Compito di Fisica Generale (Meccanica) 03/07/2017

1) Un punto materiale di massa m = 4 kg è vincolato a muoversi lungo un asse orizzontale x ed

è collegato ad una molla di lunghezza a riposo nulla, costante elastica k = 16 N/m e con

l’altra estremità fissata in un punto O. Il punto materiale al tempo t=0 si trova in O e possiede

una velocità iniziale vox= 4 m/s. Un secondo punto materiale viene lasciato cadere da fermo

da un’altezza yi=19,62 m andando ad urtare la massa m in (xf = 1m, yf=0). Si determini

l’istante di tempo ti a cui è avvenuto il rilascio. Si calcoli inoltre il modulo della velocità

relativa di collisione. (8 punti)

2) Un triangolo equilatero di massa M = 5 kg è posto su un piano orizzontale con una delle sue

altezze h allineate lungo la direzione verticale. Un’asta di lunghezza L = 8 m e massa M è

posizionata come mostrato in Figura con = 30° e con 𝐶𝑂̅̅ ̅̅ = ¾ L. Supponendo che il vincolo

asta-triangolo sia ideale, si calcolino i coefficienti di attrito statico minimi dei vincoli asta-

piano e triangolo-piano necessari a garantire l’equilibrio della configurazione indicata.

(8 punti)

3) Supponendo che nell’esercizio precedente sia rimosso istantaneamente l’attrito tra il

triangolo ed il piano, si calcoli la velocità angolare dell’asta quando il vertice superiore del

triangolo arriva a toccare la sua estremità destra (si consiglia di utilizzare la conservazione

dell’energia meccanica). (8 punti)

4) Consideriamo che una massa M con velocità voy = - 40 m/s urti l’estremità destra dell’asta

posta inizialmente nella condizione descritta nell’esercizio 2). Supponendo che il triangolo

rimanga fermo durante la collisione si calcoli la velocità angolare dell’asta un istante dopo

che l’urto è avvenuto. (6 punti)

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 13/02/2017

1) Uno sciatore assimilabile ad un punto materiale si

lancia giù da un trampolino privo di attrito e di altezza

h0 =10 m. Nel punto di distacco O il trampolino è

orizzontale ed è connesso alla pista di atterraggio che

ha un angolo di 45° rispetto alla verticale. Calcolare la

distanza 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ dove A è il punto di impatto dello sciatore

con la pista trascurando l’attrito con l’aria. Calcolare

inoltre la proiezione della velocità dello sciatore lungo

la pista al momento dell’atterraggio. (6 punti)

2) Un disco omogeneo di massa M = 4 kg e raggio R= 20 cm è vincolato da un perno

orizzontale posto nel suo centro O. Una massa puntiforme m = 1 kg è saldata sul disco ad

una distanza R da O. Infine gli estremi di una molla di costante elastica k = 1 N/cm e

lunghezza a riposo nulla sono fissati rispettivamente in corrispondenza del punto materiale e

sulla verticale passante per O ad una distanza da esso pari a 2R. Si determini le

configurazioni di equilibrio del sistema e si discuta la loro stabilità. Inoltre di calcoli di

quanto occorrerebbe appesantire o alleggerire la massa m per far si che il sistema risulti

essere in equilibrio per ogni valore di . (Non si usino le cardinali). (8 punti)

3) Si ricavi l’equazione differenziale che descrive il moto del sistema per m = 2 kg e si calcoli

il periodo delle piccole oscillazioni attorno a = 0. (8 punti)

4) Il sistema dell’esercizio precedente con inizialmente = /3 viene privato istantaneamente

della molla. Calcolare la velocità angolare quando il disco raggiunge = e si determini il

valore delle reazioni vincolari in O. (8 punti)

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 20/07/2016

1) Un punto materiale di massa m=1kg è appeso verticalmente ad una molla di massa trascurabile e di

costante elastica 1N/m, inizialmente a riposo. Si disegnino i diagrammi orari per posizione, velocità e

accelerazione del punto materiale, nei casi in cui l'esperimento venga ripetuto rispettivamente sulla

Terra o all’interno di un ascensore in caduta libera. (8 punti)

2) Un anello circolare di centro C, con raggio interno R2=3cm, raggio esterno R1=4cm e di massa

M=2kg, è libero di muoversi, soggetto alla gravità, su di una guida semicircolare di raggio r=30cm

posta su un piano verticale, come in figura. Si assuma la presenza di attrito tra l’anello e la guida. Una

forza F è applicata orizzontalmente su un punto esterno P dell’anello (si veda figura sotto). Detto B il

punto di contatto fra anello e guida, si calcoli il valore di F e la reazione vincolare N affinché l’anello

si mantenga fermo quando la congiungente BC forma un angolo α=30° rispetto all’asse orizzontale

passante per il centro della guida. (6 punti)

3) In assenza della forza F, l’anello viene rilasciato da fermo partendo dalla posizione B ( = 60°) e, ral-

lentato dalla forza di attrito, raggiunge la posizione D. Durante il moto, in un punto non specificato

fra la posizione B e la posizione D, si instaura la condizione di rotolamento puro, che viene poi man-

tenuta per il resto del moto. Si calcoli l’altezza hD del punto D da terra, considerando che il lavoro

frenante esercitato dalla forza di attrito sia pari a 2J e che l’anello raggiunga la posizione D con una

velocità del centro di massa vG di modulo pari a 30cm/s.

(Si ricorda che il momento di inerzia dell’anello rispetto ad un asse di rotazione passante per il suo

centro e perpendicolare alla sua superficie è dato da 1/2M(R12+R2

2)) (8 punti)

4) L'anello parte da fermo da una posizione B’ della guida corrispondente ad un angolo θ0 rispetto alla

linea verticale, come illustrato nella figura sotto. Ipotizzando un moto di puro rotolamento, si calcoli

il tempo necessario t* per arrivare alla posizione B’’ corrispondente a θ0/2. Si assuma θ piccolo a suf-

ficienza da potere sempre approssimare sin(θ) con θ. Per semplicità, si fa presente che la condizione

di puro rotolamento si traduce in φR1=θ(r-R1), dove φ è l’angolo di rotazione dell’anello rispetto al

suo centro C. (8 punti)

Compito di Fisica Generale (Meccanica) 30/01/2017

1) Un Boeing 747 di massa 500 tonnellate tocca la pista con una velocità di 250km/h in fase di atterraggio. Considerando la pista lunga 2km e priva di attrito radente, calcolare il coefficiente di attrito viscoso γ tale che l'aeroplano abbia velocità 50km/h alla fine della pista assumendo che venga frenato solo dall'attrito dell'aria. Inoltre, calcolare il lavoro della forza di attrito viscoso dissipato complessivamente lungo la pista. (punti 8)

2) Un anello di massa 1kg e raggio 10cm si trova su un piano inclinato di angolo α=30°, altezza h=1m, in presenza di attrito con coefficiente µ. Calcolare la forza F orizzontale (rappresentata in figura), la reazione normale N e il valore massimo di µ affinché il sistema sia in equilibrio. (punti 6)

3) Rimuovendo la forza F del quesito (2), calcolare accelerazione e velocità angolare dell'anello, supponendo che questi abbia inizialmente solo una velocità traslazionale del suo centro di massa pari a 10cm/s, e disegnare i relativi diagrammi orari, trascurando la presenza della molla indicata in figura. (punti 6)

4) Rimuovendo la forza F del quesito (2) e stavolta assumendo sempre un moto di puro rotolamento, l'anello cade lungo il piano inclinato (partendo dalla sua cima) fino ad impattare su una molla elastica ideale (disposta come in figura) di lunghezza a riposo 15cm e costante elastica k=2000N/m. Calcolare la posizione di equilibrio del sistema anello+molla, in quanto tempo si comprime la molla quando l'anello si ferma e la lunghezza corrispondente della molla. Derivare anche l'equazione differenziale che descrive la dinamica del sistema anello+molla. Infine, calcolare l'altezza massima raggiunta dall'anello nel percorso di ritorno e l'energia dissipata per attrito complessivamente. (9 punti)