) +c cos2 (x) = 0 pag. 98

non omogenee in sin (f(x)) e cos(f(x)) a sin(x) + b cos(x) + c = 0 pag. 100 a sin2 (x) + b sin(x)cos(x) +c cos2 (x) + d = 0 pag. 101

Tabella riassuntiva per alcune equazioni goniometriche pag. 102 Altri esempi pag. 105

VII - Trigonometria pag. 113 'Risoluzione' dei triangoli rettangoli pag. 113 Teoremi di Euclide e di Pitagora pag. 114 Teorema dei seni pag. 115 Teorema del coseno (Carnot) pag. 116 'Risoluzione' di triangoli qualunque pag. 117

VIII - Potenze reali ad esponente reale pag. 118 Potenze ad esponente naturale pag. 119 Potenze ad esponente intero positivo pag. 120


Potenze ad esponente intero negativo pag. 120 Potenze ad esponente razionale positivo pag. 121 Potenze ad esponente razionale negativo pag. 122 Potenze ad esponente reale (o esponenziale in base a) pag. 123 Il calcolo dei radicali pag. 125

Semplificazione di un radicale pag. 125 Moltiplicazione di due radicali con lo stesso indice pag. 125 Divisione di due radicali con lo stesso indice pag. 126 Trasporto di un fattore esterno sotto la radice pag. 126 Trasporto di un fattore interno fuori dalla radice pag. 127 Potenze di un radicale o radice di un radicale pag. 127 Razionalizzazione del denominatore pag. 128

IX - Funzioni esponenziali e logaritmiche pag. 130 La funzione esponenziale pag. 130 Proprietà della funzione esponenziale pag. 130 La funzione logaritmica pag. 133 Proprietà della funzione logaritmica pag. 133

X - Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche pag. 137Equazioni esponenziali pag. 137 Metodologie di risoluzione delle equazioni pag. 139 Disequazioni esponenziali pag. 141 Equazioni logaritmiche pag. 142 Metodologie di risoluzione delle equazioni pag. 143 Disequazioni logaritmiche pag. 144

Indice tabelle riassuntive: Tabella per la scomposizione della differenza e/o somma di potenze con ugual esponente pag. 20Procedimento ricorsivo per la scomposizione dei polinomi pag. 24 Tabella delle disequazioni irrazionali ad indice pari pag. 50 Tabella per la risoluzione delle equazioni in valore assoluto pag. 60Tabella per la corrispondenza tra gradi sessagesimali e radianti pag. 65Tabella dei valori delle funzioni goniometriche per alcuni angoli pag. 75 Tabella riassuntiva per la risoluzione delle equazioni goniometriche pag. 102 Tabella per la 'risoluzione' dei triangoli rettangoli pag. 113 Tabella della 'risoluzione' dei triangoli qualunque pag. 117


Prefazione

Negli appunti che seguono abbiamo indicato metodologie generali per superare i problemi che gli studenti incontrano in alcuni argomenti di base.

In particolare abbiamo posto l'accento sulla fondamentale distinzione fra le espressioni algebriche che si sommano o sottraggono (termini) rispetto a quelle che si moltiplicano o dividono (fattori): quanti errori grossolani si eviterebbero se, prima di operare, si sapessero 'leggere' le espressioni!!

La lettura deve essere eseguita sempre dal generale al particolare (top-down) e non partendo dal primo termine, così come del resto si dovrebbe fare anche per le traduzioni linguistiche: nessuno si sognerebbe di eseguire una tal traduzione parola per parola…..Per questa ragione consigliamo ai colleghi di impiegare l'utility 'formula' per la scrittura delle espressioni, anche con esercizi da proporre in classe.

Una volta distinti i termini dai fattori, sarà possibile eseguire la scomposizione del polinomio, partendo proprio dal conteggio dei termini, secondo una procedura ricorsiva da applicare ad ogni modifica dell'espressione (vedere capitolo I).

I passaggi sopra indicati devono essere seguiti in ogni caso, qualunque sia la finalità dell'esercizio proposto.

Nel capitolo II impostiamo i metodi generali per la risoluzione delle equazioni elementari di ogni tipo con l'impiego:

1) della fattorizzazione dei polinomi che le esprimono e2) delle proprietà invariantive delle uguaglianze.

Una volta fattorizzato il polinomio, applichiamo il principio di annullamento del prodotto (un prodotto è nullo se uno dei fattori è nullo) e, per calcolarne tutte le soluzioni, annulliamo ogni suo singolo fattore.Particolare rilevanza ha la risoluzione delle equazioni fratte che possono essere fatte corrispondere ad equazioni intere:

P(X) P(x) Q(x) = 0------ = 0 equivale al sistema: Q(x) Q(x) ≠ 0

ove P(x) e Q(x) sono polinomi nella variabile x e l'equivalenza è conseguenza della

moltiplicazione per Q2(x), sicuramente positivo e diverso da zero in forza della condizione

Q(x) ≠ 0.

Questa considerazione, che appare banale, comporta una sostanziale semplificazione dei procedimenti risolutivi (ne vedremo l'applicazione alle disequazioni).

G. Lironcurti Matematica per tutti – II ediz. - Prefazione - 5

Nel capitolo III ci occupiamo delle disequazioni razionali intere e fratte andando a cercare le soluzioni delle corrispondenti equazioni, perché, come conseguenza del principio fondamentale dell'algebra, un polinomio cambia di segno solo in corrispondenza delle radici reali di molteplicità dispari e pertanto, una volta determinate tali soluzioni, è possibile individuare il segno del polinomio in ogni intervallo da loro delimitato, utilizzando un unico grafico per rappresentare tutte le soluzioni reali, come se si trattasse di una sola equazione, anche nel caso di disequazioni fratte, poiché il segno del rapporto di due funzioni è lo stesso del loro prodotto.

Queste considerazioni comportano una notevolissima semplificazione dei problemi che coinvolgono le disequazioni che sono utilizzate ampiamente fino all'ultimo anno del liceo scientifico o degli istituti tecnici, senza violare alcun principio della matematica.

Poichè questi appunti sono stati scritti nell'ormai lontano 2002 per rispondere, su questo argomento,ad una collega che, senza alcuna motivazione, aveva bocciato la procedura, invito gentilmente gli eventuali lettori a farmi avere le loro documentate obiezioni (la mia email è: [email protected])

Nel capitolo IV sono trattate le disequazioni irrazionali ed in valore assoluto con numerosi esempi di applicazione dello stesso metodo che ne evidenziano l'utilità.

Nei capitoli V e VI sono riportate le definizioni delle grandezze fondamentali della goniometria e un metodo grafico per la determinazione degli angoli corrispondenti a valori delle funzioni.Il calcolo delle soluzione delle equazioni e delle disequazioni goniometriche viene sempre sviluppato all'interno del periodo della singola funzione e tutte le infinite soluzioni esterne a tale intervallo sono aggiunte a quelle tenendo conto che la periodicità è da assegnare all'intero argomento della funzione e non alla variabile indipendente.

Il capitolo VII si occupa brevemente della trigonometria con la formulazione dei fondamentali teoremi relativi.

Il capitolo VIII espone uno sviluppo logico delle potenze con base ed esponente reali per inquadrare l'intero argomento a partire dalla definizione delle potenze con esponete naturale.Nello stesso capitolo sono elencate alcune fondamentali operazioni sui radicali effettuate con l'uso delle potenze per evitare di aggiungere, inutilmente, ulteriori regole specifiche per tali numeri.Ai miei tempi, lo studio dei radicali era il programma di matematica dell'intero ultimo anno del Liceo Classico!

Nei capitoli IX e X sono rispettivamente elencate alcune proprietà fondamentali delle funzioni esponenziali e logaritmiche e le risoluzioni delle equazioni e disequazioni che le coinvolgono, anche per sfatare la diffusa convinzione sulla loro intrinseca complessità.

G. Lironcurti Matematica per tutti – II ediz. - Prefazione - 6

I - Leggere e trasformare un'espressione algebrica.

1) Una premessa (da una copresenza Matematica-Latino al Liceo Virgilio di Roma - anno 2001 proff. Giorgio Lironcurti e Giovanni Sega)

Le traduzioniOgni traduzione è un processo che parte da un testo per arrivare ad un altro. In base al modo in cui si presentano i due testi si distinguono diversi tipi di traduzione, a seconda che il segno linguistico si traduca in altri segni della stessa lingua, in un'altra lingua o in un sistema di segni non linguistici. Queste tre forme di traduzione debbono essere designate in maniera diversa: a) la traduzione endolinguistica o riformulazione consiste nell'interpretare dei segni linguistici per mezzo di altri segni della stessa lingua;b) la traduzione interlinguistica o traduzione propriamente detta, consiste nell'interpretazione dei segni linguistici per mezzo di un'altra lingua;c) la traduzione intersemiotica o trasmutazione consiste nell'interpretazione dei segni linguistici per mezzo di segni non linguistici.La traduzione endolinguisticaSe A e B sono scritti nella stessa lingua, la traduzione endolinguistica può assumere le forme del rifacimento (attraverso modificazioni di stile, di destinatario, di genere letterario, ecc.), della parafrasi e del riassunto. Ogni riformulazione del già detto o scritto è una traduzione, in quanto il senso viene trasferito da un'altra parte e in questo percorso perde, acquista, si modifica, diventa in parte un'altra cosa.La traduzione interlinguistica Se A e B sono scritti in lingue diverse, i problemi aumentano perchè il processo contiene un salto tanto più difficile quanto più le due lingue sono diverse tra loro. Le lingue possono non coincidere nel lessico, nelle strutture morfologiche, nell'organizzazione sintattica dei periodi, negli universi figurati che producono. La traduzione intersemioticaA e B possono appartenere anche a codici diversi, se, ad esempio, A è un racconto scritto e B è lo stesso racconto “tradotto” in immagini dipinte o nella forma teatrale della commedia o del balletto. I molti film tratti da romanzi hanno seguito questo processo di traduzione intersemiotica. Esempi di questo genere sono frequenti anche nella letteratura e nell'arte antica: si pensi alle pitture vascolari che riproducono scene dell'Iliade e dell'Odissea, ai gruppi marmorei dei frontoni e delle metope dei templi che narrano miti e leggende, ecc.Non tutti e tre i tipi di “traduzione” sopra descritti sono presenti in matematica: la traduzione interlinguistica infatti prevede la presenza di lingue diverse, ma la matematica, indipendentemente dai simboli utilizzati per i numeri, le lettere o le operazioni, è sicuramente un'unica lingua universale.E ciò rende certamente più semplice l'interpretazione del linguaggio matematico.La traduzione endolinguistica consiste, in matematica, nella trasformazione delle espressioni algebriche operate con le consuete proprietà invariantive applicate alle uguaglianze, alle equazioni

G. Lironcurti - Cap. I - Leggere e trasformare un'espressione algebrica - 7

ed ai sitemi di equazioni e disequazioni, che viene indicata normalmente come “calcolo algebrico” eche tanta parte hanno nelle applicazioni scolastiche a tutti i livelli.In pratica, come mostreremo in seguito, le operazioni che portano alla trasformazione delle espressioni algebriche, altro non sono che una traduzione endolinguistica, così come è stata definita sopra, con la differenza sostanziale di una completa e rigorosa coincidenza di significatoche, per le lingue parlate, corrisponderebbe ad una copia del testo.Infatti, contrariamente a quanto accade con le lingue parlate, la traduzione endolinguistica in matematica deve restituire, se operata correttamente, la stessa espressione originaria con lo stesso identico significato e con la sola differenza nella forma che deve essere più semplice (vedere il significato di “semplificazione” più avanti) di quella precedente. Il simbolo “=” posto tra le varie formulazioni dell'espressione, assicura che ogni rifacimento ha la stessa semantica e lo stesso valore di tutte le espressioni precedenti. Non esiste quindi la possibilità che un'espressione possa essere modificata nel suo significato durante il suo sviluppo, a meno che non vengano commessi errori nella applicazione delle proprietà invariantive: ciò evidentemente facilita il lavoro del “traduttore”, tanto più che le regole da applicare sono semplici e in numero molto ridotto; non esistono possibilità di diverse interpretazioni, non esistono eccezioni: la matematica è certamente più semplice di tutte le altre lingue!Come conseguenza delle osservazioni precedenti, potremmo dire che, in matematica, i due tipi di traduzione endolinguistica ed interliguistica vengono a coincidere perchè, pur conservando la stessalingua con la stessa sintassi precedente, come nella traduzione endolinguistica, viene peraltro a corrispondere ad una forma più facilmente interpretabile, come accade nella traduzione interlinguistica. Per queste considerazioni, potremmo pensare al calcolo algebrico applicato alle espressioni anche come ad una traduzione interlinguistica fedelissima all'originale (come deve accadere nelle traduzioni scientifiche), per osservare che, così come nelle traduzioni interlinguistiche delle lingue parlate, anche in matematica, le trasformazioni devono corrispondere ad una loro semplificazione (la propria lingua è più semplice di una straniera, come il risultato finale di una serie di trasformazioni algebriche è più semplice dell'espressione originale).Pertanto, come nella traduzione interlinguistica delle lingue parlate si procede sempre ad una lettura dell'intero periodo per effettuare poi una sua scomposizione in frasi principali e secondarie,stabilendo in tal modo una serie di interconnessioni, così, in matematica, bisogna leggere l'intera espressione e poi scomporla in livelli successivi, distinguendo le espressioni che trattano termini daquelle che coinvolgono fattori, poiché questi elementi di base devono essere trattati in modo sostanzialmente differente.La traduzione intersemiotica consiste in matematica nella descrizione del problema con altri strumenti di rappresentazione: si pensi ad una rappresentazione geometrica di un teorema, a tutti i problemi di geometria analitica che possono essere descritti (e risolti) sia con metodi grafici che analitici, ecc.In questo caso però la matematica non assicura la corrispondenza tra i due modelli, visto che il “traduttore” può modificare il significato dell'espressione originale non essendo precisato in maniera univoca il meccanismo della “traduzione”.


Un parallelo tra l'Italiano e la Matematica(con l'obiettivo di dimostrare l'estrema semplicita' del linguaggio matematico)

Italiano Matematica

L'analisi logica consiste nell'identificare le categorie sintattiche presenti nella frase semplice, in base alle loro funzioni (soggetto, predicato, complementi, attributi, apposizioni)

L'analisi logica consiste nell'identificare i termini (TE), i fattori (FA) e gli operatori (di uguaglianza/disuguaglianza o funzionali); non esistono differenze logiche fra i vari termini o fra i vari fattori.

L'analisi grammaticale consiste nell'identificare le varie categorie grammaticali (o parti del discorso), in base al loro tipo: articolo, nome, aggettivo, pronome, verbo, avverbio, preposizione, congiunzione, interezione.

L'analisi grammaticale non esiste in quanto tuttii termini hanno la stessa funzione (possono essere sommati), cosi' come tutti i fattori (possono essere moltiplicati).

L'analisi sintattica della frase complessa consistenell'identificare le varie specie di proposizioni o frasi semplici che la costituiscono (proposizione principale, coordinata, subordinata, ecc.)

L'analisi sintattica di un'espressione complessa consiste nell'identificare le varie espressioni semplici che la compongono: i termini (TE) sono sempre coordinati tra loro e la subordinazione e' stabilita dalla priorita' delle operazioni: potenze, moltiplicazioni e somme.

Le proposizioni sono separate tra loro da vari connettivi: , : ; ( ! ? ecc.

Le espressioni semplici sono separate tra loro daun operatore di confronto o operazionale oppureda una parentesi.

Per frase intendiamo una unita' del discorso di senso compiuto; una frase puo' essere costituita da una o piu' proposizioni; per proposizione si intende un segmento della frase fornito di predicato. In una frase semplice sono presenti almeno due elementi: il soggetto ed il predicato, tra loro in accordo di persona e numero.

Il soggetto (costituito da un nome, un pronome, un'intera proposizione o sottinteso) e' cio' di cui parla il predicato, mentre questo (costituito da unverbo predicativo o dal verbo essere seguito da un aggettivo) dice qualcosa del soggetto

Per espressione intendiamo una scrittura in cui compaiono termini, fattori ed operatori; una espressione puo' essere costituita da piu' espressioni semplici. In queste sono presenti almeno due termini o almeno due fattori, separati tra loro da un operatore funzionale ed eventualmente da una parentesi.

Non esiste alcuna diversa distinzione tra i componenti dell'espressione.

Una frase (FR) o una proposizione (PR) e' costituita a sua volta da gruppi di elementi linguistici che formano un'unita' a se' stante,

Un'espressione (ES), come già detto, è costituitasolo da termini (TE), fattori (FA) legati tra loro da operatori di confronto e funzionali, che


Italiano Matematica

indicata come sintagma. I sintagmi si distinguono in sintagmi nominali (SN) costituiti da un nome ed eventualmente da un articolo, un aggettivo, uno o piu' complementi) e sintagmi verbali (SV) costituiti da un verbo e da altri elementi. A loro volta i sintagmi nominali si possono suddividere in sintagmi aggettivali (SA)se contengono un aggettivo e sintagmi preposizionali (SP) se contengono una preposizione.

costituiscono i 'sintagmi' dell'espressione.

Un termine o un fattore può a sua volta essere costituito da più termini o da più fattori, con unastruttura certamente più semplice rispetto alle lingue parlate.

Quando si esegue l'analisi dei costituenti immediati di una frase, la si suddivide dapprima in un sintagma nominale (SN) ed uno verbale (SV) e successivamente ciascuna delle due parti viene scissa in altri costituenti fino ad arrivare agli elementi singoli: le parole.

Quando si esegue l'analisi dei costituenti immediati di una espressione la si suddivide dapprima in termini (TE) e fattori (FA) e successivamente ogni termine o fattore viene scisso in altri termini o fattori, fino ad arrivare agli elementi di base TB: monomi o numeri.


L'analisi dei costituenti immediati in Italiano può essere rappresentata da uno schema del tipo:

FRIl bravo traduttore di romanzi stranieri deve conservare la semantica dell'opera.

SN

Il bravo traduttore di romanzi stranieri

SV

deve conservare la semantica dell'opera.

SA

Il bravo traduttore

SN

di romanzi stranieri

SV

deve conservare

SN

la semantica dell'opera

Art.

il

Agg.

bravo

Nome

traduttore

SP

di romanzi

Agg.

stranieri

Verbo

deve conservare

Art.

la

Nome

semantica

SP

dell'opera

Prep.

di

Nome

romanzi

Prep.

della

Nome

opera

L'analisi dei costituenti immediati in Matematica puo' essere rappresentata da uno schema del tipo:

ES

(a2+b3) - (a-b3)(a2-b)

TE

a2+b3

TE

- (a-b3)(a2-b)

TE

a2

TE

b3

FA

- (a - b3)

FA

a2- b

FA

a a

FA

b b b

TE

a

TE

b3

TE

a2

TE

-b

FA

b b b

FA

a a

Molto più semplice dell'analogo per l'Italiano.Contrariamente a quanto accade con le lingue parlate (e anche con quelle 'morte') gli elementi di base della matematica sono esclusivamente i termini ed i fattori, la punteggiatura è costituita dalle parentesi, i verbi dai simboli operazionali (+ - * /, potenze e funzioni), con una notevolissima riduzione di costrutti sintattici e grammaticali possibili.Togliere le parentesi, come spesso consigliato nei testi di matematica, equivale quindi a togliere la punteggiatura in un testo !!!


2) La semplificazione delle espressioni matematiche.L'obiettivo della matematica è la risoluzione dei problemi rappresentati da modelli: quello algebricoè il più utilizzato, soprattutto al giorno d'oggi con la diffusione dei computer, ma ne esistono altri altrettanto potenti nella rappresentazione dei problemi, regolati da strumenti linguistici differenti (grafici, geometrici, a blocchi, ecc.).Per chiarezza dei lettori, diamo alcune definizioni che utilizzeremo di seguito:Per espressione algebrica intendiamo un'opportuna combinazione di simboli letterali (a, b, x, ecc.), numerici e operazionali (+, -, *, ecc.) ammessa dalla sintassi matematica.Per fattore intendiamo un'espressione algebrica che ne moltiplica (o divide) un'altra - che può anche essere il numero 1. Per termine intendiamo un'espressione algebrica che viene sommata (o sottratta) ad un'altra - che può anche essere il numero 0.I fattori e i termini, combinati tra loro dai simboli operazionali, sono gli unici elementi di un'espressione algebrica.Molte difficoltà degli studenti sono legate all'incapacità di distinguere tra loro i fattori dai termini (anche se può sembrare inverosimile) .L'obiettivo del calcolo algebrico è di ridurre la complessità dell'espressione analizzata, legata a due elementi distinti: il grado dell'espressione ed il numero dei suoi termini, quindi:

LA SEMPLIFICAZIONE DI UN'ESPRESSIONE DEVE SEMPRE TENDERE A:

a) Ridurre il numero complessivo de termini e ab) Fattorizzare i polinomi

Questi obiettivi sono legati a due semplici considerazioni pratiche:a) ridurre il numero dei termini di un'espressione comporta una riduzione del numero delle operazioni da eseguire e permette di lavorare con espressioni più semplici, come possiamo facilmente constatare confrontando, ad esempio, il numero di operazioni necessarie per eseguire un calcolo con l'espressione:

x6-ax5+bx4-abx3

che comporta 18 prodotti e 3 somme algebriche (5 prodotti per il primo termine, 5 prodotti per il secondo, 4 prodotti per il terzo e 4 prodotti per il quarto termine e una somma algebrica dei 4 termini), o con quella equivalente alla precedente:

x3(x-a)(x2+b)

che comporta però, oltre alla semplificazione dei singoli valori, soltanto 5 prodotti e 2 somme algebriche.La riduzione del numero dei termini è una regola da seguire sempre e quindi si dovranno evitare tutte le operazioni che potrebbero portare ad un loro aumento, a meno che queste non siano legate a successive semplificazioni di termini simili o a fattorizzazioni.Facciamo esplicitamente notare che la fattorizzazione di un polinomio


(ad esempio: x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2), in effetti, oltre a ridurre il grado massimo dei polinomi, riduce anche il numero dei termini (portandolo dai 2 originali ad 1 finale).

b) la scomposizione in fattori dei polinomi è legata invece alla considerazione che le espressioni sono un modello di rappresentazione dei problemi e che questi sono tanto più complessi quanto più alto è il loro grado. Il criterio è generale: ogni problema complesso, per la sua soluzione, deve essere scomposto in più problemi semplici. Le procedure da adottare per la scomposizione in fattori dei polinomi rispondono ad un'esigenza logica dell'uomo e non sono, come spesso vengono considerate, un inutile esercizio scolastico fine a se stesso.

Le regole per la scomposizione non sono poi così astruse come si può pensare, ma sono classificabili con metodi generali, facilmente impiegabili in maniera automatica.

Con questo scritto ci proponiamo di delineare una metodologia generale per la lettura delle espressioni algebriche (detta anche Top Down: dal generale al particolare) mediante la quale comprendere la successione logica dei passaggi necessari per la loro semplificazione ed evitare i normali errori grossolani che fanno tanto inorridire i docenti.

Per chiarire la procedura, facciamo subito un esempio di 'lettura' di un'espressione algebrica frazionaria complessa:

Espressioni algebriche Livelli

Livello 0: (espressioneassegnata)

Livello 1:

2 termini

3x4+6x2y2 x3+x2y+2xy2+2y3

Livello 2:

2 fattori per il primotermine del Livello 1

3x2y2+6y4 x3-x2y+2xy2-2y3 Livello 2:

2 fattori per il secondotermine

del Livello 1


3x4 6x2y2 Livello 3:

2 termini del primofattore del livello 2

x3 x2y 2xy2 2y3 Livello 3:

4 termini del primofattore del livello 2

3x2y2 6y4 Livello 3:

2 termini del secondofattore del livello 2

x3 -x2y 2xy2 -2y3 Livello 3:

4 termini del secondofattore del livello 2

Il livello successivo (in questo caso 4) è costituito dai fattori contenuti nei termini indicati al livello 3 (che, per brevità, non elenchiamo).In generale, ma non sempre..., un fattore contiene alcuni termini e un termine contiene alcuni fattorie così via fino ad arrivare a singoli elementi (fattore semplice o termine semplice) come, nel nostro caso, x oppure y oppure il numero -2.....

Ebbene, vale la seguente regola generale:

LE OPERAZIONI DI SEMPLIFICAZIONE POSSONO ESSERE EFFETTUATE SOLO ALL'INTERNO DIUNO STESSO LIVELLO SOMMANDO O SOTTRAENDO I TERMINI DI UNA STESSA RIGA DELLA

TABELLA PRECEDENTE O, IN ALTERNATIVA, MOLTIPLICANDO (O DIVIDENDO) I FATTORI DI UNASTESSA RIGA DELLA TABELLA PRECEDENTE.

E' quindi essenziale distinguere i TERMINI dai FATTORI perchè non è mai possibile sommare (o sottrarre) due fattori o moltiplicare (o dividere) due termini!!!

Ma questo è un errore ricorrente:

Senza rendercene conto, abbiamo diviso per un termine!!!

Andiamo ora a descrivere dettagliatamente la procedura da utilizzare in ogni caso, a partire dall'esempio.

Livello 1:Individuati i 2 termini, si verifica se siano simili tra loro o se esista un fattore comune a tutti: nel primo caso, si sommano algebricamente, nel secondo si deve sempre mettere in evidenza il loro M.C.D.; in caso contrario si passa al livello successivo. Queste operazioni portano ad una riduzione


del numero dei termini.Nel nostro caso, i due termini:

e

non sono simili tra loro e non hanno fattori comuni, quindi si passa al livello successivo.

Livello 2:Per il primo termine del liv. 1, si verifica se esistano fattori multipli uno dell'altro: nel caso lo fossero, si dividono per il loro M.C.D. e lo si mette 'in evidenza'; in caso contrario si passa al livellosuccessivo.Si esegue la stessa sequenza per il secondo termine del liv. 1.Queste operazioni comportano, se eseguite, ad un abbassamento del grado complessivo.Nel nostro caso, i 2 fattori del primo termine:

3x4+6x2y2 e x3+x2y+2xy2+2y3

come quelli del secondo:

3x2y2 + 6x4 e x3-x2y+2xy2-2y3

non sono multipli uno dell'altro e quindi si passa al livello successivo.

Livello 3:Per ognuno dei fattori del liv. 2 (4 nel nostro caso), costituiti da alcuni termini, si verifica se siano simili tra loro o se esista un fattore comune a tutti: nel primo caso, si sommano algebricamente, nel secondo si deve sempre mettere in evidenza il loro M.C.D.; in caso contrario, si passa al livello successivo. (notare che la procedura utilizzata è la stessa del livello 1, perchè, in tutti e due i casi, stiamo trattando termini)Si ripete la stessa procedura per tutti gli altri fattori del liv. 2.Nel nostro caso,il primo fattore del liv. 2 è costituito da 2 termini non simili tra loro, ma con un fattore comune a

tutti e due (3x2) e quindi può essere riscritto nel seguente modo:

3x4+6x2y2=3x2(x2+2y2 ) (notiamo che il numero dei termini passa da 2 ad 1)

il secondo fattore del liv. 2 è costituito da 4 termini non simili tra loro, senza alcun fattore comune atutti e quattro, ma è possibile raccogliere un fattore comune ai primi due termini (portando in tal modo il numero dei termini da 4 a 2) e quindi può essere riscritto nel seguente modo:

x3+x2y+2xy2+2y2= x2(x+y)+2y2(x+y) (notiamo che il numero dei termini passa da 4 a 2)

a questo punto, si osserva che esiste un fattore comune a tutti e due i termini e quindi è possibile metterlo in evidenza, ottenendo:

x3+x2y+2xy2+2y2= (x+y)(x2+2y2 ) (che riduce il numero di termini da 2 ad 1).

Questa procedura è effettivamente conveniente solo quando sia possibile ottenere due termini con un ulteriore fattore comune.Il terzo fattore è costituito da 2 termini e, con la stessa procedura, può essere riscritto:

3x2y2 + 6x4 = 3y2(x2+2y2 )(che riduce il numero di termini da 2 ad 1);


Il quarto fattore è costituito da 4 termini e, con la stessa procedura, può essere riscritto:

x3-x2y+2xy2-2y3 = x2(x-y)+2y2(x-y) =(x-y)(x2+2y2 ) ( che riduce i termini da 4 a 1);

L'espressione originale può quindi essere riscritta:

La situazione è cambiata e quindi si deve ricominciare la procedura da capo, a partire dall'ultima versione dell'espressione.

Livello 1:Si osserva che fra i 2 termini esistono alcuni fattori comuni, che si possono raccogliere a fattore:

Abbiamo ottenuto il risultato importante di ridurre l'espressione originale ad un solo termine con elementi di calcolo molto più semplici di quelli originali.Essendo il termine uno solo, non ci resta altro da fare se non passare al livello successivo, analizzandone i due fattori.

Livello 2:Non conviene eseguire la moltiplicazione indicata perchè ciò aumenterebbe il numero dei termini, e non conviene neppure eseguire la 'somma' dei 2 termini in parentesi perchè si otterrebbe un polinomio di terzo grado irriducibile. Il risultato finale è dunque:

che è un termine irriducibile, non esistendo alcun fattore comune.

Il riconoscimento dei termini e dei fattori di una generica espressione algebrica è alla base della scrittura delle formule con un editor di testo; di conseguenza se ne consiglia vivamente l'uso nella fase iniziale dell'apprendimento dell'algebra, che fra l'altro obbliga ad assumere una procedura Top-Down nella lettura dell'espressione.Come vedremo in seguito tale procedura è essenziale per l'impiego del metodo che sarà delineato nei paragrafi successivi.

Noi useremo OpenOffice.org formula, ma la procedura è la stessa anche con altri editor.

Supponiamo di voler scrivere la seguente espressione:

e applichiamo il metodo:


Step 1: contare i termini: l'espressione contiene 2 termini (e precisamente una differenza); nella finestra di selezione scegliamo la differenza (a-b) ottenendo la seguente figura:

Nota: nel caso i termini fossero più di due è sufficiente selezionare l'ultimo dei box che compaiono nella finestra superiore e, successivamente, a-b oppure a+b dalla finestra di selezione.

Step 2: esaminiamo ciascun termine:I due termini sono costituiti da 2 fattori (quozienti); dopo aver selezionato il primo box nella finestra superiore clicchiamo su a/b e ripetiamo la stessa procedura sul secondo box, come nella figura seguente:

A questo punto selezioniamo ciascun fattore nei 2 termini e, dalla finestra di selezione, 2 termini (a+b) e 4 termini (a+b+c+d) per il numeratore e per il denominatore, rispettivamente, (primo


termine) e 2 termini (a+b) e 4 termini (a+b+c+d) per il numeratore e per il denominatore, rispettivamente, (secondo termine), per ottenere la seguente figura:

Ora, per completare l'espressione, è sufficiente selezionare ciascun box e sostituirne il contenuto, con la finestra già utilizzata:

o con quella delle funzioni:

Prima di presentare altri esempi di applicazione del metodo, conviene fornire alcune regole per il riconoscimento di prodotti notevoli da utilizzare nella scomposizione dei polinomi in fattori.


3) Regole generali per la scomposizione di un polinomio in fattori

3.a) Riconoscimento della potenza n-sima di un binomio.Alcune immediate condizioni necessarie (ma non sufficienti) per il riconoscimento di una potenza n-sima di un binomio:

esistono xn ed yn , con x ed y basi della potenza n-sima di x-y [(x-y)n] o x+y [(x+y)n]

il polinomio ha n+1 termini (cioè, ad esempio: (x+y)5 ha 6 termini)

Verificate queste semplici condizioni necessarie, controllare che il polinomio contenga tutte le potenze (dalla massima a zero) in tutte e due le basi e che, in aggiunta, i suoi termini siano moltiplicati per i corrispondenti coefficienti del triangolo di Tartaglia (vedere più avanti nel paragrafo). Note:Per facilitare il riconoscimento, conviene ordinare il polinomio. Nei casi più complessi, una volta individuate le due basi, conviene costruire autonomamente la potenza del binomio e verificarne la coincidenza con quello assegnato.

Il metodo utilizzato per il riconoscimento è suggerito da quello impiegato per la sua creazione:La potenza n-sima (con n = 2, 3, 4, ...) di un binomio è sempre un polinomio omogeneo di grado n nelle basi (cioè tutti i suoi termini hanno lo stesso grado n complessivo nelle due basi), ordinato secondo le potenze decrescenti della prima base e crescenti della seconda (cioè, nel passaggio da un termine a quello successivo, la prima base diminuisce di un grado mentre la seconda aumenta, sempre di un grado) e completo (cioè contiene tutte le potenze tra la massima n e 0) e ciascun termine è moltiplicato per l'opportuno coefficiente del triangolo di Tartaglia:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

In pratica, per costruire la potenza n-sima di un binomio, conviene seguire la procedura seguente

(viene riportato un esempio per la potenza (3ax2-7b2y3)4:

1) si scrivano i termini del polinomio (che dovrà avere n+1 elementi), a partire dalla potenza n-sima della prima base, diminuendo, per ogni termine, di 1 grado quello della prima base ed

aumentando di 1 grado quello della seconda, con segni alternati nel caso (x-y)n e con tutti segni

positivi nel caso (x+y)n.Nel nostro esempio:

(3ax2)4 - (3ax2)3 (7b2y3) + (3ax2)2 (7b2y3)2 - (3ax2) (7b2y3)3 + (7b2y3)4

2) si moltiplichino i termini per i corrispondenti coefficienti del triangolo di Tartaglia;Nel nostro esempio: 1, 4, 6, 4, 13) si eseguano i calcoli indicati.


Nel nostro esempio:

Notare esplicitamente che il polinomio finale, in generale, non è più né omogeneo, né completo...Nei casi più complessi (come nell'esempio riportato), conviene utilizzare la procedura indicata in tutti i suoi passi; solo in quelli molto semplici è consigliabile eseguire direttamente i calcoli.

3.b) Riconoscimento della somma o della differenza di due potenze con ugual esponente.

Nota: Vista la comodità e la frequenza negli esercizi applicativi di questi tipi di prodotti notevoli, inpresenza di 2 soli termini, conviene sempre verificare che si presenti il caso favorevole, anche

quando non è evidente a primo acchito, come nell'esempio: x2-5 che può peraltro essere scritto:

x2 - 5 = x2 - √ 52 = (x - √ 5) (x + √ 5)

In presenza della somma o differenza di 2 potenze con ugual esponente, risulta molto utile la seguente "tabellina" dei prodotti notevoli, che può essere utilizzata sia per l'esecuzione di prodottinotevoli che per la scomposizione in fattori:

xn - yn xm + ym

x - y sempre

+ + +

m pari

+ + +

x + y mai m dispari

+ - +

In cui, nella prima riga sono riportati i polinomi da dividere per quelli di I grado della prima colonna, mentre nelle caselle centrali è indicato quando la divisione è a resto 0 (cioè quando i due

polinomi sono divisibili l'uno per l'altro): ad esempio, “m dispari" significa che xm + ym è divisibile per (x + y) quando m è dispari; la sequenza dei segni riportati indicano simbolicamente che il polinomio quoziente ha tutti segni positivi (+ + +) o segni alternati (+ - +).L'importanza di questi prodotti notevoli risiede nel fatto che è nota a priori la forma del quoziente costituito sempre da un polinomio omogeneo (di grado n-1 o m-1, a seconda dei casi), ordinato e completo (vedere le definizioni nel paragrafo precedente), del tutto simile a quello delle potenze delbinomio, ad eccezione dei coefficienti del triangolo di Tartaglia che, in questo caso, non figurano. Ad esempio:


La stessa tabellina può essere utilizzata anche in senso inverso per trovare immediatamente, nella prima riga, il prodotto del polinomio di primo grado della prima colonna, per uno omogeneo, ordinato e completo con i segni indicati, di grado n-1 o m-1, a seconda dei casi. Ad esempio:

Nota: Nei casi particolari delle differenze di due quarte potenze o di due seste potenze, la scomposizione più favorevole è quella sotto riportata:

che forniscono polinomi di grado inferiore rispetto a quelli che si otterrebbero con la “tabellina" di grado 3° e 5°, rispettivamente.

3.c) Applicabilità del teorema di Ruffini

Quando i metodi precedenti non sono sufficienti a scomporre un polinomio in fattori, si può cercare un divisore di primo grado x-a, con a costante, per il polinomio:

Pn(x) = xn + cn-1 xn-1 + cn-2 xn-2 + cn-3 xn-3 + ... +c0

(con cn-1, cn-2, ....c0 costanti) in modo tale che sia possibile riscrivere Pn(x) come prodotto di x-a

per un opportuno polinomio Pn-1(x) di grado n-1 nella variabile x:

Pn(x)=xn+cn-1 xn-1+cn-2 xn-2+ ... +c0 = (x-a)(xn-1+bn-2 xn-2+bn-3 xn-3+....+b0)

ove le costanti bn-2, bn-3, ...., b0 sono i coefficienti del quoziente Pn(x)/(x-a).

Tale ricerca può essere effettuata applicando il teorema di Ruffini:Il polinomio Pn(x), di grado n nella variabile x, con coefficienti cn-1, cn-2, ....c0 costanti, è divisibile

per il polinomio di primo grado (x-a), con a costante, se Pn(a) = 0 (cioè se risulta nullo il

polinomio Pn(x) quando alla variabile x venga sostituito il valore a).

In tal caso dunque: Pn(x) = (x-a) Pn-1(x), ove Pn-1(x) è il polinomio di grado n-1 nella variabile x

uguale al quoziente Pn(x)/(x-a).

Naturalmente nulla vieta di riapplicare il teorema di Ruffini anche al polinomio Pn-1(x).....

Nota:Per la ricerca del divisore x-a, è naturalmente sufficiente determinare il valore del parametro 'a';

questo è sicuramente uno dei divisori del termine noto c0 del polinomio Pn(x) perchè, qualunque sia


Pn(x) (e quindi qualunque sia Pn-1(x)), se accade che Pn-1(x)(x-a) = Pn(x), il termine noto c0 di Pn(x)

dovrà essere uguale al prodotto di a per il termine noto di Pn-1(x), essendo l'unico termine di grado 0

(cioè non contenente la variabile x).Il teorema quindi si applica normalmente verificando se Pn(a) = 0 per tutti i divisori di c0.

Nota:Nella sostituzione della variabile x con il valore costante a, bisogna tener presente che il teorema afferma la divisibilità per (x-a) e quindi, se il divisore è del tipo (x-2), cioè se a = 2, si deve sostituire 2 ad x, ma se il divisore è del tipo (x+2), si deve sostituire ad x il numero -2, in quanto x+2 = x-(-2)). Fare attenzione!!Esempio di applicazione del teorema di Ruffini:

Trovare un divisore (x-a) del polinomio: x2 - 5x +6

I divisori del numero 6 (termine noto del polinomio) sono: ±6, ±3, ±2, ±1 e la ricerca deve essere effettuata con tutti:

x - a a P(a) Risultato

x - 6 6 36-30 + 6 NON divisibile

x + 6 -6 36 + 30 + 6 NON divisibile

x - 3 3 9 -15 + 6 = 0 x - 3 è un divisore


x - 2 2 4 - 10 + 6 = 0 x - 2 è un divisore


x - 1 1 1 - 5 + 6 NON divisibile


Osservazioni:- La ricerca va fatta con criterio: nel nostro caso, ad esempio, salta agli occhi che tutti i divisori del tipo (x+a) non possono mai portare all'annullamento del polinomio, risultando tutti i termini positivi.- Una volta determinati n divisori per il polinomio di grado n, è inutile proseguire perchè sicuramente non ne esistono altri, a norma del teorema fondamentale dell'algebra.- Non è detto che il divisore del termine noto sia un numero intero, come accade, ad esempio, per il

polinomio: che è divisibile per

Il teorema di Ruffini è quindi uno strumento che solo nei casi più semplici permette la scomposizione in fattori del polinomio, ma, nonostante ciò, le sue applicazioni pratiche sono molto comuni.


3.d) Scomposizione in fattori mediante la ricerca di soluzioni dell'equazione Pn(x) = 0

Se si possono trovare le soluzioni dell'equazione:

Pn(x) = cn xn + cn-1 xn-1 + cn-2 xn-2 + cn-3 xn-3 + ... +c0 = 0

(supponiamo siano x1, x2, x3, ...., xn), per definizione di soluzione di un'equazione, si ha che:

Pn(x)= cn (x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn)

In definitiva, per scomporre un polinomio qualsiasi di grado n Pn(x), è sempre possibile ricercare

le soluzioni della corrispondente equazione Pn(x) = 0 e, in caso positivo, riscrivere il polinomio

come prodotto di più fattori come indicato sopra.

Ovviamente, non è necessario trovare tutte le soluzioni x1, x2, x3, ...., xn per poter scrivere:

Pn(x) = cn (x-x1)(x-x2)Pn-2(x)

se x1, x2 sono le soluzioni trovate e Pn-2(x) polinomio di grado n-2.

Dalle considerazioni fatte si ricava facilmente il seguente Metodo ricorsivo per la semplificazione delle espressioni algebriche (vedere la pagina successiva).


4) Procedimento ricorsivo per la semplificazione delle espressioni algebriche:Ad ogni successiva trasformazione dell'espressione, cioè ad ogni passaggio individuato da un qualche cambiamento, applicare la seguente procedura per tutti i polinomi di grado > 1:1 Contare i termini dell'espressione e raccogliere a fattor comune il M.C.D. di tutti i termini otentare il raccoglimento parziale (se del caso);

se i termini sono solo 2:• il polinomio potrebbe essere la differenza o la somma di due potenze con ugual esponente,

nel qual caso è possibile utilizzare la 'tabellina' riportata al § 3.a. • In caso positivo, ripartire dal punto 1), in caso negativo passare ad un altro polinomio.

se i termini sono 3: • il polinomio potrebbe essere il quadrato di un binomio (v. § 3.b),

• il polinomio potrebbe avere un divisore di 1° grado (v. teorema Ruffini § 3.c),

• si possono trovare le soluzioni dell'equazione corrispondente (v. § 3.d);

• In caso positivo, ripartire dal punto 1), in caso negativo passare ad un altro polinomio.

se i termini sono 4:• il polinomio potrebbe essere il cubo di un binomio (v. § 3.b), o

• è conveniente il raccoglimento parziale (2 a 2, più raramente 3 a 1), o




se i termini sono 5: • il polinomio potrebbe essere la quarta potenza di un binomio (v. § 3.b),

• è conveniente il raccoglimento parziale (3 a 2),




se i termini sono 6: • il polinomio potrebbe essere il la quinta potenza di un binomio (v. § 3.b),

• è conveniente il raccoglimento parziale (2 a 2 o 3 a 3),

• il polinomio potrebbe essere il quadrato di un trinomio,




Nota importante: per l'applicazione del metodo (che risolve praticamente tutti i problemi di fattorizzazione dei polinomi) è essenziale che, ad ogni modifica dell'espressione il procedimento venga ripreso dal punto 1).


5) EsempiLegenda: TE = termine, FA = fattore, FC = fattore comune, NFC = nessun fattore comune

Esempio n. 1:

3 TE, NFC

Analisi dei 3 termini: primo termine

2 FA, NFC

Analisi dei FA

ax-ay+bx-by 4 TE, NFC -->procedo al

raccoglimentoparziale

a(x-y)+b(x-y) 2 TE, 1 FC--> metto inevidenza

(a+b)(x-y)

Riscrivo ilprimo termine

Il secondo e terzo termine non sono riducibili.Riscrivo l'espressione

3 TE, NFC -->per ridurre ilnumero dei

termini, devo'sommare'

Non convieneeseguire la sommaperche' i termini non

risultano simili

Esempio n. 2:

4 TE, NFC

Analisi dei 4 termini:Il primo termine non e' riducibile

Analisi del secondo termine:

2 FA, NFC

Analisi dei FA


x2-x 2TE, 1 FC -->metto inevidenza

x(x-1)

Riscrivo ilsecondo termine

2 FA, 1 FC -->semplifico

-1/x

Analisi del terzo termine:

2 FA, NFC

Analisi dei FA

x-x2 2TE, 1 FC -->evidenzio

x(1-x)

Riscrivo il terzotermine

2 FA, NFC

Analisi del quarto termine:

2 FA, NFC

Analisi dei FA

x3-x 2TE, 1 FC -->metto inevidenza

x(x2-1) RiconoscoPN

x(x-1)(x+1)

Riscrivo il quartotermine

2 FA, NFC

Riscrivo l'espressione:

4 TE, NFC Per ridurre il numero dei termini,eseguo la somma

1 TE, 2 FA, NFC

====================================================================

Esempio n. 3:

2 TE, NFC

Analisi dei 2 termini: primo termine:


2 FA, NFC

Analisi dei FA

2x2-2 2TE, 1 FC -->metto inevidenza

2(x2-1)

4x3+6x2-4x-6 4 TE, 1 FC -->metto inevidenza

2(2x3+3x2-2x-3) Riscrivosotto

2(2x3+3x2-2x-3) 4 TE, NFCeseguo

raccoglimentoparziale

2(2(x3-x)+3(x2-1)) Analizzo iTE interni

x3-x 2 TE, 1 FC --> metto inevidenza

x(x2-1) Riscrivo

2(2x(x2-1)+3(x2-1)) 2 TE, 1FC

metto inevidenza

2(x2-1)(2x+3)

Riscrivo il primo termine 2 FA, 2 FC --> semplifico


2 FA, NFC

Analisi dei FA

25-10x+x2 3 TE, NFCRiconosco PN

(5-x)2

Riscrivo ilsecondotermine

2 FA, 1 FC--> semplifico


2 TE, NFC -->per ridurre ilnumero dei sommo termini

simili

1 TE, NFC

Fine


termini, sommo

Esempio n. 4:

4 TE, NFC

Analisi dei 4 termini:Il primo termine non e' riducibile.


2 FA, NFC

Analisi dei FA

x2-2xy+4y2 3 TE, NFC, irriducibile

Riscrivo il primotermine

2 FA, NFC

Analisi del terzo termine:

2 FA, NFC

Analisi dei FA

x3+8y3 2 TE, NFC Riconosco PN (x+2y)(x2-2xy+4y2) 1TE, 2 FA, NFC

Riscrivo il terzotermine

2 FA, NFC

Analisi del quarto termine:

2 FA, NFC

Analisi dei FA

x3+8y3 2 TE, NFC Riconosco PN (x+2y)(x2-2xy+4y2) 1TE, 2 FA, NFC

Riscrivo ilquarto termine

2 FA, NFC



4 TE, NFC per ridurre ilnumero deitermini, sommo

1 TE, 2FA, NFC

Sommo i termini simili

0 Fine


II - Equazioni.

Equazioni intereUn'equazione algebrica (o polinomiale) ha sempre la forma, o può essere ridotta alla forma:

P(x) = 0ove P(x) è un polinomio nella variabile x di grado qualsiasi.Contrariamente alle espressioni algebriche, che nel linguaggio della logica sono trattate come proposizioni, le equazioni rappresentano sempre un generico problema tradotto in termini matematici e le eventuali soluzioni individuano i valori della variabile che risolvono tale problema. In altre termini, le soluzioni di un'equazione sono quei valori della variabile x che trasformano l'equazione P(x) = 0 in un'uguaglianza vera (del tipo P(a) = 0, se a è una soluzione).Le equazioni si risolvono applicando le due proprietà invariantive delle uguaglianze/equazioni:I proprietà invariantiva:Un'uguaglianza (o un'equazione) si trasforma in una equivalente (cioè con le stesse soluzioni) se si sommano (o sottraggono) ad ambo i membri stesse quantità (positive o negative).La I proprietà si applica ai termini dell'equazione.La I proprietà comporta il cambio di segno quando un termine viene trasportato da un membro all'altro dell'equazione:

x + a = 0 → x + a – a = -a → x = - aII proprietà invariantiva:Un'uguaglianza (o un'equazione) si trasforma in una equivalente (cioè con le stesse soluzioni) se si moltiplicano (o dividono) ambo i membri per una stessa quantità (positiva o negativa) purchè essa sia diversa da zero.La II proprietà si applica ai fattori dell'equazione.

La complessità dei metodi di risoluzione delle equazioni dipende innanzitutto dal grado massimo a cui è elevata l'incognita. Fin dall'antichità sono noti metodi di risoluzione delle equazioni di primo esecondo grado ottenuti con l'uso delle quattro operazioni elementari e con l'estrazione di radici, anche nel caso che il polinomio P(x) sia completo (cioè contenga tutti i termini dal grado massimo azero); con l'introduzione dei numeri complessi, possiamo affermare che per tutte le equazioni di primo e secondo grado esistono dei metodi codificati che portano alla loro soluzione (se ne esiste una). Per quelle di grado superiore esistono formule molto complicate per le equazioni di terzo e quarto grado complete, ma è stata dimostrata l'impossibilità di trovarne una per quelle di grado cinque o superiore, sempre nel caso che siano complete.Non riportiamo i metodi delle soluzioni delle equazioni di 1° e 2° grado perchè noti fin dalle scuole medie inferiori.

Il metodo generale per la risoluzione delle equazioni di grado superiore al secondo consiste quindi nella scomposizione del polinomio P(x) in fattori di primo o secondo grado, e nell'applicazione del principio dell'annullamento del prodotto:

Il prodotto di due o più polinomi è nullo se almeno uno di essi è zero.

G. Lironcurti - Cap. II Equazioni algebriche - 30

Tutti gli eventuali valori che rendono vera l'equazione P(x) = 0 si ottengono quindi annullando singolarmente tutti i fattori.A questa considerazione è legata l'importanza della scomposizione dei polinomi, che abbiamo già esposto nel precedente capitolo e che riassumiamo brevemente qui:Per la scomposizione di un polinomio in fattori:

1. Contare i termini e mettere a fattore l'eventuale M.C.D. di tutti i suoi termini o raccogliere parzialmente (se conveniente);

2. Riconoscere la potenza di un binomio;3. Riconoscere la somma o differenza di due potenze con ugual esponente;4. Applicare il teorema di Ruffini;

La procedura è ricorsiva nel senso che, applicato uno dei metodi sopra riportati, si può tentare unasuccessiva scomposizione a ciascun fattore, con gli stessi metodi.

Fra le equazioni che si possono risolvere con questi metodi ricadono quelle

• binomie (v. punto 3) del tipo: xn ± k = 0;

• quelle complete a coefficienti interi, del tipo:

P(x) = an xn ± an-1 xn-1 ± .... ± a0 = 0, con an , an-1 , a0 interi,

per le quali è possibile applicare il teorema di Ruffini (v. punto 4) utilizzando come divisore il

rapporto ±p/q, ove p è un divisore del termine noto a0 e q è uno dei divisori del termine di grado

massimo an.

Notare che se il polinomio è a coefficienti razionali, può essere facilmente trasformato in uno a

coefficienti interi, moltiplicando tutti i termini per il m.c.m. fra a0 e an.

Notare inoltre che in tal modo si possono trovare solo le soluzioni razionali x=±p/q.

• quelle reciproche di 3° grado (divisibili per x+1 se di I tipo e per x-1 se di II tipo)

• quelle reciproche di 4° grado (divisibili per x-1 e per x+1, se di II tipo)

come conseguenza del teorema di Ruffini.

Ricordiamo che un'equazione si dice reciproca se i coefficienti equidistanti del polinomio ordinato P(x) sono uguali in valore e segno (reciproche di I tipo) oppure solo in valore, ma opposti in segno (reciproche di II tipo).

Esse hanno quindi la seguente struttura:

a x3- b x2- b x + a = 0 (I tipo)

a x3 + b x2- b x - a = 0 (II tipo)

a x4- b x3 + c x2 - b x + a = 0 (I tipo)

a x4- b x3 + b x - a = 0 (II tipo) - notare che manca il termine di 2° grado


Se il polinomio P(x) non è così scomponibile, si può procedere con un altro metodo altrettanto generale:

Si effettua una posizione introducendo una variabile ausiliaria in modo da trasformare l'equazione data in una di primo o secondo grado nella variabile ausiliaria; si risolve poi quest'ultima equazione e si sostituiscono i valori trovati nell'equazione di definizione della variabile ausiliaria.

Facciamo un semplice esempio:

Per risolvere la: (x2+x)2 - 6(x2+x) +5 = 0, si ponga: x2+x = t, trasformando l'equazione data in:

t2 – 6 t + 5 = 0 e si risolva poi il sistema:

x2+x = t

t2 – 6 t + 5 = 0

partendo ovviamente dalla risoluzione delle seconda equazione per determinare i valori di t che saranno sostituiti poi nella prima.

In matematica è sempre possibile effettuare una qualsiasi posizione, che corrisponde in definitiva ad un cambio di nome delle variabili (anche se non sempre conveniente).

Fra le equazioni che si possono risolvere con una posizione ricadono quelle • biquadratiche del tipo:

a x2n ± b xn ± c = 0 per le quali basta porre xn = t per trasformarle nel sistema:

xn = t

a t2 ± b t ± c = 0

• quelle reciproche di I tipo e di 4° grado

che si risolvono con la posizione x + 1/x = t, con cui l'equazione: a x4- b x3 + c x2 - b x + a = 0 si trasforma nel sistema:

poiché, dividendo per x4, si ottiene:


Equazioni fratte.Si dice fratta un'equazione che ha l'incognita a denominatore.

Le equazioni fratte si risolvono trasformandole (con applicazioni delle proprietà invariantive) in un'equazione intera.

Poiché non è noto il valore della variabile x, non si può escludere che esso faccia assumere al denominatore un valore nullo; pertanto, prima di eseguire le operazioni necessarie alla sua trasformazione in una equivalente intera, bisognerà sempre imporre che l'espressione a denominatore contenete l'incognita sia diversa da zero e tale condizione deve essere sempre riportata esplicitamente durante tutto lo sviluppo dell'equazione.In altre parole, un'equazione fratta (rappresentabile con la P(x) / Q(x) = 0, con P(x) e Q(x) polinomi di grado qualunque nella variabile x) ha per soluzioni quelle del sistema che si ottiene moltiplicando ambo i membri dell'equazione per Q2(x) (II proprietà invariantiva), escludendo peròi valori di x per cui Q(x) = 0:

P(x) * Q(x) = 0Q(x) ≠ 0

La condizione che Q(x) ≠ 0 deve sempre essere considerata in ogni passaggio perché se ce ne dimenticassimo, si potrebbe semplificare il fattore (x-3) del primo termine:

e si assumerebbe come soluzione x = 3, dimenticando così di aver diviso per 0 !!Se invece si assume x-3 non nullo, si può eseguire il m.c.m. tra i due termini del primo membro ottenendo:

(x-3)(x+1)+ (x-3)(x-7) = (x-3)((x+2)+(x-7)) = (x-3)(2x-6) = 2 (x-3)(x-3) = 0

che non può fornire alcuna soluzione, visto che x-3 ≠ 0. Quindi l'equazione assegnata non ha soluzione!Come vedremo per le disequazioni fratte, i valori di x che annullano il denominatore, modificano il segno della funzione e quindi sono indispensabili per la determinazione del suo segno.


Equazioni irrazionali.

E' irrazionale una equazione in cui la variabile compare sotto il segno di radice.I problemi con questo tipo di equazioni sorgono essenzialmente nel caso che l'indice del radicale siapari, in quanto, per gli indici dispari è sufficiente elevare ambo i membri all'opportuna potenza.Nel caso di indici dispari, non occorre imporre alcuna condizione di realtà per il radicando in

quanto il numero con n dispari è reale per tutti i valori di f(x).Ciò vale in tutti i casi del tipo:

con n ed m dispari.

Per la risoluzione di un'equazione irrazionale ad indici dispari del tipo: si devono elevare ambo i membri alla potenza n-esima (con n dispari) prima e a quella m-esima (con m dispari) poi per ottenere l'equazione equivalente:

che, essendo razionale, può essere risolta con i metodi già indicati per le equazioni algebriche.Per le disequazioni irrazionali ad indice pari bisogna invece imporre sempre la condizione di realtàper tutti i radicali coinvolti e quindi si deve in ogni caso risolvere un sistema di equazioni/disequazioni: la soluzione sarà rappresentata dall'intersezione degli insiemi di verità di tutte le disequazioni del sistema.Le equazioni irrazionali ad indice pari (ci limitiamo al caso più frequente delle radici quadrate) sonoessenzialmente di 2 tipi distinti:

supponendo, in tutti i casi, che i radicali siano assunti con valore positivo.

I) che si risolve con il sistema:

Così, ad esempio, l'equazione x = √ (5x - 6), può essere risolta col sistema:

5x-6 ≥ 0x ≥ 0

x2 = 5x - 6


che ha per soluzioni x = 2 e x = 3, compatibili con tutte e due le condizioni precedenti.

Notiamo esplicitamente che per eliminare il radicale abbiamo elevato ambo i membri al quadrato e quindi abbiamo alterato il grado dell'equazione (aumentandone il numero delle soluzioni, che è legato al grado massimo dell'incognita); può quindi succedere che qualcuna delle soluzioni trovate non soddisfi l'equazione di partenza. Conviene sempre verificare tutte le soluzioni così determinate per evitare di accettare un valore non compatibile.Ad esempio, l'equazione √2 x = √(x + 3) si risolve con il sistema:

x + 3 ≥ 0x ≥ 0

2x2 = x + 3

che ha per soluzioni x = -1 e x = 3/2; la prima delle quali non soddisfa l'equazione di partenza e neppure la seconda condizione.

Notiamo esplicitamente che le condizioni di realtà devono sempre essere rispettate !

II) che si risolve con il sistema:

Analogamente a quanto fatto sopra, risolviamo l'equazione: √(x2 - 7) = √(14 - 4x), costruendo il sistema con le condizioni di realtà:

x2 - 7 ≥ 014 - 4x ≥ 0

x2 - 7 = 14 - 4x

Risolvendo l'equazione, si trovano le due soluzioni: x = 7 e x = 3 che soddisfano le prime due condizioni e anche l'equazione di partenza.Conviene sempre verificare tutte le soluzioni così determinate per evitare di accettare un valore noncompatibile.


Equazioni in valore assoluto.

Per definizione, si ha:

La funzione dunque non assume mai valori negativi.

Un'equazione del tipo non ha soluzione.

Un'equazione del tipo o una del tipo ha soluzioni che dipendono dal valore di x.

Analizziamo dapprima la: | f(x) | = k, con k ≥ 0Si verificano due casi distinti:

a) f(x) ≥ 0 ⇒ f(x) = kb) f(x) < 0 f(x) = -k⇒

e le soluzioni dell'equazione sono date dall'unione di quelle delle due equazioni.Ad esempio:|x-3| = 1 equivale alle due equazioni:

x – 3 = 1, con soluzione x = 4 (quando x-3 >0, cioè x > 3)x – 3 = -1, con soluzione x = 2 (quando x-3 < 0, cioè x < 3)

Quando x=3, l'equazione non ha soluzione.

Passiamo ora alla: | f(x) | = g(x)In questo caso si dovrà comunque verificare che g(x) ≥ 0, perchè in caso contrario l'equazione non potrebbe mai essere soddisfatta. Pertanto un'equazione di questo tipo si traduce nei due sistemi seguenti:

g(x) ≥ 0 g(x) ≥ 0f(x) ≥ 0 e f(x) < 0 f(x) = g(x) f(x) = - g(x)

Ad esempio:

|x2-3x-7| = 2x-4 equivale ai due sistemi:

2x-4 ≥ 0

x2-3x-7 ≥ 0

x2-3x-7 = 2x-4

oppure:2x-4 ≥ 0

x2-3x-7 < 0

x2-3x-7 = -2x+4


graficamente rappresentati da:

- +2x-4 -----------------------------------------------------[2]--------------------------------------------------

+ - +

x2-3x-7 ----------------------------[x1]-----------------------------------------[x2]----------------------------

x2-5x-3 ------------------------------------------[x3]--------------------------------------[x4]------------------

ove , , ,

Dunque il primo sistema ha per soluzione x4 visto che solo per questo valore di x risulta 2x-4 ≥ 0 e

x2-3x-7 ≥ 0

e x2-3x-7 = 2x-4 ---> x2-5x-3 = 0.

Mentre per il secondo sistema si ha:

- +2x-4 -----------------------------------------------------[2]-------------------------------------------------

+ - +

x2-3x-7 ----------------------------[x1]-----------------------------------------[x2]----------------------------

x2-x-11 ------------------------------------------[x3]------------------[x4]-------------------------------------

ove , , ,

e quindi l'unica soluzione accettabile è fornita da x4 perchè solo per essa risulta 2x-4 ≥ 0 e x2-3x-7

< 0

e x2-3x-7 = -2x+4 ---> x2-x-11 = 0.

In definitiva l'equazione |x2-3x-7| = 2x-4 ha per soluzioni x = e x =


III - Disequazioni razionali intere e fratte

PremessaLa risoluzione delle disequazioni rappresenta un capitolo essenziale nello studio delle funzioni ed è quindi un argomento di studio che, affrontato nei primi anni del Liceo scientifico, viene poi ampiamente applicato in tutti gli anni successivi.Il metodo tradizionale si articola in alcuni passaggi che sostanzialmente consistono nella ricerca degli intervalli di verità delle singole disequazioni e nella intersezione di tali intervalli..Nei casi più semplici il metodo tradizionale può essere applicato facilmente e in maniera intuitiva, ma quando il problema si complica, come per esempio con disequazioni non lineari o con disequazioni fratte o letterali, diventa farraginoso e può facilmente portare ad errori degli studenti.Per le diseguaglianze e le disequazioni, rispetto alle uguaglianze ed alle equazioni, esiste infatti una difficoltà aggiuntiva poiché la seconda proprietà invariantiva è applicabile solo quando il fattore è strettamente positivo, cioè non è sufficiente che sia solo diverso da zero, e ciò è fonte generale di errori, soprattutto con un parametro di cui non sia noto il segno.Infatti, quando la variabile x –o funzione f(x)- viene moltiplicata per un parametro a, come ad esempio nella: a f(x) > 0, non sempre si tiene conto del suo segno, trascurando la variazione del verso della disequazione per a < 0.

Per le disequazioni non lineari e per quelle fratte si presenta un'ulteriore difficoltà legata alla determinazione della intersezione tra i diversi insiemi di verità delle singole disequazioni in cui quella originale può essere scomposta, che viene affrontata tradizionalmente con una rappresentazione grafica a più livelli.Nella trattazione che segue, non faremo riferimento alle disequazioni intere in quanto anche ad esse è possibile applicare la stessa metodologia.

Il metodo alternativo Visto che l'obiettivo della risoluzione delle disequazioni è la determinazione degli intervalli di verità della relazione, esso consiste in pratica nell'individuazione del segno di uno o più polinomi che costituiscono il primo membro della disequazione stessa: studiare la disequazione f(x) > 0 (o analoghe) consiste nell'individuare gli intervalli dell'asse x in cui la funzione f(x) assume valori positivi.

Il problema si trasforma quindi nella determinazione dei valori di x per cui la funzione f(x) assume un valore nullo (cioè nella risoluzione della corrispondente equazione): negli altri punti dell'asse reale, la f(x) sarà positiva o negativa e quindi la disequazione sarà soddisfatta o meno.

Qualunque tipo di disequazione può essere trasformata in una equivalente (cioè con gli stessi valori di verità del tipo f(x) > 0, applicando la prima proprietà invariantiva, valida anche per le disequazioni.

G. Lironcurti - Cap. III Disequazioni razionali intere e fratte - 38

In altre parole, la disequazione:

in cui f1(x), f2(x), g1(x) e g2(x) sono funzioni della variabile x, con g1(x) e g2(x) diversi da zero per

tutti gli x nel loro dominio, mediante la prima proprietà invariantiva, può essere trasformata nell'equivalente:

ma non possiamo eseguire il minimo comune multiplo perché i segni di g1(x) e di g2(x) dipendono ovviamente dal valore di x e di conseguenza non è possibile determinare il verso della disequazione.Cosa che invece sarebbe possibile per la corrispondente equazione. A proposito di tale problema, riporto di seguito un'osservazione tratta da Spirito, Zou, Scalia: La costruzione matematica Vol. 1:"...finchè l'incognita è indeterminata non possiamo sapere se il denominatore comune che vorremmo eliminare, moltiplicando per esso entrambi i membri, è positivo o negativo. E quindi, finché non conosciamo le soluzioni, non sappiamo se dobbiamo invertire o no il verso della diseguaglianza".

Il problema è risolto normalmente con lo studio di due sistemi di disequazioni che impongono (nel caso da noi considerato di una disequazione del tipo f(x) > 0) lo stesso segno per denominatore e numeratore:

e senza peraltro superare la difficoltà di una moltiplicazione per fattori (g1(x) e g2(x)) dal segno

indeterminato.Per evitare il problema è invece più corretto ridimensionare l'obiettivo determinando semplicemente

gli zeri del polinomio 11

g1

−f 2

g2

(che ci permetteranno di dedurre gli intervalli in cui questo

assume valori diversi da zero e quindi positivi o negativi); possiamo in altre parole risolvere la

corrispondente equazione 11

g1

−f 2

g2

=0 utilizzando le due proprietà invariantive, che valgono

per le uguaglianze e le equazioni, ma non per le disuguaglianze e le disequazioni.


Ora, considerato che il segno del polinomio a primo membro dipenderà sia dal segno del numeratore che da quello del denominatore, e che il segno del rapporto è sempre uguale a quello del prodotto degli stessi fattori, possiamo riscrivere il problema nella maniera più semplice,

moltiplicando ambo i membri dell'equazione per (g1*g2)) 2 e imponendo che tale fattore sia diverso

da zero:

Osserviamo nuovamente che i valori di x che fanno cambiare i segni del polinomio a primo membrodell'equazione precedente corrispondono a quelli del polinomio originale, in quanto abbiamo applicato le sole due proprietà invariantive, e che quindi il problema è stato trasformato in uno

equivalente, considerato anche che, avendo moltiplicato per (g1*g2)) 2 che è sicuramente positivo,

non c'è alcuna necessità di cambiare verso alla disequazione.

Si tratta ora di risolvere l'equazione determinandone gli zeri che possono essere essenzialmente di tre tipi distinti:A) zeri reali di molteplicità dispari, intendendo per molteplicità il numero di volte che si presenta lo stesso zero in valore e segno (se, ad esempio, lo zero x = 2 è presente 3 volte, la sua molteplicitàè dispari);B) zeri reali di molteplicità pari, con lo stesso significato di molteplicitàC) zeri complessi coniugati.

Orbene, per il teorema fondamentale dell'algebra, il segno del polinomio cambia soltanto in corrispondenza degli zeri reali di molteplicità dispari.

Facciamo inoltre notare che, per il principio d'annullamento del prodotto, gli zeri dei due polinomi:

(f1 * g

2 – f

2 * g

1) e g1 g2 si possono ottenere facilmente con il sistema:

f1 * g

2 – f

2 * g

1 = 0

g1 * g2 ≠ 0

Per determinare i valori di verità della disequazione, sarà a questo punto sufficiente riportare su un unico grafico tutte le soluzioni reali, indicando quelle di molteplicità pari con parentesi tonde () e quelle di molteplicità dispari con parentesi quadre [] per poterli facilmente distinguere tra loro, in ordine crescente da sinistra verso destra:

--------[]--------------[]------------()-----------()-----------------[]----------------

x1 x2 x3 x4 x5

con x1, x2, x5 reali di molteplicità dispari e x3, x4 reali di molteplicità pari (gli zeri complessi

coniugati ovviamente non vanno riportati sull'asse reale...).


Visto che il segno del polinomio cambia solo in corrispondenza degli zeri reali di molteplicità dispari, è sufficiente stabilire il segno del polinomio all'interno di un qualsiasi intervallo (con la sostituzione di un qualsiasi valore di x interno a quell'intervallo) per poter poi in maniera automatica individuare il segno in tutti gli altri intervalli.Se, ad esempio, il polinomio assume un valore positivo nell'intervallo ]x3,x4[, i segni negli altri

saranno quelli rappresentati in figura: + - + + + ---------[]--------------[]------------()-----------()-----------------[]---------------- x1 x2 x3 x4 x5

Per di più senza alcuna sostituzione, è possibile stabilire il segno del polinomio per valori di x

maggiori del più grande tra gli zeri reali (nel nostro caso x5) individuando il segno del termine di

grado maggiore che resterà immutato per tutto l'intervallo ]x5,+∞ [ e stabilire poi il segno in tutti glialtri intervalli alternandolo con quello precedente, se la soluzione è indicataq da una coppia di parentesi quadre (radici reali di molteplicità dispari) o lasciandolo inalterato se la soluzione è indicata da una coppia di parentesi tonde (radici reali di molteplicità pari).Questa ultima osservazione è particolarmente utile per le disequazioni di grado elevato.

La soluzione della disequazione sarà quindi rappresentata da tutti gli intervalli il cui il valore di x farà assumere un valore positivo (nel nostro caso) al polinomio:

- ∞ < x < x1 U x2 < x < x3 U x3 < x < x4 U x4 < x < x5

ove U è il simbolo dell'unione degli intervalli.

Nel caso che la disequazione sia del tipo f(x) ≤ 0 oppure f(x) ≥ 0 bisognerà comunque escludere i valori di x che annullano il denominatore della disequazione originale (nel nostro caso tutti i valori

di x per cui g1(x) = 0 oppure g2(x) = 0), che, pur comportando una modifica del segno del

rapporto, costituiscono punti di asintoto verticale; per comodità quindi converrà indicare tali valori

con un simbolo speciale (●) o [ ] rispettivamente. Supponendo che gli zeri da escludere siano x 2 ed

x4, il grafico del nostro esempio diventerebbe:

+ - + + + ---------[]--------------[●]------------()-----------(●)-----------------[]---------------- x1 x2 x3 x4 x5

e le soluzioni (ad esempio nel caso f(x) ≥ 0):- ∞ < x ≤ x1 U x2 ≤ x ≤ x5

Per l'applicazione pratica del metodo, controllare gli esempi che lo confrontano con quello tradizionale riportati di seguito.


Esempio n. 1 (col metodo tradizionale)

Risolvere la disequazione fratta:

Applicando la I prop. Invariantiva:

A questo punto viene applicata la II prop. Invariantiva senza tener conto che il prodotto (x+2)*(x-2) potrebbe essere negativo per alcuni valori di x e che quindi potrebbe cambiare il verso della disequazione, trasformandola nella seguente:

che equivale a risolvere i due sistemi di disequazioni seguenti:5x-2 > 0 5x-2 < 0

e

x2-4 > 0 x2 -4 < 0

Il primo sistema è risolto dall'intersezione degli insiemi di verità delle due disequazioni:(5x-2) > 0 -----------------------------------[2/5]*************************************

(x2-4) > 0 ********[-2●]----------------------------------------------------[2●]**************

che equivale a:-----------------------------------------------------------------[2●]**************con soluzione x > 2.Il secondo sistema è risolto dall'intersezione degli insiemi di verità delle due disequazioni:(5x-2) < 0 **************[2/5]--------------------------------------------------------------------

(x2-4) < 0 ----------[-2●]**************************[2●]----------------------------------

che equivale a: -----[-2●]************[2/5]------------------------------------------------------con soluzione -2 < x < 2/5.Con il pallino ● abbiamo indicato i punti singolari, mentre con * gli intervalli in cui è verificata la corrispondente disequazione.Quindi, con l'unione dei due insiemi di verità, si ha, come soluzione della disequazione, l'insieme:

] -2, 2/5 [ ] 2, + ∪ ∞ [

Esempio n. 1 (col metodo innovativo)

Applicando la I prop. Invariantiva:

Si scrive ora la corrispondente equazione a cui è possibile applicare anche la II prop. invariantiva ottenendo:

Si moltiplica il numeratore per il denominatore, facendo peraltro notare che quest'ultimo deve essere diverso da zero (cosa trascurata nel metodo precedente), ottenendo il seguente sistema:

(5x-2)(x2-4) = 0

(x2-4) ≠ 0

Si riportano su un unico grafico tutte le soluzioni delle due equazioni:

5x-2 = 0, con soluzione x = 2/5 e x2-4 = 0, con soluzioni x = ± 2 e si attribuiscono i segni ai tre intervalli, partendo da

quello ]2, + ∞[ in cui il polinomio è positivo (perchè tale è il segno di 5x*x2).

In definitiva la disequazione è soddisfatta in tutti gli intervalli indicati con il segno + : - + - +---------------------[-2●]-------------------------------[2/5]----------------------------------------[2●]------------------------e cioè in ]-2,2/5[ e in ] 2, + ∞ [



Risolvere la disequazione:

Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore, ottenendo la:

che equivale a risolvere i due sistemi di disequazioni seguenti:

Il primo sistema si risolve imponendo che sia la prima che la seconda equazione assumano valori positivi, risolvendo quindi i sistemi di equazioni:I-1 (3 fattori positivi per il numeratore)2x > 0 -----------------------------[0]********************************************* x-2 > 0 --------------------------------------------------[2]*******************************

x2+2x+4 > 0 ****************************************************************** che ha per soluzione x > 2 I-2 (1 fattore positivo e 2 fattori negativi per il numeratore)2x > 0 -------------------------------[0]********************************************* x-2 < 0 ***********************************[2]-----------------------------------------------

x2+2x+4 < 0 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- che non è mai soddisfatto I-3 (1 fattore positivo e 2 fattori negativi per il numeratore)2x < 0 **************************[0]-------------------------------------------------------------- x-2 < 0 ***************************************[2]-------------------------------------------

x2+2x+4 > 0 ********************************************************************* che ha per soluzione x < 0 I-4 (1 fattore positivo e 2 fattori negativi per il numeratore)2x < 0 **********************[0]--------------------------------------------------------------------- x-2 > 0 ----------------------------------------------------------[2]******************************

x2+2x+4 < 0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- che non è mai soddisfatto. Dunque la prima equazione del primo sistema è soddisfatta dall'unione degli intervalli:

] - ∞ , 0[ ]2, + ∞ [ ∪La stessa procedura si utilizza per la seconda equazione del primo sistema: II-1 (3 fattori positivi per il denominatore)

x2+1 > 0 ********************************************************************** x+1 > 0 ---------------[-1]********************************************************* x-1 > 0 ------------------------------------------------[1]************************************ che ha per soluzione x > 1 II-2 (1 fattore positivo e 2 fattori negativi per il denominatore)

x2+1 > 0 ********************************************************************** x+1 < 0 **********[-1]------------------------------------------------------------------------------------- x-1 < 0 *********************************[1]---------------------------------------------------- che ha per soluzione x < -1


II-3 (1 fattore positivo e 2 fattori negativi per il denominatore)

x2+1 < 0 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- x+1 < 0 **********[-1]------------------------------------------------------------------------------------ x-1 > 0 --------------------------------------------------[1]************************************ che non è mai soddisfatto II-4 (1 fattore positivo e 2 fattori negativi per il denominatore)

x2+1 < 0 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ x+1 > 0 ---------------[-1]*********************************************************** x-1 < 0 *********************************[1]------------------------------------------------------- che non è mai soddisfatto

Dunque la seconda equazione del primo sistema è soddisfatta dall'unione degli intervalli:] - ∞ , -1[ ]1, + ∞ [∪

Notiamo esplicitamente che i punti -1 e 1 devono essere esclusi perchè singolari per il rapporto considerato.Infine (ma non è ancora finito....) il primo sistema è soddisfatto dall'intersezione dei due insiemi di verità delle due disequazioni che lo compongono:

2x(x-2)(x2+2x+4) > 0 ********************************[0]--------------[2]*************************

(x2+1)(x+1)(x-1) > 0 *************************[-1]---------------[1]******************************

e cioè dall'insieme di verità: ***************************[-1]------------------------[2]***************************corrispondente all'unione dei due intervalli: ] - ∞ , -1[ ]2, + ∞ [∪Teoricamente bisognerebbe ripetere la stessa procedura per il secondo sistema (che ovviamente qui non riporteremo...),ottenendo per esso l'insieme di verità complessivo: ] 0,1 [La soluzione della disequazione sarebbe quindi fornita dall'unione dei due insiemi di verità ricavati dai due sistemi:

**********[-1]------[0]*********[1]----------[2]*********************************

corrispondente all'unione degli intervalli: ] - ∞ , -1[ ] 0, 1 [ ] 2, + ∞ [∪ ∪

Per fortuna esiste un metodo alternativo a questo....




Moltiplichiamo numeratore per denominatore e risolviamo la corrispondente equazione, rammentando che il denominatore deve essere diverso da zero:

2x (x-2) (x2+2x+4) (x2+1) (x+1) (x-1) = 0

(x2+1) (x+1) (x-1) ≠ 0

Risolviamo dunque le singole equazioni, applicando il principio di annullamento del prodotto:


Riportiamo su un unico grafico tutte le soluzioni reali e assegniamo i segni agli intervalli, partendo da quello ]2, +∞[ in

cui il polinomio è positivo (perchè tale è il segno di 2x*x*x2*x2*x*x ottenuto moltiplicando tra loro i segni dei termini dominanti di ciascun fattore).

In definitiva la disequazione è soddisfatta in tutti gli intervalli indicati con il segno +:

+ - + - +

***************[-1●]---------[0]********[1●]--------[2]*****************************

con lo stesso insieme di verità trovato con l'altro metodo, ma con una procedura certamente più semplice....




La disequazione ha significato per x ≠ -3, x ≠ 1/3, x ≠ 2 e x ≠ ½.Ci potrebbe venire in mente di semplificare l'espressione - dividendo numeratore e denominatore per (x - 2)(x-1/2)- ma ciò non è lecito perchè non si sa se i due fattori siano diversi da zero e, per di più, per la disequazione, non conosciamo il segno dei fattori, anche se tale operazione non comporterebbe la modifica del segno!! La semplificazione produrrebbe comunque, in questo caso, anche la sparizione di due radici dall'insieme degli zeri dei polinomi. Riteniamo dunque che il metodo tradizionale, molto complicato come vedremo in seguito, può creare problemi e generare errori nel computo degli insiemi di verità (soprattutto nel caso di disequazioni in senso lato, cioè con le relazioni ≤ o ≥ ).A questo punto dovremmo risolvere i soliti due sistemi costituiti dalle disequazioni:

e

costituiti, ciascuno, da ben 8 disequazioni (abbiamo indicato con il segno '+' gli intervalli in cui il polinomio indicato a sinistra risulta > 0):


x-4 > 0 -------------------------------------------------------------------------------------------------[4]***************** x-1/4 > 0 ---------------------------[1/4]**************************************************************x-2 > 0 -----------------------------------------------------------------------[2]**********************************x-1/2 --------------------------------------------------[1/2]***********************************************x+3> 0 -----[-3●]**************************************************************************** x-1/3 > 0 --------------------------------------[1/3●]*****************************************************x-2> 0 -------------------------------------------------------------------------[2●]*******************************x-1/2> 0 -------------------------------------------------[1/2●]*********************************************

Per risolvere il sistema è sufficiente moltiplicare i segni in tutti gli intervalli nei quali cambia almeno un segno e verificare quando i loro prodotti siano negativi o nulli, ottenendo gli insiemi di verità:

]-3, ¼] ]1/3, ½[ ]½,2[ ]2,4]∪ ∪ ∪ poiché, in tali intervalli, il prodotto dei segni è negativo.Notare che i punti singolari -3, 1/3, 1/2, 2, contrassegnati dal ● , sono stati esclusi.Utilizzeremo ora il metodo alternativo per dimostrare quanto sia di più semplice applicazione.



Come col metodo tradizionale, scomponiamo in fattori numeratore e denominatore, e riscriviamo la corrispondente equazione, ottenendo la:

moltiplichiamo ora il numeratore per il denominatore e scriviamo il sistema risolvente:

Riportiamo su un unico grafico tutte le soluzioni indicando quelle di molteplicità dispari con le coppie di parentesi quadre [ ] e quelle di molteplicità pari con le tonde ( ) ed evidenziando quelle da escludere col ● : + - + - - - + ----------[-3●]---------------[1/4]---------[1/3●]----------(1/2●)------------------(2●)--------------------[4]------------------------ove i segni sono stati stabiliti a partire dall'ultimo intervallo [4,+∞ [ caratterizzato da un segno positivo perchè tale è il

prodotto dei termini dominanti di tutti i fattori: x*x*x2*x2*x*x

Otteniamo così, più facilmente, l'insieme di verità della disequazione:]-3,1/4] ]1/3, ½ [ ]1/2,2[ ]2,4]∪ ∪ ∪

con esclusione dei punti singolari -3, 1/3, 1/2, 2 che annullerebbero il denominatore.


IV - Disequazioni irrazionali ed in valore assoluto

Disequazioni irrazionaliE' irrazionale una disequazione in cui la variabile compare sotto il segno di radice.Disequazioni irrazionali ad indice dispariI problemi con le disequazioni irrazionali sorgono essenzialmente solo nel caso che l'indice del radicale sia pari, in quanto per gli indici dispari sarebbe sufficiente elevare ambo i membri all'opportuna potenza senza alcuna incertezza sul verso della disequazione: elevare ad una potenza dispari significa infatti moltiplicare il numero per sé stesso un numero pari di volte che è sicuramente positivo, senza problemi per il verso della disequazione.

Dunque se ad esempio, vale la: a maggior ragione varrà la 53 > x.

Comunque, una volta trovata la soluzione col metodo già indicato per le disequazioni razionali intere o fratte, si dovrà poi verificare se la disequazione originale è verificata. Perchè aumentando il grado dell'equazione e si aumenta di conseguenza anche il numero delle soluzioni accettabili.

Nel caso di indici dispari, non occorre imporre alcuna condizione di realtà per il radicando in

quanto il numero con n dispari è reale per tutti i valori di f(x).

Ciò vale in tutti i casi del tipo:

con n ed m dispari.

Per la risoluzione di un'equazione irrazionale ad indici dispari, come già fatto nei casi precedenti, conviene scrivere la corrispondente equazione:

valida in tutti e due e casi ed elevare poi ambo i membri alla potenza n-esima (che è dispari) prima ea quella m-esima (che è dispari) poi per ottenere l'equazione equivalente:

che, essendo razionale, può essere risolta con i metodi delle equazioni intere.Visto che abbiamo elevato ambo i membri ad una potenza complessiva che è ancora dispari, la disequazione equivalente conserverà lo stesso verso di quella di partenza.

G. Lironcurti - Cap. IV Disequazioni irrazionali ed in valore assoluto - 41

Disequazioni irrazionali ad indice pariPer le disequazioni irrazionali ad indice pari bisogna invece imporre sempre la condizione di realtàper tutti i radicali coinvolti e quindi si deve in ogni caso risolvere un sistema di disequazioni: la soluzione sarà rappresentata dall'intersezione degli insiemi di verità di tutte le disequazioni del sistema.Le disequazioni irrazionali ad indice pari sono essenzialmente di 4 tipi distinti:

I: f (x)>√ g(x )

II: f (x)<√ g(x) III: √ f (x )>√g (x) IV: √ f (x )<√g (x)

supponendo, in tutti i casi, che i radicali siano assunti con valore positivo.In ogni caso, per l'osservazione già fatta in precedenza, si dovrà studiare la corrispondente equazione.

I.che si risolve con il sistema:

tradotto nel sistema risolutivo:

per il quale, bisognerà risolvere le singole equazioni intere e, successivamente, calcolare l'intersezione dei rispettivi insiemi di verità (vedere gli esempi allegati).

II.In questo caso si devono considerare due casi distinti a seconda del segno di f(x):II-a: f(x) ≥ 0che si risolve con il sistema:


per il quale, bisognerà risolvere le singole equazioni intere e, successivamente, calcolare


l'intersezione dei rispettivi insiemi di verità (vedere gli esempi allegati), perchè le disequazioni devono verificarsi contemporaneamente).oppure:II-b: f(x) < 0che si risolve con il sistema:

(visto che f(x) < 0 e positivo, non occorre alcuna condizione aggiuntiva), tradotto nel

sistema risolutivo:

per il quale, bisognerà risolvere le singole equazioni intere e, successivamente, calcolare l'intersezione dei rispettivi insiemi di verità (vedere gli esempi allegati), perchè le disequazioni devono verificarsi contemporaneamente. In questo caso non è possibile fare il quadrato di ambo i membri perchè f(x) è negativo.La soluzione della disequazione sarà poi data dall'unione degli insiemi di verità dei due casi precedenti.

III.che si risolve con il sistema:


per il quale, bisognerà risolvere le singole equazioni intere e, successivamente, calcolare l'intersezione dei rispettivi insiemi di verità (vedere gli esempi allegati), perchè le disequazioni devono verificarsi contemporaneamente.

IV.che si risolve con il sistema:



per il quale, bisognerà risolvere le singole equazioni intere e, successivamente, calcolare l'intersezione dei rispettivi insiemi di verità (vedere gli esempi allegati), perchè le disequazioni devono verificarsi contemporaneamente.Per riassumere le diverse situazioni, utilizziamo la seguente tabella:


Esempi di applicazione del metodo

I) x+4>√2 x+9Dalla tabella si deduce che deve essere: [+] [-]x+4 > 0 ----------------------------------[-4]------------------------------------- [-] [+]2x+9 ≥ 0 ------------------[-9/2]--------------------------------------------------- [+] [-] [+]

(x+4)2−2 x−9=x2

+6 x+7>0 -----------------------------[-3-√2]----------------[-3+√2]--------------

con una rappresentazione grafica della funzione x+4−√2 x+9 fornita da:

con soluzioni comprese nell'intervallo: ]-3+√2, +∞ [

II) x+1<√x+2

Dalla tabella si ricava che, quando x+1 ≥ 0:


[-] [+]x+1 ≥ 0 ----------------------------------------------------[-1]---------------------------------------

[-] [+] x+2 > 0 --------------------------[-2]--------------------------------------------------------------------- [+] [-] [+]

(x+1)2−x−2=x2

+x−1<0 --------------[(−1−√5)

2]-------------------[

(−1+√5)

2]--------

con la rappresentazione grafica delle tre funzioni fornita da:

con una soluzione (parziale) fornita nell'intervallo ] -1, (−1+√5)

2 [

Quando invece x+1 <0 si hanno solo le due condizioni: [-] [+]x+1 < 0 --------------------------------------------------------------------[-1]---------------------------- [-] [+]x+2 ≥ 0 --------------------------------[-2]------------------------------------------------------------------

con una soluzione (parziale) nell'intervallo ] -2, -1[La disequazione data ha quindi per soluzione l'unione dei due intervalli:

] -2, -1[ U ] -1 , (−1+√5)

2[

con l'esclusione del punto -1 (poiché la disequazione deve essere verificata in senso stretto)


III) √2 x2+4 x−9>√ x2

−1

Dalla tabella si ricava che deve essere: [+] [-] [+]

2x2+4 x−9>0 ----------------[ −2−√22

2] -----------------[

−2+√222

]--------------------------

[+] [-] ]+]

x2−1 ≥ 0 -----------------------------------------[-1]--------[1]----------------------------------------------

[+] [-] [+]

x2+4 x−8>0 -------[-2-√12]--------------------------------------------------------[-2+√12]--------------

con una rappresentazione grafica delle tre funzioni fornita da:

La disequazione data ha quindi per soluzione l'unione dei due intervalli trovati:]-∞ , -2-√12 [ U ] -2+√12, +∞ [

IV) √2 x2+4 x−9<√ x2

−1Dalla tabella si ricava che deve essere: [+] [-] [+]

2 x2+4 x−9>0 ----------------[ −2−√22

2] -----------------[

−2+√222

]--------------------------

[+] [-] ]+]

x2−1 ≥ 0 -----------------------------------------[-1]--------[1]----------------------------------------------

[+] [-] [+]

x2+4 x−8<0 -------[-2-√12]--------------------------------------------------------[-2+√12]--------------

Con la stessa rappresentazione grafica precedente.La disequazione ha per soluzione l'unione dei due intervalli:

] -2-√12, −2−√222

[ U ] −2+√22

2, -2+√12 [


Disequazioni in valore assoluto.

Per definizione, si ha:

e quindi la rappresentazione grafica del valore assoluto di f(x) è la seguente:

per una funzione lineare del tipo f(x) = |x|:

per una funzione quadratica del tipo f(x) = |x2|:


per una funzione cubica del tipo f(x) = |x3|:

La funzione dunque non assume mai valori negativi.

Pertanto il confronto del valore assoluto di una funzione f(x) con una costante negativa o è

sempre verificato ( ) o non lo è in nessun caso ( ).

Il confronto di |f(x)| con una costante positiva o nulla dipende sia dal verso della disequazione che dal valore della costante.

Come di consueto tratteremo le disequazioni in valore assoluto individuando gli zeri delle corrispondenti equazioni e, come già fatto per queste ultime, distingueremo tra le disequazioni del tipo |f(x)| ≥ g(x) che comportano lo studio di due equazioni indipendenti (f(x) – g(x) = 0 e f(x) + g(x) = 0, con l'unione dei 2 insiemi di verità), da quelle del tipo |f(x)| < g(x) che devono verificarsi contemporaneamente e comportano quindi la soluzione di un sistema, con l'intersezione dei 2 insiemi di verità.


Prima di sviluppare la teoria relativa, a scopo esemplificativo, rappresentiamo graficamente la

situazione nel caso che per la funzione quadratica f(x) = x2 - 4 e per 2 valori

diversi di k (k1 = 2 , k2 = 4):

Gli insiemi di verità in cui si verifica che |f (x)|<k con k ≥ 0 sono visibilmente diversi:

Caso k = 2:Per definizione, si deve risolvere il sistema costituito dalle due disequazioni:

Pertanto si dovranno individuare gli intervalli in cui le due equazioni sono contemporaneamente soddisfatte (con l'intersezione degli insiemi di verità delle 2 disequazioni) da unire poi

nell'insieme di verità della disequazione:



Pertanto si dovranno individuare gli intervalli in cui le due equazioni sono contemporaneamente soddisfatte (con l'intersezione degli insiemi di verità delle 2 disequazioni) da unire poi nell'insieme

di verità della disequazione:


Pertanto si dovranno individuare gli intervalli in cui le due equazioni sono contemporaneamente soddisfatte (con l'intersezione degli insiemi di verità delle 2 disequazioni) da unire poi nell'insieme

di verità della disequazione:

Il procedimento adottato per la funzione quadratica f(x) = |x2-4| può essere utilizzato per qualsiasi altra funzione.

Nel caso che la disequazione sia del tipo |x2-4| > k, con k ≥ 0, la rappresentazione grafica sarà la stessa già utilizzata nel caso precedente, ma gli insiemi di verità non saranno più costituiti dagli intervalli soluzioni di un sistema (e cioè dalla intersezione degli insiemi di verità delle due disequazioni), ma dalla loro unione.

Riprendendo i tre casi precedenti, si ha:Caso k = 2:Come già ricordato, si devono risolvere le due disequazioni, che NON costituiscono sistema:


e quindi con l'insieme di verità costituito dall'unione dei due intervalli in cui sono soddisfatte

separatamente le due disequazioni: per la prima e per la seconda.

Caso k = 4:Si devono risolvere le due disequazioni, che NON costituiscono sistema:

e quindi con l'insieme di verità costituito dall'unione dei due intervalli in cui è soddisfatta la prima

( ) poichè la seconda ha come insieme di verità l'insieme vuoto .∅

Caso k = 7:Si devono risolvere le due disequazioni, che NON costituiscono sistema:

e quindi con l'insieme di verità costituito dall'unione dei due intervalli in cui è soddisfatta la prima

( ) poichè la seconda ha come insieme di verità l'insieme vuoto .∅

Bisogna dunque fare molta attenzione alla differenza sostanziale nei due casi esaminati, ricordando che con la disequazione del tipo |f(x)| < k, con k ≥ 0, si deve risolvere un sistema, mentre con la disequazione della forma |f(x)| > k, con k ≥ 0, le due disequazioni sono tra loro indipendenti.


Per continuare nella esemplificazione grafica, quando alla costante k sia sostituita una funzione g(x), cioè per la disequazione del tipo: |f(x)| ≥ g(x) oppure |f(x)| < g(x) , mentre il procedimento rimane inalterato, bisognerà, caso per caso, stabilire il segno della funzione g(x) prima di adottare uno dei due procedimenti, infatti: per ogni x tale che g(x) ≥ 0

• la disequazione |f(x)| < g(x) (che equivale al caso |f(x)| < k, con k ≥ 0) ha per soluzione

l'intersezione degli insiemi di verità delle due disequazioni in cui il problema si scompone;• la disequazione |f(x)| > g(x) (che equivale al caso |f(x)| > k, con k ≥ 0) ha per soluzione

l'unione degli insiemi di verità delle due disequazioni, che NON costituiscono sistema;per ogni x tale che g(x) < 0

• la disequazione |f(x)| < g(x) (che equivale al caso |f(x)| < k, con k < 0) non è mai

soddisfatta;• la disequazione |f(x)| > g(x) (che equivale al caso |f(x)| > k, con k < 0) è sempre

soddisfatta;

La rappresentazione grafica del problema nel caso che le funzioni siano:

f(x) = |x2+1| o f(x) = |x2-8| o f(x) = |x3+5|, è quella riportata in figura:

Tratteremo ora il problema in generale, e quindi nel caso |f(x)| < g(x) e in quello |f(x)| ≥ g(x), intendendo che la funzione g(x) può anche essere costante positiva, nulla o negativa. Analizziamo dapprima la: |f(x)| < g(x)si possono verificare due casi distinti:a) g(x) ≤ 0 la disequazione non è ⇒ mai soddisfatta (ovviamente per tutti gli x appartenenti al dominio di negatività di g(x));b) g(x) > 0 la disequazione è soddisfatta dalle soluzioni del ⇒ sistema costituito dalle due


disequazioni, e quindi dall'intersezione dei loro insiemi di verità:f(x) < g(x), per ogni x tale che f(x) ≥ 0, per ogni x tale che g(x) > 0f(x) > - g(x), per ogni x tale che f(x) < 0, per ogni x tale che g(x) > 0

Passiamo ora alla: |f(x)| > g(x)ancora una volta si possono distinguere due casi distinti:c) g(x) ≤ 0 la disequazione non è ⇒ sempre soddisfatta (ovviamente per tutti gli x appartenenti al dominio di negatività di g(x));b) g(x) > 0 la disequazione è soddisfatta dalle soluzioni delle due disequazioni (⇒ che NON costituiscono sistema) e quindi dall'unione dei loro insiemi di verità:

f(x) > g(x), per ogni x tale che f(x) >= 0, per ogni x tale che g(x) > 0f(x) < - g(x), per ogni x tale che f(x) < 0, per ogni x tale che g(x) > 0

La situazione è schematizzata sinteticamente nella seguente tabella:

Tabella per le disequazioni in valore assoluto

g(x) ≤ 0 g(x) > 0

|f(x)| < g(x) MAI soddisfatta

Soluzioni del SISTEMA(Intersezione)

f(x) – g(x) < 0f(x) + g(x) > 0

|f(x)| > g(x)

SEMPRE soddisfatta

(ad eccezione dei punti in cuif(x)= 0)

Soluzioni delle 2 equazioni(Unione)

f(x) – g(x) > 0

f(x) + g(x) < 0

In definitva, il procedimento pratico per la risoluzione di una disequazione che contenga un valore assoluto, |f(x)| ≥ g(x) oppure |f(x)| < g(x), implica dapprima la determinazione del segno di g(x) (banale nel caso che g(x) sia una costante) e, nel caso non si sappia già a priori che la disequazione non è MAI o è SEMPRE soddisfatta,

• la risoluzione del sistema indicato nella tabella per |f(x)| < g(x) e g(x) > 0 (intersezione)

• la risoluzione delle 2 equazioni indicate nella tabella per |f(x)| > g(x) e g(x) > 0 (unione)


Esempi di applicazione del metodo:I) Studio della disequazione |x| < 8Dalla prima riga della tabella, visto che g(x) = 8 è certamente positivo, si passa direttamente a risolvere il sistema di disequazioni:

che corrisponde al sistema risolvente:

con un insieme di verità dato dall'intersezione di quello della prima disequazione ]-∞,8[ con quello della seconda ]-8,+∞[, cioè dall'intervallo ]-8,8[ in cui sono soddisfatte contemporaneamente le duedisequazioni.

II) Studio della disequazione |x2+2x-10| < 5 (analogo al precedente)

Dalla prima riga della tabella, visto che g(x) = 5 è certamente positivo, si passa direttamente a risolvere il sistema di disequazioni:

che corrisponde al sistema risolvente:

con un insieme di verità dato dall'intersezione di quello della prima disequazione ]-∞,-1-√6[ ∪ ]-1+√6,+∞[ (indicato dal segno nel grafico), ⊕con quello della seconda ]-5,3[ (indicato dal segno nel grafico)⊖e cioè negli intervalli ] -5, -1-√6 [ ∪ ]-1+√6, 3[ in cui sono soddisfatte contemporaneamente le duedisequazioni.

III) Studio della disequazione |x| > 5Dalla seconda riga della tabella, visto che g(x) = 5 è certamente positivo, si passa direttamente a risolvere le due disequazioni (che, in questo caso, NON costituiscono sistema, per cui dovremo considerare l'unione degli intervalli di verità delle due disequazioni):


con un insieme di verità dato dall'unione di quello della prima disequazione ]5, +∞[ con quello della seconda ]-∞ ,-5[ e cioè R - ] -5,5 [

IV) Studio della disequazione |x2 + 5x| > 6 (analogo al precedente)

Dalla seconda riga della tabella, visto che g(x) = 6 è certamente positivo, si passa direttamente a risolvere le due disequazioni (che, in questo caso, NON costituiscono sistema, per cui dovremo considerare l'unione degli intervalli di verità delle due disequazioni):

equivalenti a che portano agli insiemi di verità:

con un insieme di verità dato dalla unione di quello della prima disequazione ]-∞,-6[ ∪ ]1,+∞[ (indicato dal segno nel grafico), ⊕uniti a loro volta con quello della seconda ]-3,-2[ (indicato dal segno nel grafico).⊖L'insieme di verità complessivo è dato dunque da: ]-∞,-6[ ∪ ]1,+∞[ ∪ ]-3,-2[

V) Studio della disequazione |x| > -8Dalla seconda riga della tabella, visto che g(x) = -8 è certamente negativo, si si deduce che la disequazione è sempre soddisfatta, qualunque sia il valore reale di x. La disequazione |f(x)| > -8 è soddisfatta in tutto il dominio di f(x).

VI) Studio della disequazione |x| < -4Dalla prima riga della tabella, visto che g(x) = -8 è certamente negativo, si si deduce che la disequazione non è mai soddisfatta, qualunque sia il valore reale di x. La disequazione |f(x)| < -4 non è mai soddisfatta in tutto il dominio di f(x).


VII) Studio della disequazione: |3x2 -2x + 1| > 5x2 – 10x -5

1. determinazione del segno di g(x) = 5x2 – 10x -5:

e negativo per:

2) Dalla seconda riga della tabella si deduce immediatamente che la disequazione è sempre soddisfatta per x nell'intervallo:

perchè in tale intervallo g(x) risulta negativo, ad esclusione dei punti in cui f(x) = 3x2 -2x + 1 = 0.

3) Per gli altri due intervalli, in cui g(x) risulta strettamente positivo, si dovranno risolvere le due disequazioni seguenti (che NON costituiscono sistema e che quindi forniranno come soluzione la unione dei rispettivi insiemi di verità):

3 x2−2x+1>5 x2

−10x−5→−2 x2+8 x+6>0

3 x2−2x+1>−5 x2

+10 x+5→8 x2−12 x−46<0

ricordando che tali disequazioni potranno essere soddisfatte solo per i valori di x per cui g(x) > 0


Le prime due disequazioni si possono considerare solo all'interno degli intervalli:

]-∞,x5[ e ]x6, +∞ [ in cui g(x) = 5x2 – 10x -5 è positiva.

In conclusione, l'insieme di verità complessivo della disequazione |3x2 -2x + 1| > 5x2 – 10x -5 è il seguente: ]x1,x5[ ]x6,x2[ ∪ove è soddisfatta la prima disequazione, mentre la seconda non è mai soddisfatta all'interno dell'intervallo in cui g(x) è positiva.

VIII) Studio della disequazione: |3x2 -2x + 1| < 5x2 – 10x -5

1. determinazione del segno di g(x) = 5x2 – 10x -5: fornisce lo stesso risultato precedente (v. punto 1) sopra)

2. Dalla prima riga della tabella si deduce immediatamente che la disequazione NON è mai

soddisfatta per x ∈ ] perchè in tale intervallo g(x) risulta negativo.3. Per gli altri due intervalli, in cui g(x) risulta strettamente positivo, si dovrà risolvere il

sistema delle due disequazioni seguenti (con un insieme di verità fornito dall'intersezione di quelli delle due disequazioni):

3 x2−2x+1>5 x2

−10x−5→−2 x2+8 x+6>0

3 x2−2x+1>−5 x2

+10 x+5→8 x2−12x−46<0

ricordando che tali disequazioni potranno essere soddisfatte solo per i valori di x per cui g(x) > 0

In questo caso, pur essendo uguali le soluzioni delle equazioni corrispondenti, cambiano gli insiemi di verità, perchè sono opposti i versi:

La prima disequazione è soddisfatta nell'intervallo ] -∞, x1 [ e nell'intervallo ] x2, +∞ [ e la seconda nell'intervallo ] -∞, x3 [ e nell'intervallo ] x4, +∞ [;

In conclusione, l'insieme di verità complessivo della disequazione |3x2 -2x + 1| < 5x2 – 10x -5 è il seguente: ] -∞, x1 [ ] x2, +∞ [ ∪che fornisce l'intersezione degli insiemi di verità delle tre disequazioni:

-2x2 + 8x + 6 < 0

8x2-12x - 4 > 0

5x2–10x – 5 > 0


V - GoniometriaMisura degli angoliGli angoli vengono spesso misurati in gradi sessagesimali (1° = 1/360 dell'angolo giro), anche se una Legge dello Stato italiano del 1960 impone di esprimerli in radianti. Ogni grado è suddiviso in 60 parti (primi: '); a sua volta ogni primo è suddiviso in 60 parti (secondi: “), con una convenzione legata ad un sistema metrico sessagesimale (utilizzato anche per la misura del tempo), imposto dalla attuale cultura anglo-americana.Con questo sistema numerico, i calcoli risultano laboriosi e impegnano, inutilmente, gli studenti delle classi della media inferiore.Gli stessi calcoli sono invece immediati se si utilizza il radiante che è una grandezza decimale del nostro comune sistema numerico.Definizione:Il radiante è la misura (decimale) dell'angolo al centro di una qualsiasi circonferenza che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio:

con x = 1 rad se l = r.Questa stessa definizione viene del resto utilizzata nella determinazione della lunghezza della circonferenza, che corrisponde all'arco sotteso da un angolo al centro pari ad un angolo giro, espressa dalla nota formula c = 2π r, e permette inoltre di individuare il numero irrazionale π come rapporto tra lalunghezza della circonferenza ed il suo diametro: π = c / 2rche è quindi un rapporto tra una lunghezza curvilinea ed una rettilinea.Dunque, se l'angolo è espresso in radianti, vale la relazione:

l = x rove 'l' è la lunghezza dell'arco sotteso dall'angolo x in una circonferenza di raggio r.Poiché l'angolo giro è espresso in gradi sessagesimali da 360° ed in radianti da 2π, vale la relazione:

che ci permette di passare da un sistema di misura all'altro con le:

Riportiamo di seguito le corrispondenze più comuni tra gli angoli espressi nei due sistemi:

gradi 0 30 45 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

rad 0

1/6π

1/4π

1/3 π 1/2 π 2/3π

5/6 π π 7/6 π 4/3 π 3/2π

5/3 π 11/6 π 2 π

π/6 0 1 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

G. Lironcurti - Cap. V Funzioni goniometriche - 65

Definizione delle funzioni goniometriche fondamentaliIn un sistema cartesiano ortogonale Oxy, consideriamo i triangoli rettangoli tra loro simili OAB, OA'B', OA”B”,... con un angolo x in comune:

In essi il rapporto tra i lati omologhi è ovviamente costante, funzione solo dell'ampiezza dell'angolo x: è quindi possibile definire alcune funzioni, indipendenti dalle lunghezze dei cateti e dell'ipotenusa.Dunque, fra le possibili, definiamo le seguenti:

o, con diversa notazione, relativa ad un qualsiasi triangolo rettangolo in con angoli acuti in e in :

Queste relazioni possono essere utilizzate per le seguenti definizioni:Il seno di un angolo x è espresso dal rapporto tra il cateto opposto all'angolo x e l'ipotenusa.Il coseno di un angolo x è espresso dal rapporto tra il cateto adiacente all'angolo x e l'ipotenusa.La tangente di un angolo x è espresso dal rapporto tra il cateto opposto all'angolo x e quello ad esso adiacente.

Si tratta dunque sempre di un rapporto tra due grandezze omogenee (lunghezze), espresso da un numero puro. Pertanto, anche se, nelle definizioni, viene utilizzata normalmente la cosiddetta circonferenza


goniometrica di raggio unitario (che individua l'ipotenusa del triangolo rettangolo), è del tutto errato dire,ad esempio, che il seno di un angolo è dato dalla lunghezza del cateto opposto!!!

Queste stesse definizioni saranno utilizzate per la 'risoluzione' dei triangoli rettangoli, riportata nel capitolo sulla Trigonometria.

Per comodità riportiamo di seguito i valori assunti dalle tre funzioni per alcune ampiezze di angoli compresi nell'intervallo [0,π/2]:

Angoli associatiIndipendentemente dal sistema di misura utilizzato, valgono alcune definizioni che utilizzeremo in seguito e che ora qui elenchiamo, con le proprietà indicate (dimostrate nel paragrafo sull'estensione delle definizioni delle funzioni goniometriche per angoli maggiori di π/2): Dato l'angolo α (misurato in senso antiorario), diremo opposto l'angolo -α con la stessa ampiezza, ma misurato in senso orario;

sin(α) = - sin(-α)cos(α) = cos(-α)tan(α) = - tan(-α)

Diremo esplementari due angoli α e β tali che la loro somma sia uguale ad un angolo giro (2π), cioè con β = 2π - α.

sin(α) = - sin(β)cos(α) = cos(β)tan(α) = - tan(β)

Diremo supplementari due angoli α e β tali che la loro somma sia uguale ad un angolo piatto (π), cioè con β = π - α

sin(α) = sin(β)cos(α) = - cos(β)tan(α) = - tan(β)

Diremo complemetari due angoli α e β tali che la loro somma sia uguale ad un angolo retto (π/2), cioè con β = π/2 - α

sin(α) = cos(β)cos(α) = sin(β)tan(α) = cotan(β)


Diremo angoli che differiscono di un angolo piatto due angoli α e β tali che la loro differenza sia uguale ad un angolo piatto (π), cioè con β = π + α

sin(α) = - sin(β)cos(α) = - cos(β)tan(α) = - tan(β)

Diremo angoli che differiscono di un angolo retto due angoli α e β tali che la loro differenza sia uguale ad un angolo retto (π/2), cioè con β = π/2 + α.

sin(α) = sin(β)cos(α) = cos(β)tan(α) = - tan(β)

Le uguaglianze sopra riportate possono essere facilmente dimostrate sia geometricamente (con la rappresentazione della circonferenza trigonometrica), che con le formule di addizione e sottrazione degli angoli per le funzioni seno, coseno e tangente.

Estensione delle definizioni delle funzioni goniometriche per angoli maggiori di π/2.

Le precedenti definizioni sono relative ad angoli acuti di un triangolo rettangolo, compresi quindi in sensostretto tra 0 e π/2. Negli estremi 0 e π/2 valgono le seguenti convenzioni:

sin(0) = 0 sin(π/2) = 1 cos(0) = 1 cos(π/2) = 0 tan(0) = 0 tan(π/2) = +∞

Per angoli maggiori di π/2 la stessa definizione può essere applicata considerando i triangoli rettangoli formati con l'asse delle ascisse in una qualsiasi circonferenza, e in particolare in quella goniometrica di raggio unitario, ed il segno dei cateti b e c, mentre quello dell'ipotenusa è da assumere sempre positivo.Ogni angolo del II quadrante (misurato in senso antiorario) può essere pensato come somma di un angolo acuto β con π/2: α = β+π/2

Ogni angolo del III quadrante (misurato in senso antiorario) può essere pensato come somma di un angolo acuto β con π: α = β+π


Ogni angolo del IV quadrante (misurato in senso antiorario) può essere pensato come somma di un angolo acuto β con 3/2 π: α = β+3/2 π

Queste equivalenze vengono normalmente indicate come riduzioni al I quadrante e si dimostrano facilmente considerando i triangoli rettangoli uguali nel I e II quadrante, oppure nel I e III quadrante oppure nel I e IV quadrante, rispettivamente.

Per non avere dubbi sui segni e sulle funzioni, si può utilizzare la seguente regola generale:

Il seno di un angolo α maggiore di π/2, è uguale, a meno del segno, al seno dell'angolo associato mediante un numero pari di multipli di π/2 o al coseno dell'angolo associato mediante un numero dispari di multipli di π/2; il segno della funzione è quello di sin(α).

Ad esempio:

Il coseno di un angolo α maggiore di π/2, è uguale, a meno del segno, al coseno dell'angolo associato mediante un numero pari di multipli di π/2 o al seno dell'angolo associato mediante un numero dispari di multipli di π/2; il segno della funzione è quello di cos(α).


Ad esempio:

La tangente di un angolo α maggiore di π/2, è uguale, a meno del segno, alla tangente dell'angolo associato mediante un numero pari di multipli di π/2 o all'inverso della tangente dell'angolo associato mediante un numero dispari di multipli di π/2; il segno della funzione è quello di tan(α).

Infatti:

Proprietà delle funzioni goniometricheDalla definizione delle funzioni goniometriche si ricava facilmente che le funzioni sin(x) e cos(x) assumono sempre valori compresi nell'intervallo [-1,1], mentre la funzione tan(x) può assumere tutti i valori reali compresi tra ]-∞ , + ∞[;per π/2 < x < π:

sin(x) > 0 cos(x) < 0 tan(x) < 0

sin(π) = 0 cos(π) = -1 tan(π) = 0

per π < x < 3/2 π:

sin(x) < 0 cos(x) < 0 tan(x) > 0

sin(3/2 π) = -1 cos(3/2 π) = 0 tan(3/2 π) = +∞

per 3/2 π < x < 2 π:

sin(x) < 0 cos(x) > 0 tan(x) < 0

sin(2 π) = 0 cos(2 π) = 1 tan(2 π) = 0


Ricordando poi la definizione di funzione crescente:

e quella di funzione decrescente:

o semplicemente osservando le figure, si può ricavare che:la funzione sin(x) è crescente nel I e IV quadrante, decrescente nel II e III quadrante;la funzione cos(x) è decrescente nel I e II quadrante, crescente nel III e IV quadrante;la funzione tan(x) è crescente nel I e III quadrante, decrescente nel II e IV quadrante.Questi andamenti possono essere rappresentati sinteticamente dalle seguenti figure, che individuano il segno (positivo o negativo, con i simboli + e -) e la crescenza o decrescenza (con le frecce ↑ e ↓) nei singoli quadranti:

Ad ulteriore chiarimento dell'andamento delle tre funzioni nell'intervallo [0, 2 π] forniamo la loro rappresentazione grafica:

funzione sin(x) in [0,2 π]


funzione cos(x) in [0,2 π]

funzione tan(x) in][-,π /2, π /2[

Le funzioni sin(x) e cos(x) sono periodiche di periodo T = 2 π , cioè assumono lo stesso valore in tutti gli angoli che differiscono tra loro di multipli interi di 2π o, in altri termini:

sin(x 2k∓ π) = sin(x) per k=0,1,2,3,.... e anche: cos(x 2k∓ π) = cos(x) per k=0,1,2,3,....mentre la funzione tangente è periodica di periodo T = π, cioè:tan(x k∓ π) = tan(x) per k=0,1,2,3,....


Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometricheCome si ricava facilmente dalle definizioni delle funzioni goniometriche fondamentali, se β e γ sono gli angoli acuti di un qualsiasi triangolo rettangolo, con cateti b e c rispettivamente ad essi opposti, si ha che:

e inoltre:

come conseguenza del teorema di Pitagora, visto che il quadrato costruito sull'ipotenusa (a2) è equivalente

alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (b2+c2).

Se poi x ed y sono due qualsiasi angoli misurati in radianti, si ha:

ove valgono i segni superiori o quelli inferiori nei due membri delle uguaglianze. Quelle riportate sopra sono le formule di addizione e sottrazione, facilmente memorizzabili e sempre molto utili nelle trasformazioni goniometriche.


VI - Equazioni e disequazioni goniometriche

Premettiamo la definizione di funzione periodica: Una funzione f(x) è periodica di periodo T se si verifica che:

f(x± kT) = f(x) con k=0,1,2,3,.... cioè se la funzione assume lo stesso valore (in valore e segno) in x, x± T, x±2T, x±3T,....

Tipiche funzioni periodiche sono quelle goniometriche: sin(x), cos(x), tan(x) di cui ci occuperemo dettagliatamente.

Le funzioni sin(x) e cos(x) sono periodiche di periodo T = 2π, mentre la funzione tan(x) è periodica di periodo T = π.

Pertanto, ad esempio, sin(x+10π) = sin(x-6π) = sin(x), ma sin(x+3π) ≠ sin(x).

Per quanto riportato sopra, lo studio di una funzione periodica qualunque, ed in particolare di una funzione goniometrica, può essere effettuato in un qualsiasi intervallo di valori di ampiezza pari al rispettivo periodo T, in quanto essa assume tutti i valori compresi tra il suo minimo ed il suo massimo. Sulla base di questa osservazione si può facilmente delineare una procedura generale per lo studio di una qualsiasi funzione periodica (e quindi anche per la risoluzione delle relative equazioni e disequazioni):

1. si studi la funzione (o si risolva l'equazione la disequazione assegnata) in un qualsiasi intervallo di ampiezza pari al periodo della funzione;

2. si determinino tutti gli altri valori possibili (che sono sempre infiniti) aggiungendo algebricamente un qualsiasi numero di periodi T ai valori determinati al punto 1).

Le difficoltà della ricerca delle soluzioni nascono da tre fattori distinti:

1. il numero delle funzioni presenti 2. il grado delle funzioni 3. l'uguaglianza o meno degli argomenti delle funzioni 4. il fatto che siano o meno omogenee (cioè che non abbiano o abbiano un termine noto)

Nota: Gli angoli sono espressi in radianti, misurati in senso antiorario. Gli angoli negativi sono quindi misurati in senso orario.

Per comodità del 'lettore', riportiamo di seguito alcuni valori delle tre funzioni principali per angoliche di solito si incontrano negli esercizi assegnati in classe; nella tabella sono indicati i valori inradianti ed in gradi sessagesimali:

G. Lironcurti - Cap. VI Equazioni e disequazioni goniometriche - 74

Valori del seno dell'angolo in [0 , π]:

0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

0 12

√22

√32

1 12

√22

√32

0

Valori del seno dell'angolo in [π , 2π[:

π 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/3

180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330°

0 −12

−√22

−√32

-1 −√32

−√22

−12

Valori del coseno dell'angolo in [0 , π]:

0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

1 √32

√22

12

0 −12

−√22

−√32

-1

Valori del coseno dell'angolo in [π , 2π[:

π 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/3

180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330°

-1 −√32

−√22

−12

0 12

√22

√32

Valori della tangente dell'angolo in ]-π/2 , π/2[:

-π/3 -π/4 -π/6 0 π/6 π/4 π/3

-60° -45° -30° 0° 30° 45° 60°

−√3 -1 −√33

0 √33

1 √3


Accanto alle soluzioni che si possono ricavare per gli angoli indicati nelle precedenti tabelle, per tutti gli altri è possibile utilizzare le tavole dei valori delle funzioni, una calcolatrice scientifica o un computer, ma riteniamo che sia sempre utile una rappresentazione grafica (anche approssimativa) del problema sulla circonferenza goniometrica o sul grafico della funzione all'interno del suo periodo: infatti tali 'schizzi' hanno il pregio notevole di individuare tutte le soluzioni all'interno del periodo, mentre, senza di essi, capita spesso di 'dimenticare' qualche soluzione (trascurando così una infinità di valori..). Ad esempio, l'equazione sin(y) = 0,5 ha certamente come soluzione y = π/4, ma ha anche y = 3/ 4 π , che viene spesso dimenticata. Esemplifichiamo perciò il metodo grafico per le singole funzioni:

Risoluzione dell'equazione sin(x) = m, con m [-1,1] e x [0, 2π [∈ ∈Utilizzando la circonferenza goniometrica: a) si individui, sull'asse delle ordinate della circonferenza, il valore m del sin(x); b) a partire da tale punto, si tracci la parallela all'altro asse, che taglierà la circonferenza in due puntiF e F' o sarà ad essa tangente (quando m = ± 1); c) le soluzioni dell'equazione, nell'intervallo [0,2π[ , sono quegli angoli al centro Q'OF' e Q'OF, misurati in radianti ed in senso antiorario; dunque se α è l'angolo Q'OF', π – α sarà l'angolo Q'OF.Tenendo conto della periodicità della funzione sin(x), le soluzioni dell'equazione saranno date da: x1 = α ± 2kπ e da x2 = π – α ± 2kπ; nel caso che m = 1, le soluzioni saranno x = π/2 ± 2kπ, mentreper m = -1 saranno x = 3/2π ± 2kπ.


Utilizzando il grafico della funzione seno (la linea verde indica il valore di m):

Risoluzione dell'equazione cos(x) = m, con m [-1,1] e x [0, 2π [∈ ∈ Utilizzando la circonferenza goniometrica: a) si individui, sull'asse delle ascisse della circonferenza, il valore m del cos(x); b) a partire da tale punto, si tracci la parallela all'asse delle ordinate, che taglierà la circonferenza in due punti F e F” o sarà ad essa tangente (quando m = ± 1); c) le soluzioni dell'equazione, nell'intervallo [0,2π[ , sono gli angoli al centro Q'OF e Q'OF”, misurati in radianti ed in senso antiorario; dunque se α è l'angolo Q'OF', – α sarà l'angolo Q'OF''.Tenendo conto della periodicità della funzione cos(x), le soluzioni dell'equazione saranno date da: x1 = α ± 2kπ e da x2 = – α ± 2kπ; nel caso che m = 1, le soluzioni saranno x = ± 2kπ, e perm = -1 saranno x = π ± 2kπ.


Utilizzando il grafico della funzione coseno (la linea verde rappresenta il valore di m):

Una volta determinate le soluzioni all'interno del periodo della funzione considerata, tutte le altre soluzioni dell'equazione goniometrica si ottengono aggiungendo e togliendo ad esse un numero qualsiasi di periodi; ad esempio, se le soluzioni dell'equazione sin(y) = m sono, all'interno di [ 0,2π [, y1 ed y2, tutte le altre soluzioni si possono scrivere sinteticamente:

y1 ± 2k π , con k=0,1,2,3,... e y2 ± 2k π , con k=0,1,2,3,...

Analogamente per l'equazione cos(y) = m.

Ovviamente il valore di m deve essere compreso nell'intervallo [-1, 1 ] sia per la funzione seno che per il coseno; se m è esterno a tale intervallo, l'equazione non ha soluzioni.

Risoluzione dell'equazione tan(x) = m, con m [-∞,+∞] e con x ] -π/2, π/2 [∈ Utilizzando la circonferenza goniometrica: a) si individui, sull'asse delle ordinate della circonferenza, il valore m della tan(x), (che in questo caso potrebbe essere esterno alla circonferenza, visto che m [-∞,+∞]); ∈b) a partire da tale punto, si tracci la parallela all'asse delle ascisse che incontrerà la retta tangente alla circonferenza per il punto Q' in un punto T; c) si unisca il punto T con l'origine O, individuando in tal modo il punto F di intersezione con la circonferenza (nel caso che m > 0) o il punto F”, costruito allo stesso modo sull'asse negativo (quando m < 0); d) la soluzione dell'equazione, nell'intervallo ] -π/2, π/2 [, è Q'OT (quando m è positivo) o Q'OT'' (quando m è negativo), misurati in radianti ed in senso antiorario per valori positivi ed in senso orario per valori negativi;


Utilizzando il grafico della funzione tangente (la linea verde indica il valore di m):

Nell'intervallo ]-π/2, π/2[, la soluzione, unica perché la tangente è crescente, sarà l'ascissa della intersezione della retta, parallela all'asse delle ascisse, condotta per il valore m della tan(x).Tutte le soluzioni dell'equazione sono individuate applicando a quella determinata in tal modo la periodicità della funzione (± kπ): x ± kπ

Contrariamente a quanto accade per le funzioni sen(x) e cos(x), che sono definite su tutto l'asse reale, in questo caso esistono punti di discontinuità in cui la funzione non è definita ( x = π/2 ± kπ).In questi punti la funzione cambia di segno, ma il fatto non comporta conseguenze sul numero o tipo delle soluzioni nei punti in cui la funzione è definita; vedremo invece che per le disequazioni questi punti rivestono un particolare ruolo. A causa dei punti di discontinuità, le soluzioni dovranno essere riferite a ciascun intervallo ] k π/2, (k+1) π/2 [, con k= 0, ± 1,± 2,± 3.....all'interno dei quali la funzione è continua.


Equazioni e disequazioni con una sola funzione : La forma generale sarà del tipo sin(f(x)) = m, con -1 ≤ m ≤ 1, oppure cos(f(x)) = m, con -1 ≤ m ≤ 1 (perchè al di fuori di tale intervallo l'equazione non ha certamente soluzione) o ancora tan(f(x)) = m,con m є ] - ∞1, + ∞1 [L'equazione si risolve sempre con uno dei seguenti sistemi:

y = f(x) y = f(x) y = f(x) sin(y) = m, con -1 ≤ m ≤ 1 cos(y) = m tan(y) = m

rispettivamente, trovando le soluzioni della seconda equazione (a cui sarà poi applicata la periodicità) per determinare i valori di x cercati, con la prima equazione.

Nei casi più semplici, la funzione f(x) potrà coincidere con la stessa variabile: f(x) = x e quindi la prima equazione del sistema sarà superflua.

Il primo problema da risolvere è dunque quello di trovare le soluzioni dell'equazione sin(y) = m, o cos(y) = m o ancora tan(y) = m, con le limitazioni già indicate per la costante m.

Vista la periodicità delle funzioni ( 2kπ per il seno ed il coseno e kπ per la tangente, ∓ ∓con k= 0, 1, 2,...), è sufficiente trovare quelle comprese in [0,2π[, sia per il seno che per il coseno e in ]-π/2,+π/2[ per la tangente, e poi aggiungere ad esse la periodicità indicata.

Visto che in ogni caso le soluzioni di un'equazione goniometrica sono in numero infinito, nella rappresentazione grafica, pur rimanendo inalterata la metodologia di risoluzione, potremo rappresentare solo alcune delle soluzioni (normalmente attorno al valore 0).

Facciamo un semplicissimo esempio: le soluzioni dell'equazione sin(x) = √2/2 sono: ¼ π e ¾ π (in [0,2π[) e quindi, sull'intero asse reale: x1 = ¼ π ± 2kπ e x2 = ¾ π ± 2kπ con la seguente rappresentazione grafica per l'intervallo ]-2π , +2π[: ----------[-7/4 π]---------[-5/4 π]------------[1/4 π]------------[3/4π]------------[9/4π]---------

Anche se i metodi da impiegare per la risoluzione sono tra loro simili, conviene trattare le singole funzioni separatamente.

Procedura per lo studio delle disequazioni goniometriche:La procedura per la risoluzione delle disequazioni goniometriche è del tutto analoga a quella impiegata nei casi precedenti per lo studio delle disequazioni intere, fratte, razionali, irrazionali ed in valore assoluto:1) si studia la corrispondente equazione (sostituendo quindi i simboli “>” o “<” con quello “=”);2) si annotano le singolarità delle funzioni (cioè dei punti in cui la funzione non è definita);3) si riportano su un unico grafico tutti gli zeri della funzione all'interno di un opportuno intervallo (normalmente multiplo del periodo), evidenziandone la molteplicità dispari con due parentesi quadre [ ], quella pari con due parentesi tonde ( ) e gli eventuali punti di discontinuità


con un pallino • 4) si individua il segno della funzione in tutto l'intervallo e si stabilisce l'insieme di verità a seconda del verso della disequazione originaria.A causa della periodicità delle funzioni, non potremo individuare un 'termine dominante', che non esiste più, e quindi, per stabilire il segno del polinomio a primo membro della disequazione in tutti gli intervalli (che ora sono infiniti), dovremo calcolarlo in un opportuno intervallo, alternando o meno i segni negli intervalli successivi o precedenti.

Ricordiamo ancora una volta che la periodicità va applicata alla funzione e non al suo argomento.

A differenza di quanto accade per le soluzioni delle equazioni, nel caso delle disequazioni ha interesse la determinazione delle eventuali molteplicità in quanto, come più volte ricordato, ad una molteplicità dispari (o ad un punto di discontinuità) corrisponde un cambio di segno, mentre a quella pari una permanenza. Dunque, se l'equazione ha una sola 'famiglia' di valori (come accade per la funzione tangente) tutte le soluzioni avranno una molteplicità dispari, mentre se l'equazione ha due 'famiglie' di valori (come per le funzioni seno e coseno) bisognerà sempre verificare che nonesistano due valori k1 e k2 per cui valga l'uguaglianza:

y1 ± 2k1 π = y2 ± 2k2 π(ove y1 e y2 sono le soluzioni nell'intervallo ] 0,2π [), che individuerebbero una molteplicità pari.

Ci limiteremo ad un solo esempio per ogni tipo di disequazione poichè l'estensione a quelli analoghi(cioè, quelli con un verso opposto) sono del tutto immediate e facciamo esplicitamente notare che quando la disequazione in senso stretto (> o <) è sostituita da o da le soluzioni includono anche i punti di cambiamento del segno.


Risoluzione di equazioni e disequazioni in sin(f(x))

Esempio – 1.1: risolvere la seguente equazione goniometrica in sin(x):sin(x) = √2/2

Utilizzando la circonferenza goniometrica o le tavole o semplicemente ricordando che, nell'intervallo [0, 2π [, sin(1/4 π) = sin(3/4 π) = √2/2, tutte le soluzioni dell'equazione sono date da:

x1 = 1/4 π ± 2k π e da x2 = 3/4 π ± 2k πalcune delle quali possono essere riportate in ordine crescente in un unico grafico: …. [( 1/4 -2) π] , [( 3/4 -2) π], [ 1/4π] , [3/4 π], [(1/4+2) π], [(3/4+2) π], …........

Disequazione sin(x) > √2/2 o sin(x) ≤ √2/2Una volta così determinate le soluzioni, per ricavare il segno in tutti gli intervalli da queste individuati, calcoliamo il segno della funzione sin(x) - √2/2 nell'intervallo [( 3/4 -2) π, 1/4π ] che comprende lo zero; in tale intervallo la funzione è negativa e quindi, visto che le soluzioni hanno tutte la molteplicità dispari (V.Nota a1), il grafico della disequazione sarà:–---[( 1/4 -2) π]++++[( 3/4 -2) π]----[ 1/4π]++++[3/4 π]-----[(1/4+2) π]++++[(3/4+2) π]----.come può essere verificato dal suo grafico cartesiano:

Dunque l'insieme di verità della disequazione sin(x) > √2/2 sarà:...]( 1/4 -2) π, ( 3/4 -2) π[ U ]1/4π],3/4 π[ U ]1/4+2) π, (3/4+2) π[.......

mentre quello della disequazione sin(x) ≤ √2/2 sarà:…...[( 3/4 -2) π, 1/4π] U [3/4 π, (1/4+2) π]....

Nota a1: Le soluzioni hanno molteplicità pari se esistono due numeri interi k1 e k2 tali che:1/4 π ± 2k1 π = 3/4 π ± 2k2 π → ± 2k1 = 1/2 ± 2k2

cosa impossibile perché k1 e k2 sono interi positivi. Se poi il parametro m = ±1, le soluzioni avranno sempre molteplicità pari.


Esempio – 1.2: risolvere la seguente equazione goniometrica in sin(f(x)):sin(3x - 5) = 1/2

Nel caso che l'argomento della funzione non sia semplicemente la variabile x, conviene utilizzare una variabile ausiliaria, posta uguale all'argomento, per evitare errori legati alla periodicità: tale periodicità è infatti riferita alla funzione seno e non alla variabile x.Poniamo quindi 3x-5 = u e trasformiamo l'equazione assegnata nel sistema:

y = 3x-5 sin(y) = 1/2

Partendo dalla seconda equazione, si ottiene facilmente:

y1 = 1/4 π ± 2k π , con k=0,1,2,3,... e y2 = 3/4 π ± 2k π , con k=0,1,2,3,...

A questo punto, per determinare i valori richiesti di x, si sostituiscano nella prima equazione del sistema ottenendo le soluzioni:

x1 = 1/12 π ± 2/3 k π + 5/3 e x2 = 3/12 π ± 2/3 k π + 5/3 con k = 0,1,2,3,...con alcune soluzioni:… [-15/12 π +5/3], [-7/12 π +5/3], [1/12 π +5/3], [3/4 π +5/3], [17/12 π +5/3] ….

Disequazione sin(3x - 5) < 1/2 o sin(3x - 5) > 1/2Una volta così determinate le soluzioni, per ricavare il segno in tutti gli intervalli da queste individuati, calcoliamo il segno della funzione sin(3x - 5) - 1/2 nell'intervallo [-7/12 π +5/3], [1/12 π +5/3] che comprende lo zero; in tale intervallo la funzione è positiva e quindi, visto che le soluzioni hanno tutte la molteplicità dispari (v. Nota a2), il grafico della disequazione sarà:...++[-15/12 π +5/3]---[-7/12 π +5/3]+++1/12 π +5/3]---[3/4 π +5/3]+++[17/12 π +5/3]---...come può essere verificato dal suo grafico cartesiano:

Dunque l'insieme di verità della disequazione sin(3x - 5) < 1/2 sarà:


..]-15/12 π +5/3, -7/12 π +5/3[ U ]1/12 π +5/3, 3/4 π +5/3[..mentre quello della disequazione sin(3x - 5) > 1/2 sarà:

...]-7/12 π +5/3, 1/12 π +5/3[ U ]3/4 π +5/3, 17/12 π +5/3[....

Nota a2: Le soluzioni hanno molteplicità pari se esistono due numeri interi k1 e k2 tali che: 1/12 π ± 2/3 k1 π + 5/3 = 3/12 π ± 2/3 k2 π + 5/3 → ± 2/3 k1 = 1/6 ± 2/3 k2

cosa impossibile perché k1 e k2 sono interi positivi.Se poi il parametro m = ±1, le soluzioni avranno sempre molteplicità pari.

Esempio – 1.3: risolvere la seguente equazione goniometrica in sin(f(x)):sin(x+ π/4) = 1/2

Poniamo quindi x+ π/4 = u e trasformiamo l'equazione assegnata nel sistema:u = x+ π/4sin(u) = 1/2

e risolviamo, col metodo grafico accennato, la seconda equazione, ricavando poi, dopo aver assegnato la periodicità della funzione nella prima equazione, i valori di x richiesti. Notiamo esplicitamente che le soluzioni della seconda equazione nell'intervallo [0 - 2π[ possono essere ricavate dalle tavole dei valori del seno, quando, come invece accade in questo caso, non corrispondano a valori noti dell'angolo.Ricaviamo facilmente che i valori di u che soddisfano l'equazione, nell'intervallo [0 - 2π[, sono: u1 = π/6 e u2 = π - π/6.

A queste due soluzioni dobbiamo applicare la periodicità della funzione seno, ricavando le soluzionivalide su tutto l'asse reale:

x1 + π/4 = π/6 ± 2kπ e x2 + π/4 = π - π/6 ± 2kπ con k = 0, 1, 2, ...e cioè:x1 = - π/12 ± 2kπ e x2 = 7/12 π ± 2kπ con k = 0, 1, 2, …

con la rappresentazione su un unico grafico di alcune delle soluzioni per la funzione y = sin(x+ π/4) – 1/2

…. [-49/12 π], [-25/12 π], [-17/12 π], [-π/12], [7/12 π], [23/12 π], [31/12π].....

Disequazione sin (x + 1/4 π) > 1/2 o sin (x + 1/4 π) < 1/2Una volta così determinate le soluzioni, per ricavare il segno in tutti gli intervalli da queste individuati, calcoliamo il segno della funzione sin(x + 1/4 π) - 1/2 nell'intervallo ]-1/12 π, , 7/12 π[ che comprende lo zero; in tale intervallo la funzione è positiva e quindi, visto che le soluzioni hanno tutte la molteplicità dispari (V.Notaa3), il grafico della disequazione sarà:

…. ]-49/12 π[–---]-25/12 π[++++]-17/12 π[–---]-π/12[++++]7/12 π[----]23/12 π[++++]31/12π[.....come può essere verificato dal suo grafico cartesiano:


Dunque l'insieme di verità della disequazione sin(x + 1/4 π) > 1/2 sarà:...]-25/12 π[ , ]17/12 π[ U ]-π/12[ , ]7/12 π[ U ]23/12 π[ , ]31/12π[....

mentre quello della disequazione sin(x + 1/4 π) < 1/2 sarà:…. ]-49/12 π[ , ]-25/12 π[ U ]-17/12 π[ , ]-π/12[ U ]7/12 π[ , ]23/12 π[.....

Nota a3: Le soluzioni hanno molteplicità pari se esistono due numeri interi k1 e k2 tali che: - π/12 ± 2k1 π = 7/12 π ± 2k2 π → ± 2 k1 = 1/3 ± 2 k2



Risoluzione di equazioni e disequazioni in cos(f(x))

Esempio 2.1: risolvere la seguente equazione goniometrica in cos(x):cos(x) = 1/2

Utilizzando la circonferenza goniometrica o le tavole o semplicemente ricordando che, nell'intervallo [0, 2π [, cos(1/3 π) = cos(5/6 π) = 1/2, tutte le soluzioni dell'equazione sono date da:

x1 = 1/6 π ± 2k π e da x2 = 5/6 π ± 2k πalcune delle quali possono essere riportate in ordine crescente in un unico grafico:… [-7/3 π], [-5/3 π], [-1/3 π], [1/3 π], [5/3 π], [7/3 π], [11/3 π], [-11/3 π], [13/3 π] ….

Disequazione cos(x) > 1/2 o cos(x) < 1/2Una volta così determinate le soluzioni, per ricavare il segno in tutti gli intervalli da queste individuati, calcoliamo il segno della funzione cos(x) - 1/2 nell'intervallo ]-1/3 π[ , ]1/3 π[che comprende lo zero; in tale intervallo la funzione è positiva e quindi, visto che le soluzioni hannotutte la molteplicità dispari (V. Nota b1), il grafico della disequazione sarà:..]-7/3 π[+++]-5/3 π[---]-1/3 π[+++]1/3 π[---]5/3 π[++++]7/3 π[---]11/3 π[+++]-11/3 π[---]13/3 π[….

come può essere verificato dal suo grafico cartesiano:

Dunque l'insieme di verità della disequazione cos(x) > 1/2 sarà:..]-7/3 π , -5/3 π[ U ]-1/3 π, 1/3 π[ U ]5/3 π, 7/3 π[ U ]11/3 π, -11/3 π[….

mentre quello della disequazione cos(x) < 1/2 sarà:..]-5/3 π, -1/3 π[ U ]1/3 π, 5/3 π[ U ]7/3 π,11/3 π[ U ]-11/3 π,13/3 π[….

Nota b1: Le soluzioni hanno molteplicità pari se esistono due numeri interi k1 e k2 tali che: 1/6 π ± 2k1 π = 5/6 π ± 2k2 π → ± 2 k1 = 2/3 ± 2 k2

cosa impossibile perché k1 e k2 sono interi positivi.


Se poi il parametro m = ±1, le soluzioni avranno sempre molteplicità pari.

Esempio 2.2: risolvere la seguente equazione goniometrica in cos(x):

cos (x/2) = - 1/2Nel caso che l'argomento della funzione non sia semplicemente la variabile x, conviene utilizzare una variabile ausiliaria, posta uguale all'argomento, per evitare errori legati alla periodicità: tale periodicità è infatti riferita alla funzione coseno e non alla variabile x.

Converrà dunque risolvere il sistema:

u = x/2cos (u) = - 1/2

partendo dalla soluzione della seconda equazione, ricavata col metodo grafico sopra ricordato.Per determinare i valori di x, assegneremo la periodicità della funzione a tali soluzioni, e otterremo

i due valori: u1 = 2/3 π ± 2kπ e u2 = -2/3 π ± 2kπ, con k=0,1,2,3,...

Da queste si ricavano le soluzioni in x (sostituendo ad u x/2) e ottenendo infine:x1 = 4 π (1/3 ± k) e x2 = 4 π (-1/3 ± k)

con la rappresentazione su un unico grafico alcune delle soluzioni richieste per la funzione y = cos (x/2) + 1/2 :

….[-28/3 π], [-20/3 π], [-16/3 π], [-8/3 π], [-4/3 π], [4/3 π], [8/3 π], [16/3 π], [20/3 π], [28/3 π] ….

Disequazione cos (x/2) > -1/2 o cos (x/2) < -1/2Una volta così determinate le soluzioni, per ricavare il segno in tutti gli intervalli da queste individuati, calcoliamo il segno della funzione cos(x) + 1/2 nell'intervallo ]-4/3 π, 4/3 π[ che comprende lo zero; in tale intervallo la funzione è positiva e quindi, visto che le soluzioni hanno tutte la molteplicità dispari (V. Nota b2), il grafico della disequazione sarà:..]-28/3 π[+++]-20/3 π[---]-16/3 π[+++]-8/3 π[---]-4/3 π[+++]4/3 π[---]8/3 π[+++]16/3 π[---]20/3 π[+++]28/3 π[..



Dunque l'insieme di verità della disequazione cos(x) > -1/2 sarà:..]-28/3 π,-20/3 π[ U ]-16/3 π,-8/3 π[ U ]-4/3 π,4/3 π[ U ]8/3 π,16/3 π[ U ]20/3 π,28/3 π[..

mentre quello della disequazione cos(x) < -1/2 sarà:..]-20/3 π,-16/3 π[ U ]-8/3 π,-4/3 π[ U ]4/3 π,8/3 π[ U ]16/3 π,20/3 π[...

Nota b2: Le soluzioni hanno molteplicità pari se esistono due numeri interi k1 e k2 tali che: 4 π (1/3 ± k1) = 4 π (-1/3 ± k2)→ ± k1 = -2/3 ± k2


Esempio – 2.3: risolvere la seguente equazione goniometrica in cos(f(x)):cos (2x – 1/6 π) = cos (x + 1/4 π)

In questo caso, come poi del resto abbiamo implicitamente fatto anche nei casi precedenti, se le due funzioni hanno lo stesso valore, dovrà verificarsi che:

2x – 1/6 π = x + 1/4 π ± 2k π , con k=0,1,2,3,..2x – 1/6 π = 2 π - x - 1/4 π ± 2k π , con k=0,1,2,3,..

e quindi tutte le soluzioni saranno date da:x1 = 5/12 π ± 2k π e x2 = -1/36 π ± 2k π , con k=0,1,2,3,..

con alcune soluzioni da riportare su un unico grafico:... [-43/12 π], [-73/36 π],[-19/12 π], [-1/36 π],

[5/12 π], [71/36 π], [29/12 π], [23/36 π], [143/36 π] ..

Disequazione cos (2x-1/6 π) > cos (x + 1/4 π) o cos (2x-1/6 π) < cos (x + 1/4 π) Una volta così determinate le soluzioni, per ricavare il segno in tutti gli intervalli da queste individuati, calcoliamo il segno della funzione cos (2x-1/6 π) - cos (x + 1/4 π) nell'intervallo ]-1/36 π, 5/12 π[ che comprende lo zero; in tale intervallo la funzione è positiva e quindi, visto che

le soluzioni hanno tutte la molteplicità dispari (V. Nota b3), il grafico della disequazione sarà:…]-43/12 π[–-]-73/36 π[+++]-19/12 π[ –-]-1/36 π[+++]5/12 π[---]71/36 π[+++]29/12 π[---]23/36 π[...



Dunque l'insieme di verità della disequazione cos (2x-1/6 π) > cos (x + 1/4 π) sarà:…]-73/36 π, -19/12 π[ U ]-1/36 π,5/12 π[ U ]71/36 π,29/12 π[...

mentre quello della disequazione ccos (2x-1/6 π) < cos (x + 1/4 π) sarà:…]-43/12 π, -73/36 π[ U ]-19/12 π,-1/36 π[ U ]5/12 π, 71/36 π[ U ]29/12 π, 23/36 π[...

Nota b3: Le soluzioni hanno molteplicità pari se esistono due numeri interi k1 e k2 tali che: 5/12 π ± 2k1 π = -1/36 π ± 2k2 π → ± 2 k1 = -4/9 ± 2k2

cosa impossibile perché k1 e k2 sono interi positivi.


Risoluzione di equazioni e disequazioni in tan (f(x))

Esempio – 3.1: risolvere la seguente equazione goniometrica in tan(x):tan (x) = √3/3

Utilizzando la circonferenza goniometrica o le tavole o semplicemente ricordando che, nell'intervallo ]-1/2 π, 1/2 π [, tan(1/6 π) = √3/3, tutte le soluzioni dell'equazione sono date da:

x = 1/6 π ± k π alcune delle quali possono essere riportate in ordine crescente in un unico grafico:… [-17/6 π], [-11/6 π], [-5/6 π], [1/6 π], [7/6 π], [13/6 π], [19/6 π] ….

Disequazione tan(x) > √3/3 o tan(x) < √3/3Una volta così determinate le soluzioni reali, per ricavare il segno in tutti gli intervalli, dobbiamo inserire fra queste gli eventuali punti di discontinuità che in questo caso sono individuati da: x = ± (2k+1) π, con k=0,1,2,3... -che indicheremo col ● - poiché in essi cambia il segno della funzione tan(x) - √3/3; di conseguenza il suo grafico viene così modificato:

… [-17/6 π],(●) - 5/2π, [-11/6 π], (●) - 3/2π, [-5/6 π],(●) - 1/2π, [1/6 π], (●) 3/2π, [7/6 π], [13/6 π], (●) 5/2π, [19/6 π] ….

Calcoliamo ora il segno della funzione tan(x) - √3/3 in un intervallo compreso tra una delle soluzioni e il successivo punto di discontinuità o, come in questo caso è più comodo, tra un punto di discontinuità e la successiva soluzione, ad esempio: ] -1/2π, 1/6 π [ (che comprende lo zero), in cui la funzione assume un valore negativo; visto che le soluzioni hanno tutte molteplicità dispari, il grafico della disequazione sarà:

… ]- 5/2π[–-]-11/6 π[+++]- 3/2π[–-]-5/6 π[+++]- 1/2π[---]1/6 π[+++]1/2π[---]7/6 π]...,come si può verificare dal suo grafico:

Dunque l'insieme di verità della disequazione tan(x) > √3/3 sarà:… ]-11/6 π, 3/2π[ U ]-5/6 π, - 1/2π[ U ]1/6 π, 1/2π[...


mentre quello della disequazione tan(x) < √3/3 sarà: ...]- 5/2π, -11/6 π[ U ]- 3/2π, -5/6 π[ U ]- 1/2π, 1/6 π[ U ]1/2π, 7/6 π]...

Esempio – 3.2: risolvere la seguente equazione goniometrica in tan(x):tan (4x) = -1

Utilizzando la circonferenza goniometrica o le tavole o semplicemente ricordando che, nell'intervallo ]-1/2 π, 1/2 π [, tan(-1/4 π) = -1, tutte le soluzioni dell'equazione sono date da:

4x = -1/4 π ± k π → x = -1/16 π ± k/4 π alcune delle quali possono essere riportate in ordine crescente in un unico grafico:… [-13/16 π], [-9/16 π], [-5/16 π], [-1/16 π], [3/16 π], [7/16 π], [11/16 π] ….

Disequazione tan(4x) > -1 o tan(4x) < -1Una volta così determinate le soluzioni reali, per ricavare il segno in tutti gli intervalli, dobbiamo inserire fra queste gli eventuali punti di discontinuità che in questo caso sono individuati da: 4x = ±(2k+1) π/2 → x = ±(2k+1) π/8 → x = ±(4k+2) π/16, con k=0,1,2,3... -che indicheremo col ● - poiché in essi cambia il segno della funzione tan (4x) + 1; di conseguenza il suo grafico viene così modificato:…(●-14/16 π), [-13/16 π], (●-10/16 π), [-9/16 π], (●-6/16 π), [-5/16 π], (●-2/16 π), [-1/16 π], (●2/16 π), [3/16 π], (●6/16 π), [7/16 π], (●10/16 π), [11/16 π], (●14/16 π), …Calcoliamo ora il segno della funzione tan (4x) + 1 in un intervallo compreso tra una delle soluzioni e il successivo punto di discontinuità, ad esempio in: ]-1/16 π, 2/16 π [ (che comprende lozero), in cui la funzione assume un valore positivo; visto che le soluzioni hanno tutte molteplicità dispari, il grafico della disequazione sarà:…(●-14/16 π)–-]-13/16 π[+++(●-10/16 π)–-]-9/16 π[+++(●-6/16 π)---]-5/16 π[+++(●-2/16 π)---]-1/16 π[+++ (●2/16 π)---]3/16 π[+++(●6/16 π)---]7/16 π[+++(●10/16 π)---]11/16 π[+++(●14/16 π), …

con la rappresentazione grafica:


Esempio – 3.3: risolvere la seguente equazione goniometrica in tan(x):tan (x/2) = - √3

da cui: tan (x/2) = tan (- π/3) → x/2 = - π/3 ± k π → x = -2/3 π ± 2 k π Alcune delle quali possono essere riportate in ordine crescente in un unico grafico:

… [-20/3 π], [-14/3 π], [-8/3 π], [-2/3 π], [4/3 π], [10/3 π], [16/3 π], ….

Disequazione tan (x/2) > - √3 o tan (x/2) < - √3Una volta così determinate le soluzioni reali, per ricavare il segno in tutti gli intervalli, dobbiamo inserire fra queste gli eventuali punti di discontinuità che in questo caso sono individuati da: x/2 = ±(2k+1) π/2 → x = ±(2k+1) π → x = ± 3 (2k+1) π/3, con k=0,1,2,3... -che indicheremo col ● - poiché in essi cambia il segno della funzione tan (x/2) + √3; di conseguenza il suo grafico viene così modificato:

… [-20/3 π], (●-5 π), [-14/3 π], (●-3 π),[-8/3 π],(●- π), [-2/3 π], (● π),[4/3 π],(●3 π), [10/3 π], (● 5 π), ….

Calcoliamo ora il segno della funzione tan (x/2) + √3 in un intervallo compreso tra una delle soluzioni e il successivo punto di discontinuità, ad esempio in: ]-2/3 π, π[ (che comprende lo zero), in cui la funzione assume un valore positivo; visto che le soluzioni hanno tutte molteplicità dispari, il grafico della disequazione sarà:

… ] -20/3 π [+++] -5 π [---]-14/3 π [+++] -3 π [---]-8/3 π [+++] - π [--- ]-2/3 π [+++] π [---]4/3 π [+++] 3 π [–-]10/3 π [+++] 5 π [ ….

con la rappresentazione grafica:


Risoluzione di alcune equazioni e disequazioni goniometriche riconducibili ai casi precedentiTutte le equazioni goniometriche di secondo grado (anche complete), binomie, reciproche di 3° o 4°grado o biquadratiche, in una sola funzione (sin (f(x) oppure cos (f(x) oppure tan (f(x)), si risolvono sempre introducendo una variabile ausiliaria in modo da trasformare l'equazione data (espressa mediante una funzione goniometrica) in una algebrica equivalente.In pratica, per un'equazione di II grado in sin (f(x)): a sin2 (f(x)) ± b sin(f(x)) ± c = 0, con il sistema:

u = sin (f(x) a u2 ± b u ± c = 0

e analogamente per le altre funzioni goniometriche;un'equazione binomia del tipo: cos n (f(x)) ± m = 0 (ove sia possibile la scomposizione), con il sistema:

u = cos (f(x) un ± m = 0

e analogamente per le altre funzioni goniometriche;un'equazione reciproca di 3° grado di I o II tipo: a tan3 (f(x)) -b tan2 (f(x)) -b tan (f(x)) + a = 0 oppure a tan3 (f(x)) +b tan2 (f(x)) -b tan (f(x)) - a = 0, con i sistemi:

u = tan (f(x) u = tan (f(x) a u3 -b u2 -b u + a = 0 a u3 + b u2 - b u - a = 0

rispettivamente e analogamente per le altre funzioni goniometriche;Un'analoga procedura si potrà ovviamente utilizzare per le reciproche di 4° grado e per le biquadratiche.

Le soluzioni delle seconde equazioni dei sistemi dovranno poi essere sostituite nelle prime equazioni rispettive facendo attenzione ad escludere quei valori non ammessi, ad esempio i valori di u tali che |u| > 1 nei casi che la funzione goniometrica sia sin(f(x)) o cos(f(x)).

Anche in questo caso, per le disequazioni, è sempre necessario verificare la molteplicità delle soluzioni prima di stabilire in maniera automatica il segno della funzione nei singoli intervalli.

Ad esempio, la risoluzione dell''equazione sin2(3x-1) = 1/2 viene riportata a quella del sistema:

u = sin (3x – 1)u2 – 1/2 = 0

che fornisce: u1 = 1/√2 e u2 = -1/√2, tutte e due accettabili perché interne all'intervallo [-1,1];con la sostituzione nella prima equazione si hanno le due equazioni:

sin (3x – 1) = 1/√2 e sin (3x – 1) = -1/√2 Ricordando che sin (π/4) = 1/√2 e che sin (-π/4) = -1/√2, le soluzioni del sistema saranno date, rispettivamente da:

3x – 1 = π/4 ± 2 k π → x = 1/3 + π/12 ± 2/3 k π3x – 1 = - π/4 ± 2 k π → x = 1/3 - π/12 ± 2/3 k π

con alcune soluzioni da riportare su un unico grafico:... [-13/12 π], [-11/12 π],[-5/12 π], [-3/12 π], [3/12 π],


[5/12 π], [11/12 π], [13/12 π], [19/12 π], [21/12 π] ..

Disequazione sin2 (3x-1) > 1/2 o sin2 (3x-1) < 1/2

Una volta così determinate le soluzioni, per ricavare il segno in tutti gli intervalli da queste

individuati, calcoliamo il segno della funzione sin2 (3x-1) - 1/2 nell'intervallo

]-3/12 π, 3/12 π[ che comprende lo zero; in tale intervallo la funzione è positiva. Per verificare la molteplicità delle soluzioni, andiamo a cercare due numeri interi k1 e k2 per cui risulti:

1/3 + π/12 ± 2/3 k1 π = 1/3 - π/12 ± 2/3 k2 π → ± k1 = -1/4 ± k2 evidentemente mai verificata. Dunque le soluzioni hanno sempre una molteplicità dispari e quindi ilgrafico della disequazione sarà:

... ]-13/12 π[---]-11/12 π[+++]-5/12 π[---]-3/12 π[+++]3/12 π[--- ]5/12 π[+++]11/12 π[---]13/12 π[+++]19/12 π[---]21/12 π[ ..

come si può verificare con la rappresentazione grafica della funzione sin2(3x-1) – ½:

Dunque l'insieme di verità della disequazione sin2 (3x-1) > 1/2 sarà:

…]-11/12 π, -5/12 π[ U ]-3/12 π, 3/12 π[ U ]5/12 π, 11/12 π[ U ]13/12 π, 19/12 π[ ..

mentre quello della disequazione sin2 (3x-1) < 1/2 sarà:

...]-13/12 π, -11/12 π[ U ]-5/12 π, -3/12 π[ U ]3/12 π, 5/12 π[ U ]11/12 π, 13/12 π[ U ]19/12 π, 21/12 π[ ...


Risoluzione di equazioni e disequazioni del tipo sin(f(x)) = sin(g(x)) e analogheE' il caso di un'equazione che coinvolga una stessa funzione, ma con argomenti diversi nei due membri.In questi casi, bisogna tener presente che l'uguaglianza dei valori delle due funzioni comporta sia quella degli argomenti (a meno del periodo), che quella degli angoli ad essi associati, distinti per ciascuna funzione:

• l'equazione sin(f(x)) = sin(g(x)) è soddisfatta sia per:

• f(x) = g(x)± 2kπ per la periodicità della funzione, che per

• f(x) = π-g(x)± 2kπ, essendo π-g(x) l'angolo associato a g(x) con lo stesso seno.

• l'equazione cos(f(x)) = cos(g(x)) è soddisfatta sia per:

• f(x) = g(x)± 2kπ per la periodicità della funzione, che per

• f(x) = -g(x)± 2kπ, essendo -g(x) l'angolo associato a g(x) con lo stesso coseno.

• mentre l'equazione tan(f(x)) = tan(g(x)) è soddisfatta per f(x) = g(x)± kπ.

Ad esempio: cos (2x) = cos (3x)

ha per soluzioni:

con alcune soluzioni da riportare su un unico grafico:... [-2 π], [-4/5 π],[-2/5 π], 0, [2/5 π], [4/5 π], [2 π] ..

Disequazione cos (2x) > cos (3x) o cos (2x) < cos (3x) Una volta così determinate le soluzioni, per ricavare il segno in tutti gli intervalli da queste individuati, calcoliamo il segno della funzione cos (2x) - cos (3x) nell'intervallo ] 0, 2/5 π[ nel quale è positiva. Per verificare la molteplicità delle soluzioni, andiamo a cercare due numeri interi k1 e k2 per cui risulti:

± 2 k1 π = ± 2/5 k2 π → ± k1 = ± 1/5 k2 verificata per tutti i k2 = 5 k1 In questo caso dunque, esistono soluzioni (a cominciare dallo 0) che hanno molteplicità pari e quindi non comportano un cambio di segno; il grafico della disequazionesarà pertanto:

... ]-2 π[+++]-4/5 π[---]-2/5 π[+++(0)++],2/5 π[---]4/5 π]+++]2 π[ ..

come può essere verificato dal grafico della funzione cos (2x) = cos (3x) nell'intervallo [-10, 10]:


o in quello [-50, 50]

Dunque l'insieme di verità della disequazione cos (2x) > cos (3x) sarà:... ]-2 π, -4/5 π[ U ]-2/5 π, 0[ U ]0, 2/5 π[ U ]4/5 π, 2 π[ ...

mentre quello della disequazione cos (2x) < cos (3x) sarà:...]-4/5 π, -2/5 π[ U ] 2/5 π, 4/5 π [..


Risoluzione di equazioni omogenee e non, in più funzioniNel caso che le funzioni con cui è espressa l'equazione siano tra loro diverse, ma con lo stesso argomento e l'equazione sia omogenea (cioè senza termine noto), si dovrà operare con le trasformazioni per unificarle in una stessa funzione, utilizzando multipli dispari di π/2 che fannocorrispondere al cos(y) il sin(y) o viceversa e procedere poi con i metodi sopra esposti.Così, ad esempio l'equazione sin (2x) = cos (2x) può essere risolta trasformandola nella: sin(2x) = sin(π/2-2x) o utilizzando una qualsiasi altra relazione tra le funzioni coinvolte (vedere paragrafo degli angoli associati o le regole generali per le relazioni tra gli angoli associati indicate nel paragrafo estensione delle definizioni delle funzioni goniometriche per angoli maggiori di π/2).Per la loro grande utilità ricordiamo le più importanti formule, fra tutte quelle che solitamente sono propinate agli studenti, da applicare per queste trasformazioni, lasciando al lettore le ulteriori considerazioni:Se a e b sono gli angoli acuti di un triangolo rettangolo, vale la relazione fondamentale:

sin2 (x) + cos2 (x) = 1 che ci permette di ricavare cos (x) in funzione di sin (x);

sin (x+ y)=sin (x )⋅cos( y )+cos (x)⋅sin ( y )

sin (x− y)=sin (x )⋅cos( y)−cos(x )⋅sin( y)

cos(x+ y)=cos(x )⋅cos ( y)−sin (x )⋅sin( y)

cos(x− y)=cos( x)⋅cos( y)+sin (x )⋅sin( y)

tan( x+ y)=( tan (x)+ tan( y ))

(1−tan( x)⋅tan ( y ))

tan( x−y )=( tan (x)−tan( y ))

(1+ tan( x)⋅tan ( y ))

(formule di addizione e sottrazione) dalle quali è possibile ricavare molte relazioni tra seni, coseni e tangenti di angoli di ampiezza diversa e quindi tutte le relazioni fra gli angoli associati, le formule di duplicazione: sin (2x), cos (2x), tan (2x), quelle di bisezione: sin (x/2), cos (x/2) e tan (x/2) in funzione degli angoli doppi -utilizzando anche la relazione fondamentale- e quelle di prostaferesi che si riferiscono alla somma e differenza tra 2 seni o due coseni: sin (x) ± sin(y) o cos (x) ± cos (y) -da non confondere con le formule di addizione e sottrazione!!

Nel caso che le due funzioni siano cos(f(x)) e sin(f(x)) (cioè quando le due funzioni hanno lo stesso argomento), è possibile dividere ambo i membri per il coseno, escludendo però tutti i valori degli angoli che lo annullano: x ≠ π/2 k∓ π che sono punti in cui la funzione sin (f(x))/cos (f(x)) non è definita e cambia di segno.

Può comunque accadere che non sia possibile unificare le funzioni in cui è espressa l'equazione: in questo caso, potremo risolvere in maniera elementare solo alcuni tipi:

Equazioni e disequazioni omogenee (cioè senza termine noto) in sin (x) e cos(x)Cioè equazioni del tipo:a sin (f(x)) + b cos (f(x)) + c = 0 ( di I grado)a sin2 (f(x)) + b sin (f(x)) cos (f(x)) + c cos2 (f(x)) = 0 (di II grado)


a sin3 (f(x)) + b sin2 (f(x)) cos (f(x)) + c sin (f(x)) cos2 (f(x)) + d cos3 (f(x))= 0 ( di III grado)...In questi casi, se il grado massimo è in sinn (f(x)) si dividono tutti i termini per cosn (f(x)) ottenendo un'equazione in tann (f(x)), ma escludendo tutti i punti in cui si annulla il cos (f(x)); in pratica si risolve il sistema:

a tann (f(x)) + b tan(n-1) (f(x)) + …. + z tan (f(x)) + 1 = 0 f(x) ≠ π/2 ± 2 k π

Se il grado massimo è in cosn (f(x)) si dividono tutti i termini per sinn (f(x)) ottenendo un'equazione in cotn (f(x)): la cotangente cot(f(x)) = 1/ tan (f(x)), ma escludendo tutti i punti in cui si annulla il sin (f(x)); in pratica si risolve il sistema:

a cotn (f(x)) + b cot(n-1) (f(x)) + …. + z cot (f(x)) + 1 = 0 f(x) ≠ ± 2 k π

In tutti i casi si devono sempre tener presenti le regole fondamentali elencate nella risoluzione delle equazioni (v. cap II) ed in particolare la scomposizione del polinomio in fattori, il riconoscimento di un eventuale potenza di un binomio, il riconoscimento della somma o differenza di due potrenze con ugual esponente o l'applicabilità del Teorema di Ruffini.

Riportiamo di seguito alcuni semplici esempi:

Equazione del tipo: a sin(x) + b cos(x) = 0Dividere ambo i membri per cos (x), escludendo i valori di x per cui cos (x) = 0, per ottenere la: a tan(x) + b = 0, con x ≠ π/2 ± kπ che si risolve con il sistema:

y = tan(x) a y + b = 0 cos(x) ≠ 0

Nella risoluzione delle equazioni goniometriche di questo tipo si può operare la divisione per cos(x)riportando l'equazione di partenza ad una in una sola funzione incognita, semplificando così il lavoro, ottenendo comunque soluzioni corrette; la situazione cambia totalmente quando si debba considerare la disequazione corrispondente in quanto nei punti in cui il coseno si annulla la funzione in studio non è definita e cambia di segno, come può essere dedotto dal figura seguente in cui sono riportati i grafici della funzione originale [3 sin(x)-√3 cos(x)] e quello della funzione trasformata dividendo per cos(x) [(3 tan(x)-√3 ] e quello del cos(x), come riferimento:


Come è evidente, la divisione per cos (x) modifica sostanzialmente la curva originale, anche escludendo tutti i punti in cui il cos (x) = 0, e conserva esclusivamente gli zeri reali, rispetto all'equazione di partenza. Questa procedura, se è ammissibile per le equazioni, visto che ne conserva le soluzioni, non può essere impiegata per le disequazioni.

Equazione del tipo: a sin 2 (x) + b sin(x)cos(x) +c cos 2 (x) = 0

Dividere ambo i membri per cos2(x), escludendo i valori di x per cui cos(x) = 0, per ottenere la:

a tan2(x) + b tan(x) + c = 0, con x ≠ π/2±kπche si risolve con il sistema:

y = tan(x)

a y2 + b y + c = 0

cos(x) ≠ 0

Dividendo ambo i membri per cos2(x) gli zeri ed i segni delle due funzioni restano invariati e quindila procedura può essere utilizzata sia per le equazioni che per le disequazioni, come si evince dalla figura seguente, nel caso che l'equazione da risolvere sia: 3 sin2(x) + 2 sin(x) cos(x) – 7 cos2(x) = 0


b) Equazioni non omogenee in sin (f(x)) e cos (f(x))

Equazione del tipo: a sin(x) + b cos(x) + c = 0 (non omogenea di primo grado):

Utilizzare la trasformazione

per unificare la funzione e risolvere quindi il sistema

y = tan(x/2)

(c-b) y2 + 2a y + b + c = 0

x/2 ≠ π/2±kπ

Applicando la procedura sopra indicata, gli zeri ed i segni y = f(x) delle due funzioni restano invece invariati e quindi la procedura può essere utilizzata sia per le equazioni che per le disequazioni,


come si evince dalla figura seguente, nel caso che l'equazione da risolvere sia: 4 sin(x) + 5 cos(x) – 3 = 0:

Equazione del tipo: a sin 2 (x) + b sin(x) cos(x) +c cos 2 (x) + d = 0 (non omogenea di 2° grado):

Moltiplicare il termine noto per: cos2(x)+sin2(x), che è uguale ad 1, e raccogliere a fattor comune:

(a+d) sin2(x) + b sin(x) cos(x) + (c+d) cos2(x) = 0

dividere quindi per cos2(x), con x ≠ π/2±kπ, ottenendo la:

(a+d) tan2(x) + b tan(x) + (c+d) = 0 che si risolve col sistema: y = tan(x)

(a+d) y2 + b y + (c+d) = 0

x ≠ π/2±kπ I segni delle due funzioni restano invariati e quindi la procedura può essere utilizzata sia per le equazioni che per le disequazioni, come si evince dalla figura seguente, nel caso che l'equazione da risolvere sia: 5 sin2(x) + 2 sin(x) cos(x) - 4 cosa2(x) + 1 = 0


Ovviamente, questo elenco è del tutto incompleto, ma copre i casi che normalmente vengono sviluppati in classe.


Tabella riassuntiva Possiamo raggruppare i casi esaminati nella seguente tabellina riassuntiva delle equazioni goniometriche:

Tipo di equazione Metodo risolvente

sin(f(x)) = m

[una sola funzione]

Risolvere il sistema: y = f(x) sin(y) = m

cos(f(x)) = m

[una sola funzione]

Risolvere il sistema: y = f(x) cos(y) = m

tan(f(x)) = m

[una sola funzione]

Risolvere il sistema: y = f(x) tan(y) = m

sin(f(x)) = sin(g(x))[la stessa funzione nei 2 membri

con argomenti diversi] [equazioni lineari omogenee]

f(x) = g(x)±2kπ e anche

f(x) = π - g(x)±2kπ

cos(f(x)) = cos(g(x))[la stessa funzione nei 2 membri


f(x) = g(x)±2kπ e anche

f(x) = - g(x)±2kπ

tan(f(x)) = tan(g(x))[la stessa funzione nei 2 membri


f(x) = g(x)±kπ

sin(f(x) = cos(g(x)) [funzioni diverse nei 2 membri

con lo stesso argomento] [equazioni lineari omogenee]

Dividere ambo i membri per cos(f(x)) e risolvereil sistema:

y=f(x)tan(y) = 1

x ≠ π/2±kπescludendo quindi i valori degli angoli: x = (±2k+1)π/2 , punti in cui il polinomio cambia di segno.Questa procedura è valida soltanto per le equazioni, ma non per le disequazioni.

a sin(f(x)) = b cos(f(x)) [funzioni diverse nei 2 membri

con lo stesso argomento, con a , b ≠ 0] [equazioni lineari omogenee]

Dividere ambo i membri per cos(f(x)) e risolvereil sistema:

y = f(x)tan(y) = b/a


Tipo di equazione Metodo risolvente

x ≠ π/2±kπ escludendo quindi i valori degli angoli: x = (±2k+1)π/2 , punti in cui il polinomio cambia di segno.Questa procedura è valida soltanto per le equazioni, ma non per le disequazioni.

a sin2(f(x)) + b sin(f(x)) cos(f(x)) +c cos2(f(x)) = 0

[funzioni diverse con lo stesso argomento,

con a , b , c ≠ 0] [equazioni di 2° grado omogenee]

Dividere ambo i membri per cos2(f(x)) e risolvere il sistema:

y = tan(f(x))

a y2 + b y + c = 0 f(x) ≠ π/2±kπ

a sin(f(x)) + b cos(f(x)) + c = 0 [funzioni diverse

con lo stesso argomento, con a , b , c ≠ 0]

[equazioni lineari non omogenee]

Esprimere sin(f(x)) e cos(f(x)) in funzione di tan(f(x)/2) e risolvere il sistema:

y = tan(f(x)/2)

(c-b) y2 + 2a y + b + c = 0

f(x)/2 ≠ π/2±kπ

a sin2(f(x)) + b sin(f(x))cos(f(x)) +c cos2(f(x)) +d = 0

[funzioni diverse con lo stesso argomento,

con a , b , c , d ≠ 0] [equazioni di 2° grado non omogenee]

Moltiplicare il termine noto per: cos2(f(x))

+sin2(f(x)), d ividere poi per cos2(f(x)) e risolvere il sistema:

y = tan(f(x))

(a+d) y2 + b y + (c+d) = 0 f(x) ≠ (±2k+1)π/2

escludendo però tutti i valori degli angoli che annullano il cos(f(x)): x ≠ (±2k+1)π/2, che sono punti in cui il polinomio cambia di segno.


Altri esempi.

1. sin(f(x)) = mEsempio:

Si risolva il sistema:

che in [0,2π] fornisce le soluzioni: y1 = 3/4 π e e y2 = π/4, da cui:

con la rappresentazione grafica fornita dalla:

2. cos(f(x)) = mEsempio:


che in [0,2π ] fornisce le soluzioni: y1 = π/3 e y2 = 2/3 π, da cui:



3. tan(f(x)) = mEsempio:


che in [-π /2,π/2] fornisce le soluzioni: y = π/3, da cui:



4. sin(f(x)) = sin(g(x))Esempio:

Si risolvano le due equazioni:

da cui:


5. cos(f(x)) = cos(g(x))Esempio:

Si risolvano le due equazioni:

da cui:



6. tan(f(x)) = tan(g(x))Esempio:

Si risolva l'equazione:

da cui:

7. sin(f(x)) = cos(f(x))Esempio:

Si dividano ambo i membri per cos(3x) e si risolva il sistema:

che ha per soluzioni:



8. a sin(f(x)) = b cos(f(x))Esempio:

Si dividano ambo i membri per cos(2x) e si risolva il sistema:




9. a sin(f(x)) + b cos(f(x)) + c = 0Esempio:

Esprimere sin(4x) e cos(4x) in funzione di tan(2x), con le:

sostituire nell'equazione assegnata per ottenere quella equivalente in funzione di tan(2x), e risolvereil sistema:y = tan(2x)

-3 y2 + 2√3 y -1 = 0

x ≠ π/4 ± k π/2


rappresentata graficamente dalla:

10.a sin 2 (f(x)) + b cos(f(x)) sin(f(x)) + c cos 2 (f(x)) = 0

Esempio:

Dividere ambo i membri per cos2(x) e risolvere il

sistema:y = tan(x)

y2 – (1+ √3) y + √3 = 0

x ≠ π/2 ± kπche fornisce le seguenti soluzioni:



11.a sin 2 (f(x)) + b cos(f(x)) sin(f(x)) + c cos 2 (f(x)) + d = 0

Esempio:

Moltiplicare il termine noto per cos2(x)+sin2(x)

(che è uguale ad 1) e dividere poi per cos2(x), risolvendo il sistema:

y= tan(x)y – 1 = 0x ≠ π/2 ± kπche ha per soluzioni:



VII - Trigonometria.

Risoluzione dei triangoli rettangoliPer 'risoluzione' di un triangolo si intende la determinazione di tutti i suoi elementi (angoli e lati) a partire dalla conoscenza di almeno tre elementi, uno dei quali sia un lato.Prima di tentare la risoluzione di un triangolo è necessario verificare la conoscenza di questi tre elementi.Nel caso dei triangoli rettangoli, essendo noto un angolo, sono sufficienti altri due elementi, uno deiquali sia un lato.

Consideriamo il triangolo rettangolo, retto in α, della figura:

per quanto enunciato, il triangolo sarà risolubile nei seguenti casi:

G. Lironcurti - Cap. VII Trigonometria - 113

Teoremi di Euclide e PitagoraDalle proprietà dei triangoli simili, si possono facilmente ricavare i teoremi di Euclide e Pitagora, utili per la risoluzione di molti problemi geometrici.Consideriamo i tre triangoli rettangoli BAC, AHC, AHB della figura:

Si ha che:

a1 = b cos(γ) a = b/cos(γ) e quindi: a a1 = b2

a2 = c cos(β) a = c/cos(β) e quindi: a a2 = c2

che esprimono i due teoremi di Euclide:Il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezionedel cateto sull'ipotenusa e l'intera ipotenusa.Il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per


dimensioni le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

Ancora dagli stessi triangoli rettangoli, si ricava che:

b = a cos(γ), c = a sin(γ), e quindi: b2 = a2 cos2(γ), c2 = a2 sin2(γ) da cui

b2 + c2 = a2(cos2(γ)+sin2(γ)) = a2

che esprime il teorema di Pitagora:Il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Teorema dei seniConsideriamo il triangolo ottusangolo ABC, e tracciamo l'altezza relativa alla base BC:

Nei triangoli AHB e AHC, si ha:h = c sin(β) e h = b sin(γ) dunque: c sin(β) = b sin(γ) da cui, dividendo ambo i membri per sin(β) sin(γ), si ricava una prima relazione:

Nei triangoli BA'C e BA'A, si ha:h1 = a sin(γ) e h1 = c sin(η) = c sin(π - α) = c sin(α) dunque: a sin(γ) = c sin( )

da cui, dividendo ambo i membri per sin(α) sin(γ), si ricava una seconda relazione:

Quindi si può enunciare il teorema dei seni:In ogni triangolo è costante il rapporto tra ciascun lato ed il seno dell'angolo ad esso opposto:


Teorema del coseno (Carnot)Per dimostrare il teorema del coseno, valido per triangoli qualunque, ?necessario considerare due casi distinti a seconda che l'angolo compreso tra i due lati sia minore o maggiore di π/2:

Caso dell'angolo α < π/2

Considerando il triangolo CKA, si ha che: h = b sin(α) e k = b cos(α) Applicando ora il teorema di Piatgora al triangolo CKB, sono verificate le seguenti uguaglianze:

a2 = h2 + (c-k)2 = h2 + c2 + k2 -2ck = b2 sin2(α) + b2 cos2(α) + c2 – 2bc cos(α) =

= b2 + c2 – 2bc cos(α)

Caso dell'angolo α > π/2

Considerando il triangolo CKA, si ha che: h = b sin(π - α) = b sin(α) e k = b cos(π - α) = b cos(α)Applicando ora il teorema di Piatgora al triangolo CKB, sono verificate le seguenti uguaglianze:

a2 = h2 + (c+k)2 = h2 + c2 + k2 +2ck = b2 sin2(α) + b2 cos2(α) + c2 – 2bc cos(α) = b2 + c2 – 2bc cos(α)E quindi possiamo enunciare il teorema del coseno (o di Carnot):In un triangolo qualunque il quadrato costruito su un lato ?equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due diminuita del doppio prodotto di questi per il coseno dell'angolo tra essi compreso:

a2 = b2 + c2 – 2bc cos(α)


Risoluzione di triangoli qualunquePer la risoluzione di un triangolo qualunque occorrono almeno tre elementi di cui uno sia un lato.Con riferimento all'ultima figura:


Potenze reali ad esponente realeLegenda:

è l'insieme dei numeri naturali (0, 1 , 2, 3, ...)

è l'insieme dei numeri naturali ad esclusione dello zero (1, 2, 3, ....)

è l'insieme dei numeri interi (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....)

L'insieme dei numeri interi può essere definito a partire da una relazione d'equivalenza fra coppie dinumeri naturali:

((x,y) è equivalente a (x',y')) (x-y = x'-y')⇔In altre parole, un numero intero è costituito dalle infinite coppie di numeri naturali la cui differenzaè costante, ad esempio:

(7,2), (10,5), (18,13), ... che rappresentano il numero intero +5, o invece:(3,6), (11,14), (0,3), ... che rappresentano invece il numero intero -3.

è l'insieme dei numeri interi ad esclusione dello zero (..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ....)

è l'insieme dei numeri interi strettamente positivi (+1, +2, +3, ....)

è l'insieme dei numeri interi strettamente negativi (-1, -2, -3, ....)

è l'insieme dei numero razionali (± , m N, ∈ n N∈ 0)

L'insieme dei numeri razionali può essere definito a partire da una relazione d'equivalenza fra coppie di numeri interi:

((x,y) è equivalente a (x',y')) (x/y = x'/y'), con y≠ 0 e y' ≠0⇔In altre parole, un numero razionale è costituito dalle infinite coppie di numeri interi il cui rapporto è costante, ad esempio:

(15,12), (35,28), (10,8), ... che rappresentano il numero razionale +5/4, o invece:(-6,10), (8,-20), (-10,25), ... che rappresentano invece il numero razionale -2/5.

è l'insieme dei numero razionali ad esclusione dello zero ( ± )

è l'insieme dei numero razionali strettamente positivi (+ , m e n N∈ 0)

è l'insieme dei numeri razionali strettamente negativi (- , m e n N∈ 0)

è l'insieme dei numeri reali

è l'insieme dei numeri reali ≠ 0

e sono gli insiemi dei numeri reali strettamente positivi e negativi, rispettivamente.

G. Lironcurti Cap. VIII Potenze reali ad esponente reale - 118

Potenze con esponente naturale:

Si chiama potenza di base 'a' reale ( ) ad esponente naturale n ( ), il prodotto di n fattori tutti uguali ad 'a'.Dalla definizione di potenza reale ad esponente naturale, si deducono facilmente le seguenti proprietà fondamentali:

che sono sintetizzabili nelle ben note relazioni:

Se, in particolare, l'esponente n è nullo, si pone a R. Infatti: ∀ ∈

visto che sia il numeratore (am) che il denominatore (am) corrispondono allo stesso prodotto di m fattori uguali.

La funzione è a valori discreti, definita per tutti gli e per ogni valore reale di .


Di seguito esempi di potenze di numeri reali ad esponente naturale:

Potenze con esponente intero positivo:

Si chiama potenza di base 'a' reale ( ) ad esponente intero positivo z ( ), il prodotto di z fattori tutti uguali ad 'a'.

La funzione è a valori discreti, definita ∀ per ogni valore reale di .Valgono le stesse considerazioni precedenti per a = 1 e per a = 0.La tabellina dei valori è uguale alla precedente.

Potenze con esponente intero negativo:

Si chiama potenza di base 'a' reale ( ) ad esponente intero negativo z ( ), l'inverso della potenza con la stessa base e lo stesso esponente.

In altri termini, per le proprietà delle potenze sopra ricordate.

La funzione è a valori discreti, definita per tutti gli e per ogni valore reale di .Valgono le stesse considerazioni precedenti per a = 1.


Di seguito esempi di potenze di numeri reali ad esponente intero negativo:

Come si può notare, quando la base è Reale negativa, la potenza, così come definita, assume valori di segno alterno e quindi pare opportuno stabilire che la base a delle potenze con esponente intero, equindi a maggior ragione per quelle con esponente razionale o reale, sia sempre positiva.

Potenze con esponente razionale positivo:

Si chiama potenza di base 'a' ( ) ed esponente razionale positivo ( ) quel

radicale che ha per indice q e per radicando ap

In altri termini:


La funzione non è più a valori discreti in quanto, dato un valore qualsiasi, non è possibile

individuarne il successivo, ma il suo codominio è denso poiché tra due valori qualsiasi y1 e y2 tra

loro distinti (y1 < y2 ), esistono infiniti altri valori maggiori di y1 e minori di y2.

p e q sono numeri naturali; q è diverso da 0; se q = 1

Visto che il rapporto p/q è un numero razionale, i due numeri naturali sono tra loro commensurabili,

esiste cioè un numero m naturale tale che:

come, ad esempio:

Notiamo che dall'equivalenza si deduce che la radice q-esima di a elevato alla p è

quel numero reale r tale che rq = ap e quindi per i cosiddeti 'radicali' valgono le consuete proprietàenunciate per le potenze con esponente naturale.Nel paragrafo dedicato ai radicali, sarà sviluppato un metodo alternativo per il loro calcolo, basato appunto sulle proprietà delle potenze così come già enunciate sopra.

Potenze con esponente razionale negativo:

Si chiama potenza di base 'a' ( ) ed esponente razionale negativo ( ) l'inverso

della potenza nella stessa base e con lo stesso esponente, cioè l'inverso del radicale che ha per

indice q e per radicando ap

In altri termini:

Se a = 1, ∀


Se a = 0, ∀ , 00non ha significato.

La funzione non è più a valori discreti in quanto, dato un valore qualsiasi, non è possibile

individuarne il successivo, ma il suo codominio è denso poiché tra due valori qualsiasi y1 e y2 tra

loro distinti (y1 < y2 ), esistono infiniti altri valori maggiori di y1 e minori di y2.

p e q sono numeri naturali; q è diverso da 0; se q = 1 e quindi valgono le proprietà

enunciate per le potenze con esponente naturale.

Potenza con esponente reale (o esponenziale in base a):

L'estensione alle potenze con esponente irrazionale (e quindi a quelle con esponente reale) pone un problema in quanto il numero irrazionale (con infinite cifre decimali non periodiche) è individuato da due classi contigue di numeri razionali, caratterizzate dalla proprietà che ogni numero della prima classe è minore di ciascuno dei numeri della seconda classe e che, comunque piccolo si fissi un numero , esistono sempre due numeri appartenenti alle due classi tali che la loro differenza sia in modulo minore di . In altre parole, le due classi di numeri approssimano quanto si vuole il numero irrazionale con valori per eccesso e per difetto ed individuano in tal modo, in maniera univoca, il numero irrazionale stesso come elemento separatore delle due classi. Utilizzando questa proprietà è possibile definire due classi contigue di potenze con esponenti razionali individuati dai numeri delle due classi che hanno come elemento separatore l'esponente reale.Così la potenza sarà individuata dalle due classi contigue:

che godono delle due proprietà sopra ricordate e che quindi individuano come loro elemento di

separazione unico la potenza

Si chiama potenza di base 'a' ( ) ed esponente reale x ( ) quel

numero reale coincidente con l'elemento separatore delle due classi contigue di numeri reali che si ottengono elevando la base ai valori approssimati rispettivamente per eccesso e per difetto che individuano l'esponente reale x.


Quando x N, y = a∈ x è una potenza reale ad esponente naturale;

Quando x Q, y = a∈ x è una potenza reale ad esponente razionale;

Quando a = 0, y = ax è la funzione costante y=0.

Quando a = 1, y = ax è la funzione costante y=1.

E' una funzione continua (cioè non discreta come accadeva per esponenti naturali o interi, poiché x

R∈ +) definita per tutti i valori reali di x e per ogni valore reale positivo della base ( ).

Per la funzione y = ax valgono le consuete proprietà già ricordate all'inizio per le potenze ad esponente naturale.

Possiamo rappresentare la funzione esponenziale y = ax nei due casi distinti che a, sempre positivo, sia maggiore di 1 oppure compreso tra 0 ed 1:

Grafico di y = ax, con a > 1

Grafico di y = ax, con a < 1

Per a = 1, la funzione y = ax assume ovviamente sempre il valore 1.

Le proprietà della funzione esponenziale e della sua inversa (funzione logaritmo) sono descritte nella sezione ad esse dedicata (Funzioni esponenziali e logaritmiche).


Il calcolo dei radicaliE' questo ancora un argomento del programma di matematica che comporta un dispendio di tempo notevole, pur non considerando l'uso di calcolatrici scientifiche e di computer che lo rendono oggi del tutto inutile.Basandosi però sulle proprietà delle potenze già ricordate, tutte le astruse complicazioni del calcolo si possono superare facilmente, senza utilizzare regole aggiuntive a quelle già note.Semplificazione di un radicale:La semplificazione di un radicale si ottiene dividendo sia l'indice che l'esponente del radicando perun eventuale fattore comune (se non esiste il fatore comune, il radicale viene detto irriducibile):

come immediata conseguenza delle proprietà delle frazioni, applicate all'esponente.

Moltiplicazione di due radicali con lo stesso indice:Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale (con lo stesso indice) che ha per radicando il prodotto dei due radicandi:

come immediata conseguenza delle proprietà delle potenze con lo stesso esponente.La cosa si complica quando gli indici non sono uguali perchè bisogna trasformare i due radicali datiin equivalenti con lo stesso indice; in questi casi la regola è molto più complessa e non la enunceremo, ricordando invece che, con le potenze ad esponente frazionario, si tratta semplicemente di eseguire la somma delle due frazioni 1/p e 1/n che esprimono i due esponenti:- se hanno lo stesso radicando:

- se hanno radicandi diversi:


Divisione di due radicali con lo stesso indice:Il rapporto di due radicali con lo stesso indice è un radicale (con lo stesso indice) che ha per radicando il rapporto dei due radicandi:

Come sopra la cosa si complica se gli indici non sono uguali perchè bisogna trasformare i due radicali dati in equivalenti con lo stesso indice:

• se hanno lo stesso radicando:

• se non nanno lo stesso radicando:

Trasporto di un fattore esterno sotto il simbolo di radice:In questo caso si deve ricordare che è possibile trasportare sotto radice solo un fattore positivo (o non negativo) e quindi, quando non ne sia accertato il segno, si dovrà indicare chiaramente tale condizione.Un fattore non negativo si può trasportare sotto il simbolo di radice, elevandolo alla potenza con esponente uguale all'indice della radice:


Trasporto di un fattore interno fuori dal simbolo di radice:Anche in questo caso si deve ricordare che è possibile trasportare fuori dalla radice solo un fattore positivo (o non negativo) e quindi, quando non ne sia accertato il segno, si dovrà indicare chiaramente tale condizione.Un fattore non negativo si può trasportare fuori dal simbolo di radice, dividendo il suo esponente (che si suppone maggiore dell'indice della radice) per l'indice della radice; l'eventuale resto della divisione è l'esponente dello stesso fattore che rimane sotto il segno:

ove abbiamo semplicemente ridotto ai minimi termini la frazione (n+k)/n.Come già chiarito, conviene porre molta attenzione al segno del fattore che si intende portare fuori o inserire sotto il simbolo di radice. Facciamo un esempio:

Se si suppone che il radicale abbia iniazialmente un valore positivo (come è lecito pensare), nel primo caso (visto che anche x-1 è positivo) il segno dell'espressione rimane inalterato, mentre nel secondo, senza cambiare segno al binomio x-1, l'espressione assumerebbe un valore negativo!Molto spesso questa considerazione viene trascurata con conseguenze gravi, soprattutto nella discussione delle disequazioni.....

Potenza di un radicale o radice di una radiceNel caso dell'uso della convenzione tradizionale (cioè con i radicali) bisogna distinguere i due casi:Per eseguire la potenza di un radicale è necessario moltiplicare sia l'esponente del radicando per ilnumero (che rappresenta l'esponente della potenza a cui il radicale deve essere elevato).Per eseguire la radice di una radice è necessario moltiplicare l'indice della radice per il numero (che rappresenta l'indice della radice che deve essere applicato al radicale).Quando invece si usa la notazione degli esponenti frazionari è invece sufficiente moltiplicare tutti gli esponenti per il numero intero (nel caso di potenza di un radicale) o frazionario (nel caso di radice di radice):


La notazione ad esponenti frazionari riesce dunque a semplificare notevolmente il calcolo dei radicali, ma esso ha l'indubbio vantaggio di evidenziare lo sviluppo dell'insieme dei numeri reali che, a partire dalle potenze ad esponente naturale, e attraverso le potenze ad esponente razionale (radicali), ci permette di definire la funzione esponenziale.Questa stessa notazione, considerando i radicali come potenze, sia pure ad esponente frazionario, ci permette di evitare errori comuni che certamente non faremmo con potenze ad esponente naturale; nessuno si sognerebbe di operare in questo modo:

(x+1)2 = x2+1 perchè si tratta evidentemente del quadrato di un binomio, mentre è comune l'errore

Il radicando di un radicale va quindi sempre considerato come la base di una potenza.

Razionalizzazione di un denominatoreLa trasformazione di una frazione con denominatore irrazionale in una equivalente con denominatore razionale è dettata da ragioni pratiche (legate alla difficoltà dello sviluppo del calcolo con espressioni irrazionali), ma soprattutto a problemi di approssimazione numerica che si incontrerebbero con i radicali al denominatore: mentre è sicuramente difficile conoscere il valore approssimato di 1/√2, visto che non sappaiamo con quale approssimazione eseguire la divisione, lo stesso numero razionalizzato √2/2 può essere approssimato facilmente.Senza trattare dettagliatamente tutti i casi di razionalizzazione, forniamo di seguito un metodo generale che può applicare ai più comuni esercizi presentati nelle scuole.Caso di un solo radicale al denominatore:per le proprietà delle frazioni, al fine di rendere intero l'esponente dell'espressione a denominatore, è sufficiente moltiplicare numeratore e denominatore per una stessa potenza:

Caso di due radicali con lo stesso indice a denominatore:


Per la ricerca del polinomio, utilizzare la tabellina dei prodotti notevoli riportata nel paragrafo 3.b del capitolo dedicato alle “ Regole generali per la scomposizione dei polinomi ”.


IX - Funzioni esponenziali e logaritmiche

La funzione esponenziale

Definizione: Si definisce funzione esponenziale di base a > 0 la funzione reale y = expa(x) che fa corrispondere

ad ogni x R il numero reale positivo a∈ x.

Proprietà della funzione esponenziale y = ax o y = expa(x)

La funzione è sempre positiva, x R.∀ ∈Infatti, visto che a > 0:

se x > 0 la funzione è certamente positiva; se x < 0, ricordando che a-x = 1/ax , e quindi la funzione è ancora positiva perchè tale è sia il numeratore che il denominatore.Quando la base a è maggiore di 1: Se x è positivo, la funzione assume valori maggiori di 1; se x è negativo valori compresi tra 0 ed 1.Quando la base a è minore di 1: Se x è positivo, la funzione assume valori compresi tra 0 ed 1; se x è negativo valori maggiori di 1.La funzione è sempre crescente se la base a è maggiore di 1.La funzione è sempre decrescente se la base è minore di 1.

Analogamente nel caso che (x2 -x1) sia negativo, cioè che x2 preceda x1.

L'asse delle ascisse è asintoto orizzontale per la funzione sia nel caso che la base a sia maggiore di 1 (x -> -∞ ) che in quello di una base a positiva e minore di 1 (x -> +∞ ).L'expa(0) = 1, qualunque sia la base positiva a.

A parità di variazione di x, la velocità di variazione della funzione è tanto più grande quanto maggiore è il valore della base a (con a > 1) e tanto più piccola quanto minore è il valore di a (con a< 1).

G. Lironcurti - Cap. IX Funzioni esponenziali e logaritmiche - 130

Le funzioni esponenziali di basi una inversa dell'altra sono simmetriche rispetto all'asse delle ordinate, cioè assumono lo stesso valore per valori opposti di x.Nelle applicazioni che coinvolgono funzioni esponenziali è sempre opportuno far riferimento mnemonico alla rappresentazione grafica dei due tipi (per a >1 o per a < 1):

Tutte le funzioni esponenziali, qualunque sia la base a > 0, intersecano l'asse delle ordinate in 1.Le funzioni esponenziali sono state utilizzate anche per il calcolo (su di esse è basato il regolo calcolatore usato nei calcoli scientifici e tecnici prima dell'avvento delle calcolatrici e dei computer).Per illustrare il metodo, facciamo un semplice esempio per le moltiplicazioni (ma quanto detto, con le necessarie differenze, vale anche per le divisioni, le potenze e i radicali), basata quindi sulla

proprietà: am an = a m+n, che evidenzia come il prodotto di due potenze (con la stessa base) sia uguale alla potenza (nella stessa base) che ha per esponente la somma dei due esponenti.Ad esempio, utilizzando il grafico dell'esponenziale in base 2 (ma avremmo potuto usare una base differente) per eseguire il semplice prodotto di 4*16, troviamo i valori di x corrispondenti agli

esponenziali 4 e 16 (che sono rispettivamente 2 e 4, perchè 22 = 4 e 24 = 16), sommiamo questi due valori, ottenendo 6 e cerchiamo poi sullo stesso grafico il valore dell'esponenziale di 6 che risulta essere 64.L'esempio è stato presentato per facilitare la comprensione del metodo.

Le utilizzazioni nel calcolo numerico saranno chiarite nel paragrafo successivo con la trattazione dei logaritmi.


Fra le infinite possibili basi per gli esponenziali, due fra esse assumano particolare importanza: la base 10 e quella nel numero irrazionale 'e' (2,718281828459045...).L'importanza della base 10 è ovviamente legata al fatto che nei calcoli utilizziamo il sistema decimale; quella del numero di Nepero 'e' è invece dovuta al fatto che molte leggi scientifiche lo utilizzano per descrivere i fenomeni naturali.Dalla definizione della funzione esponenziale si deduce facilmente che exp10(n), con n naturale, è

dato dalla cifra 1 seguita da un numero di zeri pari all'esponente n. Quindi se exp10(3) < x < exp10(4) il numero x sarà certamente compreso tra 1.000 e 10.000.

Come si può dimostrare, la funzione esponenziale, con base maggiore di 1, almeno da un certo valore di x in poi, assume valori maggiori di quelli di una qualsiasi funzione polinomiale, qualunque ne sia il grado: pertanto le funzioni esponenziali possono rappresentare tutti i fenomeni con uno sviluppo 'esplosivo' come, ad esempio, il numero di neutroni prodotto in una reazione a catena o quello dello sviluppo di una popolazione non soggetta ad alcuna limitazione naturale.Dalla tabella che segue, in cui sono riportati due parziali sviluppi per l'esponenziale in base 2 e 3, si

può osservare facilmente che il rapporto tra l'incremento della funzione (ax+1-ax) e quello della

funzione (ax), riportato nella quarta e nella ottava colonna della tabella, rimane in ogni caso costante; ciò significa che numeratore e denominatore sono funzioni esponenziali e quindi possiamodedurre che in una funzione esponenziale l'incremento della funzione è anch'esso una funzione esponenziale con lo stesso andamento di quella (come evidenziato dalle ultime colonne della tabella).


La funzione logaritmica

La funzione esponenziale y = ax è invertibile, cioè esiste la sua funzione inversa (che chiameremo funzione logaritmica o semplicemente logaritmo):

Definizione:

Si chiama logaritmo di un numero k R∈ 0+ (reale positivo) in una prefissata base a R∈ 0

+ -{1}

(reale positiva e diversa da 1), l'esponente x al quale si deve elevare la base a per ottenere il numero k.

In altre parole il logaritmo di un numero k R∈ 0+ si presenta come soluzione x dell'equazione

esponenziale k = ax.

Proprietà della funzione logaritmica y = loga(x)

Come conseguenza immediata della definizione, sussiste l'uguaglianza:

Dalla definizione di funzione inversa, si deduce immediatamente che:loga(expa(x)) = x e che: expa(loga(x)) = x

Ancora, dalle proprietà delle funzioni inverse, alla coppia di coordinate (x,y) della curva esponenziale nella base a, corrisponde la coppia di coordinate (y,x) di quella logaritmica nella stessa

base e quindi il grafico di loga(y) è la curva simmetrica di quella expa(x) rispetto alla bisettrice del I

e III quadrante:

Grafico del logaritmo


Grafico dell'esponenziale

Dalla rappresentazione grafica di si deduce facilmente che:

Il loga(x) è definito soltanto per valori positivi dell'argomento x, essendo soluzione della

corrispondente equazioni esponenziale.Nel caso che la base a sia positiva, ma minore di 1:Il loga(x) è strettamente decrescente

Il loga(x) è negativo se x > 1

Il loga(x) è positivo se 0 < x < 1

Nel caso che la base a sia maggiore di 1:Il loga(x) è strettamente crescente

Il loga(x) è positivo se x > 1

Il loga(x) è negativo se 0 < x < 1

L'asse delle ordinate è asintoto verticale per x → 0, qualunque sia la base positiva a.Il loga(1) = 0, qualunque sia la base positiva a.

A parità di variazione di x, la velocità di variazione di y = loga(x) è tanto più grande quanto

maggiore è la base a, se a > 1 e tanto più piccola quanto minore è la base a, se 0 < a <1.Funzioni logaritmiche di basi una inversa dell'altra sono simmetriche rispettoall'asse delle ascisse, cioè assumono lo stesso valore per valori opposti dell'argomento.


Nelle applicazioni che coinvolgono funzioni logaritmiche è sempre opportuno far riferimento mnemonico alla rappresentazione grafica dei due tipi (per a >1 o per a < 1):

L'uso della funzione logaritmica è giustificato dalla presenza di tale funzione in molte leggi della fisica e di altre scienze, perchè tali funzioni descrivono fenomeni che si evolvono molto lentamente nel tempo (come, ad esempio, il decadimento radioattivo), ma anche da alcune importanti proprietà che, prima dell'avvento delle macchine calcolatrici e dei computer, permettevano l'esecuzione di calcoli complicati, impensabili con altre metodologie.Riportiamo di seguito alcuni teoremi sui logaritmi che illustrano l'uso di tali funzioni per il calcolo:Teorema del prodotto:Il logaritmo del prodotto di due fattori positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori:

Teorema del quoziente:Il logaritmo del quoziente di due fattori positivi è uguale alla differenza dei logaritmi dei singoli fattori:

Teorema della potenza e della radice:Il logaritmo della potenza (intera o reale) di un numero positivo è uguale al prodotto

dell'esponete per il logaritmo del numero:

Le dimostrazioni sono immediate in base alla definizione della funzione:


Le altre dimostrazioni sono analoghe.Una importante proprietà dei logaritmi ci permette di passare da un logaritmo in una base ad uno espresso mediante un'altra: supponiamo di conoscere il logaritmo di uno stesso numero x in due

basi differenti e sia x1 = loga(x) e x2=logb(x), allora per definizione si verifica che:


X - Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche

Equazioni esponenziali

E' esponenziale un'equazione in cui l'incognita figura come esponente:

Funzione esp. in un solo membro

Funzioni esp. nella stessa base nei due membri

Funzioni esp. con basi diverse nei due membri

ove f(x) e g(x) sono funzioni polinomiali o semplicemente la variabile x; il tipo I ha una sola funzione esponenziale, il tipo II ha due funzioni esponenziali, nella stessa base, mentre per il tipo III, le due basi sono diverse, ma sempre strettamente positive e diverse da 1.Vista le frequenza di esercizi assegnati anche nei temi di esame di maturità scientifica, tratteremo esclusivamente le equazioni esponenziali binomie (costituite cioè da due soli termini), notando peraltro che negli altri casi possono essere applicate le regole generali già indicate per le equazioni non trascendenti.

Dal grafico delle funzioni esponenziali con base a R∈ + (reale positiva), maggiore o minore di 1:

G. Lironcurti - Cap. X Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche - 137

si deduce immediatamente che k/h deve essere strettamente positivo (altrimenti l'equazione non avrebbe soluzione).

Come già dimostrato, le funzioni esponenziali, se gli esponenti f(x) e g(x) sono lineari in x (cioè deltipo m*x + n) , qualunque sia la base positiva e diversa da 1, o sono sempre crescenti (se la base è maggiore di 1) o sempre decrescenti (se la base è positiva, ma minore di 1); dunque una qualsiasi equazione dei tipi sopra indicati (cioè equazioni binomie in cui figurino solo funzioni esponenziali),al finito (cioè escludendo i casi limite per x → ± ∞), hanno sempre una sola soluzione; il numero delle soluzioni è invece indeterminato qualora f(x) e g(x) non siano lineari in x o nel caso che l'equazione coinvolga altre funzioni come, ad esempio, quelle goniometriche; questa è la ragione per cui le esponenziali, come del resto le logaritmiche, sono considerate equazioni trascendenti. Nelle figure che seguono sono riportati alcuni esempi:


Tutte le equazioni esponenziali, anche nel caso più complesso, sono risolubili graficamente trovando l'intersezione delle due curve:

Con il calcolo invece le equazioni esponenziali si risolvono applicando ad ambo i membri la loro

funzione inversa (il logaritmo), in quanto loga(af(x)) = f(x)

Così, ad esempio:

5x = 1/25 = 5-2 ---> log5(5x) = log5(5-2) --> x = -2

Ovviamente lo stesso metodo è applicabile quando le due potenze abbiano la stessa base come nell'esempio che segue (equazioni binomie con la stessa base):

che ha le due soluzioni intersezioni delle curve (nella figura sono riportate le due funzioni di partenza -con le loro intersezioni- e la curva della funzione differenza: 1.2(x^2 + 5) – 1.2(2x + 7)

In generale, per il primo tipo:


e per il secondo tipo:

e si complica parzialmente quando le basi non siano uguali (equazioni binomie con base diversa) perchè in tal caso bisogna calcolare il fattore per passare da una base all'altra secondo la:

come nell'esempio successivo:

o, in generale per le equazioni del terzo tipo:

Un altro approccio, forse più semplice da ricordare, consiste nell'applicare la funzione inversa dell'esponenziale, cioè il logaritmo, in una base qualunque, e utilizzare le proprietà dei logaritmi per ottenere direttamente un'equazione risolvente di tipo non trascendente, come nel caso sotto indicato:

in quanto i logaritmi presenti sono numeri reali (ovviamente nulla vieta che il logaritmo venga calcolato in una delle due basi -a , b- in modo da eliminare un inutile calcolo,ricordando che log b(b)=1).


Come semplice accenno alle equazioni esponenziali non binomie ricordiamo infine che nel caso

in cui le equazioni esponenziali (P(af(x)) = 0) siano risolubili con una posizione del tipo z = af(x), si potranno risolvere un sistema costituito dalle due equazioni:

z = af(x)

P(z) = 0Ad esempio, per l'equazione: basterà risolvere il sistema:

z = af(x)

m z2+ n z + p = 0

sostituendo i valori di z ricavati dalla seconda equazione nella prima che diventa un'equazione binomia di tipo I.

Disequazioni esponenziali.Con la solita procedura, per risolvere una disequazione esponenziale studiamo dapprima la corrispondente equazione e, una volta trovate le sue soluzioni, calcoliamo il segno della funzione intutti gli intervalli compresi tra due zeri consecutivi, con il vantaggio che, in questo caso, molto spesso, il numero delle soluzioni è veramente ridotto, per esempio, rispetto alle disequazioni fratte.Studiamo quindi l'equazione corrispondente alla disequazione:

1.2(x^2 + 5) > 1.2(2x + 7) → 1.2(x^2 + 5) – 1.2(2x + 7) = 0 → (x2 + 5) log(1,2) – (2x + 7) log (1,2) = 0 → x2 – 2x -2 = 0

equazione risolvente di II grado che ha al massimo 2 soluzioni e, precisamente: x = 1 ± √3Dunque il grafico della disequazione sarà il seguente (avendo calcolato il segno nell'intervallo ] 1 - √3, 1 + √3[ che comprende lo zero o anche nell'intervallo ] 1 + √3, +∞ [ visto che il termine dominante è positivo):+++++++++++++++++++[ 1 - √3]-------------------------[ 1 + √3]++++++++++++++++++++con un insieme di verità per la disequazione: 1.2(x^2 + 5) > 1.2(2x + 7) dato dall'unione dei due intervalli: ] -∞, 1 - √3 [ U ] 1 + √3 , +∞ [


Equazioni logaritmiche

E' logaritmica un'equazione in cui l'incognita figura come argomento di un logaritmo:

Funzione log. in un solo membro

Funzioni log. nella stessa base nei due membri

Funzioni log. con basi diverse nei due membri

ove f(x) e g(x) sono funzioni polinomiali o semplicemente la variabile x; il tipo I ha una sola funzione logaritmica, il tipo II ha due funzioni logaritmiche, nella stessa base, mentre per il tipo III, le due basi sono diverse, ma sempre strettamente positive e diverse da 1.Vista le frequenza di esercizi assegnati anche nei temi di esame di maturità scientifica, tratteremo esclusivamente le equazioni logaritmiche binomie (costituite cioè da due soli termini in cui figurino funzioni logaritmiche), notando peraltro che negli altri casi possono essere applicate le regole generali già indicate per le equazioni non trascendenti.

Notiamo ancora esplicitamente che la funzione logaritmo deve avere un argomento strettamente positivo e quindi per la sua risoluzione devono sempre essere verificate le condizioni di realtà:

f(x) > 0g(x) > 0

Pertanto le soluzioni che non le dovessero soddisfare, andranno comunque escluse.

Dal grafico delle funzioni logaritmiche con base a R∈ + (reale positiva), maggiore o minore di 1:


si ricava che, come già ricordato, gli argomento delle funzioni devono essere strettamente positivi, ma che non sussistono limitazioni per il numero reale k/h.

Come già dimostrato, le funzioni logaritmiche, se gli esponenti f(x) e g(x) sono lineari in x (cioè deltipo m*x + n), qualunque sia la base positiva e diversa da 1, o sono sempre crescenti (se la base è maggiore di 1) o sempre decrescenti (se la base è positiva, ma minore di 1); dunque una qualsiasi equazione dei tipi sopra indicati (cioè equazioni binomie in cui figurino solo funzioni logaritmiche),al finito (cioè escludendo i casi limite per x → 0), hanno sempre una sola soluzione; il numero delle soluzioni è invece indeterminato qualora f(x) e g(x) non siano lineari in x o nel caso che l'equazione coinvolga altre funzioni come, ad esempio, quelle goniometriche; questa è la ragione per cui le logaritmiche, sono considerate equazioni trascendenti.

Tutte le equazioni logaritmiche, anche nel caso più complesso, sono risolubili graficamente trovando l'intersezione delle due curve:

Con il calcolo, le equazioni logaritmiche si risolvono applicando ad ambo i membri la loro

funzione inversa (l'esponenziale), in quanto

Analogamente al caso delle equazioni esponenziali, anche per quelle logaritmiche, valgono le regole generali:


Nel caso, infine, che le equazioni logaritmiche (P(loga(f(x)) = 0) siano risolubili con una posizione

del tipo z = loga(f(x), si dovrà risolvere un sistema costituito dalle due equazioni:

z = loga(f(x)

P(z) = 0Ad esempio, per l'equazione: basterà risolvere il

sistema:z = loga(f(x)

m z2+ n z + p = 0

sostituendo i valori di z ricavati dalla seconda equazione nella prima.

Disequazioni logaritmiche.Con la solita procedura, per risolvere una disequazione logarimica studiamo dapprima la corrispondente equazione e, una volta trovate le sue soluzioni, calcoliamo il segno della funzione intutti gli intervalli compresi tra due zeri consecutivi, con il vantaggio che, in questo caso, molto spesso, il numero delle soluzioni è veramente ridotto, per esempio, rispetto alle disequazioni fratte.Studiamo quindi l'equazione corrispondente alla disequazione:

2 log10

(x2 – 7) < 4 log10

(x + 5) →

10 log10(x2 – 7) - 10 log10(x + 5) $/2 = 0 → (x2 – 7) = (x + 5)4/2 → x2 – 7 = x2 + 10 x + 25 →

→ x= 32/10

equazione risolvente di I grado che ha al massimo 1 soluzione.Dunque il grafico della disequazione sarà il seguente (avendo calcolato il segno nell'intervallo ] 32/10, +∞ [ visto che il termine dominante è positivo):–---------------------------------------------[ 32/10]+++++++++++++++++++++++++++++++con un insieme di verità per la disequazione: 2 log

10(x2 – 7) < 4 log

10(x + 5) dato dall'intervallo:

]-∞, 32/10 [


comprendere logicamente - Siti Personali | Libero...

Documents

Transcript of comprendere logicamente - Siti Personali | Libero...