Complementi Di Idraulica - Montuori - Cap x

TRASPORTO IN SOLUZIONE 353

X. TRASPORTO IN SOLUZIONE

l. Premessa

Il trasporto di sostanze estranee da parte di masse idriche in movimento, da sempre di interesse per l'ingegnere idraulico, ha acquistato negli ultimi decenni più grande rilevanza in dipendenza della maggiore attenzione che viene rivolta alla salvaguardia dell'ambiente e alla protezione e alla gestione del territorio.

In particolare, il trasporto in soluzione, oggetto specifico di questo capitolo, trova riscontro in una vasta serie di problemi di inquinamento di corpi idrici.

Nelle soluzioni, come è noto, la mescolanza tra sostanze diverse avviene fino a livello molecolare. Ora, molte delle sostanze inquinanti che vengono immesse nelle acque superficiali o sotterranee sono solubili: per esempio, composti chimici, prodotto o residuo di processi di lavorazione, o consistenti aliquote di liquami di varia natura.

Peraltro, l'interesse allo studio delle sòluzioni va al di là dell'oggetto specifico per il quale esso viene intrapreso: infatti, molti dei concetti e dei metodi di studio che concernono il trasporto in soluzione, e che verranno qui esposti, sono comuni al trasporto in sospensione, nel quale le sostanze estranee sono presenti in particelle piccole, ma di norma macroscopiche. Del trasporto in sospensione si parlerà nel successivo Capitolo XI.

2. Il trasporto convettivo

Nei fondamenti teerici dell'Idraulica e della Meccanica dei Fluidi e nella maggior parte dei problemi inerenti tali discipline l'acqua viene considerata come un mezzo continuo: ciò comporta che si rinunzia a studiarne il moto fino a livello molecolare. In particolare, non si tien conto dell'agitazione di cui le molecole sono dotate, sia in acqua in movimento, sia in acqua in quiete.

Lo studio del moto delle soluzioni, condotto nell'ambito di questa schematizzazione, porta ad attribuire alle particelle di soluto, considerate come

r

354 CAPITOLO DECIMO

" elementi puntuali, le stesse velocità che vengono attribuite all'acqua, con qualche conseguenza sul legame tra portata di massa di soluto e velocità, che risulta in contrasto con l'esperienza.

Sia M la massa di soluto contenuta in un volume v-, e Cm = M/V la concentrazione media di soluto. Al tendere a zero del volume nell'intorno di un punto, si ammette che la Cm tenda con regolarità a un valore ben definito c= dM/dV, che è la concentrazione nel punto. ..r

Se v è la velocità nel punto e dQ = Vn eU: -ia portata idrica attraverso la

superficie elementare eU: di normale n, la massa di soluto d Q; , che attraversa d

I: nell'unità di tempo, è data dal prodotto del volume liquido dQ per la concentrazione c:

(l)

Il trasporto espresso dalla (l) viene chiamato convettivo, per analogia con l'omonimo fenomeno di trasmissione del calore, in quanto in entrambi i casi il trasferimento delle due entità (soluto, calore) è determinato dal trasferimento di masse fluide che fanno da vettore e ad esso si accompagna 1

•

Ma, in una massa idrica in moto, la portata espressa dalla (l) costituisce solo una parte della portata di massa di soluto: nel dedurre la (l), infatti, non si è tenuto conto del processo di diffusione, connesso con la già richiamata agitazione molecolare. Per esempio, in una massa fluida in quiete, dove le velocità vengono assunte ovunque nulle, può determinarsi ancora un trasporto di soluto, dovuto, in tal caso, esclusivamente alla diffusione, e quindi certamente non esprimibile a mezzo della (1).

Per tale motivo, occorre introdurre opportuni correttivi che tengano conto del processo di diffusione: come si vedrà, lo studio del trasporto può essere condotto, così, ancora nella schematizzazione di mezzo continuo.

Nei testi di lingua inglese per il trasporto di soluti si preferisce il termine "advection" .


3. Il processo di diffusione molecolare

3 .l La legge di Fick

E' esperienza comune che, in una soluzione, il soluto, che sia distribuito in modo non uniforme in una massa fluida in quiete, tende a diffondersi, determinando un aumento di concentrazione nei punti dove questa era inizialmente minore e una diminuzione dove essa era maggiore. Tale effetto, che, a lungo termine, si traduce in una distribuzione uniforme del soluto, è attribuito all'agitazione molecolare, che, con il continuo e disordinato trasferimento di volumi di soluzione tra punti diversi, determina complessivamente un maggior trasferimento di soluto da zone in cui questo è contenuto in maggiori quantità, che vtceversa.

Si dice, allora, in modo sintetico, che il soluto si trasferisce da punti di concentrazione maggiore a punti di concentrazione minore, anche se, come si è ora precisato, la variazione locale di concentrazione non è, in realtà, che il risultato del bilancio di disordinati trasferimenti in direzioni diverse di quantità diverse di soluto.

Se le concentrazioni non sono molto grandi, in modo che si possa ritenere che le molecole di soluto non si influenzino a vicenda nel loro moto, il risultato di tale complesso processo di trasferimento viene espresso quantitativamente attraverso la legge di Fick.

Essa si scrive:

(2) q:* = - D · grad c

in cui q:* è un vettore, che ha la direzione secondo cui è massima la variabilità spaziale di concentrazion~;- che è positivo nel verso delle concentrazioni decrescenti e che, in acqua in quiete, esprime, con il suo modulo, la portata massica di soluto attraverso la superficie unitaria normale a tale direzione 2

.

2 Nulla cambierebbe, se a c fosse attribuito il significato ci concentrazione in peso e a q * * quello di portata ponderai e.

s t'

356 CAPITOLO DECIMO

Il coefficiente di proporzionalità D della (2) ~viene denominato "coefficiente di diffusione", o anche "diffusività molecolare". Esso è caratteristico della coppia di sostanze, solvente e soluto, che compongono la soluzione e il suo valore dipende dalla temperatura e, in minor grado, dalla concentrazione c; ha le dimensioni L 2 !f e viene espresso di norma in m2/s 3

.

In base alla (2), dunque, in condizioni di quiete la portata massica di soluto dQ;* attraverso una superficie elementare d'L di ~prmale n è data da:

(2') d Q;* = - D (dc l dnYill: .

Se, come si ammette di solito, le (2) e (2') valgono anche sul contorno impermeabile della soluzione, risulta ovviamente:

(3) l dc l l- J =o

dn cont. '

essendo n la normale al contorno. Su questo, dunque, le superficie di ugual concentrazione sono ad esso ortog~nali.

3.2 Il bilancio di massa di soluto

Si consideri ora un sistema fluido in movimento, e sia v (x,y,z,t) il vettore velocità che caratterizza il campo di moto.

Si è già visto che, nella ipotetica assenza di diffusione, il trasporto di soluto sarebbe determinato dal solo moto del campo v e la portata massica sarebbe espressa dalla:

(l)

Per tener conto della diffusione, si ammette, allora, che gli effetti cinematici determinati dalla diffusione si sovrappongano a quelli del moto generale e si esprime la portata massica di soluto come somma delle due portate.

Se il solvente è acqua D= (10- 10 + 10-9

) m2Js.


Si scrive allora:

(4) dQ S = [cv n -D (dc l dn)]di. .

Per quanto si è detto, il primo termine a secondo membro della ( 4) rappresenta il trasporto per convezione, il secondo quello per diffusione.

In un siffatto sistema fluido in moto, si consideri, ora, un prisma elementare di spigoli dx, dy, dz, paralleli ai tre assi cartesiani. E' facile esprimere, con l'ausilio della ( 4 ), il bilancio di massa, il concetto, cioè, che la differenza tra la massa di soluto entrata e quella uscita nel tempo dt è pari all'incremento di massa che si è determinato nello stesso tempo dt nel prisma 4.

Semplici passaggi consentono di scrivere, così, la relazione:

ac +l a{c~ + ~cvJ a( cv J l dt dX dy + dZ J

(5) l r d2

C d2C d2

C l D l ax 2 + ai + az 2 J

ovvero:

(5') dc l dt + div (cv) = D· V2c

4 Attraverso, p. es., la coppia di facce ortogonali a x entrano e escono

rispettivamente le quantità: { _ ac)

ov x - D - dy dz dt .. ax

r( a~-) [a( cv J a2 c ]~ l cv x - D ax + ~ dx - D ax 2 dx ~ dy dz d t

Peraltro, la variazione di massa di soluto nel prisma è:

~

a c - dt dx dy dz a t

358 CAPITOLO DECIMO

ovvero, avvalendosi del simbolo V di nabla:

(5")

Per fluidi incomprimibili div v = O, e la somma tra parentesi quadra a primo membro della (5) si semplifica in:

mentre la (5") si scrive:

(5' ")

dC dC _,dC, v - +v - +v -

x ax y ()y z az '

dC + v·Vc

d t

Infine, se il moto è uniforme secondo x e piano secondo la giacitura (x, z), tenuto conto dell'ultima semplificazione, la (5) si scrive:

Nelle (5) il secondo termine a primo membro rappresenta il contributo dovuto al trasporto convettivo; il secondo membro, il contributo dovuto alla diffusione.

4. La diffusione turbolenta

4.1 Il bilancio medio di massa

Se il moto della soluzione è turbolento, come avviene nella quasi totalità dei problemi idraulici, si può:

a. in primo luogo, applicare al prisma elementare, la relazione (5);


b. esprimere in questa i valori istantanei della concentrazione e delle velocità come somma dei valori medi locali 5 (c, v x, .. . ) e dei termini di agitazione (c', v'x• .. . ),scrivere, cioè: c= c+ c'; v x = v x + v'x; ... ;

c. applicare, infine, il procedimento della media temporale, eseguire, cioè, su ogni termine A l'operazione:

(11 T) JT A dt

Semplici passaggi consentono di dedurre la seguente relazione:

~ ra a a l at + l~(cvJ + ay-(cvy) + ~(cvJj +

(6) r a (-) a (-) a (-)l + l- c'v' + - c'v' + - c'v' J ax x ay y az z

ra 2c a 2c a 2cl D la x2 + a y 2 + a z2 J

che può anche scriversi, raggruppando diversamente i termini:

ac r a ( -) a ( -) a ( -)l at +lax cv, +c'v: +ay cvy + c'v~ +az cv,+c'v: J=

(6') r a2c a2c a2c l

= D lax2 + ay2 + az2 J

Per fluidi incomR.riJcibili, tenuto conto che div v = O, la (6) si semplifica nella:

(6") ac r ac - ac acl r a (- . )l . . at+lv, ax +Vy ay + v, azJ + lax c'v: + ... ... J =D[. .... .' .).

Per un commento sul significato di c, v, ... . , quando il moto e le caratteristiche del sistema variano localmente anche nei valori medi, si rinvia ai testi specializzati .

360 CAPITOLO DECIMO

Nel particolare caso di un moto piano e uniforme, ché si svolga secondo la direzione x, per il quale, però, le concentrazioni varino sia localmente nel tempo, sia lungo x e z (fig. 1), la (6' ) diventa a sua volta:

(6"')

tenuto conto che sono nulle, in tal caso, tutte le derivate rispetto a y, perchè il moto è piano, e anche le grandezze vy , v, ' ca v, fax), perchè il moto è uniforme

secondo l'asse x.

E' evidente l'affinità tra la (5), da un lato, e le (6) e (6'), dall'altro. Queste ultime differiscono dalla (5) solo perchè:

l. in esse compare la concentrazione media locale c al posto di quella istantanea c;

2.

(6').

esse contengono i tre termini connessi con i valori d'agitazione c', v'x,

v~, che non appaiono, invece, nella (5).

z

/ r v x ' c

Fig. l

Conviene esaminare il significato dei vari gruppi di termini delle (6) e


Si consideri dapprima l'ultimo, quello a secondo membro. Esso è chiaramente un termine diffusivo, equivalente a quello proprio di un ideale moto privo di turbolenza, nel quale le concentrazioni istantanee siano pari ai valori medi locali c del moto reale. E' di norma, molto piccolo rispetto agli altri termini e, quindi, di solito, viene trascurato.

Si considerino, poi, i tre raggruppamenti della (6') come Cv ;c + c'v:): essi rappresentano, per la loro genesi, i valori medi delle portate massiche di soluto defluenti attraverso le superficie unitarie normali ai tre assi, in assenza di diffusione molecolare. Dei due termini che li compongono, il primo rappresenta la portata unitaria che si avrebbe, per convezione, in un moto caratterizzato da valori istantanei pari alle medie locali di c e di v; il secondo, un'aliquota di portata connessa con l'agitazione turbolenta. ·

I termini del primo tipo (le cui derivate, nella (6), sono raggruppate nella prima somma tra parentesi quadra) possono ben denominarsi, per analogia con la (5), di "trasporto convettivo": essi danno un contributo tanto più grande alla variabilità locale. di concentrazione (dc !dt), quanto più grandi sono le velocità e le concentrazioni medie locali e le loro variabilità spaziali. Così, se si considera ancora, come esempio, il particolare moto uniforme e piano di un fluido incomprimibile considerato nello scrivere la (6" '), è facilmente intuibile che un andamento crescente con x della concentrazione media locale (dc !dx > 0), tende a determinare, per la contemporanea presenza di un moto medio lungo x, una riduzione locale della concentrazione; e che questa riduzione è tanto più rapida quanto maggiore è la velocità v x e quanto maggiore è la variabilità di c lungo x: tale fatto è sinteticamente espresso, nella (6" '),dal termine v x (dc ldx).

I termini del secondo tipo, cioè c'v:, c'v~, c'v~, sono connessi,

evidentemente, con l'agitazione turbolenta. Per la loro genesi, a rigore, anch'essi sono di natura convettiva, rnà si preferisce indicarli come termini di "diffusione turbolenta" , in quanto -rappresentano un processo cinematico analogo alla diffusione molecolare. Se essi sono diversi da zero, ciò esprime il fatto che c'è una correlazione tra le c' e le componenti della velocità d'agitazione: in altre parole, che a valori positivi di c' (aumento temporaneo della concentrazione rispetto alla media locale) corrispondono valori prevalentemente positivi (oppure prevalentemente negativi) della generica componente della velocità d'agitazione (vx', vy', Vz'); e che a valori negativi di c' corrispondono valori prevalentemente negativi (oppure prevalentemente positivi) della stessa componente. ,

362 CAPITOLO DECIMO

~

I tre termini in parola, già si è detto, sono del tutto equivalenti a delle portate unitarie di soluto attraverso superficie ortogonali ai tre assi cartesiani (x, y, z). E possono interpretarsi come le tre componenti di un vettore q~, la cui proiezione secondo una generica direzione fornisca la media locale della portata di soluto dovuta alla turbolenza attraverso una superficie ortogonale a tale direzione. Se i, j, e k sono i versori secondo x, y e z, si può scrivere, dunque:

q, = c'v' i + c'v' J. + c'v' ·l}{ s x y z

<

La variabilità spaziale dei tre termini contribuisce, come si vede dalle (6), a far variare localmente la concentrazione media c. Purtroppo, la loro valutazione diretta è ancora oggi impossibile. In pratica, si cerca di sostituire ad essi delle espressioni che dipendano esclusivamente dalle caratteristiche medie locali del sistema in movimento. Il seguente paragrafo è dedicato a illustrare e discutere, appunto, le modalità di questo procedimento.

Conviene prima rilevare, però, che, per la definizione di q~ ora data, la (6) può sinteticamente scriversi:

lac at + div (c v) + div q~

4.2 I coefficienti di diffusione turbolenta

Il flusso medio di soluto dovuto alla turbolenza è espresso, come si è

visto, dai prodotti medi come c'v~ . Ma esso è anche strettamente connesso a una variabilità spaziale della concentrazione media locale c.

E' facile mostrare, infatti, che a tale variabilità di c corrisponde l'esistenza di una correlazione tra i termini d'agitazione vj della velocità e quelli

c' delle concentrazioni, cioè, appunto, valori di c'v'i diversi da zero.

Ci si riferisca, per semplicità, al già richiamato schema di moto uniforme orizzontale e piano di figura l, nel quale si è ipotizzato che le c decrescano verso l'alto. Con riferimento alla componente verticale Vz', risulta facilmente


comprensibile che a trasferimenti di masse fluide verso l'alto (v~ >0) corrispondono, di norma, aumenti temporanei di c rispetto ai valori medi locali c (c'>O), in quanto tali masse attraversano o raggiungono strati con concentrazioni medie locali minori delle concentrazioni da esse possedute e proprie delle zone di provenienza. Analogamente, a trasferimenti di masse fluide verso il basso (v~ < 0), corrispondono, di norma, temporanee riduzioni della concentrazione (c' < 0). Di norma, quindi, i prodotti c'v: sono positivi. In altre parole, nel caso specifico, alla riduzione dal basso in alto delle concentrazioni

medie c corrisponde un valore positivo di c'v: . Come si è già ricordato, questo termine rappresenta un flusso di saluto verso l'alto.

D'altra parte, che la turbolenza provochi, in media, flusso di saluto verso strati di minor concentrazione (verso l'alto in figura) è altrettanto comprensibile per via elementare.

Si osservi, infatti, che, al trasferimento di volumi di soluzione provenienti da strati di maggior concentrazione, corrisponde, di norma, il passaggio di quantità di soluto maggiori di quelle che si accompagnano al trasferimento di uguali volumi di soluzione da strati di minore concentrazione; e la prevalenza degli uni sugli altri, cioè della portata media ·di soluto, sarà tanto più grande quanto più accentuato è il carattere di variabilità della concentrazione media locale lungo la verticale (cioè quanto maggiore e dc ldz).

Generalizzando, si può ben dire, dunque, che quanto maggiore è la variabilità spaziale della concentrazione media locale c, tanto maggiori sono le portate di saluto, che, mediamente nel tempo, fluiscono attraverso una generica superficie per effetto della turbolenza.

Per altro verso, l'effetto sarà tanto più grande quanto più accentuata è l'agitazione turbolenta.

Il modo più sempìfce di esprimere questa duplice dipendenza è la legge di

proporzionalità tra le portate di saluto, espresse dai termini come c'v~ , e le derivate parziali di c. Si scrive, dunque:

(7) c'v' x

a c --E -a - x

,

c'v' y

a c =-E ay c'v' z

dc -E dZ

364 CAPITOLO DECIMO

ovvero, ricordando la definizione già data di q~:

(8) lq~ = -E grad cl nelle quali il fattore di proporzionalità E dovrebbe rappresentare le caratteristiche della turbolenza.

Ma queste ultime sono, in genere, variabili norisolo con la posizione del punto, ma anche con la direzione (eterogeneità e anjS"o~ropia della turbolenza): le caratteristiche della turbolenza che influiscono sul processo di mescolamento non possono essere rappresentate, dunque, da un valore scalare E, sia pure variabile da punto a punto 6

.

E' stato proposto, allora, di attribuire ad E, non più la natura di uno scalare, ma quella di un tensore del secondo ordine. In tal modo: l) si manterrebbe in essere la rappresentazione delle portate connesse con la turbolenza mediante un vettore, q~ ; 2) resterebbe formalmente valida la (8) (che esprimerebbe ancora un vettore come prodotto di un tensore per un altro vettore); 3) si terrebbe conto della anisotropia della turbolenza, la cui influenza sul processo di mescolamento verrebbe rappresentata dalle nove componenti speciali del tensore E. In particolare, le tre portate connesse con la turbolenza che appaiono nelle (6), le tre componenti, cioè, del vettore q~ secondo gli assi (x, y, z) si scriverebbero:

c'v' x ( ac

- E xx ax + a c ac J

E xy ay + E xz az

a c (7') c'v' y

( ac - E yx ax + E yy ay ac J + E yz az

6

( ac a c ac J c'v' - E zx ax + E zy ay + E zz az . z

---Per esempio, nel moto uniforme, come è ben noto, i valori di v~2 , v~2 , v~2 , sono

diversi fra loro.


Con queste precisazioni e tenuto conto della posizione (8), la (6) può essere sinteticamente scritta a mezzo del simbolo V di nabla:

(6v) dc at + V(c v) - V'(E . V'c) = D. V' 2c

Tale impostazione, pur nel suo rigore concettuale 7, non trova, però, un

utile riscontro pratico per la difficoltà di determinazione dei valori dei coefficienti

E i,j·

In subordine, e a un livello di approssimazione intermedio, è stato suggerito di ammettere che le direzioni principali del tensore E coincidano con quelle dei tre assi (x, y, z) della tema di riferimento. In tale approssimazione si può scrivere:

(7' ') ()c

c'v: = - Exx dX c'v' y

()c = - Eyy ()y

()c , ' --E :\ c v z - zz oz

Tenuto conto delle (7''), la relazione (6" ), che, si ricorda, vale per fluidi incomprirnibili, si scrive:

()c l ()c ()c ()c l al = -l V x dX + V y ()y + V z dZ J +

(9) l a ( ac ) a ( ac ) a ( ac )~

+ l dX Ex dX + dy Ey ()y + dZ Ez dZ ~

nella quale si sono usati, per semplicità, i simboli Ex, Ey, Ez e in luogo di Exx, Eyy,Ew e si è omesso, per i motivi già detti, il termine D· V2 c.

' ,·

Infine, la (6"'), .:valida per moto piano e uniforme, diventa:

dc ()c l () ( ()c) () (-- ()c) l (9') \al+ Vxax- -lax- Exax- .+az Ezaz J =Q

Si noti che, in questo modo, il vettore q;, non ha più la direzione di grad c .

366 CAPITOLO DECIMO

~

Anche così, però, le difficoltà di ordine pratico, all'atto delle applicazioni, non sono irrilevanti. Non è infrequente, perciò, che, nella (8), al fattore E venga attribuita la natura di uno scalare, non tenendo conto così della anisotropia della turbolenza; il che equivale a porre nella (9): Ex = Ey = Ez = E .

In ogni caso e quale che sia la natura, di scalare o di tensore, che si attribuisce ad E, il problema di esplimere i termini di turbolenza delle ( 6) in funzione delle grandezze medie locali del sistema è solo parzialmente risolto con la introduzione della relazione (8): in questa, infatti, .appare esplicitamente solo la dipendenza di tali termini dai caratteri di variabilità spaziale di c, cioè da (grad c); non appare, invece, in che modo si possano esplimere i valori di E (o di Ei,j) in dipendenza dei caratteri medi locali del moto. E' lo stesso problema che si incontra nello studio della dinamica della turbolenza, nel quale si cerca, come è noto, di esprimere gli sforzi alla Reynolds in funzione delle velocità medie locali e, in genere, dei caratteri medi, locali o globali, del moto.

La pratica possibilità di utilizzare la (8) è subordinata, dunque, alla lisoluzione di questo problema: in che modo determinare i valori da attribuire al fattore E che in essa compare.

Si tornerà in seguito su tale punto per il caso particolare di moti di corrente.

A chiusura di questo paragrafo, conviene solo mettere ancora una volta in luce l'affinità tra il meccanismo di mescolamento turbolento e il processo di diffusione molecolare e, corrispondentemente, l'affinità formale tra la (8) e la (2) (legge di Fick). Il meccanismo di mescolamento dovuto alla turbolenza viene chiamato, perciò, "diffusione turbolenta" (o "eddy diffusion"), mentre il fattore E

della (8) e le sue componenti vengono denominati "coefficienti di diffusione turbolenta": per essi, talvolta, si parla anche di "diffusività turbolenta".

5. La diffusione turbolenta nei moti di corrente

Nelle correnti, è noto, il moto si svolge sensibilmente secondo un'unica direzione, ovvero secondo direzioni via via individuate da un'unica linea curva.

Salvo eccezioni, qui verranno considerate solo correnti di moto uniforme. Più specificamente si farà liferimento, o a correnti simmetriche rispetto all'asse s,


di sezione circolare, o a correnti in moto piano secondo la giacitura (s, n) definita da s e dall'asse n normale a questo (fig. 2). Le proprietà di simmetria assiale o di ripetitività nei piani di giacitura (s, n) verranno attribuiti, non solo alle caratteristiche dinamiche, ma anche alla distribuzione di concentrazione: così, nel moto assialsimmetrico la concentrazione sarà indipendente dalla direzione del raggio r, nel moto piano, indipendente dalla coordinata b lungo l'asse normale ad s e ad n.

Tuttavia, molti dei concetti, delle definizioni e delle formule seguenti possono essere, o direttamente applicati a correnti diverse da quelle prima citate, o facilmente estesi.

Fig. 2

Nelle correnti in genere, il trasporto longitudinale di soluto dovuto alla diffusione è comunemente ritenuto trascurabile rispetto al corrispondente trasporto convettivo. In altre parole, la portata massica dQs,s di soluto attraverso una superficie elementare dcr ,.ortogonale a s viene espressa dalla dQs,s = c v dcr , trascurando, così, l'aliquota ' -E5 (òc !òs) dovuta alla diffusione longitudinale .

. l'

Occorre tener ben conto, invece, della diffusione trasversale: infatti, in mancanza di componenti trasversali del moto medio, è solo la diffusione a causare il trasporto trasversale.

Così, in una corrente in moto piano, tenuto conto che l'unica diffusione trasversale possibile è quella nella direzione n e che ad essa corrisponde una portata massica di soluto per unità di superficie data dalla:

368

(lO)

CAPITOLO DECIMO

dQs,n dC ---cdL -- n dn '

la (9') del paragrafo precedente può scriversi:

(9")

<

avendo sostituito alla precedente tema d'assi (x, y, z)' la 'nuova (s, n, b).

(lO')

(9" ')

Analogamente, per corrente di sezione circolare:

dc d t

dc +vas

dc =-E

r dr

5.1. Il coefficiente di viscosità turbolenta v1

Come è noto, in una corrente turbolenta in moto uniforme di sezione circolare lo sforzo tangenziale totale t"T (più precisamente, il valore medio locale)

si esprime come somma dello sforzo tangenziale vero e proprio 'f 1.1 , dovuto alla viscosità, e dello sforzo tangenziale alla Reynolds 'f R· che è, in realtà, la componente secondo s del flusso di quantità di moto attraverso una superficie unitaria laterale, ortogonale, quindi, al raggio r 8

.

Se si considera una corrente di raggio r0, lo sforzo che un nucleo interno di raggio r, ad essa coassiale, esercita verso l'esterno attraverso la superficie laterale è dato da:

dv 1 .. + 'fR =- !-!- + pv'v' ,. dr s r

v. Capitolo II.


in cui l'ultimo termine è costituito dalla media temporale dei prodotti delle due componenti v~ e v; della velocità d'agitazione, moltiplicata per la densità p; peraltro, si è usato il simbolo di derivata totale, perchè si sta considerando un moto uniforme, e si è tenuto conto, inoltre, dell'uguaglianza V

5 = v . Va rilevato

anche che i segni impiegati corrispondono al fatto che si stanno considerando sforzi che dall'interno vengono esercitati verso l'esterno.

Ora (Cap. II), in analogia con l'espressione del vero e proprio sforzo tangenziale ~ f.l, si suole esprimere anche lo sforzo alla Reynolds ~ R· a mezzo di una relazione del tipo:

(11) 'tR dv

- 11dr

dove 11 è un coefficiente di viscosità turbolenta, che, a differenza di 11, non dipende solo dalle caratteristiche del fluido, ma anche dalle caratteristiche del moto (J. Boussinesq, 1877). E se si introduce l'ulteriore coefficiente Vr = 11/p, la precedente si scrive:

(11 ' ) l'· =-v, p~l Il coefficiente Vr , definito dalla (11 ') , viene chiamato coefficiente di

viscosità cinematica turbolenta (o eddy viscosity), in analogia con il ben noto coefficiente di viscosità cinematica v = !..lfp . Per esso, tuttavia, l'attributo di cinematico viene quasi sempre omesso.

Con questa definizione lo sforzo tangenziale totale ~T può essere espresso dalla:

.J•

(12) dv

tT =-(v +vJ p- . dr

La scrittura delle (l l ) deriva dalla constatazione che, con riferimento ai valori assoluti delle varie grandezze, gli sforzi tangenziali turbolenti crescono al crescere di (dv /dr) e si annullano all'annullarsi di questo. Per altro verso, l'esame dei caratteri ·cinematici del moto turbolento, fatto alla luce della reale natura di flusso di quantità .di moto della ~ R· consente di rendersi conto che, a pari

370 CAPITOLO DECIMO

(dv /dr), tale scambio è tanto più intenso, quanto più acce~tuato è l'effetto di mescolamento dovuto alla agitazione turbolenta: di qui, la conclusione che T]

e V1 dipendono dai caratteri della turbolenza.

Nel caso particolare di fluidi incomprimibili, lo sforzo alla Reynolds può anche scriversi:

(11") d(pv) •.

=-V ~ -- -- . dr,

Ai fini dei successivi sviluppi è di fondamentale importanza rilevare che la (11 ") può interpretarsi, a meno del segno, come una relazione di proporzionalità tra il flusso medio di quantità di moto per unità di superficie ortogonale a r (o meglio della componente di esso secondo s) e il gradiente della media locale di quantità di moto (p v) contenuta nel volume unitario, cioè della "concentrazione di questa quantità di moto".

Risulta evidente, allora, l'analogia tra la terza delle (7") (par. 4.2), che nel moto qui considerato corrisponde alla:

(7") a c

c'v' =-E-r r ar '

e la (11 ") e, quindi, tra i coefficienti Er e V 1 che in esse compaiono. Essa viene denominata "analogia di Reynolds".

Entrambe le relazioni esprimono, a meno del segno, la proporzionalità tra la variabilità spaziale della concentrazione di una certa grandezza (massa di soluto, in un caso, quantità di moto media locale, nell'altro) e il flusso della stessa grandezza, tramite coefficienti Er e V1 che dipendono dai caratteri della turbolenza nel punto considerato, in quanto sono chiamati a commisurare l'effetto del mescolamento da questa provocato; e in entrambe il segno meno sta a indicare che il flusso si svolge dalle zone di maggior concentrazione verso quelle di minor concentrazione.

Di qui l'orientamento a ritenere uguali, per un certo punto di una certa corrente turbolenta, i valori di Ere V1

9; a scrivere, quindi:

L'analogia si estende al processo di diffusione del calore per convezione.


l Er = Vt l

Di qui, la possibilità di usufruire della eventuale conoscenza di V1 per determinare Er.

Il paragrafo successivo è dedicato appunto alla scrittura delle espressioni di V1 per due casi semplici di moto uniforme: i valori di V1 da esse calcolabili possono essere assunti come valori del coefficiente di diffusione turbolenta trasversale.

5.2 Espressioni e valori di v~

La conoscenza dei valori da attribuire al coefficiente di viscosità turbolenta V 1 ovvero la conoscenza delle regole per la sua determinazione possono costituire, dunque, un utile mezzo di valutazione del coefficiente di diffusione turbolenta Er

Conviene, allora, soffermarsi a esaminare in che modo s1 possono determinare i valori di V1 in alcuni casi molto semplici di moto.

E' noto che una delle leggi più frequentemente impiegate per rappresentare la distribuzione delle velocità è la legge logaritmica. Essa, per correnti circolari, può scriversi:

v (12)

v.

l r -r -In - 0

-K L

Nella (12) v* = ~(.1 0 l p) è la velocità d'attrito alla parete (con 'to

sforzo tangenziale alla {>prete), L è un coefficiente che ha le dimensioni di una lunghezza e K è la cosidetta costante universale di von Karman, senza dimensioni, cui viene attribuito di solito il valore 0,40.

(13)

Alla (12) corrisponde un gradiente della velocità dato dalla:

,

dv

dr

v. l =- -- ----

K r0 -r

372 CAPITOLO DECIMO

" Peraltro, lo sforzo tangenziale alla distanza y = (r0 - r) dalla parete, cioè alla distanza r dall'asse, è dato dalla:

(14) r

::e-T = 't -o r o

Va ricordato, a questo punto, che, in buona parte del corpo di quasi tutte le correnti in moto turbolento, lo sforzo viscoso è trascttrabile rispetto allo sforzo tangenziale turbolento, se si eccettua la zona imm~.dia,tamente vicina alle pareti, di spessore normalmente piccolissimo. Si ritiene ammissibile, allora, scrivere:

Tenuto conto di tale posizione, l'introduzione delle (13) e (14) nella espressione (11 ")di v t porta a:

1R v =- = t p(dv/dr)

t 0 (r/r0 ) _ t 0 (r/r0 )

p( dv/dr) - p v .1[( K (r0 - r )] '

e quindi, sostituita l'espressione di v*, si ha:

(15) V = KV . r(l- _E_ J t • fo

Analogamente, per corrente in moto piano tra due lastre piane distanti d tra di loro:

(15')

Nelle precedenti, si ricorda, r rappresenta la distanza dall'asse s, n la distanza dal piano (s, b) (fig. 2).

Ovviamente, per una assegnata corrente, v* può essere determinata da una delle:

gRI v.


essendo R il raggio idraulico (r0 /2 per corrente circolare, d/2 per moto piano), I la cadente piezometrica, V m la velocità media di portata, À l'indice di resistenza.

La (15), valida, come si è visto, per correnti di sezione circolare, viene anche scritta in termini adimensionali:

(15") ro

V 1 r ( = K - l v .Co ro

r

ovvero, in funzione della distanza y = r0-r dalla parete:

(15" ') VI y ( y ~ = K~ l-~

Questa, rappresentata in diagramma cartesiano (fig. 3), ha un andamento prima crescente dalla parete fino a una distanza pari alla metà del raggio r0, e poi decrescente fino al valore zero per y=ro , cioè, in asse.

Ma l'annullarsi di V 1 per r = O può essere attribuito al fatto che, in asse, pur essendo nullo lo sforzo tangenziale, la legge logaritmica, certamente approssimativa, fornisce un valore di (dv /dr) ancora diverso da zero. In realtà, l'esame diretto dei risultati sperimentali, fatto senza l'intermediazione della legge logaritmica, mostra andamenti di V1 /(v* r0) alquanto diversi, sia pure con le inevitabili incertezze dovute al tipo di elaborazione di dati sperimentali (fig. 3). Comunque, appaiono confermati: l'ordine di grandezza di V1 ; la presenza dei massimi a distanze interm~die tra l'asse e la parete; la tendenza alla notevole riduzione di V1 in prossimit.~ ctèll'asse.

Sull'ordine di grandezza di V1 può dirsi qualcosa prendendo spunto da un esempio numerico. Così, se in una tubazione di raggio r0 = l m, defluisce una corrente con una cadente I= 0,001 e si assume V 1/( v* r0) = 0,07, risulta:

v* = ~(9,81 · 0,5. 0,001) = 0,07 ; V 1 = 0,07 · 0,07 ·l= 0,005 m 2 /s

"

374 CAPITOLO DECIMO

0,2 _0,4 0,6 0,8 1,0

Relazione (15'') e punti dedotti dalla elaborazione di dati sperimentali del Laufer (1954)

Fig. 3

y l ro

Tenuto conto che per l'acqua la viscosità cinematica è dell'ordine di 10-6 m2/s, ne risulta che il rapporto V 1 /v è, nell'esempio considerato, di alcune migliaia di unità. Naturalmente, al ridursi di V 1 (e ciò avviene in prossimità delle pareti), anche tale rapporto si riduce notevolmente.

A chiusura di questo paragrafo, conviene ribadire ancora una volta che, almeno per i casi semplici di moto qui considerati, il coefficiente di diffusione in direzione trasversale viene assunto uguale al coefficiente di viscosità cinematica turbolenta. Nei due casi di moto uniforme qui esaminati, si scrive, cioè:


6. La dispersione longitudinale nelle correnti

6.1 Generalità

E' esperienza comune che, in una corrente idrica, il soluto inizialmente presente in un tronco di una certa lunghezza, si espande ad occupare tronchi di lunghezza via via crescente. Infatti, le masse idriche più veloci di tale tronco (di norma quelle più lontane dalle pareti) distanziano sempre di più quelle più lente, alle quali originariamente si affiancavano, e vanno ad affiancarsi ad altre masse d'acqua, antistanti e più lente, nelle quali il soluto era inizialmente assente; a loro volta, le masse idriche più lente del tronco inizialmente carico di soluto vengono raggiunte e affiancate da altre massé' retrostanti, che ne erano prive.

Naturalmente, la contiguità di masse idriche cariche di soluto (le più veloci, nelle parti antistanti, le più lente, nelle retrostanti) con masse d'acqua che ne sono prive determina un passaggio di soluto dalle prime alle seconde per effetto della diffusione trasversale.

Il meccanismo cinematico, qui descritto per un caso semplice e schematico, dà luogo, più in generale, ad un processo di distribuzione di soluto lungo l'asse della corrente, che verrà chiamato dispersione longitudinale.

Da quanto si è detto, il processo di dispersione è effetto combinato della variabilità della velocità locale nella sezione della corrente e della diffusione trasversale. Ma quest'ultima esercita, in certo qual modo, un'azione di attenuazione, in quanto tende ad uniformare le concentrazioni nella generica sezione 10

: così, se ci si riferisce ancora all'esempio prima considerato, in esso le masse idriche più veloci, inizialmente cariche di soluto, dopo aver ceduto parte del loro contenuto alle masse idriche laterali da esse raggiunte, porteranno con sè, nell'ulteriore avanzamento yerso valle, quantità di soluto minori di quelle che avrebbero portato in as~~nza di diffusione laterale. Nella dispersione è, invece, irrilevante, di norma, l'effetto della diffusione longitudinale.

Sia C la concentrazione media in una sezione, definita come rapporto tra la massa di soluto contenuta in un cilindretto elementare di base cr e altezza

IO Nella quasi t6talità delle correnti di interesse per l'ingegnere è da considerarsi la sola diffusione turbolenta. Della diffusione molecolare occorre tener conto solo nelle correnti laminari~

376 CAPITOLO DECIMO

~

ds e il volume di questo, e legata, ovviamente, alle concentrazioni locali c dalla:

(16) C = _!_ f c dcr O" cr

Scopo dello studio della dispersione longitudinale è la determinazione di regole e proprietà che reggono il processo di evoluzione della concentrazione media C con il tempo t e con la distanza s: che siano atte, quindi, a consentire, nei singoli casi, la determinazione della legge C=C(p, t).

Lo studio viene condotto, di norma, con strumenti formalmente abbastanza semplici, a condizione che il soluto sia già abbastanza diffuso nella sezione. In tal caso il bilancio di sostanze disciolte si esprime facendo riferimento direttamente ai valori medi nella sezione della portata e della concentrazione, senza l'intermediazione, cioè, delle concentrazioni locali.

Ma, prima di passare a trattare in modo rigoroso e in termini generali il problema della dispersione longitudinale nelle correnti, conviene considerare un caso ideale, in cui il trasporto di soluto avvenga in assenza di diffusione, sia molecolare, sia turbolenta: un caso, cioè, in cui, per ipotesi, il processo di dispersione sia regolato solamente dal trasporto convettivo del moto medio locale. L'esposizione del caso può contribuire a meglio chiarire il meccanismo della dispersione.

Si consideri, dunque, una corrente uniforme di sezione circolare, nella quale un tronco di lunghezza f 0 sia occupato al tempo t=O da una soluzione di concentrazione costante c0 (fig. 4.a), essendo nulla la concentrazione a monte e a valle 11

•

Al passare del tempo lo stato della soluzione può essere schematizzato come nelle figg. 4.b e 4.c, corrispondenti rispettivamente a valori del tempo t per i quali il prodotto della velocità massima vM per t sia minore o maggiore di f 0 • In entrambe le figure sono tracciati, per due valori di t, i diagrammi dei prodotti s = t· v(r) e s = f 0 +t· v(r) , dove v(r) rappresenta la legge delle velocità puntuali. Più precisamente, la figura 4.b si riferisce a un tempo

Il Più avanti la funzione C(s,t) verrà considerata continua e derivabile. In questo esempio, proposto qui solo per utilità didattica, tale proprietà non è certamente soddisfat.ta.


t < C ofvM , la figura 4.c, a un tempo t > .e 0/vM: in ognuna delle figure le due curve delimitano, a monte e a valle, il-tronco di corrente in cui è presente il soluto.

Un puntuale esame dei due scherni permette di esprimere, per ciascuna delle 7 zone definite nelle figure, la legge di dipendenza del rapporto tra la concentrazione media C nella sezione e la concentrazione iniziale c0 dalle due variabili indipendenti (s,t); di dedurre, cioè, le appropriate espressioni della funzione C/c0 = f(s ,t) .

--- lo----

!.· ... . ·.,..

:)·~-' ..

. .. .... .. E . ·: ._. ·.· :, ·: - ·.: ro . ·. :_:_: · .. _::, ~ t= o a)

s=O

b) VM t <( 0

c) r~l}-.:·~_:-_:: -~ . :;::._·: __ ·::: ::·:-~.\)0> VM t >f O

--@ •l• 0) •161• (}) •l• @T

Fig. 4

Se, per esempio, si fa riferimento alla zona 6 di figura 4.c, si può scnvere:

(17) .:-

C = c ( nr.2 - nr}. ) o

in cui i raggi r. e r •• sono definiti rispettivamente dalle relazioni:

(18) s = C 0 + v( r. ) · t ; s = C 0 + v(r •• ) · t .

Se, in particolare, si assume per la v(r) , la legge di potenza (formula (52), Cap. Il): ,

378 CAPITOLO DECIMO

(19)

in cm v è la velocità media locale e À l'indice di resistenza, e si introduce questa nelle (18), si ricavano immediatamente le espressioni dei rapporti r. /ro e r .. /r0 che, introdotti a loro volta nella (19), portano alla:

.r

(19')

in cui si è posto: s'=s lf 0 ; t'=vM t re 0 . Da quanto si è detto, la (19') vale per la

zona 6 di fig. 4.c, definita nell'ambito: f 0 S s S vMt; cioè, in termini

adimensionali, nell'ambito l S s' S t' .

Nella seguente tabella sono riportate le disequazioni che, in termini adimensionali, definiscono e delimitano ciascuna delle zone indicate in fig. 4 nonchè le corrispondenti espressioni del rapporto C/c0, ottenute con il procedimento prima illustrato.

Da essa è tratta la serie di diagrammi di coordinate (s', C/c0) di fig. 5.a, in cui ogni curva corrisponde a un valore del tempo adimensionale t' . Il valore di À prescelto è À=0,00898, che, nel caso di tubi lisci, corrisponde a un numero di Reynolds Re=5x106

. Analogamente, in fig. 5.b sono tracciate, per lo stesso caso, delle curve in coordinate (t', C/c0) per alcuni valori di s'.

Nella fig. 5.a si nota chiaramente l'allungamento del tronco occupato dalla soluzione e, nello stesso tempo, la progressiva attenuazione del valore massimo della concentrazione media C nella sezione, pur nella ipotizzata assenza di diffusione. Ovviamente, in base alle ipotesi introdotte, la lunghezza f aumenta con il tempo secondo la: f = f 0 + v M t . Ma, se si escludono le parti in cui la C è molto piccola, la lunghezza del tronco realinente interessato dalla presenza del saluto risulta molto minore 12

. Analoghe considerazioni si possono

12 Se, p. es., in fig. 5 .a si considera il tempo t'= v M t l f 0 = 4, risulta

v M t = 4 f 0 ; e quindi, al tempo t = 4f 0 l v M , risulta. f = 5f 0 . Invece, la

lunghezza f o,os del tronco in cui le C sono maggiori di 0.05 c0 è valutabile in


fare con l' ausilio della fig. 5.b, sui tempi di permanenza significativa di soluto ad una certa progressiva s.

Zona l Ambito di validità Cl co

l s' ~t' ~ l [ 1/JÀ T 1- 1-(s/ t')

2 t'~s'~l l

3 l +t' ~s ' ~ l ~t' [~-(s'~! rJ 5 s' ~ l ~t' [ ( r'JI T 1- 1- sjt'

6 l~s'~ t ' [l -(s'~ l JJ> J -[ 1-( f r J 7 l +t' ~s' ~t' ~l [ 1-( s'~ l r· J 4

s'~ O o s' ~ l +t'

6.2 L'espressione della portata di soluto

Si ritorni, ora, al caso generale di dispersione in presenza di diffusione trasversale, e al bilancio di , so~.uto che per il suo studio viene istituito.

Al riguardo, oct orre soffermarsi preliminarmente sulla particolare espressione della portata massica di soluto Qs,s che in tale bilancio viene impiegata.

termini adimensionali dalla differenza tra le ascisse s'2 = 4,95 e s'1 = 2,7 . Ne

consegue: f o.os = ( 4,95- 2,7) f 0 = 2,25 f 0 .

l

380 CAPITOLO DECIMO

~

Si è più volte detto che, anche quando si tenga conto della diffusione, le quantità di soluto trasportate longitudinalrnente nell'intorno di un generico punto vengono ritenute, di norma, praticamente uguali a quelle corrispondenti al trasporto convettivo locale: non si tien conto della diffusione longitudinale. Di conseguenza, la portata dQs,s di soluto attraverso una sezione idrica elementare dcr può essere espressa dalla:

dQs,s = c v dcr , _,.

in cui c e v sono i valori locali rispettivamente della concentrazione e della velocità (c e v nel regime turbolento). A sua volta, la portata massica Qs,s

2 3 4 5 6 7 8 IO

a)

Cleo s'= 2

2 3 4 5 6 7 8 10

b)

Fig. 5


attraverso l'intera sezione idrica cr sarà data dalla:

(20) IQs,s = fa C V d~ Si sostituiscano, ora, ai valori locali v e c le:

(21) v = v + ò.v ; c = c + ò.c

si esprimano, cioè, i valori locali come somma dei valori medi nella sezione cr:

V = _!_ I v dcr O" a

C = _!_ I c da ; O" a

e degli scarti ~v e ~c dalle medie.

Dopo semplici passaggi, tenuto conto che i valori medi di ~v e di ~c sono nulli, si ricava:

(22) IQs,s = CV O" + { D. v ò.c da l

La portata di soluto Qs,s può essere espressa, dunque, come somma di due termini. Il primo, che verrà denominato di trasporto convettivo, rappresenta la portata che passerebbe, se le concentrazioni locali o le velocità fossero costanti nella sezione e pari ai rispettivi valori medi C e V della reale corrente. Il secondo dipende dal modo in cui velocità e concentrazione variano nella sezione intorno ai rispettivi valori medi. Quest'ultimo rappresenta la portata massica di soluto che vedrebbe passare un ideale osservatore che muova con velocità V. Nel moto relativo a tale osservatore, infatti, la corrente è dotata di una velocità media nulla, mentre i termini ~v 'e ~c restano gli stessi che nel moto assoluto. Si può dire, quindi, che il seco~do termine della (22) rappresenta la portata relativa al moto medio della corrente.

Ma, nella impostazione globale che viene data allo studio della dispersione, ci si prefigge di eliminare le grandezze locali, come ~v e ~c, e far apparire solo quelle che si riferiscono alla intera sezione: velocità e concentrazione medie, V e C, e loro eventuali derivate. E il secondo termine della (22) va trasformate di conseguenza.

382 CAPITOLO DECIMO

Si ammette, allora, che la portata Qs,s di saluto possa essere espressa dalla:

(23)

che differisce dalla (22) appunto per il secondo termine. E, anche nella (20), il secondo termine deve rappresentare gli effetti combinati1della reale distribuzione di velocità e di concentrazioni nella sezione: verrà chiamato termine dispersivo. n fattore E, che esprime la proporzionalità con la variazione unitaria di C lungo s, viene denominato coefficiente di dispersione: esso è positivo e, così come i coefficienti di diffusione, ha le dimensioni L2 T 1

. Peraltro, il segno negativo nella (23) sta a indicare la tendenza del saluto a spostarsi, nel moto relativo al moto medio della corrente, in quantità maggiore dalle zone di maggiore concentrazione verso quelle di minor concentrazione che non viceversa, e quindi sta a esprimere il fatto che la portata massica di saluto è, rispetto alla corrente, positiva nel verso delle C decrescenti (se òC/Òs< O, -E ()Cfòs> 0).

L'espressione (23) può essere giustificata per via teorica, almeno per alcuni casi di moto uniforme e sia pure a costo di notevoli semplificazioni negli sviluppi. Nella deduzione qui di seguito esposta si farà riferimento ad una corrente uniforme a pelo libero di spessore h, in moto piano.

Ma va chiarito subito che essa viene ritenuta accettabile solo se il saluto è abbastanza ben distribuito nella sezione, e quindi non certamente in prossimità di una immissione localizzata. Su tale punto si tornerà più avanti, alla fme del paragrafo 6.4, nel caso particolare di alvei larghi.

Si consideri, dunque, una corrente a superficie libera, uniforme secondo l'asse s (assunto qui coincidente con la linea di fondo) e piana nella giacitura (s, b) ; sia h la sua altezza. Per una fascia di larghezza unitaria risulta <J = h.

Si applichino ad essa, le relazioni (5 1v) e (9'), tenendo conto del cambiamento del sistema cartesiano.

Per il regime laminare la (5 1v) si scrive:

dc dc + y -

dt ds


e per il regime turbolento la (9') diventa:

(9 " ) ac ac a( ac) dt + va; = dn fn dn ,

avendo, in ogni caso trascurato la diffusione longitudinale, in coerenza con quanto si è detto in precedenza.

Si farà riferimento, qui di seguito, esclusivamente alla (9"), che riguarda il regime turbolento.

Fatte le sostituzioni (21), essa, dopo passaggi elementari, porta alla:

(ac ac) (aM a~c) ac a~ c - +v- + - +v- +~v- +~v- = dt ds dt ds ds ds

che può anche scriversi:

a a~c -f dn n dn

(24) dc . (ac a~c) a a~c - + !J.v - + - - - f -dt ds ds - dn n dn '

valida con la condizione che i differenziali ds e dt siano legati tra di loro dalla:

(25) ds

d t = v

in altre parole, a condizione che la derivata totale d c /dt sia fatta lungo una linea del piano (s, t) definita dalla (25).

La (24) esprime in forma differenziale la legge di variazione nel tempo della concentrazione locale c = C + ~c , così come la vedrebbe un osservatore ideale, che muova con velocità pari alla velocità media di portata V della corrente.

La (24) può esser integrata a costo di una serie di ipotesi semplificatrici , fatte per la prima volta da G. Taylor nel 'l<j,j3 nel trattare della dispersione in correnti di sezione circolare, e giustificate in base alla ] alutazione dell'ordine di grandezza dei vari termini che la compongono.

In sintesi, si trascurano nella (24) la somma del primo e del terzo termine. Essa, allora, si riduce alla:

(24') a c

~vas

che può essere integrat~ due volte rispetto a n.

a a~c - f dn n dn

384 CAPITOLO DECIMO

Tenendo conto, tra l'altro, che per n= O, cioè al fondo, (Òc !òn =O (v. formula (3)), si ha:

ac I" I" Se (n) = as 0 E~ 1 dn 0 ~v dn + ~c (O) .

Se si introduce questa espressione della funzione ~c (n) nell'integrale a secondo membro della (22), si ha:

che può anche scriversi:

nella quale si sia posto:

(26)

. .r

~~ J:~v [f;e;;1dn t~~dp] dn

J: ~c ~v dn a c

Ehils

essendo K il già definito coefficiente di dispersione.

(23')

La portata massica di soluto per unità di larghezza è data, allora, dalla:

a c Q 5_, = hCV- hEas

che costituisce una espressione della (23) nel particolare caso, quello di moto piano turbolento, qui considerato.

Per la (26), il coefficiente di dispersione E risulta crescente al decrescere del coefficiente di diffusione En (nel caso considerato, di diffusione turbolenta) e dipende, poi, dalla legge di distribuzione delle velocità v intorno al valor medio V.

Una analoga espressione di E si ottiene per moto in regime laminare:

(26')

nella quale si è tenuto conto che, a differenza di En , il coefficiente D è costante.


6.3 Il bilancio di massa per l'intera corrente

Si passi, ora al bilancio delle masse di soluto, che viene fatto , questa volta, considerando la corrente nella sua globalità. Con riferimento, dunque, ad un tronco di sezione cr e lunghezza elementare ds si esprima il concetto che, nel tempo elementare dt, l'aumento di massa presente nel tronco è pari alla differenza tra massa entrante e massa uscente. Nel procedimento la portata Qs.s verrà espressa tramite la (23).

Per la stessa definizione di concentrazione media, la massa di soluto presente in un certo istante è data da: cr C. ds; e la sua variazione nel tempo dt, da:

d(crC) dt ds a t

Peraltro, la massa che entra nel tempo dt attraverso la faccia di monte del tronco e quella che ne esce sono date rispettivamente da:

QS.s dt [ aQS,s J

Q s,s + -----as- ds dt

Eguagliando la differenza tra queste due quantità all'incremento di massa presente, si ha:

(28)

(29)

a(crC) a t

Ma, per la (23) risulta: ' .

'

+ aQS,s

as o .

aQs~ a r acl - asL cv cr - cr E as J . as

La (28) diventa, allora:

a<crc) a ( ac) -- + - CV cr - cr E- = O at as as ,

386 CAPITOLO DECIMO

La (29) è l'equazione fondamentale della dispersione longitudinale.

Se il moto è uniforme, essa si semplifica nella:

(29')

nella quale V, E e a sono stati posti costanti con s., -·

-_,

Per quanto riguarda il coefficiente E, si riportano qui di seguito le semplici espressioni ricavate per moto piano dalle (26) e (26') e per correnti di sezione circolari dalle appropriate relazioni a queste equivalenti. Le leggi di velocità adoperate sono le paraboliche per il regime laminare, le logaritmiche per il regime turbolento.

- Moto piano laminare a superficie libera d'altezza h:

(30) E

- Corrente laminare in tubazione di raggio r0:

(30') E 192 D

- Moto piano turbolento a superficie libera d'altezza h:

(30") E 0,404 --3 - h v.

K

- Corrente turbolenta in tubazione liscia di raggio r0:

(30"') E = 10,1 r0 v • .

Se, ad esempio, si considera la (30") e la si applica ad una corrente di altezza h = l m e cadente piezometrica I = 0,001, si ottiene facilmente:

- 2 E= 0,63 m /s.


6.4 Il caso degli alvei larghi

Negli alvei a sezione molto larga, come sono molto spesso gli alvei dei corsi d'acqua naturali o artificiali, il coefficiente di dispersione E, contrariamente a quanto si potrebbe arguire, è risultato sperimentalmente molto diverso dal valore deducibile dalla (30") (valida per moto piano), quando in essa si introduca una qualche altezza media nella sezione. La notevole discrepanza è stata attribuita al fatto che, in tali alvei, il processo di dispersione è fondamentalmente regolato dalla larghezza della corrente piuttosto che dalla sua altezza, cioè dalla variabilità di concentrazioni e velocità nella direzione trasversale e orizzontale b, piuttosto che dalle variabilità nella direzione paraverticale n.

In coerenza con tale interpretazione è stato suggerito, allora, di schematizzare il processo di moto (fig. 6) considerando la corrente costituita da tanti strati delimitati da piani verticali paralleli all'asse s del moto, ad ognuno dei quali possa attribuirsi un unico valore vm della velocità e un unico valore Cm della concentrazione (H. B. Fischer, 1967).

n / ..... / ' / ___ > ....

B

.t·

Fig. 6

In tale schema il processo di dispersione longitudinale è regolato, da un lato, dai caratteri di variabilità delle Vm e Cm nella direzione b e, dall'altro, dalla diffusione trasversale secondo la stessa direzione .

..

388 CAPITOLO DECIMO

A tale schema di moto, e all'equazione differenziale che per esso si può scrivere, può applicarsi lo stesso procedimento già suggerito da G. Taylor ed esposto nelle pagine precedenti a proposito del moto piano.

con la:

(23)

Si deduce, così, che la portata massica di soluto può esprimersi ancora

a c Qs,s = VCcr - E-cr ··

dS • -·

nella quale il coefficiente di dispersione E è dato da una relazione analoga alla (26):

in cui:

h=h(b) è la profondità della corrente nella generica verticale definita dalla coordinata trasversale e orizzontale b;

L1vm =V m- V è la differenza tra la velocità media Vm nella verticale e la velocità media V nella sezione;

B

è un valor medio nella verticale del coefficiente di diffusione nella direzione b;

è la larghezza della corrente in superficie.

La deduzione della (26") procede secondo l'indirizzo qui delineato.

Nelle approssimazioni fatte, a ciascuna verticale si attribuisce un unico valore della velocità e un unico valore della concentrazione: sono i valori medi Vm e Cm , definiti rispettivamente dalle:

v m !._ r v dn · Jh , h


in cui, come si è detto, h = h(b) è la profondità della corrente nella generica verticale individuata dalla coordinata b.

In funzione di Vm e Cm , la portata massica di saluto attraverso la generica sezione elementare alta h e larga db e quella della intera corrente sono date rispettivamente dalle:

dQS,s v m cm db

(20') QS,s = JB h V m C m db

In queste, ancora una volta, si è ritenuto trascurabile il contributo della diffusione longitudinale.

Si esprimano, ora, le Vm e Cm tramite i valori medi V e C nella sezione e gli scarti da questi:

(21 ') vm = V + /1vm cm - C + 11cm

Fatte queste sostituzioni nella (29' ), si ricava facilmente:

(22') QS,s = VCa + JB h /l,.v m /l;cm db

Con questa premessa, e con riferimento alla fig. 6, si scriva ora il bilancio di massa di saluto per un elemento di volume di lunghezza ds e larghezza db, delimitato inferiormente dal fondo dell ' alveo e superiormente dalla superficie di pelo libero.

Si deduce facilmente:

(9JV) Òcm Òcm a ( Òcm ) h Tt + hv m ~ - òb h cb ab = O ,

che ha lo stesso ruolo delle (9') e (9"), già scritte per moto piano. Anch'essa esprime il concetto che, nell ' unità di tempo, la variazione di saluto nell'elemento di volume considerato è determinato dalla differenza tra i flussi convettivi entrante e uscente dalle due facce posteriore e anteriore e dalla differenza tra i 'flqssi diffusivi entrante e uscente dalle due facce laterali . Inoltre, si è ammesso che il trasporto diffusivo nella direzione b, possa esprimersi, per unità di area,

dalla -Eb òcm /òb, in cui c·~, che compare, come si è visto, nella (26'), è un valor medio del

coefficiente di diffusione trasversale, e deve ritenersi, a rigore, diverso da verticale a verticale. Infine, si è tenuto conto che le V m e le h variano con b, ma non con s.

Si ap~lichi, ora alla (9JV) il procedimento del Taylor. Si proceda, cioè: a sostituire le (21 ') nella (9 ); a eliminare, in questa, i termini ritenuti trascurabili; a integrare e poi a sostituire l'espressione così ottenuta della 11cm nella (22 ' ).

Si ha, così: ,

390 CAPITOLO DECIMO

(24")

Quest'ultima è valida con la condizione (25'): ds/dt =V.

Trascurando primo e terzo termine a primo membro:

ac d CJMm -hE --Clb b Clb

(24" ') h~v m dS

integrando due volte:

ac fb _, Jb as 0 Eb db o h ~V m db + ~Cm (0)

e sostituendo in (22'), si ha:

Il confronto di questa con le (22') e (23) porta all'espressione (26") di E.

Purtroppo, l'elaborazione della (26" ) non consente di dedurre espressioni semplici come le (30), in quanto le distribuzioni di velocità sono difficilmente sintetizzabili con relazioni semplici come quella logaritmica impiegata per ricavare le (30' ') e (30'' ').

Si possono seguire, allora, due vie per dedurre il valore di E.

La prima consiste nell'operare direttamente sulla (26") per via numerica. Il procedimento è certamente lungo, anche se, forse, più semplice di quanto ci si potrebbe aspettare dalla complessità formale della (26"). Presupposto essenziale è che si conoscano sia la distribuzione delle velocità v nella sezione, dalle quali


dedurre le V m, sia i valori da attribuire al coefficiente cb. Per le v, se non si dispone di rilievi diretti, occorre rifarsi a risultati ottenuti in condizioni di moto non molto difformi da quella di interesse. L'incertezza maggiore deriva, però, dai

valori di cb. In mancanza di più precisi criteri, è stato suggerito (H. B. Fischer,

1979) di attribuire ad cb un valore, costante per l'intera sezione, da determinarsi tramite la:

(31) Eb / hMAx v * = 0,6±0,3

In modo più semplice, la determinazione di E può essere affidata all ' applicazione della formula:

(32) E 0,011 y2 B2

h v*

dove h è un' altezza caratteristica della corrente, per la quale si è suggerito di assegnare un valore di circa (0,6+0,7)B. La (32) deriva dall'applicazione della (26" ) a una serie di casi particolari e dal successivo confronto sperimentale.

Infine, a chiusura di questo paragrafo va precisato quanto già s1 e accennato nel par. 6.2: la (23) può essere ritenuta applicabile solo se il soluto è già abbastanza ben distribuito nella sezione e, quindi, solo a una certa distanza da una eventuale immissione puntuale. In linea di massima viene indicato, al riguardo, una distanza L dal punto di immissione espresso dalla relazione:

(33) L/V

Eb / B2 0,4 + 0,6

che è dedotta dalla elabo,razione di dati sperimentali condotta con l'ausilio dell'analisi dimensionale .

. J'

7. Considerazioni finali

A chiusura di questa rassegna su alcuni concetti fondamentali riguardanti il trasporto di sostanze in soluzione da parte di masse idriche in moto e su alcune semplici applicazioni, conviene richiamare ancora una volta le definizioni dei

392 CAPITOLO DECIMO

diversi coefficienti di diffusione e di dispersione e metteme in maggior rilievo le differenze concettuali e la loro entità numerica. Tali coefficienti sono accomunati dal fatto che intervengono come fattori di proporzionalità tra un'aliquota di portata massica di soluto per unità di superficie e un gradiente di concentrazione; e, tutti, hanno le dimensioni L 2 /T.

Coefficiente di diffusione molecolare D - E' definito dalla (2) di par. 3 .l, che esprime l'aliquota di portata di soluto dovuta alla giffusione molecolare. Per l'acqua l'ordine di grandezza di D è di circa 00- 10 -:-J0-9

) m2/s. ·' '

Coefficiente di diffusione turbolenta c - E' definito in modo simbolico dalla (8) di par. 4.2, che esprime l'aliquota di portata di soluto determinata dalla diffusione turbolenta, e, in dettaglio, dalle (7'). In pratica, in luogo delle (7'), si considerano le sole (7' '). Peraltro, anche l'impiego di queste ultime non è agevole, per la diffi- . coltà di determinare appropriati valori da assegnare ai tre coefficienti che in esse compaiono. Nelle correnti turbolente è consuetudine trascurare gli effetti della diffusione turbolenta nella direzione generale del moto: per le correnti, dunque, il problema pratico si restringe alla corretta assegnazione dei valori dei coefficienti di diffusione nelle direzioni trasversali. Allo scopo, si tende ad avvalersi, fin quando possibile, della analogia con il processo di diffusione turbolenta delle quantità di moto, attribuendo ai coefficienti di diffusione di soluto gli stessi valori dei coefficienti di viscosità turbolenta. Nel caso di moto assialsimmetrico si è visto che il coefficiente di diffusione in direzione radiale, l'unico che abbia importanza in tale tipo di moto, assume valori massimi di circa (0,7-:-0,8) v*ro . Nell'esempio prima considerato ne è risultato un valore massimo di circa 0,005 m2 /s . In altri casi il coefficiente di diffusione viene fissato per via empirica.

Coefficiente di dispersione longitudinale E - E' definito dal secondo termine della (23) del par. 6.1. Dal confronto con la (22), si vede che tale termine della (23) esprime l'aliquota di portata di soluto dovuta all'effetto congiunto della variazione nella sezione delle velocità e delle concentrazioni medie locali. Le relazioni (30) dedotte per vie teorica per casi semplici mostrano che E aumenta all'aumentare delle dimensioni trasversali della corrente. Esso aumenta anche al ridursi dei coefficienti di diffusione trasversale, come si vede chiaramente per le espressioni integrate (30) e (30'), valide per il regime laminare. Nel caso di diffusione turbolenta tale ultima dipendenza non appare esplicitamente dalle relazioni integrate (30") e (30'"), ma la si può rilevare dalla (26). Infine, nell'esempio numerico prima esposto, il valore di E è risultato poco minore di l m2 /s.

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