Circuiti e Componenti Ottici Marco Farina. Modalità esame: prova orale Testo di riferimento...

Circuiti e Componenti Ottici

Marco Farina

Modalità esame: prova orale

Testo di riferimento

“Componenti e Circuiti Ottici”,

Tullio Rozzi e Andrea di Donato

Leggi di Maxwell

S

dst

d nBlE

BE

t

D

QdsS

nDD

S

dst

Id nDlH

0 S

ds nBB

0 B

DJH

t

BvEF

q

+ Tutto sui campi EM ed i loro effetti!

Relazioni costitutiveNel caso particolare di mezzo omogeneo (proprietà indipendenti dalla posizione), isotropo (indipendenti dalla direzione), lineare (mezzo non modificato dal campo che lo attraversa) e senza

memoria (proprietà indipendenti dal tempo), il vettore di Polarizzazione che riassume come reagisce il mezzo al campo è

0= P E 0 0= 1 D E P E 0= r D E

Invece per il campo magnetico introduciamo un vettore di magnetizzazione M

HM

mMBBB

0 MH

00

HHHB

rm 00 1

Per cui

In generale

Un campo elettrico è prodotto: o da cariche elettriche o da un campo magnetico che varia nel tempo

Un campo magnetico è prodotto: o da correnti elettriche o da un campo elettrico che varia nel tempo

Possiamo avere un campo elettrico dove non ci sono cariche ed un campo magnetico dove non ci sono correnti

Qualitativamente...Un campo elettrico che varia nel tempo produce un campo magnetico che varia nel tempo, che produce un campo elettrico che varia nel tempo….

Ma cos’è c che compare nelle equazioni? (nascosto da noi in o) Nelle equazioni di Maxwell era una costante da determinare sperimentalmente (come o) che appariva essere Quantitativamente uguale alla velocità della luce nel vuoto Pari alla velocità con cui si propaga l’interazione elettromagnetica (lo

vedremo)

“….sarebbe difficile evitare la conclusione che la luce consiste di oscillazioni trasversali del medesimo mezzo che è la causa dei fenomeni elettrici e magnetici” J.C. Maxwell

Implicazioni in equazioni Poniamoci in una regione (magari nel vuoto) in cui non ci

sono né correnti né cariche, ma c’è un campo elettromagnetico

BE

t

DH

t

Prendiamo il rotore della prima

HE

t0

Applichiamo la solita identità a sinistra e sostituiamo la seconda a destra

tt

DEE

02

Non ci sono cariche

2

2

00t

E

Equazione d’onda

Quindi, nel vuoto

Equazione di Helmholtz o d’onda Vediamo cosa rappresenta in un caso semplice:

immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z

2

2

22 1

tc

E

E

x

z

xx tzEtz uE

),(),(

2

2

22

2 1

t

E

cz

E xx

Provando a sostituire verifichiamo che le soluzioni hanno l’aspetto di

c

ztfEx

Non avendo parlato di condizioni al contorno (ed iniziali) non possiamo dire nulla per ora sul dettaglio di f

Equazione d’onda Prendiamo per esempio la soluzione con il segno negativo:

All’aumentare del tempo, subisce una traslazione sull’asse z: mettiamoci a guardare f ad un certo istante, e vediamo una forma per f. Se aumenta t, devo aumentare z per continuare a vedere la stessa forma

Di quanto devo aumentare z? se passa t, devo spostarmi di z tale che

c

ztfEx

Cioè: mi devo spostare verso z crescenti alla velocità della luce. La soluzione descrive un campo che si propaga alla velocità c in direzione di z

tc

z

c

t

z

Equazione d’onda Viceversa, dovremo viaggiare a -c nell’altra soluzione Le soluzioni delle equazioni di Maxwell sono onde

'light itself (including radiant heat, and other radiations if any) is an electromagnetic disturbance in the form of waves propagated through the electromagnetic field’ J.C. Maxwell

Immaginiamo che a dare il via a quest’onda, da qualche parte “lontano" nello spazio dal nostro punto attuale di osservazione, sia stata una corrente alternata (in realtà andando ad usare l’eq d’onda che è differenziale -eq. del punto!- basterà considerare punti di osservazione in cui la densità di corrente è nulla) tsinii 0

Ci aspettiamo campi anch’essi sinusoidali: in effetti

c

ztsinEEx 0 Soddisfa

l’equazione d’onda

Equazione d’onda Se E ha tale forma, il campo H riusciamo a ricavarlo

dall’equazione di Faraday

Tutto diretto lungo y: sia H che E sono ortogonali alla direzione di propagazione (ed ortogonali tra loro) ed uniformi nel piano xy: onda piana

BE

t

z

E

tx

yuEH

00

11

c

zt

cty

cos0

uH

cost

c

ztsin

cy

0

uH

Equazione d’onda

Notate Ex ed Hy sono in un rapporto costante:

0cH

E

y

x 0

0

377 Impedenza d’onda

Il segno dipende dalla direzione di propagazione (quale sia l’effettiva direzione di propagazione dipenderà dalle condizioni al contorno)

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting

Definiamo la quantità ExH, vettore di Poynting: perché? pensando all’onda piana della lezione precedente pare

una quantità interessante: è un vettore orientato nella direzione di propagazione.

Dimensionalmente è una potenza per unità di area (E in V/m, H in A/m, EH è in VA/m2 cioè Watt/m2)

Proviamo a trarre qualcosa dalle equazioni di Maxwell, ipotizzando solo di avere mezzi “senza memoria” (, non dipendono dal tempo), isotropi e lineari

Distinguiamo le correnti in due classi: quelle impresse (per esempio da un generatore alternato) Ji e quelle indotte dal campo J


Le equazioni del rotore sono in questo caso

BEt

it

JJDH

HEP HEEH

Calcoliamo la divergenza del vettore di Poynting

...Abbiamo usato un’altra identità

ittJEJE

BH

DEP

Sostituiamo a secondo membro le eq di Maxwell


Immaginiamo che le correnti indotte J fluiscano in un conduttore con conducibilità : la legge di Ohm

ittJEJE

BH

DEP

2EJE

ED HB

Inoltre, per mezzi lineari, isotropi, senza memoria

iEHEt

JEP

222

2

1

2

1

densità di potenza fornita dal generatore

densità di potenza dissipata per effetto termico

densità di energia del campo elettromagnetico

Esprime la conservazione dell’energia

Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico: teorema di Poynting Integriamo su un volume per ricavarne la forma integrale:

applichiamo il teorema della divergenza

dVdVEdVHEt

dsV

iVVS

JEnP 222

2

1

2

1

Il primo termine è un flusso di energia nel volume per unità di tempo

Allora, rileggendo il teorema di Poynting come conservazione dell’energia, leggiamo l’equazione di sopra dicendo che l’energia che forniamo nell’unità di tempo ad una certa regione deve essere uguale alla somma di

Potenza dissipata per effetto Joule nei conduttori Potenza immagazzinata dal campo elettromagnetico in tale regione Potenza netta portata via attraverso la superficie di bordo S della regione V dalle onde

elettromagnetiche

teorema di Poynting: come viaggia l’energia? In un conduttore ideale E ed H sono nulli: quindi P è nullo.

Dove viaggia l’energia? Immaginiamo un esperimento: Il campo elettrico e la

corrente nel filo sono orientati lungo z: legge di Ohm

zzz l

RiE uuE

i

superconduttore

Conduttore realez

B

Il campo magnetico è dato dalla legge di Biot-Savart

uuH

r

iH

2

Il vettore di Poynting

rrr rl

RiP uuHEP

2

2

Cioè viaggia esternamente (nel dielettrico o

nel vuoto) e penetra radialmente

l

teorema di Poynting: come viaggia l’energia? Tra l’altro facendone il flusso attraverso un cilindro

concentrico, di raggio r: solo la superficie laterale contribuisce:

Pari alla potenza dissipata per effetto Joule

22

22

Rirlrl

Rids

S

nP

Condizioni al contorno Abbiamo le equazioni differenziali. Quali sono le

condizioni al contorno? Come si devono comportare i campi quando

incontrano un materiale diverso?

Le equazioni di Maxwell valgono ovunque: usiamo la loro forma integrale e vediamo che vincoli devono rispettare le soluzioni delle equazioni differenziali (valide nel “punto”)

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica tangenziale

Supponiamo di avere due mezzi, caratterizzati da permettività (1, 1) e (1, 1), rispettivamente

Decomponiamo il campo nelle sue componenti tangenziali (Et) ed ortogonali (En) alla superficie di separazione

2

1 1tE

2tE

Usiamo la legge di Faraday, applicata ad un percorso rettangolare intorno all’interfaccia

lEEd tt 21lE Bt

td B

lE Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il

contributo alla circuitazione di En diventa nullo, come il flusso B per cui

0

Quindi la componente tangenziale di E deve essere continua all’interfaccia

Condizioni al contorno: continuità componente magnetica tangenziale

Facciamo lo stesso ragionamento per H

Usiamo la legge di Ampère-Maxwell, applicata ad un percorso rettangolare intorno all’interfaccia

lHHd tt 21lHDtJ

td D

J

lH

Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il contributo alla circuitazione di Hn diventa nullo, come il flusso di D, ed il flusso di J (se si ha una densità finita di corrente J...)

0 La componente

tangenziale di H deve essere continua all’interfaccia

2

1 1tH

2tH

Densità di corrente J

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica D normale

Usiamo la legge di Gauss applicata ad un cilindretto

Facciamo tendere a zero l’altezza del cilindretto, così che si annulli qualunque contributo tangenziale. Se S è la superficie della base

VS

ds nD

Quindi in assenza di cariche libere superficiali , la componente ortogonale di D è continua, cioè

2

11nD

2nD

SSDD nn 21

21 nn DD

221121 0 Se nnnn EEDD

Condizioni al contorno: continuità componente elettrica B normale

Per B possiamo fare lo stesso, con la semplificazione che non esistono cariche magnetiche

La componente ortogonale di B è continua, cioè

2

11nB

2nB

221121 nnnn HHBB

Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di un conduttore ideale??

Il campo elettrico interno è nullo

Quindi: La componente tangenziale di E è nulla sia dentro che in prossimità del conduttore 021 tt EE

2

11nE

02 nE

1tE

La dimostrazione relativa alla continuità delle componenti tangenziali non cambia: è vera anche qui

Cosa possiamo dire della componente normale? Non conviene ragionare in termini di D nel conduttore... Ma vale sicuramente che 2010 nnr EE Quindi Dn fuori, in prossimità del conduttore ideale è pari alla

densità di carica superficiale

Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di un conduttore ideale??

Il campo magnetico?

La discussione su B normale non cambia: la componente di B normale è nulla nel conduttore e deve essere nulla anche nelle immediate vicinanze

Per quanto riguarda la componente tangenziale, si era assunta una densità di corrente finita. In realtà ora il campo magnetico tangenziale non è generalmente nullo al di fuori del conduttore (è legato ad E normale dalle eq di Maxwell) mentre è sicuramente nullo nel conduttore. Come è possibile?

Occorre pensare che J -legata alla densità di carica- non sia finita (del resto l’importante è che I, la corrente -legata alla carica-, sia finita) nel qual caso il flusso sarebbe rimasto finito anche per un’area che tende a zero; si definisce una corrente per unità di larghezza Js [A/m] che scorre su uno strato infinitesimo di spessore: del resto le cariche su un conduttore sono tutte in superficie….

2

1 1tH

2tH

Densità di corrente J

lHHd tt 21lH DtJ 0 lJ s

Condizioni al contorno per un conduttore ideale

Quindi B ed H normali sono nulli su un conduttore, mentre H tangenziale è pari alla corrente superficiale

Le precedenti relazioni le possiamo riassumere in forma vettoriale (indicando con n la normale alla superficie di separazione)

s

s

J

Hn

Dn

Bn

En

0

0 Campo elettrico tangenziale nullo

Campo di induzione magnetica normale nullo

Campo induzione elettrica normale pari alla densità superficiale di carica

Campo magnetico tangenziale pari alla densità di corrente superficiale

Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione

Dobbiamo distinguere tra problemi “interni” (in una regione finita) ed “esterni” (tutto lo spazio: tipico delle antenne)

Concentriamoci per il momento sui problemi interni: immaginiamo di avere due soluzioni delle equazioni di Maxwell E,H,J ed Eo,Ho,Jo, in condizioni di linearità

Scriviamo il teorema di Poynting per il campo

0101 ; HHHEEE 01 JJJ

in un dato volume V contenuto in una superficie S, cioè

n

S


Ip. 1: la sorgente del primo campo (J) è identica alla sorgente del secondo

dVdVEdVHEt

dsVVVS

112

12

12

1 2

1

2

1JEnP

010 JJJ Vint

Ssu t 00 nHnHnEnE o

Ip. 2: le componenti tangenziali sul bordo del volume (S) o del campo elettrico o del campo magnetico, coincidono

In pratica i due campi (E,H) ed (E0,H0) sono generati dalla stessa sorgente, quindi la “sorgente differenza” è nulla sempre

In pratica, abbiamo indicato con n la solita normale alla superficie, e chiediamo che le componenti tangenziali dei due campi (E,H) ed (E0,H0) coincidono sul bordo della regione S. Come conseguenza su tutto il bordo, la componente tangenziale di E1 o di H1 diventa zero, ed il flusso del vettore di Poynting sparisce


Che afferma che che l’energia elettromagnetica immagazzinata dal campo E1 H1 (integrale a primo termine) può essere o stazionaria o decrescere: infatti il secondo termine, essendo l’integrando positivo o nullo, è negativo o nulloSe però in un qualunque unico istante (es t=0) i campi coincidono, cioè E=Eo ed H=Ho in tutto il volume V, l’energia immagazzinata da E1,H1 in quel momento è ovviamente nulla. Ma abbiamo appena detto che l’energia (quantità positiva) può solo decrescere o rimanere uguale; non potendo decrescere sotto zero, non può che restare E=Eo ed H=Ho per ogni t

Quindi rimaniamo con

dVEdVHEt VV

2

12

12

1 2

1

2

1

Unicità della soluzione

Quindi perché la soluzione delle equazioni di Maxwell sia unica per problemi spazialmente limitati occorre e basta

•Assegnare le condizioni iniziali in tutto il volume•Assegnare o le componenti tangenziali di H o quelle di E su S per ogni istanteRisultato notevole!

Può spaventare il fatto che, almeno in un istante iniziale, occorre assegnare il campo ovunque; considerate però che con sorgenti sinusoidali, in regime permanente (dove le condizioni iniziali non servono più e osserviamo le soluzioni, anch’esse sinusoidali, da un tempo arbitrariamente lungo) quanto detto dimostra che basta assegnare il campo tangenziale su una superficie in E oppure in H per avere la soluzione univocamente determinata!!

Equazioni di Maxwell in regime armonico permanente

Basta rimpiazzare le derivate nel tempo con prodotti per j

BE j JDH j

L’equazione di Helmholtz

La quantità /c si definisce numero d’onda, e si indica con k; si definisce anche un vettore d’onda, come un vettore di modulo k e direzione corrispondente al vettore di Poynting

D 0 B

2

2

22 1

tc

E

E

EE

2

22

c

Diventa (nota, non usiamo il cappelletto per semplificare le notazioni…)

022 EE

k

Onde piane in regime armonico permanente

022

2

xx EkEz

Vediamo di nuovo il caso dell’onda piana: immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla coordinata z

x

z

xx zEz uE

)()( L’equazione d’onda per il campo elettrico diventa semplicemente

La soluzione è una combinazione di esponenziali in kjkzjkz

x eEeEE Volendo recuperare l’espressione nel tempo, per esempio della

componente progressiva (assumiamo E+ reale (E0) per semplificare)

)Re()( tjxx eEtE )Re( kztjeE

c

ztE cos0 CVD

Polarizzazione onde piane Fin qui abbiamo visto onde piane con una sola

componente di campo E, e che quindi oscillano sempre in uno stesso piano: queste si dicono polarizzate linearmente (anche ovviamente se con due componenti di campo E, purché l’oscillazione avvenga in un piano)

Un insieme di onde piane propagantesi nella stessa direzione, ma con orientazioni e fasi arbitrarie dei campi, generano un’onda non polarizzata

Due onde piane, stessa freq, ma diverse ampiezze fasi ed orientazioni (ma con relazioni prefissate) producono un’ onda polarizzata ellitticamente

Polarizzazione onde piane

Infatti, se per esempio abbiamo

Notiamo che, mettendoci in un punto (es z=0)

Che è l’equazione parametrica di una ellisse. Se è /2 ed E1=E2 è proprio una circonferenza: polarizzazione circolare

v

ztEEx cos1

v

ztEEy cos2

tEE

tEE

z

y

x

cos

cos

0

2

1


Infatti, nella polarizzazione circolare avremo

v

ztEEx cos1

v

ztsinEE y 1

y 0,0 zt

x

0,2

zt

x

y


In termini di fasori avremmo (pol. Ellittica)

Nota: fin qui abbiamo parlato di c come velocità di fase dell’onda em nel vuoto o in aria; il discorso resta valido in generale con l’accorgimento di usare la giusta velocità

jkzx eEE 1

)(2

kzjy eEE


Polarizzazione Lineare

Polarizzazione Circolare

Onde piane in direzione arbitraria Abbiamo introdotto le onde piane pensando ad una

propagazione lungo un asse (z) Vediamo come generalizzare il discorso al caso un cui

compaiono tutte le variabili spaziali: facciamolo direttamente per i fasori

zkykxkj zyxe 0EE

Dove E0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma può avere tutte le componenti

zzyyxx EEE uuuE 0000

Onde piane in direzione arbitraria L’equazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari

Concentriamoci sulla prima e sostituiamo l’espressione generale per l’onda piana

022

2

2

2

2

2

xxxx Ek

z

E

y

E

x

E

022 EE

k

0

0

0

22

22

22

zz

yy

xx

EkE

EkE

EkE

xxzxyxx EkEkEkEk 02

02

02

02

2222 kkkk zyx Cioè, il vettore d’onda k che ha

modulo k può essere diviso in 3 componenti, proprio pari a kx, ky, kzzzyyxx kkk uuuk

Onde piane in direzione arbitraria Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana

che si propaga lungo una direzione generica:

rkEEE jzkykxkjee zyx

00

Onde piane in direzione arbitraria In generale quindi E ed H per un’onda piana saranno

Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che

kj Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una

semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si “algebrizzano”

rkEE je0rkHH je0

BE jDH j

0 D0 B Sia E che H

ortogonali a k

00 HEk 00 EHk

00 Ek00 Hk

Onde piane in direzione arbitraria

Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H generale: dalla prima

00 HEk 00 EHk 00 Ek

00 Hk

)(1

)( rEurH k

00

1EkH

ovvero

Dove è l’impedenza d’onda del mezzo: generalizza l’espressione già trovata!

02

0 EkEk

0022

Ek

E l’equazione d’onda diventa

Onde piane e linee Per un’onda piana che si propaga lungo un asse z abbiamo

visto che l’equazione d’onda (fasori) produce le soluzioni

Mentre le equazioni del telegrafista (linee) producono

Quindi, possiamo analizzare il comportamento delle onde piane per mezzo di “linee equivalenti”

jkzjkzx eEeEE

jkzjkzy e

Ee

EH

zjzj evevv zjzj e

Z

ve

Z

vi

00

EV, HI, Zo, k

Onde piane e linee Cosa succede quando un’onda piana passa da un materiale

ad un altro, incidendo ortogonalmente alla superficie di separazione?

Per risolvere il problema dovremmo scrivere E ed H in ciascun mezzo, ed imporre le condizioni al contorno, ovvero continuità di Et ed Ht all’interfaccia (in realtà vista la direzione di

propagazione, E=Et ed H=Ht ) Ma nel risolvere il problema con le linee abbiamo imposto

proprio che v ed i fossero continue tra le due linee

Quindi il metodo ci consente anche di vedere cosa avviene in mezzi stratificati

Zo1, Zo2….

Hy

Ex

k

Zo1 Zo2

Onde piane e linee Se per esempio l’onda viaggia in un mezzo con impedenza

d’onda ed incide su un mezzo (semi-infinito) con

impedenza d’onda , parte dell’onda verrà riflessa e parte passerà, essendo

Hy1

Ex1

k

jkzjkzzjkzjkx eeEeEeEE

11

11

11

12

12

zjkzjkx eEeTEE 2

12

1 12

Onde piane in mezzi stratificati e linee Nel caso di un’onda che viene da un mezzo ed incontra

mezzi stratificati, possiamo usare tutto quanto visto per le linee! Sono vere anche le conclusioni

Immaginiamo per esempio che il materiale in mezzo sia un multiplo di /2

0 d

3r2r1r

11,HE 22 ,HE 33 , HE

Questo sarebbe per esempio il caso se avessi un segnale a 1 GHz, e con il mezzo 2 aria, la lunghezza fosse d=c/(2f), cioè 15 cm

In tal caso tutta la regione 2 sarebbe “trasparente” all’onda; e se i mezzi 1 e 3 fossero uguali, l’onda sarebbe completamente trasmessa

Incidenza Obliqua TM

HE

yx

z

xzjkyjk zyeHzy uH ),(

TM rispetto y e z (E nel piano incidenza)

zjkyjkz

yy

z zyeHkk

zy

uukHE

1),(

xzjkyjk

tzyeHzy uH ),(

zjkyjky

zt

zyek

Hzy

uE

),(

cos

0

kkZ zTMz (Vedere nel corso di microonde il

perché di questa relazione)

Considerazioni

•Velocità di fase rispetto a z:

coskkv

zpz

•Velocità di fase rispetto a y:

sinkk

vy

py

Possono essere entrambi maggiori di c

ConsiderazioniLa continuità delle componenti tangenti all’interfaccia ci impone che

i r

t

y

ky incidente e riflesso coincidano:

ri kk sinsin 11 ri Legge di riflessione dell’ottica

ti kk sinsin 21 ti nn sinsin 21

Legge di Snellti vv sinsin 12

Riflessione Totale

2

t1

2sinn

nic Esiste solo n1>n2

211

2 arcsin nnn

nc

Riflessione Totale

Zo1 Zl

Quali sono le Condizioni di riflessione?

Zl=0

Zl=

Zl=jX

2

2 cos

t

l

kZ

2

22 sin1

tk

2

2

2

1

22 sin1

ivv

k

TM:

TE:t

l kZ

cos2

2

2

1

22 sin1 iv

vk

Conseguenze dell’Analogia con le Linee

Modello Rigoroso ma semplice

1 2 3

Zo1 Zo2

Zo3

Un esempio:

vetro

vetro

aria

Zo1

jXo2

Zo3

Piano di Goos-Hänshen

oimmaginari lici Z oimmaginari coskkz

Coeff di riflessione: modulo unitario, ma la fase?

f

Piano di Goos Hänshen

)arg(2

1

Angolo Polarizzante o di BrewsterEsiste un angolo per cui non avviene riflessione?

Onda TM:

0201 ZZ 2

2

1

1 coscos

ti kk

2

22 sin1

tk

2

2

2

12 sin1

ik

2

2

1

2

1 sin1cos ii

1

21

21

21 tansin

Pi

Angolo Polarizzante o di Brewster

Onda TE:

0201 ZZ ti kk

coscos 21

Non ammette soluzione!Se incide un’onda a polarizzazione arbitraria, in corrispondenza all’angolo di Brewster solo il TE viene riflesso

Onda Incidente obliqua su interfaccia dielettrica: calcoliamoci i campi

Caso TEzi r

t

y xzjkyjkzjkyjk

tzyzy eeEzy uE 11),()1(

xzjkyjk

tzyeEzy uE 2),()2(

0102

0102

ZZ

ZZ

1

1

2

2

1

1

2

2

coscos

coscos

Def: Coefficiente di

Fresnel

0102

022

ZZ

Z

Incidenza obliqua: TEz

jzy

EH

),( zjkzjkyjk

yzzy eee

EH 11cos

zjkzjkyjkz

zzy eeeE

H 11sin

Onda Incidente obliqua su interfaccia dielettrica

Caso TMzi r

t

y xzjkyjkzjkyjk

tzyzy eeHzy uH 11),()1(

xzjkyjk

tzyeHzy uH 2),()2(

0102

0102

ZZ

ZZ

1122

1122

coscos

coscos

0102

022

ZZ

Z

Incidenza obliqua: TMz

jzy

HE

),( zjkzjkyjk

yzzy eeeHE 11cos

zjkzjkyjkz

zzy eeeHE 11sin

Circuiti e Componenti Ottici Marco Farina. Modalità esame: prova orale Testo di riferimento...

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