COMPITO A

a) Dati i punti A(4) e B(-5) appartenenti alla retta r su cui è fissato un sistema di ascisse, determinare su r un punto C in modo che risulti2 AC + 3 BC = 14 ( dove AC e BC sono distanze orientate)

Soluzione

___________B____________________________0____________________A

C(x) 2(x-4)+3(x+5)=14

b)In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti O(0;0) A(2;4) B(8;0) C( 6;-4)Quali delle seguenti affermazioni, relative al quadrilatero OABC , sono esatte?

Le diagonali si incontrano nel loro punto medio E’un rettangolo È un parallelogramma ma non è un rettangolo Non è un parallelogramma La misura dell’area è uguale a 32

Motivare le risposte

Vero poiché M(4,0)Falso Le diagonali non hanno uguale lunghezza =Vero poiché le diagonali si incontrano nel loro punto medio.FalsoVero L’area si può calcolare come somma dei due triangoli OAB e OCB, ciascuno dei quali ha l’area

pari a

c) Un triangolo ABC ha per vertici i punti A(1,1) e B(4,3), mentre il baricentro G ha coordinate (2,3).Determinare il terzo vertice CVerificare che il triangolo è isoscele e calcolarne l’area

Soluzione

Posto G(x,y) imponiamo che

C(1,5)Osserviamo che i tre punti B, G ed M, punto medio di AC, hanno la stessa ordinata y =3 ( M ha coordinate (1,3))Il triangolo è isoscele sulla base AC in quanto le rette AC e BG sono evidentemente perpendicolari tra loro e quindi il segmento BM è sia mediana che altezza.

L’area del triangolo è uguale a =

d) Determinare le coordinate di un punto P sapendo che: l'ascissa è doppia dell'ordinata il triangolo OPQ è rettangolo ( dove Q è il punto di coordinate (3;0)

Soluzione

.Poiché il testo non precisa dove si deve trovare l’angolo retto , prendiamo in esame 3 casiPrimo caso : angolo retto in PPosto P(2y,y) imponiamo che tra i lati del triangolo valga la

relazione pitagorica

y2+4y2+(3-2y)2+y2=9

L’equazione ammette due soluzioniy = 0 che corrisponde all’origine e quindi ad un triangolo degenere

che corrisponde al punto P( )

Secondo caso: angolo retto in QP deve avere ascissa 3, quindi ordinata 3/2.

Terzo caso : angolo retto in OIn questo caso P dovrebbe coincidere con O e il triangolo sarebbe degenere.

Trigonometriaa) In una semicirconferenza di diametro AB = 2r , si

considerino le due corde AP e AQ che formano col diametro angoli di ampiezza 50° e 30° , rispettivamente.Determinare il perimetro e l’area del quadrilatero APQB.

SoluzioneAQ e BQ possono essere considerati cateti del triangolo rettangolo AQB

AP può essere considerato cateto del triangolo rettangolo APB

PQ è una corda cui corrisponde l’angolo alla circonferenza di ampiezza 20°

= 2r sen 20°

Perimetro L’area si può calcolare come somma delle aree dei due triangoli APQ e ABQ

Il secondo è semitriangolo equilatero di lato 2r quindi la sua area è

Il primo ha area

Area

b)Semplificare la seguente espressione

sen(2-)+ sen( cos(-)+ sen(3-)+cos( cos(2-)+cos

COMPITO B

a )In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti A(2;0) e B(-1;3). Calcolare l’area del triangolo ABO

Determinare il punto Q che divide il segmento AB in due parti tali che risulti e

verificare che il segmento OQ corrisponde all’altezza del triangolo AOB, relativa al lato ABSoluzione

Area = =3

Poiché il segmento AQ deve essere uguale alla terza parte del segmento AB, la sua proiezione sull’asse x deve essere uguale alla terza parte del segmento AH, proiezione di AB sullo stesso asse x.Si può affermare pertanto che l’ascissa di Q è 1. In modo analogo si dimostra che la sua ordinata deve essere la terza parte dell’ordinata di B.Il punto richiesto pertanto è Q(1,1)Allo stesso risultato si perviene analiticamente imponendo che:

→x=1 →y =1

Poiché, come si può verificare facilmente calcolandone la lunghezza dei lati, il triangolo OQA è rettangolo e isoscele, con l’angolo retto in Q, possiamo affermare che il segmento OQ corrisponde all’altezza del triangolo AOB, relativa al lato AB

b) In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti A(2 ;2) e B(10 ;2)Determinare un punto C in modo che il triangolo ABC sia equilatero e determinare le coordinate del quarto vertice del rombo avente per lati consecutivi i segmenti AB e BC.Calcolare l’area del rombo.

Soluzione

Il punto C deve stare sull’asse del segmento AB, quindi la sua ascissa è 6 Poiché la lunghezza del

segmento AB è 8 l’ altezza CH del triangolo ABC deve essere uguale a

Possiamo avere due soluzioni C(6 ,14) e C’(-6 ,-10) I due punti sono simmetrici rispetto alla retta AB.Anche per la costruzione del rombo possiamo avere due figure simmetriche

Primo caso

D deve avere la stessa ordinata di C e ascissa tale che |CD| =8 con xD< xC

|xD - _xC |= 8 → -xD+ xC =8 → xD= xC-8 = -2

D(-2 ,14) e ovviamente D’(-2 ,-10)

L’area è

c) In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti A(0;4) B(4;0)Determinare le coordinate dei punti L,M,N, rispettivamente punti medi dei segmenti AO, AB, BO.Quali delle seguenti affermazioni sono esatte? ( motivare le risposte )

Il quadrilatero ALNM è un parallelogramma

L’area del quadrilatero ALNM è dell’area del triangolo AOB

Il punto M è equidistante da A, da O e da B Il punto M è equidistante dall’asse x e dall’asse y

Soluzione

Vero i lati opposti AL ed MN sono uguali e paralleliVero le aree sono rispettivamente 4 e 8 , ovvero il triangolo è formato da 4 triangoli uguali a MNB, il parallelogramma ne contiene invece 2

Vero Si possono calcolare le tre lunghezze ( tutte uguali a ) oppure osservare che il triangolo rettangolo isoscele AOB può essere inscritto in una circonferenza di diametro AB di cui AM , BM e OM sono raggi.

d)In un riferimento cartesiano Oxy sono dati i punti A(-2;3) B(2;-3) C(2;0) D(x;y) Determinare il valore di x ed y in modo che i segmenti AC e BD abbiano lo stesso punto medio.Qual è la natura del quadrilatero ABCD? Motivare la risposta.

Soluzione

Il punto medio di AC è M

Indicando con(x,y) le coordinate di D imponiamo

Il quadrilatero è un parallelogramma in quanto le diagonali si incontrano nel loro punto medio

2)Trigonometria

a)Un trapezio isoscele ABCD è inscritto in una semicirconferenza di diametro AB Sapendo che la diagonale AC è lunga a e che l’angolo che essa forma con il segmento AB è

di 35°, determinare l’ampiezza degli angoli interni del trapezio

il perimetrol’area

Soluzione

Calcolo delle ampiezze degli angoli:L’angolo in B, complementare dell’angolo in CA B ha ampiezza 55° e questa è anche l’ampiezza dell’angolo in A.L’angolo in C, supplementare dell’angolo in B, ha ampiezza 125° e questa è anche l’ampiezza dell’angolo in D

Calcolo delle lunghezze dei lati:

considerando il triangolo rettangolo ACB

Applicando il teorema della corda

Perimetro 3,05 aArea = Somma delle aree dei due triangoli DAC e CAB

b)Semplificare la seguente espressione

+- + sen =