Come si calcola una potenza n di un binomio?

Regola:

(A + B)5 (A + B)2 (A + B)3 =(A2 + 2AB + B2) (A3 + 3A2B + 3AB2 + B3) =

A5 + 3A4B + 3A3B2 + A2B3 + 2A4B + 6A3B2 + 6A2B3 + 2AB4 + A3B2 + 3A2B3 + 3AB4 + B5 =A5 + 5A4B + 10A3B2 + 10A2B3 + 5AB4 + B5

La potenza n-esima del binomio (A + B) ha come sviluppo un polinomio di grado n, ordinato secondo le potenze

decrescenti del primo monomio e crescenti del secondo, i cui coefficienti sono quelli della (n + 1)esima riga del triangolo di

Tartaglia.

Il triangolo di TartagliaIl triangolo di Tartaglia• ogni riga inizia e termina con 1;• nella prima riga si trova il valore di (A +

B)0, nella seconda riga si trovano i coefficienti di (A + B)1, nella terza riga i coefficienti di (A + B)2 ecc. ;

• ogni riga si può ottenere dalla precedente. Niccolò Fontana,

detto Tartaglia, sistemò i coefficienti dei polinomi ottenuti dallo sviluppo delle potenze di (A + B) in un triangolo in cui:

1

1

1

1

2

1 3

1

3 1

1 4 6 4 1

(A + B)5 = A5 + 5A4B + 10A3B2 + 10A2B3 + 5AB4 + B5

Quindi per calcolare (A + B)5 bisogna guardare la riga (5 + 1) = 6 del triangolo di Tartaglia e ordinare le potenze del primo monomio in ordine decrescente e del secondo in ordine crescente: