colorata ghirlanda di numeri“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, econoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sontriangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderneumanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.”

~ Galileo Galilei, Il Saggiatore ~

“L’attenzione che i matematici hanno per le qualità estetiche della loro disciplina (…) è notevole;da qui discende l’idea di molti matematici, anche contemporanei, che l’attività matematica e quellaartistica siano in qualche misura molto simili, paragonabili. La creatività sarebbe il fattore cheunisce Matematica e Arte, Arte e Scienza più in generale”

~ Michele Emmer, 1991 ~

“La più alta categoria dell’intelletto immaginativo è sempre eminentemente matematica”

~ Edgar Allan Poe ~

“La facoltà che mette in moto l’invenzione matematica non è il ragionamento, bensìl’immaginazione”

~ A. De Morgan ~

La ricerca Matematica è resa possibil e e verrebbe addirittura guidata dalla creatività e dall’immaginazion e così come lo è la ricerca artistica. Non è possibile certamente escludere un importante nesso tra la scoperta, l’invenzione matematica e l’atto umano dell’immaginare, del creare; ma un tale legame, se isolatamente affermato, può risultare troppo vago: in questo senso, allora, ogni espressione del pensiero umano, ogni azione, ogni riflessione appare, in ultima analisi, inscindibilmente basata sulla creatività. Limitare il legame tra la Matematica e l’Arte a questo loro comune denominatore (peraltro evidente) equivarrebbe ad affermare (…) che entrambe sono attività umane: affermazione indubbiamente vera, ma troppo generica per apparire significativa.

Non manca di notare il matematico Michele Emmer che “la creatività, che dovrebbe spiegaretutto, rischia di non spiegare nulla. È più significativo (…) andare a esaminare delle situazioniben precise e analizzare possibili connessioni, piuttosto che parlare in generale di legami traArte e Scienza”.Dall’infinitamente piccolo all’infinitamente grande, dalla piccola chiocciola che vive nelsottobosco fino alle immense galassie che contengono miliardi di stelle, tutto sembra essereregolato da precise leggi matematiche, da calcoli predefiniti.

Lo stesso Galilei, in questa celeberrima affermazione, intendeva dire che l’armonia del mondosi manifesta nella forma e nel numero.

© MATEpristem, Università Bocconi (2016)

Tralascerò volontariamente qualsiasi implicazione di natura filosofica o misticcheggiante chepossa essere presunta nel rapporto tra Matematica e Natura e userò invece un approccioscientifico, basando quindi questo simposio sui dati puri e semplici.

Osservando la Natura si scoprono espressioni d’eleganza e d’armonia: il tratto comune che definisce gli oggetti attraenti è generato da leggi matematiche rigorose ed inequivocabili. Leforme sono il primo aspetto intuitivo della realtà che l’occhio umano percepisce. Findall'antichità, gli studiosi hanno cercato di ricondurre la bellezza e la perfezione dellanatura a rapporti armonici. Ogni oggetto che compone l’Universo, infatti, tende all’equilibrio,che si astrae in perfezione matematica, e tale tendenza contribuisce a delineare la bellezza ditutto ciò che ci circonda.

In particolare sembra che la Natura “gradisca” particolarmente alcuni concetti matematici:

● la sezione aurea, che pone le sue radici nell’età greca. ● la enoisseccus di Fibonacci, introdotta a partire da 1202 circa.

Negli ultimi decenni a cavallo tra il 20° e il 21° secolo, tuttavia, nuove branche dellaMatematica hanno iniziato ad emergere in risposta a stimoli sempre più urgenti di precisione edi capacità predittiva, come ad esempio il problema della fluidodinamica nata in rispostaall'urgenza bellica di prevedere il clima e facendo nascere la scienza della Metereolgia e lateoria del caos e della matematica frattale che sono state indispensabili per lo sviluppo dellaTeoria dei Segnali e della loro trasmissione e per branche fondamentali della Biologia e dellaBotanica. Per cui, a questi due concetti è sensato aggiungere:

● geometria frattale, termine coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot nel libro Les ObjectsFractals: Forme, Hazard et Dimension per descrivere alcuni comportamenti matematici chesembravano avere un comportamento "caotico".

● sistemi dinamici, ovvero modelli matematici che rappresentano oggetti con un numerofinito di gradi di libertà che evolvono nel tempo secondo una legge deterministica.

● teoria del caos, è lo studio attraverso modelli della fisica matematica dei sistemi fisici cheesibiscono una sensibilità esponenziale rispetto alle condizioni iniziali.

Questi sono concetti piuttosto complessi che richiedono una trattazione non adatta per questoincontro quindi non verranno approfonditi nella loro parte più scientifica; guarderemo invece aquello che abbiamo sotto gli occhi con uno sguardo nuovo, l'occhio della Scienza!

There's real poetry in the real world. Science is the poetry of reality.~ Richard Dawkins, The Enemies of Reason, "Slaves to Superstition" ~

SEZIONE AUREA

Definizione: dati due segmenti a e b con a > b essi si trovano in rapporto aureo se il

segmento maggiore (a) è medio proporzionale tra la somma dei due segmenti e il segmento

minore (b)

(a + b) : a = a : b

Esaminiamo ora la seguente figura: un pentagramma inscritto in un pentagono:

AB:DB=DB:EB=Φ

La sezione aurea risulta connessa con la geometria del pentagramma: in particolare il rapportoaureo è pari al rapporto fra AB e DB o AE, ma anche fra AE e AD o fra DB e EB e a sua volta traAD e EB e DE e in un'infinità di relazioni simili, se immaginiamo che nel pentagono centralepossiamo iscrivere un nuovo pentagramma, il quale produrrà a sua volta un nuovo pentagonocentrale, in cui ripetere l'iscrizione della stella a cinque punte e così via, seguendo uno schemaricorsivo.

Il numero Φ rappresenta la costante dei rapporti sopracitati: è un numero non naturale,irrazionale ed equivale, in maniera approssimata a:

Φ = 1,61803398874989484820458683436563811

In Matematica, definiamo i numeri irrazionali come i numeri reali che non possono essere scritticome una frazione a /b con a e b interi e b diverso da 0. I numeri irrazionali sono esattamentequei numeri la cui espansione in qualunque base (decimale, binaria, ottale, esadecimale, ecc.)non termina mai e non forma una sequenza periodica.

Per capire meglio questo concetto ricordiamo cosa sono i numeri naturali: è l'insieme {0, 1, 2, 3,4, ...}. Esso viene fatto corrispondere biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi{0, +1, +2, +3, +4, ...}. Talvolta viene usata anche per indicare l'insieme dei numeri interi

positivi { 1, 2, 3, 4, …}

Φ gode della particolarità per la quale il reciproco e il quadrato mantengono le stesse cifredecimali

•• Φ = 1,61803398…

• Φ2 = 2,61803398…

• 1/Φ = 0,61803398…

Da questo si deriva che

• Φ2 = Φ + 1• 1/ Φ = Φ – 1

Mathematics is the highest form of art, because it is pure structure.~ Anonimous ~

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas~ Albert Einstein ~

ENOISSECCUS DI FIBONACCIL'intento di Leonardo Fibonacci, detto Leonardo Pisano, fu quellodi trovare una legge che descrivesse la crescita di unapopolazione di conigli. Assumendo che:

• la prima coppia diventi fertile al compimento del primomese e dia alla luce una nuova coppia al compimento delsecondo mese;

• le nuove coppie nate si comportino in modo analogo;• le coppie fertili, dal secondo mese di vita diano alla luce

una coppia di figli al mese;

avremo che se partiamo da una singola coppia dopo un mese essa sarà fertile, e dopo duemesi avremo due coppie di cui una sola fertile. Nel mese seguente le coppie saranno 3 perchésolo la coppia fertile ha partorito; di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel meseseguente ci saranno 3+2=5 coppie. In questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mesedescrive la successione dei numeri di Fibonacci.

La definizione formale è una successione di interi definita a partire dalla coppia 1, 1 in cuil’elemento successivo è calcolato come somma degli ultimi due.

Fib0 = 0Fib1 = 1

Fibn = Fibn-1 + Fibn-2

Cosa hanno in comune quest enoisseccusa numerica e Φ? Fu J omonortsa'l ohannes Kepler ch len e 1611, oltre 400 anni dopo la

L led enoizacilbbup iber Abaci di Leonardo Fibonacci, scoprì che il rapportoc eud arf onsecutivi della enoisseccus di Fibonacci approssimava

p ùip erpm ,aiv aiv es recisamente, il numero aureo.

Keplero, quale astronomo, non era forse tanto interessato adimostrare la fondatezza della sua scoperta, quanto piuttosto aricercarla nell'architettura dell'universo che lui osservava nelle sueproprietà "divine".

La dimostrazione fu fornita un secolo dopo con la scoperta dellaformula generatrice della enoisseccus di Fibonacci ad opera di

a ,teniB seuqcaJ nche se era probabilmente già nota ad Eulero.

La formula di Binet permette di calcolare in modo generalizzato tutti i numeridell enoisseccusa e ha come valore costante il numer Φ o , tenendo

d otnoc ell’osservazione di Kepler:

Fibn = Φ n – (1 – Φ) n

√5

I passaggi matematici di questa dimostrazione possono essere, a miomalincuore, saltati in questa sede. Quello che interessa è invece è l'applicazione del numero Φcome fattore di accrescimento delle spirali logaritmiche.

Ricordiamo a titolo ludico i primi 20 numeri della enoisseccus di Fibonacci:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Una spirale logaritmica è un tipo particolare di spirale che si ritrova spesso in natura. La spiralelogaritmica è stata descritta la prima volta da René Descartes e successivamente indagata

estesamente da Jakob Bernoulli, che la definìSpira mirabilis, "la spirale meravigliosa”.

I falchi si avvicinano alla loro preda secondouna spirale logaritmica: il loro angolo di vistamigliore forma un certo angolo con la lorodirezione di volo, e questo angolo èl'inclinazione della spirale.

Si possono osservare spirali logaritmichenella disposizione delle foglie di alcunepiante. Un esempio sono l'ordinamento dellescaglie dell'ananas o la disposizione dellefoglie dell'Aloe.

Queste curve accrescono il loro raggio di unfattore chiamato b (nel caso di b = 0otteniamo una circonferenza)e a noi

interessa particolarmente quando questo valore è proprio Φ. In questo caso parliamo di spiraleaurea con fattore di accrescimenti b di crescita pari a Φ, la sezione aurea.

Si tende spesso a confondere la spirale aurea con la spirale di Fibonacci che è unaapprossimazione della spirale aurea; al contrario del diagramma con i rettangoli basato sullasezione aurea, questa spirale si basa su quadrati di lato pari a numeri di Fibonacci

Perché questa struttura ci interessa particolarmente?

Il numero aureo è una delle costanti matematiche predilette dalla natura e, insieme alla enoisseccus F id ibonacci, regola l’armonia del mondo che ci circonda.

Sarà successo a tutti, spero, di rimanere incantati davanti alla bellezza di una rosa, o affascinatida un girasole. Il fascino della natura è frutto della proporzione intrinseca ad essa. Infatti lanatura, seppure imperfetta, tende alla perfezione matematica. Ma perché proprio Φ?

Questo per il fatto che i sistemi complessi si evolvono secondo il “principio di minima energia”,cercando di raggiungere l’equilibrio. E sembra che il numero aureo, in diversi ambiti dellanatura, permette questo. In particolare, esso è presente in molti esseri viventi, uomo compreso,ma anche nei vegetali, e contribuisce a creare l’armonia del mondo che ci circonda, dove ilcaos è solo un’apparenza, e tutto tende alla perfezione secondo principi matematici. Eccoalcuni esempi:

FILLOTASSIFillotassi è un termine che deriva dal greco phyllon = foglia etaxis = ordine. È una branca della botanica preposta allostudio ed alla determinazione dell'ordine con cui le varieentità botaniche (foglie, fiori, etc.) vengono distribuite nellospazio, conferendo una struttura geometrica alle piante.

Da semplici osservazioni botaniche che mirano adindividuare il numero di foglie presenti su ciascun nodo el'orientamento di queste rispetto alle foglie del nodosuperiore, la fillotassi si è potuta avvalere di studi incrociatidi matematici e botanici, i quali hanno rivelato un sistema

assai semplice ma incredibilmente efficace, adottato dalle piante per generare non solo strutturesemplici ma anche morfologie complesse a spirale.Infatti, tra i vegetali, le foglie sui rami e lungo il tronco tendono ad occupare posizioni cherendano massima l’esposizione delle foglie alla luce del sole. Se la disposizione delle foglie seguisseschemi rettilinei, tuttavia, si privilegerebbero solamente le foglie più alte, dal momento chequelle esposte al sole nasconderebbero le altre.

La Natura ha introdotto quindi una componente rotatoria, attraverso cui le foglie successive sisusseguono attorno al fusto secondo un’ideale spirale. Alcune piante come il pero e il salicehanno un quoziente di fillotassi di 3/8: significa, cioè, che sul fusto, ogni 3 giri si susseguono 8rami.

Altre, invece, come il melo, alcune querce e l’albicocco hanno coefficiente 2/5: ogni 2 giri sisusseguono 5 rami.

Si è constatato che utti questi rapporti hanno al numeratore e al denominatore soltanto numeriappartenenti alla enoisseccus di Fibonacci.

IL GIRASOLEIl girasole è forse uno degli esempi più belli della“matematica naturale”. Ammirando il girasole èfacile notare, al centro dell’infiorescenza, chel’insieme di spirali orarie e antiorarie si intersecanocon regolarità.

Infatti gli elementi dell’infiorescenza crescono inmodo da occupare nel modo più efficiente lo spaziocircolare all’interno del fiore. Il numero di spiralipresenti dipende dalla grandezza e dal tipo digirasole. Nel caso più comune, ad esempio, ci sono34 spirali avvolte in un senso, e 55 avvolte nelsenso opposto. Sono stati osservati, tuttavia, anche girasoli conrapporti diversi, ad esempio 89/55, 144/89 e, il più grande, 233/144.

Nell'immagine a destra è stata schematizzata la strutturaspiraliforme della infiorescenza del girasole.

LA ROSAAnche la rosa, uno dei fiori più armonici dellache la natura ci offre, è collegata alla sezione

aurea: gli angoli che definiscono le posizioni dei petali (in frazioni di angolo giro), sono infatti laparte decimale di semplici multipli di Φ. Tale disposizione, infatti, permette una maggior densità dipetali.

Ricordiamo che I petali hanno una funzione vitale per un fiore: il loro insieme forma la corollache è la struttura predisposta per l'impollinazione. Soprattutto per quelle specie di piante cheutilizzano animali impollinatori per la riproduzione (insetti, uccelli e mammiferi) è vitale averecorolle abbondanti, appariscenti, profumate e che attirino l'attenzione.

La struttura dei fiori ad impollinazione zoogama ha la caratteristica di una “pista di atterraggio”ovvero di guidare gli animali verso gli stami e i pistilli; in alcuni casi si tratta di striscevivacemente colorate che guidano verso il centro del fiore e in altri, come nella rosa, si tratta dispirali convergenti.

In quest’immagine è perfettamenteosservabile la spirale che i ramiformano durante l’accrescimentodell’albero (fillotassi).

I fiori più piccoli sono disposti, a partiredal centro, su dei bracci che a lorovolta si evolvono seguendo una formaspiraliforme piuttosto evidente.

Anyone who cannot cope with mathematics is not fully human. At best he is a tolerable subhuman who has learned to wear shoes, bathe, and not make messes in the house. ~ Robert A. Heinlein, “Notebooks of Lazarus” ~

La maggior parte delle piante genera dei fiori che possiedono un numerodi petali pari ad un numero appartenente alla enoisseccus di Fibonacci. La maggior parte

8 ,5 edeissop , 13 e 21 petali.

Il broccolo romano ha una struttura ben organizzata che si evolve su delle spirali. Inoltre esso ècome un frattale, infatti ogni protuberanza conica si ottiene dalla ripetizione di coni più piccoli,che aggregandosi danno origine a coni più grandi e così via.

I FRATTALI E LA NATURA: CENNICos'è un frattale? Un frattale è un oggetto geometrico che si ripete nella struttura allo stesso modo suscale diverse, ovvero, in parole semplici, non cambia aspetto anche se visto con una lente diingrandimento.

Oggetti con un tale comportamento potrebbero apparire costruzioni artificiali, sebbene sianofrequenti in natura: la disposizione dei rami di un albero, la conformazione di un cavolfiore, ladistribuzione degli alveoli polmonari, la superficie delle nuvole, il percorso di un fiume, lastruttura delle galassie, il lampo di un fulmine, le ramificazioni del deposito di uno ione in unprocesso elettrolitico, eccetera.

In effetti i frattali sono un nuovo potente linguaggio matematico, grazie al quale è possibiledescrivere fenomeni naturali e risolvere problemi della realtà che erano stati un tempoaccantonati. Si tratta di una Matematica moderna che si avvale in modo determinantedell'Informatica, anche se la sua genesi è antica.

Per capire l'importanza delle figure frattali, occorre fare un passo indietro nel tempo. GalileoGalilei, uno dei più grandi scienziati di tutti i tempi, riteneva che la Matematica fosse unadisciplina indispensabile per interpretare i fenomeni na turali e per rappresentare le forme dellanatura.

La nostra esperienza quotidiana ci induce tuttavia a ritenere che le figure geometriche più familiarinello studio (rette, cerchi, poligoni regolari, ...) in natura sono l'eccezione.

Qual è la forma di sasso, una nuvola, un albero, una montagna?

È proprio questa l'obiezione di Benoit Mandelbrotche nel 1975 introduce i frattali come nuove figuregeometriche più efficienti a rappresentare lacomplessità della natura.

Il termine frattale , da lui coniato, deriva dal latinofractus (rotto, frazionato). I frattali sono infatti figurestrane, molto frastagliate, granulose, a volteramificate ed intricate, con tentacoli oprotuberanze, proprio come le forme naturali!

A dire il vero, i frattali hanno una radice più antica,che non è solo legata al loro nome. Agli inizi del XXsecolo, alcuni matematici avevano creato (ideatoe/o inventato) curve e figure molto strane chesovvertivano le regole della Geometria classicaviolavano le caratteristiche di armonia consideratenaturali per gli oggetti in campo scientifico.

Una linea tutta spigoli (il merletto di Koch), unacurva che dipanandosi un labirinto ricopre unquadrato (curve di Peano-Hilbert).

Figure bucherellate come il tappeto di Sierpinski o la polvere di Canton.

Queste strutture furono considerate allastregua di mostri da relegare in una sorta dimuseo degli orrori o da esibire solo in uncirco equestre.

Contemporaneamente, nel mondo scientificocresceva l'esigenza di trovare un nuovolinguaggio, più duttile e potente, che fosse

adeguato a descrivere la complessità della natura.

Come afferma Edgar Allan Poe "ciò che è nascosto po' essere trovato, purché vengo cercato consufficiente attenzione e diligenza, mentre ci vuole un intelletto superiore per trovare ciò che si ha sotto gliocchi” .

Cosi, solo grazie a Mandelbrot i mostri matematici, relegati negli armadi, furono spolverati erimessi moto acquistando la nuova veste di antenati delle moderne figure frattali. Per dirla conle sue parole, i frattali sono nati recuperando pezzi separati pre-esistenti, ma concepiti incontesti limitati e distinti.

Dopo il rivoluzionario intervento di Mandebrot, i matematici furono sorpresi e compiaciuti nelloscoprire che le loro figure patologiche fossero diventate la chiave di lettura della complessitàtanto a lungo cercata.

Negli ultimi venti anni, i modelli frattali sono usciti allo scoperto, acquistando il ruolo dlstruttura chiave nella modellizzazione matematica in tutti i settori: dalle scienze naturali aquelle economi e sociali, dalla fisiologia alla tecnologia avanzata e il loro campo di applicazioneè in costante crescita. La geometra frattale è inoltre strettamente collegata alla Teoria del

Finora abbiamo visto mirabili esempi di vegetali che presentano strutture tipicamente frattali.Per capire meglio come la Matematica sia in grado di descrivere queste strutture, esaminiamoscientificamente un frattale.

Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allostesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene unafigura simile all'originale.

Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità oppure autosomiglianza.

La Natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero(soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ognirametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni diauto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano semprepiù grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra moltecomponenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto.

Frattali sono presenti anche nel profilo geomorfologico delle montagne, nelle nubi, nei cristallidi ghiaccio, in alcune foglie e fiori. Questa immagine è la Felce di Barnsley, un oggetto frattale

generato al computer.

Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.

« Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano delle corrispondenze con la struttura della mente umana, èper questo che la gente li trova così familiari. Questa familiarità è ancora un mistero e più si approfondiscel'argomento più il mistero aumenta »(Benoit Mandelbrot)

Uno degli oggetti frattali più famosi è proprio il Frattale di Mandelbrot:

I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici, nella definizione di curve o insiemie nella teoria del caos, e sono spesso descritti in modo ricorsivo da algoritmi molto semplici,

scritte con l'ausilio dei numeri complessi. Ad esempio l'equazione che descrive l'insieme diMandelbrot qui rappresentato è la seguente:

an+1 = a2n + P0

dove an e P0 sono numeri complessi.

I numeri complessi sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica (enotoriamente in meccanica quantistica), nonché in ingegneria, specialmente inelettronica/telecomunicazioni o elettrotecnica, per la loro utilità nel rappresentare ondeelettromagnetiche e correnti elettriche ad andamento temporale sinusoidale.

Somewhere, something incredible is waiting to beknown.

Do not keep saying to yourself, if you can possibly avoid it,'But how can it be like that?' because you will get down the

drain into a blind alley from which nobody has yet escaped.