Classe 2Obi Competenze di Matematica 5 Ottobre 2015

Cognome e nome: Voto:

1. Si considerino gli insiemi I = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} e F = {⇤, •, �,�, } e sia

la relazione R : I �! F definita come segue:

R = {(x1, •), (x2,�), (x3,�), (x4, ), (x6, •), (x7, ⇤)}

(a) (⇤/2 pt) Rappresentare la relazione con Diagramma di Eulero-Venn

(b) (⇤/2 pt) Indicare se si tratta di una funzione, motivando la risposta.

(c) (⇤/2 pt) Indicare le immagini degli elementi x2, x5, x6, x7 2 I usando una

freccia ( 7!) l’associazione tra gli elementi e le rispettive immagini.

Generalita sulle Relazioni

Si consideri una generica relazioneR : A �! B; si dice Dominio della relazione

(DomR) l’insieme degli elementi di A che ammettono un’immagine secondo

R, mentre si dice Codominio l’insieme di tutte le immagini.

2. (⇤/4 pt) Facendo riferimento alla relazione dell’esercizio 1 si scrivano perelencazione Dominio e Codominio

3. (⇤/2 pt) Spiegare che relazione sussiste tra gli insiemi sui quali e definita una

relazione e Dominio e Codominio della relazione stessa.

4. (⇤/2 pt) Supponendo che R sia una funzione, quali caratteristiche assumono

Dominio e Codominio?

Proprieta delle Relazioni

Alcune relazioni sono definite da un insieme a se stesso, ovvero sono del tipo

R : A �! A (per comodita si scrive anche R ✓ A

2). Per questo tipo di

relazioni si possono riconoscere, in certi casi molto speciali, delle proprietaparticolari :

• Proprieta Riflessiva: ogni elemento di A e in relazione con se stesso;

• Proprieta Simmetrica: se per ogni coppia (a, b) appartenente alla relazioneanche la coppia (b, a) appartiene alla relazione;

• Proprieta Transitiva: se per ogni terna di elementi di A per la quale il

primo elemento sia in relazione con il secondo ed il secondo con il terzo,

esiste anche la relazione tra il primo elemento ed il terzo.

5. (⇤/4 pt) Associa le seguenti scritture simboliche alle proprieta appena descritte.

(a) (⇤/2 pt) aRb ^ bRc ) aRc, 8a, b, c 2 A

(b) (⇤/1 pt) aRa, 8a 2 A

(c) (⇤/1 pt) aRb ) bRa, 8a, b 2 A

NOTA: aRb significa ”a in relazione con b”!

6. (⇤/2 pt) Si consideri l’insieme C = { studenti di una classe } e la relazione H ✓C

2definita come segue H: ”x e alto come y, con x, y 2 C. Qualcuna delle

proprieta descritte e verificata per la relazione H? Motivare la risposta.

7. (⇤/2 pt) Avendo una relazione rappresentata mediante Tabella a DOppia En-trata, quali sono le caratteristiche che ci consentono di riconoscere dalla rappre-

sentazione le proprieta Simmetrica e Riflessiva? Motivare la risposta con degli

esempi.

Classe 2Obi Verifica di Matematica 17 Ottobre 2015

Cognome e nome: Voto:

1. Determinare le soluzioni delle seguenti dis/equazioni.

(a) (⇤/3 pt) (x+ 2)(2x� 3) = x� 1 + 2x

2

(b) (⇤/3 pt) 2x(x+ 1)

2 � x

2(2x+ 8) > 3� x(1 + 4x)

2. Scomporre in fattori i seguenti polinomi.

(a) (⇤/1 pt) 625x

6 � 256y

2

(b) (⇤/2 pt) x

4 � 12x

2 � 85

(c) (⇤/2 pt) x

4 � x

3+ x

2 � 3x� 6

(d) (⇤/2 pt) 125a

4bx

2 � 50a

2x

2+ 75a

3x

3z � 25a

2x

2

(e) (⇤/2 pt) 27a

2x

3+ 125a

2

(f) (⇤/2 pt) 8a

3b

3 � 12a

2b

2z

3+ 3abz

6 � z

9

(g) (⇤/1 pt) k

2 � 7k + 12

3. (⇤/6 pt) Nel quadrilatero ⇤ABCD si ha i lati delle coppie AB, CD e BC, DA

sono tra loro paralleli, ovvero ⇤ABCD e un parallelogramma. Si dimostri che i

triangoli 4ACD e 4ABC sono congruenti.

Bonus

4. Si consideri la Tavola Pitagorica delle moltiplicazioni per numeri da 1 a 10. La

Diagonale Principale (D) contiene i quadrati dei primi dieci naturali non nulli.

Considerando D come una relazione definita in D

2con D = {1, 2, 3, . . . , 10}:

(a) (⇤/2 pt) rappresentare D mediante grafico cartesiano,

(b) (⇤/4 pt) verificare se D e simmetrica e riflessiva (motivare la risposta).

Correzione

Es. Punti % Errori Altro

1 /6

c� s� p� f� d� i� r�

2 /12

c� s� p� f� d� i� r�

3 /6

c� s� p� f� d� i� r�

4 /6

c� s� p� f� d� i� r�

Tot. /30 ⇤ Ordine

Classe 2Obi Test di Matematica Ottobre 2015

Cognome e nome: Voto:

1. Si consideri l’equazione x

4 � 3x

2= 0.

(a) (⇤/1 pt) L’equazione e

A. quadratica

B. fattorizzabile

C. pura

D. lineare

(b) (⇤/2 pt) Per risolvere e necessario e successivamente

applicare la .

(c) (⇤/3 pt) Una volta scomposta in fattori, si ottengono due equazioni

: una ed una .

(d) (⇤/4 pt) Determinarne le soluzioni

2. (⇤/4 pt) Determinare le soluzioni di

p5x

2 � 2x = 0 semplificando i risultati

ottenuti.

3. (⇤/4 pt) Determinare le soluzioni di

p5x

2�p60 = 0 semplificando i risultati

ottenuti.

4. (⇤/5 pt) Un’equazione quadratica si dice pura se e del tipo . Tali

equazioni possono avere un diverso numero di soluzioni: se i coe�cienti

a e b sono , sei invece i coe�cienti sono .

5. (⇤/4 pt) Semplificare la seguente espressione

[(3

p5 + 1)(3

p5� 1)� (

p5� 1)

2] : 2

Classe 2Obi Verifica di Matematica Gennaio 2016

Cognome e nome: Voto:

Indicazioni per lo svolgimento

Per conseguire la su�cienza in questa verifica non e necessario svolgere

l’intero compito, ma si deve risolvere correttamente un numero di esercizi

tale da raggiungere un punteggio di almeno 18 punti. Per ottenere il mas-

simo dei voti si devono raggiungere 30 punti. Il punteggio di ogni esercizio

e proporzionale alla sua di�colta.

Indicare gli esercizi che si intendono svolgere su questo foglimettendo una crocetta nel riquadro a fianco del punteggio.

Si determinino le radici delle seguenti equazioni utilizzando la procedura

risolutiva migliore e semplificando i valori finali.

1. (⇤/7 pt)

p2x

3 � x

2 � 3

p2x+ 3 = 0

Soluzioni: x = �p3 _ x =

p2

2

_ x =

p3

Fattorizzazione - Equazioni Pure - Razionalizzazione - LeggeAnnullamento del Prodotto

2. (⇤/5 pt)

p3x

2 � 1 = 0

Soluzioni: x = ±4p3

3

3

Equazioni Pure - Razionalizzazione

3. (⇤/6 pt) x

4 � 7x

2+ 6 = 0

Soluzioni: x = ±1 _ x = ±p6

Fattorizzazione - Equazioni Pure - Legge Annullamento del Prodotto

4. (⇤/4 pt) 2x

2 � 7x+ 4 = 0

Soluzioni: x =

7±p17

4

Formula Risolutiva

5. (⇤/4 pt) 10x

2+ 8x+ 1 = 0

Soluzioni: x =

�4±p6

10

Formula Risolutiva Ridotta

6. (⇤/5 pt) 2

p2x

2 � 6x�p2 = 0

Soluzioni: x =

3

p2±

p26

4

Formula Risolutiva Ridotta - Razionalizzazione

7. Indicare quante radici ammettono le seguenti equazioni motivando la risposta.

(a) (⇤/2 pt)

7p103x

2 � 3

5p3

7

= �"� �3

5p3

7

!#

(b) (⇤/2 pt) 2x

2 � 7x� 2 = 0

(c) (⇤/2 pt) 5

3p2x

2+

7p12 = 0

(d) (⇤/2 pt) 5x

2 � 6x+ 2 = 0

(e) (⇤/2 pt)

p2

2

x

2 � 3

p3x = 0

(f) (⇤/2 pt)

p3x

2+

4p6 +

p2 = 0

Soluzioni:

(a) 1 soluzione poiche monomia

(b) 2 soluzioni poiche � = 49 + 16 > 0

(c) 0 soluzioni poiche pura a coe�cienti concordi

(d) 0 soluzioni poiche

�

4

= 9� 10 < 0

(e) 2 soluzioni poiche spuria

(f) 0 soluzioni poiche pura a coe�cienti concordi

Correzione

Es. Punti % Errori Altro

1 /7

c� s� p� f� d� i� r�

2 /5

c� s� p� f� d� i� r�

3 /6

c� s� p� f� d� i� r�

4 /4

c� s� p� f� d� i� r�

5 /4

c� s� p� f� d� i� r�

6 /5

c� s� p� f� d� i� r�

7 /12

c� s� p� f� d� i� r�

Tot. /43 ⇤ Ordine

Classe 2Obi Verifica di Matematica Gennaio 2016

Cognome e nome: Voto:

Indicazioni per lo svolgimento

Per conseguire la su�cienza in questa verifica non e necessario svolgere

l’intero compito, ma si deve risolvere correttamente un numero di esercizi

tale da raggiungere un punteggio di almeno 18 punti. Per ottenere il mas-

simo dei voti si devono raggiungere 30 punti. Il punteggio di ogni esercizio

e proporzionale alla sua di�colta.

Indicare gli esercizi che si intendono svolgere su questo foglimettendo una crocetta nel riquadro a fianco del punteggio.

Si determinino le radici delle seguenti equazioni utilizzando la procedura

risolutiva migliore e semplificando i valori finali.

1. (⇤/7 pt)

p2x

3 � x

2 � 3

p2x+ 3 = 0

2. (⇤/5 pt)

p3x

2 � 1 = 0

3. (⇤/6 pt) x

4 � 7x

2+ 6 = 0

4. (⇤/4 pt) 2x

2 � 7x+ 4 = 0

5. (⇤/4 pt) 10x

2+ 8x+ 1 = 0

6. (⇤/5 pt) 2

p2x

2 � 6x�p2 = 0

7. Indicare quante radici ammettono le seguenti equazioni motivando la risposta.

(a) (⇤/2 pt)

7p103x

2 � 3

5p3

7

= �"� �3

5p3

7

!#

(b) (⇤/2 pt) 2x

2 � 7x� 2 = 0

(c) (⇤/2 pt) 5

3p2x

2+

7p12 = 0

(d) (⇤/2 pt) 5x

2 � 6x+ 2 = 0

(e) (⇤/2 pt)

p2

2

x

2 � 3

p3x = 0

(f) (⇤/2 pt)

p3x

2+

4p6 +

p2 = 0

Correzione

Es. Punti % Errori Altro

1 /7

c� s� p� f� d� i� r�

2 /5

c� s� p� f� d� i� r�

3 /6

c� s� p� f� d� i� r�

4 /4

c� s� p� f� d� i� r�

5 /4

c� s� p� f� d� i� r�

6 /5

c� s� p� f� d� i� r�

7 /12

c� s� p� f� d� i� r�

Tot. /43 ⇤ Ordine

Classe 2Obi Recupero di Matematica 17 Febbraio 2016

Cognome e nome: Voto:

Indicazioni per lo svolgimento

Il recupero del debito formativo si ottiene totalizzando almeno 18 puntisvolgendo gli esercizi di seguito proposti.

E di fondamentale importanza, pero, svolgere correttamente, neicalcoli e nelle procedure, almeno tre equazioni o la tabella.Se non si dovesse rispettare questa richiesta non e garantito il superamento

della prova, anche nell’eventualita che si siano totalizzati i 18 punti richiesti.

1. Risolvere le seguente equazioni fattorizzabili.

(a) (⇤/4 pt) x

3+ 2 = 2x

2+ x

(b) (⇤/4 pt) x

4 � 16 = 0

(c) (⇤/4 pt) x

3 � 12 = 4x� 3x

2

2. (⇤/12 pt) Si completi la tabella seguente.

Equazione Tipologia Soluzioni

3x

2 � 4 = 0

3x

2 � 4x = 0

(x� 2)

2= 4(1� x)

321x

2+ 457 = 0

37x

2 � 41 = 0

x

2 � 4x = 2(x� 1)

2 � 2x

3. Determinare la tipologia di ciascuna di queste equazioni quadratiche

incomplete e trovarne le radici.

(a) (⇤/2 pt) (2x� 1)

2 � 4(x� 3) = 0

(b) (⇤/2 pt) (x+ 2)

3+ x

2(1� x) = 2(x+ 4)

(c) (⇤/2 pt)

3p5x

2 � 1 = 0 [Semplificare le radici ottenute!]

4. Risolvere le seguenti equazioni utilizzando la procedura piu adatta.

(a) (⇤/4 pt) (3x� 1)(3x+ 1) = 16x

(b) (⇤/4 pt) 3x

2 � x(2� x)� 8 = 0

Correzione

Es. Punti % Errori Altro

1 /12

c� s� p� f� d� i� r�

2 /12

c� s� p� f� d� i� r�

3 /6

c� s� p� f� d� i� r�

4 /8

c� s� p� f� d� i� r�

Tot. /38 ⇤ Ordine

Classe 2Obi Verifica di Matematica 2 Marzo 2016

Cognome e nome: Voto:

Indicazioni per lo svolgimento

Per conseguire la su�cienza in questa verifica non e necessario svolgere

l’intero compito, ma si deve risolvere correttamente un numero di eserci-

zi tale da raggiungere un punteggio di almeno 18 punti. Per ottenere il

massimo dei voti si devono raggiungere 30 punti.

E di fondamentale importanza, pero, svolgere correttamen-te, nei calcoli e nelle procedure, almeno due sistemi lineari el’impostazione della risoluzione del problema di geometria.Se non si dovesse rispettare questa richiesta non e garantito il superamento

della prova, anche nell’eventualita che si siano totalizzati i 18 punti richiesti.

1. (⇤/5 pt) Si applichi il metodo del confronto per risolvere il seguente sistema

lineare.

8>><

>>:

3(y � 1) + 1 = 2(2x� 1) + 3

3(x� 1) + 1� y = �2(1� y)

2. (⇤/7 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema utilizzando un metodo

a piacere.

8>><

>>:

(x+ 1)

2 � 2y(x+ 1) = x(x� 2y)

x(2y � 1)� (x+ 1)

2= 2y(x� 1)� x

2

3. (⇤/7 pt) Utilizzare il Metodo di Cramer per risolvere il seguente sistema.

8>><

>>:

y + 2

2

+

20

12

=

x� 4

3

� x

x� 3

2

+

y � 5

3

= y +

6� 4x

3

4. (⇤/10 pt) Data la circonferenza CO,R, sia \BAC un suo angolo alla circon-

ferenza. Detta AM la mediana dell’arco sotteso dall’angolo \BAC, conduci

la corda CD parallela ad AM . Dimostra che AD

⇠=

BM .

5. (⇤/9 pt) Determinare le soluzioni del seguente sistema lineare

8>>>>>><

>>>>>>:

2x+ y � 3 = z

4x+ y � z = 3

y + 2z + 1 = 1� 2x

Correzione

Es. Punti % Errori Altro

1 /5

c� s� p� f� d� i� r�

2 /7

c� s� p� f� d� i� r�

3 /7

c� s� p� f� d� i� r�

4 /10

c� s� p� f� d� i� r�

5 /9

c� s� p� f� d� i� r�

Tot. /38 ⇤ Ordine

Classe 2Obi Test di Matematica 18 Marzo 2016

Cognome e nome: Voto:

1. Rappresenta nel in un sistema di riferimento cartesiano xOy le rette:

r1 : y = 2x� 1

r2 : y = 3

r3 : x = �2

2. Indicare le intersezioni della retta r : y = �2x+ 2 con gli assi coordinati.

3. Considerando le rette dell’esercizio precedente individua, se ci sono, le coppie

di rette parallele e le copiie di rette perpendicolari giustificando la scelta fatta.

Parallele

Perpendicolari

4. Completare la seguente tabella:

Equazione Tipologia m q

r1 : y = �3 + 2x � V � O � OC � OD

r2 : x = �3 � V � O � OC � OD

r3 : y = �3

4

x � V � O � OC � OD

r4 : y = 7� 7x � V � O � OC � OD

r5 : y = 2x� 3

4

� V � O � OC � OD

r6 : y = 2 � V � O � OC � OD

5. Si determinino per via algebrica i punti di intersezione delle rette date con

l’asse delle ascisse. Utilizzare la tabella sottostante.

Retta Equazione Intersezioni

r1 : y = 3x� 2

r2 : y = 1� 3x

r3 : y = �23x

r4 : y =

35x� 1

2

r5 : y = �7

r6 : x = �2

Rette Parallele o Coincidenti

Date due rette le cui equazioni sono in forma implicita e semplificate

r1 : a1x+ b1y + c1 = 0

r2 : a2x+ b2y + c2 = 0

se il determinante della matrice dei coe�cienti e nullo le rette sono

1. parallele se c1 6= c2

2. coincidenti se c1 = c2

6. Si considerino le rette

r1 : y = 2x� 1

r2 : y = 2x+ 3

r3 : x = 4� y

r4 : 2y = �2x+ 8

si completi la seguente tabella

Completare la seguente tabella:

Rette Parallele Incidenti Coincidenti

r1 e r3 ⇤ ⇤ ⇤

r3 e r2 ⇤ ⇤ ⇤

r4 e r1 ⇤ ⇤ ⇤

r3 e r4 ⇤ ⇤ ⇤

r2 e r4 ⇤ ⇤ ⇤

Giustificare la risposta per la prima coppia di rette.

Classe 2Obi Test di Matematica 26 Maggio 2016

Cognome e nome: Voto:

Indicazioni per lo svolgimento

Per conseguire la su�cienza non e necessario svolgere l’intera verifica, ma

soltanto uno dei tre livelli proposti.

La corretta risoluzione del livello base da diritto ad un voto massimo pari

a 7, il livello intermedio a 8

1/2, mentre la piena valutazione si ottiene

svolgendo correttamente il livello avanzato.

Si abbia cura di verificare la correttezza e la coerenza dei passaggi e delle

procedure.

Livello Base

1. Si determinino le soluzioni delle seguenti dis/equazioni.

(a)

10

7x=

5

14

(b)

x+ 1

x� 1

>3

4

(c)

x� 1

2x· 1

2x� 2

= 2

(d) 2x3 � 11x2 + 17x� 6 > 0

2. Si rappresenti il diagramma e si esplicitino Ipotesi e Tesi del seguente

problema:

Nel triangolo rettangolo 4ABC, rettangolo in A, sia AH l’altezza

relativa all’ipotenusa. Dimostra che il rettangolo avente i lati con-

gruenti a BH e CH e equivalente a un rettangolo avente un lato

congruente ad AC e l’altro congruente alla proiezione di AH su AC.

Livello Intermedio

3. Si determinino le soluzioni delle seguenti dis/equazioni.

(a)

10

7x>

5

14

(b)

6 + (3� x)2

x+ 2

� 1 =

2� x2

�x� 2

(c)

x� 1

2x· 1

2x� 2

6 2

(d) 3x4 � 7x3 � 13x2 + 35x� 10 < 0

4. In un triangolo rettangolo un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa

misurano rispettivamente 60 cm e 36 cm.

(a) Si rappresenti il diagramma e si esplicitino Ipotesi e Tesi del problema.

(b) Calcolare l’area del rettangolo avente per dimensioni le proiezioni dei

cateti sull’ipotenusa.

(c) Calcolare area e perimetro del triangolo.

Livello Avanzato

5. Si determinino le soluzioni delle seguenti dis/equazioni.

(a)

2x� 8

(2x� 1)

✓x+

1

2

◆ > 0

(b)

6 + (3� x)2

x+ 2

� 1 >2� x2

�x� 2

(c) (x3 + x2 + x+ 1)(x3 � 27) < 0

6. Si determinino le soluzioni di (ax� 1)(ax2 � x� 2a2x+ 2a) 6 0 supponendo

che a 2 Z�.

7. Dimostrare il problema enunciato nel quesito 2.

Classe 2Obi Verifica di Matematica 1 Giugno 2016

Cognome e nome: Voto:

1.

p2x3 � x2 � 3

p2x+ 3 = 0

2.

p3x2 � 1 = 0

3. x4 � 7x2 + 6 = 0

4. 2x2 � 7x+ 4 = 0

5. 10x2 + 8x+ 1 = 0

6. 2

p2x2 � 6x�

p2 = 0

7. Si applichi il metodo del confronto per risolvere il seguente sistema lineare.

8>><

>>:

3(y � 1) + 1 = 2(2x� 1) + 3

3(x� 1) + 1� y = �2(1� y)

8. Determinare le soluzioni del seguente sistema utilizzando un metodo a piacere.

8>><

>>:

(x+ 1)

2 � 2y(x+ 1) = x(x� 2y)

x(2y � 1)� (x+ 1)

2= 2y(x� 1)� x2

9. Utilizzare il Metodo di Cramer per risolvere il seguente sistema.

8>><

>>:

y + 2

2

+

20

12

=

x� 4

3

� x

x� 3

2

+

y � 5

3

= y +6� 4x

3

10. Si rappresenti il diagramma e si esplicitino Ipotesi e Tesi del seguente

problema:

Nel triangolo rettangolo 4ABC, rettangolo in A, sia AH l’altezza

relativa all’ipotenusa. Dimostra che il rettangolo avente i lati con-

gruenti a BH e CH e equivalente a un rettangolo avente un lato

congruente ad AC e l’altro congruente alla proiezione di AH su AC.

Classe 2Obi Verifica di Matematica Settembre 2015

Cognome e nome: Voto:

1. (⇤/6 punti) Si risolva la divisione

(3a

5 � 2a

3+ 5a

2 � a+ 7) : (a

3+ 2a� 1)

utilizzando il Metodo Standard.

2. (⇤/6 punti) Si svolga la divisione

(2x

4 � x

3+ 4x

2 � x� 8) : (x� 3)

utilizzando il Metodo di Ru�ni.

3. Sviluppare i seguenti prodotti notevoli:

(a) (⇤/1 punto) (3x

3+ 5x)

2

(b) (⇤/2 punti) (x� z

2)

3

(c) (⇤/1 punto) (5abc+ 3x)(3x� 5abc)

(d) (⇤/1 punto) (x� 3xy + 12)

2

(e) (⇤/1 punto) (k � 7)(k � 5)

4. Determinare le soluzioni delle seguenti dis/equazioni.

(a) (⇤/2 punti) (x+ 2)(x� 3) = 2x� 1 + x

2

(b) (⇤/2 punti)

x

2

� 2 + x

3

=

5x� 4

6

(c) (⇤/2 punti) 2x

3 � x

2(2x� 1) < 3� x(1� x)

5. (⇤/6 punti) Congiungendo i tre punti medi di un triangolo isoscele si ottiene un

altro triangolo. Dimostrare che tale triangolo e anch’esso isoscele.

Correzione

Es. Punti % Errori Altro

1 /6

c� s� p� f� d� i� r�

2 /6

c� s� p� f� d� i� r�

3 /6

c� s� p� f� d� i� r�

4 /6

c� s� p� f� d� i� r�

5 /6

c� s� p� f� d� i� r�

Tot. /30 ⇤ Ordine

Firma per presa visione: